Электромагнитные методы
УДК 620.179.14
ТОЧНЫЕ ФОРМУЛЫ НАПРЯЖЕННОСТИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
ВНУТРИ И ВНЕ ОДНОРОДНОГО ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО МАГНЕТИКА
ВО ВНЕШНЕМ ОДНОРОДНОМ В ОБЛАСТИ МАГНЕТИКА ПОЛЕ
© 2022 г. В.В. Дякин1, О.В. Кудряшова1,*, В.Я. Раевский1,**
1Институт физики металлов имени М.Н. Михеева УрО РАН,
Россия 620137 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 18
E-mail: *kudryashova_ov@imp.uran.ru; **ravskii@mail.ru
Поступила в редакцию 13.01.2022; после доработки 01.02.2022
Принята к публикации 01.02.2022
Рассмотрена прямая задача магнитостатики — вычисление напряженности результирующего магнитного поля вну-
три и вне однородного магнетика в форме произвольного эллипсоида, помещенного в область однородности внешне-
го магнитного поля. Приведены конечные формулы для расчета указанной напряженности, содержащие элементарные
функции или неполные эллиптические интегралы. Из них получены формулы напряженности для «предельных» случав
магнетика указанной формы: пластина конечной толщины, бесконечный круговой цилиндр и цилиндр с эллиптическим
поперечным сечением, шар. Проведено сравнение с рядом известных формул для этих случаев.
Ключевые слова: основное уравнение магнитостатики, прямая задача, эллипсоидальный магнетик, магнитный не-
разрушающий контроль.
DOI: 10.31857/S0130308222020051
1. ВВЕДЕНИЕ
Для решения многих практических задач из области магнетизма, например, задач нераз-
рушающего магнитного контроля, актуальной является проблема создания и программной реа-
лизации алгоритмов аналитического или численного решения задач магнитостатики по вычис-
лению напряженности результирующего поля применительно к магнитным телам различной
формы, помещенным во внешнее магнитное поле. Решение этой проблемы развивается в двух
направлениях. Прежде всего, расширяется круг задач (в смысле усложнения геометрии иссле-
дуемых магнетиков, характера их магнитной проницаемости, конфигурации внешнего поля),
для которых получены либо точные аналитические формулы вычисления указанной напряжен-
ности, либо предложены численно-аналитические алгоритмы, дающие ответ с контролируемой
задаваемой точностью. Но круг таких задач пока еще недостаточно широк и исчерпывается, в
основном, конфигурациями однородных и изотропных магнетиков идеальных геометрических
форм с идеальными же формами дефектов в них. Во многих же реальных задачах геометрия
исследуемых магнетиков и/или характер их магнитной проницаемости достаточно сложны и не
поддаются пока решению указанными аналитическими или численно-аналитическими метода-
ми. Поэтому в последнее время бурное развитие получило создание так называемых универ-
сальных пакетов программ (типа ANSYS или ELCUT), реализующих численный метод конеч-
ных элементов. Главное преимущество таких программных продуктов — их универсальность
в плане формальной возможности применения к самому широкому кругу магнитостатических
задач, возникающих для описания полей от магнетиков практически произвольной формы с до-
статочно общими типами линейной и нелинейной связи в материальных соотношениях. Однако
практическое применение таких пакетов программ таит в себе множество подводных камней,
подробному описанию которых посвящена работа [1]. Отдельно отметим основной их недо-
статок — существенная субъективность выбора многочисленных входных параметров и отсут-
ствие в большинстве случаев сколько-нибудь полного представления о величине погрешности
полученных результатов, без которого ценность применения таких программ становится весьма
сомнительной. Основным же достоинством программ, реализующих аналитические методы ре-
шения, является полный контроль величины погрешности результата и возможность ее регули-
рования за счет изменения числовых параметров программы. Это то достоинство, отсутствие
которого, как отмечено, является главным недостатком универсальных пакетов программ.
Выходом, на наш взгляд, является комбинированное использование указанных двух подходов
в том направлении, чтобы достоинства программ, реализующих точные методы решения, в воз-
можной мере помогли нивелировать основные недостатки пакетов универсальных программ. Для
52
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
каждой реальной задачи желательно найти из имеющейся уже достаточно широкой базы по воз-
можности наиболее близкую к ней (по форме и конфигурации магнетиков, их физическим пара-
метрам), для которой имеется программа, реализующая алгоритм решения с гарантированной точ-
ностью результата. После этого задать используемому универсальному пакету геометрические и
физические параметры именно этой вспомогательной задачи (для которой получены результаты с
гарантированной точностью) и подбирать стратегии и многочисленные субъективные параметры
универсального пакета именно из критерия наибольшего совпадения с полученными точными ре-
зультатами. Затем, определив таким образом оптимальную стратегию и оптимальные субъективно
задаваемые универсальному пакету параметры, получить представление о точности получаемых
при этом результатов. Потом в этой стратегии и с этими параметрами запустить универсальную
программу для реальной задачи. И тогда можно хотя бы на уровне правдоподобия говорить о точ-
ности получаемого при этом результата.
В связи со сказанным встает актуальная задача — получить как можно более обширную
базу точно решаемых задач для как можно большего разнообразия форм магнетика и его
физических параметров, имеющих самостоятельное практическое применение, а также для
того, чтобы была возможность найти среди них наиболее близкую для более сложной реаль-
ной задачи, которая в эту базу пока не входит. В этом направлении уже проделана большая
работа (см., например, [2—9]), которая, несомненно, должна и будет продолжаться. Этому
же посвящена и данная статья.
