Радиационные методы
УДК 620.179.152.1
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ РЕНТГЕНОВСКОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ
С ФУНКЦИЕЙ ОЦЕНКИ ПЛОТНОСТИ
© 2021 г. С.П. Осипов1,*, И.Г. Ядренкин2, С.В. Чахлов1,**, О.С. Осипов3,
Е.Ю. Усачёв4, А.А. Манушкин4
1Национальный исследовательский Томский политехнический университет,
Россия 634028 Томск, пр-т Ленина, 30
2Томский государственный архитектурно-строительный университет,
Россия 634003 Томск, пл. Соляная, 2
3Medialooks, Россия, 236016, г. Калининград, ул. Александра Невского, 59
4МИРЭА — Российский технологический университет, Россия 119454 Москва,
пр-т Вернадского, 78
E-mail: *osip1809@rambler.ru; **chakhlov@tpu.ru
Поступила в редакцию 01.11.2020; после доработки 02.12.2020
Принята к публикации 11.12.2020
Предложена вычислительная модель рентгеновской компьютерной томографии с функцией оценки плотности в гео-
метрии параллельного пучка. Модель включает в себя блоки имитации и корректировки синограмм и реконструкции
изображений сечений. При формировании синограмм учитываются параметры объекта контроля, источника и регистра-
тора рентгеновского излучения. Алгоритмы моделирования реализованы в системе MathCad и апробированы на вирту-
альных тестовых объектах.
Ключевые слова: источники рентгеновского излучения, регистраторы рентгеновского излучения, максимальная
энергия рентгеновского излучения, рентгеновская компьютерная томография, плотность, эффективный атомный номер.
DOI: 10.31857/S0130308221030040
ВВЕДЕНИЕ
В последние десятилетия наблюдается устойчивое повышение интереса к рентгеновской ком-
пьютерной томографии (КТ) как к средству исследования структуры различных объектов контроля
(ОК) с размерами по стали от долей до сотен миллиметров [1—4]. Перспективы развития КТ в
настоящее время связаны с измерениями линейных размеров, площадей, объемов, плотности,
пористости и т.п. [5—8]. Задачи проектирования систем КТ определяются потребительскими
интересами [9—11]. Совокупность соответствующей информации делится на две группы. В пер-
вую группу входят параметры, связанные с ОК: форма; внутренняя структура, материалы фраг-
ментов. Вторую группу составляют ожидания потребителей относительно качества контроля
методом КТ: контрастная чувствительность; пространственное разрешение; точность оценки
измеряемого параметра; качество воспроизведения внутренней структуры по фантомам; произво-
дительность. Конструктивно системы КТ [12] состоят из источника рентгеновского излучения
(ИРИ), регистратора рентгеновского излучения (РРИ), механической системы (МС) и алгоритма
реконструкции (АР). Решение задачи проектирования сводится к рациональной оценке требуемых
параметров ИРИ, РРИ, МС, АР, выбору характеристик схемы сканирования и последующему под-
бору конструктивных элементов системы КТ из приборов и комплектующих, имеющихся на рынке
научного оборудования.
Составляющие систем КТ являются весьма дорогостоящими, поэтому для оценки возможности
решения задач проектирования КТ для конкретных ОК эффективно применение вычислительных
экспериментов [13—16]. Наиболее простой схемой сканирования в КТ является геометрия узкого
параллельного пучка [12]. Для этой схемы минимален артефакт рассеяния [12, 17]. Вычислительная
модель системы КТ состоит из формирования совокупности проекций (синограмм) и реконструкции
изображений. Алгоритм обратной проекции с фильтрацией (ОПФ) [12, 18, 19] продолжает оставать-
ся одним из востребованных АР изображений КТ, поэтому при разработке вычислительной модели
системы КТ с функцией оценки плотности будем использовать алгоритм ОПФ.
Вычислительные модели КТ и реализующие их программы [20] помимо решения задач про-
ектирования необходимы для использования в процессах обучения студентов и аспирантов.
Следует отметить, что с учетом вышесказанного для реализации вычислительных моделей КТ
идеально подходит система MathCad [21], так как ее внутренний язык максимально соответствует
естественному математическому языку.
38
С.П. Осипов, И.Г. Ядренкин, С.В. Чахлов и др.
1. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ СИНОГРАММ
1.1. Обобщенное описание слоя объекта
Введем неподвижную систему координат XOY. Пусть S⊂ℜ2 — множество точек слоя ОК. Слой
ОК определен полностью, если в любой точке с координатами (x, y)∈S известны значения плот-
ности ρ(x, y) и эффективного атомного номера (ЭАН) Z(x, y).
1.2. Геометрическая схема формирования проекций
На рис. 1 приведена геометрическая схема формирования проекций в рентгеновской КТ. Центр
неподвижной системы координат XOY совпадает с центром вращения ОК. Дополнительная систе-
ма координат X′OY′ относится к ОК. Координаты точки в системах координат X′OY′ и XOY связаны
друг с другом преобразованием поворота на угол θ:
x′= xcosθ+
ysinθ
x = x′cosθ-
y′sinθ
,
(1)
y′=-x
sinθ+
y
cosθ
y = x′sinθ+
y′cosθ
Проекцией в КТ P(x′, θ) называется распределение по x′ интеграла от информативного параме-
тра ОК p по соответствующему x′ лучу — L(x′, θ). Здесь x′ изменяется в диапазоне от -A до A,
|A| > R, для любой точки (x, y)∈S выполняется следующее условие: x2 + y2 ≤ R2. Запишем опреде-
ление проекции в виде формулы:
P(x
′θ
=
p(y
′)dy
′
(2)
∫
L
(
x′ θ)
В качестве информативного параметра p, характеризующего материал, в КТ используются
[22, 23]: линейный коэффициент ослабления излучения (ЛКО) µ, число Хаунсфилда, плотность
ρ; ЭАН Z. Наиболее полно материал ОК характеризуют ρ и Z.
y
y'
1
x'
R
θ
O
4
x
2
A
A
3
Рис. 1. Схема формирования проекций в рентгеновской КТ:
1 — ИРИ; 2 — ОК; 3 — линейный РРИ; 4 — окружность, описывающая сечение ОК.
1.3. Обобщенная модель формирования проекций в рентгеновской КТ
В качестве основы модели формирования проекций в КТ могут быть использованы модели
формирования цифровых радиографических изображений [24—26]. Выражение связи цифровых
сигналов (ЦС) с детекторов Jd(x′, θ) с оценкой проекции P*(x′, θ) имеет вид:
Дефектоскопия
№ 3
2021
Вычислительная модель рентгеновской компьютерной томографии...
39
*
J
d
(x′θ
-
B
d
(x′θ
P
(x′θ
=-ln
,
(3)
W
(x′θ
-
B
(x′,θ)
d
d
здесь Bd(x′, θ) — ЦС с детектора с выключенным ИРИ (темновые сигналы); Wd(x′, θ) — ЦС с детек-
тора без объекта контроля.
