Электромагнитные методы
УДК 620.179.14
ОДИН ПОДХОД К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ
МАГНИТОСТАТИКИ ДЛЯ КОНЕЧНОГО ЦИЛИНДРА В ПРОИЗВОЛЬНОМ
ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
© 2021 г. В.В. Дякин1, О.В. Кудряшова1,*, В.Я. Раевский1,**
1Институт физики металлов имени М.Н. Михеева УрО РАН,
Россия 620137 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18
Поступила в редакцию 15.12.2020; после доработки 24.01.2021
Принята к публикации 05.02.2021
Рассмотрена прямая задача магнитостатики — вычисление напряженности результирующего магнитного поля от
однородного цилиндра конечных размеров, помещенного во внешнее магнитное поле произвольной конфигурации.
С помощью достаточно объемных аналитических преобразований с использований основных свойств гипергеометри-
ческих функций и функций Лежандра решение основного трехмерного магнитостатического уравнения для указанной
конфигурации сведено к решению некоторого количества систем трех одномерных линейных интегральных уравне-
ний. Получен упрощенный вид этих систем для частных случаев: постоянного внешнего поля и результирующего поля
на оси цилиндра.
Ключевые слова: основное уравнение магнитостатики, прямая задача, ряды Фурье, магнитный неразрушающий кон-
троль.
DOI: 10.31857/S0130308221040035
1. ВВЕДЕНИЕ
Для решения многих практических задач из области магнетизма, например, задач неразруша-
ющего магнитного контроля, актуальной является проблема создания обоснованных алгоритмов
аналитического или численного решения задач магнитостатики по вычислению напряженности
результирующего поля применительно к магнитным телам различной формы, помещенным во
внешнее магнитное поле. Обоснованные эффективные методы решения такого рода задач име-
ются по большей части для безграничных модельных осесимметричных тел относительно про-
стой геометрической формы, помещенных в постоянное внешнее магнитное поле определенно-
го (удобного для аналитического исследования) направления, что позволяло во многих случаях
свести задачу к двумерной и пренебречь краевыми эффектами. Однако большой теоретический
и практический интерес представляют задачи для реальных тел конечных размеров в произволь-
ном внешнем поле.
Что касается тел с цилиндрической симметрией, давно исследована задача для бесконечно
длинного цилиндра с постоянной магнитной проницаемостью, помещенного в бесконечную маг-
нитную среду с иной магнитной проницаемостью, в однородном внешнем поле, решение которой
представляется в элементарных функциях [1, с. 245]. В [2] изучена задача расчета напряженности
результирующего поля бесконечного магнитного цилиндра при условии неоднородного намагни-
чивания, решение которой записывается через специальные функции. В [3] эта задача исследована
для однородного цилиндра конечных размеров в произвольном внешнем поле. В данной работе к
возникающему двумерному интегральному уравнению (интегрирование по полной поверхности
цилиндра) непосредственно применен метод коллокаций, что приводит к системе линейных урав-
нений достаточно большой размерности, а для более комфортного вычисления матричных элемен-
тов принят ряд упрощающих предположений.
В настоящей работе акцент сделан на достаточно громоздких аналитических преобразованиях
упомянутого уравнения, что позволило свести задачу к решению некоторого количества систем из
трех одномерных линейных интегральных уравнений. Из-за большого объема упомянутых преоб-
разований во многих случаях указывается только направление промежуточных преобразований
и их результат. Формат статьи не позволил привести описание программной реализацию предла-
гаемого подхода и результаты компьютерных расчетов. Планируется посвятить этому отдельную
работу.
Создание подобных алгоритмов и программ расчетов полей с контролируемой точностью дик-
туется также необходимостью тестирования известных пакетов универсальных программ (типа
Один подход к численному решению основного уравнения магнитостатики...
23
ELCUT, ANSYS, ELMER), неконтролируемое использование которых приводит ко многим про-
блемам. Подробному описанию недостатков этих программ и подводных камней при их использо-
вании посвящена работа [4].
2. ОБЩАЯ СХЕМА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОСТИ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО
МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Для решения указанных выше задач мы исходим из так называемого основного уравнения маг-
нитостатики [5, с. 16], которое в случае однородного магнетика с постоянной магнитной проница-
емостью μ имеет вид:
µ-1
H(r′)
0
3
H r)−
∇div
dr′
=
H r),
r∈
R
\
S .
(1)
∫
4π
| r
−r′|
Ω
Это уравнение эквивалентно системе уравнений Максвелла для случая магнитостатики
(см. [5, с. 17], [6, с. 149]) и связывает искомую напряженность результирующего магнитного поля
H r)
=
x
{H r),
y
H r),H
z
(r)}
в произвольной точке пространства r = (x, y, z) (не лежащей на гра-
0
0
0
0
нице магнетика) с напряженностью
H r)
={H r),
H r),H
(r)}
заданного поля внешнего ис-
x
y
z
точника. В данном уравнении Ω есть область в пространстве R3, ограниченная поверхностью S и
занятая исследуемым магнетиком с заданной постоянной магнитной проницаемостью μ. Внося
дивергенцию в (1) под знак интеграла [7, с. 340] и применяя формулу интегрирования по частям с
учетом div H(r) = 0, получаем:
µ-1
H
(r′)
n
0
3
H r)+
∇
dS
′
=
H
(r),
r∈
R
\
S ,
(2)
∫
4π
|
r
−
r′|
S
где
H r)
=H r)
⋅n
— предельное значение изнутри области Ω нормальной составляющей на S
n
S
вектора напряженности H (вектор единичной нормали n на S выбран внешним по отношению к об-
ласти Ω ). Умножая скалярно обе части (2) на вектор n и переходя к пределу на S изнутри области
Ω с учетом формулы скачка для нормальной производной потенциала простого слоя, имеем:
λ
∂
1
2
0
H
(r) +
H
(
′)
r ,
dS′=
H
(r)
r
∈
S
,
(3)
n
∫
n
n
2π
∂n
| r
−r′|
µ+1
S
где
µ-1
λ
:
=
,
(4)
µ+1
а интеграл в (3) представляет собой прямое значение на S нормальной производной потенциала
простого слоя с ядром [8, с. 266]:
∂
1
cos(
r
′
−r,n
=
).
