УДК 620.179.17
ВОССТАНОВЛЕНИЕ АМПЛИТУД ИЗЛУЧЕНИЯ ДЕФЕКТА ПО СИГНАЛАМ
АКУСТИЧЕСКОЙ ЭМИССИИ НА СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕ
МАССИВНОГО ТЕЛА
© 2019 г. В.Н. Беркович1,*, С.И. Буйло2,**
1Донской казачий государственный институт пищевых технологий и бизнеса (ДКГТПТиБ) (филиал)
Московского государственного университета технологий и управления им. К.Г. Разумовского
(Первый казачий университет), Россия 344007 Ростов-на-Дону, ул. Семашко, 55
2Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального
университета (ЮФУ), Россия 344090 Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8А
E-mail: *vberkovich@mail.ru**bsi@math.sfedu.ru
Поступила в редакцию 26.12.2018; после доработки 19.02.2019;
принята к публикации 01.03.2019
Рассмотрена задача динамической теории упругости об установившихся колебаниях в массивном упругом теле, на-
ходящемся на стадии предразрушения материала в условиях антиплоской деформации. Исследован процесс излучения
акустической эмиссии (АЭ) на стадии накопления дефектов, представляющих собой конечный древовидный граф, на-
правленный к свободной границе упругого тела. Решена задача излучения дефекта в предположении активности его ча-
сти, ближайшей к границе тела. Для решения обратной задачи восстановления амплитуд излучения дефекта по сигналам
АЭ использован вариационный подход.
Ключевые слова: акустическая эмиссия, граничное интегральное уравнение, диагностика, древовидный граф, мате-
матическая модель, неразрушающий контроль, обратная задача, предразрушающее состояние, смешанная краевая задача.
DOI:10.1134/S0130308219040031
Метод акустико-эмиссионной диагностики (АЭ) предразрушающего состояния материалов к на-
стоящему времени достиг уже такого уровня развития, который обеспечивает вполне удовлетвори-
тельную достоверность его результатов [1—6, 15]. Вместе с тем, достоверность АЭ метода можно
еще более увеличить, если использовать дополнительную информацию о связи параметров АЭ с фи-
зико-механическими аспектами растущих дефектов. Существенный интерес в решении этой пробле-
мы представляет моделирование процесса излучения АЭ на стадии развития и накопления дефектов.
Решение этой проблемы предполагает 2 этапа: первый — построение физико-математической
модели взаимосвязи между акустическими откликами (смещениями) свободной поверхности тела
на акустическое излучение внутреннего дефекта и параметрами этого излучения, второй этап —
построение физико-математической модели взаимосвязи между акустическими откликами сво-
бодной поверхности и электрическими сигналами АЭ, регистрируемыми приемным устройством
(пьезодатчиком) на поверхности исследуемого тела.
Цель работы — моделирование возможности оценки амплитуд излучения растущего дефекта
по регистрируемым параметрам АЭ на поверхности тела на основе физико-математической моде-
ли взаимосвязи между акустическим откликом свободной поверхности тела на акустическое из-
лучение дефекта внутри тела.
Таким образом, в настоящей работе рассматривается первый этап вышеописанной проблемы,
который приводит к постановке следующей задачи.
1. Будем рассматривать смешанную задачу динамической теории упругости об установивших-
ся гармонических колебаниях пространственного сдвига (антиплоские колебания) упругого полу-
пространства Ω с системой N линейных дефектов, формирующих звенья древовидного графа, мо-
делируемых с помощью разрезов Jkm конечной длины lkm (k, m = 1,2, …, N), составляющих углы αkm
со свободной границей Г полупространства (рис. 1).
Предполагается, что колебания упругой среды возбуждаются источниками Uz (x, y, t) = f (x, y)×
±
×exp(-iωt), локализованными лишь на берегах A0A1 ближайшего к свободной границе Г звена
J
01
(разреза) древовидного графа J.
На бесконечности предполагается выполнение условий излучения Зоммерфельда. В условиях
установившихся колебаний ставится задача восстановления амплитуд излучения дефекта с по-
мощью волнового поля смещений на свободной границе полупространства Ω.
