ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.61-75

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.32+517.983.23

О РАЗРЕШИМОСТИ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЙ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ

ОПЕРАТОРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

В банаховом пространстве рассмотрены начальные задачи для ряда гиперболических урав-

нений со степенным характером вырождения и операторными коэффициентами. Установ-

лены достаточные условия их однозначной разрешимости, налагаемые на коэффициенты

уравнения, порядок вырождения и начальные элементы.

DOI: 10.31857/S0374064121010064

Введение. Дифференциальные уравнения с обращающимся в нуль коэффициентом при

старшей производной не вписываются в рамки стандартной теории дифференциальных урав-

нений и давно привлекали внимание широкого круга исследователей (см. монографии [1-3]

и имеющуюся в них библиографию). Отдельные виды таких уравнений подробно изучены,

однако для уравнений второго порядка, вырождающихся в уравнения первого порядка, неко-

торые вопросы в случае операторных коэффициентов (абстрактные уравнения), в частности,

получение явных формул для решений, требуют дальнейшего исследования.

В настоящей работе рассматриваются уравнения в банаховом пространстве в гиперболи-

ческом случае. Ранее задача Коши с оператором A = A²⁰, где A₀ - генератор C₀-группы,

для дифференциального уравнения вида u^′′(t) - t^αAu(t) = 0, α > 0, изучалась в [4], случай

гильбертова пространства рассмотрен в [5]. Задача Коши с генератором операторной косинус-

функции для слабо вырождающегося дифференциального уравнения вида t^γu^′′(t) - Au(t) =

= f(t), 0 < γ < 2, рассматривалась в [6] (по поводу терминов см., например, монографию [7]).

И в том, и в другом случаях указанных вырождающихся уравнений исследование проводилось

с помощью сведения их к уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Мы рассмотрим более общий, чем в [4-6], вид как дифференциального уравнения, так и

операторного коэффициента, имеющего, кроме того, и переменную составляющую. Исследо-

вания также будут проводиться путём сведения к уравнению Эйлера-Пуассона-Дарбу, при

этом потребуется использование операторной функции Бесселя, введённой в рассмотрение ав-

тором [8] и изученной в работах [8, 9].

Опишем класс операторов A, с которым в дальнейшем будут рассматриваться различные

уравнения. В работах [8, 9] при k > 0 в гиперболическом случае исследована корректная

разрешимость для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД) с операторным коэффициентом

A следующей задачи Коши:

v^′′(t) +

v^′(t) = Av(t), t > 0,

(1)

v(0) = u₀, v^′(0) = 0.

(2)

В работе [8] необходимое и достаточное условие разрешимости сформулировано в терминах

оценки нормы резольвенты (λI - A)-1 и её весовых производных, а в статье [9] получен

критерий равномерной корректности этой задачи, который, в отличие от [8], формулируется

в терминах дробной степени резольвенты и её невесовых производных.

Класс операторов A, для которых задача Коши (1), (2) равномерно корректна, обозначим

через G_k, а соответствующий разрешающий оператор (назовём его операторной функцией

ГЛУШАК

Бесселя (ОФБ)) - через Y_k(t), т.е. v(t) = Y_k(t)u₀, при этом через G₀ (G₀ ⊂ G_k при k >

> 0) обозначим множество генераторов операторной косинус-функции C(t) и Y₀(t) = C(t).

Класс G_k будем называть классом корректной разрешимости, а число k - его индексом.

Примеры операторов A ∈ G_k и порождаемых ими ОФБ Y_k(t) приведены в [9]. В частности,

если A ∈ G₀ ⊂ G_k и k > 0, то

∫

2Γ(k/2 + 1/2)

Y_k(t) =

(1 - s²)k/2-1C(ts) ds,

(3)

Γ(1/2)Γ(k/2)

где Γ(·) - гамма-функция Эйлера.

1. Слабо вырождающееся дифференциальное уравнение со степенным харак-

тером вырождения. При t ≥ 0 в банаховом пространстве E рассмотрим слабо вырождаю-

щееся дифференциальное уравнение с операторными коэффициентами, имеющее вид

t^γu^′′(t) + btγ-1u^′(t) = (A + t^βB)u(t),

(4)

где 0 < γ < 2, b ∈ R, β ≥ 0, A - неограниченный замкнутый оператор, B ∈ L(E) -

ограниченный оператор. Принадлежность параметра γ интервалу (0, 2) означает слабое вы-

рождение, в отличие от случая сильного вырождения - когда γ ≥ 2, который также будет

рассмотрен в работе.

Под решением уравнения (4) будем понимать дважды непрерывно дифференцируемую

на (0, +∞) функцию u(t), принадлежащую области определения D(A) оператора A и удо-

влетворяющую этому уравнению при всех t > 0 . Аналогично определяются решения и для

остальных рассматриваемых в работе уравнений.

В скалярном случае при γ = 1, A = λ > 0, B = 0 неоднородное уравнение (4) методами

теории полугрупп исследовалось в работе [10] при изучении стохастических процессов, которые

являются пределом последовательности случайных блужданий.

Замена независимой переменной t = (τ/ν)^ν , ν = 2/(2 - γ), и неизвестной функции u(t) =

= u((τ/ν)^ν ) = w(τ) с учётом очевидных равенств

)1-ν

)

⁽τ

⁽τ)2(1-ν)(

1-ν

u^′(t) =

w^′(τ), u^′′(t) =

w^′′(τ) +

w^′(τ)

(5)

приводит слабо вырождающееся уравнение (4) к уравнению ЭПД вида

(

)

bν - ν + 1

⁽τ)νβ

w^′′(τ) +

w^′(τ) = A +

B w(τ), τ > 0.

