УДК 620.179.16
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРЕЩИНЫ В УПРУГОМ СЛОЕ
© 2020 г. А.О. Ватульян1,*, О.В. Явруян1,2,**
1Южный федеральный университет, Россия 344000 Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8а
2Южный математический институт ВНЦ РАН, Россия 362001 Владикавказ, ул. Ватутина, 53
E-mail:*vatulyan@aaanet.ru; **yavruyan@mail.ru
Поступила в редакцию 03.08.2020; после доработки 27.08.2020
Принята к публикации 04.09.2020
Рассмотрена обратная геометрическая задача идентификации внутреннего криволинейного дефекта в ортотропном
упругом слое. Идентификация параметров дефекта (местоположение, глубина залегания, размер, ориентация) осущест-
влена по данным акустического анализа полей смещений и их характеристик, измеренных на части верхней границы
слоя. Рассматривается установившийся режим колебаний и два случая ― антиплоские и плоские колебания полосы.
Предложен эффективный асимптотический подход к исследованию прямой и обратной задач для трещин малого отно-
сительного размера. Предлагаемая схема позволяет существенно упростить решение прямой задачи и свести решение
обратной задачи к нахождению параметров дефекта из трансцендентных уравнений. Представлены численные резуль-
таты вычислительных экспериментов.
Ключевые слова: слой, трещина, идентификация, колебания, асимптотический метод, установивший режим,
упругий.
DOI: 10.31857/S0130308220100048
ВВЕДЕНИЕ
Постоянное усиление требований к надежности и безопасности работы оборудования про-
мышленного и ответственного назначения предопределяет широкое применение приборов не-
разрушающего контроля качества и стимулирует развитие математических схем и методик об-
работки данных, полученных с их использованием.
Существующие современные методы неразрушающего контроля хорошо себя зарекомендо-
вали в задачах обнаружения дефектов в телах и элементах конструкций. Это ультразвуковые,
радиоволновые, тепловые, радиационные, магнитные методы [1―5].
Ультразвуковой контроль занимает лидирующую позицию среди методик неразрушающего
контроля [6]. Ультразвуковые методики сводятся к последующей математической обработке по-
лученного сигнала, который несет в себе информацию о внутренних дефектах, и установлении
математической связи между выходными измеренными и аналитическими данными.
С математической точки зрения задачи обнаружения дефектов в телах и конструкциях сво-
дятся к определению геометрических параметров
В настоящий момент прямые и обратные задачи обнаружения дефектов в конечных телах
изучены достаточно подробно. В отдельную категорию работ можно отнести исследования об-
ратных задач идентификации дефектов в стержневых и балочных элементах [7―11], пластинах
[12, 13]. Подобный интерес обусловлен широким использованием соответствующих элементов в
различных конструкциях, а также возможностью апробировать предлагаемые схемы для иссле-
дований тел с более сложной геометрией.
Рассмотрены как статические [6], так и динамические задачи для балочных и стержневых
элементов с дефектами [7, 8]. В большинстве работ в случаях динамического нагружения рекон-
струкция дефектов осуществляется по значениям собственных частот или АЧХ при продольных,
крутильных или поперечных колебаниях стержней.
В [13] разработана специальная модель Кригинга для прогнозирования местоположения тре-
щины на лопасти ветряной турбины с использованием спектральных сдвигов в резонансных пи-
ках лопасти.
Эффективная методика, предложенная в [14], для идентификации трещины (одной или не-
скольких), лежащей в некоторой плоскости, характеризующейся конечным числом параметров,
предложена в работах [14―16]. В работе [17] эта концепция развита для идентификации плоских
трещин в рамках трехмерной линейной теории упругости. Для увеличения точности расчетов
авторы использовали полиномиальные тестовые функции вместо рядов Фурье.
40
А.О. Ватульян, О.В. Явруян
Следующий широкий класс актуальных задач идентификации дефектов можно выделить в те-
лах, содержащих бесконечно удаленную точку, ― слоистые композиты, цилиндрические волново-
ды и т.д. [18―23]. Решение этого класса задач связано с использованием методов граничных ин-
тегральных уравнений с последующим обращением к оптимизационным алгоритмам для решения
обратных задач. Однако стоит отметить, что процедура минимизации функционала невязки свя-
зана с многократным обращением к решению прямой задачи, что представляет собой достаточно
сложную вычислительную и затратную задачу. При этом решение обратной задачи существенно
упрощается при наличии некоторой априорной информации о характере трещины (форма, размер,
локация), в частности, для трещин малого относительного размера. Основу такой упрощенной по-
становки составляет асимптотический анализ проблемы.
Так, в работах [24―25] обратные задачи идентификации дефектов решались с помощью асим-
птотического разложения поля в дальней зоне.
