ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.14-21
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.984.55
О НЕЛОКАЛЬНОМ ВОЗМУЩЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ
ЗАДАЧИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА
ВТОРОГО ПОРЯДКА
© 2021 г. Д. М. Поляков
Рассматривается спектральная задача для дифференциального оператора второго поряд-
ка с периодическими краевыми условиями и интегральным возмущением. Для указанного
оператора получена асимптотика собственных значений, а также оценки отклонений спек-
тральных проекторов.
DOI: 10.31857/S0374064121010039
Введение. В настоящей работе изучается дифференциальный оператор L : D(L) ⊂
⊂ L2(0,1) → L2(0,1) вида
(Lu)(x) ≡ -u′′(x) + q(x)u(x), x ∈ (0, 1).
Область определения D(L) этого оператора содержится в W22(0, 1) и задаётся следующими
нелокальными краевыми условиями:
∫1
u(0) = u(1), u′(0) = u′(1) + p(x)u(x) dx.
0
Будем предполагать, что функция p и потенциал q являются комплекснозначными функци-
ями из класса L2(0, 1).
Изучение спектральных свойств оператора L представляет интерес, в частности, для неко-
торых задач механики, а также в теории диффузионных процессов. Конкретные примеры
физических задач, которые приводят к моделям такого вида, можно найти в статьях [1] и [2].
Дифференциальный оператор произвольного порядка с интегральными краевыми усло-
виями рассматривался в работе [3]. В этой работе было замечено, что если краевые усло-
вия являются усиленно регулярными, то система собственных и присоединённых (корневых)
функций образует базис Рисса в L2(0, 1). Позже в [4] для усиленно регулярного оператора
произвольного порядка была изучена асимптотика собственных значений и получены оценки
равносходимости спектральных разложений. Однако наиболее интересная ситуация возникает
в том случае, когда краевые условия являются регулярными. В уже упомянутой работе [3] до-
казано, что корневые функции образуют базис Рисса со скобками в L2(0, 1). Таким образом,
вопрос о базисности Рисса остался открытым.
Этот вопрос для оператора L в случае q = 0 рассматривался в [5]. В этой работе уста-
новлено, что свойство базисности корневых функций может меняться при сколь угодно малом
изменении ядра интегрального возмущения, а также записана асимптотика собственных зна-
чений. Развитие данной тематики продолжилось в серии работ [6-8], в которых авторы полу-
чили близкие по духу результаты, но уже в случае ненулевого потенциала q. Отметим также
работу [9], в которой найдены условия, обеспечивающие дискретность спектра дифференци-
ального оператора второго порядка с нелокальными условиями, не содержащими атомарную
меру концов интервала.
В настоящей работе мы ставим целью уточнить известные к настоящему времени результа-
ты, которые относятся к асимптотике спектра оператора L, а также установить ряд утвержде-
ний об оценках отклонений спектральных проекторов. Эти оценки позволят получить новый
14
О НЕЛОКАЛЬНОМ ВОЗМУЩЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
15
результат о базисности Бари из подпространств пространства L2(0, 1). Напомним, что базисы,
которые порождаются системами проекторов, квадратично близкими к полным и минималь-
ным системам ортогональных проекторов, называются базисами Бари. Отметим, что базисы
Бари обычно выделяются в особый класс и их изучение представляет собой отдельный инте-
рес. По теореме Бари-Маркуса (см. [10, гл. VI, теорема 5.2]) всякий базис из подпространств,
квадратично близкий к ортогональному базису из подпространств, является базисом Рисса из
подпространств (базисом Рисса со скобками). Таким образом, полученный результат о базис-
ности Бари из подпространств является более сильным утверждением, чем базисность Рисса
из подпространств.
