Общие вопросы дефектоскопии
УДК 620.179.1
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ОВАЛЬНОСТИ В СМОНТИРОВАННЫХ
ТРУБОПРОВОДАХ
© 2020 г. Ю.Г. Тихомиров1,*, В.Я. Раевский2,**
1ООО «НПЦ «ВТД», Обособленное подразделение, Россия 623700 Свердловская область, г. Березовский,
Западная промзона, 14
2Институт физики металлов имени М.Н. Михеева УрО РАН, Россия 620137 Екатеринбург,
ул. С. Ковалевской, 18
E-mail: *y.tihomirov@npcvtd.ru; **raevskii@imp.uran.ru
Поступила в редакцию 18.10.2019; после доработки 17.12.2019
Принята к публикации 23.12.2019
Предложена методика определения дефекта типа «овальность» в смонтированном трубопроводе, основанная на ап-
проксимации контура внешней границы поперечного сечения трубы эллипсом. Исследованы два подхода построения
аппроксимирующего эллипса — алгебраический и геометрический, различающиеся критерием приближения. Проведена
экспериментальная проверка меры погрешности предлагаемой методики.
Ключевые слова: дефекты трубопровода, овальность, метод наименьших квадратов.
DOI: 10.31857/S0130308220020074
1. ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в России строится и реконструируется большое количество магистраль-
ных трубопроводов различных диаметров. Это обусловлено появлением новых задач и проектов
по транспортировке углеводородов и естественным старением магистральных трубопроводов, по-
строенных ранее.
В процессе строительства или реконструкции (ремонта) магистральных трубопроводов веро-
ятно появление дефектов нарушения формы трубы (дефектов геометрии), связанных с производ-
ством разгрузочно-погрузочных, земляных работ, нарушением технологии укладки и не проект-
ным положением трубопровода. Основными типами дефектов нарушения формы трубы являются
вмятины, гофры и овальность [1]. Настоящая работа посвящена методам определения дефекта типа
овальность — нарушение формы поперечного сечения трубы, характеризующееся ее отклонением
от идеально кольцевой.
Численно овальность сечения Θ определяется в зависимости от значений наибольшего и наи-
меньшего наружных диаметров в поперечном сечении трубы по следующей формуле [2, 3]:
D
−
D
max
min
Θ=
⋅100 %
,
(1.1)
D
mean
где Dmax и Dmin — максимальный и минимальный диаметры внешней границы рассматриваемо-
го сечения трубопровода соответственно, а средний диаметрDmean
=(D
+D
)/2 суть среднее
max
min
арифметическое этих диаметров. Строгое определение максимального и минимального диаметров
будет дано в следующем разделе. Существуют предельно допустимые нормы овальности, превы-
шение которых является основанием для устранения этого дефекта, что влечет за собой значитель-
ные материальные затраты (остановка транспорта перекачиваемого продукта и его удаление из
трубопровода, проведение земляных и сварочно-монтажных работ, проведение неразрушающего
контроля сварных соединений).
После укладки и засыпки смонтированного подземного газопровода под действием веса грунта
засыпки или других неблагоприятных факторов возможно нарушение первоначально правильной
кольцевой формы сечений газопровода. В соответствии с [4], контроль формы поперечного сече-
ния трубопровода проводится перед сдачей его в эксплуатацию с целью выявления и ликвидации
нарушений геометрических размеров внутренней полости, недопустимых отклонений профиля от
окружности, допущенных в процессе строительно-монтажных работ, и предотвращения повреж-
дений внутритрубных инспекционных приборов при последующем проведении диагностических
работ в процессе эксплуатации.
Контроль формы поперечного сечения смонтированного трубопровода проводится средствами
внутритрубной диагностики (ВТД) — профилеметрии с использованием внутритрубного инспек-
64
Ю.Г. Тихомиров, В.Я. Раевский
ционного прибора — снаряда-профилемера. Поскольку внутритрубный снаряд-профилемер при
прохождении по трубе измеряет геометрические размеры ее внутреннего сечения, то необходимые
для определения овальности размеры внешней границы сечения рассчитываются с учетом толщины
стенки трубы. В соответствии с [5] в отчет ВТД выдаются овальности величиной более 1 %. В отче-
те ВТД указывается положение дефектов на поверхности трубы, их длина, ширина и глубина (если
таковую можно определить для данного типа дефекта), рассчитанная с использованием программ-
ного обеспечения, применяемого специализированными организациями, проводящими внутритруб-
ную диагностику, а также степень опасности дефекта (определенную в соответствии с НТД).
