ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.76-86

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.226+517.956.226

ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

СО СТЕПЕННЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

Строится регуляризованная асимптотика решения первой краевой задачи для сингуляр-

но возмущённого двумерного дифференциального уравнения параболического типа, когда

предельное уравнение имеет регулярную особенность. В таких задачах наряду с параболи-

ческими пограничными слоями возникают степенной и угловые пограничные слои.

DOI: 10.31857/S0374064121010076

Введение. Метод регуляризации Ломова [1] для сингулярно возмущённых задач первона-

чально был разработан для уравнений, порядок которых при стремлении малого параметра

к нулю не понижается, а приобретает ту или иную особенность [2]. Метод позволяет строить

регуляризованную асимптотику решения [1]. Впоследствии этот метод был обобщён на многие

классы сингулярно возмущённых уравнений в различных постановках (библиографию работ,

посвящённых построению регуляризованных асимптотик и опубликованных в последние годы,

можно найти в монографии [3]). Задачи со степенным погранслоем c разных точек зрения изу-

чались в работах [2-7]. Так, в работе [4] построена асимптотика решений краевых и начальных

задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром со степенным

пограничным слоем. В ней же приводятся примеры смешанных краевых задач для уравнений

с частными производными параболического и гиперболического типов, при решении которых

возникает явление степенного пограничного слоя. В изученных в [4] уравнениях перед само-

сопряжённым эллиптическим оператором малый параметр отсутствовал. С помощью метода

Фурье исходная задача сводилась к обыкновенному дифференциальному уравнению, асимп-

тотика решения которого содержала только степенной пограничный слой.

Исследованное в данной работе параболическое уравнение, в отличие от работы [4], со-

держит малый параметр при части пространственных производных второго порядка. Такое

вхождение малого параметра в уравнение приводит к возникновению, дополнительно, пара-

болического пограничного слоя, описываемого специальной функцией, называемой “дополни-

тельным интегралом вероятности”. Кроме того, асимптотика построенного решения содержит

угловые погранслойные функции, представляющие собой произведение степенной и парабо-

лической погранслойных функций. Фундаментальные результаты по степенным пограничным

слоям для обыкновенных дифференциальных уравнений содержит монография [3, с. 379-401],

в которой методом регуляризации для сингулярно возмущённых задач построена регуляризо-

ванная асимптотика. Эта асимптотика решения содержит полином по степеням ln(1 + τ),

τ = t/ε. Нам, вводя регуляризующие функции другим образом, удалось упростить структуру

построенного решения - оно не содержит полином по степеням ln(1 + τ). Для обыкновенных

дифференциальных уравнений такой результат опубликован в [7]. В работах [5, 6] алгебраи-

ческим методом изучены сингулярно возмущённые начальные и краевые задачи для систем

обыкновенных дифференциальных уравнений с особенностями различных типов и построены

асимптотики решения, содержащие степенные пограничные слои.

Метод может быть применён к задачам гидро- и аэродинамики. Сингулярно возмущённые

задачи из механики жидкости, из теории взрыва и из других прикладных областей приведены

в работе [8], а в работе [9] описываются такие задачи из радиотехники.

Настоящая работа посвящена асимптотическому решению первой краевой задачи для син-

гулярно возмущённого двумерного дифференциального уравнения параболического типа

L_εu(x,y,t,ε) ≡ (ε + t)∂_tu(x,y,t,ε) - ε²a(x)∂2xu(x,y,t,ε) - L(y,t)u(x,y,t,ε) = f(x,y,t),

(x, y) ∈ Ω ≡ (0, 1) × (0, 1), (x, y, t) ∈ Q ≡ Ω × (0, T ],

u(x, y, t, ε)|t=0 = u(x, y, t, ε)|∂Ω = 0.

(1)

ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА СО СТЕПЕННЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

Асимптотика решения этой задачи наряду с параболической погранслойной функцией со-

держит и степенную погранслойную функцию

(

)λ

Π_ε(t) =

λ > 0,

t+ε

а также их произведение, которое описывает угловой пограничный слой [7].

Задача решается при следующих предположениях:

1) функция a(x) принадлежит классу C^∞[0, 1] и положительна при всех x ∈ [0, 1]; сво-

бодный член f(x, y, t) принадлежит классу C^∞(Q);

2) самосопряжённый оператор L(y, t) в гильбертовом пространстве L₂[0, 1] при каждом

t ∈ [0,T] имеет простой дискретный спектр {λ_k(t) : k ∈ N} (т.е. Lψ_k(y,t) = λ_k(t)ψ_k(y,t),

ψ_k(y,t)|y=0 = ψ_k(y,t)y=1 = 0), который удовлетворяет условиям:

a) справедливо соотношение λ_i(t) = λ_j(t) для любых i = j и всех t ∈ [0, T ],

b) имеет место неравенство λ_k(0) < 0 для любого k ∈ N.