Достаточно благоприятным в этом отношении объектом исследования является однородный
магнетик в форме произвольного эллипсоида, помещенный в область однородности внешне-
го поля. Одним из достоинств такой модели является конечность размеров такого магнетика
(в большинстве точные решения удавалось получить для объектов с теми или иными бесконеч-
ными геометрическими размерами), а также наличие большого числа степеней свободы рас-
положения и размеров такого объекта (координаты центра эллипсоида, размеры его полуосей
и параметры углов, определяющих направления ориентации в пространстве). Это позволяет с
той или иной степенью точности аппроксимировать таким магнетиком многие реальные объек-
ты, имеющих подобную асимметрию формы, произвольное расположение и ориентацию в про-
странстве. Другим достоинством такой модели является возможность получения точных формул
результирующей напряженности в конечном виде, содержащих лишь элементарные либо некото-
рые специальные функции. В настоящей работе на основе так называемого основного уравнения
магнитостатики получены формулы упомянутого вида для напряженности результирующего
поля как внутри, так и вне произвольного эллипсоидального магнетика, а также аналогичные
формулы для предельных случаев — бесконечной пластины конечной толщины и бесконечно
длинного цилиндра как с круговым, так и с эллипсоидальным поперечным сечением. Эти фор-
мулы, собранные в одной работе, могут служить как справочным материалом, так и для решения
соответствующих задач с подходящими реальными объектами, а также для предложенного выше
подхода определения погрешности работы универсальных пакетов программ.
2. ОБЩАЯ СХЕМА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОСТИ РЕЗУЛЬТИРУЮЩЕГО
МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Для решения прямых и обратных задач магнитостатики мы исходим из так называемого основ-
ного уравнения магнитостатики [10, с. 16], которое в случае однородного магнетика с постоянной
магнитной проницаемостью µ имеет вид:
µ-1
H(r′)
0
3
H r)−
∇div
dr′
=
H r),
r∈R
\
S
(1)
∫
4π
| r
−r′|
Ω
Это уравнение эквивалентно системе уравнений Максвелла для случая магнитостатики
(см. [10, с. 17], [11, с. 149]) и связывает искомую напряженность результирующего магнитного
поля H(r) = {H1(r), H2(r), H3(r)} в произвольной точке пространства r = (x, y, z) (не лежащей на
границе магнетика) с напряженностью H0(r) = {H0(r), H0(r), H0(r)} заданного поля внешнего ис-
1
2
3
точника. В данном уравнении Ω есть область в пространстве R3, ограниченная поверхностью S и
занятая исследуемым магнетиком с заданной постоянной магнитной проницаемостью µ := µi /µe,
где µi — относительная магнитная проницаемость магнетика, а µe — относительная магнитная
Дефектоскопия
№ 2
2022
Точные формулы напряженности магнитного поля внутри и вне однородного...
53
проницаемость внешней среды. Для нахождения из уравнения (1) напряженности результирую-
щего поля H(r) как внутри магнетика (в этом случае будем обозначать ее H(i)(r)), так и вне его
(будем обозначать H(e)(r)), поступают следующим образом. Полагая в (1) r∈Ω, получают инте-
гро-дифференциальное уравнение для поля H(i)(r) внутри магнетика:
(i)
(i)
µ-1
(r′)
0
H r)−
∇div
dr′
=
H r),
r∈Ω
(2)
∫H
4π
| r
−r′|
Ω
3
После решения этого уравнения относительно H(i)(r) в (1) полагают
r∈
R
\
Ω и получают пря-
мую формулу для вычисления результирующего поля H(e)(r) вне магнетика:
(i)
(e)
0
µ-1
(r′)
3
H r)
=
H r)
+
∇div
dr′,
r∈R
\ Ω
(3)
∫H
4π
| r
−r
′ |
Ω
В настоящей работе рассматривается магнетик в форме эллипсоида с границей
2
2
2
x
y
z
S
:
+
+
=1.
(4)
2
2
2
a
b
c
Будем предполагать, что магнетик помещен в область однородности внешнего поля, т.е.:
0
0
0
0
0
0
0
0
H
(r) = H
:= {H
,H
,H
},
H
,H
,H
= const, r∈
Ω
(5)
1
2
3
1
2
3
Для дальнейшего нам понадобятся некоторые формулы, связанные объемным потенциалом эл-
липсоида, приведенные в следующем разделе.
3. НЬЮТОНОВСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЛИПСОИДА
Рассмотрим объемный потенциал c единичной плотностью:
dr′
3
W(r):=
,
r
∈R
,
(6)
∫
| r
-r′|
Ω
n
где Ω — эллипсоид с границей (4). Справедлива формула [12, с. 482 с опечаткой:
Γ
-
p
−1
2
n
нужно заменить на
Γ
-
p
], [10, с. 60]:
2
2
2
2
+∞
x
y
z
ds
W(r)
=πabc
1−
-
-
,
(7)
∫
2
2
2
a
+
s b
+
s c
+
s
R(s)
u
где
2
2
2
R(s) ≡ R(s;a,b,c):= (a
+ s)(b
+ s)(c
+ s),
(8)
3
a u = u(x, y, z) определяется следующим образом: u = 0 для r = (x, y, z) ∈Ω , а для
r∈
R
\
Ω число
u равно (единственному, см. [13]) положительному корню уравнения (сводящегося к кубическому
в общем случае эллипсоида не вращения):
2
2
2
x
y
z
+
+
=1.