Стоит отметить, что обратные задачи идентификации множественных дефектов (двух и более)
исследованы значительно меньше, нежели одиночные. Как правило, схемы исследования одиноч-
ных дефектов прикладываются к случаю нескольких дефектов (количество дефектов известно),
при этом предполагается, что каждый отдельный дефект из серии дефектов представляет собой
малый дефект и находятся они «далеко» друг от друга [26―27].
Асимптотический анализ волновых полей в ортотропной полосе с дефектом осуществлен в ра-
ботах [21, 22, 28―30]. В работе [21] рассмотрена упругая полоса, ослабленная «малой» полостью.
Решена прямая и обратная задачи на базе асимптотического анализа проблемы. В [22] исследована
задача об идентификации прямолинейной трещины малой относительной длины в вязкоупругом
слое. В [29] рассмотрена задача идентификации прямолинейной трещины в слое, в [30] ― на стыке
двух полуслоев.
Асимптотический анализ прямой и обратной задач об установившихся колебаниях слоя тол-
щины h с внутренним трещиноподобным дефектом длины l сводится к исследованию задачи от-
носительно безразмерных параметров ε1 = l/h, ε2 = ωh/c (c ― скорость бегущей волны в среде) и
ε3 = ωl/c = ε1ε2 (ω ― частота колебаний). Стоит отметить, что при решении обратной задачи следует
рассматривать случай, когда в слое имеются бегущие волны, т.е. ε2 ≥ ε* (ε* ― критическая частота).
В работе проводится исследование обратной задачи идентификации криволинейной трещины
в диапазоне изменения параметров ε1 << 1, ε2 ≥ ε*, что соответствует случаю трещин малых отно-
сительных размеров.
1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ СЛОЯ С ТРЕЩИНОЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ
КОНФИГУРАЦИИ
Рассмотрим задачу об установившихся колебаниях ортотропного упругого слоя S толщины h.
К части верхней границы слоя приложена нагрузка pj(x, t) = pj(x)e-iωt (ω ― частота колебаний),
нижняя грань слоя жестко защемлена. Слой ослаблен внутренней туннельной трещиной. Трещина
моделируется математическим разрезом, берега дефекта не взаимодействуют и свободны от на-
пряжений, поля перемещений на берегах трещины претерпевают скачки, и, согласно теории дис-
локаций, заменяются фиктивными массовыми силами fi, i = 1, 2, 3.
Исследуемая задача с учетом установившегося режима колебаний описывается краевой зада-
чей [29]:
σij, j + ρω2ui + fi = 0,
(1)
σij = Cijkl uk,l, fi = -[ Cijkl nk+χlδ(ζ)]j;
σi3|S
= pi, σi3 = 0, x∈S2 \ S20, ui|
= 0;
(2)
20
S1
σijnj±| ± = 0, i, j = 1, 2, 3,
(3)
S0
где S1, S2 ― верхняя и нижняя поверхности слоя; S0± ― берега трещины; ρ ― плотность среды;
Cijkl ― упругие характеристики среды; nj± ― компоненты единичных векторов нормали к берегам
трещины.
Прямая задача состоит в построении волновых полей смещений в слое при известных вход-
ных данных задачи (размеры и местоположение дефекта, возбуждающая нагрузка). При форму-
лировке полей смещений в дальней зоне используется принцип предельного поглощения [31].
Дефектоскопия
№ 10
2020
Асимптотический метод решения задачи идентификации криволинейной трещины...
41
Обратная задача реконструкции дефекта сводится к определению параметров поверхности тре-
щины по дополнительной информации о полях смещений измеренных на части верхней границы
слоя S21 в режиме частотного или позиционного зондирования:
u
(
x
,
ω
)
=g
(
x
,
ω
),
S
=
{x
∈ a,b],
x
=h}
, i = 1, 2, 3;
(4)
i
1
0
S21
i
1
0
21
1
3
u
(x
,ω)
=
f
(x
,ω),
Ω={ω∈[ω
,
ω
]}, i = 1, 2, 3.
(5)
i
10
Ω
i
10
1
2
Пусть оси упругой симметрии ортотропного материала совпадают с осями системы координат,
тогда исходная задача (1)―(5) распадается на две подзадачи ― задачу об антиплоских колебаниях
ортотропного слоя с трещиной произвольной конфигурации l, при этом ненулевая компонента поля
смещения ― u2 = u(x1, x3) и задачу о плоских колебаниях слоя с трещиной l, ненулевые компоненты
поля смещения ― u1 = u1(x1, x3), u3 = u3(x1, x3).
Не нарушая общности рассуждений, рассмотрим случай сосредоточенной нагрузки величины
p0, приложенной в точке верхней границы слоя.
2. РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ
На основании теоремы взаимности для упругого ортотропного слоя, с учетом построенных в
(m
[32] фундаментальных решений
U
)(
x,ξ)
и компонент тензора напряжений (сингулярных реше-
i
ний)σ(m)ij для упругой среды, построено интегральное представление поля смещения
s
(
m)
+
u
(ξ)
u
= ξ
+∫σ
(x,ξ)χ
n
dS
,
ξ∈S,
(6)
m
m
kl
l
k
x
l
в случае антиплоской задачи m, l, i = 2, k, j = 1, 3, для плоской задачи ― m, k, l, i, j = 1, 3.
s
В представлении (6) эталонное поле
(
)
u
ξ
характеризует поле смещения в среде без дефекта,
m
а интегральное слагаемое определяется наличием дефекта и несет в себе всю информацию о тре-
щине.
Наиболее эффективной схемой определения скачков является сведение задачи к решению си-
стемы граничных интегральных уравнений (ГИУ) [32].
В случае антиплоской задачи получаем одно граничное интегральное уравнение (ГИУ) относи-
тельно функции раскрытия трещины:
K x,
y χ(x)
dl
=F y),
y∈l
∫
x
(7)
l
В случае плоской задачи получаем систему ГИУ относительно компонент функции раскрытия:
K x,
y)χ x)dl
=F y),
y∈l
,
j,i= 1,3.
∫
ji
i
x
j
(8)
l
Стоит отметить, что ядра ГИУ (7) и (8) представляют собой контурные интегралы. Контур ин-
тегрирования σ выбирается из принципа предельного поглощения [31]. При этом подынтегральные
выражения содержат гиперсингулярную особенность и соответствующие интегралы перестают
существовать в обычном смысле, становятся расходящимися и понимаются в смысле конечного
значения по Адамару. Для выделения гиперсингулярной особенности в явном виде ядра подын-
тегральных выражений представляются в виде суммы гиперсингулярной (определяется функцио-
нальной особенностью подынтегрального выражения при α1→∞) и регулярной частей.
В случае трещины, допускающей параметризацию конечным числом безразмерных параметров
' 2
' 2
θm, m = 1… N, xj = qj(t, θm), yj = qj(τ, θm), t, τ∈[-1, 1] , q1(t), q3(t)∈C1[-1, 1],
q(t) = q
(t) + q
(t) ≠ 0,
1
3
одним из которых является параметр ε1, приходим к системе ГИУ следующего вида ―
для антиплоской задачи:
1
(1)
(2)
G t,τ)+
G t,τ)
+
K t,τ)
(t)q(t)
dt = F
(τ),
τ∈[ 1,1];
(9)
∫
2
1
(
t
−τ)
−1
Дефектоскопия
№ 10
2020
42
А.О. Ватульян, О.В. Явруян
2
(
νq′ τ)q′ t)-q′ τ)q′ t)
)
(1)
3
3
1
1
G t,τ)
= ν
;
2
q(τ)
(
νq
3
′ τ)q′ t)
3
+
q
1
′ τ)q′ t)
1
)
(
q
′ τ)q′ t) +
q′ τ)q′ t)
)
q′ t)q′ t)
(2)
3
1
1
3
1
3
G
(τ)
=
2ν ν
;
q
(τ)
(
νq
3
′ τ)q′ t)
3
+
q
1
′ τ)q′ t)
1
)2
(1)
(2)
ν=C
/C
, (t) = χ(x(t)), (τ) = F(y(τ)), G
,G
∈C([-1,1]×[-1,1]);
66
44
для плоской задачи:
1
ji
G t,τ)
(1)
+
K t,τ)
(t)q(t)dt = F (τ),
τ∈[ 1,1];
(10)
∫
2
ji
j
i
(t
−τ)
−1
2
-
'
'
m
∆ τ)
(1)
q
1
(τ)
q
3
(τ)
(2)
G t,τ)
=
2
M
(ν
,q'(t),q'(τ)) -4iν
M
(ν
,q'(t),q'(τ)),
ji
∑
2
ji
m
m
2
ji
m
+
+
m=1
(
∆ τ)
)
(
∆
(
τ
)
)
m
m
+
±
2
'
'
'
'
∆ τ)
≠
0,
τ∈[
−1,1];
∆ τ)
q
=ν τ)q t)
q
± τ)q t);
m
m
m
3
3
1
1
2
2
2
ν
= (γ
−2γ
γ
−γ
w) / (2γ
), w= (γ
−γ
)(γ
−γ
+4γ
(γ
+γ
));
1,2
1
7
5
7
5
7
1
7
1
5
5
7
(1)
t,τ)
(1)
τ)
t)
=χ x(t)),
=K x(t),y(τ)),
=F y(τ)),
j
j
ji
ji
i
i
(1)
(2)
M
ji
, M
ji
― гладкие функции, зависящие от безразмерных характеристик материала (γr, r = 1, 5, 7)
и от компонент вектора нормали в точках кривой.