2
∂n
|
r r′
|
|
r r′
|
3
Таким образом, напряженность результирующего магнитного поля H(r) в любой точке
r∈
R
\
S
вычисляется из формулы (2) после предварительного решения уравнения (3) относительно нор-
мальной составляющей Hn(r) на S. Построение эффективных алгоритмов решения этого уравнения
и является основной проблемой при решении задач магнитостатики, основанном уравнении (1).
3. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ НОРМАЛЬНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ НАПРЯЖЕННОСТИ
НА ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА
Конкретизируем форму магнетика. Рассмотрим магнетик в форме цилиндра (см. рис. 1). Об-
ласть Ω, занятая магнетиком, представляет собой прямой круговой цилиндр длины l с боковой по-
верхностью S1, ось которого совмещена с осью z, а нижнее и верхнее основания S2 и S3 суть круги
радиуса R, расположенные в плоскостях z = d и z = d + l соответственно. Для упрощения после-
дующих выкладок будем сначала рассматривать случай d = 0, а затем соответствующим сдвигом
начала координат в полученных окончательных формулах перейдем к произвольному значению d.
Поскольку полная поверхность цилиндра S состоит из трех частей S1, S2 и S3, то введем следующие
Дефектоскопия
№ 4
2021
24
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
z
n
S3
d + l
H0
μ
S1
n
S2
d
n
y
x
Рис. 1. Магнетик в форме конечного цилиндра.
отдельные обозначения для значений на этих поверхностях искомой из уравнения (3) нормальной
производной Hn(r):
1
ϕ r):= r)
H
n
,
2
ϕ r):= r)
H
n
,
3
ϕ r):= r)
H
n
(5)
S
1
S
2
S
3
Аналогичные обозначения введем и для значений нормальных составляющих напряженности
известного внешнего поля H0(r) на этих поверхностях:
0
0
0
0
0
0
1
ϕ r):= r)
H
n
,
2
ϕ r):= r)
H
n
,
3
ϕ r):= r)
H
n
(6)
S
1
S
2
S
3
Учитывая введенные обозначения (5), из (2) получим следующее выражение для напряженно-
R
0
сти так называемого поля реакции (магнетика)
H r):=H r)-H
(
r):
µ-
1
ϕ
(r′)
ϕ
(r′)
ϕ
(r′)
R
1
2
3
H r)
=-
∇
dS′+
dS′+
dS′,
r∉S.
(7)
∫
∫
∫
4π
| r-r′ |
| r-r′ |
| r-r′ |
S
1
S
2
S
3
Полагая в (3) поочередно
r∈S
, S
, S
, с учетом обозначений (6) получим систему интеграль-
1
2
3
ных уравнений относительно искомых функций (5):
3
λ
∂
1
2
0
ϕ
(r) +
ϕ
(r
′
)
dS′=
ϕ
(r),
r∈S
,
(8)
1
∑∫
i
1
1
2π
∂n
| r
−r′|
µ+1
i=1
S
i
λ
∂
1
2
0
ϕ
(r) −
ϕ
(r
′)
dS′=
ϕ
(r),
r∈S
,
(9)
2
∑∫
i
2
2
2π
∂z
| r
−r′|
µ+1
i=1,3
S
i
2
λ
∂
1
2
0
ϕ
(r) +
ϕ
(
r
′)
dS′=
ϕ
(r),
r∈S
(10)
3
∑∫
i
3
3
2π
∂z
| r
−
r′|
µ+1
i=1
S
i
В уравнениях (8)—(10) с помощью цилиндрических замен переменных сведем поверхност-
ные интегралы к повторным. В результате стандартных (но достаточно громоздких) преобразова-
ний приходим к следующей системе двумерных интегральных уравнений относительно функций
ψ1(φ, z), ψ2(r, φ), ψ3(r, φ):
Дефектоскопия
№ 4
2021
Один подход к численному решению основного уравнения магнитостатики...
25
π
1
λ
(1−cos(ϕ-ϕ′))
dz′dϕ′
ψ ϕ,z)−
t
ψ
(ϕ′,z′)
+
1
∫∫
1
2π
g(1,1,ϕ-ϕ′,t(z- z′))
−π
0
π
1
(1−r′cos(ϕ-ϕ′))r′ dr′d
ϕ′
+
ψ
(r′,ϕ′)
+
(11)
∫∫
2
g(1,r′,ϕ-ϕ′,tz)
-π
0
π
1
(1−r
′cos(ϕ-ϕ′))r′ dr′dϕ′
2
+ ∫∫ψ
(r′,ϕ′)
=
ψ0(ϕ,z);
3
1
g(1,r′,ϕ-ϕ′,t(1−
z))
µ+1
−π
0
π
1
λ
z′dz′dϕ′
2
ψ ϕ)−
t
ψ
(ϕ′,z′)
+
2
∫∫
1
2π
g r,1,ϕ-ϕ′,
tz′)
−π
0
(12)
π
1
r′ dr′dϕ′
2
0
+t
ψ
(r′,ϕ′)
=
ψ ϕ);
∫∫
3
2
g r,r′,ϕ-ϕ′,t)
µ+1
−π
0
π
1
λ
(1−
z
′)dz′d
ϕ′
2
ψ ϕ)−
t
ψ
(ϕ′,z′)
+
3
∫∫
1
2π
g r,1,ϕ-ϕ′,t(1
−
z′))
−π
0
(13)
π
1
r′ dr′dϕ′
2
0
+t
ψ
2
(r′,ϕ′)
=
3
ψ ϕ),
∫∫
g r,r′,
ϕ-ϕ′,t)
µ+1
−π
0
где введены обозначения:
32
2
2
2
g(a,b,θ,c):=
a
+
b
−
2abcosθ+c
,
t := l R .
