Радиационные методы
УДК 620.179.15
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ РАДИАЦИОННЫХ ПРОЗРАЧНОСТЕЙ
ОБЪЕКТА КОНТРОЛЯ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ СЭНДВИЧ-ДЕТЕКТОРОВ
РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
© 2020 г. В.А. Удод1,2,*, С.Э. Воробейчиков1,**, С.Ю. Назаренко 2,***
1Национальный исследовательский Томский государственный университет,
Россия 634050 Томск, пр-т Ленина, 36
2Национальный исследовательский Томский политехнический университет,
Россия 634050 Томск, пр-т Ленина, 30
E-mail: *pr.udod@mail.ru; **sev@mail.tsu.ru; ***svetanaz@mail.ru
Поступила в редакцию 28.10.2019; после доработки 03.12.2019
Принята к публикации 06.12.2019
Представлена математическая модель выходных сигналов сэндвич-детектора рентгеновского излучения. На осно-
ве данной модели разработаны две математические модели радиационных прозрачностей объекта контроля для сэнд-
вич-детектора излучения, которые являются основой для теоретической оценки точности распознавания материалов
при использовании соответствующей схемной реализации метода дуальных энергий. Принципиальное отличие между
разработанными моделями состоит в том, что одна из них не учитывает, а другая — учитывает статистическую зави-
симость между выходными сигналами сэндвич-детектора. Даны рекомендации по предпочтению в использовании
каждой из этих моделей.
Ключевые слова: рентгеновское излучение, досмотровый контроль, эффективный атомный номер, распознавание
материалов, метод дуальных энергий, сэндвич-детектор.
DOI: 10.31857/S0130308220020049
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время метод дуальных энергий (МДЭ) широко используется для распознавания
материалов в сканирующих системах цифровой рентгенографии (ССЦР), предназначенных для
проведения досмотрового контроля [1—6]. Данный метод позволяет одновременно оценить два
параметра объекта контроля (ОК) — эффективный атомный номер материала ОК и его массовую
толщину [4, 7, 8]. Формально это достигается путем решения (относительно этих параметров)
системы из двух уравнений, представляющих собой равенства теоретических и эксперименталь-
ных радиационных прозрачностей ОК для двух разных максимальных (либо эффективных) энер-
гий рентгеновского излучения [4, 7].
Помимо досмотрового контроля на основе ССЦР МДЭ активно применяется и для медицин-
ских целей [9], а также для диагностики материалов и изделий с помощью рентгеновских компью-
терных томографов [10—14].
Схемы реализации МДЭ могут быть различными. Традиционная (классическая) схема
выражается в том, что ОК просвечивается дважды, причем каждый раз при разной максималь-
ной (эффективной) энергии в спектре рентгеновского излучения [4]. Другая схема реализации
МДЭ заключается в однократном сканировании ОК пучком излучения, создаваемым источни-
ком, поочередно генерирующим импульсы высокой и низкой энергии [15]. Еще одна схема
реализации МДЭ заключается в однократном сканировании ОК и регистрации прошедшего
через него излучения сэндвич-детекторами, которые представляют собой комбинации из двух
детекторов, расположенных друг за другом по направлению распространения квантов излуче-
ния и разделенных между собой фильтром (обычно в виде медной пластины) [1, 4, 9, 12, 16].
Учитывая широту использования ССЦР с сэндвич-детекторами излучения, в частности —
при досмотре багажа и ручной клади в аэропортах [1], вполне закономерно возникает задача
теоретической оценки потенциальной точности МДЭ, применяемого в данных системах для
распознавания материалов досматриваемых объектов. Это, в свою очередь, порождает необходи-
мость разработки математической модели радиационных прозрачностей ОК при использовании
в ССЦР сэндвич-детекторов излучения, что и является целью проводимых в настоящей работе
исследований. Для достижения поставленной цели сначала целесообразно привести описание
математической модели выходных сигналов сэндвич-детектора излучения.
