ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.87-99

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ СИСТЕМЫ

КОШИ-РИМАНА В МНОГОМЕРНОЙ

ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Рассматривается задача восстановления решений обобщённой системы Коши-Римана в

многомерной пространственной ограниченной области по их значениям на куске границы

этой области, т.е. строится приближённое решение этой задачи, основанное на методе мат-

рицы Карлемана-Ярмухамедова.

DOI: 10.31857/S0374064121010088

1. Введение и постановка задачи. В настоящей работе продолжается исследование,

начатое в работе [1]. Рассматривается задача восстановления решения системы уравнений [2, 3]

)

∑

⁽∂F_i

+H_i

= 0,

∂x

i=1

∂F_j

∂F_k

- H_kF_j + H_jF_k = 0 (k,j = 1,n),

(1.1)

∂x_k

∂x_j

представляющей собой n-мерный аналог обобщённой системы Коши-Римана, по его извест-

ным значениям на части границы области, т.е. задача Коши. Когда все H_i тождественно

нулевые, система (1.1) является системой Рисса [4, с. 106]. Система Коши-Римана в физи-

ческих приложениях привела к далеко идущим обобщениям [5-7], являющимися одними из

основных элементов интенсивного взаимодействия почти всех разделов математики и теоре-

тической физики как с кватернионным параметром, так и в суперанализе в квантовой теории

поля.

Пусть Rⁿ - вещественное n-мерное евклидово пространство,

x = (x₁,...,x_n), y = (y₁,...,y_n) ∈ Rⁿ, x^′ = (x₂,...,x_n), y^′ = (y₂,...,y_n) ∈ Rn-1,

s = α² = |y^′ - x^′|² = (y₂ - x₂)² + ... + (y_n - x_n)², r² = (y₁ - x₁)² + s = |y - x|², τ = tg

2ρ

ρ > 1, G_ρ = {y : |y^′| < τy₁, y₁ > 0},

∂G_ρ = {y : |y^′| = τy₁, y₁ > 0}, G_ρ = G_ρ

^⋃∂G_ρ,

ε, ε1 и ε2 - достаточно малые постоянные положительные числа,

Gερ = {y : |y^′| < τ(y₁ - ε)},

∂G^ερ = {y : |y^′| = τ(y₁ - ε)}, G^ερ = Gερ ⋃ ∂G^ερ,

C = {ς : ς = ξ + iη,

-∞ < ξ < ∞, -∞ < η < ∞}.

Через Ω_ρ будем обозначать ограниченную односвязную область в Rⁿ, граница ∂Ω_ρ кото-

рой состоит из части поверхности конуса G_ρ и лежащего в этом конусе гладкого куска S

поверхности. Случай ρ = 1 предельный. В этом случае ∂G₁ - плоскость Rn-1 и G₁ - полу-

пространство y₁ > 0, Ω₁ - односвязная ограниченная область в Rⁿ с границей, состоящей из

части плоскости Rn-1 и гладкого куска поверхности S, лежащего в полупространстве y₁ ≥ 0,

Ω_ρ = Ω_ρ

^⋃∂Ω_ρ, S₀ - внутренние точки поверхности S. Пусть A(Ω_ρ) - совокупность вектор-

функций класса C¹(Ω_ρ), удовлетворяющих эллиптической системе (1.1) и непрерывных на

Ω_ρ = Ω_ρ

^⋃∂Ω_ρ, H = (H₁,H₂,... ,H_n) - заданный постоянный вектор.

САТТОРОВ, ЭРМАМАТОВА

Несложно показывается, что каждая компонента F_i вектор-функции

F (x) = (F₁(x), F₂(x), . . . , F_n(x)),

являющейся решением системы (1.1), удовлетворяет уравнению

△F_i - |H|²F_i = 0.

(1.2)

Введём следующие обозначения:

L_kj(X₁,X₂,... ,X_n;H)F = L_jk(X₁,X₂,... ,X_n;H)F =

= (X_j - H_j)F_k - (X_k - H_k)F_j + δ_kj(X_i + H_i)F_i (k ≤ j),

L_k(X,H)F = (Lk1F,Lk2F,... ,L_knF) (k = 1,n),

где δ_ij - символ Кронекера, а X = (X₁, X₂, . . . , X_n). В этих обозначениях систему (1.1) можно

записать в виде

(

)

∂

L_k

,...,

;H F =0

(k = 1, n).

(1.3)

∂x₁

∂x_n

Для каждого векторного оператора L_k определяем сопряжённый к нему векторный опе-

ратор L^∗k равенством

(

)

(

)

∂

U·L_k

;H F +F ·L^∗

;H U = divF_k,

∂x

где ∂/∂x = (∂/∂x₁, . . . , ∂/∂x_n). Тогда нетрудно получить, что имеет место равенство

(

)

∂

L^∗

,...,

;H U =

∂x₁

∂x_n

(

)

∂

=L_k

,...,-

,...,

;-H₁,... ,-H_k,Hk+1,... ,H_n U.

∂x₁

∂xk-1

∂x_k

∂x_n

Пусть U^k = (uk1, . . . , u^kn) - фундаментальное решение системы [2, 3]

(

)

∂

L^∗

;H U^k = 0,

∂x

где функции u^ik определяются равенствами

)

⁽∂Φ₀

uⁱⁱ(y,x) =

+H_iΦ₀

и u^ik(y,x) =

-H_kΦ₀

sign (k - i), i = k,

(1.4)

∂x_i

∂x_k

Φ₀ - классическое фундаментальное решение уравнения (1.2).

