ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.100-113

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.955+517.956

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ ДЛЯ СИЛЬНО

ВЫРОЖДЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

С ПРОИЗВОДНОЙ ГЕРАСИМОВА-КАПУТО

Для линейного дифференциального уравнения в банаховом пространстве с вырожденным

оператором при дробной производной Герасимова-Капуто доказана теорема о существо-

вании единственного решения обратной задачи с зависящим от времени неизвестным ко-

эффициентом. Предполагается выполнение условия относительной ограниченности пары

операторов в уравнении и задание условия переопределения с оператором, ядро которо-

го содержит подпространство вырождения исследуемого уравнения. Полученный резуль-

тат проиллюстрирован на примере не разрешённой относительно производной по времени

дробного порядка модельной системы уравнений в частных производных с неизвестным

коэффициентом, снабжённой начальными и краевыми условиями и условием переопреде-

ления.

DOI: 10.31857/S037406412101009X

Введение. Пусть U, X, Y - банаховы пространства, оператор L : X → Y линеен и

непрерывен, оператор M : D_M → Y линеен, замкнут и имеет плотную область определения

D_M ⊂ X, снабжённую нормой графика оператора M, число T > 0 фиксировано, опера-

тор B(t) : U → Y при всех t ∈ [0, T ] линеен и непрерывен, а функция y : [0, T ] → Y

непрерывна, m ∈ N, m - 1 < α ≤ m, D^αt - производная Герасимова-Капуто порядка α.

Рассмотрим обратную задачу, называемую также задачей идентификации [1] (или задачей

прогноз-управления [2-4]) для эволюционной системы, описываемой вырожденным (ker L =

= {0}) эволюционным уравнением

D^αtLx(t) = Mx(t) + B(t)u(t) + y(t), t ∈ [0,T],

(1)

с характерными для таких уравнений начальными условиями

(P x)(k)(0) = x_k, k = 0, m - 1,

(2)

где P - определяемый операторами L и M проектор вдоль подпространства вырождения

уравнения (1) (подробнее см. п. 3). Задача состоит в нахождении пары (u, x) функций u ∈

∈ C([0,T];U) и x ∈ C([0,T];D_M), для которых уравнение (1) выполняется при всех t ∈ [0,T],

а для функции x справедливы включение Dαt Lx ∈ C([0, T ]; Y) и начальные условия (2). Для

разрешимости этой задачи необходимо дополнительное условие - условие переопределения,

которое в данном случае будет иметь вид

Φx(t) = Ψ(t), t ∈ [0,T],

(3)

где оператор Φ : X → U и функция Ψ : [0, T ] → U заданы.

В рамках задачи (1)-(3) могут быть рассмотрены начально-краевые задачи для уравнений

и систем уравнений в частных производных, имеющих неизвестные коэффициенты в правой

части (или функции источника) [5, 6]. Уравнения и системы дробного порядка по времени ча-

сто встречаются при моделировании реальных процессов в различных областях науки (см. [7, 8]

и др.).

Обратные задачи для линейных вырожденных эволюционных уравнений первого порядка

рассматривались многими авторами [1, 3, 4, 9-15] при различных предположениях об опера-

торах L и M. В данной работе предполагается выполнение условия (L, p)-ограниченности

100

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ

101

оператора M (определение приводится в п. 3 работы). Прямая задача (1), (2) (при извест-

ной функции u) в случае (L, p)-ограниченного оператора M и её приложения исследованы в

работах [16-19]. Условия однозначной разрешимости различных обратных задач для вырож-

денного эволюционного уравнения дробного порядка вида (1) получены в работах [20-22], для

других дробных уравнений см., например, [23-25] и приведённую в них библиографию.

В работе [26] также исследовалась задача (1)-(3) с (L, p)-ограниченным оператором M

при тех же предположениях, что и в настоящей работе. Однако результат об однозначной раз-

решимости этой задачи был установлен только при ограничениях α ≥ 1, p = 0. Причиной

этих ограничений явилось отсутствие в [26] доказательства повышенной гладкости решения

вспомогательного интегрального уравнения Вольтерры. В данной работе это ограничение сня-

то - получены условия разрешимости задачи (1)-(3) при любых α > 0, p ∈ N₀ := {0}

⊔ N.