1. Регуляризация задачи. Наряду с независимыми переменными x, t будем рассмат-

ривать регуляризующие переменные, которые введём с помощью следующих равенств:

)

⁽t+ε

⁽t+ε⁾

ϕl(x)

μ_j = λ_j(0)ln

≡ K_j(t,ε), τ =

ζ_l =

(2)

ε3/2

∫

ϕl(x) = (-1)l-1

√

l = 1,2,

a(s)

l-1

и объявим их независимыми переменными расширенной функции

ũ(M, ε)|θ=χ(x,t,ε) ≡ u(x, y, t, ε),

(3)

M = (x,y,t,θ), θ = (ζ,τ,μ), μ = (μ₁,μ₂,...), ζ = (ζ₁,ζ₂),

(

)

⁽ ϕ(x)

t+ε

χ(x, t, ε) =

,K₁(t,ε),K₂(t,ε),...

ϕ(x) = (ϕ₁(x), ϕ₂(x)).

ε3/2

C учётом определения (2) из (3) найдём производные расширенной функции:

(

)

∑

λ_j(0)

∂_tu(x,y,t,ε) ≡

∂_tũ +

∂_τ ũ +

∂μj ũ

(4)

ε(t + ε)

t+ε

θ=χ(x,t,ε)

j=1

(

)₂

])

∑

^[(ϕ^′l(x)

∂2xu ≡

∂2xũ +

∂2ζ

ũ+

(2ϕ^′l(x)∂2x,ζ

+ ϕ′′l (x)∂_ζ

)ũ

ε3/2

θ=χ(x,t,ε)

l=1

Ради упрощения записи не приведены слагаемые, содержащие ∂²

ũ(M), так как асимпто-

ζ₁,ζ₂

тика не содержит функций, зависящих от (ζ₁, ζ₂).

На основании (1), (2)-(4) для расширенной функции ũ(M, ε) поставим следующую задачу:

L_εũ(M,ε) ≡ ε∂_tũ +1T0ũ + T1ũ -

√εL_ζ ũ - ε²L_x ũ = f(x, y, t), M ∈ B,

ũ(M, ε)|t=τ=μ=0 = 0,

ũ(M, ε)|_∂B = 0,

(5)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ОМУРАЛИЕВ и др.

где

∑

B ≡ Q × (0,∞)³, T₀ ≡ ∂_τ - Δ_ζ, T₁ ≡ t∂_t + λ_j(0)∂μj - L(y,t), Δ_ζ ≡

∂² ,_ζ

j=1

l=1

∑

L_ζ ≡ a(x) L_ζ,l, L_x ≡ a(x)∂2x, L_ζ,l ≡ ∂_ζ

D_x,l, D_x,l ≡ 2ϕ^′l(x)∂_x

+ ϕ′′l (x).

l=1

При этом имеет место тождество

(Lεũ(M,ε))θ=χ(x,t,ε) ≡ L_εu(x,y,t,ε).

(6)

Решение задачи (5) будем искать в виде ряда

∑

ũ(M, ε) =

εk/2u_k(M).

k=0

Для коэффициентов этого ряда стандартным образом получаем следующие итерационные

задачи:

T_νu₀(M) = 0, T₀u₂(M) = -T₁u₀(M) + f(x,y,t),

T₀u_k(M) = -T₁uk-2(M) + L_ζuk-3(M) - ∂_tuk-4(M) + L_xuk-6(M),

u_k(M)|t=τ=μ=0 = 0, u_k(M)|_∂B = 0, k ≥ 0, ν = 0,1.

(7)

2. Пространство безрезонансных решений. Определим класс функций, в котором

каждая из задач (7) однозначно разрешима. Для этого введём функциональные пространства

G₀ = {g₀(x,y,t) : g₀(x,y,t) = 〈υ(x,t),ψ(y,t)〉, υ(x,t) ∈ C^∞([0,1] × [0,T])},

{

(

)

∑

ζ2l

G₁ = g₁(N^l) : g₁(N^l) =

〈Y (N^l), ψ(y, t)〉,

∥Y (N^l)∥ < c exp -

8τ

l=1

}

Y (N^l) = y(x, t)Y (ζ_l, τ), y(x, t) ∈ C^∞([0, 1] × [0, T ]) ,

G₂ = {g₂(x,y,t,μ) : g₂(x,y,t,μ) = 〈[C(x,t) + Λ(P(x))]exp(μ),ψ(y,t)〉,

C(x, t) ∈ C^∞([0, 1] × [0, T ]), P (x) ∈ C^∞([0, 1])},

{

(

)