(9)
2
2
2
a
+
s b
+
s c
+
s
Выражение (7) удобно записать в виде:
2
2
2
W(r) = A
+ Ax
+ By
+ Cz
,
(10)
0
где
A
0
= πabcJ (u;a,b,c),
(11)
Дефектоскопия
№ 2
2022
54
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
A= -πabcI(u;a,b,c), B = -πabcI(u;b,a,c), C = -πabcI(u;c,a,b),
(12)
+∞
+∞
ds
ds
J(u;a,b,c):=
, ):
I(u;a,b,c
=
(13)
∫
∫
2
R s)
(a
+
s)
R(s)
u
u
Для u = 0 выполняется свойство A + B + C = -2π (см. [14, с.42]).
Все окончательные аналитические выражения упомянутых напряженностей результирующего
поля внутри и вне эллипсоидального магнетика будут выражены через функции вида J(u; a, b, c)
и I(u; a, b, c) в (13). Поэтому в данном разделе собраны формулы для вычисления этих функций,
которые содержат либо неполные эллиптические интегралы 1 и 2 рода, либо (в случае эллипсоида
вращения и шара) только элементарные функции.
Прежде всего отметим, что
I(u; a, b, c) = I(u; a, c, b),
(14)
поэтому разница в формулах для вычисления I(u; a, b, c) определяется только тем, какое число из
a,b и c стоит первым после u: самое большое из них, среднее или самое меньшее.
Рассмотрим случай, когда среди полуосей эллипсоида a, b и c нет равных, т.е. S — не эллипсоид
вращения. Без ограничения общности можно считать, что a > b > c. Тогда [15, с. 161], [12, с. 51]:
2
J(u;a,b,c)
=
F(ϕ,k),
(15)
2
2
a
−c
2
I u;a,b,c)
=
[
F ϕ k)
- ϕ k)
]
,
(16)
2
2
2
2
(a
−b
)
a
−c
2
2
2
2
2
2
2
2
a
−c
b
−c
a
−b
c
+u
I u;b,a,c)
=
E ϕ k)-
F ϕ k)
-
,
(17)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(a
−b
)(b
−
c
)
a
−c
(a
+u)(b
+u)
a
−c
2
2
2
2
b
+
u
I u;c,a,b)
=
a
−c
− ϕ k),
(18)
2
2
2
2
2
2
(a
+u)(
c
+u
)
(b
−
c
)
a
−c
где неполные эллиптические интегралы 1 и 2 рода:
ϕ
ϕ
2
2
2
2
ds
2
2
a
−c
a
−b
F ϕ k)
=
,
E ϕ k)
=
1−
k
sin
s ds
,
ϕ=
arcsin
,
k
=
∫
2
2
∫
2
2
2
a
+u
a
−c
0
1−
k
sin
s
0
Рассмотрим случай эллипсоида вращения, когда только две полуоси эллипсоида совпадают. В
этом случае функции в (13) (а потому и значения объемного потенциала эллипсоида (6) внутри и
вне его) выражаются в конечном виде через элементарные функции. Без ограничения общности
3
считаем, что a = b ≠ c. В этом случае для
r∈
R
\
Ω используемый в предыдущих формулах корень
u уравнения (9) выражается в явном виде [10, с. 64]:
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
u
=
x
+
y
+
z
−
a
−c
+
(x
+
y
−
z
−a
+c
)
+4
z
(x
+
y
)
(19)
2
Отметим, что если в эллипсоиде вращения b = c ≠ a или a = c ≠ b, то в (19) меняются не только
a , b и c, но и соответствующим образом x , y и z. В случае равенства двух из трех полуосей a , b
и c вид выражений для J(u; a,b,c) и I(u; a,b,c) зависит от того, на каком месте в этих обозначениях
Дефектоскопия
№ 2
2022
Точные формулы напряженности магнитного поля внутри и вне однородного...
55
стоит отличный от двух других параметр, а также от того, больше он или меньше двух равных па-
раметров. Непосредственным интегрированием в (13) с использованием справочника [12] можно
убедиться в справедливости ниже выписанных формул.
В случае c > a:
2
2
2
1
u+c
+
c
−a
J u;a,a,c)
=
ln
,
2
2
2
2
2
c
-a
u+c
−
c
−a
2
2
2
2
u+c
1
u+c
−
c
−a
I u;a,a,c)
=
+
ln
,
(20)
2
2
2
2
2
3/2
2
2
2
(c
−
a
)(u+a
)
2(c
−a
)
u+c
+
c
−a
2
2
2
2
1
u+c
−
c
−a
I u;c,a,a)
=-
-
ln
(21)
2
2
2
2
2
3/2
2
2
2
(c
−a
)
u+c
(c
−
a
)
u+c
+
c
−a
В случае c < a:
2
2
2
a
−c
J u;a,a,c)
=
arctg
,
2
2
2
a
−c
u+c
2
2
2
1
a
−c
u+c
I u;a,a,c)
=
arctg
−
,
(22)
2
2
3/2
2
2
2
2
(a
−c
)
u+c
(a
−c
)(u+a
)
2
2
2
a
−c
2
I u;c,a,a)
=-
arctg
+
(23)
2
2
3/2
2
2
2
2
(a
−
c
)
u+c
(a
−c
)
u+c
Наиболее простые формулы получаются для шарового магнетика радиуса R (a = b = c = R).