Для ИРИ с энергетическим спектром f(E, Emax), где Emax — максимальная энергия излучения,
радиационно-чувствительного элемента (РЧЭ) толщиной hs и интегрального режима регистрации
аналоговые сигналы (АС) J(Emax, x′, θ), которые соответствуют ЦС JD(Emax, x′, θ), оцениваются с
помощью формулы, которая аналогична выражению из [25]:
J
(
E
,
x′θ
I
(
E
= +
,
x′θ
B(
x′
)
=
max
max
Emax
(4)
=
C
(x′)N
(E
, x′)
E
(E,
h
)
f
(E
,
E
)exp
(
−
P
(E,
x′θ
)
ε(E,h
)dE+B(x′),
E
0
max
∫
ab
s
max
E
s
0
где CE(x′) — коэффициент преобразования поглощенной энергии излучения в АС; N0(Emax, x′) —
число фотонов, попадающих на фронтальную поверхность РЧЭ без ОК за время формирования
проекции; Eab(E, hs) — среднее значение энергии, переданной РЧЭ зарегистрированным фотоном
с энергией E; ε(E, hs) — эффективность регистрации. В формуле (4) PE(E, x′, θ), -A ≤ x′ ≤ A, пред-
ставляет собой проекцию для фотонов с энергией E, когда информативным параметром p является
ЛКО излучения. Для РЧЭ с малыми размерами необходимо учитывать утечку и перенос энергии
вовне и в соседние элементы.
Выражение для вычисления PE(E, x′, θ) имеет вид:
P
(E,x′θ
=
µ(
E
,
y
′)d
y
′=
m
(
E,Z
(
y
′ ρ(y
′)dy
′,
E
∫
∫
(5)
L
(
x′θ)
L
(
x′θ)
где m(E, Z) — массовый коэффициент ослабления (МКО) излучения с энергией E материалом с атом-
ным номером Z. Отметим, что J(Emax, x′, θ) для PE(E, x′, θ) = ∞ совпадает с B(x′), а для PE(E, x′, θ) = 0
— с W(x′).
Аналоговые сигналы J(Emax, x′, θ) трансформируются в ЦС:
J
(
E
,
x′θ
C
W
(
x′)
D max
lim
J
(E
,
x
′θ)= int
,
D
=
,
(6)
D
max
k
ADC
D
2
−1
здесь kADC — разрядность аналого-цифрового преобразователя (АЦП); Clim, Clim>1 — коэффициент,
k
ADC
ограничивающий ЦС уровнем 2
−
1при флуктуациях АС.
Совокупность формул (1)—(6) представляет собой обобщенную модель формирования про-
екций в рентгеновской компьютерной томографии.
1.4. Формирование синограмм в рентгеновской компьютерной томографии
Синограммой в КТ называется совокупность проекций. Она представляет собой матрицу P
размерностью M×N, где M — количество точек в проекции, а N — количество проекций. Качество
реконструкции сечений в КТ определяется параметрами M и N, которые связаны с размером РЧЭ
a и шагом по углу Δθ следующими соотношениями:
N
=
2A a,M
=
2π ∆
(7)
θ
Выражение для формирования синограммы выглядит следующим образом:
a
P
=
P
=
P
*(
x′
,θ
)
x′ =-A
+
+
a
(i
−1),
i
=
1...
N
;
θ
=∆
(i
−
1),
i
=1...M
+1.
(8)
i
x
i
θ
ix
i
θ
i
x
x
x
i
θ
θ θ
θ
2
Дефектоскопия
№ 3
2021
40
С.П. Осипов, И.Г. Ядренкин, С.В. Чахлов и др.
Для наглядной проверки качества исходных данных в КТ синограммы представляют в графи-
ческом виде.
2. РЕКОНСТРУКЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ СЕЧЕНИЙ В РЕНТГЕНОВСКОЙ КТ МЕТОДОМ
ОБРАТНОЙ ПРОЕКЦИИ С ФИЛЬТРАЦИЕЙ
На вход блока обработки исходной информации поступает синограмма. Результатом обработки
синограммы является распределение информативного параметра по сечению ОК. Выше отмечена
причина выбора метода ОПФ в качестве АР изображений сечений.
На первом этапе алгоритма осуществляется фильтрация исходных проекций P* с помощью
некоторого фильтра h:
**
*
P
(x′,θ) = ∫P
(t,θ)h(
x′−t
)dt
(9)
В качестве фильтров в КТ наиболее часто применяются фильтры с ядрами Рамачандрана―
Лакшминараянана (РЛ) [27] и Шеппа―Логана (ШЛ) [28].
На втором этапе реализуется обратная свертка, целью которой является оценка распределения
информационного параметра по сечению ОК p — p*:
2π
*
**
p
(x, y)
=
P
(xcos
θ+
y sinθ)dθ
(10)
∫
0
Выражения (9), (10) позволяют оценить любую функцию, определенную на сечении, и для
которой известен полный набор проекций (синограмма).
3. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ФОРМИРОВАНИЯ И
ОБРАБОТКИ СИНОГРАММ В КТ
Алгоритм вычислительного моделирования синограмм и реконструкции изображений сечений
в КТ состоит из нескольких основных блоков: исходные данные системы КТ; задание вспомога-
тельных функций по ослаблению и регистрации излучения; описание сечения ОК; формирование
идеальной синограммы; выбор рационального значения максимальной энергии рентгеновского
излучения; формирование калибровочных функций зависимостей массовых толщин ОК от их тол-
щин в длинах свободного пробега (д.с.п.); формирование синограмм; формирование откорректи-
рованных синограмм с их графическим отображением; реконструкция изображений сечений.
3.1. Исходные данные системы рентгеновской компьютерной томографии
В соответствии с принятой схемой формирования синограмм в рентгеновской КТ к исходным
данным системы относятся: полуширина линейного РРИ — A, мм; поперечный размер РЧЭ — a, мм;
толщина РЧЭ — hs, мм; материал РЧЭ; шаг по углу — ∆θ, рад.
3.2. Задание вспомогательных функций по ослаблению и регистрации излучения
Первичные данные для этого блока заимствуются из открытых библиотек по ослаблению гам-
ма-излучения (например, [29]) и сводятся в таблицы МКО-излучения веществом в диапазоне изме-
нения атомного номера от Z = 1 (водород) до Z = 82 (свинца). Каждому значению Z соответствуют
три вектора: уровни энергий гамма-излучения En; МКО гамма-излучения m; среднее значение
поглощенной энергии Eab.
В данном блоке задаются: функции m(E, Z), интерполирующие зависимости МКО m от энергии
гамма-излучения E для веществ от водорода до свинца; энергетический спектр источника излуче-
ния f(E, Emax); энергетические зависимости эффективности регистрации РЧЭ ε(E, hs) исходя из его
толщины и материала; интерполяции функций Eab(E, hs).
3.3. Описание сечения объекта контроля
Выше отмечено, что сечение ОК определяется распределениями плотности ρ(x, y) и ЭАН
Z(x, y), (x, y)∈S. Из анализа выражений (3)—(6) следует, что производительность алгоритма моде-
Дефектоскопия
№ 3
2021
Вычислительная модель рентгеновской компьютерной томографии...