32
В.А. Удод, С.Э. Воробейчиков, С.Ю. Назаренко
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ
СЭНДВИЧ-ДЕТЕКТОРА ИЗЛУЧЕНИЯ
Под выходными сигналами сэндвич-детектора излучения естественно понимать сигналы на
выходе первого (переднего) и второго (заднего) детекторов, входящих в состав сэндвич-детектора
излучения. Для их математического описания предположим, что ОК облучается узким веерным
пучком рентгеновского излучения, которое регистрируется линейкой идентичных сэндвич-детек-
торов. Предположим также, что регистрация излучения происходит в аналоговом режиме. Тогда
сигналы (в виде суммарных зарядов, Кл) B1(H) и B2(H) на выходе первого (переднего) и второго
(заднего) детекторов отдельного сэндвич-детектора из линейки при наличии ОК с учетом кванто-
вого шума будут соответственно описываться, согласно [17], выражениями вида:
B
1
(H)=B
1
(H)+N
1
(H);B
2
(H)=B
2
(H)+N
2
(H);
(1)
E0
B
(H
)
=γ
C
g(E,E
)exp(−m(E,Z)ρH)E
(E
)ε
(
E
)
dE;
(2)
1
c
id
∫
0
ab1
1
0
E0
B
2
(H)
=γ
c
C
id
g(E,
E
0
)exp(
−m
(
E,Z)ρH - m(E,
Z
1
)ρ
1
H
1
−m(E,Z
f
)
ρ
f
H
f
)
⋅E
ab2
(E)ε
2
(
E
)
dE
(3)
∫
0
Здесь
1
2
B
(H),B
(H)— средние значения (математические ожидания) сигналов при наличии ОК
на выходе первого и второго детекторов соответственно; H — толщина ОК (точнее — лучевой раз-
мер ОК, соответствующий отдельному определенному сэндвич-детектору из линейки); γc — коэф-
фициент преобразования энергии рентгеновского излучения, поглощенной детектором, в электри-
ческий заряд, Кл/МэВ;
ψ(Ω
)
det
C
=
ST
(4)
id
2
F
— обобщенный параметр системы контроля, характеризующий источник и детектор (сэндвич-
детектор) излучения; Ωdet — направление центрального луча от источника на сэндвич-детектор, то
есть направление луча из центра фокусного пятна источника излучения на центр апертуры
(поверхности приема излучения) сэндвич-детектора; ψ(Ω) — нормированное распределение
источника излучения по направлениям Ω вылета квантов; S — площадь апертуры сэндвич-детек-
тора; T — время измерения излучения; F — расстояние от источника до сэндвич-детектора;
E0 — максимальная энергия квантов испускаемых источником, МэВ; g(E, E0) = dN/dE — энергети-
ческий спектр рентгеновского излучения, создаваемого источником, по числу квантов, 1/(МэВ∙с);
m(E, Z), m(E, Z1), m(E, Zf ), m(E, Z2) — массовый коэффициент ослабления (МКО) излучения с
энергией E для материала ОК, первого детектора, промежуточного фильтра и второго детектора
соответственно, см2/г; Z, Z1, Zf , Z2 — атомный номер (эффективный атомный номер) материала ОК,
первого детектора, промежуточного фильтра и второго детектора соответственно; ρ, ρ1, ρf , ρ2 —
плотность материала ОК, первого детектора, промежуточного фильтра и второго детектора соот-
ветственно, г/(см3); H1, Hf , H2 — толщина ОК, первого детектора, промежуточного фильтра и второ-
го детектора соответственно, см; ρH, ρ1H1, ρf Hf , ρ2H2 — массовая толщина ОК, первого детектора,
промежуточного фильтра и второго детектора соответственно, г/(см2);
1
2
(
),
(
)
ab
ab
E
E
E
E
— среднее
значение поглощенной энергии, соответствующее одному зарегистрированному кванту с энергией Е,
для первого и второго детекторов соответственно, МэВ;
ε
1
(
E
)
=1-exp(-m(E,Z
1
)ρ
1
H
1
);
ε
2
(
E
)
=1-exp(-m(E,Z
2
)ρ
2
H
2
)
(5)
— эффективности регистрации квантов излучения с энергией Е для первого и второго детекто-
ров соответственно;
N
(H),N
(H) — шумы, обусловленные квантовой природой рентгеновского
1
2
излучения, со средними значениями (математическими ожиданиями)
N
1
(H), N
2
(H)и дисперси-
2
2
ями
σ
[N
(H)], σ
[N
(H)], соответственно равными:
1
2
N
(H) = 0;
N
(H) = 0;
(6)
1
2
E0
2
2
2
2
σ
[
N
(
H
)
]
=σ
[
B
(
H)
]
=γ
C
g
(
E
,
E
)exp(−m(E,
Z
)ρH
)
E
(
E)
ε
(E
)
dE
;
(7)
1
1
c
id
∫
0
ab1
1
0
Дефектоскопия
№ 2
2020
Математические модели радиационных прозрачностей объекта контроля...
33
2
2
σ
[
N
2
(H)
]
=σ
[
B
2
(H)
]
=
E0
2
2
=γ
C
g(E,E
)exp(−m(E,Z)ρH - m(
E
,Z
)ρ
H
−m
(E,Z
)ρ
H
)⋅E
(E)ε
(
E
)
dE,
(8)
c
id
∫
0
1
1
1
f
f
f
ab2
2
0
2
2
где
E
ab1
(E),
E
ab2
(E) — средние квадраты поглощенной энергии для одного зарегистрированного
кванта с энергией Е для первого и второго детекторов соответственно, МэВ2.
2
2
Величины
E
(E),
E
(E)
и
E
(E
),
E
(
E)могут быть рассчитаны по эмпирическим фор-
ab1
ab2
ab1
ab2
мулам, представленным, например, в [18].
Средние значения (математические ожидания) и дисперсии сигналов B1(0) и B2(0) на выходе
первого и второго детекторов при отсутствии ОК находятся из (2), (3), (6) — (8) подстановкой H = 0.
Совокупность соотношений (1)—(8) представляет собой математическую модель выходных сиг-
налов B1(H) и B2(H) сэндвич-детектора излучения, которая является основой для построения матема-
тической модели радиационных прозрачностей ОК применительно к данному виду детекторов.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАДИАЦИОННЫХ ПРОЗРАЧНОСТЕЙ ОК
ДЛЯ СЭНДВИЧ-ДЕТЕКТОРА ИЗЛУЧЕНИЯ
Под радиационной (радиоскопической) прозрачностью ОК понимается отношение сигнала на
выходе детектора при наличии ОК к сигналу на выходе детектора при отсутствии ОК [5,7,19].