(6)

Корректная постановка начальных условий для уравнения ЭПД (6) зависит от знака пара-

метра bν - ν + 1. Если bν - ν + 1 ≥ 0, то начальные условия так же, как и для уравнения (1),

имеют вид

w(0) = u₀, w^′(0) = 0.

(7)

Если bν - ν + 1 < 0, то (см. [11]) следует задавать весовое начальное условие

w(0) = 0, lim

τbν-ν+1w^′(τ) = u₁.

(8)

τ→0+

Возможна и более общая постановка начальных условий (см. [12]), но для неё требуется

дополнительная гладкость начальных элементов, и здесь мы её рассматривать не будем.

Разрешимость начальной задачи для уравнения (6), естественно, зависит и от оператора

A + (τ/ν)^νβB. Будем предполагать, что оператор A принадлежит более широкому, чем в

указанной во введении работе [6], классу функций G_k при некотором k > 0 (G_k ⊃ G₀).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ

Если A ∈ G_k, k > 0, то вопрос о принадлежности возмущённого оператора A + B классу

Gk, если B - ограниченный оператор, исследован в работе [13], а вопрос о его принадлежно-

сти некоторому классу корректности, если B ∈ G_m, m ≥ 0, - неограниченный оператор, в

работе [14]. Указанные результаты о возмущении значительно расширяют класс операторов,

порождающих ОФБ. В настоящей работе рассматривается возмущение оператора A ∈ G_k,

k > 0, переменным оператором вида B(τ) = (τ/ν)^νβB.

Теорема 1. Пусть k > 0, A ∈ G_k, B(t) = (t/ν)^νβ B, νβ ≥ 0, а Q(t, s) - непрерывный

при t ≥ s > 0 оператор, удовлетворяющий операторному дифференциальному уравнению

∂²Q(t,s)

k² - 2k

∂²Q(t,s)

k² - 2k

Q(t, s) - B(t)Q(t, s) =

Q(t, s)

(9)

∂t²

4t²

∂s²

4s²

и граничным условиям

dQ(t, t)

B(t),

lim sk/2-1Q(t, s) = 0.

(10)

s→0+

Тогда функция

∫

v(t) = Y_k(t)u₀ + t-k/2 sk/2Q(t, s)Y_k(s)u₀ ds

(11)

является единственным решением уравнения

v^′′(t) +

v^′(t) = (A + B(t))v(t),

(12)

удовлетворяющим условиям (2).

Доказательство. Для первого слагаемого в представлении (11) по определению ОФБ

Y_k(t) справедливо равенство

Y ′′k (t)u₀ +

Y ′k(t)u₀ = AY_k(t)u₀,

(13)

здесь и в дальнейшем будем использовать обозначение

Y ′k(t)u₀ = (Y_k(t)u₀)^′.

Обозначим второе слагаемое в представлении (11) через ϕ(t), т.е.

∫^t

ϕ(t) = t-k/2 sk/2Q(t, s)Y_k(s)u₀ ds.

(14)

Дважды дифференцируя тождество (14), получаем

∫t

(

)

∂Q(t,s)

ϕ′(t) = t-k/2 sk/2

Q(t, s) Y_k(s)u₀ ds + Q(t, t)Y_k(t)u₀,

∂t

∫t

)

⁽∂²Q(t,s)

k ∂Q(t,s)

2k + k²

ϕ′′(t) = t-k/2 sk/2

Q(t, s) Y_k(s)u₀ ds +

∂t²

∂t

4t²



)

⁽∂Q(t,s)

dQ(t, t)



Q(t, t) Y_k(t)u₀ + Q(t, t)Y^′k(t)u₀



∂t

s=t

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛУШАК

и, следовательно,

∫

)

⁽∂²Q(t,s)

k²

- 2k

ϕ′′(t) +

ϕ′(t) = t-k/2 sk/2

Q(t, s) Y_k(s)u₀ ds +

∂t²

4t²



)

⁽∂Q(t,s)

dQ(t, t)



Q(t, t) Y_k(t)u₀ + Q(t, t)Y^′k(t)u₀.

(15)



∂t

s=t

Обозначим интеграл в равенстве (15) через ψ(t) и упростим его, используя уравнение (9)

и граничное условие (10). После двукратного интегрирования по частям будем иметь

∫^t

)

⁽∂²Q(t,s)

k²

- 2k

ψ(t) = sk/2

Q(t, s) Y_k(s)u₀ ds =

∂t²

4t²

∫t

∫

(

)

∂²Q(t, s)

k²

- 2k

= sk/2

Y_k(s)u₀

ds + sk/2 B(t) -

I Q(t,s)Y_k(s)u₀ ds =

∂s²

4s²



∫

(

)

∂Q(t,s)

∂Q(t,s)



=tk/2

Y_k(t)u₀ -

sk/2-1Y_k(s) + sk/2Y^′k(s) u₀ ds +



∂s

s=t

∫t

(

)

k²

- 2k

+ sk/2 B(t) -

I Q(t,s)Y_k(s)u₀ ds =

4s²



∂Q(t,s)

ktk/2-1



=tk/2

Y_k(t)u₀ -

Q(t, t)Y_k(t)u₀ - tk/2Q(t, t)Y^′k(t)u₀ +



∂s

s=t

∫^t

(

)

∫

+ sk/2Q(t,s) Y^′′k(s) +

Y ′k(s) u0 ds + sk/2B(t)Q(t,s)Y_k(s)u0 ds.

(16)

Заменив интеграл в (15) его представлением (16), в силу граничного условия (10) приходим

к равенству

∫t

ϕ′′(t) +

ϕ′(t) = t-k/2(A + B(t)) sk/2Q(t, s)Y_k(s)u₀ ds +



)

⁽∂Q(t,s)

∂Q(t,s)

dQ(t, t)



Y_k(t)u₀ =



∂s

∂t

s=t

dQ(t, t)

= (A + B(t))ϕ(t) + 2

Y_k(t)u₀ = (A + B(t))ϕ(t) + B(t)Y_k(t)u₀.