1. Преобразование оператора и вспомогательные результаты. Если q = 0, то такой
оператор L обычно считается невозмущённым оператором. Прямому применению методов
теории возмущений мешает тот факт, что невозмущённый оператор не является оператором
с хорошо изученными спектральными свойствами. В связи с этим появляется необходимость
преобразования оператора L. Один из подходов состоит в переходе к сопряжённому оператору
(см. [11]). Непосредственный подсчёт показывает, что сопряжённая краевая задача имеет вид
(L∗v)(x) = -v′′(x) + q(x)v(x) + p(x)v(0) = λv(x), v(0) = v(1), v′(0) = v′(1),
где D(L∗) = {v ∈ W22(0, 1)}. Причина перехода к сопряжённой задаче заключается в том, что
в этом случае невозмущённый оператор (при p = q = 0) является самосопряжённым опера-
тором с известными спектральными свойствами. Наша ближайшая цель - изучить свойства
оператора L∗. При этом обратный переход позволит описать свойства исходного оператора L.
Для исследования оператора L∗ мы будем активно использовать технику из статьи [12], в
которой изучен оператор L с p = 0. Она основана на сведении с помощью подобия изучения
оператора L∗ к изучению некоторого оператора блочно-диагональной структуры, спектраль-
ные свойства которого легко описываются.
Представим оператор L∗ в виде L∗ = L0 - B, где оператор L0 задан дифференциальным
выражением L0v = -v′′ на области определения D(L0) = D(L∗), а действие оператора B
задаётся правилом Bv = -q(x)v(x) - p(x)v(0). В этом случае невозмущённый оператор L0
является самосопряжённым оператором с дискретным спектром. Его собственные значения
имеют вид λn = 4π2n2, а соответствующие им собственные функции en(x) = ei2πnx, n ∈ Z,
образуют ортонормированный базис в L2(0, 1).
Пусть Pn, n ∈ Z+ = N
⋃ {0}, - ортогональный проектор Рисса, построенный по множе-
ству {λn}. Для любого x ∈ L2(0, 1) он имеет вид
Pnx = (x,e-n)e-n + (x,en)en, n ∈ N, P0x = (x,e0)e0.
Поскольку подобие операторов связано с построением оператора преобразования, то далее
мы введём операторы, с помощью которых будет осуществляться указанное построение. Обо-
значим через S2 идеал операторов Гильберта-Шмидта с нормой ∥ · ∥2 (см. подробнее [10,
гл. 3, § 9]). Рассмотрим операторы J : S2 → S2 и Γ : S2 → S2, заданные равенствами
∑
∑
PkXPj
JX =
PnXPn, ΓX =
(1)
λk - λj
n∈Z+
k,j∈Z+
k=j
для любого X ∈ S2. В нашем исследовании эти операторы будут играть вспомогатель-
ную роль.
Наряду с введёнными операторами будем рассматривать последовательности операторов
Jm, Γm, m ∈ Z+, следующего вида:
JmX = J(X - P(m)XP(m)) + P(m)XP(m), ΓmX = ΓX - P(m)(ΓX)P(m), X ∈ S2,
∑
где P(m) =j≤m Pj . Корректность и ограниченность указанных операторов установлена в [12,
лемма 2]. Отметим, что каждый оператор Jm является ортогональным проектором. По суще-
ству, операторы Jm и Γm отличаются от соответствующих операторов J и Γ на оператор
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
16
ПОЛЯКОВ
конечного ранга, т.е., другими словами, из операторов Jm и Γm “вырезается” конечномер-
ный блок размера m × m. Следовательно, выбирая подходящим образом число m, можно
управлять размером блока и величиной ∥ΓmX∥2, X ∈ S2. Последний факт будет играть
существенную роль при построении оператора преобразования.
Сформулируем необходимую для дальнейшего анализа теорему о подобии исходного опе-
ратора и оператора, имеющего блочно-диагональную структуру. Для этого введём в рассмот-
рение оператор
B следующего вида:
B = JmB + BΓmB - (ΓmB)JmB - (ΓmB)(I + ΓmB)-1(BΓmB - (ΓmB)JmB).