41
лирования зависит от сложности вычислений энергетической зависимости PE(E, x′, θ). В [25] отме-
чена эффективность замены интегралов в (4), (5) параметрическими интерполяционными зависи-
мостями, например, от массовой толщины. Указанный подход легко реализуем для ОК, для кото-
рых Z(x, y) = const, (x, y)∈S. Остановимся на подобных ОК.
В КТ широко используются натурные и виртуальные фантомы, которые состоят из фрагментов
с сечениями правильной формы. Чаще всего в качестве простых форм используют круги и квадра-
ты. Приведем описания ОК с такими фрагментами.
3.3.1. Сечения фрагментов в форме кругов
Рассмотрим цилиндрическую оболочку с несоприкасающимися цилиндрическими включениями
различной плотности. Оси включений параллельны оси цилиндрической оболочки. Будем рассма-
тривать сечения, перпендикулярные оси оболочки. Такие сечения состоят из фрагментов в форме
кругов. Сечение ОК в данном случае описывается набором из векторов r, r0, ρ, β с размерностью n0
и параметрами x0, y0. Здесь r — вектор радиусов фрагментов, r0 — вектор радиусов центров фраг-
ментов, ρ — вектор плотностей материалов фрагментов, β — вектор угловой координаты центров
фрагментов, x0, y0 — координаты смещения оси вращения. Пусть i, i = 1 … n0, номер фрагмента,
i = 1 соответствует собственно оболочке, i = 2 — осевой полости, а i = 3 … n0 — включениям.
3.3.2. Сечения фрагментов в форме квадратов
Типичным представителем ОК с сечениями фрагментов в форме квадратов являются толсто-
стенные трубы с квадратным сечением. Для рассматриваемого ОК все сечения фрагментов имеют
форму квадратов. Сечение ОК определяется совокупностью векторов r, X0, Y0, ρ, θ с размерно-
стью n0 и параметрами x0, y0. Здесь r — вектор радиусов вписанных в фрагменты окружностей;
X0, Y0 — векторы координат центров фрагментов; ρ — вектор плотностей материалов фрагмен-
тов; β — вектор углов поворота фрагментов; x0, y0 — координаты смещения оси вращения.
Нумерация фрагментов аналогична описанной выше: i = 1 соответствует оболочке; i = 2 — осевой
полости; i = 3… n0 — включениям оболочки.
3.4. Формирование идеальных синограмм
Синограмму назовем идеальной, если информативным параметром является плотность ρ. Для
формирования синограммы воспользуемся подходом, аналогичным аддитивному алгоритму моде-
лирования радиографических изображений [25].
В соответствии с [25], выражение для формирования идеальной синограммы выглядит следу-
ющим образом:
n0
P(x′θ
=
H
(x′θ
ρ
−
(ρ
−ρ
)H
(x′θ),
-
A≤ x′≤ A,0
≤θ≤ π
(11)
1
1
∑
i
1
i
i=2
здесь Hi(x′, θ), i = 1 … n0, — толщины фрагментов ОК по лучу, проходящему через точку x′.
Сложность вычислений идеальных синограмм по формуле (11) определяется формой фрагмен-
тов сечения ОК. Проиллюстрируем это для кругов и квадратов.
3.4.1. Оценка лучевых толщин для сечений фрагментов в форме круга
Формула для оценки толщин фрагментов с номерами i = 1 … n0 имеет вид:
2
2
r
−
(
x- x0−r0 cosβ
)2
,
x- x0
≤
r0 cosβ
x- x0
=
x′cosθ-
y′sinθ
i
i
i
i
i
H
(x′θ
,
(12)
i
=
y- y0
=
x′sinθ+
y′cosθ
0,
x- x0
>
r0 cosiβi
Выражение (12) в совокупности с (1) легко реализуются в системе MathCad.
3.4.1. Оценка лучевых толщин для сечений фрагментов в форме квадрата
Квадрат определяется координатами центра и координатами угловых точек. Поэтому на первом
этапе для i-го фрагмента вычисляются указанные координаты. Пусть имеется локальная декартова
Дефектоскопия
№ 3
2021
42
С.П. Осипов, И.Г. Ядренкин, С.В. Чахлов и др.
система координат X′′O′′Y′′ с центром в центре квадратного фрагмента, оси параллельны сторонам
x′
′
,
y
′′
квадрата. Набор координат угловых точек фрагментов (
ji
ji
)
, j = 1…4, в соответствующих
локальных системах координат описывается выражением:
x′′
y′′
1i
1i
-r
r
i
i
x′′
y′′
2
i
2i
ri
ri
=
(13)
x′
y′′
−r
−r
3
i
3i
i
i
x′′
y′′
r
−r
4
i
4i
i
i
С учетом поворота квадратных фрагментов на углы βi и смещения центров в системе XOY
координаты угловых точек вычисляются по формуле:
x
x′′
x0
ji
cos
β
i
−
sinβ
i
ji
i
=
+
(14)
y
sin
β
cosβ
y′′
y0
ji
i
i
ji
i
Аналогичным образом рассчитываются координаты в системе координат X′OY′, получаемой
поворотом системы XOY относительно точки O на угол θ:
x′
x
ji
cosθ
-sinθ
ji
=
(15)
y′
sinθ
cosθ
y
ji
ji
Далее для i, i = 1 … n0, матрицы XYi сортируются по первому столбцу по возрастанию:
*
*
x′
y′
1i
1i
x
1i
y
1i
*
*
x′
y′
2i
2i
x
y
*
2i
2i
,
(16)
XY
=
⇒
XY
=
csort
(
XY
,1
)
=
i
i
i
*
*
x′
y′
x
y
3i
3i
3i
3i
*
*
x′
y′
x
y
4i
4i
4i
4i
здесь csort (XYi,1) — процедура сортировки по первому столбцу по возрастанию.
Оценка толщины фрагментов по лучу находится по формуле:
*
*
0,
(
x′< x
)∨(
x′> x
)
1i
4i
*
*
*
*
*
*
2r,
x
≤
x′≤ x
∧
x
=
x
x
=
x
i
(
1i
4i
)
((
1i
2i
)∨(
3i
4i
))
*
*
2
2r,x
=
x
i
2i
3i
*
*
*
*
y
−
y
y
−
y
2i
1i
*
3i
1i
*
*
*
*
*
(
x′− x
)
−
(
x′− x
)
,
(
x
≤
x′< x
)∧(
x
≠
x
)
H
(x′,θ)
=
*
*
1i
*
*
1i
1i
2
i
1i
2i
(17)
i
x
−
x
x
−
x
2i
1i
3i
1i
*
*
*
*
y
−
y
y
−
y
3i
1i
*
*
4i
2
i
*
*
*
*
*
*
x′− x
+
y
−
x′
−
x
−
y
,
x
≤
x′< x
x
≠
x
*
*
(
1i
)
1i
*
*
(
2i
)
2i
(
2i
3i
)∧(
2i
3i
)
x
−
x
x
−
x
3i
1i
4i
2i
*
*
*
*
y
4i
−
y
2i
*
*
y
4
i
−
y
3i
*
*
*
*
*
*
(
x′− x
)
+
y
−
(
x′− x
)
−
y
,
(
x
≤
x′≤ x
)∧(
x
≠
x
)
*
*
2i
2
i
*
*
3
i
3i
3i
4i
3i
4i
x
−
x
x
−
x
4i
2i
4i
3i
Выражения (13)—(17) позволяют оценить лучевые толщины сечений фрагментов в виде ква-
драта для любых значений x′ и θ.