Согласно данному определению и модели (1)—(8), выражения для радиационных прозрачностей
ОК d1, d2, соответствующих первому и второму детекторам, входящих в состав сэндвич-детектора
излучения, будут иметь следующий вид:
B
(
H)
B
(H
)
+
N
(
H)
1
1
1
d
=
=
;
(9)
1
B
(0)
B
(0)
+
N
(0)
1
1
1
B
(
H)
B
(
H
)
+
N
(
H)
2
2
2
d
=
=
(10)
2
B
(0)
B
(0)
+
N
(0)
2
2
2
В качестве сигналов на выходе первого и второго детекторов при отсутствии ОК, то есть сиг-
налов B1(0) и B2(0), могут быть использованы их выборочные средние, полученные в предвари-
тельных экспериментах по выборкам большого объема, вследствие чего дисперсиями этих выбо-
рочных средних можно пренебречь. Исходя из этого, для дальнейшего исследования допустимо
считать
B
(0) = B
(0);
B
(0) = B
(0);
(11)
1
1
2
2
или, что равносильно,
N1(0) = 0; N2(0) = 0.
(12)
После подстановки (11), (12) в (9), (10) соответственно получим:
B
(H)
B
(H)
+
N
(
H
)
B
(
H)
N
(H)
1
1
1
1
1
d
=
=
=
+
=
d
+Φ
;
(13)
1
t1
1
B
(0)
B
(0)
B
(0)
B
(0)
1
1
1
1
B
(
H)
B
(
H)
+
N
(
H
)
B
(
H)
N
(H)
2
2
2
2
2
d
=
=
=
+
=
d
+Φ
,
(14)
2
t2
2
B
(0)
B
(0)
B
(0)
B
(0)
2
2
2
2
где dt1 и dt2 — средние значения (математические ожидания) радиационной прозрачности ОК для
первого и второго детектора соответственно; Φ1 и Φ2 — шумы радиационных прозрачностей ОК,
обусловленные квантовой природой излучения, для первого и второго детекторов соответственно.
Величины d1 и dt1 в (13) можно соответственно интерпретировать как экспериментальную и
теоретическую радиационные прозрачности ОК для первого детектора, а величины d2 и dt2 в (14)
— соответственно как экспериментальную и теоретическую радиационные прозрачности ОК для
второго детектора.
Дефектоскопия
№ 2
2020
34
В.А. Удод, С.Э. Воробейчиков, С.Ю. Назаренко
Выражения для прозрачностей dt1 и dt2 в развернутой форме получаются из (2), (13) и (3), (14)
и имеют следующий вид:
E0
g(E,E
0
)exp(−m(E,Z)ρH)E
ab1
(E)ε
1
(
E
)
dE
∫
0
d
t1
=
;
(15)
E
0
g(E,E
)E
(E)ε
(
E
)
dE
∫
0
ab1
1
0
E0
g(E,E
0
)exp(−m(E,Z)
ρ
H-m(E,Z
1
)ρ
1
H
1
−m(
E,Z
f
)ρ
f
H
f
)E
ab2
(E)ε
2
(
E
)
dE
∫
0
d
t2
=
(16)
E
0
g(E,E
)exp(−m
(
E,Z
)ρ
H
−
m
(E
,Z
)
ρ
H
)
E
(
E)
ε
(
E
)
dE
∫
0
1
1
1
f
f
f
ab2
2
0
Из (2), (3), (6) — (8), (13), (14) несложно получить, что средние значения (математические ожи-
дания) и дисперсии шумов Φ1 и Φ2 соответственно равны:
Φ
= 0;
Φ
= 0;
(17)
1
2
E0
2
g(E,E
)exp(
−m
(E
,Z
)
ρH
)
E
(
E
)ε
(
E
)
dE
2
∫
0
ab1
1
σ
[
N
(H)
]
2
1
0
σ
(Φ
)
=
=
;
1
2
2
(18)
E
0
B
(0)
1
C
g
(
E,
E
)
E
(E
)
ε
(
E
)
dE
id
∫
0
ab
1
1
0
2
σ
2[
N
2
(
H)
]
σ
(Φ
)
=
=
2
2
B
(0)
2
E0
2
g(E,E
)exp(
−m(E,
Z)ρ
H-m(
E
,Z
)
ρ
H
−
m(
E
,Z
)
ρ
H
)E
(
E
)
ε
(
E
)
dE
∫
0
1
1
1
f
f
f
ab2
2
0
=
2
(19)
E
0
C
g(
E
, E
)exp(-m
(
E,Z
)
ρ
H
−
m
(
E
,
Z
)
ρ
H
)
E
(
E)
ε
(
E
)
dE
id
∫
0
1
1
1
f
f
f
ab
2
2
0
Второй детектор в сэндвич-детекторе, согласно [20], вполне естественно полагать детектором
полного поглощения в целях наиболее полного использования падающего излучения. В этом слу-
чае в соответствующих формулах следует положить
2
2
ε
2
(E)
=E
ab2
(
E
)
E=E
ab
2
(
E
)
E
=
1.
(20)
Совокупность формул (13)—(20) выражает собой математическую модель радиационных
прозрачностей ОК для сэндвич-детектора излучения. Она может быть использована для реше-
ния определенного круга задач, связанных с исследованием МДЭ применительно к рентгенов-
ским сканирующим системам неразрушающего контроля, содержащим линейку сэндвич-
детекторов.
