ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.4-13
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.984.52
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ КОШИ
ДЛЯ ОПЕРАТОРА ВТОРОГО ПОРЯДКА С ИНВОЛЮЦИЕЙ
© 2021 г. Л. В. Крицков, В. Л. Иоффе
Изучены спектральные свойства задачи Коши для дифференциального оператора с ин-
волюцией вида -u′′(x) + αu′′(-x) при α, удовлетворяющих неравенствам 0 < |α| < 1.
На основании анализа спектра и построенной функции Грина показано, что если параметр
√
κ=
(1 - α)/(1 + α) иррационален, то система корневых функций полна, но не является
базисом в L2. В противном же случае установлено, что корневые функции могут быть
выбраны такими, чтобы они образовывали безусловный базис в L2.
DOI: 10.31857/S0374064121010027
Введение. Работа посвящена изучению спектральной задачи
lαu(x) ≡ -u′′(x) + αu′′(-x) = λu(x),
-1 < x < 1,
(1)
u(-1) = u′(-1) = 0.
(2)
Дифференциальная операция lα при α = 0 содержит в своей главной части простейшую
инволюцию - отражение ϕ(x) = -x.
Дифференциальные уравнения с инволюцией составляют отдельный класс задач в тео-
рии функционально-дифференциальных уравнений. Алгебраические и аналитические аспек-
ты таких задач достаточно хорошо освещены в монографиях [1-4]. Спектральные свойства
соответствующих операторов и обратные задачи для них стали привлекать внимание специа-
листов в последнее время. Операторы первого порядка с инволюцией подробно изучены в [5-9].
Различные спектральные вопросы, относящиеся к операторам второго порядка с инволюцией,
рассматривались, например, в [10-14]. Общий операторный подход к анализу дифференциаль-
ных операторов с инволюцией общего вида предложен в [15]. Можно также отметить работы,
в которых изучаются смешанные задачи для уравнений в частных производных с инволюци-
ями [16-20].
Исследование задач для дифференциальной операции (1) при α = 0 требуют особого
подхода, так как в выражении lαu(x) слагаемые с инволюцией и без инволюции “конкурируют”
между собой и их своеобразный резонанс может привести к появлению у таких задач новых
спектральных свойств.
Так, у задачи для уравнения (1) с условиями u(-1) = 0, u′(-1) = u′(1) обнаружена
неустойчивость спектральных свойств по отношению к малым изменениям параметра α на
интервале (-1, 1) [21, 22]. Появление кратного спектра и бесконечного числа присоединённых
функций на всюду плотном в (-1, 1) множестве значений параметра α относит эту задачу
к классу существенно несамосопряжённых задач (в терминологии В.А. Ильина [23]). Позже
было показано, что аналогичные свойства имеют место и для более общих краевых условий
u(-1) = βu(1), u′(-1) = u′(1) [24, 25].
Задача (1), (2) представляет собой ещё одно семейство существенно несамосопряжённых
задач с инволюцией, одно из отличий которой состоит в том, что невозмущённый инволюцией
оператор (при α = 0) не имеет спектра. Хотя спектральные свойства здесь так же, как и в [21],
√
зависят от значения параметра κ =
(1 - α)/(1 + α), они оказались несколько другими.
Для формулировки основного результата свяжем с рассматриваемой задачей (1), (2) ли-
нейный оператор Lα в пространстве L2(-1, 1), который определяется дифференциальным
выражением lα на области определения D(Lα) = {u ∈ W22(-1, 1) : u(-1) = u′(-1) = 0}.
Очевидно, что при α = ±1 оператор Lα замкнут в L2(-1, 1).
4
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ КОШИ
5
Исходя из структуры спектра оператора Lα при α таких, что 0 < |α| < 1, в данной
работе доказан следующий результат.
Основная теорема. Система корневых функций оператора Lα полна в L2(-1, 1) при
любом α, удовлетворяющим неравенствам 0 < |α| < 1. Если число κ иррационально, то
эта система не образует базис в L2(-1,1). Если число κ рационально, то либо сами соб-
ственные функции оператора Lα образуют безусловный базис в L2(-1,1), либо в системе
корневых функций присоединённые функции могут быть выбраны такими, чтобы вся систе-
ма образовывала безусловный базис в L2(-1,1).
В дальнейшем изложении основная теорема разбита на четыре утверждения (теоремы 1-4),
которые обосновываются последовательно.