Постановка задачи (задача Коши). Известны данные Коши решения системы (1.3) на

поверхности S :

F (y) = f(y), y ∈ S,

(1.5)

где f(y) = (f₁(y), . . . , f_n(y)) - заданная на S непрерывная вектор-функция. Требуется восста-

новить функцию F (x) в области Ω_ρ, исходя из заданной на части S границы этой области

функции f, т.е. решить задачу аналитического продолжения решения обобщённой системы

Коши-Римана в многомерную евклидову пространственную ограниченную область по значе-

ниям решения на гладком куске S границы области.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА

Задача Коши для обобщённой системы Коши-Римана, как и многие задачи Коши для

нахождения регулярных решений эллиптических уравнений и систем, в общем случае оказы-

вается неустойчивой относительно равномерно малых изменений начальных данных. Таким

образом, эти задачи некорректно поставлены [8, с. 39].

При исследовании задачи Коши для системы (1.1) будем априори предполагать существова-

ние её решения. Более того, предполагается, что решение принадлежит некоторому заданному

подмножеству функционального пространства, обычно компактному [9, с. 4]. Единственность

решения следует из общей теоремы Холмгрена [10, с. 58]. Метод получения указанных резуль-

татов работы основан на построении в явном виде для обобщённой системы Коши-Римана

матрицы фундаментального решения, зависящей от положительного параметра и исчезающей

к нулю при стремлении параметра к бесконечности на ∂Ω_ρ \S, когда полюс фундаментального

решения лежит в полупространстве y₁ > 0. Следуя М.М. Лаврентьеву и Ш. Ярмухамедову

в их исследованиях по задаче Коши для уравнений Лапласа и Гельмгольца, матрицу фун-

даментальных решений с указанным свойством назовём матрицей Карлемана-Ярмухамедова

для полупространства [9, с. 34; 11; 12]. После построения матрицы Карлемана-Ярмухамедовa

в явном виде формула продолжения, а также регуляризация решения задачи Коши записы-

ваются в виде обобщённой пространственной интегральной формулы Коши.

Если вместо функции f(y) заданы её приближения f_δ(y) с точностью δ ∈ (0, 1) в метрике

пространства C(S), а также число B - размер компакта, которому принадлежат решения,

то речь идёт о построении семейства вектор-функций F (x, f_δ) = F_σδ (регуляризация), сходя-

щихся к точному решению задачи (1.3), (1.5) в области Ω_ρ при подходящем выборе параметра

регуляризации σ = σ(δ) и δ → 0 [9].

Следуя [13], функцию F_σδ назовём регуляризованным решением задачи Коши для обоб-

щённой системы Коши-Римана. Регуляризованное решение определяет устойчивость метода

приближённого решения задачи.

На протяжении последних десятилетий сохранился интерес к классическим некорректным

задачам математической физики. Это направление в исследовании свойств решений задачи

Коши для уравнения Лапласа начато работами [11, 14-16] и развивалось впоследствии в ра-

ботах [17-27].

2. Построение матрицы Карлемана-Ярмухамедова. В данной работе на основе ре-

зультатов работ [9, с. 34; 11; 12] по задаче Коши для уравнений Лапласа и Гельмгольца по-

строена матрица Карлемана-Ярмухамедова в явном виде и на её основе - регуляризованное

решение задачи Коши для системы (1.3). В [28] приведены теоремы существования матрицы

Карлемана и критерий разрешимости для более широкого класса краевых задач для эллипти-

ческих систем. Ранее в [17, 28] доказано, что матрица Карлемана существует во всякой задаче

Коши для решений эллиптических систем, если только данные Коши задаются на граничном

множестве положительной меры. Поскольку в данной работе речь идёт о явных формулах,

то построение матрицы Карлемана-Ярмухамедова в элементарных и специальных функциях

представляет значительный интерес.

Функция Карлемана задачи Коши для уравнения Лапласа и для уравнений, близких к

нему, в случае, если дополнение границы области до S - часть поверхности конуса, построена

в [11]. Матрицу Карлемана для уравнения Коши-Римана в случае, когда S - произвольное

множество положительной меры, построил Л.А. Айзенберг [17]. Развивая идею С.Е. Мерге-

ляна [16], указавшего способ построения функции Карлемана в задаче Коши для уравнения

Лапласа в случае, когда S - кусок с гладким краем границы односвязной области, на осно-

ве теорем об аппроксимации в [13] построена матрица Карлемана для эллиптических систем.

В монографиях Л.А. Айзенберга [29] и Н.Тарханова [30] рассматривается построение формулы

Карлемана в задаче Коши в комплексном анализе и для системы с инъективным символом, в

этих же монографиях приведена обширная библиография.

В том случае, когда n = 2, H = 0, рассматриваемая система (1.3) является обобщённой

системой Коши-Римана, теория которой разработана И.Н. Векуа [31], а формула продолжения

решения по её значениям на куске границы получена Т. Ишанкуловым [32]. Если n = 3, то

F (y) будет обобщённым потенциальным вектором, и в этом случае система (1.3) (ряд аналити-

ческих фактов) изучена [33], а формула продолжения решения в ограниченной области по её

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

САТТОРОВ, ЭРМАМАТОВА

значениям на куске границы и аналог теоремы Фока-Куни найдена в работе [22]. В настоящей

работе утверждается, что все результаты, полученные в трёхмерном случае в [22], остаются

справедливыми для системы (1.3) и в бесконечной области типа слоя. Именно в этом случае

явно строится фундаментальная матрица, которая является ядром обобщённых интегралов

Коши и типа Коши.

Дадим следующее

Определение 2.1. Матрица M₀(y,x;H) называется матрицей фундаментальных реше-

ний системы (1.3), если

M₀(y,x;H) = ∥L^∗k(α;0)U^k∥,

где вектор-функция U^k определяется согласно (1.4).