(14)
Определяемые из системы (11)—(13) функции ψ1(φ, z), ψ2(r, φ), ψ3(r, φ) (
z∈
[0,1]
,
r∈[0,1],
ϕ∈[-π,π] ) следующим образом связаны с искомыми функциями φ1(r), φ2(r), φ3(r) из (5):
ψ ϕ,z):=ϕ
(Rcosϕ,Rsin
ϕ,
lz
),
ψ ϕ):=ϕ
(
Rr
cosϕ,
Rr
sin
ϕ,0),
1
1
2
2
(15)
3
ψ ϕ):=ϕ
3
(
Rr
cosϕ,
Rr
sin
ϕ,l).
0
Аналогично, функции в правых частях (11)—(13) связаны с известными функциями
ϕ
1
(r) ,
0
0
ϕ
(r) ,
ϕ
(r) из (6):
2
3
0
0
0
0
ψ ϕ,z):=ϕ
(Rcosϕ,Rsin
ϕ,
lz
),
ψ ϕ):=ϕ
(
Rr
cosϕ,
Rr
sin
ϕ,0),
1
1
2
2
(16)
0
0
ψ ϕ):=ϕ
(
Rr
cosϕ,
Rr
sin
ϕ,l).
3
3
При выводе уравнений (12) и (13) из уравнений (9) и (10) использовалось, что
∂
1
z- z′
=-
3
∂z
|
r r′
|
| r r′
|
При выводе (11) из (8) применяли выражение вектора единичной нормали к боковой поверх-
ности S1 цилиндра в точке r = {x, y, z} на ней n = {x/R, y/R, 0}, а потому
∂
1
x(x- x
′
)
+
y(y- y′
=-
).
3
∂
n
|
r r′
|
R
|
r r′
|
4. ВЫРАЖЕНИЯ ПОЛЯ РЕАКЦИИ ЧЕРЕЗ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ (11)—(13)
R
R
R
R
Выразим поле реакции
H r)
={H r),
H r),
H
(r
)}
через функции ψ1(φ, z), ψ2(r, φ), ψ3(r, φ),
x
y
z
являющиеся решением системы (11)—(13). Из соотношения (7), учитывая возможность внесения
Дефектоскопия
№ 4
2021
26
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
производной под знак интеграла (
r
=
(x,y,z)
∉
S
), для декартовых компонент результирующего
поля получаем:
3
µ-1
ϕ
(r′)(x- x′)
R
i
H
(r)
=
dS′;
(17)
x
∑∫
3
4π
| r
−r′|
i=1
S
i
3
µ-1
ϕ
(r′)(y- y′)
R
i
H
(r)
=
dS′;
(18)
y
∑∫
3
4π
| r
−r′|
i
=1
S
i
3
µ-1
ϕ
(r
′)(z- z′)
R
i
H
(r)
=
dS′
(19)
z
∑∫
3
4π
| r
−r′|
i=1
S
i
Переходя в (17)—(19) от декартовых координат r = (x, y, z) к цилиндрическим (r, φ, z), затем
выражая поверхностные интегралы через повторные с учетом соотношений (15) и (16), после
стандартных (но достаточно громоздких) преобразований получаем выражения декартовых ком-
R
R
R
понент напряженности поля реакции
x
H r,ϕ,z),
y
H r,ϕ,z),
z
H r,ϕ,z)
через цилиндрические
R
R
R
координаты (r, φ, z) точки наблюдения (это
x
H r),
y
H r),
H
z
(r)
при цилиндрической замене
в них x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z ) и соответствующие декартовые компоненты напряженности
0
0
0
внешнего поля
x
H r,ϕ,z),
y
H r,ϕ,z),
z
H r,ϕ,
z):
π
1
µ-
1
(r cosϕ-
cosϕ′)
dz′dϕ′
R
H r,ϕ,z)
=
t
ψ
(ϕ′,z′)
+
x
∫∫
1
4π
g r,1,ϕ-ϕ′,z -tz′)
-π
0
π
1
(r cos
ϕ-
r′cosϕ′)r′ dr′dϕ′
+
ψ
(r′,
ϕ′)
+
∫∫
2
g r,
r′,
ϕ-ϕ′,z )
-π
0
π
1
(r cosϕ-r
′
cosϕ′)r′ dr′dϕ′
+
ψ
(r′,ϕ′)
;
∫∫
3
g r,
r′,
ϕ-ϕ′,z -t
)
−π
0
π
1
µ-
1
(r sinϕ-
sin
ϕ′)
dz′dϕ′
R
H r,ϕ,z)
=
t
ψ
(ϕ′,
z′
)
+
y
∫∫
1
4π
g r,1,ϕ-ϕ′,z -tz′)
-π
0
π
1
(r sin
ϕ-
r′sinϕ′)r′ dr′dϕ′
+
ψ
(r′,
ϕ′)
+
∫∫
2
g r,
r′,
ϕ-ϕ′,z )
-π
0
π
1
(r sin
ϕ-
r′sinϕ′)r′ dr′dϕ′
+∫∫ψ
(r′,
ϕ′)
;
3
g r,r
′
,ϕ-ϕ′, z -t
)
−π
0
π
1
µ-
1
(z -tz
′
)
dz′d
ϕ′
R
H r,ϕ,z)
=
t
ψ
(ϕ′
,
z′
)
+
z
∫∫
1
4
π
g r,1,ϕ-ϕ′,z -tz′)
−π
0
π
1
r′ dr′dϕ′
+
z
ψ
(r′,
ϕ′
)
+
(20)
∫∫
2
g r,
r
′,ϕ-ϕ′
,z )
-π
0
π
1
r′ dr′d
ϕ′
+
(
z -t
)
ψ
(r′,ϕ′)
∫∫
3
g r,
r′,ϕ-ϕ′,
z -t
)
−π
0
Подставляя эти соотношения в формулы перехода к цилиндрическим координатам:
Дефектоскопия
№ 4
2021
Один подход к численному решению основного уравнения магнитостатики...