∑

ζ2l

G₃ = g₃(N^l) : g₃(N^l) =

〈Z(N^l) exp(μ), ψ(y, t)〉,

∥Z(N^l)∥ < c exp -

8τ

l=1

}

Z(N^l) = z(x, t)Z(ζ_l, τ), z(x, t) ∈ C^∞([0, 1] × [0, T ]) ,

N^l = (x,t,ζ_l,τ), μ = (μ₁,μ₂,...), υ(x,t) = (υ₁(x,t),υ₂(x,t),...), Z(N^l) = (Z_ij(N^l)),

Y (N^l) = (Y₁(N^l), Y₂(N^l), . . .), C(x, t) = (c_ij (x, t)), Λ(P (x)) = diag(P₁(x), P₂(x), . . .),

exp(μ) = (exp(μ₁), exp(μ₂), . . .), ψ(y, t) = (ψ₁(y, t), ψ₂(y, t), . . .), i, j = 1, 2, . . . ,

∑

〈υ(x, t), ψ(y, t)〉 =

υ_i(x,t)ψ_i(y,t),

i=1

∑

〈[C(x, t) + Λ(P (x))] exp(μ), ψ(y, t)〉 =

c_ij(x,t)exp(μ_j)ψ_i(y,t) +

P_i(x)exp(μ_i)ψ_i(y,t),

ij=1

i=1

∑

〈Z(N^l) exp(μ), ψ(y, t)〉 =

Z_ij(N^l)exp(μ_j)ψ_i(y,t),

〈Y (N^l), ψ(y, t)〉 =

Y_i(N^l)ψ_i(y,t).

ij=1

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА СО СТЕПЕННЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

Из этих пространств построим новое пространство, определив его как прямую сумму введён-

ных выше пространств

U =G₀

^⊕G₁⊕G₂⊕G₃,

которое, следуя [1], назовём пространством безрезонансных решений. Произвольный элемент

u_k(M) пространства U имеет вид

∑

u_k(M) = 〈v_k(x,t),ψ(y,t)〉 +

〈Y^k(N^l), ψ(y, t)〉 +

l=1

∑

+ 〈[C^k(x, t) + Λ(P^k(x))] exp(μ), ψ(y, t)〉 +

〈Z^k(N^l) exp(μ), ψ(y, t)〉.

(8)

l=1

Вычислим действия операторов T₀, T₁, L_ζ на функцию u_k(M) ∈ U. Имеем

∑

T₀u_k(M) =

〈[∂_τ Y^k(N^l) - ∂2ζ

Y k(N^l) + (∂_τZ^k(N^l) - ∂2 Z^k(N^l))exp(μ)],ψ(y,t)〉,_ζ

l=1

(

)

∑

T₁u_k(M) = D¹υ_k(x,t) + D¹Y^k(N^l) ,ψ(y,t)

l=1

∑

+ 〈D³(C^k(x, t) + Λ(P^k(x))) exp(μ), ψ(y, t)〉 +

D³Z^k(N^l)exp(μ),ψ(y,t)

l=1

∑

L_ζu_k(M) = a(x)

〈[∂ζl (D_x,l(Y^k(N^l))) + ∂_ζ

(D_x,l(Z^k(N^l))) exp(μ)], ψ(y, t)〉,

l=1

D¹ ≡ t∂_t - Λ(λ(t)) + tA^т(t), D³Z ≡ t∂_tZ + tA^т(t)Z + ZΛ(0) - Λ(t)Z,

α_ik(t) = (∂_tψ_i(y,t),ψ_k(y,t)), Λ(t) = diag(λ₁(t),λ₂(t),...), A(t) = (α_ik(t)).

(9)

3. Разрешимость итерационных задач. В общем случае итерационные уравнения (7)

можно записать в виде

T₀u_k(M) = h^k(M).

(10)

Теорема 1. Пусть выполнены предположения 1), 2) и функция h^k(M) принадлежит

пространству G₁

^⊕G₃. Тогда уравнение (10) имеет решение u_k(M), принадлежащее прост-

ранству U.

Доказательство. Пусть h^k(M) ∈ G₁

^⊕G₃, т.е.

(

)

∑

ζ2l

h^k(M) =

[hk,1(N^l) + hk,2(N^l) exp(μ)], ψ(y, t) ,

∥h^k,r(N^l)∥ < c exp -

r = 1,2.