Следуя [11], приведём

Определение 2.2. Матрицей Карлемана-Ярмухамедова задачи (1.3), (1.5) называется

n × n-матрица M_σ(y,x;H), удовлетворяющая следующим двум условиям:

1) имеет место равенство M_σ(y, x; H) = M₀(y, x; H) + G_σ(y, x; H), где σ - положительный

числовой параметр, матрица G_σ(y, x; H) по переменной y удовлетворяет системе (1.3) всюду

в области Ω, а M₀(y, x; H) - матрица фундаментальных решений ур

∫

2) при каждом фиксированном x ∈ Ω_ρ справедливо неравенство

|M_σ(y, x; H)| dS_y ≤

∂Gρ

≤ ε(σ), где ε(σ) → 0 при σ → ∞; здесь и далее |M_σ| означает евклидову норму матрицы

∑_n

M_σ = ∥M_ij∥, т.е. |M_σ| = (

M2ij)1/2, в частности, |F| = (

F2i)1/2 для вектора F =

ij=1

= (F₁, F₂, . . . , F_n).

Для F (y) ∈ A(Ω_ρ) справедлива обобщённая пространственная интегральная формула Ко-

ши [2]

{

∫

x∈Ω_ρ,

M₀(y,x;H)F(y)dS_y =

F (x),

x∈Ω_ρ,

∂Ωρ

а также имеют место аналог интеграла типа Коши и формулы скачков для предельных зна-

чений этого интеграла [3].

Поскольку матрица Карлемана-Ярмухамедова отличается от матрицы фундаментальных

решений на решение транспонированной системы, то обобщённая интегральная формула Коши

остаётся справедливой, если в ней заменить фундаментальное решение на матрицу Карлемана.

С целью построения приближённого решения задачи (1.3), (1.5) рассмотрим матрицу

M_σ(y,x;H) = ∥L^∗k(α;0)V^k∥,

(2.1)

где V^k = (v¹¹, . . . , v^kn) определяется равенствами

)

⁽∂Φ_σ

vⁱⁱ(y,x) =

+ H_iΦ_σ и v^ik(y,x) =

- H_kΦ_σ sign (k - i) при i = k,

(2.2)

∂x_i

∂x_k

а функция Φ_σ(y, x; λ) при s ≥ 0, v ≥ 1 - следующим равенством:

∫

∞

]

m-1

√

∂

^[K(w)

ψ(λu)

C_nK(x₁)Φ_σ(y,x;λ) =

√

du, w = i

u² + α² + y₁,

(2.3)

∂sm-1

u² + α²

где

{

uJ₀(λu), n = 2m, m ≥ 1,

ψ(λu) =

cos(λu), n = 2m + 1, m ≥ 1,

J₀(λu) - функция Бесселя нулевого порядка, здесь берётся регулярная ветвь аналитической

функции J₀(λ) в C(n)(Ω), n = 2m, вещественная при λ > 0, λ = |H|²,

{

(-1)^m2-1(m - 2)!(n - 2)ω_n,

n = 2m, m ≥ 2,

C_n =

(-1)^m2-2n+1(m - 1)!(n - 2)πω_n,

n = 2m + 1, m ≥ 1,

ω_n - площадь единичной сферы в Rⁿ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА

Пусть K(w) - целая функция комплексного переменного, вещественная при вещественном

w (w = u + iv, где u, v ∈ R) и K(u) = ∞, |u| < ∞, удовлетворяющая условиям

sup|K(p)(u + iv)exp(v)|Im λ|| = M(u) < ∞, p = 0,1,...

(2.4)

v≥1

При вещественном w из вещественности K(w) вытекает равенство K(w) = K(w). Так как

)

}

√

⁽K(w)

^{K(w)

K(w)

wK(w) - wK(w)

(y₁ - x₁) Im K(w) -

s + u2 ReK(w)

2i(r² + u²)

r² + u²

то формула (2.3) принимает вид

∫

∞

}

m-1

∂

^{ (y₁ - x₁) Im K(w)

ψ(λu)

C_nK(x₁)Φ(y,x;λ) =

√

- Re K(w)

du.

(2.5)

∂sm-1

s+u²

r² + u²

Из равенств (2.4) и (2.5) следует, что при y = x интеграл в (2.3) абсолютно сходится.

Если K(w) ≡ 1, то функция Φ_σ(y, x; λ) представляет собой классическое фундаменталь-

ное решение уравнения Гельмгольца, т.е.

Φ_σ(y,x;λ) ≡ Φ₀(y,x;λ) = C_n

e^-λr.

rn-2

Согласно [22] можно показать, что

∫

∞

∂m-1

ψ(λu)

e^-λr =

du.

rn-2

∂sm-1

r² + u²

В [12] доказана

Лемма 2.1. Функция Φ_σ(y, x; λ), определённая формулой (2.3), представима в виде

Φ_σ(y,x;λ) = Φ₀(r;λ) + g_σ(y,x;λ),

где Φ₀(r; λ) - классическое фундаментальное решение уравнения (1.2):

⁽λ)n/2-1

Φ₀(r;λ) = A_m

K-1+n/2(λr), A2m = (-1)^m2m-1, A2m+1 = (-1)^m2-m-1/2,

K₀(λ) - функция Макдональда [34, 35], g_σ(y,x;λ) - регулярные решения уравнения (1.2) по y

в Rⁿ для λ ∈ Cⁿ(Ω).

Для системы (1.3) справедлива аналогичная

Лемма 2.2. Матрица M_σ(y, x; H), определённая формулой (2.2), является матрицей

Карлемана-Ярмухамедова задачи (1.3), (1.5), т.е. представима в виде

M_σ(y,x;H) = M₀(r;λ) + G_σ(y,x;H),

(2.6)

где G_σ = ∥G_ijσ(y, x, σ)∥_n×n - матрица, определённая для всех значений y, x и удовлетворя-

ющая по переменной y системе (1.3) во всём пространстве Rⁿ.