Приведенные выше формулы (12)—(17) являются основой алгоритмов формирования идеаль-
ных синограмм для сечений фрагментов в форме круга и квадрата.
Дефектоскопия
№ 3
2021
Вычислительная модель рентгеновской компьютерной томографии...
43
3.5. Выбор максимальной энергии рентгеновского излучения
Выбор максимальной энергии рентгеновского излучения существенным образом влияет на
качество реконструкции изображений сечений в КТ [30]. Уравнение для выбора Emax аналогично
указанному в [30]:
Emax
E
(E,h
)
f
(E,E
)ε(E,h
)dE
∫
ab
s
max
s
0
ln
=
2.
(18)
Emax
E
(E,h
)
f
(E,E
)exp
-m
(E
,Z) max
P(x′,θ)
ε(E,h
)dE
∫
ab
s
max
(
x′∈
[
−A,A
]
,θ∈[0,2π]
)
s
0
Правая часть уравнения
(18) может быть уменьшена или увеличена. Значение
P
=
max
P(x′,
θ)
равно максимальной массовой толщине ОК.
max
x′∈
[
−A A],θ∈[0,2π]
3.6. Формирование калибровочных функций — зависимостей массовых толщин объекта
контроля от их толщин в длинах свободного пробега
Из определения идеальной синограммы следует необходимость оценки массовых толщин
ОК по всем лучам. Для этого по результатам натурного или вычислительного эксперимента
определяются зависимости коэффициентов ослабления рентгеновского излучения от массовой
толщины ρH.
Воспользуемся алгоритмом формирования калибровочных функций для однородных по ЭАН
ОК, приведенным в [31]. В качестве тестового ОК выступает ступенчатый объект со ступенями
толщиной от (ρH)1 = ρHmin = 0 г/см2 до (ρH)l = ρHmax = Pmax г/см2. Формула связи оценки толщины
ОК в д.с.п. Y с массовой толщиной ρH имеет вид:
Emax
intC
N
E
(E,h
)
f
(E,E
)exp
(
−m(E,Z)ρH
)
ε(E,h
)dE D
E
0
∫
ab
s
max
s
0
Y(E
,ρH )
=-ln
(19)
max
E
max
intC N ∫ E (E,h )f(E,E
)ε(E,h )dE D
E
0
ab
s
max
s
0
На вход алгоритма формирования калибровочных функций поступает таблица B = ((ρH)n,
Y(Emax, (ρH)n)), n = 1…l. На основе таблицы B строится аналитическая функция F:
ρH = F(Y).
(20)
Формула (20) позволяет оценить идеальные синограммы по реальным.
3.7. Формирование реальных синограмм с их графическим отображением
На вход алгоритма формирования синограмм, основанного на выражениях (3)—(8), поступает
идеальная синограмма. Эта синограмма для ОК, состоящего из конечного числа фрагментов с раз-
личной плотностью, описывается выражением (11). Детальная реализация алгоритма осуществля-
ется для конкретных форм фрагментов сечений ОК, например, кругов и квадратов, см. (12)—(17).
В результате применения алгоритма для конкретного ОК формируется идеальная синограмма
P
=
{
P
=
P
(
x′
,θ
):i
=1 ...
N;
i
=1...
M
+1
}
i
x
i
θ
i
x
i
θ
x
θ
*
*
Связь идеальной синограммы P и реальной синограммы
P
=
{
P
:
i
=1...N;
i
=1...M
+1
}
i
x
i
θ
x
θ
описывается выражением:
Emax
int
E
(E,
h
)
f
(
E
,
E
)exp
(
-
m(E
,
Z)P
)
ε(
E
,
h
)dE D
∫
ab
s
max
i
x
i
θ
s
*
0
P
=-ln
(21)
i
x
i
θ
Emax
int
E
(
E
,
h
)
f
(E,
E
)ε
(
E,h
)dE D
∫
s
max
s
ab
0
Дефектоскопия
№ 3
2021
44
С.П. Осипов, И.Г. Ядренкин, С.В. Чахлов и др.
Синограмма P*преобразуется в полутоновое изображение G*следующим образом:
*
*
P
−min(P
)
*
i
x
i
θ
G
=
255−255int
(22)
i
x
i
θ
*
*
max(
P
)-min(P
)
Графическое представление синограммы необходимо не только для наглядного представления
информации на одном изображении, но и для анализа возможных искажений при сканировании
или вычислительном моделировании.
3.8. Корректировка синограмм
В синограммах толщины ОК по лучам измеряются в д.с.п., что делает невозможной точную
оценку распределения плотности по сечению объекта методом КТ. Корректировка синограмм сво-
дится к перерасчету толщин ОК по лучам в д.с.п. в массовые толщины ОК по соответствующим
лучам.
Корректировка синограммы P* осуществляется в соответствии с преобразованием
(20).
Выражение для формирования итоговой синограммы PC имеет вид:
*
P
C
=
{
P
Ci
i
=
F
(
P
i
i
)
:i
x
=1...
N;
i
θ
=1...
M
+1
}
(23)
x
θ
x
θ
Графическое изображение синограммы P* формируется аналогично формуле (22).
3.9. Реконструкция изображений сечений методом обратной свертки с фильтрацией
Алгоритм и программа реконструкции изображений сечений ОК в КТ являются самостоятель-
ными и связаны между собой текстовым файлом. В текстовом файле записана синограмма, напри-
мер, матрица Pr. В имени файла содержится информация о размере РЧЭ a.
После считывания матрицы Pr определяется количество детекторов в линейке N и количество
проекций M:
N = rows(Pr), M = cols(Pr) ,
(24)
здесь rows(Pr), cols(Pr) — количество строк и столбцов в матрице Pr.
Далее задаются фильтры с ядрами РЛ и ШЛ.
3.9.1. Фильтры Рамачандрана―Лакшминараянана и Шеппа—Логана
Фильтр Рамачандрана—Лакшминараянана fRL определяется формулой [27]:
1
,
i
=
0,
2
4a
N
f
=
0,
i
=
2k,k
=±
1,±2,...
,
i
=-
Nh Nh,
Nh
=
int
(25)
RL
i
2
1
-
,
i
=
2k
−
1,
k
=±1,±2,...
2
2 2
π
a
i
Соответствующее выражение для фильтра Шеппа—Логана fShL имеет вид [28]:
1
1
N
f
=
,
i
=-Nh Nh
, Nh
=
int
(26)
ShL
i
2
2
2
π
a
1−
4
i
2
3.9.2. Фильтрация исходных проекций
Фильтрация исходных проекций Pr осуществляется в соответствии с выражением (8), которое
в дискретном виде выглядит следующим образом:
Дефектоскопия
№ 3
2021
Вычислительная модель рентгеновской компьютерной томографии...