27
R
R
R
H r,ϕ,z)
=
H r,ϕ,z)cosϕ+
H r,ϕ,z) sinϕ,
r
x
y
R
R
R
R
R
H r,ϕ,z)
=-H r,ϕ,z) sinϕ+
H r,ϕ,z)cosϕ,
H r,ϕ,z)
=
H r,ϕ,z),
ϕ
x
y
z
z
получаем следующие выражения цилиндрических координат результирующего поля HR(r, φ, z)
через решения ψ1(φ, z), ψ2(r, φ), ψ3(r, φ) системы (11)—(13):
π
1
µ-1
(r
−cos(ϕ-ϕ′))
dz′d
ϕ′
R
H r,ϕ,z)
=
t
ψ
(ϕ′,z′)
+
r
∫∫
1
4π
g r,1,ϕ-ϕ′,z -tz′
)
-π
0
π
1
(r -r′cos(ϕ-ϕ′))r′ dr′dϕ′
+
ψ
(r′,ϕ′)
+
(21)
∫∫
2
g r,r′,ϕ-ϕ′,z )
-π
0
π
1
(r -r′cos(ϕ-ϕ′))r′ dr′dϕ′
+ ∫∫ψ
(r′,ϕ′)
;
3
g r,r′,ϕ-ϕ′,z -t)
−π
0
π
1
µ-1
sin(ϕ-ϕ′)dz′dϕ′
R
H r,ϕ,z)
=
t
ψ
(ϕ′,z′)
+
ϕ
∫∫
1
4π
g r,1,ϕ-ϕ′,z -tz
′
)
-π 0
π
1
2
sin(ϕ-ϕ′)r′
dr′dϕ′
+
ψ
(r′,ϕ′)
+
(22)
∫∫
2
g r,r′,
ϕ-ϕ′,z )
−π
0
π
1
2
sin(ϕ-ϕ
′)r′
dr′dϕ′
+
ψ
(r′,ϕ′)
,
∫∫
3
g r,r′,ϕ-ϕ′,z -t)
−π
0
R
а
H r,ϕ,
)
z
определено в (20). В приведенных выше формулах параметр t определен в (14),
z
r := r R,
z := z R,
(23)
а ψ1(φ, z), ψ2(r, φ), ψ3(r, φ) суть решения системы (11)—(13).
Таким образом, основной трудностью при вычислении поля реакции конечного цилиндра яв-
ляется предварительное решение системы трех двумерных интегральных уравнений (11)—(13).
Дальнейшей целью является сведение решения этой системы к решению некоторого количества
систем трех одномерных интегральных уравнений.
5. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ ИСКОМЫХ ФУНКЦИЙ
В работе [6, с. 254] показано, что решение основного уравнения магнитостатики (1) правильно
непрерывно в области Ω и имеет правильно непрерывный след на ее поверхности. Отсюда следует
непрерывность функций в (15), а потому — сходимость их разложения в ряд Фурье по угловой
переменной φ. Поэтому решение системы (11)—(13) будем искать в виде разложения в тригономе-
трический ряд:
∞
(1)
(1)
ψ ϕ,z)
=
(a z)cos
nϕ+b z) sinnϕ
);
(24)
1
∑
n
n
n=0
∞
(2)
(2)
ψ ϕ)
=
(a r)cos
nϕ+b r) sinnϕ
);
(25)
2
∑
n
n
n=0
∞
(3)
(3)
ψ ϕ)
=
(a r)cos
nϕ+b r) sinnϕ)
(26)
3
∑
n
n
n=0
с искомыми функциями:
∞
∞
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
a z),
a r),
a
(r)
,
b z),
b r),b
(r)
, z,r ∈[0,1],
(27)
{
n
n
n
}
{
n
n
n
}
n=0
n=1
считая известными коэффициенты:
Дефектоскопия
№ 4
2021
28
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
∞
∞
(01)
(02)
(03)
(01)
(02)
(03)
a z),
a r),a
(r)
b z),
b r),b
(r)
, z,r∈[0,1]
(28)
{
n
n
n
}
,{
n
n
n
}
n=0
n=1
аналогичного разложения функций в (16):
∞
0
(01)
(01)
1
ψ ϕ,z)
=
∑
n
(a z)cos
n
nϕ+b z) sinnϕ);
(29)
n=0
∞
0
(02)
(02)
ψ ϕ)
=
(a r)cos
nϕ+b r) sinnϕ);
(30)
2
∑
n
n
n=0
∞
0
(03)
(03)
ψ ϕ)
=
(a r)cos
nϕ+b r) sinnϕ).
(31)
3
∑
n
n
n=0
Приведем некоторые формулы, которые будут использованы в дальнейших преобразовани-
ях. Пусть F(φ) — некоторая 2π-периодическая функция. Тогда для любых чисел a, b и любых
n = 0, 1, 2, …:
π
(acosnϕ′ +bsin
nϕ′ F(
ϕ′ - ϕ)d
ϕ′ =
(ac
+
bd
)cosnϕ+(bc
−
ad
) sinnϕ,
(32)
∫
n
n
n
n
−π
π
π
где
c
:=
F(ϕ)cosnϕd
ϕ,
d
:=
F(ϕ) sinnϕd
ϕ
Далее, интеграл:
n
∫
n
∫
−π
-π
π
D a,b,
m,ν),
a >b
>
0
(a+bcosϕ
)νcosmϕd
,
(33)
∫
ϕ=
m
(
-
1)
D a,b,
m,ν),
b
<
0,
a
>
| b |
0
Γ(ν+1)
a
2
2
ν
2
m
D a,b,m,ν):=π(a
−b
)
P
ν
,
m = 0,1,2,..., ν ≠ -1,-2,
2
2
Γ
(m +ν+
1)
a
−b
m
Здесь
(⋅)
— присоединенная функция Лежандра, Γ(⋅) — гамма-функция. Формула (32) вы-
Pν
водится стандартными преобразованиями, а формула (33) следует из интегрального представления
[9, с. 969] [10, с. 158]:
π
ν
m
Γ(m+ν+1)
2
a
ν
P z)
=
(
z
+
z
−1cos
ϕ
)
cos
mϕdϕ, если положить
z
=
∫
2
2
πΓ(
ν+1)
a
-b
0
Отметим, что приведенная в [11, с. 414] формула для интеграла в (33) неверна для случая
b < 0, a >|b|, m— нечетное.