Доказательство. Представление (2.6) следует из леммы 2.1 и определения 2.1. Так как

∂

g_σ - λ²g_σ = 0,

∂y

то отсюда вытекает, что матрица G_σ(y, x; H) удовлетворяет уравнению (1.3), т.е. она является

регулярным решением по переменной y, включая и точку y = x.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

САТТОРОВ, ЭРМАМАТОВА

Из формулы (2.3) видим, что на ∂Gρ (y1 = 0) функция Φσ(y,x;λ) и её градиент

∇Φ_σ(y,x;λ) при σ → ∞ экспоненциально стремятся к нулю при всех y₂, ..., y_n и x ∈ Rⁿ,

x > 0. Тогда при σ → ∞ матрица M_σ(y,x;H) также стремится к нулю при всех y₂, ..., y_n и

x ∈ Rⁿ, x > 0. Согласно определению 2.1 матрица M_σ(y,x;H), определённая формулой (2.1),

является матрицей Карлемана-Ярмухамедова для области Ω и части ∂G_ρ. Лемма доказана.

3. Целая функция Миттаг-Лёффлера и некоторые её свойства. При решении за-

дачи (1.3), (1.5) формула продолжения выражается через целую функцию Миттаг-Лёффлера,

поэтому приведём без доказательства основные свойства этой функции. Они изложены в [36,

гл. 3, § 2] с подробными доказательствами.

Целая функция Миттаг-Лёффлера определяется рядом

∑

wⁿ

E_ρ(w) =

ρ > 0, w ∈ C, E₁(w) = exp(w),

Γ(1 + n/ρ)

n=0

где Γ - гамма-функция Эйлера. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что ρ > 1. Обо-

значим через γ = γ(1, β),

0 < β < π/ρ, ρ > 1, контур в комплексной плоскости w, про-

бегаемый в направлении неубывания arg w и состоящий из луча arg w = -β,

|w| ≥ 1, дуги

−β ≤ arg w ≤ β, окружности |w| = 1 и луча arg w = β,

|w| ≥ 1. Контур γ разбивает плос-

кость C на две односвязные бесконечные области Ω^- и Ω⁺, лежащие слева и справа от γ

соответственно. Будем предполагать, что выполнены неравенства π/(2ρ) < β < π/ρ, ρ > 1.

При этих условиях справедливы следующие интегральные представления:

E_ρ(w) = ρexp(w^ρ) + ψ_ρ(w), w ∈ Ω⁺,

E_ρ(w) = ψ_ρ(w), E^′ρ(w) = ψ^′ρ(w), w ∈ Ω^-,

(3.1)

где

∫

exp(ς^ρ)

ψ_ρ(w) =

dς, ψ^′ρ(w) =

dς.

(3.2)

2πi

ς-w

2πi

(ς - w)²

Так как значение E_ρ(w) вещественно при вещественном w, то

∫

ψ_ρ(w) + ψ_ρ(w)

exp(ς^ρ)(ς - Re w)

Re ψ_ρ(w) =

dς,

(3.3)

2πi

(ς - w)(ς - w)

∫

ψ_ρ(w) - ψ_ρ(w)

ρIm w

exp(ς^ρ)

Im ψ_ρ(w) =

dς,

(3.4)

2πi

(ς - w)(ς - w)

∫

ψ^′ρ(w)

2 exp(ς^ρ)(ς - Re w)

dς.

Im w

2πi

(ς - w)²(ς - w)²

Всюду в дальнейшем в определении контура γ(1, β) будем выбирать β = π/(2ρ)+ε₂/2, ρ > 1.

Очевидно, что если

+ ε₂ ≤ |argw| ≤ π,

(3.5)

2ρ

то w ∈ Ω^-ρ и E_ρ(w) = ψ_ρ(w).

Обозначим

∫

ς^peςp

T_k,p(w) =

dς, k = 1, 2, . . . , p = 0, 1, . . .

2πi

(ς - w)^k(ς - w)^k

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА

При π/(2ρ) + ε₂ ≤ | arg w| ≤ π справедливы неравенства

C₁

C₂

|E_ρ(w)| ≤

|E^′ρ(w)| ≤

(3.6)

1 + |w|

1 + |w|²

C₃

|T_k,p(w)| ≤

k = 1,2,...,

(3.7)

1 + |w|2k

где C₁

C₂, C₃ - постоянные, не зависящие от w. Выберем в равенстве (3.3) β = π/(2ρ) +

+ ε₂/2 < π/ρ, ρ > 1. Тогда E_ρ(w) = ψ_ρ(w), где ψ_ρ(w) определяется в (3.2). При этом

заметим, что cos ρβ < 0 и интеграл сходится:

∫

|ζ|^p exp[cos ρβ|ζ|^ρ]| dς| < ∞, p = 0, 1, . . .

(3.8)

Далее, при достаточно большом |w| (w ∈ Ω⁺ и w ∈ Ω^-) имеем

ε₂

min|ς - w| ≥ |w| sin

(3.9)

ς∈γ

Теперь из представлений (3.1) и разложений

(3.10)

ς-w

w(ς - w)

ς-w

w(ς - w)

для больших |w| следует, что



(



∫



⁾1



const



(w) - Γ-1 1-



|ς| exp[cos ρβ|ς|^ρ]| dς| ≤

^E

≤

ρ w

2π sin(ε₂/2) |w|²

|w|²

(

)

∫

Γ-1 1-

exp(ς^ρ) dς.

2πi

Отсюда вытекает первое из неравенств (3.6). Из (3.8), (3.2) и разложения

ς²

-2

(ς - w)²

w²

w²(ς - w)

w²(ς - w)²

при больших |w| аналогично выводим неравенство



(

)



const



′



^E

(w) - Γ-1 1-

≤

ρ w²

|w|³

Второе неравенство в (3.6) доказано.

