УДК 620.179.14
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА МАГНИТОСТАТИКИ В ПОЛЯХ НАСЫЩЕНИЯ
© 2019 г. В.В. Дякин1, О.В. Кудряшова1,*, В.Я. Раевский1,**
1Институт физики металлов имени М.Н. Михеева УрО РАН, Россия 620108 Екатеринбург,
ул. С. Ковалевской, 18
Поступила в редакцию 31.05.2019; после доработки 28.06.2019
Принята к публикации 05.07.2019
Получены интегродифференциальные уравнения, решения которых определяют форму намагниченного до насыще-
ния произвольного ферромагнитного тела или полости в нем без априорного предположения о принадлежности занима-
емых ими областей какому-либо конкретному геометрическому классу. Доказана однозначность такого определения для
широкого класса практически встречающихся случаев. В качестве важного иллюстративного примера получены анали-
тические формулы для определения результирующего поля ферромагнитного тела шаровой формы, из которых положе-
ние и размеры тела определяются однозначно.
Ключевые слова: основное уравнение магнитостатики, прямая и обратная задача, проблема единственности, магнит-
ный неразрушающий контроль.
DOI: 10.1134/S013030821910004X
ВВЕДЕНИЕ
Многие задачи математической физики условно делятся на прямые и обратные. Обобщая, пря-
мые задачи сводятся к получению следствий явления при заданных его причинах и параметрах
участвующих объектов, а обратные — к получению характеристик причины явления и/или пара-
метров указанных объектов по заданным (измеренным) следствиям. Обратные задачи возникают,
в основном, по той причине, что не всякий объект доступен прямому непосредственному изуче-
нию, а потому о его свойствах приходится судить по косвенным их проявлениям.
Прямая задача магнитостатики заключается в нахождении напряженности результирующего
магнитного поля внутри и вне магнетика произвольной формы при заданных геометрических и
физических параметрах исследуемой конфигурации — форме и размерах магнетика, его магнит-
ной проницаемости, величине и направлении внешнего поля. Однако для задач неразрушающего
магнитного контроля наибольший интерес представляют обратные задачи магнитостатики — по
заданному внешнему полю и известному (измеренному) результирующему полю в некоторой
доступной для измерения конечной области вне магнетика восстановить «исходные данные» —
геометрические (форма магнетика, форма и размеры дефектов и полостей) и/или физические (маг-
нитная проницаемость) характеристики магнетика.
При решении обратной задачи магнитостатики возникают две серьезные проблемы. Первая из
них заключается в частой (и достаточно типичной для обратных задач вообще) неединственности ее
решения, когда конфигурации с различными наборами геометрических и физических параметров
магнетиков приводят к одному и тому же результирующему полю в области его возможного измере-
ния, что является причиной принципиальной невозможности однозначного определения указанных
параметров. Эти вопросы достаточно подробно обсуждены, например, в [1—6]. Вторая проблема
состоит в необычайной сложности (математического характера) прямого непосредственного реше-
ния обратной задачи в ее общей постановке. Различные подходы к практическому решению этой
задачи обсуждены, например, в [7—13]. Большинство из них основываются на многократном реше-
нии прямых задач (либо оригинальными численно-аналитическими методами, либо с использовани-
ем универсальных программных пакетов типа ANSYS, ELCUT, FEMM) для различных (но априори
фиксированных!) геометрических форм магнетика и форм возможных дефектов в них (шары, полу-
пространства, эллипсоиды, цилиндры, плоскопараллельные полосы и др.) с целью выявления зако-
номерностей поведения результирующих магнитных полей в зависимости от местоположения маг-
нетика и дефектов в нем, а также от их размерных и ориентационных геометрических параметров.
Другие подходы используют либо метод минимизации функционала отклонения измеренного рас-
пределения магнитного поля от рассчитанных (опять же описанным выше многократным решением
прямой задачи) полей «эталонного» дефекта, либо построение интерполяционных формул (на осно-
ве решения прямых задач или данных натурного эксперимента), выражающих зависимость резуль-
тирующего поля от тех или иных параметров дефектов.
36
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
В настоящей работе исследуется обратная задача для тела из ферромагнетика во внешнем поле,
при котором его намагниченность достигает насыщения. Это приводит к упрощению общей мате-
матической модели, что позволяет доказать как единственность решения обратной задачи для
указанной конфигурации, так и указать подход ее непосредственного решения без априорного
предположения о типе геометрической формы магнетика и формы возможного дефекта в нем в
виде полости.
1. ФИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Исследованы две конфигурации магнетиков, характерные для задач магнитного неразрушаю-
щего контроля. Первая (назовем ее «конфигурация А») такова. Имеется сплошной магнетик, зани-
мающий пространственную область Ω с граничной поверхностью S, к которому приложено внеш-
нее поле H0 с известным распределением (рис. 1). Допустим, что область Ω (то есть форма поверх-
ности S) не наблюдаема визуально (магнетик внутри непрозрачного немагнитного тела). Измерение
напряженности результирующего магнитного поля тоже, возможно, не может быть осуществлено
в непосредственной близости от тела, а потому считаем, что такие измерения доступны в некото-
рой конечной области G вне Ω. Задача состоит в том, чтобы по известной напряженности H(r)
результирующего поля в области G восстановить положение, форму и размеры области магнетика
Ω и/или распределение в ней магнитной проницаемости μ.
H0
G
Ω
S
Рис. 1. Сплошной магнетик.
Опишем вторую исследуемую конфигурацию (назовем ее «конфигурация B»). Имеется магне-
тик известной формы, занимающий область Ω1 с граничной поверхностью S1. Внутри находится
воздушная полость (дефект), занимающая некоторую недоступную для наблюдения область Ω
(Ω ⊂ Ω1) с поверхностью S (рис. 2). К системе приложено заданное внешнее поле H0, а напряжен-
ность H(r) результирующего поля может быть измерена в некоторой области G вне тела. Задача
состоит в том, чтобы по известной напряженности H(r) результирующего поля в области G вос-
становить положение, форму, размеры полости Ω и/или распределение в магнетике магнитной
проницаемости μ. Отметим, что в такой постановке нас, естественно, будут интересовать только
односвязные области Ω (то есть без внутренних «дыр»).
H0
G
S1
Ω1
Ω
S
Рис. 2. Магнетик с полостью.
Дефектоскопия
№ 10
2019
Обратная задача магнитостатики в полях насыщения
37
В данном разделе сформулирована физическая постановка обратной задачи магнитостатики в
достаточно общем ее виде. В настоящей работе предлагается подход к решению частного случая
этой задачи: определение формы ферромагнитного изделия (для конфигурации А) или формы воз-
душной полости в нем (для конфигурации B) при наличии внешнего поля специального вида.
2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Для решения прямых и обратных задач магнитостатики мы исходим из ее основного интегро-
дифференциального уравнения
M(r′)
0
3
H r)−∇div
dr′
=
H r),
r∈ℜ
\
S,
(2.1)
∫
4π|r
−r′|
T
которое эквивалентно исходной системе уравнений Максвелла для случая магнитостатики (см. [14,
с. 16, 17]), но обладает по сравнению с ней рядом преимуществ (обсужденных, например, в [5], [15])
как в отношении теоретического исследования, так и для проведения конкретных численных рас-
четов. В уравнении (2.1) введены следующие обозначения: T — пространственная область с гра-
ничной поверхностью S, занятая магнетиком; H0(r) — напряженность приложенного внешнего
поля; H(r) — напряженность результирующего поля; M(r) — возникающая в магнетике намагни-
ченность, связанная с напряженностью поля внутри магнетика известным соотношением
M(r) = (μ-1)H(r) (μ — магнитная проницаемость). Обратная задача для уравнения (2.1) ставится в
следующей формулировке: по известной напряженности внешнего поля H0(r) и известной (изме-
ренной) напряженности результирующего поля H(r) в некоторой доступной для измерения конеч-
ной области G восстановить форму области магнетика T (что включает и форму возможных дефек-
тов в нем) и/или его магнитную проницаемость μ. Здесь и в дальнейшем под формой тела будем
понимать не только геометрическую принадлежность формы, но и соответствующие размеры и
положение в пространстве (локализацию). Во введении были описаны основные трудности при
исследовании обратной задачи такого рода — возможная (принципиальная) неединственность, а
также сложность создания алгоритма ее «прямого» решения без опоры на решения множества пря-
мых задач для магнетиков (и дефектов в нем) конкретных геометрических форм. Ниже будет рас-
смотрен частный случай описываемой задачи, для которого удается эти проблемы преодолеть.
3. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ФЕРРОМАГНЕТИКА В ПОЛЕ НАСЫЩЕНИЯ
Пусть магнетик (в конфигурации А или B) является ферромагнитным телом, находящемся в
постоянном внешнем поле с напряженностью H0, величина которого такова, что тело находится в
состоянии насыщения. В этом случае его намагниченность M тоже постоянна по всему объему
тела, сонаправлена напряженности внешнего поля и определяется только материалом изготовле-
ния тела (а потому считается известной). По сравнению с описанной в предыдущем разделе обрат-
ной задачей уравнения (2.1) для произвольного магнетика в произвольном внешнем поле в данном
случае упрощение состоит в том, что известным оказывается не только постоянное внешнее поле,
но и постоянный вектор намагниченности, сонаправленный с напряженностью внешнего поля, то
есть известны постоянные векторы:
0
0
0
0
H
=
{
H
1
, H
2
, H
3
}
,
M=
{
M
1
, M
2
, M
3
}
(3.1)
Кроме того, в данном случае магнитная проницаемость μ никак не фигурирует, а определению
подлежит лишь форма поверхности S, являющейся в конфигурации A границей ферромагнитного
тела, а в конфигурации B — границей воздушной полости в нем.
В конфигурации А сплошного магнетика из уравнения (2.1) получаем соотношение
M
0
∇div
dr′
= π(H r)
−
H
),
r∈
G,
(3.2)
∫
| r
-r′
|
Ω
в котором напряженность результирующего поля H(r) в области G и постоянные векторы (3.1)
известны, а определению подлежит форма области Ω (то есть форма ее граничной поверхности S).
Дефектоскопия
№ 10
2019
38
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
В конфигурации B уравнение (2.1) имеет вид:
M(r′)
0
H r)−∇div
dr′
=
H r),
r∈G,
∫
4π|r
−r′|
Ω
\Ω
1
откуда легко получить соотношение
M
0
M
∇div
dr′= π(H
−H r))+∇div
dr′,
r∈G,
∫
∫
(3.3)
| r r′ |
| r r′ |
Ω
Ω
1
в котором правая часть и постоянный вектор M суть известные величины, а найти требуется форму
граничной поверхности S полости Ω.
Таким образом, как в конфигурации А, так и в конфигурации B задача сводится к следующей:
из уравнения вида
M
∇div
dr′
=
F r),
r∈G,
(3.4)
∫
|
r
-r′|
Ω
в котором известны постоянный вектор M и определенная в области G вектор-функция F(r) (это
правая часть (3.2) или (3.3) в конфигурации А или B соответственно) , а найти необходимо форму
односвязной (то есть без «дыр») ограниченной граничной области Ω (то есть форму ее поверхности
S) , лежащей вне области измерения поля G. Эта задача и будет предметом исследования в следую-
щих разделах. Прежде всего будет исследован вопрос единственности решения этой задачи.
4. СВЕДЕНИЕ К ВОПРОСУ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ГРАВИМЕТРИИ
Поскольку проблема единственности решения обратной задачи гравиметрии изучена доско-
нально, то в этом разделе к этой проблеме будет сведен вопрос единственности сформулированной
выше обратной задачи для уравнения (3.4). Для удобства выберем декартову систему координат
так, чтобы ось z была сонаправлена постоянному вектору внешнего поля H0. Тогда в этой системе
координат H0 = {0, 0, H0}, а M = {0, 0, M}, где H0 =|H0|, M = |M|. Уравнение (3.4) в этой системе
координат имеет вид
∂
1
∇
P(r)
=
F r),
r
∈
G,
(4.1)
∂
z
M
где объемный (ньютоновский) потенциал
dr′
P(r):=
,
(4.2)
∫
| r
-r′|
Ω
а F(r) — правая часть уравнения (3.4). Вопрос единственности решения обратной задачи для
уравнения (4.1) состоит в однозначности определения из этого уравнения формы области интегри-
∂
рования Ω в (4.2). Если бы в уравнении (4.1) отсутствовала операция
∇ перед объемным потен-
z
∂
циалом, то мы бы получили досконально изученную задачу гравиметрии о единственности вос-
становления области интегрирования в ньютоновском потенциале по известным его значениям в
некоторой области G вне гравирующего тела Ω. Для сведения к этой задаче докажем, что по
∂
известному (из уравнения (4.1)) значению
∇ r)
в области G однозначно восстанавливается
z
∂
значение в этой области самого объемного потенциала P(r) в (4.2).
Предположим, что есть две конечные односвязные области Ω1 и Ω2, для которых оба объемных
потенциала:
dr′
dr′
P
1
(r):=
,
P
2
(r):
=
(4.3)
∫
∫
| r r′ |
| r r′ |
Ω
Ω
1
2
удовлетворяют уравнению (4.1), то есть имеют место соотношения:
Дефектоскопия
№ 10
2019
Обратная задача магнитостатики в полях насыщения
39
∂
∂
∇
P
(r)
=∇
P
(r),
r
∈G.