Второй пункт настоящей работы содержит доказательство существования решения повы-

шенной гладкости уравнения Вольтерры специального вида. Для этого вводится в рассмотре-

ние весовое функциональное пространство функций конечной гладкости с особенностью в нуле

и устанавливаются некоторые свойства таких функций. В третьем пункте доказана теорема о

существовании решений повышенной гладкости невырожденной задачи (1)-(3) в случае, если

X = Y, L = I - тождественный оператор, и найдена оценка устойчивости решения. Четвёртый

пункт работы содержит основной результат - теорему о существовании и единственности реше-

ния задачи (1)-(3). В последнем пункте полученный результат проиллюстрирован на примере

не разрешённой относительно производной дробного порядка по времени модельной системы

уравнений в частных производных с неизвестным коэффициентом, снабжённой начальными и

краевыми условиями и конкретным условием переопределения вида (3).

1. Решения повышенной гладкости специального уравнения Вольтерры. Пусть

U, V - банаховы пространства, L(U;V) - нормированное векторное пространство линейных

непрерывных операторов, действующих из U в V, L(U) := L(U; U); Cl(U; V) - множество

всех линейных замкнутых операторов с плотной областью определения в U, действующих в

пространство V, Cl(U) := Cl(U; U).

Обозначим через C^n,k(^△; L(U)) пространство функций, заданных на прямоугольнике^△ :=

:= {(t, s) : t ∈ [0, T ], s ∈ [0, t]} ⊂ R², принимающих значения в пространстве L(U) и являю-

щихся непрерывными по совокупности переменных вместе со своими частными производными

до порядка n включительно по первой переменной и до порядка k включительно - по второй.

Лемма 1. Пусть n ∈ N₀, α > n, h ∈ Cⁿ([0, T ]; U), K ∈ Cn,0(^△; L(U)). Тогда уравнение

∫^t

u(t) = (t - s)α-1K(t, s)u(s) ds + h(t)

(4)

имеет единственное решение u ∈ Cⁿ([0,T];U), при этом справедлива оценка

∥u∥_Cn([0,T];U) ≤ C(K)∥h∥_Cn([0,T];U)

(5)

с некоторой константой C = C(K), не зависящей от h.

Доказательство. Запишем уравнение (4) в виде u=F (u), где оператор F : Cⁿ([0, T ]; U)→

→ Cⁿ([0,T];U) действует по правилу

∫^t

[F (u)](t) = (t - s)α-1K(t, s)u(s) ds + h(t).

(6)

При k ≤ n < α имеем

∫

∑

d^k

(t - s)α-1K(t, s)u(s) ds =

c_lk (t - s)α-1-lK_k-l(t,s)u(s)ds,

dt^k

l=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

102

ФЕДОРОВ, КОСТИЧ

где c_lk - некоторые константы, K_l(t, s) = ∂^lK(t, s)/∂t^l. Поэтому при всяком t₁ ∈ (0, T ] при

некоторых постоянных b_l > 0 выполняется неравенство

∑

∥F (u₁) - F (u₂)∥_Cn([0,t1];U) ≤

b_ltα-l1∥K∥Cn,0( △;L(U))^∥u1^-u2^∥Cⁿ([0,t1];U)^,

l=0

в котором



∑



∂^l



max

∥v(l)(t)∥_U,

max

(t, s)

∥v∥_Cn([0,t1];U) =

∥K∥Cn,0( △;L(U))⁼



t∈[0,t₁]

^∂t^lK

(t,s)∈△

L(U)

l=0

Выбрав t₁ достаточно малым, получим сжимающий оператор F на полном метрическом

пространстве Cⁿ([0, t₁]; U). По теореме о сжимающем отображении найдётся единственная

неподвижная точка u¹⁰ ∈ Cⁿ([0, t₁]; U) оператора F.

