ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.22-42

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.911+517.925.51

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ

НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ,

ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ ИХ РЕШЕНИЙ. I

Для нестационарных полулинейных дифференциально-алгебраических уравнений доказа-

ны теоремы о существовании и единственности глобальных решений, теоремы об устойчи-

вости по Лагранжу (ограниченность глобальных решений), диссипативности (предельная

ограниченность решений) и неустойчивости по Лагранжу (отсутствие глобальных реше-

ний).

DOI: 10.31857/S0374064121010040

Введение. Дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ), которые также называют

вырожденными дифференциальными уравнениями (ДУ), алгебро-дифференциальными систе-

мами (АДС) и дескрипторными уравнениями, являются удобной абстрактной формой записи

многих динамических моделей реальных процессов и объектов в радиоэлектронике, экономи-

ке, робототехнике, теории управления, химии и экологии [1-4]. Дифференциальным уравне-

ниям этого типа посвящено большое число работ, например, монографии [1-4] и статьи [5-7]

(см. также приведённую в них библиографию), где представлены различные подходы к их

исследованию. Основная часть работ, посвящённых полулинейным, квазилинейным и нели-

нейным ДАУ, связана с исследованием их локальной разрешимости, в том числе с изучением

структуры ДАУ, и с разработкой численных методов их решения. Гораздо меньшее число ра-

бот посвящено глобальной разрешимости этих уравнений. Достаточно много работ связано с

исследованием устойчивости по Ляпунову положения равновесия ДАУ (см., например, [2-4]

и библиографию в них). В [2-4] представлены теоремы об устойчивости и асимптотической

устойчивости по Ляпунову для полулинейных и нелинейных ДАУ, использующие как класси-

ческие (в смысле теории устойчивости), так и различные специфические (связанные со специ-

фикой подходов к исследованию ДАУ) ограничения. В [7] изучалась робастная устойчивость

стационарных линейных ДАУ. Условия для глобальной разрешимости полулинейных ДАУ с

регулярным характеристическим пучком операторов и регулярных нелинейных ДАУ пред-

ставлены в [1, 3]. Различные условия глобальной разрешимости стационарных полулинейных

ДАУ с регулярным характеристическим пучком получены в [5, 8, 9]. В работах [10] и [11] уста-

новлены условия устойчивости по Лагранжу, которые также включают условия глобальной

разрешимости, для стационарных полулинейных ДАУ с регулярным и сингулярным (нерегу-

лярным) характеристическими пучками соответственно.

В настоящей работе рассматриваются неявные обыкновенные дифференциальные уравне-

ния (ОДУ) (т.е. ОДУ, не разрешённые относительно старшей производной неизвестной функ-

ции) вида

[A(t)x(t)] + B(t)x(t) = f(t, x(t)), A(t)

x(t) + B(t)x(t) = f(t, x(t)),

где линейный оператор A(t) (зависящий от параметра t) в общем случае вырожден (в этом

случае рассматриваемые ДУ называют нестационарными полулинейными ДАУ) и линейный

оператор B(t) также может быть вырожденным. Получены теоремы о глобальной разреши-

мости, устойчивости по Лагранжу, диссипативности (предельной ограниченности решений) и

неустойчивости по Лагранжу, которые представлены в части 1 статьи, а также теоремы об

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДАУ

устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову, асимптотической устойчивости

в целом и неустойчивости по Ляпунову, которые представлены в части 2 статьи. В части 2

продемонстрировано также применение теорем о глобальной разрешимости для решения при-

кладной задачи и предложен некоторый конкретный вид для функции V, присутствующей

в полученных теоремах. В отличие от теорем о глобальной разрешимости и устойчивости

(асимптотической устойчивости) по Ляпунову из [3] в полученных теоремах не требуется, что-

бы рассматриваемые ДАУ являлись регулярными ДАУ индекса податливости 1 (индекса пре-

образуемости, “tractability index” в оригинале), т.е. чтобы пучок λA(t) + B(t) - ∂f(t, x)/∂x яв-

лялся регулярным пучком индекса 1 (для более точного сравнения см. определение “tractability

index” для регулярных ДАУ в [3, с. 91, 319-320] и комментарии относительно его связи с дру-

гими понятиями индекса, которые даны в [3] и [10, раздел 2]), а требуется, только чтобы пучок

λA(t) + B(t), который отвечает линейной (левой) части рассматриваемых ДАУ, был регуляр-

ным пучком индекса не выше 1 (см. определение в п. 1). Заметим, что регулярный пучок

λA(t) + B(t) индекса не выше 1 удовлетворяет критерию “ранг-степень” (см. определение в [2,

с. 30-31]) для каждого t. Также в полученных теоремах не требуется, чтобы рассматривае-

мые ДАУ являлись “сжимающими” (см. [3, с. 379]). Отметим, что в полученных теоремах о

глобальной разрешимости не используется глобальное условие Липшица, как, например, в [1],

или подобные ограничения, что позволяет использовать теоремы для решения более широ-

ких классов прикладных задач. Подробнее это обсуждается в пп. 2.1. Во второй части статьи

в п. 5 продемонстрировано применение теорем 2.1, 2.2 о глобальной разрешимости (которые

не содержат глобальных условий Липшица) для решения одной задачи по электротехнике, а

также показано, что условия теорем могут выполняться для функций, не удовлетворяющих

условию утверждения 2.1 о глобальной разрешимости, в котором требуется, чтобы “алгеб-

раическая часть” ДАУ удовлетворяла глобальному условию Липшица по компоненте P₂(t)x

переменной x (некоторые условия теорем и утверждения совпадают), а для функций, удо-

влетворяющих условиям утверждения, условия теорем также будут выполнены. Вообще, из

доказательства утверждения 2.1 следует, что если его условия выполнены, то выполнены и

условия теорем 2.1, 2.2. Отметим также, что в полученных теоремах по сравнению с соответ-

ствующими теоремами из [2, 3] ослаблены требования к гладкости нелинейной части ДАУ.

Устойчивость по Лагранжу ДАУ (диссипативность ДАУ) означает существование глобаль-

ных решений для всех согласованных начальных значений, т.е. для всех возможных начальных

значений, и ограниченность (предельную ограниченность) всех решений. Таким образом, в от-

личие от устойчивости по Ляпунову, устойчивость по Лагранжу и диссипативность ДАУ мож-

но рассматривать как в определённом смысле устойчивость всего ДАУ (т.е. в определённом

смысле устойчивость всех его решений), а не только отдельного, исследуемого на устойчивость,

решения.

В работе применяются нестационарные спектральные проекторы [12, 1], позволяющие при-

вести полулинейные ДАУ к эквивалентным полуявным ДАУ. Также используются второй ме-

тод Ляпунова и основанные на нём методы Ж. Ла-Салля [13] и Т. Йошизавы [14] для ис-

следования продолжаемости решений, устойчивости по Лагранжу и диссипативности явных

ОДУ (т.е. ОДУ, разрешённых относительно старшей производной неизвестной функции). При

доказательстве теоремы об асимптотической устойчивости (асимптотической устойчивости в

целом положения равновесия) ДАУ используется теорема Барбашина-Красовского об асимп-

тотической устойчивости явных ОДУ [15].

1. Постановка задачи, определения и предварительные сведения. Рассмотрим

неявные дифференциальные уравнения

[A(t)x(t)] + B(t)x(t) = f(t, x(t)), t ∈ [t₊, ∞),

(1.1)

A(t)

x(t) + B(t)x(t) = f(t, x(t)), t ∈ [t₊, ∞),

(1.2)

и начальное условие

x(t₀) = x₀,

(1.3)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ФИЛИПКОВСКАЯ

где t₀ ≥ t₊ ≥ 0, A, B : [t₊, ∞) → L(Rⁿ) (через L(X, Y ) обозначается векторное пространство

непрерывных линейных операторов, действующих из векторного пространства X в вектор-

ное пространство Y ; L(X, X) = L(X)) и f : [t₊, ∞) × Rⁿ → Rⁿ. Операторы A(t) и B(t)

могут быть вырожденными (необратимыми). Уравнения типа (1.1), (1.2) с вырожденным (при

некотором t) оператором A(t) называют вырожденными дифференциальными уравнениями

или дифференциально-алгебраическими уравнениями. В терминологии ДАУ уравнения вида

(1.1), (1.2) принято называть полулинейными, однако их иногда называют нелинейными из-за

наличия нелинейной функции f. Поскольку операторы A(t), B(t) нестационарны, то урав-

нения (1.1), (1.2) называются нестационарными полулинейными ДАУ или нестационарными

вырожденными дифференциальными уравнениями. В дальнейшем, для общности, уравнения

(1.1) и (1.2), где A(t) (A: [t₊, ∞) → L(Rⁿ)) - произвольный (не обязательно вырожденный)

оператор, будем называть нестационарными полулинейными ДАУ.

Левой (линейной) части уравнений (1.1) и (1.2) отвечает пучок операторов λA(t) + B(t).

Пусть для каждого t ≥ t₊ пучок регулярен, т.е. для каждого t ≥ t₊ множество его регуляр-

ных точек не пусто (множеством регулярных точек пучка λA(t) + B(t) является множество

регулярных точек его комплексного расширения). Для регулярных точек λ существует ре-

зольвента R(λ, t) = (λA(t) + B(t))-1.

В дальнейшем предполагается, что для каждого t ≥ t₊ пучок регулярен и выполнено

следующее условие: существуют функции C₁ : [t₊, ∞) → (0, ∞) и C₂ : [t₊, ∞) → (0, ∞) такие,

что для любого t ∈ [t₊, ∞) выполнена оценка

∥R(λ, t)∥ ≤ C₁(t),

|λ| ≥ C₂(t).

(1.4)

Условие (1.4) означает, что либо точка μ = 0 является для резольвенты (A(t) + μB(t))-1

простым полюсом (это эквивалентно тому, что λ = ∞ является устранимой особой точкой

резольвенты R(λ, t)), либо μ = 0 является регулярной точкой пучка A(t) + μB(t).

Согласно [1, с. 181] индексом регулярного пучка λA + B, где A, B - стационарные квад-

ратные матрицы, называется наибольшая длина цепочки из собственного и присоединённых

векторов пучка матриц A + μB в точке μ = 0. Следуя монографии [1], определим индекс

пучка λA(t) + B(t).

Если пучок λA(t) + B(t) регулярен для каждого t и удовлетворяет условию (1.4), то он

является регулярным пучком индекса не выше 1 (т.е. индекса 0 или 1). Если оператор A(t)

невырожден для всех t, т.е. μ = 0 является регулярной точкой пучка A(t) + μB(t) для

каждого t, то λA(t) + B(t) является регулярным пучком индекса 0. Если A(t) вырожден

для всех t и выполнено условие (1.4) (т.е. μ = 0 является простым полюсом резольвенты

(A(t) + μB(t))-1 для каждого t), то λA(t) + B(t) является регулярным пучком индекса 1.

Ниже приведены сведения из [12; 1, с. 82-84], которые будут использоваться в дальнейшем.

Если регулярный пучок удовлетворяет условию (1.4), то для каждого t ∈ [t₊, ∞) существуют

две пары взаимно дополнительных проекторов

∮

P₁(t) =

R(λ, t) dλ A(t), P₂(t) = I_Rn - P₁(t),

2πi

|λ|=C₂(t)

∮

Q₁(t) =

A(t)R(λ, t) dλ, Q₂(t) = I_Rn - Q₁(t)

(1.5)

2πi

|λ|=C₂(t)

(P_i(t)P_j (t) = δijPi(t), P1(t) + P2(t) = IRn, и Qi(t)Qj(t) = δijQi(t), Q1(t) + Q2(t) = IRn,

I_Rn - тождественный оператор в Rⁿ, δ_ij - символ Кронекера), которые порождают прямые

разложения пространств

Rⁿ = X₁(t) +X₂(t), X_j(t) = P_j(t)Rⁿ, Rⁿ = Y₁(t) +Y₂(t), Y_j(t) = Q_j(t)Rⁿ, j = 1,2,

(1.6)

такие, что пары подпространств X₁(t), Y₁(t) и X₂(t), Y₂(t) инвариантны относительно A(t),

B(t) (т.е. A(t), B(t): X_j(t) → Y_j(t)). Суженные операторы A_j (t) = A(t)|Xj (t) : Xj (t) → Yj(t),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДАУ

B_j(t) = B(t)|Xj(t) : Xj(t) → Yj(t), j

= 1, 2, таковы, что A₂(t) = 0 и существуют A-11(t)

(если X₁(t) = {0}) и B-12(t) (если X₂(t) = {0}). Подпространства X_j (t), Y_j(t) таковы, что

Y₁(t) = R(A(t)) (R(A(t)) - область значений A(t)), X₂(t) = Ker A(t), Y₂(t) = B(t)X₂(t) и

X₁(t) = R(λ,t)Y₁(t),

|λ| ≥ C₂(t). Спектральные проекторы (1.5) являются вещественными

(поскольку A(t) и B(t) вещественные) и удовлетворяют следующим свойствам:

A(t)P₁(t)=Q₁(t)A(t)=A(t), A(t)P₂(t)=Q₂(t)A(t)=0, B(t)P_j (t)=Q_j (t)B(t), j =1, 2.