(17)

Вследствие соотношений (13)-(17) окончательно получаем

v^′′(t) +

v^′(t) = AY_k(t)u₀ + (A + B(t))ϕ(t) + B(t)Y_k(t)u₀ = (A + B(t))v(t).

Таким образом, определяемая равенством (11) функция v(t), которую в дальнейшем удоб-

но обозначить

∫

v(t)

Y_k(t)u₀ ≡ Y_k(t)u₀ + t-k/2 sk/2Q(t,s)Y_k(s)u₀ ds,

(18)

является решением уравнения (12).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ

Записывая функцию v(t) в виде

∫¹

v(t) = Y_k(t)u₀ + t ξk/2Q(t, tξ)Y_k(tξ)u₀ dξ

и учитывая свойства ОФБ Y_k(0) = I, Y^′k(0) = 0, а также вытекающее из уравнения (9)

равенство

lim Q(t, tξ) = 0,

t→0+

несложно убедиться в том, что функция v(t) удовлетворяет условиям (2).

Доказательство единственности решения задачи (9), (10) проведём методом от противного.

Пусть v₁(t) и v₂(t) - два решения задачи (9), (10). Рассмотрим функцию двух переменных

V (t, s) = f

Y_k(s)(v₁(t) - v₂(t))),

где f ∈ E^∗ (E^∗ - сопряжённое с E пространство), t, s ≥ 0. Она, очевидно, удовлетворяет

уравнению

∂²V

k ∂V

∂²V

k ∂V

t,s > 0,

∂t²

t ∂t

∂s²

s ∂s

и начальным условиям

∂V (0,s)

V (0, s) =

= 0.

∂t

Эта задача для уравнения в частных производных заменой

t₁ = (t + s)²/4, s₁ = (t - s)²/4

сводится (см. [15, § 5, п. 3]) к задаче, единственность решения которой в классе дважды непре-

рывно дифференцируемых при t, s ≥ 0 функций установлена в [15, § 5, п. 2]). Кроме того,

утверждение о единственности содержится также в теореме 6.1 работы [16], в которой рас-

сматривается даже более общее уравнение.

Из полученной в работе [15] явной формулы для решения указанной задачи следует тож-

дество V (t, s) ≡ 0. В силу произвольности f ∈ E^∗, полагая s = 0, получаем v₁(t) ≡ v₂(t), и

единственность решения установлена. Теорема доказана.

Как доказано в теореме 1, разрешимость начальной задачи для уравнения (12) зависит от

разрешимости граничной задачи (9), (10) для операторного дифференциального уравнения,

которая фактически установлена в работе [17].

Теорема 2. Операторное дифференциальное уравнение (9) с граничными условиями (10)

имеет решение, которое может быть получено методом последовательных приближений.

Если B ∈ R, то разрешимость граничной задачи для скалярного уравнения (9) установлена

в [17]. Нетрудно убедиться, что замена коэффициента B ∈ R непрерывным операторным

коэффициентом B(t) = (t/ν)^νβ B не препятствует повторению рассуждений §§ 2, 3 работы [17].

Отметим также, что случай k = 0 рассмотрен в работе [18].

Укажем ещё, что если β = 0, k = 2n, n ∈ N, то, как следует из теоремы 3 [13], в этом

частном случае функцию Q(t, s) можно записать в явном виде:

(

))

)n(

sⁿB

⁽1 d

t² - s²

Q(t, s) =

(s² - t²)ⁿ

F₂

1; n + 1, 2;

2n⁺¹n!tn-1 s ds

где₁F₂(·) - обобщённая гипергеометрическая функция.

Установив результаты о разрешимости начальной задачи для возмущённого уравнения

ЭПД (12), сформулируем теперь результаты о разрешимости начальных задач для слабо вы-

рождающегося уравнения (4).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛУШАК

Пусть bν - ν + 1 ≥ 0, ν = 2/(2 - γ) или, что то же самое, 2b ≥ γ. Возвращаясь к

исходной переменной t и неизвестной функции u(t), получаем, что уравнение (6) перейдёт в

уравнение (4), а начальные условия (7) в силу равенств (5) - в условия

u(0) = u₀, lim t1-1/ν u^′(t) = 0.

(19)

t→0+

Из теорем 1, 2 вытекает утверждение о разрешимости начальной задачи (4), (19).

Теорема 3. Пусть 0 < γ < 2,

2b ≥ γ, β ≥ 0, A ∈ G(2b-γ)/(2-γ), B ∈ L(E), u₀ ∈ D(A).

Тогда функция u(t)

Y(2b-γ)/(2-γ)(νt1/ν)u₀, где ν = 2/(2-γ), а функция

Y(2b-γ)/(2-γ)(·) опре-

делена равенством (18), является единственным решением уравнения (4), удовлетворяющим

начальным условиям (19).

Пусть теперь bν - ν + 1 < 0 или 2b < γ. В этом случае для уравнения (6) следует задавать

начальные условия (8), которые для исходной функции u(t) принимают вид

u(0) = 0, νbν-ν+1 lim

t^bu^′(t) = u₁.

(20)

t→0+

Учитывая результаты работы [11] о разрешимости весовой задачи Коши для уравнения

ЭПД, приходим к утверждению.

Теорема 4. Пусть 0 < γ < 2,

2b < γ, β ≥ 0, A ∈ G(4-b-γ)/(2-γ), B ∈ L(E), u₁ ∈ D(A).