В общем случае, системы ГИУ (9), (10) решаются с использованием метода граничных элемен-
тов, а также численных методов интегрирования гиперсингулярных интегралов. Подобная схема
решения достаточно громоздка и требует учета ряда параметров (количество и расположение точек
коллокаций, квадратурные схемы, численные методы решения систем линейных алгебраически
уравнений (СЛАУ), от которых зависит точность решения систем ГИУ.
3. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ
Асимптотический анализ задачи позволяет существенно упростить решение систем ГИУ и по-
лучить полуаналитические представления функций раскрытия трещины, что значительно сокра-
щает время расчета и упрощает дальнейшее решение обратной задачи идентификации. Предлага-
емый подход опирается на априорном предположении о малости относительного размера дефекта,
т.е. осуществляется при условии ε1→0. Асимптотический анализ систем ГИУ (9), (10) сводится к
процедуре линеаризации ГИУ относительно этого параметра и приводит к упрощенной системе
ГИУ с постоянными правыми частями и ядрами.
Рассмотрим для определенности случай, когда трещина моделируется кривой в классе окруж-
ностей, т.е. представляет собой дугу окружности в поперечном разрезе слоя вдоль оси дефекта.
Параметрическое уравнение такой кривой имеет вид:
x
1
=
Rcos(
θ
1
t
+θ
2
) +
x
1c
,
(11)
x
=
Rsin(
θ
t
+θ
) +
x
,
t
∈
[
−
1,1].
3
1
2
3c
В качестве характерных параметров выбраны следующие характеристики:
R,x
=
(x
, x
)
―
c
1c
3c
радиус окружности и координаты ее центра, определяющие местоположение дефекта относитель-
но точки приложения нагрузки (глубина залегания дефекта и его удаленность); θ1, θ2 ― «угловые»
параметры дефекта, определяющие угол дуги сегмента окружности и угол наклона прямой, со-
единяющей центр окружности и середину дуги, относительно нижней границы полосы. Если обо-
значить углы, ограничивающие рассматриваемую дугу окружности через t1, t2, то θ1 = (t2 - t1)/2,
θ2 = (t2 + t1)/2.
Дефектоскопия
№ 10
2020
Асимптотический метод решения задачи идентификации криволинейной трещины...
43
Основным параметром асимптотического анализа служит относительная длина дефекта, в слу-
чае дефекта вида дуги окружности подобным параметром является отношение полудлины дуги к
толщине слоя ε = ε1/h, ε1 = Rθ1. Асимптотический анализ ГИУ (9), (10) приводит к интегральным
уравнениям с постоянными правыми частями (знак волны в обозначениях опустим).
В случае антиплоской задачи получаем
1
G(θ
)
-1
2
ε
χ(t)dt = F(θ
,ξ
),
τ∈[ 1,1],
(12)
1
∫
2
2
c
(t
−τ)
−1
которое имеет решение в классе ограниченных функций вида:
F k,ξ
,θ
)
2
c
2
2
2
χ(t)
=ε
1−t
W k,ξ
,θ
),
W k,ξ
,θ
)
=
,
k
= ρω
/ C
(13)
1
0
c
m
0
c
2
44
G(θ
)π
2
Здесь и в дальнейших выкладках через ξ1c, ξ3c обозначены параметры дефекта, характеризующие
координаты середины трещины, определяющие расстояние средней точки трещины до осей Ox3 и
Ox1 соответственно:
ξ
=R
cos(θ
) +x
,
ξ
=R
sin(θ
) +x
1c
2
1c
3c
2
3c
Для плоской задачи имеем
1
G
(θ
)
−1
ji
2
ε
χ
(t)dt = F (θ
,ξ
),
τ∈[ 1,1],i,
j
=1,3.
(14)
1
∫
2
j
i
1,2
c
(t
−τ)
1
−
Система интегральных уравнений (14) имеет решения в классе ограниченных функций вида:
2
χ t)
=ε
1−t
W k,
θ
,
ξ
),
j=1,3;
(15)
j
1
0
j
m c
F k,ξ
,θ
)G
(θ
) −
F k,ξ
,
θ θ
G
(
θ
)
3
c
2
13
2
1
c
2
33
2
01
W k,ξ
c
,θ
2
)
=
(1↔
3);
G
(
θ
)
2
G
(θ
)
=
G
(θ
)G
(θ
)
−
G
(θ
)G
(θ
).
2
11
2
33
2
13
2
31
2
В рамках асимптотического анализа задачи компоненты полей смещений на верхней границе в
дальней зоне представимы в форме:
N
s
2
−i
α
n
x
1
−εx
1
u
j
(
1
x h)
=
u
j
(
1
x h)+ε
1
∑
jn
A k,ξ
c
,
θ
m
)
e
+O(e
),
m
=1,2.
(16)
n=1
В представлении (16) j = 2 для антиплоской задачи, j = 1, 3 для плоской, αn ― набор чисел,
имеющие конечное число N вещественных и счетное множество чисто мнимых значений. При этом
количество бегущих волн в слое зависит от волнового числа k и определяется числом N. Именно
эти моды колебаний несут основную информацию о дефекте и их исследование представляет осо-
бый интерес.