(2)
При этом заметим, что
B ∈ S2 (см. [12, теорема 17]).
Теорема 1. Существует такое достаточно большое число m, что выполнены условия
∥ΓmB∥2 ≤ 1/2,
B∥2 < π2(2m + 1).
(3)
Тогда оператор L∗ подобен оператору L0-Jm X, где
X ∈S2 - решение нелинейного уравнения
X
B
BΓmX - (ΓmX)Jm
B-(ΓmX)Jm
BΓmX).
(4)
Для доказательства приведённой теоремы достаточно полностью повторить рассуждения
из работы [12, теорема 18], в которой эта теорема установлена для случая p = 0. Поскольку
p ∈ L2(0,1), то основные отличия в доказательствах этих теорем носят исключительно техни-
ческий характер.
Прокомментируем содержание теоремы. Первое условие из (3) обеспечивает обратимость
оператора I + ΓmB. Этот оператор будет служить оператором преобразования подобия. Вто-
рое условие из (3) отвечает за разрешимость уравнения (4). Оба условия выполняются при
подходящем выборе числа m. Так как Jm является проектором, то теорема 1 является тео-
ремой о подобии исходного оператора L∗ оператору блочно-диагонального вида L0 - Jm X.
Поскольку спектры у подобных операторов совпадают, то дальнейший анализ мы будем прово-
дить уже с оператором L0 - Jm X. Следующий результат посвящён вычислению собственных
значений этого оператора. Всюду ниже общим символом M > 0 обозначаются различные
положительные постоянные.
Теорема 2. Пусть число m выбрано достаточно большим. Тогда оператор L0 - Jm X
является оператором с дискретным спектром, который совпадает со спектром оператора
∑
L0 - Jm X = L0 - P(m) XP(m) -
Pj XPj.
j≥m+1
При этом
)
⋃
( ⋃
σ(L0 - Jm X) = σ(m)
σj
,
(5)
j≥m+1
где σ(m) и σj - спектры сужений оператора L0 - Jm X на инвариантные подпространства
H(m) = Im P(m) и Hj = Im Pj соответственно. Каждое из множеств σn не более чем
двухточечно и совпадает со спектромλ±n матрицы An вида
(
)
(
)
1
0
Be-n,e-n)
Ben,e-n)
An = 4π2n2
- Bn + Cn, где Bn =
,
(6)
0
1
Be-n,en)
Ben,en)
и при n ≥ m + 1 величина ∥Cn∥2 удовлетворяет оценкам
M
∥Cn∥2 = ∥Jm(X
B)∥2 ≤
BPn - Pn
BPn∥2.
(7)
n
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
О НЕЛОКАЛЬНОМ ВОЗМУЩЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
17
Сформулированная теорема доказана в работе [12, теорема 12] для произвольного блочно-
диагонального возмущения из класса S2. По теореме 1 оператор Jm X принадлежит клас-
су S2. Следовательно, теорема 2 имеет место и в рассматриваемой ситуации. Она будет ос-
новой для доказательства результатов данной работы, которые мы проведём в следующем
пункте.
2. Основные результаты. Перейдём к анализу спектральных свойств оператора L0 -Jm X
(следовательно, и оператора L∗), а также получим теоремы об асимптотике собственных зна-
чений и об оценках отклонений спектральных проекторов.
По теореме 2 для вычисления асимптотики собственных значений оператора L0 - Jm X
достаточно вычислить величины, которые входят в матрицы Bn и Cn, а также собственные
значения матрицы An. Соответственно для получения асимптотики собственных значений
исходного оператора L достаточно применить операцию комплексного сопряжения. Что ка-
сается оценок отклонений спектральных проекторов, то здесь мы снова будем опираться на
известную ранее технику.