Внутритрубная диагностика не является обоснованием для отбраковки труб. Данные отчета ВТД
являются основанием для проведения дополнительного дефектоскопического контроля (наружно-
го обследования) дефектов в шурфах, выявленных в результате ее проведения. Дополнительный
дефектоскопический контроль (ДДК) проводится с целью проверки идентификации и геометриче-
ских параметров выявленных дефектов, а также выявления дефектов, не обнаруженных при ВТД.
По результатам ДДК проводятся расчеты и принимается решение о методе ремонта труб.
Действующая нормативная документация подразумевает определение овальности трубы с по-
мощью измерения с торца трубы наибольшего и наименьшего диаметров, что невозможно при
проведении измерений на смонтированном и, возможно, уложенном в грунт трубопроводе. В на-
стоящее время методики и средства измерения овальности трубы, находящейся в смонтированном
трубопроводе, отсутствуют.
Таким образом, назрела актуальная необходимость в разработке средств (основных и/или вспо-
могательных) для измерения подобных дефектов, а также соответствующих методик проведения
измерений на смонтированных трубопроводах.
2. РАБОЧИЙ МАКЕТ УСТРОЙСТВА ДЛЯ ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ПАРАМЕТРОВ ДЕФЕКТОВ ТИПА «ОВАЛЬНОСТЬ»
В качестве вспомогательного средства измерения геометрических параметров дефектов типа
«овальность» на смонтированном трубопроводе специалистами ООО «НПЦ «ВТД» (Общество с
ограниченной ответственностью «Научно-производственный центр «Внутритрубная диагности-
ка»») было предложено устройство, представляющее собой разборный внешний контур прямоу-
гольного сечения со специальными «щупами». Для проведения измерений устройство устанавли-
вается таким образом, чтобы обследуемая труба находилась внутри данного контура, а плоскость
контура была перпендикулярна оси трубы. Данное устройство позволит определять координаты
необходимого количества точек, лежащих на контуре, являющимся внешней границей поперечного
сечения трубы. Используя производственную базу ООО «НПЦ «ВТД», был изготовлен рабочий ма-
кет предлагаемого устройства для отработки методики проведения измерений на смонтированном
газопроводе, с помощью которого была проведена серия измерений. Результаты проведенных из-
мерений и были использованы для проверки математических алгоритмов определения параметра
овальности Θ, предлагаемых в данной статье.
Y
1000
(X1, Y1)
(X2, Y2)
Y1
Y2
0
X1
X
X2
I
Рис. 1. Рабочий макет внешнего контура с монтажными
Рис. 2. Схема измерения координат точек контура трубы с
шпильками в сборе.
овальностью при помощи рабочего макета внешнего
контура.
Дефектоскопия
№ 2
2020
Методика расчета овальности в смонтированных трубопроводах
65
Идея предлагаемой в настоящей работе методики определения овальности в смонтированном
трубопроводе состоит в использовании измеренных координат точек контура трубы в данном се-
чении для построения оптимального эллипса, наилучшим образом аппроксимирующего внешний
(с учетом толщины стенки трубы) контур поперечного сечения трубы. После построения тако-
го эллипса овальность может быть вычислена по формуле (1.1), где в качестве максимального и
минимального диаметров естественно берутся удвоенные значения большой и малой полуосей
построенного эллипса соответственно. В настоящей работе будет также проведена эксперимен-
тальная проверка указанной методики приближенного определения овальности путем сравнения
с реальным значением овальности, определенными после обработки результатов измерений, про-
веденными при помощи рабочего макета устройства, специально изготовленного для этих целей
(см. рис. 1 и 2).
3. КОРРЕКТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОВАЛЬНОСТИ
Для построения математической модели любого процесса необходимо прежде всего вве-
сти математически корректные и однозначные определения всех параметров, описывающих
исследуемый процесс. Формула (1.1), определяющая овальность сечения трубы, содержит
такие параметры, как максимальный Dmax и минимальный Dmin диаметры плоского замкнуто-
го контура, являющегося внешней границей рассматриваемого поперечного сечения трубы,
который при наличии дефектов может иметь далеко не идеальную геометрическую форму.
В соответствующей дефектоскопической литературе не было найдено математически кор-
ректного определения диаметра плоского замкнутого контура, с помощью которого можно
было бы найти наибольший и наименьший, используемый в формуле (1.1). Не приводя опре-
деления диаметра контура, авторы сразу пытаются определить его наибольшее и наименьшее
значение. Чаще всего это делается с помощью рисунков, однозначное и интуитивно ясное
прочтение которых весьма затруднительно и никак не может быть положено в основу матема-
тической модели.