Стоит отметить, что в выражении (16) параметр ε1 разделен от остальных параметров дефекта,
что позволяет свести решение обратной задачи к последовательному определению характеристик
трещины.
На основе асимптотического подхода и общего подхода, основанного на методе ГИУ про-
ведены расчеты для слоя из аустенитной стали C66 = 0,8225, C44 = 1,29(×1011 Н/м2), ρ = 8,3
(×103 кг/м3), ν = 0,64. На рис. 1 изображены графики, определяющие точность расчета функции рас-
крытия криволинейной трещины, полученные при помощи МГИУ (χI) и асимптотического метода
(χА), в зависимости от параметра θ1 для антиплоской задачи, k = 6,0, параметры трещины: R = 0,1;
c
c
θ2 = π/3, (x
, x
) = (0,5, 0,5),
ε =
max
(χ
(t) −χ
(t)) / χ
(t)
χ
A
I
I
1
3
t∈[−1,1]
Как и следовало ожидать, с ростом параметра θ1 увеличивается относительная погрешность
расчета функции раскрытия. Далее, на рис. 2 приведены вещественная и мнимая части компонент
поля смещений для плоской задачи, полученные методом ГИУ и по асимптотическому методу,
k = 4,9, R = 0,1, θ1 = 0,01, θ2 =2π/3, ξc = (0,0, 0,5).
Дефектоскопия
№ 10
2020
44
А.О. Ватульян, О.В. Явруян
εχ
0,3
0,28
0,26
0,24
0,22
θ1,°
0
1
2
3
4
5
6
Re εχ
Im ε
χ
Рис. 1. Графики, характеризующие точность расчета функции раскрытия трещины при асимптотическом подходе
относительно метода ГИУ.
u1 (×10-6)
u3 (×10-5)
6
10
4
5
2
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
x
x
0
–2
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
-4
-5
-6
-10
-8
Re (u1)—МГИУ
Re (u3)—МГИУ
-10
Im (u1)—МГИУ
Im (u3)—МГИУ
Re (u
)—Асимпт
Re (u3)—Асимпт
1
Im (u
)—Асимпт
1
Рис. 2. Графики полей смещений на верхней границе полосы.
4. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ИДЕНТИФИКАЦИИ
В РАМКАХ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПОДХОДА
Рассмотрим сначала схему поэтапного восстановления параметров дефекта для случая анти-
плоской задачи.
С учетом полученного выражения (16) амплитуды поля смещения справа от источника колеба-
ния принимают вид:
0
2
F k,ξ
,θ
)
0
iλ
0
−iα
ξ
c
2
n
n
1c
A
=ε
(νsin(λ
ξ
)cosθ
+
cos(λ
ξ
) sinθ
)e
;
(17)
n
1
n
3c
2
n
3c
2
2hνG
β
n
2
02
0
π
1
k
−λ
n
λ
=
(n
−
),
α
=-
,
n = 1, 2
n
n
h
2
ν
Заметим, что параметры трещины особым образом входят в выражение для амплитуд. Рассмотрим
постановку обратной задачи, в которой в качестве дополнительной информации заданы амплитуд-
ные значения поля перемещения, измеренного на верхней границе слоя на частоте k1, когда в слое
имеются две бегущие волны:
(∗)
A
(k
(∗)
(∗)
0
1
A
(k
), A
(k
),
обозначим
µ
+i
µ
=-
).
(18)
0
1
1
1
1
2
(∗)
A
(k
)
1
1
Тогда решение обратной задачи сводится к восстановлению новых 4 параметров: ξ1c, ξ3c, θ2, ε1.
Дефектоскопия
№ 10
2020
Асимптотический метод решения задачи идентификации криволинейной трещины...
45
Этап 1. Восстановление параметров ξ1c, ξ3c. С учетом выражения (17), (18) получим комплекс-
ное уравнение относительно параметров x1c, x3c, θ2. Выделяя вещественную и мнимую части имеем
однородную СЛАУ относительно вектор-функции v = (cosθ2, sinθ2):
Av = 0, A = A(μ1, μ2, ξc),
(19)
из условия равенства нулю определителя системы (19) получаем трансцендентное уравнение от-
носительно ξ1c, ξ3c:
ΔA (ξ1c, ξ3c) = 0.
(20)
Этап 2. Восстановление параметра θ2. После восстановления координат, характеризующих
местоположение дефекта, приступим к реконструкции параметров, определяющих ее конфигура-
цию. Угол θ2 можно найти из одного из уравнения СЛАУ (19). В результате имеем
θ2 = π - arctg (A11(ξc)/A12(ξc)).