45
Nx
f
,−
N
≤
i
−i
<
N
i
x
−i
f
x
x
f
x
Prf
=
a
Pr
(27)
i ix
θ
∑
f
i i
θ
i
=-Nx
0,
(
i
-i
<-N
)∨(
i
−i
≥
N
)
f
x
f
x
x
f
x
В выражении (27) в качестве фильтра f используется фильтр с ядром РЛ fRL (26) или фильтр с
ядром ШЛ fShL (27), или их модификации.
3.9.3. Обратная проекция
Отфильтрованная проекция Prf поступает на вход блока обратного проецирования. В соответ-
ствии с формулой (9) оценка информативного параметра в точке сечения (x, y) представляет собой
интеграл по всем лучам, проходящим через отмеченную точку.
В рассматриваемом случае информативным параметром является плотность ρ, поэтому оценка
плотности
ρ в точке с координатами (x, y) находится по формуле:
M
*
(x,
y)
≈
h ∑Prf xcosθ
+
y
sinθ
,θ
)
(28)
θ
i
θ
i
θ
i
θ
iθ
=1
*
*
Функция
Prf
(x
,θ
)
для фиксированного значения iθ является интерполяцией дискретной
i
θ
зависимости
Prf
от
x′
i
x
i
θ
i
x
3.9.4. Формирование изображений сечений
На первом этапе формируется цифровое изображение
ρ , представляющее распределение
оценки информативного параметра (плотности) по сечению ОК.
Пусть изображение имеет форму прямоугольника с размерами Nx×Ny пикселей. Тогда матрица
ρ=
ρ
,
i
=1
N
,i =
1
N
описывается выражением:
{
i
ix y
x
x y
y
}
2
2
2
(x
,
y
),
x
+
y
≤
A
i
x
i
y
i
x
i
y
2A
2A
(29)
ρ=
, x
i
=-
A+
(i
x
−
1),
y
i
=-A+
(i
y
−1)
2
2
2
x
y
0,
x
+
y
>
A
N
−
1
N
−1
i
i
x
y
x
y
На втором этапе на основе изображения
ρ по формуле, аналогичной (23), формируется соот-
ветствующее полутоновое изображение Gρ.
Целью работы является построение вычислительной модели рентгеновского КТ с оценкой
плотности по сечению ОК, поэтому изображение
ρ подвергается обработке с целью определения
отклонений оценок плотности от их реальных значений.
4. ПРИМЕРЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОБРАБОТКИ СИНОГРАММ В КТ
Для иллюстрации возможностей алгоритмов моделирования синограмм, их корректировки и
реконструкции распределений плотности по сечению ОК были выбраны объекты, сечения фраг-
ментов которых имеют форму круга и квадрата. Все фрагменты ОК являются однородными по
ЭАН (Z = 13), но с переменной плотностью.
Разработанные алгоритмы реализованы в системе MathCad 15 в виде программ формирования
синограмм и реконструкции изображений. Программа формирования синограмм является универ-
сальной за исключением блока описания ОК с вычислением его толщин по лучам. Программа
реконструкции универсальна, она содержит переключаемые блоки вычисления коэффициентов
фильтров РЛ и ШЛ. Связь вышеуказанных программ осуществляется через текстовой файл, соот-
ветствующий синограмме Pr.
Линейка детекторов рентгеновского излучения имеет размер 2A = 70 мм. Материал РЧЭ —
вольфрамат кадмия, поперечный размер РЧЭ a = 0,1 мм, толщина РЧЭ hs = 0,3 мм. На фронтальную
поверхность каждого РЧЭ падает N0 = 106 фотонов.
4.1. Объект с сечениями фрагментов в форме кругов
Сечение ОК характеризуется следующими параметрами: внешний радиус толстостенной
цилиндрической оболочки r1 = 25 мм; радиус внутренней цилиндрической полости r2 = 10 мм;
радиусы локальных фрагментов оболочки, r3 = r4 = … = r14 = 4 мм; радиальные координаты цен-
тров фрагментов r01 = r02 = 0 мм, r03 = r04 = … = r014 = 17,5 мм; угловые координаты центров
Дефектоскопия
№ 3
2021
46
С.П. Осипов, И.Г. Ядренкин, С.В. Чахлов и др.
фрагментов β1 = β2 = 0, βi = π(i-3)/6, i = 3…14; плотности материалов фрагментов ρ1 = 2,7 г/см3,
ρ2 = 0 г/см3, ρi = 0,2(i - 2) г/см3, i = 3…14.
Количество проекций M = 1440. Максимальное значение массовой толщины по лучам для рас-
сматриваемого объекта Pmax = 11,7 г/см2. Рациональное значение максимальной энергии рентгенов-
ского излучения выбрано из условия (19) Emax = 400 кэВ.
На рис. 2 приведены изображения синограммы для сечения анализируемого объекта и рекон-
струированные методом ОПФ изображения сечения.
а
б
в
Рис. 2. Объект с сечениями фрагментов в форме кругов:
a — синограмма; б — реконструкция (фильтр РЛ); в — реконструкция (фильтр ШЛ).
Время формирования синограммы для исследуемого объекта на ноутбуке с процессором
Intel(R) Core(TM) i5-83000H CPU с частотой 2,30 ГГц не превосходит 85 с. Время реконструкции
изображений с фильтром РЛ не превосходит 11 мин, а с фильтром ШЛ — 10,3 мин. Указанной
производительности программ достаточно для использования в учебном процессе и для детально-
го анализа влияния параметров систем рентгеновской КТ на качество реконструкции изображений
в режиме визуализации. Реконструированные изображения для фильтров РЛ и ШЛ близки друг к
другу по качеству.
Для оценки качества моделирования систем КТ, функционирующих в режиме измерения рас-
от угла φ по окруж-
ности радиусом rc = r03 = 17,5 мм с центром в геометрическом центре сечения. Формула для оцен-
ки зависимости
(ϕ)
имеет вид:
c
ϕ)
= r cosϕ,r sinϕ).
(30)
c
c
c
На рис. 3 приведены копии графиков из программы MathCad зависимостей
(ϕ)
для исполь-
c
зуемых фильтров РЛ и ШЛ.
а
б
3
3
2,7
2,7
2,4
2,4
2,1
2,1
1,8
1,8
ρ(φ)
ρ(φ)
1,5
1,5
1,2
1,2
0,9
0,9
0,6
0,6
0,3
0,3
0
0
1,57
3,14
4,71
6,28
0 0
1,57
3,14
4,71
6,28
φ
φ
Рис. 3. Угловые зависимости
(ϕ)
для ОК с сечениями фрагментов в форме кругов:
c
a — фильтр с ядром РЛ; б — фильтр с ядром ШЛ.
Дефектоскопия
№ 3
2021
Вычислительная модель рентгеновской компьютерной томографии...
47
Из анализа графиков, представленных на рис. 3, можно сделать вывод о высокой точности
оценки распределения плотности по сечению рассматриваемого ОК методом КТ для реконструк-
ции способом обратной проекции с фильтрацией с фильтрами РЛ и ШЛ.