В этом случае соответствующие интегралы легко вычисляются:
2
2
J u;R,R,R
)
=
,
I u;R,R,R)
=
,
(24)
2
2
3/2
u+R
3(u+R
)
а для потенциала шара из (10), (12) и (19) получаем известные формулы:
3
2π
2
2
4πR
W(r)
=
(3R
r
),
r< R
− =
;
W(r)
,
r> R;
r:=|
r
|.
3
3r
4. ПОЛЕ ВНУТРИ ЭЛЛИПСОИДА
Как известно [16, с. 338], если внешнее поле удовлетворяет условию (5), то результирующее
поле внутри однородного эллипсоидального магнетика постоянно. Получим этот результат, а также
конкретные значения напряженности этого поля в удобной для дальнейшего исследования форме,
исходя из уравнения (2). Вводя обозначение:
(i)
(r′)
3
P r):
=
dr′,
r∈
R
,
(25)
∫H
| r
-r′|
Ω
запишем это уравнение в виде:
(i)
µ-1
0
H r)-
∇divP(r)
=
H
,
r
∈Ω
(26)
4π
Дефектоскопия
№ 2
2022
56
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
Будем искать решение уравнения (26) в виде постоянного вектора:
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
(i)
H
=
{H
,
H
,
H
},
H
,
H
,
H
=
const.
(27)
1
2
3
1
2
3
В этом случае P(r) в (25) имеет вид:
P(r) = W(r)H(i),
(28)
где объемный потенциал эллипсоида W(r), определенный в (6), вычисляется по формуле
(10), а коэффициенты A0, A, B, C для r ∈ Ω суть константы, определяемые по формулам (11)—
(13) при u = 0. Подставляя (27) в уравнение
(26) и учитывая, что для случая (28), (27) будет
(i)
(i)
(i)
∇ P(r)
=
{2
AH
1
,2
BH
2
,2CH
3
},
получим, что решением уравнения (26) будет постоянный век-
тор (27), компоненты которого вычисляются по формулам:
0
0
0
(i)
H
1
(i)
H
2
(i)
H
3
H
1
=
,
H
2
=
,
H
3
=
µ-
1
µ-1
µ-1
(29)
1−
A
1−
B
1
−
C
2
π
2
π
2
π
Из свойства единственности решения уравнения (2) (см. [11, с. 160], [17]) следует, что других
решений у уравнения (26) нет. Для дальнейших целей удобнее записать формулы (29) с учетом вы-
ражения (12) для A, B, C:
0
0
0
(i)
H
1
(i)
H
2
(i)
H
3
H
=
,
H
=
,
H
=
,
(30)
1
2
3
1+
dI a,b,c)
1+dI b,a,c)
1+
dI c,a,b)
где d:= 0,5(µ-1)abc , а выражения для I(u; a, b, c) через неполные эллиптические интегралы или
элементарные функции (для разных типов соотношения между полуосями эллипсоида) приведены
в (15)—(18), (20)—(24). Отметим, что для случая эллипсоида вращения a = b ≠ c формулы (30) при-
водят к тем же выражениям, что и в [16, с. 339], а для шара (a = b = c) получаем известную формулу
[18, с. 207], [19, с. 245]:
(i)
3
0
H
=
H
,
r
∈Ω
(31)
µ+2
5. ПОЛЕ ВНЕ ЭЛЛИПСОИДА
Обратимся
к
вычислению
напряженности
результирующего
поля
(e)
(e)
(e)
(e)
H r)
=
1
{H r),
2
H r),
H
3
(r
)}
вне эллипсоида, которая, согласно (3), вычисляется по формуле:
(e)
0
µ-1
3
H r)
=
H r)
+
∇ψ(r),
r
∈R
\
Ω,
(32)
4π
где введено обозначение
ψ(r):= divP(r),
(33)
вектор-функция P(r), определенная в (25), представляется в виде (28), а компоненты постоянного
вектора H(i) вычисляются по формулам (30). Из (33) и (28) следует:
(i)
(i)
(i)
ψ r)
=H
′ r)
W +H
′ r)
W +H
W
′(r).
(34)
1
x
2
y
3
z
Найдем выражения для частных производных в (34). Учитывая формулу [20, с. 667] для произ-
водной от интеграла, зависящего от параметров, из (7) получаем:
+∞
2
2
2
ds
x
y
z
1
W
′(r)
=π
abc
−2x
−u′
1
−
-
-
,
(35)
x
∫
2
x
2
2
2
(a
+
s)
R s)
a
+u b
+u c
+u R(u)
u
3
где u ≡ u(r) = u(x, y, z) — указанный выше корень уравнения (9) для случая
r∈R
\ Ω, а потому
выражение в круглых скобках в (35) обращается в ноль, т.е.:
Дефектоскопия
№ 2
2022
Точные формулы напряженности магнитного поля внутри и вне однородного...
57
+∞
ds
W′(r)
=-2πabcx
x
∫
2
u
(a
+
s)
R(s)
Аналогичные формулы получаются для
W
′(r)
и
W
′(
r)
, а потому из (34):
y
z
+∞
+∞
+∞
ds
ds
ds
(i)
(i)
(i)
ψ(r)
=
−2πabcH
x
+H
y
+
H
z
(36)
1
∫
2
2
∫
2
3
∫
2
(a
+
s)
R s)
(b
+
s)
R s)
(c
+
s)
R(s)
u
u
u
Найдем выражение для первой компоненты H1(e)(r) напряженности H(e)(r). Из (32) следует:
(e)
0
µ-
1
H
(r)
=
H
(r)
+
ψ′(r).