(1.7)

Используя спектральные проекторы, для каждого t ∈ [t₊, ∞) получаем вспомогательный

оператор

G(t) = A(t) + B(t)P₂(t) = A(t) + Q₂(t)B(t) ∈ L(Rⁿ)

(1.8)

такой, что G(t): X_j (t) → Y_j (t) (G(t)X_j (t) = Y_j (t)) [12; 1, с. 82-84]. Этот оператор имеет

обратный G-1(t) = A-11(t)Q₁(t) + B-12(t)Q₂(t) ∈ L(Rⁿ) (G-1(t): Y_j (t) → X_j(t)) со свойствами

G-¹(t)A(t)P₁(t) = G-1(t)A(t) = P₁(t), G-1(t)B(t)P₂(t) = P₂(t),

A(t)G-1(t)Q₁(t) = A(t)G-1(t) = Q₁(t), B(t)G-1(t)Q₂(t) = Q₂(t).

Проекторы P_i(t), Q_i(t) (i = 1, 2) и операторы G(t), G-1(t) как оператор-функции имеют

ту же степень гладкости, что и оператор-функции A(t), B(t) и функция C₂(t) [1, с. 82-84].

Вообще, в [12; 1, с. 82-84] рассматривались оператор-функции (операторы) A(t), B(t) в бана-

ховых пространствах и требовалось, чтобы они были сильно непрерывно дифференцируемыми,

тогда P_i(t), Q_i(t), G(t), G-1(t) также будут сильно непрерывно дифференцируемы, но, как

известно, в конечномерных пространствах это свойство равносильно непрерывной дифферен-

цируемости в обычном смысле (по норме).

Предположим, что A, B ∈ C¹([t₊, ∞), L(Rⁿ)) и C₂ ∈ C¹([t₊, ∞), (0, ∞)), тогда P_i(t),

Q_i(t), G(t) и G-1(t) также непрерывно дифференцируемы как оператор-функции на [t₊,∞)

(т.е. P_i, Q_i, G, G-1 ∈ C¹([t₊, ∞), L(Rⁿ))).

Функцию x ∈ C([t₀, t₁), Rⁿ), [t0, t1) ⊆ [t+, ∞), называют решением уравнения (1.1) на про-

межутке [t₀,t₁) , если A(t)x(t) непрерывно дифференцируема на [t₀,t₁) и x(t) удовлетворя-

ет уравнению (1.1) на [t₀, t₁). Если функция x(t) дополнительно удовлетворяет начальному

условию (1.3), то её называют решением задачи Коши (начальной задачи) (1.1), (1.3).

Функцию x ∈ C¹([t₀, t₁), Rⁿ) называют решением уравнения (1.2) на [t0, t1), если x(t)

удовлетворяет уравнению (1.2) на [t₀, t₁). Если функция x(t) дополнительно удовлетворяет

начальному условию (1.3), то её называют решением задачи Коши (1.2), (1.3).

Замечание 1.1. Заметим, что rank P_j (t) = rank Q_j (t) = dim X_j (t) = dim Y_j(t), j = 1, 2,

и dimY₁(t) = rankA(t), и что в силу непрерывности проекторов P_j(t) и Q_j(t) размерности

подпространств X_j (t) = P_j (t)Rⁿ, Y_j(t) = Q_j (t)Rⁿ постоянны (см. [16, с. 34, лемма 4.10]):

dim X₁(t) = dim Y₁(t) = const и dim X₂(t) = dim Y₂(t) = const для всех t ∈ [t₊, ∞). Будем

обозначать dim X₂(t) = dim Y₂(t) = d, тогда dim X₁(t) = dim Y₁(t) = n - d.

Для каждого t любой вектор x ∈ Rⁿ единственным образом представим (относительно

разложения (1.6)) в виде

x = P₁(t)x + P₂(t)x = xp1(t) + xp2(t), xpi(t) = P_i(t)x ∈ X_i(t).

(1.9)

Заметим, что ДАУ (1.1) можно записать в виде

A(t)[P₁(t)x(t)]^′ + A^′(t)[P₁(t)x(t)] + B(t)x(t) = f(t, x(t)).

Применим к ДАУ (1.1) проекторы Q₁(t) и Q₂(t) и, воспользовавшись свойствами (1.7), по-

лучим эквивалентную ему систему

A(t)P₁(t)[P₁(t)x(t)]^′ + Q₁(t)A^′(t)P₁(t)x(t) + B(t)P₁(t)x(t) = Q₁(t)f(t, x(t)),

(1.10)

Q₂(t)A^′(t)P₁(t)x(t) + B(t)P₂(t)x(t) = Q₂(t)f(t,x(t)).

(1.11)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ФИЛИПКОВСКАЯ

Далее применим к системе (1.10), (1.11) оператор G-1(t) и воспользуемся его свойствами и ра-

венством P₁(t)[P₁(t)x(t)]^′ = [P₁(t)x(t)]^′ - P′1(t)P₁(t)x(t), в результате получим эквивалентную

систему

[P₁(t)x(t)]^′ = [P′1(t) - G-1(t)Q₁(t)[A^′(t) + B(t)]]P₁(t)x(t) + G-1(t)Q₁(t)f(t, x(t)),

(1.12)

G-¹(t)Q₂(t)[f(t, x(t)) - A^′(t)P₁(t)x(t)] - P₂(t)x(t) = 0.

(1.13)

Таким образом, ДАУ (1.1) сведено к эквивалентной системе, состоящей из явного ОДУ (1.12)

(относительно P₁(t)x(t)) и алгебраического уравнения (1.13). Используя представление (1.9)

(xpi (t) = P_i(t)x(t)), запишем систему (1.12), (1.13) в виде

x^′p

(t) = [P′1(t) - G-1(t)Q₁(t)[A^′(t) + B(t)]]xp1 (t) + G-1(t)Q₁(t)f(t, xp1 (t) + xp2 (t)),

(1.14)

G-¹(t)Q₂(t)[f(t, xp1 (t) + xp2 (t)) - A^′(t)xp1 (t)] - xp2 (t) = 0.

(1.15)

Система (1.14), (1.15) и эквивалентная ей система (1.12), (1.13) являются неавтономными по-

луявными ДАУ (в общем случае неавтономными полуявными ДАУ называют системы вида

y = f(t,y,z),

0 = g(t,y,z)).

Теперь применим проекторы Q₁(t) и Q₂(t) к ДАУ (1.2) и получим эквивалентную ему

систему

A(t)P₁(t)x^′(t) + B(t)P₁(t)x(t) = Q₁(t)f(t, x(t)),

(1.16)

B(t)P₂(t)x(t) = Q₂(t)f(t, x(t)).

(1.17)

Далее применим к системе (1.16), (1.17) оператор G-1(t) и воспользуемся равенством

P₁(t)x^′(t) = [P₁(t)x(t)]^′ - P′1(t)x(t),

в результате получим эквивалентную ей систему

[P₁(t)x(t)]^′ = G-1(t)[-B(t)P₁(t)x(t) + Q₁(t)f(t, x(t))] + P′1(t)x(t),

(1.18)

G-¹(t)Q₂(t)f(t, x(t)) - P₂(t)x(t) = 0.

Таким образом, ДАУ (1.2) сведено к эквивалентной системе (1.18). Используя представление

(1.9) (xpi (t) = P_i(t)x(t)), запишем систему (1.18) в виде

x^′p

(t) = G-1(t)[-B(t)xp1 (t) + Q₁(t)f(t, xp1 (t) + xp2 (t))] + P′1(t)(xp1 (t) + xp2 (t)),

(1.19)

G-¹(t)Q₂(t)f(t, xp1 (t) + xp2 (t)) - xp2 (t) = 0.

(1.20)

Замечание 1.2. Введём многообразия

Lt+ = {(t,x) ∈ [t₊,∞) × Rⁿ | Q₂(t)[A^′(t)P₁(t)x + B(t)x - f(t,x)] = 0},

(1.21)

L_t

= {(t, x) ∈ [t₊, ∞) × Rⁿ | Q₂(t)[B(t)x - f(t, x)] = 0}.

(1.22)

Условие согласования (t₀, x₀) ∈ Lt+

((t₀, x₀)

∈ Lt+) для начальной точки (t₀,x₀) являет-

ся одним из необходимых условий существования решения задачи Коши (1.1), (1.3) (задачи

Коши (1.2), (1.3)). Начальная точка (t₀, x₀), удовлетворяющая этому условию, называется

согласованной начальной точкой (соответствующие начальные значения t₀, x₀ называются

согласованными начальными значениями).

Это замечание следует из эквивалентности ДАУ (1.1) и ДАУ (1.2) соответственно системам

(1.10), (1.11) и (1.16), (1.17).

В формулах (1.21), (1.22) число t₊ является параметром. В частности, в дальнейшем будет

использоваться обозначение L_T для многообразия, имеющего вид Lt+ , где t₊ = T.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДАУ

Очевидно, что графики решений x(t) ДАУ (1.1) и ДАУ (1.2) (т.е. множества точек (t, x(t)),

L_t

где t из области определения решения x(t)) должны лежать в многообразиях Lt+ и

соответственно.

Напомним некоторые классические определения. Пусть D ⊂ Rⁿ - некоторая область, со-

держащая начало координат. Функция W ∈ C(D, R) называется положительно определённой,

если W (x) > 0 при всех x = 0 и W (0) = 0. Функция V ∈ C([t₊, ∞) × D, R) называется по-

ложительно определённой, если V (t, 0) ≡ 0 и существует такая положительно определённая

функция W ∈ C(D, R), что V (t, x) ≥ W (x) при всех x = 0, t ∈ [t₊, ∞).

Определение 1.1. Рассмотрим оператор-функцию H : J → L(X), где X - некоторое

линейное конечномерное или гильбертово пространство и J ⊆ R - некоторый промежуток.

Оператор H(t) ∈ L(X) (t ∈ J), являющийся самосопряжённым при каждом t ∈ J, будем на-

зывать просто самосопряжённым. По аналогии с определениями из [17, с. 50, 51, 209] введём

следующие определения. Самосопряжённый оператор H(t) ∈ L(X) (t ∈ J) называется поло-

жительным, если (H(t)x, x) > 0 для всех t ∈ J, x = 0. Самосопряжённый оператор H(t)

называется положительно определённым или равномерно положительным, если существует

константа H₀ > 0 такая, что (H(t)x, x) ≥ H₀∥x∥² для всех t, x.

Оператор-функция H : J → L(X) называется самосопряжённой, если оператор H(t) яв-

ляется самосопряжённым. Самосопряжённая оператор-функция H : J → L(X) называется

положительной, если оператор H(t) положителен, и положительно определённой или рав-

номерно положительной, если оператор H(t) положительно определён.

Если X - линейное конечномерное пространство и самосопряжённый оператор H ∈ L(X)

является стационарным и положительным (т.е. (Hx, x) > 0 при всех x = 0), то он является

также положительно определённым (равномерно положительным): (Hx, x) ≥ H₀∥x∥², где

H₀ = inf (Hx,x) > 0 [17]. Для нестационарного оператора H(t) можно брать

∥x∥=1

H₀ = inf

(H(t)x, x).

∥x∥=1

t∈[t₊,∞)

Следуя [13], рассмотрим дифференциальные неравенства

v^′ ≤ χ(t,v),

(1.23)

v^′ ≥ χ(t,v),

(1.24)

где χ ∈ C([t₊, ∞) × (0, ∞), R) (в дальнейшем нас будут интересовать только положительные

скалярные функции v ∈ C¹([t₊, ∞), (0, ∞)), удовлетворяющие одному из этих неравенств).

Если функция χ(t, v) имеет вид

χ(t, v) = k(t)U(v),

где k ∈ C([t₊, ∞), R) и U ∈ ∫(0, ∞) (т.е. U ∈ C((0, ∞), (0, ∞))), то верны следующие утвер-

∞

ждения [13, с. 132-133]: если

(U(v))-1 dv = ∞ (v₀ > 0 - некоторая константа), то неравен-

v₀

∫тво (1.23) не имеет пол∫жительных решений v(t) с конечным временем определения; если

∞

(U(v))-1 dv = ∞ и

k(t) dt < ∞ (t₀ ≥ t₊ - некоторое число), то неравенство (1.23)

v₀

t₀

∫_∞

не имеет положительных неограниченных при t ≥ t₊ решений; если

(U(v))-1 dv < ∞ и

∫_∞

v₀

k(t) dt = ∞, то неравенство (1.24) не имеет положительных неограниченно продолжаемых

t₀

решений (т.е. решений, определённых на всём промежутке [t₊, ∞)).