Между тем, для более углубленного анализа МДЭ при использовании в ССЦР сэндвич-детек-
торов излучения модели (13)—(20) может оказаться недостаточно вследствие того, что она не
учитывает статистическую зависимость между выходными сигналами B1(H) и B2(H) сэндвич-
детектора. Эта зависимость может быть достаточно значительной, поскольку поток излучения,
падающий на сэндвич-детектор, является общим для первого (переднего) и второго (заднего)
детекторов излучения. Поэтому возникает необходимость разработки новой математической моде-
ли радиационных прозрачностей ОК для сэндвич-детектора излучения, которая бы учитывала
статистическую зависимость его выходных сигналов.
Дефектоскопия
№ 2
2020
Математические модели радиационных прозрачностей объекта контроля...
35
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАДИАЦИОННЫХ ПРОЗРАЧНОСТЕЙ ОК
ДЛЯ СЭНДВИЧ-ДЕТЕКТОРА ИЗЛУЧЕНИЯ С УЧЕТОМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ
ЗАВИСИМОСТИ ЕГО ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ
Обозначим через B0(H) — суммарный заряд, падающий на сэндвич-детектор за время T при
наличии ОК. Величина B0(H) может быть интерпретирована как сигнал на выходе идеального
детектора излучения, под которым подразумевается гипотетический детектор полного поглоще-
ния, у которого геометрические размеры и расположение идентичны первому (переднему) детек-
тору излучения.
Аналогично сигналам B1(H) и B2(H) величина (сигнал) B0(H) представима в виде
B
(H)=B
(H)+N
(H),
(21)
0
0
0
E0
где
B
(H)
=γ
C
g(E,E
)exp(−m(E,Z)ρH)EdE
(22)
0
c
id
∫
0
0
— среднее значение (математическое ожидание) сигнала на выходе идеального детектора (суммар-
ного заряда, падающего на сэндвич-детектор) при наличии ОК; N0(H) — шум (обусловлен кванто-
вой природой излучения), среднее значение (математическое ожидание)
N
(H)которого и дис-
0
2
персия
σ
[N
(H)] соответственно равны:
0
N
(H) = 0;
0
E0
2
2
2
2
σ
[
N
0
(H)
]
=σ
[
B
0
(H
)
]
=γ
c
C
id
g(E,E
0
)exp(−m(E,Z)ρH)E
dE
(23)
∫
0
Для сигнала на выходе идеального детектора при отсутствии ОК среднее значение (математи-
ческое ожидание) и дисперсия находятся из (22), (23) подстановкой H = 0.
Для идеального детектора излучения радиационная прозрачность ОК по аналогии с (13), (14)
запишется как
B
(
H)
B
(H
) +
N
(H)
B
(H
)
N
(H)
0
0
0
0
0
d
=
=
=
+
=
d
+Φ
,
(24)
0
t0
0
B
(0)
B
(0)
B
(0)
B
(0)
0
0
0
0
где dt0 — среднее значение (математическое ожидание) радиационной прозрачности ОК; Φ0 — шум
радиационной прозрачности ОК, обусловленный квантовой природой излучения.
Величины d0 и dt0 в (24) можно соответственно интерпретировать как экспериментальную и
теоретическую радиационные прозрачности ОК для идеального детектора.
Развернутое выражение для dt0 выводится из (22) и имеет вид
E0
g
(
E
,
E
0
)exp(−m(
E
,
Z
)ρH
)
EdE
∫
0
d
t0
=
(25)
E
0
g
(
E
,
E
)EdE
∫
0
0
С учетом (22)—(24) несложно убедиться в справедливости следующих соотношений для сред-
него значения (математического ожидания) и дисперсии шума Φ0:
E0
2
g(E
,
E
0
)exp(
−m(E,Z)ρH)E
dE
∫
σ
2[
N
(
H
)
]
2
0
0
σ
(Φ
)
=
=
Φ
0
= 0; ;
0
2
2
(26)
E
0
B
(0)
0
C
g
(
E,E
)EdE
id
∫
0
0
Дефектоскопия
№ 2
2020
36
В.А. Удод, С.Э. Воробейчиков, С.Ю. Назаренко
Вполне очевидно, что сигнал B1(H) на выходе первого детектора составляет некоторую случай-
ную часть суммарного заряда, падающего на сэндвич-детектор, то есть некоторую случайную
часть сигнала B0(H) на выходе идеального детектора. Вследствие этого он может быть представлен
в виде
B
(H) = αB
(H),
(27)
1
0
где α — независимая от сигнала B0(H) случайная величина, распределенная на отрезке [0, 1]. При
этом величина (1 - α)B0(H) будет представлять собой суммарный заряд, который прошел через
первый детектор за время T при наличии ОК. Исходя из этого, заряд Bf(H), прошедший через
фильтр, будет выглядеть как
Bf(H) = β(1 - α)B0(H),
(28)
где β — независимая от α и B0(H) случайная величина, распределенная на отрезке [0, 1].
Предполагая (как и ранее выше), что второй детектор в сэндвич-детекторе является детектором
полного поглощения, получаем, что B2(H) = Bf (H), откуда с учетом (28) будем иметь следующее
выражение для сигнала B2(H):
B2(H) = β(1 - α)B0(H).