(37)
1
1
x
4
π
Вычисляя производную ψ'x(r) из (36), получаем:
(i)
(i)
(i)
u′
xH
yH
zH
(i)
x
1
2
3
ψ′(r)
=
−2πabcH
I u;a,b,c)
−
+
+
(38)
x
1
2
2
2
R(u)
a
+u b
+u c
+u
Согласно (9), функция u = u(x, y, z) задается неявно как (единственный) положительный корень
уравнения F(u; x, y, z) = 0, где
2
2
2
x
y
z
F u;x,y,z):=
+
+
-1.
2
2
2
a
+u b
+u c
+u
Учитывая формулу для производной неявной функции [21, с. 462], получим:
F
′
2
x
x
u′ =-
=
,
(39)
x
2
F
′
(a
+u)G u;x,y,z)
u
где
2
2
2
x
y
z
G u;x,y,z):
=
+
+
(40)
2
2
2
a
+
u
b
+u
c
+
u
Подставляя u′ из (39) в (38), имеем
x
(i)
x
ψ′(r)
=-2πabc H
I u;a,b,c)
−
Q u;x,y,z)
,
(41)
x
1
2
a
+u
где для краткости обозначено:
(i)
(i)
(i)
2
H
x H
y H
z
1
2
3
Q u;x,y,z):=
+
+
(42)
2
2
2
G u;x,y,z)
R(
u)
a
+
u b
+u c
+u
Подставляя ψ′x(r) из (41) в (37), получаем окончательную формулу для первой компоненты на-
пряженности результирующего поля:
(e)
0
1
(i)
x
H
(r)
=
H
(r) −
(µ-1)abc H
I u;a,b,c)−
Q u;x,y,z)
(43)
1
1
1
2
2
a
+u
Аналогично выводятся формулы для второй и третьей компоненты напряженности результиру-
3
ющего поля вне эллипсоида
r=(x,y,z)∈R
\Ω:
Дефектоскопия
№ 2
2022
58
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
(e)
0
1
(i)
y
H
(r)
=
H
(r) −
(µ-1)abc H
I u;b,a,c)−
Q u;x,y,z) ,
(44)
2
2
2
2
2
b
+u
(e)
0
1
(i)
z
H
(r)
=
H
(r) −
(µ-1)abc H
I u;c,a,b)−
Q u;x,y,z)
(45)
3
3
3
2
2
c
+u
(i)
(i)
(i)
В (43) — (45) компоненты напряженности
H
,
H
,
H
вычисляются по (30).
1
2
3
6. ПРЕДЕЛЬНЫЕ СЛУЧАИ
Полученные формулы для напряженности поля от однородного эллипсоидального магнетика
внутри и вне его позволяют получить аналогичные формулы для предельных форм магнетика:
бесконечной пластины конечной высоты, бесконечно длинного кругового цилиндра или с эллип-
тическим поперечным сечением, а также для шарового магнетика. Совпадение получаемых при
этом результатов с теми, которые известны из литературы, подтверждает правильность исходных
формул.
Рассмотрим однородный магнетик, занимающий область Ω между двумя параллельными пло-
скостями с уравнениями z = c и z = -c (бесконечная пластина конечной высоты), помещенный во
внешнее поле H0(r) с условием (5). Форма такой пластины является предельным случаем эллипсо-
ида вращения с полуосями a = b > c при a →+∞. Перейдем к такому пределу в полученных форму-
лах для поля эллипсоида.
Для нахождения поля внутри пластины перейдем к пределу a →+∞ в формулах (30) с учетом
u = 0 в (22) и (23) для этого случая. Переходя к такому пределу, получаем для соответствующего
фрагмента формул в (30), что lim
dI a,a,c)
=
0,
lim
dI c,a,a)
=µ-1,
а потому из (30) на-
a
→+∞
a→+∞
пряженность H(i)(r) результирующего поля внутри пластины оказывается постоянной с компо-
нентами:
(i)
0
(i)
0
(i)
1
0
H
=H
,
H
=H
,
H
= H
(46)
1
1
2
2
3
3
µ
Для получения формул поля вне пластины необходимо перейти к пределу a →+∞ в формулах
2
(43)—(45) для случая a = b > c. Учитывая легко выводимую формулу
lim ( (α-
x)
+β-
x)
= -α,
x→+∞
из (19) получаем предельное значение для u = u(x, y, z):
2
2
lim
u = z
−
c
(47)
a→+∞
Из (42) с учетом (40), (8) и (47), а также из (22) и (23) имеем:
2
2z
(i)
2
2
2
lim
a
Q u;x,y,z)
=
H
3
,
lim
a
I u;a,a,c)
=
0, lim
a
I u;c,a,a)
=
a→+∞
|
z
|
a→+∞
a→+∞
|
z
|
Переходя к пределу a →+∞ в (43)—(45) с учетом этих соотношений, получаем формулы для
напряженности результирующего поля вне пластины:
(e)
0
(e)
0
(e)
0
H r)
=H r),
H r)
=H r),
H r)
=H
(r
).
(48)
1
1
2
2
3
3
(e)
0
Таким образом,
H r)
=
H
(r
),
т.е. результирующее поле вне пластины совпадает с внешним
полем. Таким образом, напряженность результирующего поля внутри и вне пластины вычисляется
по формулам (46) и (48).