(4.4)
1
2
∂z
∂z
Выясним, при каких условиях можно при этом утверждать, что Ω1 = Ω2, то есть обратная зада-
ча для уравнения (4.1) разрешима однозначно. Из (4.4) следует, что для функции
Q(r):= P
(r) - P
(r)
(4.5)
1
2
будет выполнено
∂
∇
Q(r)
=
0,
r
∈G,
∂z
а потому (область измерения G тоже предполагается односвязной)
∂
Q(r) =C,
C =const,
r
∈G.
(4.6)
∂z
Функция Q(r) в (4.5) является, как разность двух объемных потенциалов, гармонической в
3
области
ℜ
\ (Ω
1
Ω
2
) , а потому таковой же является и функция ∂Q(r)/∂z. В силу свойства един-
ственности для гармонических функций [16, с. 89] из (4.6) вытекает, что тождество (4.6) выпол-
3
няется во всей неограниченной области
ℜ
\ (Ω
Ω
) . Учитывая выражение (4.5) для функции
1
2
Q(r) и тот факт, что объемные потенциалы на бесконечности стремятся к нулю вместе со своими
производными (см., например, [17]) , получаем, что C = 0, а потому
∂
3
Q(r)
≡
0,
r∈ℜ
\(Ω
Ω
).
(4.7)
1
2
∂z
3
Докажем отсюда, что Q(r) = 0,
r∈ℜ
\ (Ω
Ω
). Для этого окружим области Ω1 и Ω2 сферой
1
2
|r| = R большого радиуса R так, чтобы обе области Ω1 и Ω2 находились внутри этой сферы.
Докажем, что Q(r) =0 в точках этой сферы. Пусть A(x0, y0, z0)
— произвольная точка на ней. Без
ограничения общности считаем z0 ≥ 0. Рассмотрим сужение Q(r) на луч, исходящий из A сонаправ-
ленно с осью z: f(z) := Q(x0, y0, z), z
≥ z0. Тогда из (4.7) следует f′(z) = 0, а потому f(z) = C, C = const,
z ≥ z0. Учитывая упомянутое выше поведение объемных потенциалов на бесконечности, из (4.5)
получаем C = 0. Поэтому Q(x0, y0, z0) = f(z0) = 0, что и требовалось. Таким образом, на упомянутой
сфере
1
2
P
(r) ≡ P
(r), а потому это тождество будет выполнено во всех точках вне областей Ω1 и Ω2
(см. например, [18]):
3
P
(r) = P
(r), r∈ℜ
\ (Ω
Ω
).
(4.8)
1
2
1
2
Отметим, что для выполнения (4.8) достаточно (и, естественно, необходимо) выполнение
1
2
P
(r) ≡ P
(r) в любой сколь угодно малой окрестности произвольной точки из области
3
1
2
ℜ
\ (Ω
Ω
). Это сразу же следует из упомянутого выше свойства единственности для гармони-
ческих функций.
5. КЛАССЫ ОДНОЗНАЧНОСТИ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ МАГНИТОСТАТИКИ
В ПОЛЯХ НАСЫЩЕНИЯ
Установленная в предыдущем разделе эквивалентность условий (4.4) и (4.8) позволяет свести
вопрос единственности восстановления в полях насыщения формы ферромагнетика (или формы
полости в нем) к хорошо изученному вопросу единственности восстановления формы гравирую-
щего тела по измерениям гравитационного поля вне его. В этом плане остается ответить на следу-
ющий вопрос: к каким классам областей должны принадлежать тела (точнее, односвязные обла-
сти, ими занимаемые) Ω1 и Ω2, чтобы была справедлива импликация
3
Ω
≠Ω
⇒P
(r) ≠ P
(r), r∈ℜ
\ (Ω
Ω
).
(5.1)
1
2
1
2
1
2
Этот вопрос, как было сказано выше, хорошо изучен, перечислим эти классы с соответствую-
щими ссылками.
1. Тела Ω1 и Ω2 не пересекаются (и даже не имеют общих граничных точек):
Ω
Ω
=∅
1
2
(см. [19], [20]).
Дефектоскопия
№ 10
2019
40
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
Далее рассмотрим классы пересекающихся областей.
2. Тела Ω1 и Ω2 звездны относительно некоторой общей внутренней точки (Теорема Новикова
[21]).
Напомним, что область называется звездной относительно некоторой своей точки, если любой
исходящий из нее луч пересекает ее границу только в одной точке (или, что эквивалентно, любой
отрезок, соединяющий эту точку с произвольной точкой области, целиком ей принадлежит). Этот
класс областей включает и все выпуклые тела с общей внутренней точкой, поскольку выпуклые
области звездны относительно любой своей точки.
3. Общая часть
Ω
Ω
звездна относительно какой-либо своей точки [20].