Используя дифференциальные неравенства вида (1.23), (1.24), Ж. Ла-Салль получил усло-

вия неограниченной продолжаемости решений, устойчивости и неустойчивости (решения име-

ют конечное время определения) по Лагранжу ОДУ x^′ = f(t, x) [13]. Соответствующие опреде-

ления для (явного) ОДУ приведены в [13]. Ниже даны соответствующие определения для ДАУ.

2. Существование, единственность и ограниченность глобальных решений ДАУ.

Определение 2.1. Решение x(t) задачи Коши (1.1), (1.3) называется глобальным или

неограниченно продолжаемым, если оно существует на всём промежутке [t₀,∞). Решение x(t)

задачи Коши (1.1), (1.3) называется устойчивым по Лагранжу, если оно является глобальным

и ограниченным, т.е. x(t) существует на [t₀, ∞) и sup

∥x(t)∥ < ∞.

t∈[t₀,∞)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ФИЛИПКОВСКАЯ

Определение 2.2. Решение x(t) задачи Коши (1.1), (1.3) имеет конечное время определе-

ния, если оно существует на некотором конечном интервале [t₀,T) и неограниченно на нём,

т.е. существует число T > t₀ (T < ∞) такое, что lim

∥x(t)∥ = ∞. Решение x(t) зада-

t→T -0

чи Коши (1.1), (1.3) называется неустойчивым по Лагранжу, если оно имеет конечное время

определения.

Если решение неустойчиво по Лагранжу, то также говорят, что оно “взрывается” или “ухо-

дит на бесконечность” за конечный промежуток времени.

Определение 2.3. Уравнение (1.1) называется устойчивым по Лагранжу для начальной

точки (t₀,x₀), если для этой начальной точки решение задачи Коши (1.1), (1.3) устойчиво по

Лагранжу.

Уравнение (1.1) устойчиво по Лагранжу, если каждое решение задачи Коши (1.1), (1.3)

устойчиво по Лагранжу (т.е. уравнение устойчиво по Лагранжу для каждой согласованной

начальной точки).

Определение 2.4. Уравнение (1.1) называется неустойчивым по Лагранжу для началь-

ной точки (t₀, x₀), если для этой начальной точки решение задачи Коши (1.1), (1.3) неустой-

чиво по Лагранжу.

Уравнение (1.1) неустойчиво по Лагранжу, если каждое решение задачи Коши (1.1), (1.3)

неустойчиво по Лагранжу.

Аналогичные определения формулируются для ДАУ (1.2) (задачи Коши (1.2), (1.3)).

2.1. Глобальная разрешимость ДАУ. В дальнейшем через U^cR(0) будем обозначать

множество {z ∈ Rⁿ | ∥z∥ ≥ R} (R > 0).

Теорема 2.1 (глобальная разрешимость ДАУ (1.1)). Пусть f

∈ C([t₊,∞) × Rⁿ,Rⁿ),

∂f/∂x ∈ C([t₊,∞)×Rⁿ,L(Rⁿ)), A,B ∈ C¹([t₊,∞),L(Rⁿ)), пучок λA(t)+B(t) удовлетворяет

условию (1.4), где C₂ ∈ C¹([t₊, ∞), (0, ∞)), и выполнены следующие условия:

1) для каждых t ∈ [t₊, ∞), xp1 (t) ∈ X₁(t) существует единственный xp2 (t) ∈ X₂(t)

такой, что

(t, xp1 (t) + xp2 (t)) ∈ Lt+ ;

(2.1)

2) для каждых t_∗ ∈ [t₊, ∞), x∗p1 (t_∗) ∈ X₁(t_∗), x∗p2 (t_∗) ∈ X₂(t_∗) таких, что

(t_∗, x^∗p

(t_∗) + x^∗p

(t_∗)) ∈ Lt+ ,

оператор Φt∗,x∗p

(t∗),xp2 (t∗),определённыйкак

[

]

∂

[Q₂(t_∗)f(t_∗, x^∗p

(t_∗) + x^∗p

(t_∗))] - B(t_∗) P₂(t_∗): X₂(t_∗) → Y₂(t_∗),

(2.2)

Φt∗,x∗p

(t∗),xp2 (t∗) =

∂x

обратим;

3) существ∫ют функция k ∈ C([t+, ∞), R), функция U ∈ C(0, ∞), удовлетворяющая

∞

соотношению

(U(v))-1 dv = ∞ (v₀ > 0 - некоторая константа), число R > 0 и положи-

v₀

тельно определённая функция V ∈ C¹([t₊, ∞) × U^cR(0), R) такие, что

3.1) V (t, z) → ∞ равномерно по t на каждом конечном полуинтервале [a, b) ⊂ [t₊, ∞)

при ∥z∥ → ∞;

3.2) для всех t ∈ [t₊, ∞), xp1 (t) ∈ X₁(t), xp2 (t) ∈ X₂(t) таких, что (t, xp1 (t) + xp2 (t)) ∈

∈ Lt+ и ∥xp1(t)∥ ≥ R, справедливо неравенство

V ′_(1.14)(t,xp1(t)) ≤ k(t)U(V (t,xp1(t))),

(2.3)

где V′(1.14)(t, xp1 (t)) - производная функции V в силу уравнения (1.14) (где xp1 (t) = z(t)):

∂V

⁽∂V

V ′_(1.14)(t,xp1(t)) =

(t, xp1 (t)) +

(t, xp1 (t)), [P′1(t) - G-1(t)Q₁(t)[A^′(t) + B(t)]]xp1 (t) +

∂t

∂z

)

+ G-1(t)Q₁(t)f(t,xp1(t) + xp2(t))

(2.4)

Тогда для каждой начальной точки (t₀, x₀) ∈ Lt+ существует единственное глобальное

решение задачи Коши (1.1), (1.3).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДАУ

Доказательство. Как показано выше, ДАУ (1.1) эквивалентно системе (1.12), (1.13) или

(1.14), (1.15). Введём отображения Π, F ∈ C([t₊, ∞)×Rⁿ ×Rⁿ, Rⁿ), определив их равенствами

Π(t, z, u) = [P′1(t) - G-1(t)Q₁(t)[A^′(t) + B(t)]]P₁(t)z + G-1(t)Q₁(t)f(t, P₁(t)z + P₂(t)u),

(2.5)

F (t, z, u) = G-1(t)Q₂(t)[f(t, P₁(t)z + P₂(t)u) - A^′(t)P₁(t)z] - u.

(2.6)

Эти отображения имеют непрерывные частные производные первого порядка по z и по u на

[t₊, ∞) × Rⁿ × Rⁿ. Запишем эти частные производные для отображения F (t, z, u) (заметим,

что Q₂(t)A^′(t) = Q₂(t)A^′(t)P₁(t)):

∂

F (t, z, u) = G-1(t)

[Q₂(t)f(t, P₁(t)z + P₂(t)u)]P₁(t) - G-1(t)Q₂(t)A^′(t),

(2.7)

∂z

∂x

∂

F (t, z, u) = G-1(t)

[Q₂(t)f(t, P₁(t)z + P₂(t)u)]P₂(t) - I_Rn =

∂u

∂x

= G-1(t)Φ_t,P

(2.8)

1(t)z,P2(t)uP2(t)-P1(t),

где Φt,P1(t)z,P₂(t)u - оператор (2.2), и обозначим

Φ_t,z,u = Φ_t,P

1(t)z,P2(t)u.

Рассмотрим систему

z^′(t) = Π(t,z(t),u(t)),

(2.9)

F (t, z(t), u(t)) = 0.

(2.10)

Для дальнейших рассуждений нам понадобятся две леммы.

Лемма 2.1. Если функция x(t) является решением ДАУ (1.1) на [t₀, t₁) и удовлетворяет

начальному условию (1.3), то функции z(t) = P₁(t)x(t), u(t) = P₂(t)x(t) являются решением

системы (2.9), (2.10) на [t0, t1) и удовлетворяют начальным условиям z(t0) = P1(t0)x0,

u(t₀) = P₂(t₀)x₀ и включениям z ∈ C¹([t₀, t₁), Rⁿ), u ∈ C([t₀, t₁), Rⁿ).

Обратно, если функции z ∈ C¹([t₀, t₁), Rⁿ), u ∈ C([t₀, t₁), Rⁿ) являются решением систе-

мы (2.9), (2.10) на [t₀,t₁) и удовлетворяют начальным условиям z(t₀) = P₁(t₀)x₀, u(t₀) =

= P₂(t₀)x₀, то P₁(t)z(t) = z(t), P₂(t)u(t) = u(t) и функция x(t) = z(t) + u(t) является

решением ДАУ (1.1) на [t₀,t₁) и удовлетворяет начальному условию (1.3).

Доказательство. Пусть функция x(t) является решением ДАУ (1.1) на [t₀, t₁) и удо-

влетворяет (1.3). Заметим, что (t₀, x₀) ∈ Lt+ , так как ДАУ (1.1) эквивалентно системе (1.10),

(1.11) и при t = t₀ (тогда x(t₀) = x₀) выполняется равенство (1.11) (замечание 1.2). Поскольку

ДАУ (1.1) эквивалентно системе (1.12), (1.13), то функции z(t) = P₁(t)x(t), u(t) = P₂(t)x(t),

являются решением системы (1.12), (1.13) на [t₀, t₁) и, следовательно, решением системы (2.9),

(2.10). Очевидно, что z(t₀) = P₁(t₀)x₀ и u(t₀) = P₂(t₀)x₀. Гладкость функций z(t), u(t) сле-

дует из гладкости функции x(t) и проекторов P_i(t), i=1, 2.

Пусть теперь функции z ∈ C¹([t₀, t₁), Rⁿ), u ∈ C([t₀, t₁), Rⁿ) являются решением системы

(2.9), (2.10) на [t0, t1) и z(t0) = P1(t0)x0, u(t0) = P2(t0)x0. Очевидно, что (t0,x0) ∈ Lt+.

Умножив уравнение (2.10) на P₁(t) и на P₂(t), будем иметь P₁(t)u(t) ≡ 0 и P₂(t)u(t) ≡ u(t).

Умножив уравнение (2.9) на P₂(t), получим, что z(t) удовлетворяет уравнению P₂(t)z^′(t) =

= P₂(t)P′1(t)P₁(t)z(t). Так как P₂(t)z^′(t) = [P₂(t)z(t)]^′ - P′2(t)z(t), P₂(t)P′1(t) = -P′2(t)P₁(t) и

z(t₀) ∈ X₁(t₀), то функция P₂(t)z(t) удовлетворяет уравнению [P₂(t)z(t)]^′ = P′2(t)[P₂(t)z(t)] и

начальному условию P₂(t₀)z(t₀) = 0. Следовательно, P₂(t)z(t) ≡ 0 и, значит, P₁(t)z(t) ≡ z(t).

Таким образом, функция x(t) = z(t) + u(t) такова, что P₁(t)x(t) = z(t) и P₂(t)x(t) = u(t).

Следовательно, функция x(t) = z(t)+u(t) является решением системы (1.12), (1.13) на [t₀, t₁)

и x(t₀) = x₀. Поэтому она является решением ДАУ (1.1) на [t₀,t₁) и удовлетворяет условию

(1.3). Лемма доказана.

В доказательстве леммы 2.1 показано, что если u(t) ∈ Rⁿ удовлетворяет равенству (2.10),

т.е. F (t, z(t), u(t)) = 0, то u(t) = P₂(t)u(t), т.е. u(t) ∈ X₂(t).

Лемма 2.2. Для каждых t ∈ [t₊, ∞), z ∈ Rⁿ существует единственный u ∈ X₂(t)

такой, что

F (t, z, u) = 0.

(2.11)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ФИЛИПКОВСКАЯ

Доказательство. Заметим, что F (t, z, u) = F (t, P₁(t)z, u) для любого z ∈ Rⁿ и что

(t, xp1 (t) + xp2 (t)) ∈ Lt+ тогда и только тогда, когда t, xp1 (t), xp2 (t) удовлетворяют урав-

нению (1.15) или, что то же самое, t, z(t) = xp1 (t), u(t) = xp2 (t) удовлетворяют уравнению

(2.10) (т.е. F (t, xp1 (t), xp2 (t)) = 0). Значит в силу условия 1) для каждых t ∈ [t₊, ∞) и z ∈ Rⁿ

существует единственный u = xp2 (t) ∈ X₂(t) такой, что (t, P₁(t)z+u) ∈ Lt+ , т.е. F (t, z, u) = 0.

Лемма доказана.

Вернёмся к доказательству теоремы. Возьмём произвольную начальную точку (t₀, x₀) ∈

∈ Lt+ и любые фиксированные t_∗ ∈ [t₀,∞), z_∗ ∈ Rⁿ, где z_∗ = P₁(t_∗)x₀ при t_∗ = t₀.