8τ

l=1

Подставим представление (8) в уравнение (10), тогда на основании вычислений (9) получим

относительно функций Y^k(N^l) и Z^k(N^l) уравнения

∂_τ Z^kij(N^l) - ∂2ζ

Z^kij(N^l) = hk,2ij(N^l),

∂_τ Y^ki(N^l) - ∂2ζ

Y ki (N^l) = hk,1i(N^l).

Эти уравнения при соответствующих краевых условиях

Z^kij(N^l)|τ=0 = 0, Z^kij(N^l)|_ζ

(x, t), Y^ki(N^l)|τ=0 = 0, Y^ki(N^l)|_ζ

l=0 =

l=0 =di,l(x,t)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ОМУРАЛИЕВ и др.

имеют решения, представимые в виде

(

)

∫

∞

ζ_l

Z^kij(N^l) = W^k,lij(x,t)erfc

+ hk,2ij(x,t)I₂(ζ_l,τ), erfc(x) =

2√τ

√πexp(-t2)^dt,

(

)

ζ_l

Y ki (N1,l) = d^k,li(x,t)erfc

+ hk,1i(x,t)I₁(ζ_l,τ),

(11)

2√τ

∫

∞

[ (

)

(

)]

hk,r1(η,s)

(ζ_l - η)²

(ζ_l + η)²

I_r(ζ_l,τ) =

√

exp

- exp

dη ds, r = 1, 2,

2√π

τ-s

4(τ - s)

где hk,r1(x, t), hk,r2(η, s) - известные функции.

Оценим интеграл I_r(η_l, τ), используя теорему о среднем:



∫

∞

[ (

)

(

)]

(

)



dν

(ζ_l - η)²

(ζ_l + η)²

η²



|I_r(N^l)| ≤ c^

√

exp

- exp

exp

dη

⁼

^2√π

τ-ν

4(τ - ν)

8ν

∫

∫

∞

[

(

)₂

(

)]



dν

ζ_l + η

(ζ_l - η)²

(ζ_l + η)²

√

exp

+θ -

2√π

τ-ν

4(τ - ν)

(

)

(

)



(ζ_l - η)²

(ζ_l + η)²

η²



× -

exp

dη

⁼

4(τ - ν)

8ν

∫

∞

∫

(

)

(

)



η²

(ζ_l + η)²

(ζ_l - η)²

ζ_lη



exp

-(1 - θ)

-θ

√

dη dν

^.

2√π

8ν

4(τ - ν)

(τ - ν)³

Так как



(

)



ζ_lη



≤-

exp

^<

(τ - ν)

^2√τ-ν

4(τ - ν)

то, выбирая θ = 1/4, будем иметь



∫

∞

(

)

(

)∫τ

(

)



η2l

η²



|I₁(N_l)| ≤ c^

exp

dν dη

^.

^2√π^exp

4τ

8τ

4(τ - ν) (τ - ν)

Сделаем замену τ - ν = z, затем, применяя теорему о среднем, будем иметь



∫

∞

(

)

(

∫

(

)



η2l

η²

⁾1

η²



|I₁(N_l)| ≤ c^

exp

dz dη

^.

^2√π^exp

4τ

8τ τ

Усиливая неравенство и применяя ещё раз теорему о среднем, приходим к неравенству



(

)∫∞

(

)

(

)



1

η2l

η²



|I₁(N_l)| ≤ c^

exp

τ exp

dη

θ ∈ (0,τ).

^,

4τ

8τ

4θτ

Отсюда, используя формулу 3.321.3 из [10], получим требуемую оценку. Теорема доказана.

Далее для матрицы C через C (через C) будем обозначать матрицу с теми же, что и у C,

диагональными (внедиагональными) элементами и нулевыми внедиагональными (диагональ-

ными) элементами, в частности, C = C + C.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА СО СТЕПЕННЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

Теорема 2. Пусть выполнены предположения 1), 2) и hk,2(x, t)|t=0 = 0 (т.е. hk,2ii(x, 0) =

= 0). Тогда задача

D³(C^k(x,t) + Λ(P^k(x))) = hk,2(x,t),

C^k(x,t)|t=0 = -[Λ(υ_k(x,0)) + Λ(C^k(x,t)1) + Λ(P^k(x))]t=0

(

)

∑

т.е. c^ki,i(xt)|t=0 = -υ_ki(x,0) - P^ki(x) -

c^kij(x,0) ,

(12)

i=j

где 1 = col (1, 1, . . .), однозначно разрешима.

Доказательство. В уравнении (12) положим

C^k(x,t)Λ(0) - Λ(t)C^k(x,t)|t=0 = [hk,2(x,t)]|t=0

(13)

(

)

hk,2i,j(x,0)

т.е. c^kij (x, t)|t=0 =

i=j

λ_j(0) - λ_i(0)

Тогда в силу условия hk,2(x, t)|t=0 = 0 система (12) невырождена.