Типичным «определением» овальности можно считать следующее: «овальность — откло-
нение от круглости, при котором реальный профиль представляет собой овалообразную фи-
гуру, наибольший и наименьший диаметр которой находятся во взаимно перпендикулярных
направлениях» (см., например, [2, 6—8]). Во-первых, математическое определение овала при
своей формальной общности предполагает по крайней мере выпуклость плоской фигуры, что
может не выполняться для сечения трубы при наличии дефектов типа вмятины и гофра. Во-
вторых, при отсутствии однозначного определения диаметра замкнутого контура сложно го-
ворить о его наименьшем и наибольшем значениях. В-третьих, даже интуитивное понимание
диаметра не обязывает его наибольшее и наименьшее значения реализовываться на взаимно
перпендикулярных направлениях. В [2] в рамках приведенного выше определения овальности
предлагается следующий способ измерения наибольшего и наименьшего диаметров: делать
замеры диаметров, последовательно поворачивая изделие на небольшие углы. Выбрав наи-
больший диаметр Dmax, измерить диаметр в соответственно перпендикулярном направлении,
приняв его за наименьший Dmin. Однако, в соответствии с требуемой логической равноправно-
стью наибольшего и наименьшего диаметров, если начать указанную процедуру с аналогич-
ного нахождения наименьшего диаметра, то скорее всего будут получаться уже совсем другие
значения указанных диаметров.
Для построения математической модели необходимо ввести математически строгое по-
нятие диаметра плоского замкнутого контура, которое бы адекватно соответствовало целям
исследования овальности. В математике есть общее понятие диаметра произвольного множе-
ства (в метрическом пространстве) как наибольшее расстояние между его точками. Для на-
ших целей такое определение могло бы соответствовать наибольшему диаметру замкнутого
контура. Но понятно, что принятое в этом случае по аналогии определение наименьшего диа-
метра всегда давало бы нулевое значение, а потому не соответствовало бы его интуитивному
пониманию. За основу обобщения логично принять определение диаметра эллипса [9, с. 113]:
диаметром называется отрезок, соединяющий любые две точки эллипса и содержащий его
центр. По аналогии определим диаметр произвольного замкнутого плоского контура как от-
резок, соединяющий любые две его точки и содержащий его центр. После этого естественным
образом определим наибольший Dmax и наименьший Dmin диаметры контура для вычисления
овальности по формуле (1.1). Весь вопрос после этого состоит в том, какую точку плоско-
сти считать центром контура. Мы считаем, что эту точку следует выбрать в зависимости от
Дефектоскопия
№ 2
2020
66
Ю.Г. Тихомиров, В.Я. Раевский
типа поставленной задачи — либо исходя из естественных геометрических соображений, либо
в соответствии с конкретными особенностями исследуемых явлений, для изучения которых
необходимо понятие такого диаметра. Эллипс является центрально симметричной фигурой,
поэтому в упомянутом выше определении диаметра эллипса в качестве его центра понимается
точка центра симметрии. Из геометрических соображений такое понимание центра естествен-
но распространить на любой плоский замкнутый контур, обладающий центром симметрии. А
если контур не является центрально симметричной фигурой? В этом случае в качестве центра
надо принимать точку, выбор которой наиболее адекватно отражает особенности либо самого
изучаемого процесса, либо конкретного способа измерения его параметров. Это может быть,
например, центр тяжести фигуры, ограниченной данным контуром, либо какая-либо точка при-
бора, экспериментально проводящего исследование формы контура. В случае изучения оваль-
ности труб в качестве центра может быть взят геометрический центр ее кругового поперечного
сечения, которое имело место до появления дефекта формы в процессе укладки или эксплуата-
ции. Либо какая-нибудь подходящая точка используемого измерительного прибора (например,
внутритрубного снаряда-профилемера), относительно которой по соответствующей методике
ведутся измерения координат точек контура.
4. ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОВАЛЬНОСТИ
В СМОНТИРОВАННОМ ТРУБОПРОВОДЕ
Как уже упоминалось выше, для измерения геометрических параметров дефектов типа
«овальность» на смонтированном трубопроводе специалистами ООО «НПЦ «ВТД» был пред-
ложен разборный внешний контур прямоугольного сечения. С помощью специальных измери-
тельных щупов через отверстия в профиле, из которого изготовлены стороны внешнего конту-
ра, определяется положение (то есть координаты) необходимого числа точек на внешнем кон-
туре поперечного сечения трубы. Таким образом, возникает задача создания вычислительной
методики, которая по измеренным координатам упомянутых точек позволяет находить при-
ближенное значение овальности. Необходимо также экспериментально оценить погрешность
создаваемой методики и характер зависимости этой погрешности от количества измеренных
точек на внешнем контуре поперечного сечения трубы. Основная идея такой методики состоит
в том, чтобы, используя координаты измеренных точек, наилучшим образом аппроксимировать
реальный внешний контур поперечного сечения трубы какой-либо подходящей идеальной цен-
трально симметричной замкнутой кривой. Вычисляя по формуле (1.1) овальность этой кривой,
получаем приближенное значение овальности реального контура. Из классических замкнутых
кривых эллипс наиболее адекватно описывает форму деформированного поперечного сечения
трубы. Поэтому математически задача сводится к нахождению эллипса, наиболее близко (в том
или ином смысле) расположенного к измеренным точкам. Для эллипса однозначно определены
наибольший Dmax и наименьший Dmin диаметры (большая и малая его оси соответственно), а
потому вычисление его овальности по формуле (1.1) затруднений не вызывает.
Таким образом, формальная постановка задачи такова. Даны точки на плоскости своими коор-
динатами
M
1
(x
1
,
y
1
),M
2
(x
2
,
y
2
),...,M
(
n n
x
,
y
n
).
(4.1)
Требуется найти такой эллипс (то есть найти большую и малую полуоси a и b этого эллипса,
координаты центра (x0, y0) и угол α поворота его фокальной оси по отношению к оси x — против
часовой стрелки от оси x), который лучше других аппроксимирует точки (4.1). Этот эллипс будем
называть оптимальным и считать его решением сформулированной задачи. Мы далее укажем два
подхода к нахождению оптимального эллипса (алгебраический и геометрический, отличающиеся
характером аппроксимации), а также исследуем в сравнении их трудоемкость, сложность алгорит-
мической реализации, степень отличия получаемых результатов.
5. ПЕРВЫЙ ПОДХОД
Эллипс является кривой второго порядка, а потому его общее уравнение может быть записано
в виде
2
2
Ax
+2Bxy +Cy
+2Dx + 2Ey + F = 0.
(5.1)
Дефектоскопия
№ 2
2020
Методика расчета овальности в смонтированных трубопроводах
67
Найдем значения шести параметров A, B, C, D, E, F, при которых координаты точек (4.1) удов-
летворяют (5.1) с наибольшей точностью (алгебраическое приближение). Эллипс с найденными
параметрами будем считать оптимальным эллипсом в данном подходе. Прежде всего, уменьшим
количество искомых параметров. Для того, чтобы уравнение (5.1) определяло эллипс, необходимо,
чтобы выполнялось условие [10, с. 66]
A B
2
δ:=
=
A⋅C−B
>
0,
(5.2)
B C
где δ — один из инвариантов для кривых второго порядка. Поэтому у искомого эллипса A ≠ 0 и
можно без потери общности разделить обе части (5.1) на A, после чего уравнение эллипса может
быть записано в том же виде, что и (5.1), но с A = 1:
2
2
x
+2Bxy +Cy
+2Dx + 2Ey + F = 0.
(5.3)
Для нахождения пяти оптимальных (в указанном выше смысле) параметров B, C, D, E, F введем
для удобства обозначения:
z
= 2B, z
= C, z
= 2D, z
= 2E, z
=F.
(5.4)
1
2
3
4
5
Тогда уравнение (5.3) запишется в виде
2
2
x
+z
xy + z
y
+z
x+z
y+z
= 0.
(5.5)
1
2
3
4
5
Найдем оптимальные z1, z2, z3, z4, z5. Если бы точки (4.1) точно лежали на каком-либо эллипсе,
то, в соответствии с (5.5), их координаты при некотором наборе z1, z2, z3, z4, z5 удовлетворяли бы
2
2
уравнениям
x
+z
x
y
+z
y
+z
x
+z
y
+z
=
0
(i = 1, …, n), а потому система линейных уравне-
i
1
i
i
2
i
3
i
4
i
i
ний относительно z1, z2, z3, z4, z5:
2
2
z
x
y
+
z
y
+
z
x
+
z
y
+
z
=-x
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
(5.6)
2
2
zx
n n
y + z
n n
y
+
z
3
x
n
+
z
4
y
n
+
z
5
=-x
n
1
была бы совместна (то есть имела бы решение). Поскольку в общем случае точки (4.1) не лежат в
точности ни на каком эллипсе (считаем, что число экспериментальных точек n > 5), то система (5.6)
несовместна (решений не имеет). В этом случае ищут так называемое псевдорешение (или обоб-
щенное решение) z1, z2, z3, z4, z5 [11, с. 46] системы (5.6), которое минимизирует сумму квадратов
отклонений левых и правых частей системы (5.6):
n
2
2
+
z
x
y
+
z
y
+
z
x
+
z
y
+
z
)
→
min.