Рассмотрим однородный магнетик, занимающий область Ω в форме бесконечно длинного
кругового цилиндра с радиусом поперечного сечения a, помещенный во внешнее поле H0(r)
c условием (5). Такой цилиндр является предельным случаем эллипсоида вращения с полуося-
ми a = b < c при c →+∞. Для нахождения поля внутри цилиндра перейдем к такому пределу в
формулах (30) с учетом u = 0 в (20) и (21) для этого случая. При c →+∞ получаем для соответ-
1
ствующего фрагмента формул в (30), что
lim
dI a,a,c)
=
(µ-1),
lim
dI c,a,a)
=
0,
а потому
c→+∞
c→+∞
2
из (30) компоненты постоянной напряженности H(i) результирующего поля внутри бесконечного
кругового цилиндра имеют вид:
Дефектоскопия
№ 2
2022
Точные формулы напряженности магнитного поля внутри и вне однородного...
59
(i)
2
0
(i)
2
0
(i)
0
H
1
=
H
1
,
H
2
=
H
2
,
H
3
=H
3
,
(49)
1+µ
1+µ
что согласуется с формулами в [16, с. 339].
Для получения формул поля вне бесконечного кругового цилиндра необходимо перейти к пре-
делу c →+∞ в формулах (43)—(45) для случая a = b < c. Из (19) получаем предельное значение для
u = u(x, y, z):
2
2
2
lim
u = x
+
y
−
a
(50)
c→+∞
Из (42), (20) и (21) с учетом (50) имеем:
(i)
(i)
2(H
x+H
y)
1
2
lim
cQ u;x,y,z)
=
,
c→+∞
2
2
x
+
y
1
lim
cI u;a,a,c)
=
,
lim
cI u;c,a,a)
=
0.
2
2
c→+∞
x
+
y
c→+∞
Переходя к пределу c →+∞ в (43)—(45) с учетом этих соотношений и предельных значений
напряженности внутри кругового цилиндра (49), получаем после некоторых тождественных пре-
образований формулы для напряженности результирующего поля вне бесконечного кругового
3
цилиндра
r∈
R
\
Ω:
2
(e)
0
λa
0
2
2
0
H
(r)
=
H
(r)
+
H
(
x
−
y
) + 2H
xy,
(51)
1
1
2
2
2
1
2
(
x
+
y
)
2
(e)
0
λa
0
0
2
2
H
(r)
=
H
(r)
+
2H
xy+H
(y
−
x
),
(52)
2
2
2
2
2
1
2
(
x
+
y
)
(e)
0
µ-
1
H
(r)
=
H
(r),
λ:
=
(53)
3
3
µ+1
Для случая поперечного внешнего поля формулы (51)—(53) приводят к формулам в [19, с. 245].
Напряженность поля внутри шарового магнетика радиуса R (a = b = c = R) вычисляется по
формуле (31). Получим формулы для напряженности поля вне такого магнетика из общих формул
2
2
2
(43)—(45). Из (19) выводим, что в этих формулах u = r2 - R2, где
r :=| r |=
x
+
y
+
z
Тогда из
(24), (40), (8), (31), (42) получим:
2
1
6
I u;R,
R,R
)
=
,
G u;x,y,z)
=
,
R u)
=
r
,
3
2
3r
r
0
0
0
6(
H
1
x+H
2
y+H
3
z)
Q u;x,y,z):
=
3
(µ+ 2)r
Подставляя эти значения в (43)—(45), получаем формулы для напряженности поля вне шаро-
3
вого магнетика
r∈R
\Ω:
3
(e)
0
(
µ-1)
R
0
3
x
0
0
0
H
(r)
=
H
(r) −
H
−
(
H
x+H
y+H
z) ,
(54)
1
1
3
1
2
1
2
3
(
µ+2)r
r
3
(e)
0
(
µ-1)
R
0
3
y
0
0
0
H
(r)
=
H
(r) −
H
−
(
H
x+H
y+H
z) ,
(55)
2
2
3
2
2
1
2
3
(
µ+2)
r
r
3
(e)
0
(
µ-
1)
R
0
3
z
0
0
0
H
(r)
=
H
(r)
−
H
−
(
H
x+H
y+H
z)
(56)
3
3
3
3
2
1
2
3
(
µ+
2)
r
r
Эти формулы совпадают с аналогичными формулами в [19, с. 245].
Дефектоскопия
№ 2
2022
60
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
Рассмотрим однородный магнетик, занимающий область Ω в форме бесконечного цилиндра с
эллипсоидальным поперечным сечением и осью вдоль координатной оси z, помещенный во внеш-
нее поле H0(r) с условием (5). Граница сечения Γ такого цилиндра плоскостью z = 0 суть эллипс с
уравнением:
2
2
x
y
Γ:
+
=1.
(57)
2
2
a
b
Для определенности будем считать a > b (но, как будет показано, полученные при таком пред-
положении формулы для результирующей напряженности окажутся верными и в случае a < b).
Такой цилиндр является предельным случаем эллипсоида вращения с граничной поверхностью S в
(4) и полуосями c > a > b при c →+∞.