Тогда функция

1-b

νν-bν-1t

u(t) =

Y(4-b-γ)/(2-γ)(νt1/ν)u₁,

1-b

где ν = 2/(2 - γ), а функция

Y(4-b-γ)/(2-γ)(·) определена равенством (18), является един-

ственным решением уравнения (4), удовлетворяющим начальным условиям (20).

В частности, при b = 0, B = 0 и операторе A ∈ Gν+1 из более широкого, чем в [6],

множества Gν+1 ⊃ G₀ решение задачи (4), (20) имеет вид

u(t) = νν-1tYν+1(νt1/ν )u₁.

Утверждения теорем 3 и 4, очевидно, справедливы и при γ = 0, поскольку в этом случае

уравнение (4) уже является уравнением ЭПД. В этих теоремах не только указана постановка

начальных условий и доказана однозначная разрешимость соответствующих начальных задач

для уравнения (4), но и установлена связь между порядком вырождения γ, коэффициентом

b при первой производной u^′(t) и множеством операторов A, образующим класс корректной

разрешимости.

Элементарный анализ утверждений теоремы 3 приводит к следующим выводам. Если

0 ≤ γ ≤ 2b и 0 ≤ b < 1, то индекс класса корректной разрешимости при фиксированном

b убывает по переменной γ от значения b до значения 0, при этом сам класс корректной

разрешимости сужается с G_b до G₀. Если 0 ≤ γ < 2 и b = 1, то класс корректной разре-

шимости один и тот же при всех γ и совпадает с G₁. Если 0 ≤ γ < 2 и b > 1, то индекс

класса корректной разрешимости возрастает по переменной γ от значения b до +∞. При

выполнении условия 2b = γ,

0 ≤ γ < 2, класс корректной разрешимости один и тот же при

всех γ и совпадает с G₀.

При фиксированном значении γ,

0 ≤ γ < 2, индекс класса корректной разрешимости

возрастает по переменной b от значения γ/2 до +∞.

Если выполнено условие 2b = γ,

0 ≤ γ < 2, B = 0, то класс корректной разрешимости

один и тот же при всех γ и совпадает с G₀. Предельный случай b = γ = 0 соответствует

абстрактному волновому уравнению

u^′′(t) = Au(t), t ≥ 0, A ∈ G₀,

которое не является вырождающимся. Как известно, единственным решением этого уравне-

ния, удовлетворяющим начальным условиям

u(0) = u₀, u^′(0) = u₁, u₀, u₁ ∈ D(A),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ

является функция u(t) = C(t)u₀ + S(t)u₁, где C(t) - операторная косинус-функция и

∫t

S(t) = C(τ) dτ

- операторная синус-функция.

В другом предельном случае γ = 2, b = 1, который при используемой в п. 1 замене

не сводится к уравнению ЭПД и который не исследован в п. 1, получается вырождающееся

абстрактное уравнение Эйлера

t²u^′′(t) + tu^′(t) = Au(t), t > 0,

которое при A ∈ G₀ имеет единственное решение

u(t) = C(ln t)u₀ + S(ln t)u₁,

удовлетворяющее начальным условиям

u(1) = u₀, u^′(1) = u₁, u₀, u₁ ∈ D(A).

В монографии [19] ограниченное в точке вырождения решение неоднородного абстрактного

уравнения Эйлера с операторными коэффициентами находится методом малых стабилизиру-

ющих возмущений.

Аналогичный анализ можно провести, используя теорему 4.

2. Абстрактное уравнение Шарпа. Рассмотрим далее частный случай уравнения (4)

при b = γ = β = 1, B = -I. Уравнение

tu^′′(t) + u^′(t) - tu(t) = A₀u(t)

(21)

называется уравнением Шарпа (см. [20, с. 118]), и для него при A₀ ∈ G₁ справедлива теорема 3.

Покажем, что для некоторого его решения можно указать явную формулу и в случае, если

A₀ ∈ G₁. Естественно, задача (4), (19) с таким оператором не будет корректной, поскольку

принадлежность A₀ ∈ G₁ является необходимым и достаточным условием корректности.

Пусть оператор A₀ порождает равномерно ограниченную группу T (t; A₀), тогда A²⁰ ∈

∈ G₀ и C(t;A²⁰) = 1/2(T(t;A₀) + T(-t;A₀)) - порождаемая им равномерно ограниченная

операторная косинус-функция.

При u₂ ∈ D(A²⁰) введём в рассмотрение функцию

∫

(

)

∫

(

)

u(t) = ch(t cos ϕ)C ln ctg

;A²

u₂ dϕ + sh(tcos ϕ)A₀S ln ctg

;A²

u₂ dϕ,

(22)

где S(t; A²⁰) - операторная синус-функция.

В силу равномерной ограниченности операторной косинус-функции C(t; A²⁰) сходимость

первого интеграла в (22) очевидна, а сходимость второго интеграла вытекает из конечности

интеграла 2.6.34.3 из [21]

∫

ln sin

dϕ.

Покажем, что определяемая равенством (22) функция u(t) является ограниченным в нуле

решением уравнения (21), и с этой целью вычислим её производные. После интегрирования

по частям с учётом равномерной ограниченности операторной косинус-функции будем иметь

∫

(

)

∫

(

)

u^′(t) =

sh(t cos ϕ) cos ϕC ln ctg

;A²

u₂ dϕ + ch(tcos ϕ)cos ϕA₀S ln ctg

;A²

u₂ dϕ =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

5^∗

ГЛУШАК

∫

(

)

∫

(

)

= t ch(tcosϕ)sin2 ϕC lnctg

;A²

u₂

dϕ + sh(t cos ϕ)C^′ ln ctg

;A²

u₂ dϕ +

∫

(

)

∫

(

)

+ t sh(tcosϕ)sin2 ϕA₀S lnctg

;A²

u₂ dϕ + ch(tcos ϕ)A₀C ln ctg

;A²

u₂ dϕ,

∫

(

)

∫

(

)

u^′′(t) =

ch(t cos ϕ) cos² ϕC ln ctg

;A²

u₂ dϕ + sh(tcos ϕ)cos² ϕA₀S ln ctg

;A²

u₂ dϕ,

∫

(

)

tu^′′(t) + u^′(t) = tu(t) +

sh(tcos ϕ)A²⁰S ln ctg

;A²

u₂ dϕ +

∫

(

)

+ ch(t cos ϕ)A₀C ln ctg

;A²

u₂ dϕ = tu(t) + A₀u(t).