1. Спектр оператора. Далее считаем, что α удовлетворяет неравенствам 0 < |α| < 1 и
√
что κ =
(1 - α)/(1 + α). Будем в дальнейшем наряду с параметром λ ∈ C из уравнения
(1) использовать спектральный параметр μ, связанный с λ равенством
√
λ
μ=
,
arg μ ∈ (-π/2, π/2].
1-α
Используя линейно независимые решения cos(μx), sin(κμx) уравнения (1), нетрудно по-
казать, что собственные значения λ = (1 - α)μ2 оператора Lα определяются через корни
уравнения
Δ(μ) ≡ κ cos(κμ) cos μ + sin(κμ) sin μ = 0,
(3)
которое назовём характеристическим∗).
Лемма 1. Корни уравнения (3) при каждом κ = 1 образуют счётное множество на ком-
плексной плоскости, не имеющее конечных предельных точек и расположенное в некоторой
полосе∗∗) |Im μ| ≤ C.
Доказательство. Запишем характеристическое уравнение (3) в виде
cos((1 - κ)μ)
cos((1 + κ)μ)
=
(4)
1-κ
1+κ
Так как обе части этого равенства непрерывны как функции μ и принимают бесконечно много
раз значения ±(1 - κ)-1 в левой и ±(1 + κ)-1 в правой части на растущих последователь-
ностях действительных чисел, то множество корней характеристического уравнения не пусто
и содержит бесконечно много действительных чисел. Тем самым, множество нулей Δ(μ) как
целой функции экспоненциального типа образует счётное множество в C с единственной пре-
дельной точкой на бесконечности.
Если предположить, что среди нулей функции Δ(μ) содержится последовательность {μk},
на которой |Im μk| → ∞, то соответствующая дробь cos((1 - κ)μk)/cos((1 + κ)μk) будет стре-
миться к нулю. Но это противоречит равенству (4), в котором эта дробь должна быть равна
ненулевой константе. Лемма доказана.
Отметим, что в зависимости от значения κ корни характеристического уравнения (3)
могут быть как вещественными, так и невещественными.
Например, при κ = 1/2 уравнение (3) равносильно уравнению
(
)
μ
μ
cos
2 cos2
-3
= 0,
2
2
у которого есть как вещественные, так и невещественные корни. При κ = 2/3 получится
уравнение
(
)
μ
μ
cos3
4 cos2
-5
= 0,
3
3
∗) Отметим, что нуль не принадлежит спектру оператора Lα.
∗∗) Здесь и далее через C, C1, . . . обозначены некоторые положительные константы.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
6
КРИЦКОВ, ИОФФЕ
для которого наблюдается та же ситуация, только среди вещественных корней есть трёхкрат-
ные. Наконец, при κ = 4 уравнение (3) равносильно уравнению cos3 μ(6 cos2 μ-5) = 0 - здесь
все корни вещественны.
Лемма 2. Если число κ рационально, то корни уравнения (3) образуют периодическое
множество на комплексной плоскости, а следовательно, найдётся такое δ > 0, что для
любых различных корней μ′ и μ′′ выполнено неравенство |μ′ - μ′′| ≥ δ.
Утверждение леммы 2 тривиально вытекает из периодичности функции Δ(μ) при κ ∈ Q.
Лемма 3. Оператор Lα имеет кратные корни тогда и только тогда, когда κ рацио-
нально и представимо в виде 2m0/(2n0 - 1), где m0, n0 - натуральные числа, причём все
кратные собственные значения имеют кратность 3.
Доказательство. Характеристическое уравнение имеет кратный корень в том и только
том случае, когда наряду с (3) выполнено равенство dΔ(μ)/dμ = 0, т.е.
(1 - κ2) sin(κμ) cos μ = 0.
Но тогда из (3) следует, что равенства sin(κμ) = 0 и cos μ = 0 должны выполняться одно-
временно, а это имеет место лишь тогда, когда κ = 2m0/(2n0 - 1), m0, n0 ∈ N.
Если κ имеет указанное представление в виде несократимой дроби, то кратные корни
образуют последовательность μ∗k = π(2n0 - 1)(2k + 1)/2, k = 0, 1, 2, . . . При этих значениях
получаем
d2
Δ(μ∗k) = (1 - κ2)(κ cos(κμ∗k) cos μ∗k - sin(κμ∗k) sin(μ∗k)) = 0
dμ2
и
d3
Δ(μ∗k) = (κ2 - 1)((κ2 + 1) sin(κμ∗k) cos μ∗k + 2κ cos(κμ∗k) sin(μ∗k)) =
dμ3
= 2κ(κ2 - 1) cos(κμ∗k) sin(μ∗k) = 0.