По лемме 2.2 существует единственный u_∗ ∈ X₂(t_∗) (u_∗ = P₂(t_∗)x₀ при t_∗ = t₀) такой,

что F (t_∗, z_∗, u_∗) = 0. Поскольку в силу условия 2) операторΦt,z,u обратим для каждой точки

(t, z, u) = (t_∗, z_∗, u_∗) такой, что u_∗ ∈ X₂(t_∗) и F (t_∗, z_∗, u_∗) = 0 (т.е. (t_∗, P₁(t_∗)z_∗ + u_∗) ∈ Lt0 ),

то для таких (t, z, u) = (t_∗, z_∗, u_∗) оператор

∂

Ψ_t,z,u =

F (t, z, u) = G-1(t)Φt,z,uP₂(t) - P₁(t) ∈ L(Rⁿ)

(2.12)

∂u

имеет обратный [Ψ_t,z,u]-1 = [Φt,z,u]-1G(t)P₂(t) - P₁(t) ∈ L(Rⁿ).

Воспользовавшись теоремами о неявной функции, получаем следующее утверждение: су-

ществуют промежуток Uδ1 (t_∗) = {t ∈ (t₀, ∞) : |t - t_∗| < δ₁} (Uδ1 (t₀) = [t₀, t₀ + δ₁) при t_∗ = t₀),

окрестности Uδ2 (z_∗) ⊂ Rⁿ и Uδ3 (u_∗) ⊂ Rⁿ точек z_∗ и u_∗ соответственно и единственная функ-

ция ν(t, z) ∈ C(Uδ1 (t_∗) × Uδ2 (z_∗), Uδ3 (u_∗)), непрерывно дифференцируемая по z и такая, что

F (t, z, ν(t, z)) = 0 для (t, z) ∈ Uδ1 (t_∗) × Uδ2 (z_∗), и ν(t_∗, z_∗) = u_∗. Поскольку F (t, z, ν(t, z)) = 0,

т.е. функция u = ν(t, z) является решением уравнения (2.11), то ν(t, z) = P₂(t)ν(t, z) ∈ X₂(t)

для каждого (t, z) ∈ Uδ1 (t_∗) × Uδ2 (z_∗). Таким образом, доказано, что в некоторой окрестности

U (t_∗, z_∗) каждой точки (t_∗, z_∗) ∈ [t₀, ∞) × Rⁿ (где z_∗ = P₁(t_∗)x₀ при t_∗ = t₀) существует

единственное решение u = νt∗,z∗ (t, z) уравнения (2.11), непрерывное по (t, z), непрерывно

дифференцируемое по z и такое, что νt∗,z∗ (t, z) ∈ X2(t) для каждой точки (t, z) ∈ U(t∗, z∗).

Введём функцию η : [t₀, ∞) × Rⁿ → Rⁿ и определим η(t, z) = νt∗,z∗ (t, z) в точке (t, z) =

= (t_∗, z_∗) для каждой точки (t_∗, z_∗) ∈ [t₀, ∞) × Rⁿ. Тогда функция u = η(t, z) непрерывна

по (t, z), непрерывно дифференцируема по z, является решением уравнения (2.11) и η(t, z) ∈

∈ X₂(t) для (t,z) ∈ [t₀,∞) × Rⁿ. Докажем единственность введённой функции. Допустим,

существует функция u = μ(t, z), обладающая в некоторой точке (t, z) ∈ [t₀, ∞) × Rⁿ теми

же свойствами, что и функция u = η(t, z). По лемме 2.2 существует единственный вектор

ũ ∈ X₂(t) такой, что (t,z,u) = (t, z, ũ) удовлетворяет уравнению (2.11). Значит, η(t, z) =

= μ(t, z) = ũ. Аналогично доказывается, что если точка (t, z) принадлежит пересечению

окрестностей U¹(t¹, z¹) и U²(t², z²) некоторых точек (t¹, z¹), (t², z²) ∈ [t₀, ∞)×Rⁿ, в которых

определены соответственно решения u = ν_t1_,z1 (t, z) и u = ν_t2_,z2 (t, z) уравнения (2.11), то

(t, z) ∈ [t₀, ∞) × Rⁿ,

ν_t1,z1(t, z) = νt2,z2(t, z) = η(t, z) = ũ. Это выполнено для любой точки

следовательно, существует единственная функция u = η(t, z) с указанными выше свойствами.

Подставим функцию u = η(t, z) в (2.5) и обозначимΠ(t, z) = Π(t, z, η(t, z)). Тогда уравне-

ние (2.9) примет вид

z^′(t) =Π(t,z(t)).

(2.13)

Вследствие свойств функций η и Π функция

Π непрерывна по (t, z) и непрерывно диф-

ференцируема по z на [t₀, ∞) × Rⁿ. Следовательно, существует единственное решение z =

= ζ(t) уравнения (2.13) на некотором промежутке [t₀,α), удовлетворяющее начальному усло-

вию ζ(t₀) = z₀, где z₀ = P₁(t₀)x₀. Решение ζ(t) может быть продолжено на максимальный

промежуток [t₀, ω) (ω ≤ ∞) существования (т.е. до непродолжаемого решения), и это про-

должение единственно (см., например, [18, с. 16]).

Поскольку функции z = ζ(t) и u = η(t, ζ(t)) являются решением системы (2.9), (2.10) на

[t₀, ω) и удовлетворяют начальным условиям ζ(t₀) = z₀ = P₁(t₀)x₀, η(t₀, z₀) = P₂(t₀)x₀, то

по лемме 2.1 ζ(t) = P₁(t)ζ(t) ∈ X₁(t), η(t, ζ(t)) = P₂(t)η(t, ζ(t)) ∈ X₂(t) для всех t ∈ [t₀, ω),

а функция x(t) = ζ(t) + η(t, ζ(t)) является решением ДАУ (1.1) на [t₀, ω) и удовлетворяет

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДАУ

начальному условию (1.3). Из единственности решения u = η(t, z) уравнения (2.11) и един-

ственности решения z = ζ(t) уравнения (2.13) следует единственность решения z = ζ(t),

u = η(t,ζ(t)) системы (2.9), (2.10) и, следовательно, решения x(t) ДАУ (1.1) на [t₀,ω).

В силу теорем о продолжении решения либо ω = ∞, т.е. максимальный интервал существо-

вания решения z = ζ(t) уравнения (2.13) совпадает с [t₀, ∞), либо ω < ∞ и lim

∥ζ(t)∥ = ∞,

t→ω-0

т.е. решение имеет конечное время определения [t₀, ω). Докажем, что ω = ∞. Напомним, что

ζ(t) = P₁(t)x(t) = xp1 (t), η(t, ζ(t)) = P₂(t)x(t) = xp2 (t), где x(t) = ζ(t) + η(t, ζ(t)) - реше-

ние ДАУ (1.1), а также, что ДАУ (1.1) эквивалентно системе (1.14), (1.15) и соответственно

функции xp1 (t) = ζ(t), xp2 (t) = η(t, ζ(t)) являются решением системы (1.14), (1.15) (z =

= ζ(t) - решение уравнения (2.13), совпадающего с уравнением (1.14) при xp1(t) = P₁(t)z(t),

xp2 (t) = η(t,z(t))). Допустим, что ω < ∞ (значит, lim

∥ζ(t)∥ = ∞). Тогда существует

t→ω-0

t1 ∈ (t0, ω) такое, что при каждом t ∈ [t1, ω) решение ζ(t) содержится в множестве E =

= {x ∈ Rⁿ | (t, x) ∈ Lt0 ,

∥P₁(t)x∥ ≥ R₀ > R} ⊂ U^cR(0). В силу условия 3) для всех t ≥ t₁

производная функции V в силу уравнения (2.13) удовлетворяет неравенству

(

)

∂V

V ′_(2.13)(t,ζ(t)) =

(t, ζ(t)) +

(t, ζ(t)),Π(t, ζ(t))

≤ k(t)U(V (t,ζ(t))).

(2.14)

∂t

∂z

Значит, при t ≥ t₁ функция v(t) = V (t, ζ(t)) является положительным решением дифферен-

циального неравенства

v^′ ≤ k(t)U(v).

(2.15)

По предположению решение ζ(t) имеет конечное время определения, следовательно, и

функция v(t) имеет конечное время определения. С другой стороны, поскольку, согласно

∈ C(0,∞) справедливо соотношение

∫словию 3), k ∈ C([t+,∞),R), а для функции U

^∞(U(v))-1 dv = ∞, то неравенство (2.15) не имеет положительных решений с конечным

v₀

временем определения, что противоречит предположению. Следовательно, ω = ∞ и решение

ζ(t) является глобальным.

Таким образом, доказано, что функция x(t) = ζ(t) + η(t, ζ(t)) является единственным

решением задачи Коши (1.1), (1.3) на [t0, ∞). Поскольку (t0, x0) - произвольная точка из

Lt+ , то существование единственного глобального решения доказано для каждой начальной

точки (t₀, x₀) ∈ Lt+ . Теорема доказана.

Аддитивным разложением единицы в s-мерном линейном пространстве Z называется

система из s попарно дизъюнктных проекторов {Θ_k}sk=1 (проекторы одномерны), Θ_k ∈ L(Z),

которые в сумме дают тождественный (единичный) оператор I_Z в Z, т.е. Θ_iΘ_j = δ_ij Θ_i и

∑_s

I_Z =

Θ_k [9]. Аддитивное разложение единицы порождает разложение Z = Z₁ + ... +Z_s

k=1

пространства Z в прямую сумму одномерных подпространств Z_k = Θ_kZ, а система векторов

{z_k ∈ Z}sk=1 таких, что z_k = 0 и z_k = Θ_kz_k, образует базис в Z.

Ниже дано определение базисной обратимости, введённое в [9].

Определение 2.5. Оператор-функция Φ: D → L(W,Z), где W, Z - s-мерные линейные

пространства и D ⊂ W, называется базисно обратимой на отрезке [ ŵ, w] ⊂ D (на промежутке

J ⊂ D), если для некоторого аддитивного разложения единицы {Θ_k}sk=1 в пространстве Z и

∑_s

для любого набора элементов {w^k}sk=1 ⊂ [ ŵ, w] ({w^k}sk=1 ⊂ J) оператор Λ =

Θ_kΦ(w^k) ∈

k=1

∈ L(W,Z) имеет обратный Λ-1 ∈ L(Z,W).

Очевидно, что из базисной обратимости отображения Φ на промежутке J ⊂ D следует

обратимость Φ на J, т.е. для каждой точки w^∗ ∈ J её образ Φ(w^∗) при отображении Φ

является обратимым оператором. Обратное утверждение не верно (см. [10, пример 2.1]), кроме

случая, когда пространства W, Z одномерны.

Отметим, что свойство базисной обратимости не зависит от выбора аддитивного разложе-

ния единицы или базиса в Z.

Если в условии 2) теоремы 2.1 заменить требование обратимости на требование базисной

обратимости, то в условии 1) не нужно требовать единственности xp2 (t) (см. формулировку

теоремы ниже).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ФИЛИПКОВСКАЯ

Теорема 2.2 (глобальная разрешимость ДАУ (1.1)). Пусть f

∈ C([t₊,∞) × Rⁿ,Rⁿ),

∂f/∂x ∈ C([t₊,∞)×Rⁿ,L(Rⁿ)), A,B ∈ C¹([t₊,∞),L(Rⁿ)), пучок λA(t)+B(t) удовлетворяет

условию (1.4), где C₂ ∈ C¹([t₊, ∞), (0, ∞)), и выполнены следующие условия:

1) для каждых t ∈ [t₊, ∞), xp1 (t) ∈ X₁(t) существует xp2 (t) ∈ X₂(t) такой, что верно

включение (2.1);

2) для каждых t_∗ ∈ [t₊, ∞), x∗p1 (t_∗) ∈ X₁(t_∗), xip2 (t_∗) ∈ X₂(t_∗), i = 1, 2, таких, что

(t_∗, x∗p1 (t_∗) + xip2 (t_∗)) ∈ Lt+ , i = 1, 2, оператор-функция Φt∗,x∗p

(t∗)(^xp2(t∗)),определённаякак

Φt∗,x∗p

(t∗) :^X2(t∗)→L(X2(t∗),Y2(t∗)),

[

]

(2.16)

∂

[Q₂(t_∗)f(t_∗, x∗p1 (t_∗) + xp2 (t_∗))] - B(t_∗) P₂(t_∗),

Φt∗,x∗p

(t∗)(^xp2(t∗⁾⁾⁼

∂x

базисно обратима на [x1p2 (t_∗), x2p2 (t_∗)];

3) выполняется условие 3) теоремы 2.1.

Тогда для каждой начальной точки (t₀, x₀) ∈ Lt+ существует единственное глобальное

решение задачи Коши (1.1), (1.3).

Замечание 2.1. В случае, если пространство X₂(t) одномерно, условие 2) теоремы 2.2

эквивалентно условию 2) теоремы 2.1.