(29)
Перейдем от уравнений (27) и (29), связывающих сигналы на выходе первого и второго детек-
торов с сигналом на выходе идеального детектора (суммарного заряда, падающего на сэндвич-
детектор), к соответствующим уравнениям для радиационных прозрачностей ОК, учитывая (13),
(14) и (24):
B
(0)
B
(0)
0
0
d
1
=α
d
0
;
d
2
=β(1−α)
d
0
(30)
B
1
(0)
B2(0)
Из (13), (14), (17), (24) и (26) следует, что средние значения (математические ожидания) и вто-
d (i = 0, 1, 2) будут
соответственно равны:
2
2
2
d
=d
;
d
=σ
(
Φ
) +d
,
i = 0, 1, 2.
(31)
i
ti
i
i
ti
Используя уравнения (30), (31), найдем средние значения (математические ожидания) α , β и
2
2
вторые начальные моменты (средние квадраты)
α
,
β
случайных величин α и β:
2
2
2
B
(0)
d
B
(0) σ
(Φ
) + d
1
t1
2
1
1
t1
α=
⋅
;
α
=
⋅
;
(32)
2
2
B
(0)
d
B
(0)
σ
(Φ
) + d
0
t0
0
0
t0
2
2
2
B
(0)
d
B
(0)
σ
(Φ
) + d
2
t2
2
2
2
t2
β=
⋅
;
β
=
⋅
(33)
(1-α
2
2
2
B
0
(0)
)dt
0
B
(0)
(1−2α+α
)(
σ
(Φ
) + d
)
0
0
t0
Совокупность уравнений (30)—(33) служит теоретической основой, в частности, для проведе-
ния адекватного математического моделирования значений радиационных прозрачностей ОК, соот-
ветствующих первому и второму детекторам (в сэндвич-детекторе) с учетом статистической зависи-
мости их выходных сигналов. При этом законы распределения случайных величин (шумов) Φi
(i = 0, 1, 2) в случае использования аналогового режима регистрации излучения могут быть приняты,
согласно [17], как нормальные (гауссовские). Что касается случайных величин α и β, то в качестве
их законов распределений могут быть взяты бета-распределения. Параметры p и q (p, q > 0)
данного распределения могут быть найдены методом моментов, то есть из системы уравнений
p
=
M1
,
p+q
(34)
p(p
+
1)
=
M2,
(
p+q
)(
p+q+1)
Дефектоскопия
№ 2
2020
Математические модели радиационных прозрачностей объекта контроля...
37
где левая часть первого из уравнений (34) и левая часть второго из уравнений (34) представляют
собой, согласно [21], соответственно первый и второй начальные моменты бета-распределения;
2
M1, M2 — первый и второй начальные моменты исследуемой случайной величины (M
1
=α,
M
2
=α
2
для случайной величины α и
M
=β,
M
=β
для случайной величины β).
1
2
Для исследования разрешимости системы (34) относительно параметров p и q введем в рассмо-
трение функции
M
(p,q), M
(p,q)
, определяемые как левые части первого и второго уравнений
1
2
системы (34) соответственно. Вычислим теперь якобиан J преобразования переменных (p, q) в пере-
менные (M1, M2 ):
∂M
(p,q)
∂M
(p,q)
1
1
∂p
∂q
pq
J
=
=-
3
2
∂
p,q)
∂
p,q)
(p+q)
(p+q +1)
2
2
∂p
∂q
2
Очевидно, что на множестве {(p,q
)
∈R
p,q > 0
}
якобиан отличен от нуля (является отрица-
2
тельным). Следовательно, отображение множества
{(
p,q
)
∈R
p,q > 0
}
на множество
2
{(
M
1
,M
2
)
∈R
0<M
2
<M
1
<1
}
векторной функцией
(M
1
(p,q), M
2
(p,q))
является взаимно-
однозначным. Поэтому, для
фиксированной пары значений
(
M
1
,
M
2
)
из множества
2
M
,M
)
∈R
0<M
<M
<1
решение системы уравнений (34) существует и единственно.
{(
1
2
2
1
}
Непосредственно проверкой легко убедиться, что это решение имеет следующий вид:
M
−
M
1
2
p=M
,
1
2
M
−
M
2
1
(35)
M
1
-
M
2
q
=
(1−
M
)
1
2
M
−
M
2
1
Соотношения (35) позволяют находить параметры бета-распределений для случайных величин
α и β.
Таким образом, нами получена совокупность уравнений (30)—(33), которая в сочетании
с (21)—(29) и (34), (35) представляет собой математическую модель радиационных прозрачностей
ОК для сэндвич-детектора излучения с учетом статистической зависимости его выходных сигналов.
Вопрос о том, какую из двух моделей (13)—(20) или (30)—(33) предпочтительнее использовать
на практике, целесообразно решать отдельно в каждом конкретном случае, принимая во внимание
степень значимости и сложности решаемой задачи. Первая из них проще, но при этом не учиты-
вает статистическую зависимость выходных сигналов сэндвич-детектора излучения. Вторая,
напротив — сложнее, но учитывает указанную зависимость.
В качестве некоторой рекомендации для выбора одной из этих двух моделей предлагается осу-
ществить оценку коэффициента корреляции выходных сигналов сэндвич-детектора излучения при
некоторых «типичных» условиях функционирования системы контроля. И по его величине сделать
выбор в пользу той или иной модели.
ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ ВЫХОДНЫХ СИГНАЛОВ
СЭНДВИЧ-ДЕТЕКТОРА ИЗЛУЧЕНИЯ
Коэффициент корреляции выходных сигналов B1(H) и B2(H) сэндвич-детектора излучения,
согласно [22], есть выражение вида
cov
[
B
(H),B
(
H)
]
1
2
r
[
B
1
(H),B
2
(H)
]
=
,
(36)
σ
[
B
(
H)
]σ[
B
(
H)
]
1
2
где
cov
[
B
(H),B
(H)
]
=B
(H)⋅B
(H)-B
(H)⋅B
(H),
(37)
1
2
1
2
1
2
— ковариация между сигналами B1(H) и B2(H);
B
1
(H)⋅B
2
(H) — среднее значение (математиче-
ское ожидание) произведения B1(H) ⋅ B2(H); σ[B1(H)], σ[B2(H)] — средние квадратические отклоне-
ния сигналов B1(H) и B2(H) соответственно.
Дефектоскопия
№ 2
2020
38
В.А. Удод, С.Э. Воробейчиков, С.Ю. Назаренко
Как видно из (36) и (37), точное вычисление коэффициента корреляции невозможно вследствие
того, что величина (среднее произведение)
B
(H)⋅B
(H) неизвестна, поскольку неизвестен
1
2
совместный закон распределения сигналов B1(H) и B2(H). В этой связи нами предлагается оценить
аналитически данный коэффициент. Для этого воспользуемся подходом, использованным нами
ранее при построении математической модели радиационных прозрачностей ОК для сэндвич-
детектора излучения с учетом статистической зависимости выходных сигналов B1(H) и B2(H) в
предположении, что второй детектор в сэндвич-детекторе является детектором полного поглоще-
ния. В аналитическом виде данный подход представлен совокупностью формул (27) и (29).
При подстановке (27) и (29) в (37) с учетом независимости случайных величин α, β и сигнала
B0(H) будем иметь следующий вид:
cov
[
B
(H),B
(H)
]
= αB
(H)β(1-α)B
(H)-B
(H)⋅B
(H)=
1
2
0
0
1
2
2
2
2
2
= (α - α
)βB
(H)-B
(H)⋅B
(H)=(α-α
)βB
(H)-B
(H)⋅B
(H).
(38)
0
1
2
0
1
2
Из (27) и (29) с учетом независимости случайных величин α, β и сигнала B0(H) также следует:
B
(H) = αB
(H) = αB
(H);
(39)
1
0
0
2
2
2
2
2
B
(H)=α
B
(H)=α
⋅B
(H);
(40)
1
0
0
B
(H) =β(1-α)B
(H) = β(1-α)B
(H).
(41)
2
0
0
Из (39)—(41) получаем:
2
B
(
H)
B
(H
B
(H)
B
(H)
1
2
1
2
2
α=
;
α
=
);
β=
=
(42)
2
B
(
H
)
(1−α
)
B
(
H
)
B
(
H
) −
B
(
H
)
0
B
0
(
H
)
0
0
1
При подстановке (42) в (38) запишем как
2
B
(H
)
B
(
H)
B
(H)
1
1
2
2
cov
[
B
1
(H),B
2
(H)
]
=
−
B
0
(H)
−
B
1
(H)
⋅ B
2
(H)
=
2
B
(H
)
B
(H) −
B
(H
)
0
B
0
(
H)
0
1
B
(
H
)
B
(H)
1
2
2
2
=
B
(H) −
B
(H
)
−
B
(H)
⋅
B
(H
)
=
0
1
1
2
B
(
H
)
B
(
H)−
B
(
H
)
0
0
1
B
(
H)
B
(
H
)
2
1
2
2
2
=
B
(
H)
−
B
(H)
−
B
(
H
)B
(H
)
+
B
(H
)
=
0
1
0
1
1
B
(H
)
−
B
(H)
B
(
H
)
0
1
0
B
(
H)
B
(
H
)
2
1
2
2
2
=
B
(
H)
−
B
(H)
−
B
(
H
)B
(H
)
+
B
(H
)
=
0
1
0
1
1
B
(H
)
−
B
(H)
B
(
H
)
0
1
0
B
(
H
)
B
(
H
)
2
1
2
2
2
2
=
B
(H
)
−
B
(
H
)
B
(
H)
−
B
(
H
)
=
(
0
0
) (
1
1
)
B
(H
)
−
B
(H)
B
(
H
)
0
1
0
B
(
H
)
B
(H
)
2
1
2
2
=
σ
[
B
(
H)
]
−σ
[
B
(
H
)
]
(43)
0
1
B
(H) −
B
(
H
)
B
(H
)
0
1
0
При подстановке (43) в (36) окончательно получаем искомую аналитическую оценку коэффи-
циента корреляции выходных сигналов B1(H) и B2(H) сэндвич-детектора излучения (в предположе-
нии, что второй детектор в сэндвич-детекторе является детектором полного поглощения):
Дефектоскопия
№ 2
2020
Математические модели радиационных прозрачностей объекта контроля...