После подстановки разложений (24)—(26), (29)—(31) в систему (11)—(13), длительных пре-
образований (с использованием формул (32) и (33), рекуррентных формул для присоединенных
полиномов Лежандра) с последующим приравниванием соответствующих коэффициентов Фурье
в правых и левых частях получившихся равенств получаем для определения искомых функций
∞
(1)
(2)
(3)
(27) системы одномерных интегральных уравнений. А именно, функции {
n
a z),
n
a r),a
n
(r)
}
,
n=0
z,r∈[0,1] являются решением системы:
1
(1)
(1)
a z)
-
2λ π
(
z′
)α
(
1, 1,
t(z- z
′)
)
dz
′+
n
∫a
n
n
0
1
1
2
(2)
(3)
(01)
+
a r′)
α
(
1,
r
′,
tz
)
dr′+
a r′)α
(
1,
r′,
t(1−
z)
)
dr
′ =
a z);
∫
n
n
∫
n
n
n
(34)
µ+1
0
0
Дефектоскопия
№ 4
2021
Один подход к численному решению основного уравнения магнитостатики...
29
1
1
2
(2)
(1)
(3)
(02)
a r)−2λ π
t∫a
(z′)γ
(
r, 1,
tz′
)
dz′+
a r′)γ
(
r,
r′,
t
)
dr′ =
a r);
(35)
n
n
n
∫
n
n
n
µ+1
0
0
1
1
2
(3)
(1)
(2)
(03)
a r)−2λ π
t∫a
(z′)γ
(
r, 1,
t(1−
z′)
)
dz′+
a r′)γ
(
r,
r
′,
t
)
dr′ =
a r).
(36)
n
n
n
∫
n
n
n
µ+1
0
0
∞
(1)
(2)
(3)
Функции {
n
b z),
n
b r),b
n
(r)
}
, z,r ∈[0,1] являются решением системы:
n=1
1
(1)
(1)
b z)-
2λ π
(
z′)α
(
1, 1,
t(z- z
′)
)
dz
′+
n
∫b
n
n
0
1
1
2
(2)
(3)
(01)
+
b r′)α
1,
r′,
tz
dr′+
b r′)α
1,
r′,
t(1−
z
)
dr
=
b z);
∫
n
n
(
)
∫
n
n
(
)
′
n
(37)
µ+1
0
0
1
1
2
(2)
(1)
(3)
(02)
b r)−2λ π
t∫b
(z′)
γ
(
r, 1,
tz
′
)
dz′+
b r′)γ
(
r,
r
′
,
t
)
dr′ =
b r);
(38)
n
n
n
∫
n
n
n
µ+1
0
0
1
1
2
(3)
(1)
(2)
(03)
b r)−2λ π
t∫b
(
z
′
)γ
(
r, 1,
t(1−
z
′
)
)
dz′+
b r′)γ
(
r
,
r′
,
t
)
dr′ =
b r).
(39)
n
n
n
∫
n
n
n
µ+1
0
0
В системах (34)—(39) приняты обозначения:
n+1
2
2
2
(−1)
bδ a,b,q)
n
(a
+
b
+
q
)
2ab
2
n
n+1
α
(a,b,q):=
a
−
1
(
P ε a,b,q)
)
+
P
1
(
ε(a,b,q)
)
;
(40)
n
1
2
a
Γ(n
−
)
2
n
+
1
2
4
n
−1
2
2
n+1
(−1)
bqδ a,b,q)
n
γ
n
(a,b,q):=
1
(
P ε a,b,q));
(41)
1
2
Γ
(
n
−
)
2
1
−
2
2
3
−
2ab
2
2
2
2
2
2
4
δ(a,b,q):=(a
+
b
+
q
)
−4a
b
,
ε(a,b,q):=
1
−
(42)
2
2
2
a
+
b
+q
Отметим, что выписанные две системы отличаются только правыми частями.
6. ВЫРАЖЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТ ПОЛЯ РЕАКЦИИ ЧЕРЕЗ РЕШЕНИЯ
СИСТЕМ (34)—(36) И (37)—(39)
Подставляя в формулы (20)—(22) выражения для функций ψ1(φ, z), ψ2(r, φ), ψ3(r, φ) из (24)—
(26), после длительных преобразований с учетом формул (32), (33) и свойств присоединенных
функций Лежандра получаются следующие выражения для цилиндрических компонент поля ре-
акции:
∞
1
1
R
(1)
(2)
H r,ϕ,z)
=
π(µ-1)
{
cosn
ϕ
[
t∫a
(
z
′
)
α
(r, 1,
z -tz′)dz
′+
a r′)α
(r,
r′,
z)dr′+
r
∑
n
n
∫
n
n
n
=
0
0
0
1
1
1
(3)
(1)
(2)
+
a r′)α
(r,
r′,
z -t
)dr
′
]
+
sin
n
ϕ[t∫b
(
z
′)
α
(r, 1,
z -tz′
)
dz
′+
b r′)α
(r,
r′,
z)dr
′+
(43)
∫
n
n
n
n
∫
n
n
0
0
0
1
(3)
+
b
(r′)α (
r, r′, z-t)dr
′]},
∫
n
n
0
Дефектоскопия
№ 4
2021
30
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
∞
1
R
(1)
H r,ϕ,z)
=- π(µ-1)
{
cosnϕ
[
t∫b
(z′)β
(r, 1,
z -tz′)
dz′+
ϕ
∑
n
n
n=1
0
1
1
(2)
(3)
+
b r′)β
(r,
r′,
z)
dr
′+
b r′)β
(r,
r′,
z -t
)
dr′
]
−
∫
n
n
∫
n
n
0
0
(44)
1
1
(1)
(2)
−sinnϕ
[
t∫a
(z′)β
(r, 1,
z -tz′)
dz′+
a r′)β
(r,
r′,
z
)
dr′+
n
n
∫
n
n
0
0
1
(3)
+
(r′)β r,
r′
,
z-t)
dr′
]},
∫a
n
n
0
∞
1
R
(1)
H r,ϕ,z)
= π(µ-
1)
{
cosnϕ
[
t∫a
(z′)γ
(r, 1,
z -tz′
)
dz′+
z
∑
n
n
n=0
0
1
1
(2)
(3)
+
a r′)γ
(r,
r
′,
z)
dr
′+
a r′)γ
(r,
r′,
z -t
)
dr′
]
+
∫
n
n
∫
n
n
0
0
(45)
1
1
(1)
(2)
+sinnϕ
[
t∫b
(
z′)γ
(r, 1,
z -tz′
)
dz′+
b r′)γ
(r,
r
′,
z
)
dr′+
n
n
∫
n
n
0
0
1
(3)
+
n
(r′
)
n
γ r,
r′
,
z-t)
dr′
]},
∫b
0
n+1
2
2
2
(−1)
nbδ a,b,q)
a
+
b
+
q
n
4ab
n+1
β
(a,b,q):=
1
(
P ε a,b,q)
)
+
P
1
(
ε(a,b,q)
)
(46)
n
2
1
2
2
a
Γ(n
−
2
)
2
n
+1
4
n
−
1
R
0
3
Итак, цилиндрические координаты поля реакции
H r)
=H r)
-H
(
r
),
r∈
R
\
S(S=S
1
S
2
S
3
)
∞
∞
(1)
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
вычисляются по формулам (43)—(45), где функции {
n
a z),
n
a r),
a
n
(r)
}
и {
n
b z),
n
b r),b
n
(
r)
}
n=
0
n
=1
суть решения систем одномерных интегральных уравнений (34)—(36) и (37)—(39).