4.2. Объект с сечениями фрагментов в форме квадратов
Сечения рассматриваемого ОК характеризуются параметрами: радиус вписанной окружности
в толстостенную оболочку с квадратным сечением r1=25 мм; радиус вписанной окружности во
внутреннюю полость с квадратным сечением r2=10 мм; радиусы вписанных окружностей в сече-
ния фрагментов квадратной формы, расположенных внутри оболочки, r3 = r4 = … = r10 = 5 мм;
координаты центров фрагментов X01 = Y01 = X02 = Y02 = 0 мм, X03 = Y03 = -17,5 мм, X04 = -17,5 мм,
Y04 = 0 мм, X05 = -17,5 мм, Y05 = -17,5 мм, X06 = 0 мм, Y06 = -17,5 мм, X07 = 0 мм, Y07 = 17,5 мм,
X08 = 17,5 мм, Y08 = -17,5 мм, X09 = 17,5 мм, Y09 = 0 мм, X010 = 17,5 мм, Y010 = 17,5 мм; углы враще-
ния фрагментов β1 = β2 = 0, βi = π(i-3)/12, i = 3…14; плотности материалов фрагментов
ρ1 = 2,7 г/см3, ρ2 = 0 г/см3, ρi = 0,3(i - 2) г/см3, i = 3 … 10.
Количество проекций M = 1440. Максимальное значение массовой толщины по лучам для рас-
сматриваемого объекта Pmax = 13,8 г/см2. Рациональное значение максимальной энергии рентгенов-
ского излучения выбрано из условия (19) Emax = 450 кэВ.
На рис. 4 приведены изображения синограммы для сечения исследуемого ОК и результаты
реконструкции. В алгоритме ОПФ применялись фильтры с ядрами РЛ и ШЛ.
а
б
в
Рис. 4. Объект с сечениями фрагментов в форме квадратов:
a — синограмма; б — реконструкция (фильтр РЛ); в — реконструкция (фильтр ШЛ).
Время симуляции синограммы для анализируемого ОК на ноутбуке с процессором Intel(R)
Core(TM) i5-83000H CPU с частотой 2,30 ГГц не превосходит 129 с. Время формирования изобра-
жений сечений с фильтром РЛ не превосходит 15 мин, а с фильтром ШЛ — 14 мин. Такой произ-
водительности программ достаточно для применения в учебном процессе и для тщательного ана-
лиза влияния параметров систем рентгеновской КТ на качество визуализации изображений сече-
ний. Визуализированные изображения для фильтров РЛ и ШЛ близки друг к другу по качеству.
от угла φ оценива-
ется по линии, соединяющей центры локальных фрагментов оболочки. На рис. 5 приведены копии
а
б
3
3
2,7
2,7
2,4
2,4
2,1
2,1
1,8
1,8
ρ(φ)
1,5
ρ(φ)
1,5
1,2
1,2
0,9
0,9
0,6
0,6
0,3
0,3
0
0
1,57
3,14
4,71
6,28
0 0
1,57
3,14
4,71
6,28
φ
φ
Рис. 5. Угловые зависимости
(ϕ)
для ОК с сечениями фрагментов в виде квадратов:
c
a — фильтр с ядром РЛ; б — фильтр с ядром ШЛ.
Дефектоскопия
№ 3
2021
48
С.П. Осипов, И.Г. Ядренкин, С.В. Чахлов и др.
графиков из программы MathCad зависимостей
(ϕ)
применительно к исследуемому ОК для
c
фильтров РЛ и ШЛ. Сравнение графиков подтверждает вывод о высокой точности оценки распре-
деления плотности по сечению анализируемого объекта методом КТ для реконструкции способом
ОПФ с фильтрами РЛ и ШЛ.
5. ОБСУЖДЕНИЕ
Качество реконструкций внутренней структуры ОК с сечениями фрагментов в форме кругов и
аналогичных объектов из работы [32] визуально имеют один уровень качества. К такому же выво-
ду приходим в результате сравнения рис. 4б, в с реконструированными изображениями сечений
универсального фантома для КТ с похожими фрагментами [33]. В обеих случаях точность оценки
плотности для аналогичных материалов фрагментов не уступает соответствующим эксперимен-
тальным значениям из [32]. Из сказанного выше можно сделать вывод об адекватности разрабо-
танной вычислительной модели для ОК из однородных по ЭАН материалов с фрагментами с
сечениями в форме круга и квадрата.
Вкратце обсудим подходы к оценке распределения плотности методом КТ для ОК с более
сложными по форме сечениями фрагментов или с отличием фрагментов по ЭАН.
5.1. Сечение объекта с фрагментами сложной формы из однородных по эффективному
атомному номеру материалов
Специфика ОК влияет исключительно на процесс формирования синограмм.
Для модификации блока описания сечений ОК может быть использован подход из [25]. Данный
подход основан на выражении (11) с использованием информации о формах, размерах и материа-
лах фрагментов сечения ОК. В [25] упоминается также идея, согласно которой на основе изобра-
жения фрагмента с пикселями малого размера строятся изображения с пикселями существенно
большего размера. Модифицируем данную идею, изменив способ получения исходных изображе-
ний фрагментов.
Форма и размеры технических объектов известны; для них, как правило, существует докумен-
тация с чертежами. В соответствии со сказанным выше достаточно рассмотреть принцип описания
одного фрагмента сложной формы. Пусть на плоскости задана некоторая непрерывная замкнутая
кривая W, которая является внешней границей некоторой плоской фигуры (фрагмента) Φ. Чертеж
сечения фрагмента может быть представлен в бумажном или электронном виде. Чертеж перево-
дится в цифровое изображение в формате *.bmp с максимально возможным разрешением.
Цифровое изображение трансформируется в идеальную синограмму, которая обрабатывается
согласно описанному выше алгоритму.
На рис. 6 приведены истинное изображение сечения алюминиевого ОК в форме звезды с
шестнадцатью лучами, синограмма и результаты реконструкции. Радиус описанной окружности
R = 25 мм, радиус вписанной окружности r = 20 мм. Количество проекций M = 1440. Количество
детекторов в линейке N = 700. Максимальное значение массовой толщины по лучам для иссле-
дуемого объекта Pmax = 13,5 г/см2, Emax = 450 кэВ.
Время формирования синограммы около часа, большая часть времени затрачивается на оценку
идеальных проекций. Время реконструкции близко к 13 мин. Следует отметить визуальное высо-
кое качество реконструкции. Погрешность оценки плотности не превышает 2 %. В целом качество
а
б
в
Рис. 6. Объект с сечением фрагментов в форме звезды:
a — изображение сечение объекта; б — синограмма; в — реконструкция (фильтр ШЛ).
Дефектоскопия
№ 3
2021
Вычислительная модель рентгеновской компьютерной томографии...
49
реконструкции близко к качеству экспериментальных изображений сечений, приведенных в [34],
для ОК в виде шестеренок.
5.2. Сечения объектов с отличающимися по Z фрагментами
Наличие в ОК фрагментов с материалами с различными ЭАН приводят к существенному сме-
щению оценок плотности. Для устранения отмеченного смещения в КТ применяются методы
дуальных энергий (МДЭ). Методы дуальных энергий в КТ основаны на просвечивании ОК гамма-
или рентгеновским излучением с двумя энергиями [35, 36] и последующей оценке распределений
ЭАН и плотности. Максимальной производительностью обладает реализация МДЭ [37], в которой
в качестве источников излучения применяются моноэнергетические гамма-радионуклиды.