(i)
Для нахождения первой компоненты
H
напряженности поля внутри цилиндра перейдем к та-
1
кому пределу в первой формуле (30). Для его вычисления найдем предельное значение выражения
cI(0; a, b, c). Из формулы (17) (при соответствующей замене в ней a→c, b→a, c→b) с учетом u = 0
и свойства (14) имеем:
2
2
2
2
2
2
2c c
−b
a
−b
b(c
−a
)
cI a,b,c)
≡
cI a,c,b)
=
[
E ϕ k)-
F ϕ k)-
,
2
2
2
2
2
2
2
2
(c
−a
)(a
−b
)
c
−b
ac c
b
−
2
2
2
2
c
−b
c
−a
(58)
ϕ=
arcsin
,
k
=
2
2
c
c
−b
При c →+∞ будет φ→π/2, k→1, а потому при переходе к такому пределу в выражении cI(0; a, b,
c) из (58) нетривиальная неопределенность может возникнуть только при нахождении предела вы-
ражения вида F(φ, k)/c2. Для вычисления такого предела воспользуемся очевидным неравенством:
π 2
ds
0
≤ ϕ k)
≤
=:
K k),
(59)
∫
2
2
0
1-k
sin
s
а также асимптотикой для полного эллиптического интеграла K(k) при k→1 [22, с. 112]:
2
2
2
a
-b
K k)ln(4 /
k′),
k′:=
1−k
=
⇒
K k)lnc
2
2
c
−b
Поэтому из (59) получаем, что при c →+∞ будет F(φ, k)/c2→0. Переходя с учетом этого к тако-
му пределу в (58), имеем:
2
b
2
lim )
cI(0;a,b,c
=
1−
=
2
2
c→+∞
a
−b
a a(a+b)
Тогда переходя к пределу c →+∞ в первой формуле (30), получаем следующую формулу для
(i)
первой компоненты
H
напряженности поля внутри эллипсоидального цилиндра:
1
(i)
a+b
0
H
=
H
(60)
1
1
a+µb
Аналогично, переходя к пределу c →+∞ во второй и третьей формуле в (30), получаем следу-
ющие формулы для второй и третьей компоненты напряженности поля внутри эллипсоидального
цилиндра:
(i)
a+b
0
(i)
0
H
=
H
,
H
=
H
(61)
2
2
3
3
b+µa
Для получения формул напряженности результирующего поля вне бесконечного эллипсоидаль-
ного цилиндра необходимо перейти к пределу c →+∞ в формулах (43)—(45). Предельное значение
(единственного) положительного корня u уравнения (9) суть аналогичный корень предельного (при
c →+∞) уравнения:
Дефектоскопия
№ 2
2022
Точные формулы напряженности магнитного поля внутри и вне однородного...
61
2
2
x
y
+
=1.
2
2
a
+
s b
+
s
Это квадратное уравнение с понятным аналитическим решением, поэтому:
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
lim
u =u
,
u
:=
x
+
y
−a
−b
+
(x
+
y
−a
−b
)
−4(a
b
−
x
b
−
y
a
)
(62)
0
0
c→+∞
2
При a = b эта формула, как и должно быть, переходит в формулу (50).
(i)
Для нахождения первой компоненты
H
напряженности поля вне цилиндра перейдем к преде-
1
лу c →+∞ в формуле (43), находя предельные значения отдельных фрагментов этой формулы. Из
формулы (17) (при соответствующей замене в ней a→c, b→a, c→b) с учетом (14) получаем:
2
2
2
2
2c c
−
b
a
−b
cI u;a,b,c)
≡
cI u;a,c,b)
=
[
E ϕ k)-
F ϕ k)
-
2
2
2
2
2
2
(c
−a
)(a
−b
)
c
−b
2
2
2
2
2
2
2
c
−a
b
+u
c
−b
c
−
a
−
,ϕ=
arcsin
,k
=
(63)
2
2
2
2
2
2
2
(c
+u)(a
+u)
c
+
u
c
−
b
c
b
−
При c →+∞ будет φ→π/2, k→1, а потому при переходе к такому пределу в выражении
cI(u; a, b, c) из (63) нетривиальная неопределенность может снова возникнуть только при нахож-
дении предела выражения вида F(φ, k)/c2. Используя приведенный выше прием, основанный на
неравенстве (59) и соответствующих асимптотических оценках, получим, что при c →+∞ будет
F(φ, k)/c2→0, а потому с учетом (62):
2
2
b
+u
2
0
lim
cI u;a,b,c)
=
1−
=
(64)
c→+∞
2
2
2
2
2
2
a
−b
a
+u
0
a
+u
+
(a
+u
)(b
+u
)
0
0
0
Без особых затруднений из (42), (40), (8) и (62) находится предел:
(i)
(i)
2H
p(u x,a)+
H
p(u y,b)
1
0
2
0
lim
cQ u;x,y,z)
=
,
(65)
c→+∞
2
2
2
2
p
(u x,a) +
p
(u y,b)
(a
+
u
)(b
+
u
)
0
0
0
0
где для краткости введено обозначение
x
p u;x,a):=
(66)
2
a
+u
Переходя к пределу c →+∞ в (43) с учетом соотношений (64)—(66) и предельных значений
напряженности внутри эллиптического цилиндра (60), (61), получаем следующую формулу для
первой компоненты напряженности результирующего поля вне бесконечного эллиптического ци-
3
линдра
r∈R
\Ω:
(e)
0
H r)
=H
(r
)
−
1
1
(i)
(i)
(i)
p
(u x,a)
H
p(u x,a)+
H
p
(u y,b)
H
0
1
0
2
0
1
(67)
−(µ-1)
ab
−
2
2
2
2
2
2
2
a
+u
+
(
a
+u
)(b
+
u
)
p
(u x,a)
+
p
(u y,b)
(a
+u
)(b
+u
)
0
0
0
0
0
0
0
Аналогично из (44), (45) выводятся формулы для остальных двух компонент напряженности
3
результирующего поля вне бесконечного эллиптического цилиндра
r∈R
\Ω:
Дефектоскопия
№ 2
2022
62
В.В. Дякин, О.В. Кудряшова, В.Я. Раевский
(e)
0
2
H r)
=H
2
(r
)
−
(i)
(i)
(i)
p(u y,b)H
p(u x,a)+
H
p(u y,b)
H
2
0
1
0
2
0
−(µ-1)ab
−
,
2
2
2
2
2
2
2
b
+u
+
(a
+u
)(b
+u
)
p
(u x,a)
+
p
(u y,b)
(a
+u
)(b
+u
)
0
0
0
0
0
0
0
(e)
0
3
H r)
=H
3
(r
).