Отметим, что при переходе к более общему случаю (см. рисунок), когда нижнее основание ци-
линдра находится в плоскости z = d при произвольном d (до этого рассматривался случай d = 0), все
приведенные выше формулы остаются справедливыми, кроме следующих небольших изменений:
в формуле (23) вместо z := z R должно стоять:
z := (z - d ) R ,
(47)
а формулы (15) и (16) заменяются на следующие:
1
ψ ϕ,z):=ϕ
1
(Rcosϕ,Rsin
ϕ,
lz + d
),
2
ψ ϕ):=ϕ
2
(
Rr
cosϕ,
Rr
sin
ϕ,
d
),
(48)
ψ ϕ):=ϕ
(
Rr
cosϕ,
Rr
sin
ϕ,
d +l
);
3
3
0
0
0
0
1
ψ ϕ,z):=ϕ
1
(Rcosϕ,Rsin
ϕ,
lz + d
),
2
ψ ϕ):=ϕ
2
(
Rr
cosϕ,
Rr
sin
ϕ,
d
),
(49)
0
0
ψ ϕ):=ϕ
(
Rr
cosϕ,
Rr
sin
ϕ,
d +l
).
3
3
Несложно убедиться, что в формулах (43)—(45) все ядра в интегралах не имеют особенно-
стей, поскольку точка наблюдения не принадлежит поверхности цилиндра r ∉ S . В интегральных
же уравнениях (34)—(36) и (37)—(39) только ядро
(1, 1,
(
))
n
α
t⋅
z-z′
в первом интеграле фор-
мул (34) и (37) имеет логарифмическую особенность при z′ = z , поскольку можно показать, что
1
α
(a,a,
q)
=-
lnq+O(1),
q
→
0
+
0.
Эта особенность вполне интегрируема, однако этот
n
4aπ π
факт надо учитывать при численном решении систем (34) и (37), используя простые известные
приемы избавления от сингулярности.
Дефектоскопия
№ 4
2021
Один подход к численному решению основного уравнения магнитостатики...
31
7. ПОЛЕ РЕАКЦИИ НА ОСИ ЦИЛИНДРА
Выведем формулы для вычисления поля реакции на оси цилиндра, переходя к пределу r → 0 + 0
(а потому и r → 0 + 0 ) в выражениях (43)—(45). Для этого необходимо найти предельные значения
n
α a,b,q)
,
n
β a,b,q)
и
n
γ a,b,q)
при a → 0 + 0 . Будем использовать соотношения:
2
2
−32
n
lim
δ(a,b,q)
=
(b
+
q
)
, lim
ε(a,b,q)
=1, lim
12
P z)
=δ
n,0
,
(50)
a→0+0
a→0+0
z→ +0
где
δ
n
,m
— символ Кронекера. Значения первых двух пределов получаются непосредственно из
формул (42), а последнего вытекает из соотношения [10, с. 164]
-n 2
n
2
Γ(ν+n
+
n
2
n
2
+
1
P z)
=
1) (z
−1)
+O
(z
−1)
,
z
→1
+0.