Этап 3. Восстановление параметра ε1 = Rθ1. Поскольку в выражении для амплитуд параметры
R, θ1 входят в виде произведения, то определить удается лишь параметр ε1 = Rθ1 из вещественного
либо комплексного значений амплитуд
2
*
ε
=
Re(A
0
)/ Re(
0
A k,ξ
1c
,ξ
3c
,θ
2
)).
1
Отметим, что погрешность восстановления параметра ε1 зависит от точности восстановления
параметров, определенных ранее.
Предлагаемый подход реализован численно. В результате вычислительного эксперимента
определены рабочие диапазоны предлагаемого подхода относительно геометрических параметров
дефекта и свойств зондируемого сигнала. Результаты восстановления приведены в табл. 1 при сле-
дующих входных данных задачи: k = 6,0, R = 0,1, ξc = (1,2, 0,6), t1 = π/3, t2 = t1 +2θ1.
Таблица
1
Результаты восстановления параметров дефекта. Антиплоская задача
2θ1
εξ
, %
εξ
, %
εθ
, %
ε
, %
1
3
2
Rθ1
0,005
<<1
<<1
<<1
<<1
0,01
<<1
<<1
<<1
<<1
0,03
0,001
0,008
1,71
1,54
k = 6,0
25
33
13
>100
0,05
k = 6,5
<<1
0,025
2,33
>100
0,12
0,4
10
5
12
Отметим, что процедура идентификация параметров ξ1c, ξ3c устойчива, погрешность иденти-
фикации составляет менее 1 %. При этом процедура идентификации рассыпается в случае, когда
на входной частоте наблюдается следующая связь между значениями амплитуд на частоте, соот-
ветствующей волновому числу k1: μ1 (k1) ≅ μ2 (k1) . В таких случаях рекомендуется сменить частоту
возбуждающей нагрузки. Исследована зависимость работоспособности асимптотического подхода
в зависимости от значения параметра θ1 (основной параметр асимптотического анализа, поскольку
физически случаи R→0 не представляют существенного интереса), так для θ1 ≤ 0,1h погрешность
восстановления составляет в большинстве случаев менее 5 %.
Рассмотрим теперь схему восстановления параметров дефекта для случая плоской задачи.
Пусть в качестве дополнительной информации заданы поля смещений, измеренные в двух точ-
(1)
(2)
ках верхней границы полосы
x
,
x
на частоте, соответствующей волновому числу k:
1
1
Дефектоскопия
№ 10
2020
46
А.О. Ватульян, О.В. Явруян
(1)
(1)
(1)
(1)
µ
=
u k,
x h),
µ
=
u k,
x h);
1
1
1
3
3
1
(2)
(2)
(2)
(2)
µ
=
u k,
x h),
µ
=
u k,
x h).
1
1
1
3
3
1
Амплитудные выражения компонент поля смещения имеют вид:
2
(1)
(3)
A
=ε
A k,ξ
,
θ
)W
+A k,ξ
,
θ
)W
,
(21)
jn
1
jn
c
2
01
jn
c
2
03
заметим, что как и в случае антиплоской задачи, они пропорциональны квадрату ε1 = Rθ1.
Этап 1. Восстановление трех параметров, характеризующих местоположение дефекта ―
ξc = (ξ1c, ξ3c), θ2.
Учтем, что выражения W01, W03 не зависят от точки съема данных и получим систему комплекс-
ных трансцендентных уравнений:
(1)
(2)
∆
i
(x
1
,
ξ
c
,θ
2
)
∆
i
(x
1
,
ξ
c
,θ
2
)
−
=
0,
i
=1,3,
(22)
(1)
(2)
∆
(x
,
ξ
,θ
)
∆
(
x
,
ξ
,θ
)
1
c
2
1
c
2
из которой определяются неизвестные значения ξc, θ2.
При решении системы трансцендентных уравнений (22), для нахождения трех неизвестных
можно рассматривать два вещественных уравнения и одно комплексное (либо наоборот).
Этап 2. Восстановление параметра ε1 = Rθ1, характеризующий размер дефекта.
Соответствующая характеристика дефекта восстанавливается из выражения для полей смеще-
ний (16) либо из условия минимума функционала невязки.
Стоит отметить, что предлагаемая схема подразумевает восстановление каждого из параметров
Rθ1, однако, как показывают расчеты, эффективно восстанавливается только параметр ε1 = Rθ1, при
этом сами параметры Rθ1 восстанавливаются с точностью до множителя.