1
2
Это (достаточно слабое) требование только на общую часть областей, а вне этой части форма
Ω1 и Ω2 может быть произвольной. Этот класс областей шире предыдущего.
4. Тела Ω1 и Ω2 обладают параллельными средними плоскостями и центр тяжести каждого из
них находится внутри своего тела (теорема Сретенского, [21, с. 44 ]).
По определению, область обладает средней плоскостью, если существует такая плоскость (она
и называется средней), что любая прямая, ей перпендикулярная, может пересекать границу обла-
сти только в двух точках, лежащих по разные стороны от этой плоскости.
Таким образом, свойство единственности для обратной задачи магнитостатики в полях насы-
щения имеет место практически для всех встречающихся форм изделий и полостей в них.
6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И РАЗМЕРОВ ШАРОВОГО ФЕРРОМАГНЕТИКА
В НЕПРОЗРАЧНОЙ И НЕМАГНИТНОЙ СРЕДЕ
В качестве иллюстрации найдем решение прямой задачи для конфигурации, обозначенной в
заголовке, и покажем однозначность решения соответствующей обратной задачи. Затем (в следу-
ющем разделе) исследуем задачу об определении формы произвольного ферромагнитного тела
(или формы полости в нем) без всяких априорных предположений о ее геометрической принад-
лежности.
Пусть ферромагнитный шар Ω радиуса R помещен в постоянное поле насыщения
0
0
0
0
H
=
{
H
1
, H
2
, H
3
}
, после чего в нем возникла постоянная намагниченность насыщения
{
}
1
2
3
M=
M
, M
, M
. В этом случае справедливо соотношение (3.4) с той же правой частью, что в
3
уравнении (3.2). Найдем выражение для F(r) (r
∈ℜ
\
Ω ), вычисляя интеграл в левой части урав-
нения (3.4). Из этого уравнения следует, что
F(r) = ∇div J(r),
(6.1)
где
M
1
3
J(r):=
dr′=
dr′ ⋅M,
r∈ℜ
\ Ω
(6.2)
∫
∫
| r r′ |
| r r′ |
Ω
Ω
Сначала поместим начало декартовой системы координат в центр шара, в которой он задается
соотношением Ω = {r: |
r
|<
R}. Тогда, согласно [22],
3
1
4
πR
dr′=
,
r:= |r
|≥
R
∫
| r-r′ |
3r
Ω
Подставляя значение этого интеграла в (6.2) и выполняя, в соответствии с (6.1), операции ∇div,
получаем:
3
4πR
2
F r)
=
3(M⋅r)⋅r
-
r
⋅M
,
| r
|≥
R
(6.3)
5
3r
Рассмотрим теперь случай произвольного расположения декартовой системы координат,
0
0
0
0
в которой заданы постоянные внешнее поле
H
=
H
, H
, H
и намагниченность
{
1
2
3
}
M=
{
M
1
, M
2
, M
3
}
шарового магнетика радиуса R, центр которого задан радиус-вектором
r0 = {x0, y0, z0}. Совершая в (6.3) соответствующий сдвиг координат, получаем следующее выраже-
ние для F(r) в (6.1), зависящее от параметров шара x0, y0, z0 и R:
3
4πR
2
F r)
=
3
(
M⋅(r
−r
)
)
⋅(r
−r
)− |r
−
r
|
⋅
M
,
| r
−r
|≥
R
(6.4)
5
0
0
0
0
3|
r
−r
|
0
Дефектоскопия
№ 10
2019
Обратная задача магнитостатики в полях насыщения
41
Из (3.2), (3.4) и (6.4) имеем
3
R
2
0
3
(
M⋅(r
−r
)
)
⋅(r
−r
)− |r
−r
|
⋅M=
H r)−
H
,
| r
−r
|≥
R
(6.5)
5
0
0
0
0
3|r
−r
|
0
Векторное уравнение (6.5) эквивалентно трем скалярным уравнениям для определения искомых
параметров шарового магнетика x0, y0, z0 и R:
3
R
2
0
3
(
M⋅(r
−
r
)
)
⋅(x-x
)− |r
−r
|
⋅M
+H
=H
(r),
(6.6)
5
0
0
0
1
1
1
3|r
−
r
|
0
3
R
2
0
3
(
M⋅(r
−
r
)
)
⋅( y-y
)− |r
−r
|
⋅M
+H
=H
(r),
(6.7)
5
0
0
0
2
2
2
3|r
−
r
|
0
3
R
2
0
3
(
M⋅(r
−
r
)
)
⋅(z-z
)− |r
−r
|
⋅M
+H
=H
(r),
(6.8)
5
0
0
0
3
3
3
3|r
−
r
|
0
где
2
2
2
| r-r
0
|=
(x- x
0
)
+
(y- y
0
)
+
(z- z
0
)
,|r−r
0
|≥
R,
M⋅(r-r
0
)=M
1
(x-x
0
)+M
2
(y-y
0
)+M
3
(z-z
0
).