Доказательство теоремы 2.2. Как и в доказательстве теоремы 2.1, рассмотрим отобра-

жения (2.5), (2.6) и систему (2.9), (2.10). Частные производные по z и по u отображения

F (t, z, u) (2.6) имеют вид (2.7), (2.8), где в (2.8) оператор Φt,P1(t)z,P₂(t)u заменён на оператор-

функцию Φt,P1(t)z (P2(t)u) (см. (2.16)), т.е.

∂

F (t, z, u)=G-1(t)

[Q₂(t)f(t, P₁(t)z+P₂(t)u)]P₂(t)-I_Rn=G-1(t)Φ_t,P

1(t)z (^P2(t)u)P2(t)-P1(t).

∂u

∂x

ОбозначимΦt,z(u) = Φ_t,P

1(t)z (^P2(t)u)ивведёмоператор-функцию

∂

Ψ_t,z : Rⁿ → L(Rⁿ), Ψ_t,z(u) =

F (t, z, u) = G-1(t)Φt,z(u)P₂(t) - P₁(t).

(2.17)

∂u

В силу базисной обратимости оператор-функции (2.16) для любых фиксированных t_∗ ∈[t₊, ∞),

z_∗ ∈ Rⁿ, u^i∗ ∈ X₂(t_∗), i = 1,2, таких, что F(t_∗,z_∗,u^i∗) = 0 (т.е. (t_∗,P₁(t_∗)z_∗ + u^i∗) ∈ Lt+ ), опе-

ратор-функцияΦt∗,z∗ является базисно обратимой на [u^∗, u^∗]. Это свойство понадобится для

Φ_t

доказательства леммы 2.2 (см. ниже). Из базисной обратимости оператор-функции

∗,z∗(u)

следует также, что для любых фиксированных t_∗ ∈ [t₊, ∞), z_∗ ∈ Rⁿ, u_∗ ∈ X₂(t_∗) таких, что

F (t_∗, z_∗, u_∗) = 0, существует обратный оператор

[Φt∗,z∗(u∗)]-1 и, следовательно, для таких

точек (t_∗, z_∗, u_∗) оператор Ψt∗,z∗ (u∗) имеет обратный

[Ψt∗,z∗ (u∗)]-1 = [Φt∗,z∗ (u∗)]-1G(t∗)P2(t∗) - P1(t∗) ∈ L(Rⁿ).

Леммы 2.1 и 2.2 остаются в силе, однако доказательство леммы 2.2 меняется.

Докажем лемму 2.2, исходя из условий теоремы 2.2. В силу условия 1) (здесь не требуется

существование единственного xp2 (t), в отличие от условия 1) теоремы 2.1) для каждых t ∈

∈ [t₊, ∞), z ∈ Rⁿ существует u ∈ X₂(t), при котором (t, P₁(t)z + u) ∈ Lt+ , т.е. F (t, z, u) = 0.

Докажем единственность такого элемента u. Рассмотрим произвольные фиксированные t_∗ ∈

∈ [t₊, ∞), z_∗ ∈ Rⁿ, u^i∗ ∈ X₂(t_∗), i = 1, 2, такие, что F (t_∗, z_∗, u^i∗) = 0. Базисная обратимость

оператор-функции

Φ_t

[u1∗, u2∗] означает, что для любого набора точек {uk}dk=1 ⊂

∗,z∗(u) на

⊂ [u1∗, u2∗] оператор

∑

Λ₁ =

Θ_k(t_∗)Φt∗,z∗(uk) ∈ L(X2(t∗),Y2(t∗)),

(2.18)

k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДАУ

где

{Θk(t_∗)}dk=1 - некоторое аддитивное разложение единицы в Y₂(t_∗) и d = dimY₂(t) =

= dimX₂(t), t ∈ [t₊,∞) (см. замечание 1.1), имеет обратный Λ-11 ∈ L(Y₂(t_∗),X₂(t_∗)). По-

скольку оператор Q₂(t_∗) (суженный на Y₂(t_∗)) является тождественным в Y₂(t_∗) (так как

∑_d

Q₂(t_∗)y_∗ = y_∗ при любом y_∗ ∈ Y₂(t_∗)), то выберем

{Θk(t_∗)}dk=1 так, чтобы

Θ_k(t_∗) =

k=1

= Q₂(t_∗)|Y2(t∗),т.е.{Θk(t∗)}^k=1 - аддитивное разложение единицы Q2(t∗)|Y2(t∗) в Y2(t∗). Тог-

да система

{Θ_k(t_∗)}dk=1 проекторов Θ_k(t_∗) = G-1(t_∗)Θk(t_∗)G(t_∗)|_X

2(t∗) будетаддитивным

∑_d

(

Θ_k(t_∗)

разложением единицы P₂(t_∗)|X2(t∗)вX2(t∗⁾

k=1

= P₂(t_∗)|X2(t∗)).Заметим,что

F (t_∗, z_∗, u_∗) = P₂(t_∗)F (t_∗, z_∗, u_∗) при любых t_∗ ∈ [t₊, ∞), z_∗ ∈ Rⁿ, u_∗ ∈ X₂(t_∗). Проекции

Fk(t∗, z∗, u∗) = Θk(t∗)F (t∗, z∗, u∗) = Θk(t∗)P2(t∗)F (t∗, z∗, u∗), где u∗ ∈ X2(t∗), являются функ-

циями со значениями в одномерных пространствах Θ_k(t_∗)X₂(t_∗), изоморфных R. Согласно

формуле конечных приращений существует точка u_k ∈ [u1∗, u2∗] такая, что

∂

Fk(t∗, z∗, u^∗) - Fk(t∗, z∗, u^∗) =

Fk(t∗, z∗, uk)(u^∗ - u^∗) =

∂u

∂

= Θ_k(t_∗)P₂(t_∗)

F (t_∗, z_∗, u_k)(u2∗ - u1∗) = Θ_k(t_∗)P₂(t_∗)Ψt∗,z∗ (uk)(u^∗ - u^∗), k = 1, d.

∂u

Суммируя полученные выражения по k и учитывая равенства F (t_∗, z_∗, u^i∗) = 0 (i = 1, 2),

получаем

∑

Θ_k(t_∗)P₂(t_∗)Ψt∗,z∗(uk)(u^∗ - u^∗) = G-1(t∗)

Θ_k(t_∗)Φt∗,z∗(uk)(u^∗ - u^∗) =

k=1

= G-1(t_∗)Λ₁(u2∗ - u1∗) = 0.

Поскольку существует оператор Λ-11, то u2∗ = u1∗. Лемма доказана.

Дальнейшее доказательство совпадает с доказательством теоремы 2.1 (см. часть доказа-

тельства после леммы 2.2). Теорема доказана.

Теорема 2.3 (глобальная разрешимость ДАУ (1.2)). Пусть f ∈ C¹([t₊, ∞) × Rⁿ, Rⁿ),

A, B ∈ C¹([t₊, ∞), L(Rⁿ)), пучок λA(t) + B(t) удовлетворяет условию (1.4), в котором C₂ ∈

∈ C¹([t₊,∞),(0,∞)), и выполнены следующие условия:

1) для каждых t ∈ [t₊, ∞), xp1 (t) ∈ X₁(t) существует единственный xp2 (t) ∈ X₂(t)

такой, что

(t, xp1 (t) + xp2 (t)) ∈Lt+ ;

(2.19)

2) для каждых t_∗ ∈ [t₊, ∞), x∗p1 (t_∗) ∈ X₁(t_∗), x∗p2 (t_∗) ∈ X₂(t_∗) таких, что

(t_∗, x^∗p

(t_∗) + x^∗p

(t_∗)) ∈Lt+ ,

оператор Φt∗,x∗p

(t∗),xp2 (t∗)

(2.2) обратим;

3) существ∫ют функция k ∈ C([t+, ∞), R), функция U ∈ C(0, ∞), удовлетворяющая

∞

соотношению

(U(v))-1 dv = ∞ (v₀ > 0 - некоторая константа), число R > 0 и положи-

v₀

тельно определённая функция V ∈ C¹([t₊, ∞) × U^cR(0), R) такие, что

3.1) V (t, z) → ∞ равномерно по t на каждом конечном полуинтервале [a, b) ⊂ [t₊, ∞)

при ∥z∥ → ∞;

3.2) для всех t ∈ [t₊, ∞), xp1 (t) ∈ X₁(t), xp2 (t) ∈ X₂(t) таких, что (t, xp1 (t) + xp2 (t)) ∈

∈ Lt+ и ∥xp1(t)∥ ≥ R, справедливо неравенство

V ′_(1.19)(t,xp1(t)) ≤ k(t)U(V (t,xp1(t))),

(2.20)

где V′(1.19)(t, xp1 (t)) - производная функции V в силу уравнения (1.19) (где xp1 (t) = z(t)):

∂V

⁽∂V

V ′_(1.19)(t,xp1(t)) =

(t, xp1 (t)) +

(t, xp1 (t)), G-1(t)[-B(t)xp1 (t) +

∂t

∂z

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ФИЛИПКОВСКАЯ

)

+ Q₁(t)f(t,xp1(t) + xp2(t))] + P′1(t)[xp1(t) + xp2(t)]

(2.21)

Тогда для каждой начальной точки (t₀, x₀) ∈Lt+ существует единственное глобальное

решение задачи Коши (1.2), (1.3).

Теорема 2.4 (глобальная разрешимость ДАУ (1.2)). Пусть f ∈ C¹([t₊, ∞) × Rⁿ, Rⁿ),

A, B ∈ C¹([t₊, ∞), L(Rⁿ)), пучок λA(t) + B(t) удовлетворяет условию (1.4), в котором C₂ ∈

∈ C¹([t₊,∞),(0,∞)), и выполнены следующие условия:

1) для каждых t ∈ [t₊, ∞), xp1 (t) ∈ X₁(t) существует xp2 (t) ∈ X₂(t) такой, что верно

включение (2.19);

2) для каждых t_∗ ∈ [t₊, ∞), x∗p1 (t_∗) ∈ X₁(t_∗), xip2 (t_∗) ∈ X₂(t_∗), i = 1, 2, таких, что

(t_∗, x∗p1 (t_∗) + xip2 (t_∗)) ∈Lt+ , i = 1, 2, оператор-функция Φ_t

(2.16) базисно об-

∗,xp1(t∗)(^xp2(t∗⁾⁾

ратима на [x1p2 (t_∗), x2p2 (t_∗)];

3) выполняется условие 3) теоремы 2.3.

Тогда для каждой начальной точки (t₀, x₀) ∈Lt+ существует единственное глобальное

решение задачи Коши (1.2), (1.3).

Доказательство сформулированных теорем о глобальной разрешимости для ДАУ (1.2) про-

водится аналогично доказательству соответствующих теорем для ДАУ (1.1).

Выше представлены теоремы о глобальной разрешимости полулинейных ДАУ без исполь-

зования глобальных условий Липшица и других подобных ограничений. Это позволяет рас-

ширить область применения данных теорем, поскольку полулинейные ДАУ, возникающие при

моделировании динамики реальных объектов и процессов, часто содержат нелинейные функ-

ции, не удовлетворяющие таким ограничениям. Отметим, что теоремы о глобальной разре-

шимости (на [t₀, ∞) или на произвольном отрезке [t₀, T ]) полулинейных ДАУ, содержащие

глобальные условия Липшица или другие подобные ограничения, известны (см., например, [1],

а также [19], где рассматривается автономное полуявное ДАУ). Как правило, эти условия на-

кладываются на “всю” нелинейную часть ДАУ (относительно фазовых переменных), причём

нелинейная “алгебраическая часть” удовлетворяет глобальному условию Липшица с констан-

той, меньшей единицы. Легко проверить, что в этом случае условия приведённых выше теорем

выполнены. Ниже показано, что в доказанных выше теоремах о глобальной разрешимости вме-

сто выполнения условий 1), 2) можно потребовать, чтобы нелинейная “алгебраическая часть”

ДАУ (для ДАУ (1.1) это нелинейная функция в уравнениях (1.12) или (1.15)) удовлетворяла

глобальному условию Липшица с константой меньшей единицы по xp2 (t).

Известны также теоремы о глобальной разрешимости, в которых требуется, чтобы нели-

нейная “алгебраическая часть” ДАУ не зависела от фазовой переменной (чтобы ДАУ своди-

лось к системе из явного нелинейного ДУ и линейного алгебраического уравнения). Подобные

ограничения в настоящей работе отсутствуют.

Утверждение 2.1. Теорема 2.1 останется справедливой, если вместо условий 1), 2) по-

требовать, чтобы существовала константа 0 ≤ α < 1 такая, что неравенство

∥G-1(t)Q₂(t)f(t, xp1 (t) + x1p

(t)) - G-1(t)Q₂(t)f(t, xp1 (t) + x2p

(t))∥ ≤ α∥x1p

(t) - x² (t)∥

(2.22)

p₂

верно для любых t ∈ [t₊, ∞), xp1 (t) ∈ X₁(t) и xip2 (t) ∈ X₂(t), i = 1, 2.