Итак, перейдём к формулировке и доказательству основных результатов работы. Стандарт-
ным образом через pn и qn обозначим коэффициенты Фурье функций p и q соответственно:
∫1
∫
1
pn = p(x)e-i2πnx dx, qn = q(x)e-i2πnx dx, n ∈ Z.
0
0
Первая теорема посвящена асимптотике собственных значений оператора L.
Теорема 3. При достаточно большом числе n для собственных значенийλ±n операто-
ра L имеет место следующая асимптотическая оценка:
1√
λ±
pn + p-n
- 4π2n2 - q0 -
±
4(q2n + p-n)(q-2n + pn) + (p-n - pn)2
Mγnn-1,
(8)
n
≤
2
2
где (γn)n∈N - некоторая суммируемая с квадратом последовательность.
Доказательство. По теореме 2 оператор L0 - Jm X является оператором с дискретным
спектром и имеет место представление (5). Следовательно, по теореме 1 точно такими же
свойствами обладает и оператор L∗.
Опишем множества, которые входят в формулу (5). Используя представление (2), запишем
оператор L0 - Jm X в следующем виде:
L0 - Jm X = L0 - Jm(X
B
B) =
=L0 -Jm
B-Jm(X
B) = L0 - JB - J(BΓB) - J
X
B) + T + C.
(9)
Оператор
T ≡JB-JmB+J(BΓB)-Jm(BΓmB)+J(X∗
B) - Jm(X∗
B)
имеет конечный ранг, а оператор C содержит в себе все оставшиеся члены из представле-
ния (2). Конкретный их вид несущественен, поскольку в асимптотике собственных значений
члены, которые отвечают операторам T и C, попадут в остаток. Заметим, что слагаемые,
входящие в формулу (9), уже зависят от известного оператора B.
Проведём анализ спектральных асимптотик матрицы An вида (6). Вычислим величины,
входящие в указанную формулу. Согласно неравенству (7) для анализа матрицы Cn необхо-
димо оценить величину
BPn - Pn
BPn∥2. Применим проектор Pn сначала справа, а затем
справа и слева к равенству (2) и вычтем полученные равенства. Тогда получим
BPn - Pn
BPn = (BΓmB)Pn - (ΓmB)PnBPn - Pn(BΓmB)Pn +
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
18
ПОЛЯКОВ
+ (Pn(ΓmB) - ΓmB)(I + ΓmB)-1((BΓmB)Pn - (ΓmB)PnBPn).
Оценим обе части последнего равенства по норме идеала операторов Гильберта-Шмидта. Ис-
пользуя первое условие из (3), приходим к следующим соотношениям:
BPn - Pn
BPn∥2 ≤ ∥(BΓmB)Pn∥2 + ∥(ΓmB)Pn∥2∥PnBPn∥2 + ∥Pn(BΓmB)Pn∥2 +
∥Pn(ΓmB)∥2 + ∥ΓmB∥2
+
(∥(BΓmB)Pn∥2 + ∥(ΓmB)Pn∥2∥PnBPn∥2) ≤
1 - ∥ΓmB∥2
≤ 2∥(BΓmB)Pn∥2 + ∥(ΓmB)Pn∥2∥PnBPn∥2 +
+ (2∥Pn(ΓmB)∥2 + 1)(∥(BΓmB)Pn∥2 + ∥(ΓmB)Pn∥2∥PnBPn∥2).
(10)
Теперь получим оценки величин ∥(ΓmB)Pn∥2 и ∥(BΓmB)Pn∥2. Для этого сначала найдём
представление 2 × 2-матрицы, которая порождается оператором B. Имеют место равенства
∫1
(Be-j, e-k) =
(-q(x)e-i2πjx - p(x))ei2πkx dx =
0
∫1
∫
1
= - q(x)ei2π(k-j)x dx - p(x)ei2πkx dx = -qk-j - p-k, k,j ∈ Z+.