∑(xi
1
i
i
2
i
3
i
4
i
5
i =1
Из этого условия для нахождения псевдорешения z1, z2, z3, z4, z5 получается следующая система
линейных уравнений:
n
n
n
n
n
n
2
2
3
2
2
3
z
x
y
+
z
x
y
+
z
x
y
+
z
x
y
+
z
x
y
=-
x
y
1
∑
i
i
2
∑
i
i
3
∑
i
i
4
∑
i
i
5
∑
i
i
∑
i
i
i=1
i=1
i=1
i=
1
i=1
i=1
n
n
n
n
n
n
3
4
2
3
2
2
2
z
x
y
+
z
y
+
z
x
y
+
z
y
+
z
y
=-
x
y
1
∑
i
i
2
∑
i
3
∑
i
i
4
∑
i
5
∑
i
∑
i
i
i=1
i=1
i=
1
i=1
i
=1
i=1
n
n
n
n
n
n
2
2
2
z
1
∑
x
i
y
i
+
z
2
∑
x
i
y
i
+
z
3
∑
x
i
+
z
4
∑
x
i
y
i
+
z
5
∑
x
i
=-
x
(5.7)
i=1
i=1
i=1
i=
1
i=
1
i=1
n
n
n
n
n
n
2
3
2
2
z
x
y
+
z
y
+
z
x
y
+
z
y
+
z
y
=-
x
y
1
∑
i
i
2
∑
i
3
∑
i
i
4
∑
i
5
∑
i
∑
i
i
i=1
i=1
i=
1
i=
1
i
=1
i=1
n
n
n
n
n
2
2
z
x
y
+
z
y
+
z
x
+
z
y
+
z
⋅
n
=-
x
1
∑
i
i
2
∑
i
3
∑
i
4
∑
i
5
∑
i
i
=1
i
=1
i
=1
i
=1
i
=1
Дефектоскопия
№ 2
2020
68
Ю.Г. Тихомиров, В.Я. Раевский
Отметим, что если точки (4.1) лежат на некотором эллипсе, то система (5.6) имеет обычное
решение, с которым псевдорешение совпадает.
После решения системы (5.7) относительно z1, z2, z3, z4, z5 получаем с учетом (5.4) оптимальный
набор коэффициентов для уравнения (5.1):
A=1, B = z
1
/ 2, C = z
2
, D=z
3
/ 2, E = z
4
/ 2, F = z
5
,
(5.8)
при котором координаты точек (4.1) удовлетворяют (5.1) с наибольшей точностью.
Теперь надо ответить на приведенные ниже вопросы.
1. Является ли уравнение (5.1) с этими коэффициентами действительно уравнением эллипса
(а не другой кривой второго порядка)?
2. Если да, то каковы полуоси a и b этого эллипса, координаты центра (x0, y0) и угол α поворота
его фокальной оси по отношению к оси x?
Для ответа на эти вопросы рассмотрим общее уравнение (5.1), но будем считать в нем A > 0
(этого всегда можно добиться, умножая при необходимости обе части (3.1) на (-1), а в использу-
емом нами наборе коэффициентов (5.8) это выполнено, так как A = 1). Для ответа на первый во-
прос вычисляем так называемые инварианты кривой второго порядка с уравнением (5.1) (числа,
которые не меняются при переходе к другой системе координат путем переноса начала координат
и вращения на некоторый угол):
A B
2
δ:=
=
A⋅C−B
,
S
:=
A+C,
(5.9)
B C
A B D
2
2
2
∆
:
=
B C E
=
A⋅C⋅F
+
2
⋅
B⋅E⋅D
-
(C⋅D
+
A⋅E
+
F⋅B
).
(5.10)
D E F
Уравнение (5.1) есть уравнение эллипса, только если выполнены условия:
∆
δ>
0,
<
0.
S
Если эти условия выполнены для коэффициентов (5.8), то уравнение (5.1) с этими коэффици-
ентами есть уравнение эллипса. Его полуоси a и b (a > b), координаты центра (x0, y0) и угол α пово-
рота его фокальной оси по отношению к оси x вычисляются по следующим ниже формулам (см.,
например, [9, с. 114; 12, с. 104; 13, с. 65]):
F
F
1
1
a
=
-
,
b
=
-
,
A
C
1
1
1
D B
1
x
=-
⋅
=-
⋅
(D⋅C−E⋅B
),
0
δ
E C
δ
(5.11)
1
A D
1
y
0
=-
⋅
=-
⋅
(A⋅E−B⋅D
),
δ
B E
δ
A
-
A
1
α=
arctg
,
B
где
∆
A+C− D
A+C+ D
1
1
2
2
F
1
:
=
,
A
1
:=
,
C
1
:=
,
D
1
:=
(A-C)
+4B
(5.12)
δ
2
2
В соответствии с формулой (1.1) овальность эллипса
2
a
−2b
2(
a-b)
Θ=
⋅
100 %
=
⋅100 %.