Уравнение (12) при соответствующих начальных условиях из (12) и (13) однозначно опре-

деляет функцию C^k(x, t). Теорема доказана.

Замечание. При решении итерационных уравнений условие hk,2(x, t)|t=0 = 0 обеспечива-

ется выбором вектор-функции P^k(x) = (Pk1(x), Pk2(x), . . .).

Теорема 3. Пусть выполнены предположения 1), 2). Тогда уравнение (10) имеет един-

ственное решение, удовлетворяющее условиям:

a) u_k(M)|t=τ=μ=0 = 0, u_k(M)|_∂B = 0;

b) T₁u_k(M) + h^k(M) ∈ G₁

^⊕G₃;

c) L_ζ u_k(M) = 0.

Доказательство. По теореме 1 решение уравнения (10) существует и представимо в ви-

де (8). Удовлетворим решение (8) условию b): оно обеспечивается, если произвольные функции

υ_k(x,t), C^k(x,t) будут выбраны как решения уравнений

D¹v_k,i(x,t) = -hk,1i(x,t), D³[c^kij(x,t) + P^ki(x)] = -hk,2ij(x,t).

Тогда на основании (9) выражение T₁u_k(M) + h^k(M) запишется в виде

∑

T₁u_k(M) + h^k(M) =

[〈D¹Y^k(N^l) + hk,3(N^l), ψ(y, t)〉 +

l=1

+ 〈(D³Z^k(N^l) + hk,4(N^l)) exp(μ), ψ(y, t)〉] ∈ G₁

^⊕G₃,

∑

h^k(M) =

〈hk,3(N^l) + hk,4(N^l) exp(μ), ψ(y, t)〉.

l=1

Удовлетворив функцию (8) краевым условиям a), найдём, что

Y ki (N^l)|t=τ=0 = 0, Y ki (N^l)|_ζ

l=0 =di,l(x,t), d^i,l(x,t)|x=l-1 = -υk,i(l - 1,t),

C^k(x,t)|t=0 = -Λ(υ_k(x,0)) - Λ(P^k(x)) - Λ(C^k(x,0)1)

(

)

∑

т.е. c^kii(x, t)|t=0 = -υ_ki(x, 0) - P^ki(x) -

c^kij(x,0) ,

Z^kij(N^l)|t=τ=0 = 0,

i=j

Z^kij(N^l)|_ζ

(x, t), W^k,lij(x, t)|x=l-1 = -c^kij(l - 1, t) - P^ki(l - 1).

(14)

l=0 =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ОМУРАЛИЕВ и др.

По теореме 2 матрица-функция C^k(x, t) определяется однозначно.

Подставим функцию u_k(M) в условие с). Тогда, учитывая представления (11), а также

равенство hk,r+3(N^l) = hk,r+3(x, t)I_r(ζ_l, τ), и замечая, что функция erfc (ζ_l/2√τ) имеет такую

же, как и функция I_r(ζ_l, τ), r = 1, 2, оценку, получаем, согласно (9), уравнения

D_x,l[d^k,li(x,t) + hk,3i(x,t)] = 0, D_x,l[W^k,li,j(x,t) + hk,4i,j(x,t)] = 0.

Из этих уравнений при начальных условиях из (14) однозначно определим функции d^k,li(x, t) и

W^k,li,j(x,t), а следовательно, в силу (11) однозначно определяются функции Y^k(N^l) и Z^k(N^l).

Уравнение относительно υ_k(x, t) имеет единственное гладкое решение (см. [2, 3, 11, 12]),

удовлетворяющее условию ∥υ_k(x, 0)∥ < ∞.

Таким образом, решение уравнения (10) определено однозначно. Теорема доказана.

4. Решение итерационных задач. Итерационное уравнение (7) при k = 0,1 является

однородным, поэтому, согласно теореме 1, эти уравнения разрешимы в пространстве U, если

функции Y^k(N¹) и Z^k(N^l) являются решениями уравнений

∂_τ Y^ki(N¹) = ∂2ζ

Y ki (N^l),

∂_τ Z^kij(N¹) = ∂2ζ

Z^kij(N^l).

Решения этих уравнений при краевых условиях

Y ki (N¹)|τ=0 = 0, Y ki (N¹)|_ζ

(N¹)|τ=0 = 0, Z^kij(N¹)|_ζ

(x, t)

l=0 =di,l(x,t),

l=0 =

представимы в виде

(

)

(

)

ζ_l

Y ki (N₁) = d^k,li(x,t)erfc

Z^kij(N₁) = W^k,lij(x,t)erfc

(15)

2√τ

где произвольные функции d^k,li(x, t), W^k,lij(x, t) удовлетворяют условиям

d^k,li(x,t)|x=l-1 = -v_k,i(l - 1,t), W^k,lij(x,t)|x=l-1 = -c^kij(l - 1,t) - P^ki(l - 1).