Следовательно, все кратные собственные значения имеют кратность три. Лемма доказана.
Отметим, что среди всех значений параметра κ, для которых появляется трёхкратный
спектр, выделяется число κ = 2 (т.е. α = -3/5). Если κ = 2, то уравнение (3) равносильно
уравнению cos3 μ = 0 и, значит, все собственные значения оператора Lα трёхкратны.
Лемма 4. Если число κ иррационально, то множество корней уравнения (3) не отдели-
мо, т.е. существуют две попарно различные последовательности корней {μ′k} и {μ′′k}, для
которых μ′k - μ′′k → 0, и при этом Im μ′k,Im μ′′k → 0.
Доказательство. Рассмотрим уравнение (3) с иррациональным параметром κ. Исполь-
зуем указанные в лемме 3 значения параметра κ∗ = 2m/(2n - 1), при которых характеристи-
ческое уравнение имеет трёхкратные корни. В силу теоремы Чебышёва [26, с. 53] неравенство
2m
6
−
(5)
κ
<
2n - 1
n2
имеет бесконечно много решений m, n ∈ N. Для получающейся таким образом последова-
тельности {n} ⊂ N рассмотрим первые трёхкратные нули уравнения (3) с соответствующим
значением κ∗ = 2m/(2n - 1) из (5): μ∗n = π(1 + 2n)/2. Тем самым, если
Δ∗(μ) = κ∗ cos(κ∗μ)cos μ + sin(κ∗μ)sin μ,
то Δ∗(μ∗n) = 0.
Опишем вокруг точек μ∗n окружности Γn = {μ ∈ C : |μ - μ∗n| = rn} с пока произвольными
радиусами rn ≤ 1 и покажем, что rn можно выбрать так, чтобы при μ ∈ Γn выполнялось
неравенство
|Δ(μ) - Δ∗(μ)| < |Δ∗(μ)|.
(6)
Действительно, так как cos μ∗n = 0, то при μ ∈ Γn имеем
|Δ(μ) - Δ∗(μ)| ≤ | cos μ - cos μ∗n|(|κ - κ∗|| cos(κμ)| + κ∗| cos(κ∗μ) - cos(κμ)|) +
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ КОШИ
7
6
6
+ |sinμ||sin(κ∗μ) - sin(κμ)| ≤ eκ+2|μ - μ∗n|
(1 + (κ + 1)e|μ|) + e1+κ
|μ|
n2
n2
в силу неравенства (5) и того, что |Im μ| ≤ 1. Следовательно, при μ ∈ Γn справедлива оценка
C1
|Δ(μ) - Δ∗(μ)| ≤
rn.
(7)
n
С другой стороны, так как Δ∗(μ∗n) = Δ′∗(μ∗n) = Δ′′∗(μ∗n) = 0 и |Δ′′′∗ (μ∗n)| = 2κ|κ2 - 1| = 0, то
|Δ∗(μ)| = |Δ∗(μ) - Δ∗(μ∗n)| ≥ C2|μ - μ∗n|3 = C2r3n.
(8)
Осталось только выбрать rn ≤ 1 таким, чтобы для правых частей оценок (7) и (8) выпол-
нялось неравенство
√
C1
C1
rn < C2r3n, т.е. rn >
n
C2n
√
Если взять, например, rn = min(1, 2
C1/(C2n)), то неравенство (6) будет выполняться
для μ ∈ Γn, начиная с некоторого n, а радиусы rn будут стремиться к нулю при n → ∞.
В таком случае из теоремы Руше следует, что Δ(μ) имеет внутри Γn столько же (простых!)
нулей, сколько их с учётом кратности имеет Δ∗(μ), и при этом μ∗n - трёхкратный нуль Δ∗(μ).
Таким образом, внутри Γn функция Δ(μ) имеет по крайней мере два различных нуля μ′n и
μ′′n, и для них выполнено неравенство |μ′n -μ′′n| ≤ 2rn. Кроме того, разности μ′n -μ∗n и μ′′n -μ∗n
стремятся к нулю и, значит, Im μ′n, Im μ′′n → 0. Лемма доказана.
2. Собственные функции. Наряду с задачей (1), (2) рассмотрим сопряжённую задачу
lαv(x) = λv(x),
-1 < x < 1,
(9)
αv(-1) = v(1), αv′(-1) = -v′(1).
(10)
Соответствующий ей оператор будем обозначать L∗α.