Замечание 2.2. Очевидно, что условие (2.22) можно заменить на следующее: существует

константа 0 ≤ α < 1 такая, что для любых t ∈ [t+,∞), xp1(t) ∈ X1(t) и xp2(t) ∈ X2(t)

выполняется неравенство



 ∂



G-¹(t)Q₂(t)f(t, xp1 (t) + xp2 (t))]P₂(t)

α.

(2.23)

≤

^∂x^[

Замечание 2.3. Утверждение, аналогичное утверждению 2.1, имеет место для теоремы 2.3

(условия (2.22) и (2.23) не меняются).

Доказательство утверждения. Обозначим

W (t, z, u) = G-1(t)Q₂(t)[f(t, P₁(t)z + P₂(t)u) - A^′(t)P₁(t)z]

(2.24)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДАУ

и запишем уравнение (2.11), т.е. F (t, z, u) = 0, где F (t, z, u) = W (t, z, u) - u (см. (2.6)), в виде

u = W(t,z,u).

(2.25)

Очевидно, что отображение W (t, z, u) непрерывно по (t, z, u) и имеет непрерывные частные

производные первого порядка по z и по u на [t₊, ∞) × Rⁿ × Rⁿ.

Заметим, что если для u выполняется (2.25) (или (2.11)), то P₁(t)u ≡ 0, т.е. u ∈ X₂(t), и

P₂(t)u = W(t,z,u) = W(t,z,P₂(t)u). Далее будем рассматривать отображение W(t,z,u) как

отображение W : [t₊, ∞)×Rⁿ ×X₂(t) → X₂(t). В силу условия (2.22) (которое можно заменить

на (2.23)) существует константа 0 ≤ α < 1 такая, что

∥W (t, z, u₁) - W (t, z, u₂)∥ ≤ α∥u₁ - u₂∥

(2.26)

для любых t ∈ [t₊, ∞), z ∈ Rⁿ, u_i ∈ X₂(t), i = 1, 2 (заметим, что W (t, z, u) = W (t, P₁(t)z, u)).

Следовательно, для каждых t ∈ [t₊, ∞) и z ∈ Rⁿ отображение W (t, z, u) является сжимаю-

щим по u в X₂(t). Несложно убедиться, что вследствие непрерывности f(t, x), G-1(t), Q₂(t),

A^′(t) и P_j(t), j = 1,2, при каждом u_∗ ∈ X₂(t_∗) отображение Wu∗(t,z) = W(t,z,u_∗) является

непрерывным по (t, z) для любой точки (t, z) ∈ [t₊, ∞) × Rⁿ. Следовательно, по теоремам

о неподвижной точке [18, с. 108, 110] существует единственная функция η : [t₊, ∞) × Rⁿ →

→ X₂(t) такая, что η(t,z) = W(t,z,η(t,z)), и η(t,z) непрерывна на [t₊,∞) × Rⁿ. Поскольку

функция u = η(t, z) является единственным решением уравнения (2.25), то она также явля-

ется единственным решением уравнения (2.11) (относительно u ∈ X₂(t)), и для любой точки

(t₀, x₀) ∈ Lt+ справедливо равенство η(t₀, P₁(t₀)x₀) = P₂(t₀)x₀.

Для частных производных первого порядка по z и по u отображения W (t, z, u) имеют

место равенства

∂

W (t, z, u) =

F (t, z, u)

∂z

(см. формулу (2.7)),

∂

W (t, z, u) = G-1(t)

[Q₂(t)f(t, P₁(t)z + P₂(t)u)]P₂(t) и

F (t, z, u) =

W (t, z, u) - I_Rn

∂u

∂x

∂u

(см. формулу (2.8)). Из (2.26) (так же, как из (2.23)) следует, что



 ∂



(t, z, u)

α<1

(2.27)

≤

^∂uW

для любых t ∈ [t₊, ∞), z ∈ Rⁿ, u ∈ X₂(t). Заметим, что P₂(t) является тождественным

оператором в X₂(t). Следовательно, в силу (2.27) получаем, что (по теореме об обратимости

оператора, близкого к тождественному) для каждых t ∈ [t₊, ∞), z ∈ Rⁿ, u ∈ X₂(t) суще-

ствует линейный непрерывный обратный оператор [∂W (t, z, u)/∂u - P₂(t)]-1 : X₂(t) → X₂(t) и

этот оператор непрерывен как оператор-функция по (t, z, u). Поскольку функция η(t, z) яв-

ляется решением уравнения W (t, z, u) - P₂(t)u = 0 (F (t, z, P₂(t)u) = 0) или W (t, z, u) - u = 0

(F (t, z, u) = 0 (см. (2.11))) относительно u ∈ X₂(t) (напомним, что если u удовлетворяет

(2.25) или (2.11), то u ∈ X₂(t)), то по теореме о дифференцируемости неявной функции она

непрерывно дифференцируема по z на [t₊, ∞) × Rⁿ. Кроме того, для каждых t ∈ [t₊, ∞),

z ∈ Rⁿ, u ∈ X₂(t) существует обратный оператор

[

]-1

[

]-1

∂

F (t, z, u)

W (t, z, u) - P₂(t) P₂(t) - P₁(t) ∈ L(Rⁿ),

∂u

непрерывный как оператор-функция по (t, z, u), и, следовательно, непрерывность по (t, z) и

непрерывная дифференцируемость по z неявно заданной функции η(t, z) могут быть уста-

новлены так же, как в доказательстве теоремы 2.1. Таким образом, функция η : [t₊, ∞) ×

× Rⁿ → X₂(t) непрерывна по (t,z) и непрерывно дифференцируема по z на [t₊,∞) × Rⁿ, а

u = η(t,z) является решением уравнения (2.11).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

3^∗

ФИЛИПКОВСКАЯ

Функция η(t, z) с такими же свойствами получена и в доказательстве теоремы 2.1 с ис-

пользованием условий 1), 2). В остальном доказательства данного утверждения и теоремы 2.1

аналогичны. Утверждение доказано.

Очевидно, что утверждение, аналогичное доказанному выше, имеет место для теоремы 2.2

и её условий 1), 2).

Заметим, что если условия утверждения 2.1 выполнены, то условия теорем 2.1 и 2.2 также

будут выполнены (это следует из доказательства утверждения). Таким образом, теоремы 2.1

и 2.2 накладывают более слабые ограничения на нелинейную часть ДАУ, чем утверждение 2.1.

2.2. Устойчивость по Лагранжу ДАУ (ограниченность решений).

Теорема 2.5 (устойчивость по Лагранжу ДАУ (1.1)). Пусть f ∈ C([t₊, ∞) × Rⁿ, Rⁿ),

∂f/∂x ∈ C([t₊,∞)×Rⁿ,L(Rⁿ)), A,B ∈ C¹([t₊,∞),L(Rⁿ)), пучок λA(t)+B(t) удовлетворяет

условию (1.4), где C₂ ∈ C¹([t₊, ∞), (0, ∞)), и выполнены условия 1), 2) теоремы 2.1 или 1),

2) теоремы 2.2, а также условие

∫_∞

3) существуют функции k ∈ C([t₊, ∞), R) и U ∈ C(0, ∞), для которых

k(t) dt <

∫_∞

<∞ и

(U(v))-1 dv = ∞ (v₀ > 0 - некоторая константа), число R > 0 и положительно

v₀

определённая функция V ∈ C¹([t₊,∞) × U^cR(0),R) такие, что

3.1) V (t, z) → ∞ равномерно по t на [t₊, ∞) при ∥z∥ → ∞;

3.2) для всех t ∈ [t₊, ∞), xp1 (t) ∈ X₁(t), xp2 (t) ∈ X₂(t) таких, что (t, xp1 (t) + xp2 (t)) ∈

∈ Lt+ и ∥xp1(t)∥ ≥ R, справедливо неравенство (2.3).

Пусть, кроме того, выполнено одно из следующих условий:

4.a) для всех (t, xp1 (t)+ xp2 (t)) ∈ Lt+ , ∥xp1 (t)∥ ≤ M < ∞ (M - произвольная константа),

выполнено неравенство

∥G-1(t)Q₂(t)[f(t, xp1 (t) + xp2 (t)) - A^′(t)xp1 (t)]∥ ≤ K_M < ∞,

(2.28)

где K_M = K(M) - некоторая константа;

4.b) для всех (t,xp1 (t)+xp2(t)) ∈ Lt+ , ∥xp1 (t)∥ ≤ M < ∞ (M - произвольная константа),

справедливо неравенство ∥xp2(t)∥ ≤ K_M < ∞, где K_M = K(M) - некоторая константа;

4.c) для каждого t_∗ ∈ [t₊,∞) существует

xp2(t_∗) ∈ X2(t∗) такой, что для каждых

x∗pi(t_∗) ∈ Xi(t∗), i = 1,2, для которых (t∗,x∗p1(t∗) + x∗p2(t∗)) ∈ Lt+, оператор-функция

Φt∗,x∗p

(t∗)(^xp2(t∗⁾⁾

(2.16) базисно обратима на (xp2 (t_∗),x∗p2 (t_∗)] и соответствующий обрат-

∑_d

ный оператор (т.е. оператор Λ-11 =[

Θ_k(t_∗)Φ_t

k=1

∗,xp1(t∗)(^xp2,k(t∗))]-1,обратныйкоператору

(2.18), где z_∗ =x∗p1 (t_∗), {u_k =xp2,k(t∗)}k=1 - произвольный набор элементов из (xp2 (t∗), xp2 (t∗)])

равномерно ограничен по t_∗, xp2 (t_∗) (по t_∗, xp2,k(t∗)) на [t+, ∞), (xp2(t∗),x∗p2(t∗)], а также

выполнены неравенства sup

∥xp2(t_∗)∥ < ∞ и

t∗∈[t+,∞)

sup

∥G-1(t)Q₂(t)[f(t, xp1 (t) + xp2 (t_∗)) - A^′(t)xp1 (t)]∥ < ∞

(2.29)

t∈[t₊,∞)

∥xp₁ (t)∥≤M<∞

(M - произвольная константа).

Тогда ДАУ (1.1) устойчиво по Лагранжу.

Доказательство. Так же, как и в доказательстве теоремы 2.1, доказываем, что z = ζ(t)

и u = η(t,ζ(t)) (ζ(t) ∈ X₁(t), η(t,ζ(t)) ∈ X₂(t), (t,ζ(t) + η(t,ζ(t))) ∈ Lt0 для всех t ∈

[t₀, ∞)) являются единственным решением системы (2.9), (2.10) на [t₀, ∞), удовлетворяющим

начальным условиям ζ(t₀) = P₁(t₀)x₀, η(t₀, ζ(t₀)) = P₂(t₀)x₀, где (t₀, x₀) ∈ Lt+ , и x(t) =

= ζ(t) + η(t,ζ(t)) является единственным решением задачи Коши (1.1), (1.3).

Докажем, что решение z = ζ(t) уравнения (2.13) ограничено на [t₀, ∞). Допустим, что

ζ(t) не ограничено на [t₀, ∞). Значит, существует последовательность {t_k}∞k=1 ⊂ [t₀, ∞) такая,

что t_k → ∞ при k → ∞ и ∥ζ(t_k)∥ → ∞ при k → ∞. Тогда функция v(t) = V (t, ζ(t))

будет положительным неограниченным при t ≥ t₁ решением дифференциального неравенства

(2.15), но в силу условия 3) (вследствие свойств функций k(t), U(v)) неравенство (2.15) не

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДАУ

имеет положительных неограниченных при t ≥ t₁ решений, что приводит к противоречию.

Таким образом, существует константа M такая, что

∥ζ(t)∥ ≤ M, t ∈ [t₀, ∞).

(2.30)

Поскольку уравнение (2.10) можно записать в виде

u(t) = G-1(t)Q₂(t)[f(t, P₁(t)z(t) + P₂(t)u(t)) - A^′(t)z(t)],

то

η(t, ζ(t)) = G-1(t)Q₂(t)[f(t, ζ(t) + η(t, ζ(t))) - A^′(t)ζ(t)].

(2.31)

Следовательно, в силу оценки (2.30) и условия 4.a) существует константа K_M , при которой

для всех t ∈ [t₀, ∞) выполнена оценка

∥η(t, ζ(t))∥ ≤ K_M .

(2.32)

Учитывая оценку (2.30), из условия 4.b) также заключаем, что существует константа K_M ,

при которой для любого t ∈ [t₀, ∞) справедлива оценка (2.32).