При k = 1, 2, . . . из разложения (3.10) следует, что

]

^[ (-1)^k

ζ^k

^][(-1)^k

ζ^k

+...+

(ς - w)^k (ς - w)^k

w^k

w^k(ς - w)^k

ς^k

w^k(ζ - ς)^k

-k

+...

|w|2k

|w|2k+1(ς - w)

При больших |w| первый член этого разложения является главным, поэтому из неравенств

(3.8) и (3.9) вытекает оценка



(

)



const



-Γ-1 1-



^T

k,p

≤

|w|2k

|w|2k+1

Отсюда получаем неравенство (3.7).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

САТТОРОВ, ЭРМАМАТОВА

4. Формула продолжения и регуляризация по Лаврентьеву. В формуле (2.5) в

качестве функции K(w) выберем целую функцию Миттаг-Лёффлера

K(w) = exp(aw²)E_ρ(σw),

√

где ρ > 1, w = i

u² + s + y₁ - x₁, a > 0 и σ ≥ 0. Согласно (2.5), выделяя мнимые части,

будем иметь

∫

∞

]

m-1

∂

^[eaw2E_ρ(σw)

ψ(λu)

C_nΦ_σ(y,x;λ) =

√

du =

∂sm-1

s+u²

∞

∫

m-1

e-as-au2 ψ(λu)du

=ea(y1-x1)² ∂

ϕσ(y, x, λ, u)

(4.1)

∂sm-1

u² + r²

где

]

√

^[ (y₁ - x₁)

ϕσ(y, x, λ, u) =

√

ImE_ρ(σw) - ReE_ρ(σw) cos(ν

u² + s) +

u² + s

[

]

√

(y₁ - x₁)

+ ImE_ρ(σw) +

√

Re E_ρ(σw) sin(ν

u² + s), ν = 2a(y₁ - x₁).

(4.2)

u² + s

Если σ = 0 и K(0) = E_ρ(0) = 1, то функция Φ₀(y -x; λ) из (4.1) определяет классическое

фундаментальное решение уравнения Гельмгольца. (Сходимость несобственного интеграла в

правых частях равенств (4.1) обеспечивается присутствием в нём множителя e-σu2 .)

В точке (0, 0, . . . , 0) ∈ ∂Ω_ρ нормальная производная не определена. Так как функции F (y),

Φ_σ(y - x;λ), M_σ(y - x;H) (x ∈ Ω_ρ) имеют непрерывные частные производные вплоть до

границы ∂Ω_ρ, то

∂F

∂M_σ

(0) =

(0),

(0, x) =

(0, x), x ∈ Ω_ρ.

∂n

∂y_n

∂n

∂y_n

При фиксированном x ∈ Ω_ρ обозначим через S^∗ ту часть S, на которой выполняется

неравенство |y^′| = τy₁ - |x^′| ≥ α. Если x = x₀ ∈ Ω_ρ, то S = S^∗ (в этом случае |y^′| = τy₁ -

- |x^′| = τy₁, α = |y^′| и неравенство означает, что точка y лежит внутри или на конусе

|y^′| = τy₁ - |x^′|).

Предположим, что F (y) ∈ A(Ω_ρ) ограничена на ∂Ω_ρ :

|F (y)| ≤ B, y ∈ T ≡ ∂Ω_ρ \ S,

(4.3)

где B - заданное положительное число. В этом предположении верна обобщённая интеграль-

ная формула Коши

∫

F (x) = M_σ(y, x; H)F (y) dS_y , x ∈ Ω_ρ.

(4.4)

∂Ωρ

Обозначим

∫

Fσ(x) = Mσ(y, x; H)F (y) dSy , x ∈ Ωρ,

(4.5)

∫

∂F_σ

∂M_σ

(x) =

(y - x; H)F (y) dS_y , x ∈ Ω_ρ.

(4.6)

∂x_j

√

Замечание. Из-за присутствия величины α₀ =

x²² + ... + x2n в выражении β = τy₁ -α₀

функция Φ_σ(y, x; λ), y ∈ ∂Ω_ρ, не имеет производных по x_j (j = 2, n) в точках x = x₀ =

= (x₁, 0, . . . , 0) ∈ Ω_ρ. Поэтому ∂F_σ(x)/∂x_j определены всюду в Ω_ρ, кроме точек x = x₀. До-

определим в точках x = x₀ производные следующим образом. В (4.5), (4.6) величину β = τy₁

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА

полагаем равной β = τy₁ (γ = τx₁). Тогда функция Φ_σ(y - x; λ), y ∈ ∂Ω_ρ, дифференцируе-

ма по переменной x всюду в Ω_ρ. Таким образом, при x = x₀ ∈ Ω_ρ производные ∂F_σ(x)/∂x_j

определяются по формуле (4.6), в которой β = τy₁ -α₀. Затем в правой части в (4.6) положим

α₀ = 0 (β = τy₁) и вычислим производные по формуле ∂F_σ(x)/∂x_j.

Теорема 4.1. Пусть функция F (y) ∈ A(Ω_ρ) на части T границы ∂Ω_ρ удовлетворяет

условию (4.3). Тогда для любых x ∈ Ω_ρ и σ ≥ σ₀ > 0 справедливо неравенство



∂F(x)

∂F_σ(x)



|F (x) - F_σ(x)| ≤ C₁(σ, H)Be-σx2

ⁿ,

C₂(σ,H)Be-σxn .



≤

∂x_j

Доказательство. Из формулы (4.4) для любого x ∈ Ω_ρ следует, что



∂F(x)

∂F_σ(x)



|F (x) - F_σ(x)| = J1σ(x),

J2σ(x),



⁼

∂x_j

∫

∂M_σ

J1σ(x) = M_σ(y,x;H)F(y)dS_y, J2σ(x) =

(y, x; H)F (y) dS_y ,

(4.7)

∂x_j

∫

|J1σ(x)| ≤ BT1σ(x), T1σ(x) =

|M_σ(y, x; H)| dS_y ,

∫



∂Mσ



|J2σ(x)| ≤ BT2σ(x), T2σ(x) =

S_y.