Выберем собственные функции задач (1), (2) и (9), (10) следующим образом:
u(0)(x,μ) = sin(κμx) + β(μ)cos(μx)
(11)
для оператора Lα,
v(0)(x,μ) = -κ2 sin(κμx) + β(μ)cos(μx)
(12)
для оператора L∗α. Здесь μ - корни характеристического уравнения (3), а коэффициент β(μ)
задаётся соотношением
β(μ) = -κ cos(κμ) sin μ + sin(κμ) cos μ.
Лемма 5. Системы собственных функций (11) и (12) почти нормированы в L2(-1, 1), и
для них справедливо равенство
(u(0)( · , μ), v(0)( · , μ)) = (1 - κ2) sin2(κμ).
(13)
Доказательство. Непосредственное вычисление даёт∗) равенство
)
)
( sh(2κ Im μ)
sin(2κ Re μ)
( sh(2 Im μ)
sin(2 Re μ)
∥u(0)( · , μ)∥22 =
-
+ |β(μ)|2
+
(14)
2κ Im μ
2κ Re μ
2Im μ
2Re μ
Для нормы ∥v(0)( · , μ)∥2 справедливо такое же равенство, только перед первой скобкой правой
части стоит множитель κ2.
∗) Символ ∥ · ∥2 означает здесь и далее норму в L2(-1, 1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
8
КРИЦКОВ, ИОФФЕ
Так как корни уравнения (3) расположены в полосе (лемма 1), то равномерно по μ, удо-
влетворяющим характеристическому уравнению, выполнены оценки
∥u(0)( · , μ)∥2 ≤ C3,
∥v(0)( · , μ)∥2 ≤ C3.
(15)
Из неравенства sht ≥ t вытекает, что для больших по модулю значений μ, а значит, в
силу леммы 1, больших значений Re μ, выполнены также оценки снизу
1
1
∥u(0)( · , μ)∥22 ≥
(1 + |β(μ)|2),
∥v(0)( · , μ)∥22 ≥
(κ2 + |β(μ)|2).
2
2
И так как рассматриваемые квадраты норм - непрерывные относительно μ и положи-
тельные величины, то равномерно по всем μ, удовлетворяющим уравнению (3), выполнены
равномерные оценки
∥u(0)( · , μ)∥2 ≥ C4,
∥v(0)( · , μ)∥2 ≥ C4.
(16)
Оценки (15) и (16) доказывают почти нормированность систем собственных функций.
Установим теперь равенство (13). Имеем
∫1
∫
1
(u(0)( · , μ), v(0)( · , μ)) = -2κ2 sin2(κμx) dx + 2β2(μ) cos2(μx) dx =
0
0
= -κ2 + β2(μ) + μ-1(κ sin(κμ)cos(κμ) + β2(μ)sin μcos μ).
(17)
Сначала заметим, что из характеристического уравнения (3) следует равенство
β2(μ) = κ2 cos2(κμ) + sin2(κμ).
Аналогично для квадрата выражения, стоящего в круглых скобках правой части равенства
(17), получаем
(κ2 cos2(κμ) - β2(μ) sin2 μ)(sin2(κμ) - β2(μ) cos2 μ) = -(κ2 cos2(κμ) cos2 μ - sin2(κμ) sin2 μ)2,
т.е. это выражение равно нулю в силу (3).
Итак, окончательно
(u(0)( · , μ), v(0)( · , μ)) = -κ2 + β2(μ) = (1 - κ2) sin2(κμ).
Лемма доказана.
Отметим, что равенство леммы 5 соответствует тому факту, что если μ - кратный корень,
то скалярное произведение (13) равно нулю, а если μ - простой корень, то оно отлично от
нуля.
Лемма 6. Если число κ иррационально, то можно выбрать последовательности {λ′k}
и {λ′′k} попарно различных собственных значений оператора Lα так, чтобы соответству-
ющие им собственные функции u(0)k(x) иu(0)k(x) удовлетворяли соотношению
u(0)k(x)
u(0)(x)
k
-
→0
(18)
∥u(0)k∥2
∥u(0)k∥2
2
при k → ∞. Такое же свойство имеет место и для собственных функций сопряжённого
оператора L∗α.