Энергетические спектры моноэнергетических радионуклидов описываются δ-функциями. В
соответствии с этим и формулами (4), (5) система, связывающая параметры ОК и проекции для
энергий гамма-излучения E1 и E2, имеет следующий вид:
P(E
, x′θ
=
m(E
,Z( y′ ρ( y′)dy′= P (x′,θ);
1
∫
1
1
L(x′θ)
(31)
P(E
, x′θ
=
m(E
,Z( y′ ρ( y′)dy′= P
(x′θ).
2
∫
2
2
L
(
x′ θ)
В программе имитации синограмм формируются две синограммы P1 и P2. В качестве инфор-
мативного параметра при реконструкции изображений сечений выступает ЛКО излучения, но
представление проекций в виде (31) позволяет осуществить необходимую модификацию алгорит-
ма с целью одновременной оценки распределений плотности
— ρ и ЭАН
—
.
В результате реконструкции оцениваются распределения:
m(E
,
x,
y
))(x,
y
)
(
E x,
y
);
1
1
(32)
m(E
,
x,
y
))(x,
y
)
(
E x,
y
).
2
2
Оценка распределения ЭАН
осуществляется по формуле, близкой к [36]:
(x,y)=G
(
Q(x, y)
)
=G
(E
, (x, y)) (E
, (x, y))
(33)
(
1
2
)
Функция G определяется на стадии калибровочных испытаний по образцам из различных
материалов, отличающихся по ЭАН.
Рассмотрим ОК с сечениями фрагментов в форме кругов с вариацией плотности и ЭАН.
Размеры фрагментов и параметры — как в пункте 4.1. Локальные фрагменты в оболочке разде-
лены на шесть групп: Z = 6 (ρ = 1,5 г/см3; 2,2 г/см3); Z = 9 (ρ = 1,5 г/см3; 2,2 г/см3); Z = 17 (ρ =
= 2 г/см3; 2,5 г/см3); Z = 22 (ρ = 2 г/см3; 3 г/см3); Z = 26 (ρ = 3 г/см3; 5 г/см3); Z = 29 (ρ = 3 г/см3;
5 г/см3). Параметры сканирования идентичны примеру из раздела 4.1.
На рис. 7 приведены синограммы для энергий γ-излучения E1 = 100 кэВ и E2 = 225 кэВ, резуль-
таты предварительной реконструкции, оценок распределений ЭАН и плотности. Применена пали-
тра: Z = 6 — красный; Z = 9 — желтый; Z = 13 — зеленый; Z = 17 — голубой; Z = 22 — синий;
Z = 26 — ярко-фиолетовый; Z = 29 — черный.
Время формирования двух синограмм для моноэнергетических источников излучения для
упомянутого выше ноутбука не превосходит двух минут. Общее время реконструкции близко к
получасу. Данные, представленные на рис. 7, иллюстрируют возможность одновременной оцен-
ки распределений плотности и ЭАН по сечению ОК. Погрешности оценок плотности и ЭАН
материалов фрагментов ОК, полученных в результате вычислительного эксперимента, не пре-
восходят уровни погрешностей оценок плотности и ЭАН материалов фрагментов близкого по
структуре ОК [37].
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приведена вычислительная модель рентгеновской компьютерной томографии с функцией оцен-
ки распределения плотности по сечению объекта контроля в геометрии параллельного пучка.
Дефектоскопия
№ 3
2021
50
С.П. Осипов, И.Г. Ядренкин, С.В. Чахлов и др.
а
б
в
г
д
е
Рис. 7. Сечения ОК с фрагментами, отличающимися по ЭАН материалов:
a — синограмма для энергии E1; б — синограмма для энергии E2; в — реконструкция ЛКО для энергии E1; г — реконструкция ЛКО
для энергии E2; д — реконструкция ρ; е — реконструкция Z.
Алгоритм моделирования состоит из блока формирования синограмм и блока реконструкции изо-
бражений сечений объекта. Алгоритм реализован в системе математических вычислений MathCad.
Работоспособность алгоритма проиллюстрирована для объектов, сечения фрагментов которых
имеют формы кругов и квадратов и однородны по эффективному атомному номеру материалов.
Продемонстрирована возможность исследования объектов с сечениями фрагментов сложной
формы на примере многолучевой звезды. Предлагаемый алгоритм моделирования дополнен мето-
дом дуальных энергий, позволяющим одновременно оценить распределения плотности и эффек-
тивного атомного номера по сечению объекта. Эффективность метода дуальных энергий проиллю-
стрирована на примере объектов с фрагментами с сечениями в форме кругов при вариации плот-
ности и эффективного атомного номера материалов фрагментов. Разработанные вычислительные
модели и реализующие их программы в системе MathCad предназначены для выбора и оценки
параметров систем рентгеновской компьютерной томографии с функцией оценки плотности по
сечению исследуемого объекта на стадии проектирования и для использования в учебном процессе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Du Plessis A., Boshoff W.P. A review of X-ray computed tomography of concrete and asphalt construction
materials // Construction and Building Materials. 2019. V. 199. P. 637—651.
2. Brierley N., Nye B., McGuinness J. Mapping the spatial performance variability of an X-ray computed
tomography inspection // NDT & E International. 2019. V. 107. No. article 102127.
3. Zikmund T., Šalplachta J., Zatočilová A., Břínek A., Pantělejev L., Štěpánek R., Koutný D.,
Paloušek D., Kaiser J. Computed tomography based procedure for reproducible porosity measurement of
additive manufactured samples // NDT & E International. 2019. V. 103. P. 111—118.
4. Du Z., Hu Y., Ali Buttar N., Mahmood A. X-ray computed tomography for quality inspection of
agricultural products: A review // Food science & nutrition. 2019. V. 7. No. 10. P. 3146—3160.
5. Villarraga-Gómez H., Thousand J.D., Smith S.T. Empirical approaches to uncertainty analysis of X-ray
computed tomography measurements: a review with examples // Precision Engineering. 2020. V. 64.
P. 249—268.
6. Lüthi M., Bircher B.A., Meli F., Küng A., Thalmann R. X-ray flat-panel detector geometry correction to
improve dimensional computed tomography measurements // Measurement Science and Technology. 2019.
V. 31. No. 3. No. article 035002.
Дефектоскопия
№ 3
2021
Вычислительная модель рентгеновской компьютерной томографии...
51
7. Körner L., Lawes S., Bate D., Newton L., Senin N., Leach R. Increasing throughput in X-ray computed
tomography measurement of surface topography using sinogram interpolation // Measurement Science and
Technology. 2019. V. 30. No. 12. No. article 125002.
8. Busi M., Mohan K.A., Dooraghi A.A., Champley K.M., Martz H.E., Olsen U.L. Method for system-
independent material characterization from spectral X-ray CT // NDT & E International. 2019. V. 107.
9. Fuchs T., Hanke R. Task-driven design of X-ray systems for industrial inspection / 2008 IEEE Nuclear
Science Symposium Conference Record // IEEE. 2008. P. 523—527.