Если t₁ < T, то при t₂ ∈ (t₁, T ] введём в рассмотрение метрическое пространство

C^nt([0, t2]; U) := {u ∈ Cn([0, t2]; U) : u(t) = u10(t), t ∈ [0, t1]}

с метрикой d(u₁, u₂) = ∥u₁ - u₂∥_Cn([0,t2];U). Нетрудно показать его полноту, при этом, в силу

доказанного выше, оператор F действует из пространства C^nt([0, t2]; U) в него же, поскольку

при всяком u ∈ C^nt([0, t2]; U) для t ∈ [0, t1] имеем (F u)(t) = (F u10)(t) = u10(t). Для любых

u₁,u₂ ∈ C^nt([0, t2]; U) при k ≤ n очевидно равенство

∑ ∫t

d^k

(F (u₁) - F (u₂)) =

c_lk (t - s)α-1-lK_k-l(t,s)(u₁(s) - u₂(s))ds.

dt^k

l=0

t₁

Таким образом,

∑

∥F (u₁) - F (u₂)∥_Cn([0,t2];U) ≤

b_l(t₂ - t₁)^α-l∥K∥Cn,0( △;L(U))^∥u1^-u2^∥Cⁿ([0,t2];U)^,

l=0

при этом константы b_l - те же, что и выше. Поэтому, если t₂ = min{2t₁, T }, оператор F

является сжимающим на полном метрическом пространстве C^nt([0, t2]; U) и, следовательно,

имеет единственную неподвижную точку - функцию u²⁰ ∈ C^nt([0, t2]; U), совпадающую, таким

образом, на [0, t₁] с функцией u¹⁰.

Если t₂ = 2t₁ < T, то на следующем шаге выбираем t₃ ∈ (2t₁, T ] и рассматриваем отобра-

жение F на полном метрическом пространстве

C^nt([0, t3]; U) := {u ∈ Cn([0, t3]; U) : u(t) = u20(t), t ∈ [0, t2]}.

Повторим рассуждения k раз до выполнения условий (k - 1)t₁ < T, kt₁ ≥ T.

Для полученного решения u ∈ Cⁿ([0, T ]; U) имеем при l ∈ N представление

∫t

∫

t₁

∫

u(t) = [Fl+1(u)](t) =

···

[(t - t₁)(t₁ - t₂) · · · (t_l - tl+1)]α-1 ×

∑

× K(t,t₁)K(t₁,t₂)···K(t_l,tl+1)u(tl+1)dtl+1 ···dt2 dt₁ +

(Fr0h)(t),

r=0

где

∫^t

[F₀h](t) = (t - s)α-1K(t, s)h(s) ds.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ

103

Тогда при k ∈ {1, 2, . . . , n} получаем

t₁

∫

∑ ∫t

d^k

u(t) =

d_pk

···

(t - t₁)α-p-1[(t₁ - t₂) · · · (t_l - tl+1)]α-1 ×

dt^k

p=0

× K_k-p(t,t₁)K(t₁,t₂)··· K(t_l,tl+1)u(tl+1)dtl+1 ··· dt₂ dt₁ +

∫

t₁

∫

∑

∑ ∫t

e_pk

···

(t - t₁)α-p-1[(t₁ - t₂) · · · (tr-1 - t_r)]α-1 ×

r=0 p=0

× K_k-p(t,t₁)K(t₁,t₂)··· K(tr-1,t_r)h(t_r)dt_r ··· dt₂ dt₁,

∑

T(α-1)lTα+l

∥u∥_Cn([0,T];U) ≤

∥u∥_Cn([0,T];U) +

d_k∥K∥Cn,0( △;L(U))∥K∥l

C(^△;L(U))α(α+1)··· (α + l)

k=0

(α+1)l∥K∥^l

C₁T

C(^△;L(U))

+ lC_h∥h∥_Cn([0,T];U) ≤

∥u∥_Cn([0,T];U) + lC_h∥h∥_Cn([0,T];U) ≤

αl!