Таким образом, определяемая равенством (22) ограниченная функция u(t) удовлетворяет

уравнению (21), а при t = 0 условию

∫ (

)

u(0) = C ln ctg

;A²

u₂ dϕ.

Если поставить задачу о нахождении ограниченного решения уравнения (21), удовлетво-

ряющего начальному условию

u(0) = u₀,

(23)

то относительно элемента u₂ ∈ D(A²⁰) возникает операторное уравнение первого рода

∫ (

)

C ln ctg

;A²

u₂ dϕ = u₀,

(24)

для решения которого необходимо наложить дополнительные условия гладкости на начальный

элемент u₀.

Учитывая представление операторной косинус-функции C(t; A²⁰) через резольвенту

∫

C(t; A²⁰)u₂ =

e^λtλR(λ²;A²⁰)u₂ dλ, σ > 0, u₂ ∈ E,

2πi

σ-i∞

левую часть операторного уравнения (24) запишем в виде

∫ (

)

∫

∞

e^t

C ln ctg

;A²

u₂ dϕ = 2

C(t; A²⁰)u₂ dϕ =

1+e2t

∫

∞

∫

et(λ+1) dt

⁽1-λ⁾

λR(λ²; A²⁰)u₂ dλ =

λR(λ²; A²⁰)u₂ dλ

(25)

πi

1+e2t

2πi

σ-i∞ 0

σ-i∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ

(при этом мы использовали интеграл 2.3.12.6 из [21]), где

(

⁽z+1⁾

⁽z⁾⁾

β(z) =

-ψ

ψ(·) - пси-функция (см., например, [21, с. 775; 22, с. 536]).

Используя представление (25), операторное уравнение (24) относительно u₂ ∈ D(A²⁰) за-

пишем в виде

∫

⁽1-λ⁾

Pu₂ ≡

λR(λ²; A²⁰)u₂ dλ = u₀.

(26)

2πi

σ-i∞

Таким образом, вопрос о разрешимости операторного уравнения (24) сводится к вопросу

о существовании у заданного левой частью уравнения (26) и продолженного по непрерывно-

сти на E ограниченного оператора P : D(A²⁰) → E обратного оператора, определённого на

некотором подмножестве из D(A²⁰). Важную роль при этом будет играть функция

)

⁽1 - √λ

χ(λ) =

с помощью которой уравнение (26) запишем в виде

∫

Pu₂ ≡

ξχ(ξ²)R(ξ²;A²⁰)u₂ dξ = u₀.

πi

σ-i∞

Оператор A₀ порождает равномерно ограниченную группу T (t;A₀), следовательно, спектр

оператора A²⁰ лежит на отрицательной полуоси, и поэтому, как будет видно из дальнейшего

доказательства, нам будет важен факт отсутствия [22, с. 536] действительных нулей у функ-

ции χ(λ).

Пусть Υ₁ - контур на комплексной плоскости, состоящий из проходимой снизу вверх пря-

мой Re z = σ₁ > 0, тогда Υ²¹ - парабола, являющаяся образом прямой Υ₁ при отображении

w = z² (z ∈ Υ₁, w ∈ Υ²¹). Поскольку спектр оператора A²⁰ лежит на отрицательной полуоси,

то введём в рассмотрение контур Ξ, который получается из Υ₁ стягиванием к отрицательной

полуоси так, чтобы он не содержал слева от себя нулей функции χ(z).

Возьмём λ₀ из регулярного множества ρ(A²⁰) такое, чтобы Re λ₀ > σ₁ > 0, и введём в

рассмотрение ограниченный оператор

∫

R(z; A²⁰)v dz

Hv=

H :E→E,

(27)

2πi

χ(z)(z - λ₀)

абсолютная сходимость которого вытекает из известного неравенства

∥λR(λ²; A²⁰)∥ ≤

Reλ > ω,

Reλ - ω

для резольвенты генератора операторной косинус-функции C(t; A²⁰).

Покажем теперь, что оператор P имеет обратный оператор P-1 : D(A²⁰) → E. Пусть

v ∈ D(A²⁰), σ₁ < σ₂ < Reλ. Тогда, применяя определяемый равенством (27) оператор H к

Pv и учитывая тождество Гильберта

R(z; A²⁰) - R(ξ²; A²⁰)

R(z; A²⁰)R(ξ²; A²⁰) =

ξ² - z

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛУШАК

получаем равенство

∫

R(z; A²⁰)

HPv=

ξχ(ξ²)R(ξ²;A²⁰)v dξ =

2πi

χ(z)(z - λ₀) πi

σ₂-i∞

∫

∫ (

)

ξχ(ξ²)R(z;A²⁰)v

ξχ(ξ²)R(ξ²;A²⁰)v

dξ dz.

(28)

(2πi)²

χ(z)(z - λ₀)(ξ² - z)

Ξ σ2-i∞

Интеграл в (28) абсолютно сходится. Изменяя порядок интегрирования, будем иметь

∫

ξχ(ξ²)R(z;A²⁰)v dξ dz

HPv=

(2πi)²

χ(z)(z - λ₀)(ξ² - z)

Ξ σ2-i∞

∫

−

ξχ(ξ²)R(ξ²;A²⁰)v

dξ.