Таблица
2
Результаты восстановления параметров дефекта. Плоская задача
R
2θ1
ξ1c
ξ3c
θ2,10-3
ε1 = Rθ1,102
ex
ex
ex
id
εξ1c
ex
id
εξ3c
ex
id
εθ2
ex
id
εε1
ЗАГЛУБЛЕННАЯ ТРЕЩИНА
0,1
0,015
0,5
0,5
<<1
0,15
0,149
<<1
2,1019
2,1056
<<1
0,075
0,0725
4
ТРЕЩИНА СРЕДНЕГО ЗАГЛУБЛЕНИЯ
0,15
0,015
0,5
0,477
<<1
0,5
0,5
<<1
2,102
2,101
<<1
0,09
0,09
<<1
0,12
0,05
0,5
0,5
<<1
0,62
0,619
<<1
2,119
2,120
<<1
0,25
0,29
16
0,2
0,05
0,5
0,5
<<1
0,62
0,619
<<1
2,1194
2,122
<<1
0,5
0,45
10
0,2
0,15
0,5
0,503
0,66
0,62
0,62
<<1
2,169
2,158
0,5
1,5
1,5
<<1
0,2
0,2
0,5
0,505
0,9
0,62
0,623
0,5
2,194
2,166
1,3
2
1,8
10
0,2
0,3
0,5
0,506
1,4
0,62
0,632
1,94
2,24
2,159
3,5
3
2
32
ПРИПОВЕРХНОСТНАЯ ТРЕЩИНА
0,1
0,0075
0,5
0,5
<<1
0,9
0,89
<<1
2,102
2,102
<<1
0,075
0,075
<<1
* ex ― точные значения, id ― восстановленные, εθm ― погрешность реконструкции параметра θm, %.
В табл. 2 приведены результаты решения обратной задачи по реконструкции параметров
криволинейной трещины для полосы из аустенитной стали в зависимости от относительного
размера дефекта и от глубины залегания трещины, т.е. параметра ξ3c (рис. 3). Приповерхностная
трещина ― ξ3c = 0,9h и на рис. 3 соответствует расположению (1), среднее залегание ― ξ3c = 0,5h
или ξ3c = 0,62h и на рис. 3 соответствует расположению (2), заглубленная трещина ― ξ3c = 0,15h,
Дефектоскопия
№ 10
2020
Асимптотический метод решения задачи идентификации криволинейной трещины...
47
x3
ξ1c
(1)
(2)
x
x
p
(1)
2
(2)
ξ3c
(3)
x1
Рис. 3. Расположение трещин приповерхностной (1), трещины среднего заглубления (2) и заглубленной трещины (3).
(1)
(2)
на рис. 3 соответствует расположению (3). Точки позиционного зондирования:
x
= 1,05, x
= 2,1,
1
1
k = 4,9, параметры дефекта: t1 = 2π/3, t2 = 2π/3 + 2θ1. Как и следовало ожидать, с увеличением
относительного размера дефекта, что соответствует увеличению параметра θ1, погрешность вос-
становления параметров дефекта увеличивается.
ВЫВОДЫ
Предлагаемая методика, основанная на асимптотическом анализе прямой и обратной задач в
случае плоских и антиплоских колебаний, апробирована на модельной задаче идентификации па-
раметров криволинейной трещины малой относительной длины. Как показывают результаты рас-
четов, предлагаемая схема эффективна при определении параметров дефекта для θ1 ≤ 0,1h, при
этом параметры ξc, θ2 восстанавливаются с погрешностью менее 1% и для «больших» дефектов,
когда θ1 ≤ 0,3h. При этом для однозначной идентификации параметров дефекта в случае анти-
плоской задачи достаточно знать амплитудные значения бегущих волн на верхней границе слоя в
режиме частотного зондирования, на частоте, когда в слое возникают две бегущие волны. В слу-
чае плоской задачи, для однозначного восстановления параметров дефекта, достаточно измерить
волновое поле в двух точках верхней границы слоя на частоте, когда в слое имеются одна и более
бегущих волн, при этом точки зондирования рекомендуется выбирать там, где поле смещения осо-
бенно чувствительно к изменениям параметров дефекта.
Полученные численные результаты подтверждают работоспособность и эффективность
предлагаемого асимптотического подхода в задаче идентификации криволинейной трещины в
слое.
Работа выполнена при частичной поддержке гранта Правительства РФ № 075-15-2019-1928.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Chulkov A.O., Vavilov V.P., Moskovchenko A.I. Active thermal testing of delaminations in heat-shielding
structures // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2019. V. 55. No. 3. P. 240—247.
2. Yan G., Stefano A., Matta E., Feng R. A novel approach to detecting breathing-fatigue cracks based on
dynamic characteristics // J. Sound and Vibration. 2013. V. 332 No. 2. 407—422.
3. Аббасси А., Бушала Т., Абду А., Абдельхади Б. Определение параметров трехмерной трещины с
помощью сигнала вихретокового датчика и быстрого алгоритма поиска // Дефектоскопия. 2020. № 5.
С. 20—27.
4. Xin Wang, Nan Wu. Crack identification at welding joint with a new smart coating sensor and entropy //
5. Antipov A.G., Markov A.A. Detectability of rail defects by magnetic flux leakage method // Russian
Journal of Nondestructive Testing. 2019. V. 55. № 4. P. 277—285.