≤ q_l∥u∥_Cn([0,T];U) + lC_h∥h∥_Cn([0,T];U),

где d_pk, e_pk - некоторые константы, d_k - положительные константы, q_l < 1 при достаточно

большом l. Отсюда следует, что выполняется оценка (5). Лемма доказана.

При n ≥ m ∈ N введём в рассмотрение линейное пространство

C^nm([0,T];U) := {u ∈ Cm-1([0,T];U) : tk+1u(m+k)(t) ∈ C([0,T];U), k = 0,n - m}.

Условимся, что при n < m по определению C^nm([0, T ]; U) := Cⁿ([0, T ]; U). При m ∈ N, n ∈ N₀

имеем вложение C^nm([0, T ]; U) ⊂ C([0, T ]; U).

Лемма 2. Пусть n ≥ m ∈ N. Тогда пространство C^nm([0, T ]; U) с нормой

∑

∥u∥_Cn

max tk+1∥u(m+k)(t)∥_U

m([0,T ];U) =^∥u∥Cm-1([0,T ];U)⁺

t∈[0,T ]

k=0

является банаховым.

Доказательство. Аксиомы нормы проверяются стандартным образом.

Докажем полноту пространства. Рассмотрим последовательность {u_k}, фундаментальную

в указанной норме. Очевидно, что существует функция u ∈ Cm-1([0,T];U), к которой эта по-

следовательность сходится в Cm-1([0, T ]; U). Тогда функция tu(m-1)(t) лежит в C([0, T ]; U), а

последовательность функций (tu(m-1)k(t))^′ = u(m-1)k(t) + tu(m)k(t) сходится к некоторой функ-

ции v = (tu(m-1)(t))^′ = u(m-1)(t) + tu(m)(t) в C([0, T ]; U), поэтому tu(m)(t) ∈ C([0, T ]; U).

Аналогично, последовательность (t²u(m)k(t))^′ = 2tu(m)k(t) + t²u(m+1)k(t) сходится к 2tu(m)(t) +

+ t²u(m+1)(t) в C([0,T];U), а значит, t²u(m+1)(t) ∈ C([0,T];U). Продолжая этот процесс, за

конечное число шагов получим требуемое. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть U, V, W - банаховы пространства и ◦ : U × V → W - билинейное

отображение. Тогда для u ∈ C^nm([0,T];U), v ∈ C^nm([0,T];V) справедливы включения u ◦ v ∈

∈ C^nm([0,T];W) и оценка

∥u ◦ v∥_Cn

m([0,T ];W) ≤^∥u∥C^m([0,T ];U)^∥v∥C^m([0,T ];V)^.

Доказательство. При k ∈ {0, 1, . . . , m - 1} имеем равенство

∑

tk+1(u ◦ v)(m+k) =

t^lClm+ku(l) ◦ tk-l+1v(m+k-l) + tk+1

Clm+ku(l) ◦ v(m+k-l) +

l=0

l=k+1

∑

(m + k)!

+ tm+k-lClm+ktl-m+1u(l) ◦ v(m+k-l), Clm+k =

l!(m + k - l)!

l=m

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

104

ФЕДОРОВ, КОСТИЧ

а при k ∈ {m, m + 1, . . . , n - m} - равенство

∑

tk+1(u ◦ v)(m+k) =

t^lClm+ku(l) ◦ tk-l+1v(m+k-l) + tm-1

Clm+ktl-m+1u(l) ◦ tk-l+1v(m+k-l) +

l=0

l=m

∑

tm+k-lClm+ktl-m+1u(l) ◦ v(m+k-l).

l=k+1

Остальная часть доказательства очевидна. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть n ∈ N,

0 < α ≤ n, h ∈ C^nm([0,T];U), K ∈ Cn,n-m+1(^△;L(U)). Тогда

уравнение (4) имеет единственное решение u ∈ C^nm([0, T ]; U), при этом справедлива оценка

∥u∥_Cn

([0,T ];U) ≤ C(K)∥h∥Cnm([0,T ];U)

(7)

с некоторой константой C = C(K), не зависящей от h.