Доказательство. Рассмотрим построенные в лемме 4 последовательности {μ′k} и {μ′′k}
корней характеристического уравнения и соответствующие им собственные функции u(0)k(x)
и u(0)k(x), задаваемые равенством (11) при μ = μ′k и μ = μ′′k соответственно. Тогда
sin(μ′k + μ′′k)
(u(0)k,u(0)k) = (1 + β(μ′k)β(μ′′k))sin(κ(μk -μk′))
- (1 - β(μ′k)β(μ′′k))
=
κ(μ′k - μ′′k)
μ′k + μ′′
k
= 1 + β2(μ∗k) + o(1) = 1 + κ2 + o(1)
при k → ∞ в силу свойств выбранных последовательностей.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ КОШИ
9
Из равенства (14) следует, что для квадратов норм ∥u(0)k∥22 и ∥u(0)k∥22 справедливы соотно-
шения 1 + β2(μ∗k) + o(1) = 1 + κ2 + o(1). Таким образом, величина ∥u(0)k∥-12∥u(0)k∥-12(u(0)k,u(0)k)
стремится к единице, что и доказывает сходимость (18). Лемма доказана.
Утверждение леммы 6, по своей сути, означает следующее: если число κ иррационально,
то системы собственных функций операторов Lα и L∗α не являются равномерно минималь-
ными в пространстве L2(-1,1).
3. Функция Грина задачи (1), (2). Решение уравнения lαu(x) = λu(x) + f(x), удовле-
творяющее условиям (2) при значениях λ, лежащих вне спектра оператора Lα, имеет вид
∫1
u(x) = G(x, t; λ)f(t) dt,
(19)
-1
где G(x, t; λ) = g0(x, t; λ) + g1(x, t; λ),
1
g0(x,t;λ) =
[(κ cos(κμ) cos(μx) - sin μ sin(κμx))(κ cos(κμ) sin(κμt) +
2(1 - α)μΔ(μ)
+ sin μ cos(μt)) - (sin(κμ)cos(μx) + cos μsin(κμx))(cos μcos(μt) - κ2 sin(κμ)sin(κμt))],
{
1
sgn t(- cos(μx) sin(μt) + κ sin(κμx) cos(κμt)), если |x| ≤ |t| ≤ 1,
g1(x,t;λ) =
2(1 - α)μ sgn x(- sin μx cos(μt) + κ cos(κμx) sin(κμt)), если |t| ≤ |x| ≤ 1.
Представление (19) для решения проверяется непосредственно∗).
Оценим функцию Грина оператора Lα вне точек его спектра.
Лемма 7. Пусть {μn} - корни уравнения (3). Для любого δ > 0 найдётся константа
C = C(δ) > 0, при которой равномерно по μ ∈ C таким, что |μ - μn| ≥ δ, и -1 ≤ x, t ≤ 1,
выполнена оценка
C
|G(x, t; λ)| ≤
r(x, t, μ),
(20)
|μ|
где
r(x, t, μ) = exp(- min(1, κ)| Im μ|||x| - |t||) + exp(- min(1, κ)| Im μ|(2 - |x| - |t|)).
Доказательство. Рассмотрим значения μ, для которых ν ≡ Im μ > 0, и покажем, как
проводится оценка функции Грина, например, в случаях 0 ≤ x ≤ t ≤ 1 и 0 ≤ t ≤ x ≤ 1.
Воспользуемся уравнением (3) и запишем функцию G(x, t; λ) при 0 ≤ x ≤ t ≤ 1 в виде
1
G(x, t; λ) =
[κ(sin μ sin(κμx) sin(κμ(1 - t)) + cos(κμ) cos(μx) sin μ(1 - t)) +
2(1 - α)μΔ(μ)
+ κ2(cos μ sin(κμx)cos(κμ(1 - t)) - sin(κμ)cos(μx)cos μ(1 - t)) +
+ κ2 cos(μx)sin(κμt) - sin(κμx)cos(μt)].
Тогда
|G(x, t; λ)| = O(1/|μΔ(μ)|)(e(1+κ)ν+κν(x-t) + e(1+κ)ν+ν(x-t) + eν(x+κt) + eν(κx+t)).
Отсюда, так как для рассматриваемых значений μ выполнено неравенство |Δ(μ)| ≥ Ce(1+κ)ν ,
получаем оценку (20).
∗) Функция Грина G(x, t; λ) строится так же, как в [14]. Конкретный вид функции Грина в (19) предоставлен
авторам А. М. Сарсенби.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
10
КРИЦКОВ, ИОФФЕ
При 0 ≤ t ≤ x ≤ 1 функция G(x, t; λ) записывается по-другому:
1
G(x, t; λ) =
[κ(cos(κμ) cos(μt) sin μ(1 - x) + sin μ sin(κμt) sin(κμ(1 - x))) +
2(1 - α)μΔ(μ)
+ κ2(cos(μx)sin(κμt) + cos μsin(κμt)cos(κμ(1 - x))) -
- sin(κμx) cos(μt) - sin(κμ) cos(μt) cos(μ(1 - x))].