Вычислим свободный член уравнения (7) при k = 2, предварительно разложив свободный

член f(x, y, t) в ряд

∑

f (x, y, t) =

f_i(x,t)ψ_i(y,t).

i=1

В результате получим

F₂(M) = -T₁u₀(M) + f(x,y,t) = -〈D¹υ₀(x,t) - f(x,t),ψ(y,t)〉 -

∑

−

〈D¹Y⁰(N¹), ψ(y, t)〉-〈D³[C⁰(x, t)+Λ(P⁰(x))] exp(μ), ψ(y, t)〉-

〈D³Z⁰(N^l) exp(μ), ψ(y, t)〉,

l=1

f (x, t) = (f₁(x, t), f₂(x, t), . . .).

Положим

D¹v0i(x,t) - f_i(x,t) = 0, D³[c0ij(x,t) + Λ(P0i(x))] = 0,

(16)

тогда

∑

F₂(M) = -

〈[D¹Y⁰(N¹) + D³Z⁰(N^l) exp(μ)], ψ(y, t)〉.

l=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА СО СТЕПЕННЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

Уравнение с такой правой частью разрешимо в пространстве U, если функции Y2i(N^l) и

Z2ij(N^l) являются решениями уравнений

T₀Y2i(N^l) = -D¹Y0i(N¹), T₀Z2ij(N^l) = -D³Z0ij(N^l).

Рассмотрим уравнения (16). Первое уравнение имеет решение, удовлетворяющее условию

(см. [2, 3, 11, 12]) ∥υ0(x, 0)∥ < ∞.

Снимая вырожденность второй системы из (16), положим

C⁰(x,t)Λ(0) - Λ(t)C⁰(x,t)|t=0 = 0 (т.е. (λ_i(0) - λ_j(t))c0i,j(x,t)|t=0 = 0, i = j).

(17)

Кроме того, из начального условия (14) найдём

C⁰(x,t)|t=0 = -[Λ(v₀(x,t)) + Λ(C⁰(x,t) 1) + Λ(P⁰(x))]t=0,

(18)

или в координатной форме это равенство с учётом (17) можно записать в виде

c0ii(x,t)|t=0 = -[v0,i(x,0) + P0i(x)].

Соотношения (17), (18) используются в начальных условиях второй системы (16), и она

однозначно разрешима.

Перейдём к следующему итерационному уравнению при k = 3, его свободный член на

основании вычислений (9) запишется в виде

∑

F₃(M) = -T₁u₁(M) + L_ζu₀(M) = - D¹v₁(x,t) + D¹Y¹(N^l),ψ(y,t)

l=1

∑

- 〈D³(C¹(x, t) + Λ(P¹(x))) exp(μ), ψ(y, t)〉 -

〈D³Z¹(N^l) exp(μ), ψ(y, t)〉 +

l=1

∑

+ a(x)

〈∂ζl D_x,l[Y⁰(N^l) + Z⁰(N^l) exp(μ)], ψ(y, t)〉.

l=1

Обеспечивая разрешимость этого уравнения, на основании (15) положим

D¹v1,i(x,t) = 0, D_x,ld0,li(x,t) = 0, D_x,lW0,li,j(x,t) = 0, D³(c1i,j(x,t) + P1i(x)) = 0.

(19)

Из первого уравнения в (19) найдём, что v₁(x, t) = 0. Решая второе и третье уравнения при

условиях d0,li(x, t)|t=0 =-v0,i(x, 0) и W0,li,j(x, t)|t=0 =-c0i,j(x, 0), определим d0,li(x, t) и W0,li,j(x, t).

Четвёртое уравнение разрешимо, если выполняется равенство

(λ_i(0) - λ_j (t))c1ij (x, 0)|t=0 = 0 для всех i = j.

Из начального условия (14) находим, что

C¹(x,t)|t=0 = -Λ(v₁(x,0)) - Λ(P¹(x)) (c1ii(x,t)|t=0 = -v1,i(x,0) - P1i(x)).

Ниже будет показано, что P^ki(x) = 0 при нечётном k. Уравнение относительно c1ij (x, t) явля-

ется однородным, поэтому c1ij (x, t) = 0. Свободный член итерационного уравнения при k = 3

примет вид

∑

F₃(M) = -

〈[D¹Y¹(N^l) + D³Z¹(N^l) exp(μ)], ψ(y, t)〉,

l=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

6^∗

ОМУРАЛИЕВ и др.