6. Pei C., Yi D., Liu T., Kou X., Chen Z. Fully noncontact measurement of inner cracks in thick specimen
with fiber-phased-array laser ultrasonic technique // NDT and E International. 2020. V. 113. doi: https://doi.
org/10.1016/j.ndteint.2020.102273
7. Shifrin E. Identification of a finite number of small cracks in a rod using natural frequencies // Mechanical
8. Morassi A. Identification of a crack in a rod based on changes in a pair of natural frequencies // J. Sound
and Vibration. 2001. V. 242. P. 577—596.
Дефектоскопия
№ 10
2020
48
А.О. Ватульян, О.В. Явруян
9. Khiem N.T., Toan L.K. A novel method for crack detection in beam-like structures by measurements of
natural frequencies // J. Sound and Vibration. 2014. V. 333. P. 4084 — 4103
10. Boukellif R., Ricoeur A. Identification of crack positions and crack loading quantities strain gauge data
by inverse problem solution // Procedia Structural Integrity. 2018. V. 13. P. 85—90.
11. Shuai He, Ching-Tai Ng. Guided wave-based identification of multiple cracks in beams using a Bayesian
approach // Mechanical Systems and Signal Processing. 2017. V. 84. P. 324—345.
12. Awadallah M., El-Sinawi A. Effect and detection of cracks on small wind turbine blade vibration
measurement.2019.107076
13. Zima B., Kedra R. Detection and size estimation of crack in plate based on guided wave propagation //
14. Andrieux S., Abda A.B., Jaoua M. On the inverse emergent plane crack problem // Mathematical
Methods in the Applied Sciences. 1998. V. 21. No 10. P. 895—906.
15. Капцов А.В., Шифрин Е.И. Идентификация плоской трещины в упругом теле с помощью инва-
риантных интегралов // МТТ. № 3. 2008. C. 145—163.
16. Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об определении размера дефекта в составном упругом теле // Де-
фектоскопия. 2004. № 5. С. 15—23.
17. Ferriera R., Kadrib M.L., Gosseleta P. Planar crack identification in 3D linear elasticity by the
reciprocity gap method // Computer Methods in Applied Mechanics Engineering. 2019. V. 355 P. 193—215.
18. Golub M.V., Zhang Ch. In-plane wave motion and resonance phenomena in periodically layered
composites with a crack // Wave Motion. 2014. V. 51. No. 2. P. 308 — 322.
20. Golub M. V., Boström A. E., Doroshenko O. V. Modelling of Elastic Wave Propagation Through
Damaged Interface via Effective Spring Boundary Conditions. Advanced Materials. 2018. P. 375 — 387.
doi:10.1007/978-3-319-78919-4_28
21. Ватульян А.О., Беляк О.А. К реконструкции малых полостей в упругом слое // Дефектоскопия.
2006. № 10. С. 33—39.
22. Ватульян А.О., Азарова П. А., Явруян О. В. Идентификация параметров наклонной прямолиней-
ной трещины в вязкоупругом слое // Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. № 3.
С. 461—472.
23. Баранов И.В., Ватульян А.О., Соловьев А.Н. Об одном генетическом алгоритме и его примене-
С. 14—26.
24. Kang H., Kim E., Lee J. Identification of elastic inclusions and elastic moment ensors by boundary
measurements // Inverse Problems. 2003. V. 19. P. 703—724.
25. Ammari H., Kang H., Kim E., Lim M. Reconstruction of closely spaced small inclusions // SIAM
Journal on Numerical Analysis. 2005. V. 42. P. 2408—2428.
26. Kang H., Kim E., Lee J.Y. Numerical reconstruction of a cluster of small elastic inclusions // Inverse
Problems. 2007. V. 23. P. 23112324.
27. Baratchart L., Ben Abda A., Ben Hassen F., Leblond J. Recovery of pointwise sources and small
inclusions in 2D domains and rational approximation // Inverse Problems. 2005. V. 21. P. 51 — 74.
28. Ватульян А.О., Беляк О.А. Обратная задача идентификации малого дефекта на основе асимпто-
тического метода // Дефектоскопия. 2020. № 7. С. 3—9.
29. Ватульян А.О., Явруян О.В. Асимптотичекий подход в задачах идентификации трещин // ПММ.
2006. № 4. С. 714—724.
30. Ватульян А.О., Явруян О.В. Исследование обратных задач теории трещин с использованием
асимптотического метода // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2018. Т. 15. № 2. С. 39—46.
31. Ворович И.И., Бабешко В.В. Динамические смешанные задачи теории упругости для некласси-
ческих областей. М.: Наука,1989. С. 320.
32. Баранов И.В., Булгурян О.В., Ватульян А.О. Интегральные уравнения для упругого слоя с трещи-
ной произвольной конфигурации и их исследование // Вестник ДГТУ. Издательский центр ДГТУ. 2004.
Т. 4. № 3. C. 257—269.
Дефектоскопия
№ 10
2020