(29)

(2πi)²

χ(z)(z - λ₀)(ξ² - z)

σ₂-i∞

Если контур интегрирования Ξ замкнуть влево, то внутренний интеграл во втором слага-

емом в (29) обратится в нуль в силу теоремы Коши. Для вычисления же интегралов в первом

слагаемом в (29) используем интегральную формулу Коши. Таким образом, верно равенство

∫

∫ ∫

ξχ(ξ²)R(z;A²⁰)v dξ dz

χ_k(λ)R(z;A²⁰)v dλdz

HPv=

(2πi)²

χ(z)(z - λ₀)(ξ² - z)

(2πi)²

χ(z)(z - λ₀)(λ - z)

Ξ Υ₂

Ξ Υ²

∫

R(z; A²⁰)v dz

= -R(λ₀;A²⁰)v,

2πi

z-λ₀

где Υ₂ - контур на комплексной плоскости, состоящий из проходимой снизу вверх прямой

Re z = σ₂,

0 < σ₁ < σ₂ < Reλ, а контур Υ²² - парабола, являющаяся образом контура Υ₂

при отображении w = z² (z ∈ Υ₂, w ∈ Υ²²).

Коммутирующие между собой операторы H, P, R(λ₀; A²⁰) ограничены, и область опреде-

ления D(A²⁰) плотна в E, поэтому равенство HP v = -R(λ₀; A²⁰)v справедливо и для v ∈ E,

и при этом HP : E → D(A²⁰). Отсюда следует, что оператор P-1v = -(λ₀I - A²⁰)Hv при

v ∈ D(A²⁰) является обратным к оператору P, P-1 : D(A²⁰) → E. Действительно,

PP-1v = -P(λ₀I - A²⁰)Hv = -PH(λ₀I - A²⁰)v = R(λ₀;A²⁰)(λ₀I - A²⁰)v = v, v ∈ D(A²⁰),

P-1Pv = -(λ₀I - A²⁰)HPv = (λ₀I - A²⁰)R(λ₀;A²⁰)v = v, v ∈ E.

Возвращаясь к операторному уравнению (26) и требуя дополнительно, чтобы имело место

включение u₀ ∈ D(A⁴⁰), определим принадлежащий D(A²⁰) начальный элемент

u₂ = (A²⁰ - λ₀I)Hu₀,

где оператор H задан равенством (27), λ₀ ∈ ρ(A²⁰), Re λ₀ > σ₁ > 0. Тогда определяемая ра-

венством (22) функция u(t) будет ограниченным решением уравнения (21), удовлетворяющим

начальному условию (23). Заметим, что вырождающееся уравнение (21) может иметь второе

неограниченное в нуле решение. Таким образом установлена

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ

Теорема 5. Пусть оператор A₀ порождает равномерно ограниченную группу T (t; A₀) и

выполняется включение u₀ ∈ D(A⁴⁰). Тогда функция u(t), определяемая равенством (22), в

котором u₂ = (A²⁰ - λ₀I)Hu₀, где оператор H задан равенством (27), λ₀ ∈ ρ(A²⁰), Reλ₀ >

> σ₁ > 0, является ограниченным решением уравнения (21), удовлетворяющим начальному

условию (23).

Пример 1. Пусть E = C = D(A), A = iA₁, A₁ ∈ R, u₀ ∈ C. Тогда T (t; A₀) = eitA1 ,

C(t; A²⁰) = cos(tA₁) и решение задачи (21), (23) имеет вид

∫ (

)

u(t) = u₂ ch t cos ϕ + iA₁ ln ctg

dϕ,

где функция u₂ находится из условия

∫

(

)

u₂

cos A₁ ln ctg

dϕ = u₀.

Пример 2. Пусть E = BUC(R) - пространство ограниченных равномерно непрерывных

функций на R (или E = L^p(R), 1 ≤ p < ∞), оператор A0u(x) = u′(x) с областью определе-

ния D(A₀) = {u(x) ∈ E : u(x) - абсолютно непрерывна, u^′(x) ∈ E}. Тогда

T (t; A₀)u(x) = u(x + t), C(t; A²⁰)u(x) = 1/2(u(x + t) + u(x - t))

и, если u₂(x) ∈ D(A²⁰), то функция

∫

(

)

u(t) =

(ch(t cos ϕ) + sh(t cos ϕ))u₂ x + ln ctg

dϕ +

∫

(

)

(ch(t cos ϕ) - sh(t cos ϕ))u₂ x - ln ctg

dϕ

является ограниченным решением уравнения (21).

3. Сильно вырождающееся дифференциальное уравнение со степенным харак-

тером вырождения. Рассмотрим уравнение (4) в случае сильного вырождения, когда пара-

метр γ > 2. Замена независимой переменной t = (-τ/ν)^-ν , ν = 2/(2 - γ), и неизвестной

функции u(t) = u((-τ/ν)^-ν ) = w(τ) приводит сильно вырождающееся уравнение (4) к урав-

нению ЭПД

( (

)

)-νβ

1 + ν - bν

w^′′(τ) +

w^′(τ) = A +

B w(τ), τ > 0.

Аналогично теоремам 3 и 4 устанавливаются следующие теоремы 6 и 7, в которых в слу-

чае сильного вырождения указана постановка начальных условий, доказывается однозначная

разрешимость соответствующих начальных задач для уравнения (4), а также устанавливает-

ся связь между порядком вырождения γ, коэффициентом b при первой производной u^′(t) и

множеством операторов A, образующим класс корректной разрешимости.