Как известно, явление АЭ связано с процессом перестройки внутренней структуры материала
на микроуровне и сопровождается высвобождением упругой энергии в окрестности дефекта, по-
16
В.Н. Беркович, С.И. Буйло
Г
α01
α12
X
h
a01
A0
a12
l01
l
l
12
22
A1
A2
Ω
l23
l33
l31
A3
l34
Y
Рис. 1. Древовидный дефект J в полупространстве Ω. Смещения ⊗ перпендикулярны плоскости чертежа.
рождающей колебания берегов линейного дефекта, амплитуды которых, вообще говоря, неизвест-
ны. Размещение источников колебаний смещений на берегах трещины является целесообразным
элементом математического моделирования.
Математическое моделирование рассматриваемого процесса сводится к решению системы
дифференциальных уравнений динамической теории упругости (например, [7] и др.), для которых
осуществляется постановка смешанной краевой задачи о колебаниях упругого полупространства
Ω со свободной границей Г и системой разрезов Jnm конечной длины, формирующих древовидный
граф. Представление результирующего колебания в виде
U (x, y, t) = u (x, y) exp(-iωt)
позволяет свести поставленную проблему к краевой задаче для уравнения Гельмгольца в Ω с раз-
резами Jnm и однотипными граничными условиями относительно комплексных амплитуд u(x, y)
смещений точек полупространства:
2
2
2
-1
D +k
u
=
0,
k
=ω
Dµ
,
f
x,
y
,
(x,
y)∈J
(1)
∂u
∂u
1
1
(
)
01
=
0,
[u]
=
0,
-iku
=
0
,
u
±
=
J
J
∂ν
nm
∂ν
s
nm
0, (x,
y)∈J
,
n,m
>1
nm
Γ
В соотношениях (1) D — плотность материала, μ — модуль сдвига, ν — внешняя нормаль к
границе, [u]J — скачок функции на разрезе J.
Метод исследования краевой задачи (1) основан на ее сведении с помощью построения функ-
ции Грина к системе граничных интегральных уравнений относительно неизвестных скачков qnm(ρ)
нормальной производной неизвестной амплитуды смещений u на разрезе Jnm.
В соотношениях (2) третье равенство в последней строке представляет условие излучения Зом-
2
2
мерфельда [7] при
s= x
+y
→∞.
Для восстановления требуемого поля смещений необходимо определить скачки нор-
мальной производной неизвестных функций (безразмерные скачки амплитуд напряжений)
-1
∂u
µ
=
q x,
y),(x, y)∈Jnm на разрезах Jnm соответственно.
nm
∂ν
Jnm
Функция Грина строится методами интегральных преобразований, удовлетворяет первому гра-
ничному условию задачи и представляется в форме функции Макдональда Kν(z) [8]:
±
2
2
G(x, y |ξ,η)= K
(κR )+ K
(κR+), R
=
(x
-ξ)
+(y
η)
,
κ = -ik ,
(2)
0
0
где (x, y) — точка «наблюдения». Использование представления регулярного решения уравнения
Гельмгольца приводит к следующим выражениям комплексных амплитуд смещений u(x, y) полу-
Дефектоскопия
№ 4
2019
Восстановление амплитуд излучения дефекта по сигналам акустической эмиссии...