0
0
Повторяя проведённые рассуждения, получаем следующее представление матрицы операто-
ра B :
(
)
)
Be-j,e-k)
Bej,e-k)
(-qk-j - p-k -qk+j - p-k
(B)kj =
=
,
k,j ∈ Z+.
(11)
Be-j,ek)
Bej,ek)
-q-j-k - pk
-qj-k - pk
Из второй формулы в (1) следует, что матрица оператора ΓB имеет вид
)
1
(-qk-j - p-k -qk+j - p-k
(ΓB)kj =
,
k = j, k,j ∈ Z+.
(12)
4π2(k2 - j2)
−q-j-k - pk
-qj-k - pk
Это представление даёт возможность оценить ∥(ΓmB)Pn∥2. Справедливы следующие соотно-
шения:
)
1
∑
( |qk-n + p-k|2
|qk+n + p-k|2
|q-n-k + pk|2
|qn-k + pk|2
∥(ΓmB)Pn∥22 =
+
+
+
≤
16π4
(k2 - n2)2
(k2 - n2)2
(k2 - n2)2
(k2 - n2)2
k=n
)
1
∑
( |qk-n|2 + |qk+n|2 + |q-n-k|2 + |qn-k|2
2(|p-k|2 + |pk|2)
∥p∥2 + ∥q∥2
≤
+
≤
8π4n2
(k - n)2
(k - n)2
6π2n2
k=n
Такие же рассуждения имеют место и для оператора Pn(ΓmB). Таким образом, выполняются
оценки
M
M
∥Pn(ΓmB)∥2 ≤
,
∥(ΓmB)Pn∥2 ≤
(13)
n
n
Перейдём к оценке величины ∥(BΓmB)Pn∥2. Используя равенства (11) и (12), получаем
следующее представление:
(
)
∑
1
1
k11
k12
(BΓB)kj =
,
(14)
4π2
l2 - j2
k21
k22
l∈Z
l=±j
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
О НЕЛОКАЛЬНОМ ВОЗМУЩЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
19
где
k11 = (qk-l + p-k)(ql-j + p-l) + (qk+l + p-k)(q-j-l + pl),
k12 = (qk-l + p-k)(ql+j + p-l) + (qk+l + p-k)(qj-l + pl),
k21 = (q-k-l + pk)(ql-j + p-l) + (ql-k + pk)(q-j-l + pl),
k22 = (q-k-l + pk)(ql+j + p-l) + (ql-k + pk)(qj-l + pl).
Чтобы понять характер оценок, мы не будем анализировать все имеющиеся слагаемые, а
остановимся отдельно только на двух из них. С остальными слагаемыми метод работы будет
точно таким же. Действие оператора (BΓmB)Pn означает, что в выражении (14) коэффициент
j заменяется на n. При этом при вычислении нормы суммирование будем проводить только
по аргументу k. Итак, в выражении для элемента k11 раскрываем скобки и анализируем
первое получившееся слагаемое. Используя неравенство Гёльдера, получаем
∑
∑
qk-lql-n
2
∑
∑
qk-n-sqs
2
=
≤
l2 - n2
s(s + 2n)
k∈Z+ l=±n
k∈Z+ s=0,-2n
)(∑
)
∑
( ∑
|qk-n-s|2
|qs|2
≤
≤
2
s
(s + 2n)2
k∈Z+ s=0,-2n
s=0,-2n
)(∑
)(∑
)
(∑
1
|ql-2n|2
≤
max
|qk-n-s
|2
≤
s=0,-2n
s2
l2
k∈Z+
s=0,-2n
l=0,2n
)
2
( ∑
∑
π2∥q∥
|ql-2n|2
|ql-2n|2
π2∥q∥2
≤
+
≤
α(2n)2,
3
l2
l2
3
|l|<2n
|l|≥2n+1
l=0
где последовательность α(2n) является суммируемой с квадратом и имеет вид
)1/2
( ∑
q(l - 2n) + q(l + 2n)
∥q∥2
α(2n) =
+
,
n ∈ N.
l2
(2n + 1)2
|l|<2n
l=0
Здесь q(n) = max{|qn|2, |q-n|2}, n ∈ N.