(4.8)

^d

 ∂x_j

Согласно (2.1), (2.2), воспользовавшись явным видом (4.1), (4.2) матрицы M_σ(y, x; H), полу-

чаем неравенство

)1/2

[



]

∑

∂Φσ



|M_σ(y, x; H)| =

|M_σij |

≤ n |H||Φ_σ| +

...+

(4.9)

⁺



 ∂y₁

∂y_n

i,j=1

Приведём, согласно [37], оценки для функций

∂Φ_σ(y,x;λ)

∂

∂Φ_σ(y,x;λ)

Φ_σ(y,x;λ),

∂y_k

∂xⁱ

∂y_k

Лемма 4.1. Пусть K - компакт в G_ρ, δ - расстояние от K до ∂G_ρ. Тогда для σ ≥ 0

при x ∈ K, y ∈ Rⁿ\G_ρ

(|y^′| ≥ τy₁) справедливы неравенства



 ∂



 ∂i

∂



C₃(ρ,δ)r



|Φ_σ(y, x; λ)|+^

Φ_σ(y,x;λ)

r ≥ δ > 0, i,j = 1,n. (4.10)

⁺

≤

∂y_i

^∂xⁱ

∂y_i

1+σδ

Из леммы 4.1 следует утверждение теоремы 4.1. Действительно, если K - компакт в Ω_ρ,

то K ⊂ G_ρ. Поэтому неравенства для функции Φ_σ(y, x; λ) и её производных, участвующих

в формулировке леммы, сохраняются и в том случае, когда x ∈ K ⊂ Ω_ρ и y ∈ ∂Ω_ρ\S ⊂ ∂G_ρ

(в этом случае δ - расстояние от компакта K ⊂ Ω_ρ до ∂Ω_ρ). Тогда получим необходимые

оценки для (4.8).

Доказательство леммы 4.1. Нужно оценить интеграл справа в равенстве (4.1) и его

производные. Для этого выберем ε > 0 таким, чтобы K ⊂ G^ερ(|x^′| ≤ τ(x₁ - ε)), G^ερ ⊂ G_ρ. Так

как расстояние от ∂G^ερ до ∂G_ρ равно ετ₁, то δ ≥ ετ₁. В условиях леммы 4.1 имеем

(

)

√

τy₁ -τx₁

τw = iτ

u² + s + τy₁ - τx₁ =

u² + s itg

√

u ≥ 0, ρ > 1,

2ρ

u² + s



(

)

τy₁ -τx₁

|y^′| - |x^′| - ετ



√

≤

≤1-ε₁, y^′ =x^′,



rg a ± tg



;

a ≤ 1.

^a

≥

u² + s

|y^′ - x^′|

2ρ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

САТТОРОВ, ЭРМАМАТОВА

Таким образом, при y^′ = x^′ выполняются неравенства (3.5); если y^′ = x^′, то Re w < 0, и,

значит, эти неравенства также выполняются. Поэтому E_ρ(w) = ψ_ρ(w), w ∈ Ω^-ρ, где β =

= π/(2ρ) + ε₂/2.

Далее имеем

(ζ - σw)(ζ - σw) = ζ² - 2σζ(y₁ - x₁) + σ²(u² + s + (y₁ - x₁)²),

∂m-1

(-1)m-1(m - 1)!σ2(m-1)

∂sm-1 (ζ - σw)(ζ - σw)

(ζ - σw)^m(ζ - σw)^m

Теперь из (3.2) и (3.3) получаем

∫

∂m-1

(-1)m-1(m - 1)!σ2(m-1)ρ

(ς - σ(y₁ - x₁)) exp(ς^ρ)

ReE_ρ(σw) =

dς,

∂sm-1

2πi

(ζ - σw)^m(ζ - σw)^m

∫

∂m-1

ImE_ρ(σw)

(-1)m-1(m - 1)!σ2m-1ρ

exp(ς^ρ)

√

dς.

∂sm-1

u² + s

πi

(ζ - σw)^m(ζ - σw)^m

Интегралы оцениваем согласно неравенствам (3.6):



 ∂m-1



C₄(ρδ,m)σ2m-1r



eE_ρ(σw)

|w|² = u² + r² ≥ r² ≥ δ², δ ≥ τ₁ε,

(4.11)

≤

^∂sm-1 R

1 + σ2m|w|2m



 ∂m-1

Im E_ρ(σw)

C₄(ρδ,m)σ2m-1r



√

≤



(4.12)

^.

^∂sm-1

u² + s

1 + σ2m|w|2m

При доказательстве мы воспользовались легко проверяемыми неравенствами



 ∂^k

sin(να)

2k|y_n|^kσ^k

 ∂^k



2k|y_n|^kσ^k



C_k



os(να)

C_k

α ≥ 1, k = 0,1,...,

≤

^∂s^k

αk+1

^∂s^k c

α^k



 ∂^k

sin(να)

2k|y_n|^kσ^k



C_k

0 < α ≤ 1, k = 1,2,...,

≤

^∂s^k

α2k



 ∂^k



2k|y_n|^kσ^k

 ∂



2|y_n|σ



os(να)

C_k

0 < α ≤ 1, k = 2,3,...,



os(να)

C_k

≤

^∂s^k c

α2(k+1)

^∂s^c

Учитывая, что s = α² в формуле (4.1), имеем

{

}

∂m-1

e^-σs

ϕσ(y, x, λ, u)

∂sm-1

u² + s + (y₁ - x₁)2

(

∑

∂m-1-p

e^-σs

⁾ ∂^p

C^p

ϕσ(y, x, λ, u).