10. Yong Y., Fei L., Zhang T., Chun-guang X., Ming-chuan Z., Jing-rui R. Design of synchronous projection
data acquisition system for cone beam CT based on manipulator / 2016 IEEE Far East NDT New Technology
11. Xiao K., Han Y., Xi X., Yan B., Bu H., Li L. A parameter division based method for the geometrical
calibration of X-ray industrial cone-beam CT // IEEE Access. 2018. V. 6. P. 48970—48977.
12. Hsieh J. Computed tomography: principles, design, artifacts, and recent advances / 3rd rev. ed. SPIE
Press, Bellingham. USA. 2015.
13. Liu X., Lee H.K. A simulation study of the spent nuclear fuel cask condition evaluation using high
energy X-ray computed tomography // NDT & E International. 2016. V. 80. P. 58—64.
14. Askari M., Taheri A., Movafeghi A. Industrial gamma computed tomography using high aspect ratio
scintillator detectors (A Geant4 simulation) // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section
A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2019. V. 923. P. 109—117.
15. Hiller J., Reindl L.M. A computer simulation platform for the estimation of measurement uncertainties
in dimensional X-ray computed tomography // Measurement. 2012. V. 45. No. 8. P. 2166—2182.
16. Yang Y., Wu Y.C., Li L., Zhang S.Y., Dong K.G., Zhang T.K., Yu M.H., Zhang X.H., Zhu B., Tan F.,
Yan Y.H., Li G., Fan W., Lu F., Zhao Z.Q., Zhou W.M., Cao L.F., Gu Y.Q. Design and characterization of high
energy micro-CT with a laser-based X-ray source // Results in Physics. 2019. V. 14. No. article 102382.
17. Peterzol A., Létang J.M., Babot D. A beam stop based correction procedure for high spatial frequency
scatter in industrial cone-beam X-ray CT // Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section B:
Beam Interactions with Materials and Atoms. 2008. V. 266. No. 18. P. 4042—4054.
18. Pan X., Sidky E.Y., Vannier M. Why do commercial CT scanners still employ traditional, filtered back-
projection for image reconstruction? // Inverse problems. 2009. V. 25. No. 12. No. article 123009.
19. Shi L., Liu B., Yu H., Wei C., Wei L., Zeng L., Wang G. Review of CT image reconstruction open source
toolkits // Journal of X-Ray Science and Technology. 2020. №. Preprint. P. 1—22.
20. Kengyelics S.M., Treadgold L.A., Davies A.G. X-ray system simulation software tools for radiology
and radiography education // Computers in Biology and Medicine. 2018. V. 93. P. 175—183.
21. Sarantites D.G., Sobotka L.G. Computational templates for introductory nuclear science using
Mathcad // American Journal of Physics. 2013. V. 81. No. 1. P. 44—49.
22. Duchesne M.J., Moore F., Long B.F., Labrie J. A rapid method for converting medical Computed
Tomography scanner topogram attenuation scale to Hounsfield Unit scale and to obtain relative density values
// Engineering Geology. 2009. V. 103. No. 3—4. P. 100—105.
23. Sakata D., Haga A., Kida S., Imae T., Takenaka S., Nakagawa K. Effective atomic number estimation
using kV-MV dual-energy source in LINAC // Physica Medica. 2017. V. 39. P. 9—15.
24. Osipov S.P., Chakhlov S.V., Kairalapov D.U., Sirot’yan E.V. Numerical modeling of radiographic
images as the basis for correctly designing digital radiography systems of large-sized objects // Russian Journal
[Осипов С.П., Чахлов С.В., Кайролапов Д.У., Сиротьян Е.В. Численное моделирование радиографиче-
ских изображений — основа корректного проектирования систем цифровой радиографии крупногаба-
ритных объектов // Дефектоскопия. 2019. No. 2. С. 43—55.]
25. Osipov S.P., Yadrenkin I.G., Chakhlov S.V., Osipov O.S., Usachev E.Yu. Simulation modelling in
digital radiography with allowance for spatial outlines of test objects // Russian Journal of Nondestructive
Дефектоскопия
№ 3
2021
52
С.П. Осипов, И.Г. Ядренкин, С.В. Чахлов и др.
Ядренкин И.Г., Чахлов С.В., Осипов О.С., Усачёв Е.Ю. Имитационное моделирование в цифровой
радиографии с учетом пространственных форм объектов контроля // Дефектоскопия. 2020. № 8.
С. 35—48.]
26. Udod V.A., Osipov S.P., Wang Y. The mathematical model of image, generated by scanning digital
radiography system // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2017. V. 168. No. 1.
No. article 012042.
27. Ramachandran G.N., Lakshminarayanan A.V. Three-dimensional reconstruction from radiographs and
electron micrographs: application of convolutions instead of Fourier transforms // Proceedings of the National
Academy of Sciences. 1971. V. 68. No. 9. P. 2236—2240.
28. Shepp L.A., Logan B.F. The Fourier reconstruction of a head section // IEEE Transactions on nuclear
science. 1974. V. 21. No. 3. P. 21—43.
29. NIST standard reference database 8 (XGAM) // XCOM: Photon Cross Sections Database. 2008.
30. Buratti A., Grozmani N., Voigtmann C., Sartori L.V., Schmitt R.H. Determination of the optimal
imaging parameters in industrial computed tomography for dimensional measurements on monomaterial
workpieces // Measurement Science and Technology. 2018. V. 29. No. 11. No. article 115009.
31. Osipov S., Chakhlov S., Shan J., Kairalapov D. Analysis of the possibility of determining the internal
structure of oil and gas pipes by CT method / Materials Science Forum. Trans Tech Publications Ltd, 2019.
32. Mei K., Ehn S., Oechsner M., Kopp F.K., Pfeiffer D., Fingerle A.A., Pfeiffer F., Combs S.E.,
Wilkens J.J., Rummeny E.J., Noël P.B. Dual-layer spectral computed tomography: measuring relative electron
density // European Radiology Experimental. 2018. V. 2. No. 1. No. article 20.
33. Groenewald A., Groenewald W.A. A universal phantom suitable for quality assurance on X-ray imaging
modalities // Acta Radiologica. 2019. V. 60. No. 11. P. 1523—1531.
34. Emre T., Löffler M., Ehrenfried Z. Deep learning-based inaccuracy compensation in reconstruction of
high resolution XCT data // Scientific Reports (Nature Publisher Group). 2020. V. 10. No. article 7682.
35. Paziresh M., Kingston A.M., Latham S.J., Fullagar W.K., Myers G.M. Tomography of atomic number
and density of materials using dual-energy imaging and the Alvarez and Macovski attenuation model // Journal
36. Osipov S., Chakhlov S., Batranin A., Osipov O., Kytmanov J. Theoretical study of a simplified
implementation model of a dual-energy technique for computed tomography // NDT & E International. 2018.
37. Rizescu C., Beşliu C., Jipa A. Determination of local density and effective atomic number by the dual-
energy computerized tomography method with the 192Ir radioisotope // Nuclear Instruments and Methods in
Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment. 2001. V. 465.
Дефектоскопия
№ 3
2021