Следовательно,
|G(x, t; λ)| = O(1/|μΔ(μ)|)(e(1+κ)ν+ν(t-x) + e(1+κ)ν+κν(t-x) + eν(x+κt) + eν(κx+t)),
откуда также следует оценка (20). Лемма доказана.
Из полученной оценки функции Грина и утверждения леммы 1 о расположении спектра
следует, что применима теорема о полноте [27] и справедлива следующая
Теорема 1. При всех α, удовлетворяющих неравенствам 0 < |α| < 1, системы корневых
функций операторов Lα и L∗α полны в L2(-1, 1).
Отметим, что утверждение теоремы 1 для сопряжённого оператора следует из того, что
его функция Грина G∗(x, t; λ) совпадает с функцией G(t, x; λ).
Прямым следствием леммы 6 и теоремы 1 является
Теорема 2. Если α, удовлетворяющее неравенствам 0 < |α| < 1, таково, что число κ
иррационально, то системы корневых функций операторов Lα и L∗α полны в L2(-1,1), но
не образуют базисов.
4. Базисность корневых функций. Рассмотрим сначала случай, когда κ рационально
и спектр простой.
Теорема 3. Пусть число κ рационально и не представимо в виде 2m0/(2n0 -1), m0, n0 ∈
∈ N. Тогда система собственных функций оператора Lα (оператора L∗α) образует базис
Рисса в L2(-1, 1).
Доказательство. Вследствие теоремы 1 система U собственных функций (11) полна
в L2(-1,1), а так как sin(κμ) = 0 при рассматриваемых κ, то из равенства (13) следует, что
система V = {(1 - κ2)-1 sin-2(κμ)v(0)(x, μ)} является полной биортогонально сопряжённой
системой собственных функций оператора L∗α. Поэтому система U минимальна в L2(-1, 1).
Из лемм 1, 2 и 5 вытекает, что выполнены все условия теоремы о безусловной базисно-
сти [13] и система U (а следовательно, и система V ) образует базис Рисса пространства
L2(-1,1). Теорема доказана.
Перейдём к описанному в лемме 3 случаю кратного спектра оператора Lα.
Теорема 4. Пусть число κ представимо в виде несократимой дроби 2m0/(2n0 - 1),
m0,n0 ∈ N. Тогда в системе корневых функций оператора Lα (оператора L∗α) можно вы-
брать присоединённые функции так, чтобы эта система образовывала базис Рисса
в L2(-1,1).
Доказательство. Выделим в множестве корней уравнения (3) кратные корни μ∗k = π ×
× (2n0 - 1)(2k + 1)/2, остальные обозначим μ∗∗k (как известно, для безусловной базисности
упорядочение собственных значений не играет роли).
Для простых корней μ∗∗k возьмём собственные функции операторов Lα и L∗α в виде (11)
и (12). В силу равенства (13) и соотношения sin(κμ∗∗k) = 0 получаем, что системы функций
U∗∗ = {u(0)(x,μ∗∗k)}, V∗∗ = {(1 - κ2)-1 sin-2(κμ∗∗k)v(0)(x,μ∗∗k)}
(21)
образуют почти нормированную биортогональную пару в L2(-1, 1).
Для кратных корней μ∗k воспользуемся тем, что корневые подпространства K(μ∗k) и K∗(μ∗l)
операторов Lα и L∗α, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. По-
этому построение систем корневых функций проведём только в паре соответствующих про-
странств K(μ∗k) и K∗(μ∗k).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ КОШИ
11
Так как β(μ∗k) = -κ cos(κμ∗k) sin μ∗k = κ(-1)m0+n0+k ≡ κβk, то собственные функции (11)
и (12) примут вид
u(0)k(x) = sin(κμ∗kx) + κβk cos(μ∗kx),
v(0)k(x) = -κ sin(κμ∗kx) + βk cos(μ∗kx).
Решая уравнения
Lαu(1)k(x) = λu(1)k(x) + u(0)k(x), L∗αv(1)k(x) = λv(1)k(x) + v(0)k(x),
Lαu(2)k(x) = λu(2)k(x) + u(1)k(x), L∗αv(2)k(x) = λv(2)k(x) + v(1)k(x),
найдём присоединённые функции первого и второго порядков.