(5.13)
(2a
+
2b)/2
a+b
Дефектоскопия
№ 2
2020
Методика расчета овальности в смонтированных трубопроводах
69
Учитывая (5.11) и (5.12), овальность можно выразить через коэффициенты A, B, C в уравнении
эллипса (5.1)
2
2
2
(A-C)
+4B
Θ=
⋅100 %.
(5.14)
2
A+C
+2
AC-B
Наконец, используя (5.8), можно выразить овальность полученного эллипса непосредственно
через решение системы (5.7)
2
2
2
(1−
z
)
+
z
2
1
Θ=
⋅100 %.
(5.15)
2
1+
z
+
4
z
−
z
2
2
1
6. ВТОРОЙ ПОДХОД
Этот подход отличается от предыдущего типом аппроксимации точек (4.1) эллипсом.
Оптимальным будет считаться тот эллипс, к которому точки (4.1) геометрически располагаются
ближе всего, то есть для которого будет наименьшей сумма расстояний до него от этих точек или,
что то же самое, будет наименьшим среднее расстояние от точек до эллипса (геометрическое
приближение). Расстоянием от некоторой точки до эллипса, как и принято в математике, назы-
вается наименьшее из расстояний от этой точки до точек эллипса (то есть длина в определенном
смысле перпендикуляра, опущенного из точки на эллипс). Поскольку положение и форма эллип-
са однозначно определяются полуосями a и b (a > b), координатами его центра (x0, y0) и углом
α поворота его фокальной оси по отношению к оси x, то задача сводится к нахождению набора
параметров a, b, x0, y0, α, которые минимизируют функцию пяти переменных
n
F a,b,x
,
y
,α
):
d
,
(6.1)
0
0
=∑
i
i
=1
где
d
i
i
≡d a,b,x
0
,
y
0
,α)
суть расстояние от точки
M
i
(x
i
,
y
i
)
до эллипса, определенного соответ-
ствующими параметрами a, b, x0, y0, α.
Для дальнейшего нам понадобится формула для расстояния от точки до эллипса (см. [14, 15]).
Уравнение эллипса с полуосями a и b в своей канонической системе координат (то есть начало в
центре эллипса, а оси абсцисс и ординат направлены по большой и малой осям) имеет вид
2
2
x
y
+
=
1.
(6.2)
2
2
a
b
Пусть в этой же канонической системе задана своими координатами точка M (x, y) . Тогда ква-
драт расстояния от этой точки до эллипса равен минимальному положительному корню многочле-
на 4-й степени
4
3
2
F(z):= B
0
z
+B
1
z
+B
2
z
+B
3
z+B
4
,
(6.3)
где коэффициенты многочлена определяются формулами:
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B
=L
;B
= -2L L(a
+b
+x
+y
)+a
y
−b
x
;
0
1
4
2
2
4
4
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
B
= 6La
y
+a
y
−b
x
−b
x
+ L(a
b
+x
y
) + (L
−a
x
−b
y
)
;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
B
= -2a
b
{
a
b
TG
− (a
+b
)T
+ 3a
b
T -6a
b
SG+2a
b
T
S
}
;
3
2
2
4
4
2
2
2
2
2
x
y
B
=a
b
G
(T
+ 4a
b
G);
L=a
−b
2;
G=
+
-1
;
4
2
2
2
2
a
b
2
2
2
x
y
T =x
+y
−a
−b
2;
S=
+
4
4
a
b
Дефектоскопия
№ 2
2020
70
Ю.Г. Тихомиров, В.Я. Раевский
Другой способ нахождения расстояния от точки
M x,
y
)
до эллипса (6.2) связан с его пара-
метрической формой задания x = a cost , y = bsint , t ∈[0,2π) . С помощью классических методов
нахождения минимума легко показать, что точка эллипса, на которой реализуется указанное рас-
стояние, соответствует такому значению параметра
t∈
[0,2π)
, которое является корнем уравнения
2
2
ax sint - by cost + (b
−a
) sint cost = 0.
(6.4)
Это уравнение численно может быть решено с любой наперед заданной точностью.