39
B
(H)
B
(H)
2
1
2
2
σ
[
B
(H)
]
−σ
[
B
(H)
]
0
1
B
(H) −
B
(H)
B
(H)
0
1
0
r
[
B
(H),B
(H)
]
=
(44)
1
2
σ
[
B
(H)
]σ[
B
(H)
]
1
2
Заметим, что оценка коэффициента корреляции (44) не меняется, если:
все
(
)
B
H
(i = 0, 1, 2) умножить на произвольную положительную константу P, в частности
i
1
P
=
;
γcCid
2
2
все дисперсии
σ
[
B
(H)
]
=σ
[
N
(
H
)
]
(i = 0, 1, 2) умножить на произвольную положительную
i
i
1
константу Q, в частности
Q
=
2
γ
C
c
id
Приведем теперь примеры вычисления коэффициента корреляции выходных сигналов B1(H) и
B2(H) сэндвич-детектора излучения на основе полученного выражения (44). С этой целью предпо-
ложим, что в качестве тестовых материалов используются углерод, алюминий и железо (как это
обычно и делается для рентгеновских систем досмотра багажа и ручной клади [17]). Предположим
также, что сэндвич-детектор имеет следующую структуру [1]: первый (передний) детектор 0,3 мм
CsI; промежуточный фильтр 0,7 мм Cu; второй (задний) детектор 5 мм CsI. Энергетический спектр
рентгеновского излучения по числу квантов примем равным
dN
1
g
(E
,
E
)
=
= ϕ(E
, E
),
0
0
dE E
dI
где
ϕ(E,E
0
)
=
=
E
0
−
E
— энергетический спектр интенсивности I излучения источника (спектр
dE
Крамерса) при максимальной энергии в спектре E0, 1/с. Максимальную энергию E0 выберем равной
160 кэВ. Значения массовых коэффициентов ослабления заимствуем из базы данных [23].
С учетом принятых предположений получаем следующие значения коэффициента корреля-
ции (44):
r
(1) = 0,25; r
(5) = 0,22; r
(1) = 0,2; r
(5) = 0,16; r
(1) = 0,11; r
(5) = 0,05.
(45)
C
C
Al
Al
Fe
Fe
Здесь нижний индекс у коэффициента корреляции r означает материал ОК, а число в скобках —
толщину ОК в мм.
Как видно из (45), коэффициент корреляции выходных сигналов сэндвич-детектора излучения
монотонно уменьшается как с ростом атомного номера материала ОК, так и его толщины. Это
обусловлено, на наш взгляд, ужесточением пучка излучения вследствие чего он становится стати-
стически более однородным. Вместе с тем сами значения коэффициента корреляции, в целом,
оказываются сравнительно небольшие, что позволяет вполне обосновано использовать при иссле-
довании МДЭ более простую модель (13)—(20) с целью получения некоторых первичных (номи-
нальных) результатов, в частности, для распознавания тяжелых материалов (железо). В то же
время максимальные значения коэффициента корреляции приходятся на легкие материалы (угле-
род) и могут достигать значительной величины (более 0,2). К этому следует добавить, что большая
часть взрывчатых веществ относится к легким материалам и имеет эффективный атомный номер
близкий к 7 [4]. Поэтому для углубленного анализа МДЭ применительно к распознаванию легких
материалов целесообразно использовать более сложную модель (30)—(33).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В статье разработаны две математические модели радиационных прозрачностей объекта кон-
троля для сэндвич-детектора рентгеновского излучения. При этом первая модель не учитывает, а
вторая — учитывает статистическую зависимость выходных сигналов сэндвич-детектора. Получена
аналитическая оценка коэффициента корреляции выходных сигналов сэндвич-детектора и приве-
дены результаты вычислений его значений для типичных тестовых материалов, используемых при
рентгеновском досмотре багажа и ручной клади. Согласно данным результатам, первая модель
может быть использована при исследовании метода дуальных энергий с целью получения некото-
рых первичных (номинальных) результатов, в частности при распознавании тяжелых материалов,
Дефектоскопия
№ 2
2020
40
В.А. Удод, С.Э. Воробейчиков, С.Ю. Назаренко
а вторая — при исследовании возможностей данного метода по распознаванию легких материалов,
что особенно актуально для задач обнаружения взрывчатых веществ.
Разработанные модели являются основой, в частности для создания алгоритмов статистиче-
ской оценки влияния шумов, обусловленных квантовой природой рентгеновского излучения, на
точность распознавания материалов контролируемых объектов методом дуальных энергий при
использовании в досмотровой системе контроля сэндвич-детекторов излучения. Данные алгорит-
мы, в свою очередь, могут позволить осуществить на практике, на стадии проектирования новой
досмотровой системы, оптимальный по точности распознавания материалов контролируемых объ-
ектов выбор параметров отдельного сэндвич-детектора излучения, то есть оптимальный выбор
материала и толщины первого (переднего) детектора, а также оптимальный выбор материала и
толщины промежуточного фильтра.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Rebuffel V., Dinten J.M. Dual-energy X-ray imaging: benefits and limits // Insight-non-destructive
testing and condition monitoring. 2007. V. 49. No. 10. P. 589—594.
2. Park J.S., Kim J.K. Calculation of effective atomic number and normal density using a source weighting
method in a dual energy X-ray inspection system // Journal of the Korean physical society. 2011. V. 59. No. 4.
P. 2709—2713.
3. Duvillier J., Dierick M., Dhaene J., Van Loo D., Masschaele B., Geurts R., Hoorebeke L.V., Boone M.N.
Inline multi-material identification via dual energy radiographic measurements // NDT & E International.
2018. V. 94. P. 120—125.
4. Огородников С.А. Распознавание материалов при радиационном таможенном контроле на базе
линейного ускорителя электронов / Дис. … канд. техн. наук. Санкт-Петербург, 2002. 121 с.
5. Гавриш Ю.Н., Бердников Я.А., Спирин Д.О., Передерий А.Н., Сафонов М.В., Романов И.В.