Тогда соотношения
(u(0)k, v(0)k) = (u(0)k, v(1)k) = (u(1)k, v(0)k) = 0,
(u(0)k, v(2)k) = (u(1)k, v(1)k) = (u(2)k, v(0)k),
(u(2)k, v(1)k) = (u(1)k, v(2)k)
выполняются автоматически, и для соблюдения условий биортогональности
(u(1)k, v(2)k) = (u(2)k, v(2)k) = 0
присоединённые функции, при необходимости, модифицируются выбором подходящих кон-
стант в соотношениях
u(1)k(x) = u(1)k(x) + Aku(0)k(x), u(2)k(x) = u(2)k(x) + Aku(1)k(x) + Bku(0)k(x),
v(1)k(x) = v(1)k(x) + A∗kv(0)k(x), v(2)k(x) = v(2)k(x) + A∗kv(1)k(x) + B∗kv(0)k(x).
После нормировки корневых функций
(u(0)k, v(2)k) = (u(1)k, v(1)k) = (u(2)k, v(0)k) = 1
получится требуемая биортогональная пара систем в корневых подпространствах K(μ∗k)
и
K∗(μ∗k).
Эти корневые функции имеют следующий вид:
u(0)k(x) =2(1-α)μk(sin(κμ∗kx) + κβk cos(μ∗kx)),
κ
1
u(1)k(x) = x(-βk sin(μ∗kx) + cos(κμ∗kx)) +
(sin(κμ∗kx) + κβk cos(μ∗kx)),
4κμ∗
k
)
1
[(3
u(2)k(x) =
-x2 (κ sin(κμ∗kx) + βk cos(μ∗kx)) -
4(1 - α)μ∗
5
k
]
x
32κ2(μ∗k)2 + 5
32(μ∗k)2 + 5
-
(cos(κμ∗kx) - βk sin(μ∗kx)) -
βk cos(μ∗kx) -
sin(κμ∗kx) ,
2μ∗k
80(μ∗k)2
80κ(μ∗k)2
v(0)k(x) =6(1-α)μk(-κ sin(κμ∗kx) + βk cos(μ∗kx)),
1-κ2
[
]
3
1
v(1)k(x) =
- x(βk sin(μ∗kx) + κ2 cos(κμ∗kx)) -
(-κ sin(κμ∗kx) + βk cos(μ∗kx)) ,
2(1 - κ2)
2μ∗
k
)
3
[(3
v(2)k(x) =
-x2 (-κ3 sin(κμ∗kx) + βk cos(μ∗kx)) +
4(1 - κ2)(1 - α)μ∗
5
k
]
x
32κ2(μ∗k)2 + 5
32(μ∗k)2 + 5
+
(κ2 cos(κμ∗kx) + βk sin(μ∗kx)) -
βk cos(μ∗kx) +
κ sin(κμ∗kx) .
2μ∗k
80(μ∗k)2
80κ(μ∗k)2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
12
КРИЦКОВ, ИОФФЕ
Отметим, что для этих функций выполнены равномерные по k оценки
∥u(0)k∥2∥v(2)k∥2 ≤ C,
∥u(1)k∥2∥v(1)k∥2 ≤ C,
∥u(2)k∥2∥v(0)k∥2 ≤ C.
(22)
Установленные в леммах 1, 2 и 5 свойства, почти нормированность собственных функций
(21) и оценки (22) показывают, что для построенной системы корневых функций выполнены
все условия теоремы о базисности Рисса в L2(-1, 1) [13]. Теорема доказана.
Работа Крицкова Л.В. выполнена при финансовой поддержке Комитета науки Министер-
ства образования и науки Республики Казахстан (грант AP 08855792).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Przeworska-Rolewicz D. Equations with Transformed Argument. Algebraic Approach. Amsterdam;
Warsiawa, 1973.
2. Wiener J. Generalized Solutions of Functional Differential Equations. Singapore; New Jersey; London;
Hong Kong, 1993.
3. Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New York, 1996.
4. Cabada A., Tojo F.A.F. Differential Equations with Involutions. Amsterdam; Paris; Beijing, 2015.
5. Курдюмов В.П., Хромов А.П. О базисах Рисса из собственных и присоединенных функций функци-
онально-дифференциального уравнения с оператором отражения // Дифференц. уравнения. 2008.
Т. 44. № 2. С. 196-204.
6. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Об одной теореме равносходимости на всем отрезке для функ-
ционально-дифференциальных операторов // Изв. Саратовск. ун-та. Сер. Математика. Механика.
Информатика. 2009. Т. 9. № 4 (1). С. 3-10.
7. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Метод Фурье в смешанной задаче для уравнения с частными про-
изводными первого порядка с инволюцией // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2011.
Т. 51. № 12. C. 2233-2246.
8. Бурлуцкая М.Ш. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций
функционально-дифференциального оператора с инволюцией // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Cер.
Физика и Математика. 2011. № 2. С. 64-72.
9. Бурлуцкая М.Ш. О смешанной задаче для уравнения с частными производными первого порядка
с инволюцией и с периодическими краевыми условиями // Журн. вычислит. математики и мат.
физики. 2014. Т. 54. № 1. С. 3-12.
10. Курдюмов В.П. О базисах Рисса из собственных функций дифференциального оператора второ-
го порядка с инволюцией и интегральными краевыми условиями // Изв. Саратовск. ун-та. Сер.
Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. № 4. С. 392-405.
11. Садыбеков М.А., Сарсенби А.М. Критерий базисности системы собственных функций оператора
кратного дифференцирования с инволюцией // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 8. С. 1126-
1132.
12. Kopzhassarova A.A., Sarsenbi A.M. Basis properties of eigenfunctions of second-order differential
operators with involution // Abstr. Appl. Anal. 2012. Art. ID 576843.
13. Крицков Л.В., Сарсенби А.М. Базисность Рисса системы корневых функций дифференциального
оператора второго порядка с инволюцией // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53. № 1. С. 35-48.
14. Kritskov L.V., Sarsenbi A.M. Equiconvergence property for spectral expansions related to perturbations
of the operator -u′′(-x) with initial data // Filomat. 2018. V. 32. № 3. P. 1069-1078.
15. Шкаликов А.А., Владыкина В.Е. Спектральные свойства обыкновенных дифференциальных опе-
раторов с инволюцией // Докл. РАН. 2019. Т. 484. № 1. С. 12-17.
16. Кальменов Т.Ш., Искакова У.А. Критерий сильной разрешимости смешанной задачи Коши для
уравнения Лапласа // Докл. РАН. 2007. Т. 414. № 2. С. 168-171.
17. Figueroa R., Pouso R.L. Minimal and maximal solutions to second-order boundary value problems with
state-dependent deviating arguments // Bull. London Math. Soc. 2011. V. 43. P. 164-174.
18. Kirane M., Nasser A.-S. Inverse problems for a nonlocal wave equation with an involution perturbation
// J. Nonlin. Sci. Appl. 2016. V. 9. P. 1243-1251.
19. Ashyralyev A., Sarsenbi A.M. Well-posedness of a parabolic equation with involution // Numer. Func.
Anal. Opt. 2017. V. 38. № 10. P. 1295-1304.
20. Сарсенби А.А. Некорректная задача для уравнения теплопроводности с инволюцией // Журн.
Средневолжского мат. о-ва. 2019. Т. 21. № 1. С. 48-59.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ЗАДАЧИ КОШИ
13
21. Крицков Л.В., Сарсенби А.М. Спектральные свойства одной нелокальной задачи для дифферен-
циального уравнения второго порядка с инволюцией // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 8.
С. 990-996.
22. Kritskov L.V., Sarsenbi A.M. Basicity in Lp of root functions for differential equations with involution
// Electr. J. Differ. Equat. 2015. V. 2015. № 278. P. 1-9.
23. Ильин В.А. О связи между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости
с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряжённого дифферен-
циального оператора // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30. № 9. С. 1516-1529.
24. Kritskov L.V., Sadybekov M.A., Sarsenbi A.M. Nonlocal spectral problem for a second-order differential
operator with an involution // Bull. of the Karaganda Univ. Math. 2018. V. 91. № 3. P. 53-60.
25. Kritskov L.V., Sadybekov M.A., Sarsenbi A.M. Properties in Lp of root functions for a nonlocal problem
with involution // Turkish J. Math. 2019. V. 43. P. 393-401.
26. Хинчин А.Я. Цепные дроби. М., 1978.
27. Наймарк М.А. О некоторых признаках полноты системы собственных и присоединённых векторов
линейного оператора в гильбертовом пространстве // Докл. АН СССР. 1954. Т. 98. № 5. С. 727-730.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 04.06.2020 г.
им. М.В. Ломоносова
После доработки 17.09.2020 г.
Принята к публикации 13.10.2020 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