17
пространства Ω в форме криволинейных интегралов по «правым» берегам разрезовJ+ (при об-
ходе древовидного разреза в положительном направлении):
N
Mn
u x,
y)
=
G x,
y
|ξ,η)q
(ξ,η)dl,
(x,
y)∈ Ω
(3)
nm
∑∑ ∫
n=0
m=n
+
J
nm
В сумме (3) Mn — количество дефектов, исходящих из узлов ломаной An. Устремляя в указан-
ных выше равенствах точку «наблюдения» (x, y) на берега разрезовJ+ и переходя к локальным
координатам (r, ρ) вдоль берегов разрезов, приходим к системе граничных интегральных уравне-
ний (ГИУ), которые в сокращенной матрично-векторной записи имеют вид:
M
l
N
n nm
Kq
(r)
=
k
(
r,r
)
•
q
(r)
d
r=
f
(r)
,
0
≤
r
≤
max
{
l
}
,
(4)
∑∑∫
nm
nm
nm
n
=0
m=n
0
*
k
n
(
r
,r
)
=
h
n
(
r,r
)
+
h
n
(
r
,
r
)
=
{
k
nm
(
r
,r
)
,
r∈J
n
,
r∈
J
m
}
,
n
=
1,2, ...,
N
,
m
=
1,2, ...,
M
;
n
f r)
,
r∈J
∂u
1
01
-1
f
(r)
=
;
q
(r)
=
{
q
(r)
,
r∈
J
;
q
(
r
)
=µ
;
nm
nm
}
nm
0,
r∈J
,
n
,m
>1
∂
ν
nm
J
nm
+∞
1
h
(
r
,r
)
=
K
(
κ
r
)
K
(
κr
)
H
(u)
du
,
κ=-
ik
;
n
∫
-iu
-iu
n
(5)
π
-∞
+∞ +∞
*
1
*
h
(
r
,
r
)
==
K
(
κ
r
)
K
(
κr
)
K
(
κ
)
M H u)
dηdη′
;
n
2
∫∫
-iη
-i
η′
-i
(
η-η ′
)
n
π
-∞ -∞
*
*
H
(u)
=
H
(
u
a
,
a
,...,
a
),
H
(u)
=
H
(
u
l
,
l
,...,
l
; a
,
a
,...,
a
);
n
n
1
2
N
n
n
1
2
N
1
2
N
M
=
M
(
l
,
l
, ...,
l
; a
,
a
,...,
a
).
n
n
1
2
N
1
2
N
*
Элементы матриц-функций
H
,
H
, а также параметр Mn в данной работе не приводятся вви-
n
n
ду их громоздкости. Компонентами векторов ln являются длины звеньев, выходящих из одного
узла ломаной, а векторов αn — углы, которые составляют эти звенья с положительным направ-
лением оси X. Их выражения, в частности, для случая 2-х пересекающихся дефектов конечной
длины приведены в [11]. Остальные составляющие могут быть восстановлены c помощью функ-
ции Грина (2) в процессе ее построения методом отражений от свободной поверхности полупро-
странства Ω для каждого звена древовидного графа. В соотношениях (4), (5) функция K-in(κr) —
модифицированная функция Бесселя. Исследование вопросов однозначной разрешимости ГИУ
и построение решения полученной системы ГИУ (4) также дано в [11] и основано на применении
методов [9, 10].
2. Для постановки и решения обратной задачи восстановления искомых параметров излучаю-
щего дефекта используем эквивалентную вариационную [13] постановку краевой задачи (1), сво-
дящуюся к отысканию точек стационарности функционала Гамильтона—Остроградского и введем
функционал действия H(u):
t
2
t
2
H
(
U
)
=∫a
(U
)
dt -∫b(
U
)
dt
,
U =U x,y,t),
∀t
>t
>
0
;
2
1
t1
t
1
2
1
∂U
a
(U
)
=
W
(U
)
d
Ω
,
b
(
U
)
=
D
dΩ
,
∫∫
∫∫
2
∂
t
Ω
Ω
Дефектоскопия
№ 4
2019
18
В.Н. Беркович, С.И. Буйло
где W(U) — упругий потенциал, D — плотность однородной области Ω. Известно, что из условия
стационарности δH(U) = 0 функционала Гамильтона—Остроградского вытекают все соотношения,
определяющие начально-краевую задачу для системы уравнений теории упругости.
Для случая установившихся колебаний U(x, y, t) = u(x, y)exp(-iωt) в силу произвольности мо-
ментов времени t2 > t1 условие стационарности функционала H(U) приводит к условию мини-
1
2
2
мума функционала
Ψ(g)
=
a g)+
ω
D∫∫g
d
Ω>
0,
где g — действительная либо мнимая части
2
Ω
комплексной амплитуды u(x, y).
Для построения приближенного представления комплексных амплитуд смещений среды вме-
сто древовидного графа рассмотрим случай только одного излучающего дефекта J и будем отыски-
вать комплексные амплитуды смещений u = u1 + iu2, приближая последние линейными комбинаци-
ями вида:
N
u x,
y
)
≈
Aϕ x,
y)
=
u x,
y);
∑
n n
N
n=1
(6)
-
+
2
2
ϕ
(x,
y)
=
K
(
κR
) +
K
(κR
),
R
=
(x
-ξ
)
+(
y
η
)
,
(ξ
,η
)∉ Ω,
n
0
n
0
n
n
n
n
n
где An подлежат определению. Можно доказать [12], что система квадратично суммируемых
функций {
ϕ x,
)},
1,2, ...
y
n=
обладает свойством полноты в любой конечной подобласти Ω*⊂ Ω,
n
если последовательность точек (ξn, ηn) имеет точку сгущения при n→∞. Это означает, что при-
ближение линейными комбинациями (6) можно осуществить с любой степенью точности, и, в
частности, в смысле Ψ(u - uN) < ε, где ε сколь угодно мало, когда N достаточно велико. Условие
δΨ(u) = 0 есть условие минимума функционала Ψ(u), который достигается на точном решении
задачи.