Теперь докажем ограниченность ∥η(t, ζ(t))∥, используя условие 4.c). Возьмём произволь-

ные фиксированные t_∗ ∈ [t₊, ∞), z_∗ ∈ Rⁿ, u_∗ ∈ X₂(t_∗), для которых выполняется равенство

F (t_∗, z_∗, u_∗) = 0 (т.е. (t_∗, P₁(t_∗)z_∗ + u_∗) ∈ Lt+ ). В силу условия 4.c) существует элемент ũ∗ =

= ũ(t_∗) ∈ X₂(t_∗) такой, что оператор-функция

Φ_t

(2.16) базисно

∗,z∗(u) = Φt∗,P1(t∗)z∗(P2(t∗)u)

обратима на (ũ_∗, u_∗] и соответствующий обратный оператор, т.е. оператор

[∑d

]-1

Λ-11 =

= Λ-11(t_∗,z_∗,u_k) ∈ L(Y₂(t_∗),X₂(t_∗)),

Θ_k(t_∗)Φt∗,z∗(uk)

k=1

обратный к оператору (2.18), где {u_k}dk=1 - произвольный набор элементов из (ũ_∗, u_∗] (d =

= dim X₂(t_∗)), {Θk(t_∗)}dk=1 - некоторое аддитивное разложение единицы в Y₂(t_∗), равномерно

ограничен по t_∗ и u_k на [t₊, ∞) и (ũ_∗, u_∗] соответственно. Как в доказательстве леммы 2.2,

проведённом в доказательстве теоремы 2.2, выберем {Θk(t_∗)}dk=1 так, чтобы∑dk=1 Θ_k(t_∗) =

=Q₂(t_∗)|Y2(t∗),ивозьмёмаддитивноеразложениеединицыP2(t∗)|X2(t∗)вX2(t∗)вида{Θk(t∗⁾⁼

= G-1(t_∗)Θk(t_∗)G(t_∗)|_X

2(t∗)}^k=1.Рассмотримпроекции

Fk(t∗, z∗, u) = Θk(t∗)F (t∗, z∗, u) = Θk(t∗)P2(t∗)F (t∗, z∗, u),

где u ∈ X₂(t_∗). Согласно формуле конечных приращений существует точка u_k ∈ (ũ_∗, u_∗]

такая, что имеют место равенства

∂

Fk(t∗, z∗, u∗) - Fk(t∗, z∗, ũ∗) =

Fk(t∗, z∗, uk)(u∗ - ũ∗) = Θk(t∗)P2(t∗)Ψt∗,z∗ (uk)(u∗ - ũ∗),

∂u

k = 1,d, где оператор-функция Ψ_t,z определена в (2.17). Поскольку F_k(t_∗,z_∗,u_∗) = 0, то,

суммируя полученные равенства по k, получаем, что существует набор {u_k}dk=1 ⊂ (ũ_∗, u_∗]

такой, что -F (t_∗, z_∗, ũ_∗) = G-1(t_∗)Λ₁(u_∗ - ũ_∗). Так как в силу условия 4.c) существует Λ-11, то

u_∗ = ũ_∗ -Λ-11G(t_∗)F(t_∗,z_∗, ũ_∗) = ũ_∗ -Λ-11(Q₂(t_∗)[f(t_∗,P₁(t_∗)z_∗ +P₂(t_∗)ũ_∗)-A^′(t_∗)z_∗]-G(t_∗)ũ_∗).

Это равенство справедливо для любых фиксированных t_∗ ∈ [t₊, ∞), z_∗ ∈ Rⁿ, u_∗ ∈ X₂(t_∗),

для которых F (t_∗, z_∗, u_∗) = 0. Следовательно, для каждого t_∗ ∈ [t₀, ∞) выполнено равенство

η(t_∗, ζ(t_∗)) = ũ_∗ - Λ-11G(t_∗)F (t_∗, z_∗, ũ_∗) =

= ũ_∗ - Λ-11G(t_∗)(G-1(t_∗)Q₂(t_∗)[f(t_∗,ζ(t_∗) + P₂(t_∗)ũ_∗) - A^′(t_∗)ζ(t_∗)] - ũ_∗).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ФИЛИПКОВСКАЯ

В силу условия 4.c) множество элементов ũ_∗ = ũ(t_∗) ограничено, т.е. существует константа

такая, что ∥ũ_∗∥ = ∥ũ(t_∗)∥ ≤

M< ∞ для каждого t_∗ ∈ [t₊,∞). Из непрерывности нелинейного

отображения Λ-11 = Λ-11(t_∗, z_∗, u_k) по t_∗, z_∗ и компактности шара ∥ζ(t_∗)∥ ≤ M, t_∗ ∈ [t₀, ∞),

где z = ζ(t) ∈ C([t₀, ∞), Rⁿ) (ζ(t) ∈ X₁(t)), следует равномерная непрерывность Λ-11 по z_∗

(по P₁(t_∗)z_∗) и его ограниченность на ∥z_∗∥ = ∥ζ(t_∗)∥ ≤ M. По условию 4.c) оператор Λ-11 =

= Λ-11(t_∗,z_∗,u_k) ∈ L(Y₂(t_∗),X₂(t_∗)) равномерно ограничен по t_∗ и u_k на [t₊,∞) и (ũ_∗,u_∗]

соответственно. Следовательно, существует константа N > 0, не зависящая от t_∗, z_∗, u_k,

такая, что ∥Λ-11∥ ≤ N для каждых t_∗ ∈ [t₊, ∞), z_∗ ∈ Rⁿ, u_∗ ∈ X₂(t_∗), удовлетворяющих

равенству F (t_∗, z_∗, u_∗) = 0, и любого набора {u_k}dk=1 ⊂ (ũ_∗, u_∗]. Таким образом, получаем, что

∥η(t_∗, ζ(t_∗))∥ ≤

^M (1 + N∥G(t_∗)∥) + ∥G-1(t_∗)Q₂(t_∗)[f(t_∗, ζ(t_∗) + P₂(t_∗)ũ_∗) - A^′(t_∗)ζ(t_∗)]∥

для каждого t_∗ ∈ [t₊, ∞). Тогда из неравенств (2.30), (2.29) следует, что существует константа

K_M такая, что ∥η(t_∗,ζ(t_∗))∥ ≤ K_M для всех t_∗ ∈ [t₊,∞).

Учитывая сказанное выше, получаем: ∥x(t)∥ = ∥ζ(t) + η(t, ζ(t))∥ ≤ M + KM для всех

t ∈ [t₀,∞), т.е. решение x(t) ограничено на [t₀,∞) и, значит, устойчиво по Лагранжу. По-

скольку для каждой согласованной начальной точки (t₀, x₀), т.е. для (t₀, x₀) ∈ Lt+ , существу-

ет единственное решение задачи Коши (1.1), (1.3), которое устойчиво по Лагранжу, то каждое

решение задачи Коши (1.1), (1.3) устойчиво по Лагранжу (напомним, что задача Коши (1.1),

(1.3) имеет решение только для начальных точек (t₀, x₀) ∈ Lt+ ). Таким образом, уравнение

(1.1) устойчиво по Лагранжу. Теорема доказана.

Замечание 2.4. Условие 4.a) является следствием условия 4.b), так как уравнение

Q₂(t)[A^′(t)P₁(t)x + B(t)P₂(t)x - f(t,x)] = 0,

определяющее многообразие Lt+ , можно записать в виде

G-¹(t)Q₂(t)[f(t, xp1 (t) + xp2 (t)) - A^′(t)xp1 (t)] = xp2 (t)

(см. формулу (1.15)).

Доказательство следующей теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей.

Теорема 2.6 (устойчивость по Лагранжу ДАУ (1.2)). Пусть f ∈ C¹([t₊, ∞) × Rⁿ, Rⁿ),

A, B

∈ C¹([t₊,∞),L(Rⁿ)), пучок λA(t) + B(t) удовлетворяет условию (1.4), где C2 ∈

∈ C¹([t₊,∞),(0,∞)), и выполнены условия 1), 2) теоремы 2.3 или 1), 2) теоремы 2.4, а

L_t

также выполнено условие 3) теоремы 2.5, где Lt+ заменено на

и неравенство (2.3)

заменено на (2.20). Пусть, кроме того, выполняется одно из следующих условий:

L_t

либо условие 4.a) теоремы 2.5, где Lt+ заменено на

и неравенство (2.28) заменено

на

∥G-1(t)Q₂(t)f(t, xp1 (t) + xp2 (t))∥ ≤ K_M < ∞,

либо условие 4.b) теоремы 2.5, где Lt+ заменено на

L_t

либо условие 4.c) теоремы 2.5, где Lt+ заменено наLt+ и требование (2.29) заменено на

sup

∥G-1(t)Q₂(t)f(t, xp1 (t) + xp2 (t_∗))∥ < ∞.

t∈[t₊,∞)

∥xp₁ (t)∥≤M<∞

Тогда ДАУ (1.2) устойчиво по Лагранжу.

2.3. Диссипативность ДАУ (предельная ограниченность решений). Предельно

ограниченные (или ограниченные в пределе) системы обыкновенных дифференциальных урав-

нений, которые также называют диссипативными системами (или D-системами), исследова-

лись, в частности, в [13, 14, 20]. Сформулированные ниже определения для ДАУ подобны тем,

что приведены в [13; 14, с. 144; 20, с. 17] для систем (явных) ОДУ.

Определение 2.6. Решения ДАУ (1.1) называются предельно ограниченными (или огра-

ниченными в пределе), если существует константа K > 0 (константа не зависит от выбора

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДАУ

решения, т.е. от выбора начальных значений t₀, x₀) и для каждого решения x(t) с началь-

ной точкой (t₀, x₀) существует число τ = τ(t₀, x₀) ≥ t₀ такие, что ∥x(t)∥ < K для всех

t ∈ [t₀ + τ,∞).

ДАУ (1.1) называется предельно ограниченным или диссипативным, если для любой со-

гласованной начальной точки (t₀, x₀) существует глобальное решение задачи Коши (1.1), (1.3)

и все решения предельно ограничены.

Определение 2.7. Если в определении 2.6 число τ не зависит от выбора t₀, т.е. τ = τ(x₀),

то решения ДАУ (1.1) называются равномерно предельно ограниченными и, соответственно,

ДАУ (1.1) называется равномерно предельно ограниченным или равномерно диссипативным.

Аналогичные определения формулируются для ДАУ (1.2).

Теорема 2.7 (равномерная предельная ограниченность (диссипативность) ДАУ (1.1)).

Пусть f ∈ C([t₊, ∞) × Rⁿ, Rⁿ), ∂f/∂x ∈ C([t+,∞) × Rn,L(Rn)), A,B ∈ C1([t+,∞),L(Rn)),

пучок λA(t) + B(t) удовлетворяет условию (1.4), где C₂ ∈ C¹([t₊,∞),(0,∞)), и выполне-

ны условия 1), 2) теоремы 2.1 или 1), 2) теоремы 2.2. Пусть, кроме того, выполняются

следующие условия:

3) существуют число R > 0, положительно определённая функция V ∈ C¹([t₊, ∞) ×

× U^cR(0),R), неубывающая функция U₀ ∈ C([0,∞)), возрастающая функция U₁ ∈ C([0,∞))

и функция U₂ ∈ C([0, ∞)) такие, что U₀(r) → +∞ при r → +∞, U₂(r) > 0 при r > 0

и для всех t ∈ [t₊,∞), xp1 (t) ∈ X₁(t), xp2 (t) ∈ X₂(t), для которых (t,xp1 (t) + xp2(t)) ∈

∈ Lt+ и ∥xp1(t)∥ ≥ R, выполнены условие U₀(∥xp1(t)∥) ≤ V (t,xp1(t)) ≤ U₁(∥xp1(t)∥) и одно из

следующих неравенств:

3.a) V′(1.14)(t, xp1 (t)) ≤ -U₂(∥xp1 (t)∥) (V′(1.14)(t, xp1 (t)) имеет вид (2.4));

3.b) V′(1.14)(t, xp1 (t)) ≤ -U2((H(t)xp1 (t),xp1 (t))), где H ∈ C([t+,∞),L(Rn)) - некоторая

положительно определённая самосопряжённая оператор-функция, для которой

sup

∥H(t)∥ < ∞;

t∈[t₊,∞)

3.с) V′(1.14)(t,xp1 (t)) ≤ -CV (t,xp1 (t)), где C > 0 - некоторая константа;

4) существуют константа c > 0 и число T > t₊ такие, что

∥G-1(t)Q₂(t)[f(t, xp1 (t) + xp2 (t)) - A^′(t)xp1 (t)]∥ ≤ c∥xp1 (t)∥

(2.33)

для всех (t, xp1 (t) + xp2 (t)) ∈ L_T .

Тогда ДАУ (1.1) равномерно предельно ограничено (равномерно диссипативно).

Доказательство. Как и в доказательстве теорем 2.1 или 2.2 получаем, что для каждой

начальной точки (t₀, x₀) ∈ Lt+ существует единственное глобальное решение x(t) = ζ(t) +

+ η(t,ζ(t)) задачи Коши (1.1), (1.3), где ζ(t)=P₁(t)x(t)=xp1 (t), η(t,ζ(t))=P₂(t)x(t)=xp2 (t).