Из соотношений (6.6)—(6.8) видно, что при различных наборах параметров x0, y0, z0 и R, харак-
теризующих размер и положение шара, нельзя получить тождественных (в произвольной области
измерения G вне шара) компонент напряженности результирующего поля. Это говорит об одно-
значности решения соответствующей обратной задачи — определение этих параметров по резуль-
татам измерения результирующего поля. Практическое вычисление этих параметров требует в
общем случае измерения какой-либо компоненты результирующего поля в четырех точках и реше-
ния соответствующей системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными x0, y0, z0 и R, полу-
чаемой с использованием одного из уравнений (6.6)—(6.8).
7. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕГО ФОРМУ ФЕРРОМАГНЕТИКА ИЛИ ФОРМУ
ПОЛОСТИ В НЕМ
Нахождение формы ферромагнитного тела (или формы полости в нем) сводится к определе-
нию формы поверхности S, ограничивающей область тела (или область полости в нем) Ω, которая
фигурирует в качестве области интегрирования в уравнении (3.4) с известной функцией F(r) в
области измерения G. Предположим, что область Ω является звездной относительно некоторой
своей точки (ограничимся поиском областей такого вида), в которую поместим начало декартовой
системы координат. В этом случае уравнение искомой замкнутой поверхности S в сферической
системе координат (r, θ, φ) может быть задано в виде:
S: r= f(θ,ϕ),
θ∈ π],
ϕ∈ π),
(7.1)
где f(θ, φ) — искомая функция, определяющая форму поверхности S. В декартовой системе коор-
динат такая поверхность задается параметрически
S: x= f(θ,ϕ) sinθcosϕ, y
= θ,ϕ) sinθsinϕ, z
= θ,ϕ)cosθ
(7.2)
Применяя формулу Остроградского—Гаусса, с учетом (3.1) получаем, что
M
M
⋅
n
div
dr
′=-
dS
′
,
∫
∫
| r r′
|
|
r
−r′|
Ω
S
где n = n(r′) — вектор единичной внешней нормали к поверхности S в текущей точке интегриро-
вания r′. Тогда уравнение (3.4) можно переписать в виде:
M⋅
n
∇ψ
(r)
=-
F r),ψ
(r):
=
dS
′,
r
∈G
(7.3)
∫
|
r
-
r
′
|
S
Дефектоскопия
№ 10
2019
42
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
Преобразуем в (7.3) поверхностный интеграл в двойной (см., например, [23]) с учетом вида
задания поверхности S в (7.2). Вектор единичной нормали n = N / |N|, где N — вектор нормали,
который в случае параметрического задания (7.2) поверхности S имеет вид N ={A, B, C}, где
y z
z
x
x y
θ
θ
θ
θ
θ
θ
A≡ A(θ,ϕ):=
,
B≡B(θ,ϕ):=
, C≡C(θ,ϕ):=
,
(7.4)
y z
z
x
x y
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
где нижний индекс означает частную производную по соответствующей переменной. Находя из
(7.2) вид этих производных и подставляя их в формулы (7.4), получаем:
2
A= f(θ,ϕ)( f (θ,ϕ) sin
ϕ
θ
ϕ- θ,ϕ) sinθcosθcos
ϕ+ θ,ϕ) sin
θcosϕ),
(7.5)
2
B = f(θ,ϕ)( f (θ,ϕ) sin
θsin
ϕ- θ,ϕ) sinθcosθsin
ϕ- θ,ϕ)cosϕ),
(7.6)
θ
ϕ
2
C = f(θ,ϕ)( f (θ,ϕ) sin
θ
θ+ θ,ϕ) sinθcosθ).
(7.7)
Учитывая, что элемент площади в поверхностном интеграле
(7.3) имеет вид
2
2
2
dS′ = A
(θ′,ϕ′) + B
(θ′,ϕ′) +C
(θ′,ϕ′) dθ′d
ϕ′ , получаем выражение для ψ(r) из (7.3) через двойной
интеграл
2π π
[M
A(
θ′,ϕ′
)
+
M
B(θ′,ϕ′)+
M
C(θ′,ϕ′)]
1
2
3
ψ(r)
=
dθ′dϕ′,
(7.8)
∫∫
12
[g(x,y,z,θ′,ϕ′)]
0
0
где
2
2
2
g(x,y,z,θ,ϕ):= (x − f(θ,ϕ) sinθcos
ϕ)
+
(y - f(θ,ϕ) sinθsin
ϕ)
+
(z - f(θ,ϕ)cosθ)
,
(7.9)
а выражения для A(θ′, φ′), B(θ′, φ′), C(θ′, φ′) берутся из (7.5) — (7.7).