(4.13)

m-1 ∂sm-1-p u² + s + (y₁ - x₁)²

∂s^p

p=0

В формуле (4.13) вычисляем производные

(

)

∑

∂m-1-p

e^-σs

Cim-p-1(e^-σs)(m-p-1)[(u² + s + (y₁ - x₁)²)-1](i) =

∂sm-1-p u² + (y₁ - x₁)2 + s

i=0

∑

Cim-p-1(-1)m-p-1σm-p-1-ie^-σs(m - p - i)!((u² + s + (y₁ - x₁)²)-1)-m+p+i.

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА

Вычислим производные функций, определённых равенствами (3.3), (3.4), по переменным

y_i, i = 1,n. Заметим, что оценки (4.11) и (4.12) для них сохраняются, но с другими постоян-

ными. Тогда получим неравенства (4.10). Теперь вычисляем интегралы (4.7), (4.8) аналогично

(4.9), (4.10). Теорема 4.1 доказана.

Следствие 4.1. Для любого x ∈ Ω_ρ справедливы равенства

∂F_σ

∂F

F (x) = lim

Fσ(x), lim

(x) =

(x),

σ→∞

σ→∞ ∂x_j

∂x_j

выполняющиеся равномерно на компактах из Ω_ρ.

Приведём оценку устойчивости.

Положим

R^ρ = maxRe w0, x ∈ Ωρ, σ = R-ρ ln

(4.14)

y∈S

Теорема 4.2. Пусть вектор-функция F (y) ∈ A(Ω_ρ) удовлетворяет на поверхности T =

= ∂Ω_ρ\S граничному условию (4.3), а на поверхности S - условию

|F (y)| ≤ δ, y ∈ S,

0 < δ < 1.

Тогда

|F (x)| ≤ C₁(x)B1-(γ/R)ρ δ(γ/R)ρ lnⁿ 1



_∂F



C₂(x)B1-(γ/R)ρ δ(γ/R)ρ lnn+2 1

x∈Ω_ρ.

(4.15)

≤

^∂x_j(

Доказательство. Согласно формуле (4.4) и теореме 4.1 имеем

∫



∫



|F (x)| ≤

|M_σ(y, x; H)| dS_y

⁺



^.

Для функций F_σ(x),

∂F_σ(x)/∂x_j вследствие (4.5), (4.6), (4.8), (4.10) получаем оценки



∂Fσ



|F_σ(x)| ≤ C₁(x)σⁿeσRρ-σγρ

C₂σn+2eσRρ-σγρ , x ∈ Ω_ρ, j = 1,n.

≤

∂x_j (

Согласно условию теоремы 4.2 и неравенствам (4.8), (4.10) заключаем, что



∂F_σ



|F_σ(x)| ≤ C₁(x)σⁿ(1 + δeσRρ),

C₂(1 + δeσRρ ), x ∈ Ω_ρ, j = 1,n, σ ≥ σ₀ > 0.

≤

∂x_j (

Выбирая σ как (4.14), доказываем оценку (4.15). Теорема доказана.

Приведём результат, который позволяет вычислить значение F (x) приближённо, когда

на поверхности S вместо функции f(y) заданы её непрерывные приближения f_δ(y) класса

C(S) с заданным уклонением 0 < δBe-σb1 :

max|f(y) - fδ(y)| ≤ δ.

Предположим, что поверхность S задана уравнением

y₁ = h(y₂,... ,y_n), (y₂,... ,y_n) ∈ T,

где h - однозначная функция, удовлетворяющая условиям Ляпунова, при этом

[

)₂

⁽ dh

maxh = b1, b2 = max

+...+

⁽ dh )2]1/2.

dy₂

dy_n

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

САТТОРОВ, ЭРМАМАТОВА

∫

Положим F_σδ(x) =_S M_σ(y, x; H)f_δ(y) dS, тогда

∫

∂F_σδ

∂M_σ

(x) =

(y, x; H)f_δ(y) dS, x ∈ Ω,

∂x_j

где σ = (1/b²¹) ln(B/δ), δ < B.

Теорема 4.3. Пусть вектор-функция F (y) ∈ A(Ω_ρ) удовлетворяет условиям (4.3). Тогда

при σ ≥ 1 справедливы неравенства

|F (x) - F_σδ(x)| ≤ C₁(x)B1-(γ/R)ρ δ(γ/R)ρ lnⁿ 1

x∈Ω_ρ,



_∂F

∂F_σδ



x) -

(x)

C₂(x)B1-(γ/R)ρ δ(γ/R)ρ lnn+2 1

x∈Ω_ρ.

(4.16)

≤

^∂x_j(

∂x_j

Доказательство. Из обобщённой интегральной формулы Коши (4.4) при любом x ∈ Ω_ρ

получаем равенства

∫

F (x) - F_σδ(x) = J1σ(x) + M_σ(y, x; H)[f(y) - f_δ(y)] dS_y ,



∫

_∂F

∂F_σδ



∂M_σ(y,x;H)



x) -

(x)

J2σ(x) +

[f(y) - f_δ(y)] dS_y ,

⁼

^∂x_j(

∂x_j

∫

∂M_σ(y,x;H)

J1σ(x) = M_σ(y,x;H)F(y)dS_y, J2σ(x) =

F (y) dS_y, x ∈ Ω_ρ, j = 1, n.

∂x_j

Теперь, дословно повторяя доказательство теоремы 4.1, получаем оценки (4.16). Теорема до-

казана.

Следствие 4.2. Для любого x ∈ Ω_ρ справедливы равенства

∂F_σδ

∂F

F (x) = lim

Fσδ(x), lim

(x) =

(x),

δ→0

δ→0 ∂x_j

∂x_j

выполняющееся равномерно на компактах из Ω_ρ.