Для того, чтобы воспользоваться указанными приемами вычисления в формуле (6.1) расстоя-
ния di от точки Mi(xi, yi) до эллипса, определенного параметрами a, b, x0, y0, α, необходимо перейти
от заданных координат (x
,
y
)
точки Mi в исходной системе координат к ее координатам (x
,
y
)
i
i
i
i
в канонической для этого эллипса системе координат, которая получается из исходной переносом
начала координат в точку с координатами (x0, y0) и поворотом вокруг этой точки на угол α против
часовой стрелки. Используя известные формулы пересчета координат точек при таких манипу-
ляциях с системой координат (см., например, [16]), получаем, что координаты (x
i
,
y
i
)
точки Mi в
канонической системе координат
x
=
(x
−x
)cosα+(y
−y
) sinα,
y
=-(x
−x
) sinα+(y
−y
)cos
α
i
i
0
i
0
i
i
0
i
0
После такого пересчета координат можно находить приведенными выше способами рас-
стояния di от заданных точек Mi до эллипса, после чего по формуле (6.1) находить значение
минимизируемой функции F(a, b, x0, y0, α) для заданного набора ее переменных a, b, x0, y0, α.
Имея таким образом «датчик» функции F(a, b, x0, y0, α), можно организовывать поиск ее ми-
нимума любым известным алгоритмом численной минимизации функции многих переменных.
Точка (глобального) минимума этой функции определяет параметры a, b, x0, y0, α оптимального
(в изложенном выше смысле) эллипса, после чего его овальность Θ может быть вычислена по
формуле (5.13).
7. СРАВНЕНИЕ ПОДХОДОВ
Первый подход, представленный в параграфе 5, очень удобен с вычислительной точки зре-
ния. Он связан с решением линейной системы уравнений с пятью неизвестными (5.7), которая
разрешима однозначно, а получение ее решения за доли секунды может быть выполнено даже на
достаточно примитивном вычислительном комплексе. Это является важным преимуществом для
получения оперативной информации при соответствующем контроле труб с помощью дефекто-
скопов.
Второй подход, связанный с минимизацией функции пяти переменных F(a, b, x0, y0, α), опре-
деленной в (6.1), значительно сложнее и менее удобен с вычислительной точки зрения. Как по-
казали численные эксперименты, рельеф «графика» этой функции достаточно сложен, содержит
большое количество локальных минимумов. По этой причине при минимизации этой функции
любым итерационным численным методом результат в значительной мере зависит от выбора
начального приближения. При различных начальных приближениях результат «скатывается»
в один из многочисленных локальных минимумов, а потому нахождение желаемого глобально-
го минимума проблематично. Кроме того, эффективные программы многомерной минимизации
предполагают наличие достаточно мощного вычислительного комплекса, что не позволяет ис-
пользовать его в дефектоскопах для получения оперативной информации.
Единственным преимуществом второго подхода по сравнению с первым является то обстоя-
тельство, что критерий оптимальности результирующего эллипса при втором подходе (наиболее
близкое геометрическое расположение к нему заданных экспериментальных точек) кажется бо-
лее адекватным изначальной постановке задачи о нахождении наилучшего эллипса, чем крите-
рий оптимальности результирующего эллипса при первом подходе (наилучшее удовлетворение
координат экспериментальных точек уравнению этого эллипса). В связи с этим возникает во-
прос о том, в какой мере оптимальный эллипс, полученный в рамках первого легко реализуемого
подхода, является оптимальным и в смысле второго подхода. Для ответа на этот вопрос были
проделаны численные эксперименты, в которых параметры оптимального эллипса, полученные
при реализации первого подхода, брались в качестве начального приближения в процессе мини-
мизации функции F(a, b, x0, y0, α) в рамках второго подхода. Оказалось, что результат минимиза-
Дефектоскопия
№ 2
2020
Методика расчета овальности в смонтированных трубопроводах
71
ции совершенно незначительно отличался от исходного начального приближения. Это говорит о
том, что оптимальный эллипс в смысле первого подхода является практически оптимальным и в
смысле второго подхода. Таким образом, первый подход по всем характеристикам является более
удобным для решения поставленной задачи.
8. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА МЕТОДИКИ
Для проведения такой проверки была вырезана часть реальной трубы (так называемая ка-
тушка) с исследуемым дефектом. Проведена серия измерений необходимых геометрических
параметров катушки при помощи поверенного измерительного инструмента (измерительная
рулетка II класса). Значения наибольшего и наименьшего диаметров составили Dmax = 542 мм и
Dmin = 521 мм при погрешности измерений не более 1 мм. При этом овальность, вычисленная по
формуле (1.1), составила Θ = 3,95 %. Далее были измерены координаты 20 точек (n = 20) на внеш-
ней поверхности поперечного сечения катушки, по которым с помощью описанной методики
был построен аппроксимирующий эти точки оптимальный эллипс, наибольший и наименьший
диаметр которого составил Dmax = 540 мм и Dmin = 522 мм, овальность Θ = 3,39 % соответственно.