Вычисляя, в соответствии с (7.3), градиент от выражения (7.8) с учетом (7.9), получаем три
интегральных уравнения относительно искомой функции f(θ,φ), каждое из которых может быть
использовано для определения формы поверхности S тела или полости в нем:
2π π
[M
A(θ′,ϕ′)+
M
B(
θ′,ϕ′)+
M
C
(θ′,ϕ′
)]
1
2
3
⋅(x - f
(θ′,ϕ′) sinθ′cos
)
ϕ′ θ′
ϕ′ =
F
(r), r∈G,
(7.10)
∫∫
32
1
[g(x,y,z,
θ′,ϕ′)]
0
0
2π π
[M
A(θ′,ϕ′)+
M
B(
θ′,ϕ′)+
M
C
(θ′,ϕ′
)]
1
2
3
⋅
(y - f
(θ′,ϕ′) sinθ′sin
)
ϕ′ θ′
ϕ′ =
F
(r), r∈G,
(7.11)
∫∫
32
2
[g(x,y,z,
θ′,ϕ′)]
0
0
2π π
[
M
A(θ′,ϕ′)+
M
B(θ′,ϕ′)+
M
C(θ′
,ϕ′)]
1
2
3
⋅
(z - f
(θ′,ϕ′)cos
)
θ′ θ′
ϕ′ =
F
(r), r∈G,
(7.12)
∫∫
32
3
[g(x,y,z,θ′,ϕ′)]
0
0
где F1(r), F2(r) и F3(r) суть компоненты известной вектор-функции F(r) = {F1(r), F2(r), F3(r)} —
это правая часть (3.2) или (3.3) в конфигурации А или B соответственно, а g(x, y, z, θ, φ), A(θ′, φ′),
B(θ′, φ′), C(θ′, φ′) определены (7.9), (7.5)—(7.7).
Эти уравнения можно упростить выбором системы координат. Направим ось z вдоль посто-
янного внешнего поля H0, тогда в этой системе координат H0 = {0, 0, H0}, а M = {0, 0, M}, где
H0 := |H0|, a M := |M|. В соответствии с этим, подставляя в (7.8), (7.10) — (7.12) M1 = 0, M2 = 0,
M3 = M, получим:
2π π
C
(θ′,ϕ′)
ψ(r)
=
M
dθ′dϕ′,
r∈G,
∫∫
12
[g(x,y,z,θ′,ϕ′
)]
0
0
2π π
C
(
θ′,ϕ′)(
x - f
(θ′,ϕ′
) sinθ′cos
ϕ′)
M
dθ′dϕ′ =
F
(r) ,
r∈G,
(7.13)
∫∫
32
1
[g(x,y,z,
θ′
,
ϕ′
)]
0
0
Дефектоскопия
№ 10
2019
Обратная задача магнитостатики в полях насыщения
43
2π π
C(θ′,ϕ′)(y - f
(θ′,ϕ′) sinθ′sinϕ′)
M
dθ′dϕ′ =
F
(r),
r∈G,
(7.14)
∫∫
32
2
[g(x,y,z,θ′,ϕ′)]
0
0
2π π
C(θ′,ϕ′)(z - f
(θ′,ϕ′)cosθ′)
M
dθ′dϕ′ =
F
(r),
r∈G
(7.15)
∫∫
32
3
[g(x,y,z,
θ′,ϕ′)]
0
0
В этих уравнениях F1(r), F2(r), F3(r) суть компоненты вектор-функции F(r), которая для
конфигурации А имеет вид F(r) = 4π(H(r)-H0), а для B:
0
∂
1
F r)
= π(H
−H r))+
M
∇
dr′
∫
∂
| r-r′ |
1
zΩ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение кратко сформулируем основные результаты.
1. В рамках изучения обратной задачи магнитостатики в полях насыщения получено и иссле-
довано уравнение (3.4) для определения формы ферромагнитного тела или полости в нем.
2. Исследована проблема единственности решения сформулированной обратной задачи путем
ее сведения к досконально изученной обратной задаче гравиметрии для объемного потенциала.
В результате доказана однозначность определения из указанного уравнения формы ферромагнит-
ного тела или полости в нем для широкого класса практически встречающихся ситуаций.