Построенный функционал F_σδ(x, f_δ), определённый на множестве {f_δ}, где f_δ(x) ∈ C(S),

0 < δ < δ₀, называется регуляризацией по Лаврентьеву решения задачи Коши.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сатторов Э.Н., Эрмаматова Ф.Э. Формула Карлемана для решений обобщённой системы Коши-

Римана в многомерной пространственной области // Совр. математика. Фунд. направления. 2019.

Т. 65. Вып. 1. С. 95-108.

2. Оболашвили Е.И. Обобщенная система Коши-Римана в многомерном евклидовом пространстве

// Сб. тр. конф. “Комплексный анализ”. Гале, 1976.

3. Оболашвили Е.И. Обобщенная система Коши-Римана в многомерном пространств // Тр. Тбилис-

ского мат. ин-та. 1978. Т. 58. C. 168-173.

4. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М., 1974.

5. Владимиров В.С., Волович И.В. Суперанализ I. Дифференциальное исчисление // Теор. и мат.

физика. 1984. Т. 59. № 1. C. 3-27.

6. Владимиров В.С., Волович И.В. Суперанализ. II. Интегральное исчисление // Теор. и мат. физика.

1984. Т. 60. № 2. С. 169-198.

7. Brackx F., Delanghe K., Sommen F. Clifford Analysis. V. 76. London, 1982.

8. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического

типа. М., 1978.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОБОБЩЁННОЙ СИСТЕМЫ КОШИ-РИМАНА

9. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск, 1962.

10. Берс А., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М., 1966.

11. Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Докл. АН СССР. 1977. Т. 235. № 2.

C. 281-283.

12. Ярмухамедов Ш. О продолжении решения уравнения Гельмгольца // Докл. РАН. 1997. Т. 357. № 3.

С. 320-323.

13. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // Докл. АН

СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501-504.

14. Иванов В.К. Задача Коши для уравнения Лапласа в бесконечной полосе // Дифференц. уравнения.

1965. Т. 1. № 1. С. 131-136.

15. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для линейных эллиптических уравнений второго порядка

// Докл. АН СССР. 1957. Т. 112. № 2. С. 195-197.

16. Мергелян С.Н. Гармоническая аппроксимация и приближённое решение задачи Коши для уравне-

ния Лапласа // Успехи мат. наук. 1956. Т. 11. № 5. С. 3-26.

17. Айзенберг Л.А., Тарханов Н.Н. Абстрактная формула Карлемана // Докл. АН СССР. 1988. Т. 298.

№ 6. С. 1292-1296.

18. Махмудов О.И. Задача Коши для системы уравнений теории упругости и термоупругости в прост-

ранстве // Изв. вузов. Математика. 2004. Т. 501. № 2. С. 43-53.

19. Makhmudov O., Niyozov I., Tarkhanov N. The Cauchy problem of couple-stress elasticity // Contempo-

rary Math. 2008. V. 455. P. 297-310.

20. Сатторов Э.Н., Мардонов Дж.А. Задача Коши для системы уравнений Максвелла // Сиб. мат.

журн. 2003. Т. 44. № 4. С. 851-861.

21. Сатторов Э.Н. Регуляризация решения задачи Коши для обобщённой системы Моисила-Теодо-

реску // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 8. С. 1100-1110.

22. Сатторов Э.Н. О продолжении решений обобщенной системы Коши-Римана в пространстве

// Мат. заметки. 2009. Т. 85. № 5. С. 768-781.

23. Сатторов Э.Н. Регуляризация решения задачи Коши для системы уравнений Максвелла в беско-

нечной области // Мат. заметки. 2009. Т. 86. № 6. С. 445-455.

24. Сатторов Э.Н. О восстановлении решений обобщенной системы Моисила-Теодореску в простран-

ственной области по их значениям на куске границы // Изв. вузов. Математика. 2011. № 1. С. 72-84.

25. Ярмухамедов Ш. Об аналитическом продолжении голоморфного вектора по его граничным значе-

ниям на куске границы // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. № 6. С. 34-40.

26. Makhmudov K.O., Makhmudov O.I., Tarkhanov N. Equations of Maxwell type // J. Math. Anal. Appl.

2011. V. 378. P. 64-75.

27. Сатторов Э.Н., Эрмаматова З.Э. О восстановлении решений однородной системы уравнений

Максвелла в области по иx значениям на куске границы // Изв. вузов. Математика. 2019. № 2.

С. 39-48.

28. Тарханов Н.Н. О матрице Карлемана для эллиптических систем // Докл. АН СССР. 1985. Т. 284.

№ 2. C. 294-297.

29. Айзенберг Л.А. Формулы Карлемана в комплексном анализе. Первые приложения. Новосибирск,

1990.

30. Tarkhanov N.N. Cauchy problem for solutions of elliptic equations // Math. Topics. V. 7. Akad. Verl.,

Berlin, 1995.

31. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М., 1988.

32. Ишанкулов Т.И. О возможности обобщённо-аналитического продолжения в область функций, за-

данных на куске её границы // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41. № 6. C. 1350-1356.

33. Оболашвили Е.И. Пространственный аналог обобщённых аналитических функций // Сообщ. АН

ГССР. 1974. Т. 73. № 1. С. 20-24.

34. Никофоров Л.Ф., Уваров В.Б. Основы теории специальных функций. М., 1974.

35. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. М., 1957.

36. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функции в комплексной области.

М., 1966.

37. Ярмухамедов Ш. Функция Карлемана и задача Коши для уравнения Лапласа // Сиб. мат. журн.

2004. Т. 45. № 3. С. 702-719.

Самаркандский государственный университет,

Поступила в редакцию 08.04.2020 г.

Узбекистан

После доработки 08.04.2020 г.

Принята к публикации 13.10.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

7^∗