Теперь рассмотрим ещё одно слагаемое, которое получается при раскрытии скобок в выра-
жении для элемента k11. Снова используем неравенство Гёльдера. Справедливы следующие
оценки:
)
∑ ∑
2
∑
(∑
)( ∑
p-kp-l
|p-l|2
1
π2∥p∥4
≤
|p-k
|2
≤
l2 - n2
(l + n)2
(l - n)2
3n2
k∈Z+ l=±n
k∈Z+
l=±n
l=±n
Остальные слагаемые, которые получаются при раскрытии скобок в выражении (14), оценива-
ются теми же величинами. Для этого мы просто повторим описанную выше процедуру. Тогда
будем иметь
∥(BΓmB)Pn∥2 ≤ M(α(2n) + 1/n) ≤ Mγn,
(15)
где (γn)n∈N - суммируемая с квадратом последовательность.
Учитывая последовательно неравенства (13) и (15) сначала в оценке (10), а затем в итого-
вом неравенстве в (7), получаем
M
Mγn
∥Cn∥2 = ∥J(X
B)∥2 ≤
BPn - Pn
BPn∥2 ≤
(16)
n
n
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
2∗
20
ПОЛЯКОВ
Кроме того, эта же оценка будет справедлива и для операторов J(BΓB), C и T (см. более
подробно в [12, § 4]). Следовательно, слагаемые в асимптотике собственных значений, получа-
емые от операторов J(BΓB), C и T, попадут в остаточный член.
Перейдём к рассмотрению матрицы Bn, которая вносит существенный вклад в асимп-
тотику собственных значений. Указанная матрица соответствует действию оператора JB в
представлении (9). Напомним, что оператор J является диагонализирующим. Следовательно,
для вычисления матрицы Bn необходимо положить k = j = n в формуле (11). Тогда матрица
An из (6) принимает следующий вид:
(
)
(
)
(
)
1
0
q0 + p-n q2n + p-n
ξn
0
An = 4π2n2
+
+
,
0
1
q-2n + pn q0 + pn
0
ξn
где матрица diag(ξn, ξn), n ∈ N, допускает оценку (16). Вычисляя собственные значения
матрицы An и беря комплексное сопряжение, приходим при достаточно большом числе n к
асимптотической оценке (8). Теорема доказана.
В работе [5] рассматривался случай дифференциального оператора второго порядка с q =
= 0. Приведём соответствующий результат в этой ситуации. Повторяя все рассуждения, ко-
торые проведены в доказательстве теоремы 3, получаем
Следствие 1. Если q = 0 в операторе L, то его собственные значения для достаточно
большого n имеют вид
λ(1)
λ(2)
n
= 4π2n2 + O(n-2),
n
= 4π2n2 + pn + p-n + O(n-2).
Результаты следствия 1 уточняют полученную ранее асимптотику собственных значений
из работ [5-7].
В статье [13] рассматривался нагруженный дифференциальный оператор L∗ с коэффици-
ентом p(x) = cos(πx). Приведём ещё одно следствие теоремы 3, которое описывает асимпто-
тические оценки собственных значений оператора L в этом частном случае.
Следствие 2. Пусть q(x) = 0, p(x) = cos(πx). Тогда для достаточно большого n соб-
ственные значенияλn1) иλn2) имеют вид
i2πn
i2ne
λ(1)
λ(2)
n
= 4π2n2 + O(n-2),
n
= 4π2n2 -
+ O(n-2).