Теорема 6. Пусть γ > 2,

2b ≥ 4 - γ, β ≥ 0, A ∈ G(2b+γ-4)/(γ-2), B ∈ L(E), u₀ ∈

∈ D(A). Тогда функция u(t) =

Y(2b+γ-4)/(γ-2)(-νt-1/ν)u₀, где ν = 2/(2 - γ), а функция

Y(2b+γ-4)/(γ-2)(·) определена равенством (18), является единственным решением уравнения

(4), удовлетворяющим начальным условиям

u(0) = u₀, lim t1+1/ν u^′(t) = 0.

t→0+

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛУШАК

Теорема 7. Пусть γ > 2,

2b < 4 - γ, β ≥ 0, A ∈ G(γ-2b)/(γ-2), B ∈ L(E), u₁ ∈ D(A).

Тогда функция

1-b

(-ν)bν-ν-1t

u(t) =

Y(γ-2b)/(γ-2)(-νt-1/ν)u₁,

1-b

где ν = 2/(2 - γ), а функция

Y(γ-2b)/(γ-2)(·) определена равенством (18), является един-

ственным решением уравнения (4), удовлетворяющим начальным условиям

u(0) = 0,

(-ν)1+ν-bν lim

t^bu^′(t) = u₁.

t→0+

4.Абстрактный аналог вырождающегося по пространственной переменной диф-

ференциального уравнения со степенным характером вырождения. При α > 0 рас-

смотрим уравнение

u^′′(t) = t^αAu(t), t ≥ 0.

(30)

Если A - оператор дифференцирования по пространственной переменной x, например

Au(t, x) = u^′′xx(t, x), то уравнение (30) является вырождающимся гиперболическим и обобща-

ет уравнение Трикоми, но имеет другой характер вырождения по сравнению с уравнениями

предыдущих пунктов. Поэтому абстрактное уравнение (30) естественно также называть вы-

рождающимся.

Замена переменной t = (τ/μ)^μ, μ = 2/(α + 2), и неизвестной функции u(t) = (τ/μ)^μw(τ)

приводит вырождающееся уравнение (30) к уравнению ЭПД вида

μ+1

w^′′(τ) +

w^′(τ) = Aw(τ), τ > 0.

(31)

Поскольку 0 < μ < 1, то по теореме 1 из [12] при A ∈ G1-μ ⊂ Gμ+1 функция

w(τ) = μ^μτ^-μY1-μ(τ)u₀ + Yμ+1(τ)u₁

(32)

будет единственным решением уравнения (31), удовлетворяющим двум ненулевым начальным

условиям

lim

(w(τ) - μ^μτ^-μY1-μ(τ)u₀) = u₁, lim

τμ+1w^′(τ) = -μμ+1u₀.

(33)

τ→0+

Возвращаясь в (32), (33) к исходной переменной, получаем представление решения урав-

нения (30)

u(t) = Y1-μ(μt1/μ)u₀ + tYμ+1(μt1/μ)u₁

(34)

и начальные условия

u(0) = u₀, u^′(0) = u₁,

(35)

которым это решение удовлетворяет. Таким образом, справедлива

Теорема 8. Пусть α > 0, μ = 2/(α + 2), A ∈ G1-μ, u₀, u₁ ∈ D(A). Тогда определяемая

равенством (34) функция u(t) является единственным решением уравнения (30), удовлетво-

ряющим начальным условиям (35).

Заметим, что в рассматриваемом в [4] частном случае A = A²⁰, где A₀ - генератор C₀-

группы, отсутствует утверждение о единственности, а доказательство утверждения о разре-

шимости состоит в проверке с помощью дифференцирования под знаком интеграла представ-

ления вида (3) для ОФБ. Имея решение (34) и используя свойство ОФБ определять решение

уравнения ЭПД, эту проверку можно произвести значительно проще.

Следует отметить, что добавление в уравнение (30) “младших” слагаемых требует, вообще

говоря, дополнительной гладкости от начальных условий по сравнению с задачей (30), (35),

а начальная задача для изменённого уравнения может оказаться некорректной. Приведём

соответствующий пример.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ

Пример 3. Пусть u₀ ∈ D(An0), n = max{2, m}, m ∈ N₀, A₀ - генератор C₀-группы

T (t; A₀). Тогда функция

∑

√πt2j

u(t) =

T (t²/2)A

u₀

(36)

j!(m - j)!Γ(j + 1/2)

j=0

является решением уравнения

u^′′(t) = t²A²⁰u(t) + (4m + 1)A₀u(t), t ≥ 0,

(37)

удовлетворяющим начальным условиям

u(0) = u₀, u^′(0) = 0.

(38)

Этот факт нетрудно проверить, сравнивая после подстановки определяемой равенством

(36) функции в уравнение (37) коэффициенты при t2jAj+10u₀, 0 ≤ j ≤ m, в левой и правой

частях получившегося соотношения.

Равенство (36) показывает наличие зависимости между коэффициентом при A₀u(t) в урав-

нении (37) и гладкостью начального элемента u₀ в начальных условиях (38) (ср. со случаем

вырождающегося гиперболического уравнения в частных производных [3, с. 255]).

5. Вырожденное гипергеометрическое операторное уравнение. В заключение по-

кажем, как с помощью дробного интегродифференцирования (см. [23, § 2]) можно исследовать

вырожденное гипергеометрическое операторное уравнение

tu^′′(t) + (bI - tA)u^′(t) - cAu(t) = 0, t ≥ 0,

(39)

параметры b и c которого удовлетворяют неравенствам b > c > 0.