по теореме 1 оно имеет решение, представимое в виде (8) с номером k = 3.

В следующем шаге (k = 4) свободный член итерационного уравнения запишется в виде

F₄(M) = -T₁u₂(M) + L_ζu₁ - ∂_tu₀ = -〈D¹v₂(x,t) + ∂_tv₀(x,t) + A^т(t)v₀(x,t),ψ(y,t)〉 -

∑

〈D¹Y²(N^l) + D³Z²(N^l) exp(μ), ψ(y, t)〉 - 〈D³[C²(x, t) + Λ(P²(x))] exp(μ), ψ(y, t)〉 +

l=1

∑

+ a(x)

〈∂ζl D_x,l[Y¹(N^l) + Z¹(N^l) exp(μ)], ψ(y, t)〉 -

l=1

∑

〈∂_tY⁰(N^l) + ∂_tZ⁰(N^l) exp(μ) + A^т(t)Y⁰(N^l) + A^т(t)Z⁰(N^l) exp(μ), ψ(y, t)〉 -

l=1

- 〈[∂_tC⁰(x, t) + A^т(t)C⁰(x, t) + A^т(t)Λ(P⁰(x))] exp(μ), ψ(y, t)〉.

Обеспечивая разрешимость итерационного уравнения при k = 4, положим

∑

D¹v2,i(x,t) = -[∂_tv0,i +

α_ji(t)v0,i(x,t)],

j=1

D³[c2ij(x,t) + P2i(x)] = -[∂_tc0ii(x,t) + α_ii(t)c0ii(x,t) + α_ii(t)P0i(x)],

D_x,ld1,li(x,t) = 0, D_x,lW1,lij(x,t) = 0.

(20)

Первое уравнение позволяет определить функцию v₂(x, t). Снимая вырожденность второго

уравнения, положим

(λ_i(0) - λ_j(t))c2ij (x, t)|t=0 = 0 для всех i = j,

-(∂_tc0ii + α_ii(t)c0ii(x, t) + α_ii(t)P0i(x))|t=0 = 0.

Последние соотношение обеспечивается выбором компонент вектора P⁰(x)=(P⁰¹(x), P⁰²(x), . . .):



∂_tc0ii(x,t) + α_ii(t)c0ii(x,t)



P0i(x) = -



α_ii(t)

t=0

Уравнения относительно функций d1,li(x, t) и W1,lij(x, t) из (20) решаются при нулевых

начальных условиях:

d1,li(x,t)|x=l-1 = -v1,i(l - 1,t) = 0, W1,lij(x,t)|x=l-1 = -c1ij(l - 1,t) - P1i(l - 1) = 0,

здесь учтено, что P1i(x) = 0, поэтому Y¹(N^l) = 0, Z¹(N^l) = 0, а следовательно, u₁(M) = 0.

Свободный член F₄(M) на основании (20) примет вид

∑

F₄(M) = -

{〈D¹Y²(N^l) + D³Z²(N^l) exp(μ), ψ(y, t)〉 +

l=1

+ 〈∂_tY ⁰(N^l) + A^T (t)Y ⁰(N^l) + [∂_tZ⁰(N^l) + A^T (t)Z⁰(N^l)] exp(μ), ψ(y, t)〉} ∈ G₁

^⊕G₃,

по теореме 1 итерационное уравнение при k = 4 разрешимо в U.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА СО СТЕПЕННЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ

Рассмотрим ещё одно итерационное уравнение при k = 5, свободный член которого запи-

шется в виде

F₅(M) = -T₁u₃(M) + L_ζu₂(M) - ∂_tu₁ = -〈D¹υ₃(x,t) + ∂_tυ₁(x,t) + A^т(t)υ₁(x,t),ψ(y,t)〉 -

∑

〈D¹Y³(N^l) + D³Z³(N^l) exp(μ), ψ(y, t)〉 - 〈D³[C³(x, t) + Λ(P³(x))], ψ(y, t)〉 +

l=1

∑

+ a(x)

〈∂ζl D_x,l[Y²(N^l) + Z²(N^l) exp(μ)], ψ(y, t)〉 -

〈∂_tY¹(N^l) +

l=1

+ ∂_tZ¹(N^l)exp(μ) + A^т(t)[Y ¹(N^l) + Z¹(N^l)exp(μ)],ψ(y,t)〉 -

- 〈∂_tC¹(x, t) + A^т(t)[C¹(x, t) + Λ(P¹(x))], ψ(y, t)〉.