(68)
(i)
(i)
В (67), (68) компоненты напряженности
H
,
H
вычисляются по (60), (61).
1
2
Формулы (60), (61), (67), (68) были выведены в предположении, что a > b в (57). Однако, если
аналогичным образом перейти к пределу c →+∞ в формулах (30), (43)—(45) в предположении
b > a, то получаются те же самые формулы. Поэтому формулы (60), (61), (67), (68) для компонент
напряженности поля внутри и вне бесконечного эллипсоидального цилиндра справедливы при лю-
бом соотношении между полуосями a и b в его поперечном сечении (57).
Как и следовало ожидать, при a = b формулы (60) и (61) переходят в формулы (49) напряжен-
ности результирующего поля внутри кругового бесконечного цилиндра, а формулы (67), (68) —
в формулы (51)—(53) напряженности результирующего поля вне такого цилиндра. В случае по-
перечного внешнего поля формулы (60) и (61) переходят в формулы, приведенные для этого случая
в [19, с. 245].
7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Результатом настоящей работы является получение из основного уравнения магнитостати-
ки (1) конечных аналитических формул для напряженности результирующего поля внутри и вне
однородного магнетика произвольной эллипсоидальной формы, помещенного во внешнее поле
с условием (5), а также получение из них аналогичных формул для магнетиков, форма которых
получается тем или иным предельным переходом эллипсоидальной. Сравнение с известными из
литературы формулами предельных случаев подтверждает правильность выводимых формул. Со-
ставлена программа на языке Фортран, являющаяся компьютерной реализацией приведенных фор-
мул и позволяющая вычислять напряженность поля внутри и вне произвольного эллипсоидального
магнетика в рамках исследуемой модели.
Работа выполнена в рамках государственного задания по теме
«Квант»
(«Quantum»)
№ АААА-А18-118020190095-4.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дякин В.В., Кудряшова О.В., Раевский В.Я. О проблемах использования пакетов универсальных
программ для решения задач магнитостатики // Дефектоскопия. 2018. № 11. С. 23—34.
2. Дякин В.В., Раевский В.Я., Кудряшова О.В. Поле конечного дефекта в пластине // Дефектоско-
пия. 2009. № 3. С. 67—79.
3. Дякин В.В., Раевский В.Я., Кудряшова О.В. Дефект в шаре // Дефектоскопия. 2009. № 9.
С. 16—30.
4. Дякин В.В., Кудряшова О.В. Дефект в цилиндре // Дефектоскопия. 2012. № 4. С. 41—55.
5. Дякин В.В., Кудряшова О.В. Дефект в трубе // Дефектоскопия. 2012. № 10. С. 3—17.
6. Печенков А Н., Щербинин В.Е. Некоторые прямые и обратные задачи технической магнитостати-
ки. Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 2004. 177 с.
7. Дякин В.В., Кудряшова О.В., Раевский В.Я. Один подход к решению основного уравнения маг-
нитостатики для случая неоднородных магнетиков // Теоретическая и математическая физика. 2016.
Т. 187. № 1. С. 88—103.
8. Шур М.Л., Новослугина А.П., Смородинский Я.Г. Магнитное поле дефекта произвольной формы в
плоскопараллельной пластине // Дефектоскопия. 2015. № 11. С. 14—27.
9. Сапожников А.Б. Некоторые простейшие нелинейные расчеты в теории магнитной дефектоско-
пии // Труды CФТИ при ТГУ. Вып. 30. 1950. 207 с.
Дефектоскопия
№ 2
2022
Точные формулы напряженности магнитного поля внутри и вне однородного...
63
10. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наукова
думка, 1986. 280 с.
11. Дякин В.В. Математические основы классической магнитостатики. Екатеринбург: РИО УрО
РАН, 2016. 403 с.
12. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Физматлит, 2002. Т. 1.
631 с.
13. Гуо П., Ивашкин В.В. Методы вычисления потенциала однородного трехосного эллипсоида и
их применение к анализу динамики спутника астероида // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2018.
№ 94. 32 с.
14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 620 с.
15. Кондратьев Б.П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. М.: Мир, 2007.
512 с.
16. Ахиезер А.И. Общая физика. Электрические и магнитные явления. Киев: Наукова думка, 1981.
471 с.
17. Раевский В.Я. О свойствах квазиэрмитовых операторов и их применении к исследованию опера-
торов теории потенциала и основного уравнения электро- и магнитостатики // Препринт № 24/48(01).
Екатеринбург: ИФМ УрО РАН, 2001.
18. Татур Т.А. Основы теории электромагнитного поля. М.: Высшая школа, 1989. 271 с.
19. Неразрушающий контроль и диагностика / Под ред. Клюева В.В. М.: Машиностроение, 1995.
487 с.
20. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.: Наука, 1970.
800 с.
21. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 1. М.: Наука, 1970.
608 с.
22. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977. 344 с.
Дефектоскопия
№ 2
2022