Будем искать ограниченное в нуле решение уравнения (39) и вначале предположим, что

b > 1, c = α, 0 < α < 1. Учитывая равенство (см. [23, формула (15.11)])

Dα0+(tu(t)) = tDα0+u(t) + αDα-10+u(t)

для дробной производной Римана-Лиувилля Dα0+, это уравнение запишем в виде

Dα0+(t(D1-α0+u(t))^′ + ((b - α)I - tA)D1-α0+u(t)) = 0.

Обозначив v(t) = D1-α0+u(t), относительно функции v(t) получим уравнение

tv^′(t) + (b - α)v(t) = tAv(t) + tα-1v₀

(40)

с некоторым элементом v₀ ∈ E.

Чтобы существовало решение дифференциального уравнения первого порядка, естествен-

но предположить, что оператор A является генератором C₀-полугруппы U(t; A). Тогда в

качестве решения уравнения (40) возьмём функцию

∫¹

v(t) = tα-1

(1 - s)b-2U(ts; A)v₀ ds.

(41)

Учитывая представление (41), найдём ограниченное решение уравнения (39). После эле-

ментарных преобразований получим

∫

v(τ)

u(t) = I1-α0+v(t) =

dτ =

Γ(1 - α)

(t - τ)^α

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ГЛУШАК

∫

τα-1

(1 - s)b-2U(τs; A)v₀ ds dτ =

Γ(1 - α)

(t - τ)^α

∫

τ^α-b

(τ - x)b-2U(x; A)v₀ dx dτ =

Γ(1 - α)

(t - τ)^α

∫

τ^α-b(τ - x)b-2

U (x; A)v₀

dτ dx =

Γ(1 - α)

(t - τ)^α

∫

Γ(b - 1)

xα-1(t - x)b-α-1U(x;A)v₀ dx =

Γ(b - α)tb-1

∫

Γ(b - 1)

sc-1(1 - s)b-c-1U(ts;A)v₀ ds,

(42)

Γ(b - c)

при этом мы использовали интеграл 2.2.6.2 из [21].

Наконец, чтобы найденное решение удовлетворяло начальному условию

u(0) = u₀ ∈ D(A),

(43)

Γ(b)

в представлении (42) положим v₀ =

u₀. Тогда

Γ(b - 1)Γ(c)

∫

Γ(b)

u(t) =

sc-1(1 - s)b-c-1U(ts;A)u₀ ds.

(44)

Γ(c)Γ(b - c)

Равенство (44), установленное для b > 1 и 0 < c < 1, в силу принципа аналитического

продолжения справедливо и для b > c > 0. Таким образом, доказана

Теорема 9. Пусть оператор A порождает C₀-полугруппу U(t; A), b > c > 0 и выпол-

няется включение u₀ ∈ D(A). Тогда определяемая равенством (44) функция u(t) является

ограниченным решением вырожденного гипергеометрического операторного уравнения (39),

удовлетворяющим начальному условию (43).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (грант 19-01-00732).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М., 1966.

2. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М., 1970.

3. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения с неотрицательной характеристической формой. М., 2010.

4. Favini A. Su un’equazione astratta di tipo ellittico-iperbolico // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 1976.

V. 55. P. 227-242.

5. Вайнерман Л.И. Гиперболические уравнения с вырождением в гильбертовом пространстве // Сиб.

мат. журн. 1977. Т. 18. № 4. С. 736-746.

6. Орлов В.П. О слабо вырождающихся гиперболических уравнениях // Дифференц. уравнения. 2003.

Т. 39. № 10. С. 1409-1419.

7. Голдстейн Дж. Полугруппы линейных операторов и их приложения. Киев, 1989.

8. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя // Докл. АН СССР. 1997. Т. 352. № 5. С. 587-589.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

О РАЗРЕШИМОСТИ

9. Глушак А.В., Покручин О.А. Критерий разрешимости задачи Коши для абстрактного уравнения

Эйлера-Пуассона-Дарбу // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 1. С. 41-59.

10. Brezis H., Rosenkrantz W., Singer B. On a degenerat elliptic-parabolic equation occurring in the theory

of probability // Comm. Pur Appl. Math. 1971. V. 24. P. 395-416.

11. Глушак А.В. Критерий разрешимости весовой задачи Коши для абстрактного уравнения Эйлера-

Пуассона-Дарбу // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 5. С. 627-637.

12. Глушак А.В., Кононенко В.И., Шмулевич С.Д. Об одной сингулярной абстрактной задаче Коши

// Изв. вузов. Математика. 1986. № 6. С. 55-56.

13. Глушак А.В. О возмущении абстрактного уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу // Мат. заметки.

1996. Т. 60. Вып. 3. С. 363-369.

14. Глушак А.В. Операторная функция Бесселя и связанные с нею полугруппы и модифицированное

преобразование Гильберта // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 1. С. 128-130.

15. Левитан Б.М. Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье // Успехи мат. наук.

1951. Т. 1. Вып. 2 (42). С. 102-143.

16. Bragg L.R. Fundamental solutions and properties of solutions of the initial value radial Euler-Poisson-

Darboux // J. Math. Mech. 1969. V. 18. P. 607-616.

17. Волк В.Я. О формулах обращения для дифференциального уравнения с особенностью при x=0

// Успехи мат. наук. 1953. Т. 8. Вып. 4 (56). С. 141-151.

18. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной

функции // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. Т. 15. Вып. 4. С. 309-360.

19. Фомин В.И. Векторное уравнение Эйлера второго порядка в банаховом пространстве. М., 2012.

20. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М., 1949.

21. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.,

1981.

22. Дунаев А.С., Шлычков В.И. Специальные функции. Ч. 2. Екатеринбург, 2015.

23. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые

их приложения. Минск, 1987.

Белгородский государственный национальный

Поступила в редакцию 29.05.2020 г.

исследовательский университет

После доработки 29.05.2020 г.

Принята к публикации 26.06.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021