По теореме 1 итерационное уравнение при k = 5 разрешимо, если

∑

D¹υ3i(x,t) = -∂_tυ1i(x,t) -

α_kiυ1k(x,t),

k=1

D³[C³(x,t) + Λ(P³(x))] = ∂_tC¹(x,t) + A^т(t)[C¹(x,t) + Λ(P¹(x))],

∂ζlD_x,lY²(N^l) = 0,

∂ζl D_x,lZ²(N^l) = 0.

(21)

Поскольку C¹(x, t) = 0, то, обеспечивая разрешимость второго уравнения в (21), положим

P¹(x) = 0. Далее, аналогичным образом последовательно определим коэффициенты частич-

ной суммы

∑

u_n,ε(M) =

ε^ku2k(M).

k=0

5. Оценка остаточного члена. Подставим выражение

∑

ũ(M, ε) =

ε^ku2k(M) - εn+1u2(n+1)(M) + εn+1R_ε(M)

(22)

k=0

в расширенную задачу (5). Тогда с учётом итерационных задач (7) получим относительно

остаточного члена задачу

L_εR_ε(M) = g_ε,n(M), R_ε(M)|t=τ=μ=0(M) = R_ε(M)|x=l-1,ζ

(23)

l=0(M)=0,

где

g_ε,n(M) = -T₁u2n(M) - ∂_tu2n-2(M) + L_xu2n-4(M) -Lεu2(n+1)(M).

(24)

В соотношениях (23), (24) проведём сужение посредством регуляризующих функций θ =

= χ(x,t,ε). Тогда в силу тождества (6) для R_ε,n(x,t) ≡ R_ε(M) получим задачу

L_εR_ε,n(x,t) = g_ε,n(x,t), R_ε,n(x,t)|t=0 = R_ε,n(x,t)|x=l-1 = 0.

(25)

Из самого построения функций u_k(M) и тождества (6) вытекает ограниченность правой

части g_ε,n(x, t) ≡ g_ε,n(M)|θ=χ(x,t,ε) уравнения задачи (25). При достаточно малых ε > 0 опе-

ратор L_ε удовлетворяет всем условиям принципа максимума [13, с. 22], поэтому, следуя [14],

получаем оценку ∥R_ε,n(x, t)∥ < c. Из (22) имеем оценку

∥ũ(M) - u_n,ε(M)∥θ=χ(x,t,ε) < cεn+1,

(26)

где постоянная c не зависит от ε > 0, n = 0, 1, 2, . . .

Теорема 4. Пусть выполнены предположения 1), 2). Тогда частичная сумма (22), полу-

ченная описанным выше методом при θ = χ(x, t, ε), является асимптотическим решением

задачи (1), т.е. при достаточно малых ε > 0 и всех n = 0, 1, 2, . . . справедлива оценка (26).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ОМУРАЛИЕВ и др.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М., 1981.

2. Ломов С.А. О модельном уравнении Лайтхилла // Сб. науч. тр. МО СССР. 1964. № 54. C. 74-83.

3. Ломов С.А., Ломов И.С. Основы математической теории пограничного слоя. М., 2011.

4. Ломов С.А. Степенной пограничный слой в задачах с сингулярным возмущением // Изв. АН СССР.

Сер. мат. 1966. Т. 30. Вып. 3. C. 525-572.

5. Коняев Ю.А. Построение точного решения некоторых сингулярно возмущённых задач для линей-

ных обыкновенных дифференциальных уравнений со степенным пограничным слоем // Мат. за-

метки. 2006. Т. 79. Вып. 6. C. 950-954.

6. Коняев Ю.А. Сингулярно возмущённые задачи с двойной особенностью // Мат. заметки. 1997. Т. 62.

Вып. 4. C. 494-501.

7. Omuraliev A.S., Abylaeva E.D. Ordinary differential equations with power boundery layers // J. of Math.

Sci. 2019. V. 242. № 3. Р. 427-431.

8. Цянь Сюэ-Сень. Метод Пуанкаре-Лайтхилла-Го // Проблемы механики. 1959. Вып. 2. С. 7-62.

9. Понтрягин Л.С. Избранные труды. Т. 2. М., 1988.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1962.

11. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.,

1968.

12. Глушко В.П. Линейные вырождающиеся дифференциальные уравнения. Воронеж, 1972.

13. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н., Солонников В.А. Линейные и квазилинейные уравнения па-

раболического типа. М., 1967.

14. Омуралиев А.С. Регуляризация двумерной сингулярно возмущенной параболической задачей

// Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2006. Т. 46. № 8 С. 1423-1532.

Кыргызско-турецкий университет “Манас”,

Поступила в редакцию 22.03.2019 г.

г. Бишкек, Киргизия

После доработки 12.03.2020 г.

Принята к публикации 13.10.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021