(51)
ν
(
)
n!Γ(ν-n
+1)
Для n = 0 из (40), (41) с учетом (50) легко получить:
2
2
−32
bq(
b
+
q
)
lim
α
(a,b,q)
=
0,
lim
γ
(a,b,q)
=
(52)
0
0
a→0+0
a→0+
0
2
π
n
3
Рассмотрим n = 1, 2, … . Из (51) следует
lim
12
P z)
z-1
=
δ
n,1
Переходя с использова-
z→ +0
4
2
нием этого соотношения и (50) к пределу a → 0 + 0 в (40), с учетом (52) получаем для n = 0, 1, 2, …:
2
2
2
−32
b
(b
+
q
)
lim
α
(a,b,q)
=-
δ
(53)
n
n,1
a→0+0
4
π
Аналогично выводятся предельные формулы для βn(a, b, q) и γn(a, b, q):
2
2
2
−32
2
2
−32
b
(b
+
q
)
bq(b
+
q
)
lim
β
n
(a,b,q)
=
δ
n,1
,
lim
γ
n
(a,b,q)
=
δ
n,0
,
(54)
a→0+0
a→0+0
4
π
2
π
n = 0, 1, 2, … . Переходя теперь к пределу r → 0 + 0 в (43)—(45) с учетом (53), (54), получаем сле-
дующие выражения для цилиндрических компонент поля реакции на оси цилиндра (без точек на
его поверхности: z ≠ d, z ≠ d + l ):
R
µ-1
H
r
(0,ϕ,z)
=-
(
A z)cosϕ+
B z) sinϕ
)
,
4
(55)
R
µ-1
R
µ-1
H
(0,ϕ,z)
=-
(
B z)cosϕ-
A z) sinϕ
)
,
H
(0,ϕ,z)
=
C(z),
ϕ
z
4
2
где обозначено:
1
(1)
1
(2)
2
1
(3)
2
a
(
z
′)dz
′
a r′)r′
dr
′
a r′)r
′
dr′
1
1
1
A z):=
t
+
+
;
(56)
∫
2
32
∫
2
2
32
∫
2
2
32
[1
+(z -tz
′)
]
[
r
′
+
z
]
[
r
′
+
(z -t
)
]
0
0
0
1
(1)
1
(2)
2
1
(3)
2
b
(
z
′)
dz
′
b r′)r′
dr
′
b r′)r
′
dr′
1
1
1
B z):=
t
+
+
;
(57)
∫
2
32
∫
2
2
32
∫
2
2
32
[1
+(z -tz
′)
]
[
r
′
+
z
]
[
r
′
+
(z -t
)
]
0
0
0
Дефектоскопия
№ 4
2021
32
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
1
(1)
1
(2)
1
(3)
a
(z′)(z -tz′)dz′
a r′)r′dr′
a r′)r′dr′
0
0
0
C z):=
t
+
z
+
(z -t)
(58)
∫
2
32
∫
2
2
32
∫
2
2
32
[1+(z -tz′)
]
[r′
+
z
]
[r′
+(z -t)
]
0
0
0
Переходя в
(55)
от цилиндрических координат вектора HR к декартовым
R
R
R
R
R
R
R
R
H
x
=
H
r
cosϕ-
H
ϕ
sinϕ,
H
y
=
H
r
sinϕ+
H
ϕ
cosϕ,
H
z
=
H
z
,
получаем следующие выражения
R
R
R
декартовых координат
x
H x,y,z),
y
H x,y,z),
z
H x,y,z)
поля реакции HR(x, y, z) на оси цилиндра
( z ≠ d, z ≠ d +l ):
R
µ-1
R
µ-
1
R
µ-1
H
(0,0,z)
=-
A z),
H
(0,0,z)
=-
B z),
H
(0,0,z)
=
C(z),
(59)
x
y
z
4
4
2
(1)
(2)
(3)
где функции A(z), B(z), C(z) определены в
(56)—(58),
a
(z),a
(r),a
(r)
и
{
0
0
0
}
(1)
(2)
(3)
a
(z),a
(r),a
(r)
суть решения системы (34)—(36) для n = 0 и n = 1 соответственно, а
{
1
1
1
}
(1)
(2)
(3)
b
(z),b
(r),b
(r)
есть решение (37)—(39) для n = 1.
{
1
1
1
}
8. СЛУЧАЙ ПОСТОЯННОГО ВНЕШНЕГО ПОЛЯ
0
0
0
0
Рассмотрим часто встречающуюся ситуацию, когда внешнее поле постоянно:
H
={H
, H
, H
},
x
y
z
0
0
0
где
H
x
,
H
y
, H
z
— константы. В этом случае нормальные составляющие этого поля на поверхности
S=S
S
S
цилиндра имеют вид:
1
2
3
0
1
0
0
0
0
0
0
(r)
(
),
(r)
,
(
)
H
= =-
H
x+H
y
H
H
H
r
=
H
n
x
y
n
z
n
z
R
для
r ={x, y,z}∈S
1
, S
2
, S
3
соответственно. Поэтому, учитывая формулы (6) и (49), имеем:
0
0
0
0
0
0
0
1
ψ ϕ,z)
=H
x
cosϕ+H
y
sinϕ
,
2
ψ r,ϕ)
=-H
z
,
3
ψ r,ϕ)
=H
z
Тогда, в соответствии с
(29)
—
(01)
0
(01)
0
(02)
0
(03)
0
(31), имеем
a
(
z)
=H
δ
,
b
(z)
=H
δ
,
a
(r)
=-H
δ
,
b r)
=
0
,
a
(r)
=H
δ
,
n
x n,1
n
y n,1
n
z n,0
n
n
z n,0
n
b r)
=
0,
n = 0,1, 2,.... После подстановки этих значений в правые части (34)—(36), (37)—
(39) легко проверить, что получившимся системам будут удовлетворять такие функции, что
(
i)
(i)
(1)
(2)
(3)
a
n
≡
0
,
b
n
≡
0
(i =1, 2, 3; n = 2, 3, ...), функции
a
0
(z),a
0
(r),a
0
(r) суть решение системы:
1
(1)
(1)
a z)−
2λ π
[
t∫a
(z′)α
(1, 1,
t
(z- z′
))dz′+
0
0
0
0
(60)
1
1
(2)
(3)
+
a r′)α
(1,
r′,
tz
)
dr′+
a r′)α
(1,
r′,
t(1
−
z))dr′
]
=
0;
∫
0
0
∫
0
0
0
0
1
1
2
(2)
(1)
(3)
0
a r)−2
λ π
t∫a
(z′)
γ
(
r
, 1,
tz
′
)
dz′ +
a r′)
γ
(
r,
r′,t
)
dr
′ =-
H
;
(61)
0
0
0
∫
0
0
z
µ+1
0
0
1
1
2
(3)
(1)
(2)
0
a r)
−2
λ π
t∫a
(z′)
γ
(
r
, 1,
t
(1
−
z′)
)
dz
′+
a r′)
γ
(
r
,
r′,
t
)
dr′ =
H
,
(62)
0
0
0
∫
0
0
z
µ+1
0
0
(1)
(2)
(3)
функции
a
(z),a
(r),a
(r)
— решение системы:
1
1
1
1
(1)
(1)
a
(z)
-2
λ π
(z′)
α
(
1, 1, t(z - z′)
)
dz′ +
1
∫a
1
1
0
1
1
2
(2)
(3)
0
+
a r′)
α
(
1,
r′
,
tz
)
dr
′+
a r′)
α
(
1,
r
′,
t
(1
−
z
)
)
dr
′ =
H
;
(63)
∫
1
1
∫
1
1
x
µ+
1
0
0
Дефектоскопия
№ 4
2021
Один подход к численному решению основного уравнения магнитостатики...