Для подтверждения действительной близости исследуемого профиля реальной трубы к эл-
липсу были вычислены отклонения каждой из 20 точек на этом профиле от построенного по
приведенной методике оптимального эллипса. Оказалось, что среднее (арифметическое) от-
клонение этих точек от эллипса 1,49 мм, что составляет 0,28 % от среднего диаметра эллипса
Dmean = 531,5 мм (0,275 % от его наибольшего диаметра Dmax = 542 мм и 0,286 % от его наи-
меньшего диаметра Dmin = 521 мм соответственно).
Для проверки влияния количества измеренных точек n на точность результатов, были затем из-
мерены координаты 100 точек (n=100) на внешней поверхности поперечного сечения катушки. При
этом наибольший и наименьший диаметр аппроксимирующего эллипса составил Dmax = 542,6 мм
и Dmin = 520,8 мм, овальность Θ = 4,10 % соответственно. Таким образом, результаты эксперимен-
тальной проверки предлагаемой методики показали вполне приемлемую точность получаемых по
ней результатов.
9. ВЫВОДЫ
1. Обоснована необходимость создания вспомогательного устройства для измерения параметра
«овальность» в виде внешнего контура.
2. Создан алгоритм обработки результатов измерения, полученных при использовании внешне-
го контура на смонтированном трубопроводе.
3. Получен опыт проведения измерений дефектов геометрии трубопроводов с использова-
нием рабочего макета внешнего контура (для определения параметра Θ), что дает возможность
ООО «НПЦ»ВТД» приступить к созданию прототипа вспомогательного устройства типа «внеш-
ний контур» в виде разъемного кольца, на основе которого будет создаваться автоматизированная
система измерения и обработки полученных результатов.
Работа выполнена в рамках государственного задания по теме
«Квант»
(«Quantum»)
№ АААА-А18-118020190095-4 и при поддержке проекта № 18-10-2-8 Программы УрО РАН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. РД 23.040.00-КТН-090-07 «Классификация дефектов и методы ремонта дефектов и дефектных
секций действующих магистральных нефтепроводов». ОАО АК «Транснефть». 2007.
2. Гулина С.А., Тян В.К. Проектирование магистрального газопровода. Самара: Самар. гос. техн.
ун-т, 2015. 105 с.
3. СТО Газпром
2-2.1-249-2008 Стандарт открытого акционерного общества
«Газпром»
Магистральные газопроводы. Дата введения 2009-01-12.
4. СП 86.13330.2014 «Магистральные трубопроводы» (пересмотр актуализированного СНиП III-42-
80 «Магистральные трубопроводы» (СП 86.13330.2012)) (с Изменениями N 1, 2).
5. ГОСТ Р 55999—2014 «Внутритрубное техническое диагностирование газопроводов. Общие тре-
бования». Дата введения 2016-02-01.
6. ГОСТ 34182—2017 «Магистральный трубопроводный транспорт нефти и нефтепродуктов.
Эксплуатация и техническое обслуживание. Основные положения. Дата введения 2018-03-01.» М.:
Стандартинформ, 2017.
7. СТО Газпром 2-2.1-249-2008 «Магистральнве трубопроводы». Дата введения в действие
12.01.2009. Дата актуализации текста 17.06.2011.
Дефектоскопия
№ 2
2020
72
Ю.Г. Тихомиров, В.Я. Раевский
8. Бурмистров Е.В. Измерение отклонений формы цилиндрических поверхностей: Метод, указания
к лаб. работе. Самара: Изд-во Гос. Аэрокосм. ун-та, 2001. 20 с.
9. Тактаров Н.Г. Справочник по высшей математике для студентов ВУЗов. М.: Книжный дом
«Либроком», 2018. 880 с.
10. Щипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 1985. 472 с.
11. Воеводин В.В., Кузнецов В.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.
12. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Джангар, 2001. 864 с.
13. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука,
1973. 832 с.
14. Uteshev A.Yu., Yashina M.V. Metric Problems for Quadrics in Multidimensional Space // J. Symbolic
Computation. 2015. V. 68. P. 287—315.
15. Uteshev A.Yu., Goncharova M.V. Point-to-ellipse and point-to-ellipsoid distance equation analysis //
J. Comput. Applied Math. 2018. V. 328. P. 232—251.
16. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Физматгиз, 1963. 228 с.
Дефектоскопия
№ 2
2020