π(1 - 4n2)
Перейдём, наконец, к последнему результату, в котором даны оценки отклонений спек-
тральных проекторов. Возьмём число m таким, как в теореме 1. По теореме 2 оператор L∗
подобен оператору L0 -Jm X, спектр σ(L0 -Jm X) которого представим в виде (5). Через
Pn,
n ≥ m + 1, обозначим проектор Рисса, который построен по множеству σn = {λ+n}⋃{λ-n}.
Указанный проектор является проектором на двумерное подпространство Hn, описанное в
теореме 2. Имеет место
Теорема 4. Для n ≥ m + 1 справедлива оценка
Pn -Pn∥2 ≤ Mn-1. Более того, система
двумерных подпространств {Hn}n≥m+1 образует базис Бари из подпространств в простран-
стве L2(0,1).
Доказательство. Необходимая оценка в случае p = 0 установлена в [12, теорема 5]. Для
доказательства в рассматриваемом случае необходимо повторить те же самые рассуждения.
Так как p ∈ L2(0, 1), то добавление аддитивного возмущения того же класса будет влиять
только на постоянную M > 0, а не на порядок оценки. Базисность Бари из двумерных под-
пространств непосредственно следует из этой оценки и теоремы Бари-Маркуса (см. [10, гл. 6,
теорема 5.2]). Теорема доказана.
Автор выражает благодарность В.В. Щербакову, А.С. Макину и М.А. Садыбекову за цен-
ные замечания, которые способствовали улучшению статьи.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 20-11-
19995).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
О НЕЛОКАЛЬНОМ ВОЗМУЩЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ
21
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Feller W. The parabolic differential equations and the associated semi-groups of transformations // Ann.
Math. 1952. V. 55. № 4. P. 468-519.
2. Feller W. Diffusion processes in one dimension // Trans. Amer. Math. Soc. 1954. V. 77. P. 1-30.
3. Шкаликов А.А. О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов
с интегральными краевыми условиями // Вестн. Моск. гос. ун-та. Сер. 1. Мат., мех. 1982. № 6.
С. 12-21.
4. Баскаков А.Г., Кацаран Т.К. Спектральный анализ интегро-дифференциальных операторов с нело-
кальными краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 8. С. 1424-1433.
5. Макин А.С. О нелокальном возмущении периодической задачи на собственные значения // Диф-
ференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 4. С. 560-562.
6. Садыбеков М.А., Иманбаев Н.С. О базисности корневых функций периодической задачи с инте-
гральным возмущением краевого условия // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 6. С. 889-893.
7. Imanbaev N.S., Sadybekov M.A. On spectral properties of a periodic problem with an integral
perturbation of the boundary condition // Eurasian Math. J. 2013. V. 4. № 3. P. 53-62.
8. Садыбеков М.А., Иманбаев Н.С. Регулярный дифференциальный оператор с возмущённым краевым
условием // Мат. заметки. 2017. Т. 101. № 5. С. 768-778.
9. Скубачевский А.Л., Стеблов Г.М. О спектре дифференциальных операторов с областью определе-
ния, не плотной в L2(0, 1) // Докл. АН СССР. 1991. Т. 321. № 6. С. 1158-1163.
10. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов в гильбер-
товом пространстве. М., 1965.
11. Krall A.M. The development of general differential and general differential-boundary systems // Rocky
Mountain J. Math. 1975. V. 5. № 4. P. 493-542.
12. Баскаков А.Г., Поляков Д.М. Метод подобных операторов в спектральном анализе оператора Хилла
с негладким потенциалом // Мат. сб. 2017. Т. 208. № 1. С. 3-47.
13. Ломов И.С., Чернов В.В. Исследование спектральных свойств одного нагруженного дифференци-
ального оператора второго порядка // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 7. С. 861-865.
Южный математический институт -
Поступила в редакцию 11.06.2020 г.
филиал Владикавказского научного центра РАН,
После доработки 24.07.2020 г.
Институт математики с вычислительным центром
Принята к публикации 13.10.2020 г.
Уфимского федерального исследовательского центра РАН
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