3. В качестве важного иллюстративного примера получены аналитические формулы (6.6)—
(6.8) для определения результирующего поля ферромагнитного тела шаровой формы, помещенно-
го в поле насыщения. Показана возможность однозначного определения из этих формул положе-
ния и размеров шарового ферромагнетика в непрозрачной и немагнитной среде.
4. Получены интегродифференциальные уравнения (7.10) — (7.15), решения которых в доста-
точно общих случаях определяют форму ферромагнитного тела или полости в нем без априорного
предположения о принадлежности занимаемых ими областей какому-либо конкретному геометри-
ческому классу.
Работа выполнена в рамках государственного задания по теме «Квант» («Quantum»)
№ АААА-А18-118020190095-4 и при поддержке проекта №18-10-2-8 Программы УрО РАН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Печенков А Н., Щербинин В.Е. Некоторые прямые и обратные задачи технической магнитостати-
ки. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2004. 177с.
2. Печенков А.Н., Щербинин В.Е. О решении обратной задачи магнитостатической томографии //
Дефектоскопия. 2009. № 3. С. 37—55.
3. Печенков А.Н., Щербинин В.Е. К вопросу о неединственности решения обратной задачи магни-
тостатической дефектоскопии // Контроль. Диагностика. 2006. № 9. С. 59—60.
4. Печенков А.Н. О влиянии формы тела на единственность решения обратной задачи магнитоста-
тической дефектоскопии // Дефектоскопия. 2006. № 10. С. 24—26.
5. Дякин В.В. Прямая и обратная задача магнитостатики // Дефектоскопия. 1996. № 3. С. 3—6.
6. Dyakin V.V. , Kudryashova O.V., Raevskii V.Y. On the Well-Posedness of the Direct and Inverse
P. 687—697. [Дякин В.В., Кудряшова О.В., Раевский В.Я. К вопросу о корректности прямой и обрат-
ной задачи магнитостатики. Часть 2 // Дефектоскопия. 2018. № 10. С. 15—24.]
7. Реутов Ю.Я., Гобов Ю.Л., Лоскутов В.Е. О возможностях использования программы ELCUT
в расчетах по дефектоскопии // Дефектоскопия. 2002. № 6. С. 34—40.
8. Загидулин Р.В, Дякин В.В., Дударев М.С., Щербинин В.Е. К определению геометрических разме-
ров поверхностного дефекта // Физические методы и приборы НК. Тезисы докладов X Уральской науч-
ной технической конференции. Ижевск. 1989. С. 83.
Russian Journal of Nondestructive Testing. 2017. V. 53. No. 11. P. 765—771. [Новослугина А.П.,
Смородинский Я.Г. Расчетный способ оценки параметров дефектов в сталях // Дефектоскопия. 2017.
№ 11. С. 13—19.]
Дефектоскопия
№ 10
2019
44
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
10. Дякин В.В., Раевский В.Я., Кудряшова О.В. Поле конечного дефекта в пластине // Дефектоскопия.
2009. № 3. С. 67—79.
11. Кротов Л.Н. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению маг-
нитного поля рассеяния. 1. Исследование свойств решения вспомогательной прямой задачи //
Дефектоскопия. 2004. № 2. С. 76—82.
12. Кротов Л.Н. Реконструкция границы раздела сред по пространственному распределению маг-
нитного поля рассеяния. 2. Постановка и метод решения обратной геометрической задачи магнитоста-
тики // Дефектоскопия. 2004. № 6. С. 36—44.
13. Слесарев Д.А., Барат В.А., Чобану П.М. Снижение погрешности статистического метода оценки
параметров дефектов в магнитной дефектоскопии // Дефектоскопия. 2012. № 1. С. 69—74.
14. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наукова
думка, 1986. 279 с.
15. Дякин В.В. Математические основы классической магнитостатики. Екатеринбург: РИО УрО
РАН, 2016. 403 с.
16. Тиман А.Ф., Трофимов В.Н. Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968. 207 с.
17. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.
18. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гипербо-
лические уравнения и уравнения переноса) // Матем. заметки. 1973. Т. 14. № 5 . С. 755—767.
19. Антонов В.А., Тимошкова Е.И., Холшевников К.В. Введение в теорию ньютоновского потенциа-
ла. М.: Наука, 1988. 269 с.
20. Прилепко А.И. Об обратных задачах теории потенциала // Дифф. уравнения. 1967. Т. 3. № 1.
С. 30—44.
21. Алексидзе М.А. Приближенные методы решения прямых и обратных задач гравиметрии. М.:
Наука, 1987. 334 с.
22. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 800 с.
23. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: Наука, 1966.
656 с.
Дефектоскопия
№ 10
2019