Программный комплекс для восстановления интроскопических изображений с использованием метода
дуальной энергии // Рroblems of atomic science and technology. 2010. № 3. Series: Nuclear Physics
Investigations (54). P. 123—125.
6. Gil Y., Oh Y., Cho M., Namkung W. Radiography simulation on single-shot dual-spectrum X-ray for
cargo inspection system // Applied Radiation and Isotopes. 2011. V. 69. No. 2. Р. 389—393.
7. Osipov S.P., Udod V.A., Wang Y. Identification of materials in X-Ray inspections of objects by the
dual-energy method // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2017. V. 53. No. 8. P. 568—587.
[Осипов С.П., Удод В.А., Ван Я. Распознавание материалов методом дуальных энергий при радиаци-
онном контроле объектов // Дефектоскопия. 2017. № 8. С. 33—56.]
8. Osipov S.P., Usachev E.Yu., Chakhlov S.V. et al. Selecting Parameters of Detectors When Recognizing
Materials Based on the Separation of Soft and Hard X-Ray Components // Russian Journal of Nondestructive
Testing. 2018. V. 54. No. 11. P. 797—810. [Осипов С.П., Усачев Е.Ю., Чахлов С.В., Щетинкин С.А.,
Камышева Е.Н. Выбор параметров детекторов в методе распознавания материалов на основе разде-
ления мягкой и жесткой составляющих рентгеновского излучения // Дефектоскопия. 2018. № 11.
С. 60—71.]
9. Fredenberg E. Spectral and dual-energy X-ray imaging for medical applications // Nuclear Instruments
and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated
Equipment. 2018. V. 878. Р. 74—87.
10. Ying Zhengrong, Naidu Ram, Crawford Carl R. Dual energy computed tomography for explosive
detection // Journal of X-Ray Science and Technology. 2006. V. 14. Р. 235—256.
11. Chang S., Lee H. K., Cho G. Application of a dual-energy monochromatic x-ray CT algorithm to
polychromatic x-ray CT: a feasibility study // Nuclear Engineering and Technology. 2012. V. 44. No.1. Р. 61—70.
12. Iovea M., Neagu M., Duliu O.G., Oaie G., Szobotka S., Mateiasi G. A Dedicated On-Board Dual-
Energy Computer Tomograph // J. Nondestruct Eval. 2011. V. 30. P. 164—171.
13. Alves H., Lima I., Lopes R.T. Methodology for attainment of density and effective atomic number
through dual energy technique using microtomographic images // Applied Radiation and Isotopes. 2014.
V. 89. P. 6—12.
14. Jia Hao, Kejun Kang, Li Zhang, Zhiqiang Chen. A novel image optimization method for dual-energy
computed tomography // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators,
Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2013. V. 722. Р. 34—42.
15. Свистунов Ю.А., Ворогушин М.Ф., Петрунин В.И., Сидоров А.В., Гавришин Ю.Н., Фиал-
ковский А.М. Развитие работ по созданию рентгеновских и ядерно-физических инспекционных ком-
плексов в НИИЭФА им. Д.В. Ефремова // Рroblems of atomic science and technology. 2006. No. 3.
Р. 171—173.
16. Заявка 2458408. Европейское патентное ведомство, МПК G01V 5/00. Dual-energy X-ray body
scanning device and image processing method. Chen Xue Liang, Chen Li, Huo Mei Chun, Yang Li Rui, Dong
Ming Wen, Kong Wei Wu, Yang XiaoYue, Xue Kai, Li Yong Qing, Li Guang Qing, Zhao Lei. BEIJING
Дефектоскопия
№ 2
2020
Математические модели радиационных прозрачностей объекта контроля...
41
ZHONGDUN ANMIN ANALYSIS TECHNOLOGY CO LTD, FIRST RES INST OF MINISTRY OF
PUBLIC SECURITY OF P R C / № 11167491; заявл. 25.05.2011; опубл. 30.05.2012.
17. Udod V.A., Osipov S.P., Wang Y. Estimating the Influence of Quantum Noises on the Quality of
Material Identification by the Dual-Energy Method // Russian Journal of Nondestructive Testing. 2018. V. 54.
No. 8. P. 585—600. [Удод В.А., Осипов С.П., Ван Я. Оценка влияния квантовых шумов на качество рас-
познавания материалов методом дуальных энергий // Дефектоскопия. 2018. № 8. С. 50—65.]
18. Udod V.A., Osipov S.P., Wang Y. The mathematical model of image, generated by scanning digital
radiography system / IOP Conference Series: Materials Science and Engineering // IOP Publishing. 2017.
V. 168. No. article 012042.
19. Rogers T.W., Jaccard N., Griffin L.D. A deep learning framework for the automated inspection of
complex dual-energy x-ray cargo imagery. — Anomaly Detection and Imaging with X-Rays (ADIX) II /
International Society for Optics and Photonics. 2017. V. 10187. No. article 101870L.
20. Roessl E., Herrmann C. Cramér-Rao lower bound of basis image noise in multiple-energy x-ray
imaging // Phys. Med. and Biol. 2009. V. 54. No. 5. Р. 1307—1318.
21. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука,
1978. 832 с.
22. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М.: Наука,
1988. 480 с.
23. X-ray mass attenuation coefficients. https://physics.nist.gov/PhysRefData/XrayMassCoef/tab3.html
Дефектоскопия
№ 2
2020