Неизвестные коэффициенты An будем отыскивать из условий минимума функционала
Ψ(u - uN), используя полную систему функций {
ϕ x,
)},
1,2, ...
n
y
n=
, которые удовлетворяют гра-
∂ϕ
n
ничному условию
=
0.
∂νΓ
∂Ψ(u-u
)
N
Приравнивая нулю производные
=
0,
n
=1,2, ...,N
и преобразуя левые части по-
∂An
лученных уравнений с помощью формул Грина, а также учитывая, что выбранные функции φn(x, y)
удовлетворяют уравнению (1), граничным условиям и условиям на бесконечности краевой задачи
(1), приходим к следующей системе линейных алгебраических уравнений для отыскания неиз-
вестных An:
N
∂ϕ
∂ϕ
m
m
(7)
∑
A
n
ϕ
n
dl
-
f
dl
=
0,
m
=
1,2, ...,N
∫
∫
n=1
∂ν
∂ν
J
J
Однозначная разрешимость уравнений (7) вытекает из однозначной разрешимости системы
ГИУ (4). Подставляя найденные Aj = Aj(f | l, α) как линейные функционалы от амплитуды f сигна-
лов, излучаемых дефектом в выражения смещений (6) свободной поверхности Г, получим инте-
гральное соотношение связи неизвестных амплитуд смещений f, распределенных на дефекте J с
амплитудами измеренных смещений u|Г = f *свободной поверхности.
Для восстановления амплитуд f излучения дефекта на основе результатов измерений f *(xm,0),
∂ϕ
m
m = 1,2, …, M достаточно представить интеграл
f
dl
в виде конечной суммы с помощью ква-
∫
∂ν
J
дратурной формулы, а затем применить известные процедуры метода наименьших квадратов для
оценки параметров функции смещений свободной поверхности y = 0:
2
M N
*
A
(
f
,
f
,
f
,...,
f
l,
a)ϕ
(x
,0) -
f
(x
,0)
→
min,
∑
∑
n
1
2
3
P
n k
k
k
=1
n
=1
где f1, f2, f3, …, fP — значения амплитуд f в узлах квадратурной формулы для контура J+. Восста-
новленные амплитуды позволяют восстановить также и амплитуды скачков напряжений q(ρ) на
дефекте J с помощью ГИУ (4) .
Замечание. Для восстановления параметров излучения древовидного дефекта в уравнениях
N
M
n
(7) следует положить
J
=
J
nm
и провести аналогичные рассуждения.
n
=1
m=n
Дефектоскопия
№ 4
2019
Восстановление амплитуд излучения дефекта по сигналам акустической эмиссии...
19
3. Построение рассмотренной выше математической модели приводит к наличию трансля-
ционной симметрии в направлении пространственной координаты z, чего вообще-то не должно
быть для материала с древовидным дефектом, и является побочным эффектом моделирования.
Вместе с тем исследования авторами вопросов анализа сигналов АЭ от дефектов в массивных
телах и конструкциях показали, что, несмотря на отсутствие трансляционной симметрии, име-
ет место удовлетворительное совпадение качественных результатов экспериментальных ис-
следований с теоретическими, полученными на основе использования модели колебаний про-
странственного сдвига.
Как показывает опыт численного решения обратных задач механики для упругих тел [14], наи-
большая эффективность процедур восстановления искомых параметров достигается при значении
частот ω, близких к резонансным. В случае АЭ от дефектов на указанных частотах мощность по-
тока излучаемой энергии через свободную поверхность будет наибольшей. Поэтому, в заключение,
аналогично [15] приведем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) акустических откликов
(смещений) свободной поверхности (рис. 2), построенную на основе предложенной модели при
имитационном моделировании акустического излучения в полупространстве от одного внутрен-
l
sinkr
него линейного дефекта J длины l с амплитудой
Re
{
u
}
=
f r)
=
,
где r — локальная
J
r
sinkl
координата, связанная с границей дефекта J, а в качестве упругих характеристик математической
модели выбирались характеристики Стали 20.