Действительно, поскольку в силу условия 3) вместо неравенства (2.14) выполнено одно из

следующих неравенств: V′(2.13)(t, ζ(t)) ≤ -U₂(∥ζ(t)∥), V′(2.13)(t, ζ(t)) ≤ -U₂((H(t)ζ(t), ζ(t))),

V ′_(2.13)(t,ζ(t)) ≤ -CV (t,ζ(t)), то вместо неравенства (2.15) выполняется неравенство v^′ ≤ 0,

которое также не имеет положительных решений с конечным временем определения. В осталь-

ном доказательство этого факта совпадает с тем, что приведено в доказательстве теорем 2.1

или 2.2.

В силу условия 3) с неравенствами 3.a) и 3.с), как и в доказательстве теоремы Йоши-

завы [14, теорема 10.4] и следствия из неё, получаем, что решения ОДУ (2.13) равномерно

предельно ограничены, т.е. существует константа N > 0 и для каждого решения z = ζ(t),

удовлетворяющего начальному условию ζ(t₀) = P₁(t₀)x₀, существует число τ₁ = τ₁(x₀) ≥ t₀

такие, что ∥ζ(t)∥ < N при всех t ≥ t₀ + τ₁. Нетрудно проверить, что из условия 3) с нера-

венством 3.b) также следует, что решения ОДУ (2.13) равномерно предельно ограничены.

Здесь используется тот факт, что вследствие свойств оператора H(t) существуют константы

H₀,H₁ > 0 такие, что H₀∥z∥² ≤ (H(t)z,z) ≤ H₁∥z∥² для всех t ∈ [t₊,∞), z ∈ Rⁿ.

Вследствие условия 4) и равенства (2.31) существуют такие константа c > 0 и число τ₂ =

= τ₂(x₀) > t₀, что ∥η(t,ζ(t))∥ ≤ c∥ζ(t)∥ < cN для всех t ≥ τ₂. Таким образом, для каждого

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ФИЛИПКОВСКАЯ

решения с начальной точкой (t₀, x₀) существует число τ = τ(x₀) ≥ t₀ такое, что

∥x(t)∥ ≤ ∥ζ(t)∥ + ∥η(t, ζ(t))∥ < (1 + c)N

для всех t ∈ [t₀ + τ, ∞), где константа (1 + c)N > 0 не зависит от t₀, x₀. Следовательно,

уравнение (1.1) равномерно предельно ограничено. Теорема доказана.

Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 2.8 (равномерная предельная ограниченность (диссипативность) ДАУ (1.2)).

Пусть f ∈ C¹([t₊, ∞)×Rⁿ, Rⁿ), A, B ∈ C¹([t₊, ∞), L(Rⁿ)), пучок λA(t)+B(t) удовлетворяет

условию (1.4), где C₂ ∈ C¹([t₊, ∞), (0, ∞)), и выполнены условия 1), 2) теоремы 2.3 или 1), 2)

теоремы 2.4. Пусть, кроме того, выполнены условие 3) теоремы 2.7, где Lt+ заменено наLt+

и производная V′(1.14)(t,xp1 (t)) заменена на производную V′(1.19)(t,xp1 (t)) (2.21), и условие 4)

теоремы 2.7, где L_T заменено наLT и неравенство (2.33) заменено на

∥G-1(t)Q₂(t)f(t, xp1 (t) + xp2 (t))∥ ≤ c∥xp1 (t)∥.

Тогда ДАУ (1.2) равномерно предельно ограничено (равномерно диссипативно).

2.4. Неустойчивость по Лагранжу ДАУ (отсутствие глобальных решений). Тео-

рема о неустойчивости по Лагранжу даёт достаточные условия, при выполнении которых ДАУ

не имеет глобальных решений, точнее, условия, при которых ДАУ неустойчиво по Лагранжу

для согласованных начальных точек (t₀, x₀), где компонента P₁(t₀)x₀ из определённой облас-

ти (см. определения 2.2, 2.4). Кроме того, из неустойчивости решения по Лагранжу следует

его неустойчивость по Ляпунову, а из неустойчивости решения по Ляпунову в общем случае

не следует его неустойчивость по Лагранжу.

Теорема 2.9 (неустойчивость по Лагранжу ДАУ (1.1)). Пусть f ∈ C([t₊, ∞) × Rⁿ, Rⁿ),

∂f/∂x ∈ C([t₊,∞) × Rⁿ,L(Rⁿ)), A,B ∈ C¹([t₊,∞),L(Rⁿ)) и пучок λA(t) + B(t) удовлетво-

ряет условию (1.4), где C₂ ∈ C¹([t₊, ∞), (0, ∞)). Пусть, кроме того, выполнены условия 1),

2) теоремы 2.1 или 1), 2) теоремы 2.2, а также следующие условия:

3) существует область Ω ⊂ Rⁿ такая, что 0 ∈ Ω и компонента P₁(t)x(t) каждого

существующего решения x(t) с начальной точкой (t₀,x₀) ∈ Lt+ , где P₁(t₀)x₀ ∈ Ω, всё время

остаётся в Ω;

4) существуют функции k ∈ C([t₊, ∞), R) и U ∈ C(0, ∞), для которых

∫

∞

∫

∞

k(t) dt = ∞ и

dv < ∞

U (v)

v₀

(v₀ >0 - некоторая константа), и положительно определённая функция V ∈C¹([t₊, ∞)×Ω, R)

такие, что для всех t∈[t₊, ∞), xp1 (t)∈X₁(t), xp2 (t)∈X₂(t), для которых (t, xp1 (t)+xp2 (t))∈

∈ Lt+ и xp1(t) ∈ Ω, выполнено неравенство

V ′_(1.14)(t,xp1(t)) ≥ k(t)U(V (t,xp1(t))) (V ′(1.14)(t,xp1(t)) имеет вид (2.4)).

Тогда для каждой начальной точки (t₀, x₀) ∈ Lt+ такой, что P₁(t₀)x₀ ∈ Ω, существует

единственное решение задачи Коши (1.1), (1.3), и это решение неустойчиво по Лагранжу.

Доказательство. Аналогично тому, как это сделано в доказательстве теореме 2.1, уста-

навливается, что существует единственное решение z = ζ(t) уравнения (2.13) на [t₀, ω), удо-

влетворяющее начальному условию ζ(t₀) = P₁(t₀)x₀, где [t₀, ω) - максимальный промежуток

существования решения. Далее, как и в доказательстве теоремы 2.1, получаем, что существует

единственное решение x(t) = ζ(t)+ η(t, ζ(t)) ДАУ (1.1) на [t₀, ω), удовлетворяющее начально-

му условию (1.3). Напомним, что функции z = ζ(t) и u = η(t, ζ(t)) (ζ(t) ∈ X₁(t), η(t, ζ(t)) ∈

∈ X₂(t)) являются единственным решением системы (2.9), (2.10) на [t₀,ω), удовлетворяющим

начальным условиям ζ(t₀) = P₁(t₀)x₀, η(t₀, ζ(t₀)) = P₂(t₀)x₀.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ ДАУ

Докажем, что решение x(t) неустойчиво по Лагранжу, т.е. имеет конечное время определе-

ния (ω < ∞). Согласно условию 3) существует область Ω ⊂ Rⁿ такая, что 0 ∈ Ω и компонента

P₁(t)x(t) = xp1(t) каждого существующего решения x(t) с начальной точкой (t₀,x₀) ∈ Lt+ ,

где P₁(t₀)x₀ ∈ Ω, все время остаётся в Ω. Поскольку ζ(t) = P₁(t)x(t), то каждое решение

ζ(t) уравнения (2.13), начинающееся в области Ω, все время остаётся в ней. В силу условия 4)

для всех t ≥ t₀ и ζ(t) ∈ Ω выполняется неравенство

V ′_(2.13)(t,ζ(t)) ≥ k(t)U(V (t,ζ(t))).

Значит, при t ≥ t₀ функция v(t) = V (t, ζ(t)) является положительным решением дифферен-

циального неравенства

v^′ ≥ k(t)U(v).

(2.34)

Так как в силу условия 4) (в силу свойств функций k(t), U(v)) неравенство (2.34) не имеет по-

ложительных неограниченно продолжаемых решений, то, как и в доказательстве теоремы [13,

с. 109, теорема XIV], получаем, что решение ζ(t) имеет конечное время определения, т.е. ω <

< ∞ и lim ∥ζ(t)∥ = ∞. Поэтому решение x(t) = ζ(t) + η(t,ζ(t)) задачи Коши (1.1), (1.3)

t→ω-0

также имеет конечное время определения [t₀, ω). Теорема доказана.

Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 2.10 (неустойчивость по Лагранжу ДАУ (1.2)). Пусть f ∈ C¹([t₊, ∞) × Rⁿ, Rⁿ),

A, B ∈ C¹([t₊, ∞), L(Rⁿ)), пучок λA(t) + B(t) удовлетворяет условию (1.4), в котором C₂ ∈

∈ C¹([t₊,∞),(0,∞)), и выполнены условия 1), 2) теоремы 2.3 или 1), 2) теоремы 2.4. Пусть,

кроме того, выполнены условия 3), 4) теоремы 2.9, где Lt+ заменено наLt+ и производная

V ′_(1.14)(t,xp1(t)) заменена на V ′(1.19)(t,xp1(t)) (2.21).

Тогда для каждой начальной точки (t₀, x₀) ∈Lt+ такой, что P₁(t₀)x₀ ∈ Ω, существует

единственное решение задачи Коши (1.2), (1.3), и это решение неустойчиво по Лагранжу.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Национальной академии наук Укра-

ины (проект “Качественный, асимптотический и численный анализ различных классов диф-

ференциальных уравнений и динамических систем, их классификация и практическое приме-

нение”, государственный регистрационный номер 0119U102376).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Власенко Л.А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными уравне-

ниями. Днепропетровск, 2006.

2. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. Но-

восибирск, 2003.

3. Lamour R., März R., Tischendorf C. Differential-Algebraic Equations: A Projector Based Analysis.

Heidelberg, 2013.

4. Riaza R. Differential-Algebraic Systems: Analytical Aspects and Circuit Applications. Hackensack, New

York, 2008.

5. Gliklikh Yu.E. On global in time solutions for differential-algebraic equations // Вестн. Южно-Урал.

гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2014. Т. 7. № 3. С. 33-39.

6. Баев А.Д., Зубова С.П., Усков В.И. Решение задач для дескрипторных уравнений методом деком-

позиции // Вестн. Воронеж. гос. ун-та. Сер. Физика. Математика. 2013. № 2. С. 134-140.

7. Щеглова А.А., Кононов А.Д. Устойчивость дифференциально-алгебраических уравнений в услови-

ях неопределённости // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 7. С. 881-890.

8. Филипковская М.С. Продолжение решений полулинейных дифференциально-алгебраических урав-

нений и приложения в нелинейной радиотехнике // Вiсн. Харкiвськ. нац. ун-ту iм. В.Н. Каразi-

на. Сер. Математичне моделювання. Iнформацiйнi технологiї. Автоматизованi системи управлiння.

2012. Т. 19. № 1015. С. 306-319.

9. Руткас А.Г., Филипковская М.С. Продолжение решений одного класса дифференциально-алгебра-

ических уравнений // Журн. обчисл. та прикл. математики. 2013. № 1 (111). С. 135-145.

10. Filipkovska M.S. Lagrange stability of semilinear differential-algebraic equations and application to

nonlinear electrical circuits // J. of Math. Phys., Anal., Geom. 2018. V. 14. № 2. P. 169-196.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ФИЛИПКОВСКАЯ

11. Filipkovskaya M.S. Lagrange stability and instability of irregular semilinear differential-algebraic

equations and applications // Ukr. Math. J. 2018. V. 70. № 6. P. 947-979.

12. Rutkas A.G., Vlasenko L.A. Existence of solutions of degenerate nonlinear differential operator equations

// Nonlin. Oscillations. 2001. V. 4. № 2. P. 252-263.

13. Ла-Салль Ж., Лефшец С. Исследование устойчивости прямым методом Ляпунова. М., 1964.

14. Yoshizawa T. Stability theory by Liapunov’s second method. Tokyo, 1966.

15. Красовский Н.Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М., 1959.

16. Kato Т. Perturbation theory for linear operators. Berlin, 1966.

17. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом

пространстве. М., 1970.

18. Шварц Л. Анализ. Т. 2. М., 1972.

19. Куликов Г.Ю. О численном решении автономной задачи Коши с алгебраической связью на фазовые

переменные // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 1993. Т. 33. № 4. С. 522-540.

20. Рейссиг Р., Сансоне Г., Конти Р. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений.

М., 1974.

Физико-технический институт низких температур

Поступила в редакцию 02.01.2020 г.

им. Б.И. Веркина НАН Украины, г. Харьков

После доработки 28.08.2020 г.

Принята к публикации 13.10.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021