33
1
1
(2)
(1)
(3)
a
(r) − 2λ π
t∫a
(z′)γ
(r, 1, tz′) dz′ +
a
(r′)γ
(r, r′, t) dr′ =
0;
(64)
1
1
1
∫
1
1
0
0
1
1
(3)
(1)
(2)
a
(r) − 2λ π
t∫a
(z′)γ
(
r, 1, t(1- z′)
)
dz′+
a
(r′)γ
(
r, r′, t
)
dr′ =
0,
(65)
1
1
1
∫
1
1
0
0
(1)
(2)
(3)
функции
b
1
(z),b
1
(r),b
1
(r) — решение системы:
1
(1)
(1)
b
1
(z) - 2λ π
1
(z′)α
1
(
1,
1, t(z - z′)
)
dz′+
∫b
0
1
1
2
(2)
(3)
0
+
b r′)α
(
1,
r′, tz
)
dr′+
b r′)α
(
1,
r′,
t(1−
z)
)
dr′ =
H
;
∫
1
1
∫
1
1
y
(66)
µ+
1
0
0
1
1
(2)
(1)
(3)
b
(r) − 2λ π
t∫b
(z′)
γ
(r, 1, tz′) dz′+
b
(r′)
γ
(r, r′, t)dr′ =
0;
(67)
1
1
1
∫
1
1
0
0
1
1
(3)
(1)
(2)
b
(r) − 2λ π
t∫b
(z′)
γ
(
r, 1, t(1
− ′
)
dz′+
b
(r′)γ
(
r, r′, t
)
dr′ =
0,
(68)
1
1
1
∫
1
1
0
0
где согласно (40), (41):
bδ b,q)
0
1
α
0
(1,b,q)
=
P
1
(
ε(1,b,q)
)
−2bP
1
(
ε
(1,b,q)
)
;
(69)
2
2
2
π
bqδ a,b,q)
0
γ
0
(a,b,q)
=
1
(
P ε a,b,q)
)
;
(70)
2
2
π
2
2
bδ b,q)
2
−
b
−q
1
2
b
2
α
(1,b,q)
=
P
1
(
ε
(1,b,q)
)
+
P
1
(
ε(1,b,q)
)
;
(71)
1
2
2
π
3
3
bqδ a,b,q)
1
γ
(a,b,q)
=
(
P ε a,b,q)
)
(72)
1
1
2
π
В соответствии с этим, для случая постоянного внешнего поля формулы (43)—(45) для цилин-
дрических координат поля реакции HR упрощаются таким образом, что в (43) и (45) ненулевыми
оказываются только два первых члена ряда, а в (44)—только первый член ряда.
9. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключение кратко сформулируем основные результаты, полученные в настоящей работе, и
план практической реализации предложенного подхода.
1. В рамках обсуждаемого подхода нахождение напряженности результирующего магнитного
поля от однородного цилиндра конечных размеров, помещенного во внешнее магнитное поле про-
извольной конфигурации, сводится к решению некоторого количества систем трех одномерных ли-
нейных интегральных уравнений (34)—(36) и (37)—(39), после чего компоненты напряженности
вычисляются непосредственно по формулам (43)—(45).
2. Приведен вид упомянутых систем и формул для компонент напряженности поля для частных
случаев постоянного внешнего поля и поля на оси цилиндра.
3. Авторы отдают себе отчет в том, что для завершения исследования предлагаемого подхо-
да нужна его компьютерная реализация, позволяющая для конкретных физических и геометри-
Дефектоскопия
№ 4
2021
34
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
ческих параметров задачи построить графики результирующих полей, провести тестирование
полученных результатов на их соответствие физическим законам явления, выполнить проверку
работы данного подхода и его программной реализации на предельных частных случаях с из-
вестными аналитическими ответами, оценить быстроту сходимости и т.д. Однако в рамках одной
настоящей статьи это сделать невозможно из-за ограничения на ее объем. Упомянутая выше ра-
бота уже практически завершена и будет представлена отдельной статьей.
Работа выполнена в рамках государственного задания по теме «Квант» (“Quantum”)
№ АААА-А18-118020190095-4 и при поддержке проекта №18-10-2-8 Программы УрО РАН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сапожников А.Б. Теоретические основы магнитной дефектоскопии металлических тел. Томск:
Изд-во ТГУ, 1980. 308 с.
2. Дякин В.В., Кудряшова О.В. Дефект в цилиндре // Дефектоскопия. 2012. № 4. С. 41—55.
3. Dyakin V.V., Kudryashova O.V. et al. To the Calculation of the Field of a Finite Magnetic Cylinder //
Russian Journal of Nondestructive Testing. 2019. V. 55. No. 10. P. 734—745. [Дякин В.В., Кудряшова О.В.,
Раевский В.Я. К расчету поля конечного магнитного цилиндра // Дефектоскопия. 2019. № 10. С. 24—34.]
4. Дякин В.В., Кудряшова О.В., Раевский В.Я. О проблемах использования пакетов универсальных
программ для решения задач магнитостатики // Дефектоскопия. 2018. № 11. С. 23—34.
5. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наукова дум-
ка, 1986. 280 с.
6. Дякин В.В. Математические основы классической магнитостатики. Екатеринбург: РИО УрО РАН,
2016. 404 с.
7. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.
8. Михлин С. Г. Линейные уравнения в частных производных. М.: Высшая школа, 1977. 423 с.
9. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов, произведений. Санкт-Петербург:
БВХ-Петербург, 2011. 1232 с.
10. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1973. 294 с.
11. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 1. М.: Наука, 1981. 800 с.
Дефектоскопия
№ 4
2021