A, м
10-4
10-5
1
10-6
10-7
2
10-8
10-9
0
2,0
4,0
f, МГц
Рис. 2. Частотная характеристика амплитуды смещения свободной поверхности:
1 — α = 1°, l = 5,0 · 10-4 м; 2 — α = 45°, l = 1,5 · 10-3 м. Материал — Сталь 20.
Для построения указанной выше характеристики осуществлялось аналитическое построение
приближенного решения ГИУ (5) для случая одного дефекта (n = 1, N = Mn = 1). Полученное ре-
шение (скачок напряжений на дефекте) подставлялось в выражение (3) смещений свободной по-
верхности, а затем проводился численный анализ. На рис. 2. показано изменение амплитуды АЭ в
точке свободной поверхности в зависимости от угла α наклона и длины l дефекта J. Бесконечные
разрывы графика соответствуют резонансным частотам и связаны с отсутствием поглощения в
среде, моделируемой упругим полупространством. В экспериментах по регистрации сигналов АЭ
для реальных упругих материалах на месте бесконечных разрывов АЧХ находятся максимумы ам-
плитуд сигналов.
Рассмотрение второго этапа моделирования (с учетом АЧХ приемного датчика АЭ), представ-
ляет собой самостоятельную достаточно сложную проблему, которая выходит за рамки настоящей
работы и связана с построением математической модели динамики пьезоупругой накладки на сво-
бодной поверхности полупространства.
Таким образом, предлагаемая модель позволяет исследовать связь параметров акустического
излучения дефекта внутри тела с параметрами акустического сигнала (смещения) на его поверх-
ности, что может быть использовано при решении задач повышения достоверности результатов
АЭ-диагностики.
Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ (Проект № 9.4726.2017/8.9).
Дефектоскопия
№ 4
2019
20
В.Н. Беркович, С.И. Буйло
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Буйло С.И. Физико-механические, статистические и химические аспекты акустико-эмиссионной
диагностики. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 184 с.
2. Иванов В.И., Барат В.А. Акустико-эмиссионная диагностика. М.: Спектр, 2017. 368 с.
3. Акустико-эмиссионный контроль авиационных конструкций / Под ред. Л.Н. Степановой и
А.Н. Серьезнова. М.: Машиностроение-Полет, 2008. 440 с.
4. Буйло С.И. Физико-механические и статистические аспекты повышения достоверности результа-
тов акустико-эмиссионного контроля и диагностики. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2008. 192 с.
5. Буйло С.И. Диагностика предразрушающего состояния материалов по параметрам амплитудно-
го распределения сигналов сопутствующего акустического излучения // Дефектоскопия. 2012. № 11.
С. 32—45.
6. Builo S.I. Physical, Mechanical and Statistical Aspects of Acoustic Emission Diagnostics / In: Physics
and Mechanics of New Materials and Their Applications. New York: Nova Science Publishers. Chapter 15.
2013. 444 p.
7. Рекач В.Г. Руководство к решению задач по теории упругости. М.: Высшая школа, 1977. 275 с.
8. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.—Л.: Наука, 1968. 358 с.
9. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вло-
жения. М.: Наука, 1975. 478 с.
10. Беркович В.Н. О точном решении одного класса интегральных уравнений смешанных задач
упругости и математической физики // Докл. АН СССР. 1982. Т. 267. № 2. С. 327—330.
11. Беркович В.Н. Акустическое излучение в упругой среде от внутреннего дефекта с изломом //
Международ. научн.-иссл. журнал. 2018. № 3. С. 11—14.
12. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. М.: Физматгиз, 1963. 472 с.
13. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука. Главное изд-во физ.-
мат. лит., 1970. 512 с.
14. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Прямые и обратные задачи для однородных и неоднородных упру-
гих и электроупругих тел. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2008. 175 с.
15. Трипалин А.С., Буйло С.И. Акустическая эмиссия. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ, 1986. 159 с.
Дефектоскопия
№ 4
2019