Доказательство. Как и при доказательстве леммы 1, рассмотрим оператор (6), но теперь

в банаховом пространстве C^nm([0, T ]; U). При α ≤ k ∈ N имеем

∫

∑

d^k

(t - s)α-1K(t, s)u(s) ds =

cl,m-1

(t - s)α-1-lKm-1-l(t, s)u(s) ds =

dt^k

dtk-m+1

l=0

∫

k-m+1

∑

cl,m-1

(t - s)α-1-lKm-1-l(t, s)u(s) ds +

dtk-m+1

l=0

∫

dk-m+1

+cm-1,m-1

s^α-mK(t,t - s)u(t - s)ds =

dtk-m+1

∫

k-m

∑

c_l,m (t - s)α-1-lK_m-l(t,s)u(s)ds +

dt^k-m

l=0

(

∫

)

d^k-m

+cm-1,m-1

t^α-mK(t,0)u(0) + s^α-m

[K(t, t - s)u(t - s)] ds

dt^k-m

∫

k-m-1

∑

cl,m+1

(t - s)α-1-lKm+1-l(t, s)u(s) ds +

dtk-m-1

l=0

(

∫

)

dk-m-1

+cm-1,m

t^α-mK₁(t,0)u(0) + s^α-m

[K₁(t, t - s)u(t - s)] ds

dtk-m-1

(

dk-m-1

+cm-1,m-1

(α - m)tα-m-1K(t, 0)u(0) + t^α-mK₁(t, 0)u(0) +

dtk-m-1



∫

)



d²



+t^α-m

[K(t, t - s)u(t - s)] + s^α-m

[K(t, t - s)u(t - s)] ds



dt²

s=t

∫

∑ ∫t

∑

d^l

= c_l,k (t-s)α-1-lK_k-l(t,s)u(s)ds+ C_l(t)t^α-l+

c_l

s^α-m

[K(t, t-s)u(t-s)] ds.

dt^l

l=0

l=m

l=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ

105

При этом при любом t₁ ∈ (0, T ] выполняются неравенства

max ∥C_l(t)tα-l+k-m+1∥_U ≤

t∈[0,t₁]

)

∑

max tα-m+1∥u(i)(t)∥_U +

max t^α∥ti-m+1u(i)

(t)∥_U

≤

≤ b∥K∥Ck-l,k-l( △;L(U))

t∈[0,t₁]

i=0

i=m

≤ btα-m+11∥K∥Ck-l,k-l( △;L(U))^∥u∥C^k-lm([0,t1];U)^,

где b > 0, c_l, c_l,r - константы,



∑∑



 ∂i+j

max



(t, s)

∥K∥Ck,l( △;L(U))⁼



(t,s)∈△

^∂tⁱ∂s^jK

L(U)

i=0 j=0

Следовательно,



d^k



k-m+1



max

(F (u₁(t)) - F (u₂(t)))

t



≤ atα+k-2m+21∥K∥Ck,0( △;L(U))^∥u1 - u2^∥C([0,t1];U) ⁺

t∈[0,t₁]

dt^k

+ b₁tα-m+11∥K∥Ck-m,k-m(△;L(U))^∥u1 - u2^∥C^k-mm([0,t1];U) ⁺

(m-1∑

max

tα+k-2m+2∥u(i)1(t) - u(i)2(t)∥_U +

+ c∥K∥Ck-m+1,k-m+1( △;L(U))

t∈[0,t₁]

i=0

)

∑

max

t^α∥ti-m+1(u(i)1(t) - u(i)

(t))∥_U

≤

t∈[0,t₁]

i=m

≤ a₁tα-m+11(∥K∥Ck,0(△;L(U)) ⁺∥K∥Ck-m+1,k-m+1(△;L(U)))∥u1 - u2^∥Ck-m+1m([0,t1];U)

при некоторых положительных постоянных a, a₁, b₁, c.

При k ≤ m - 1 нужная оценка получается значительно проще:

∫

∑

d^k

(t - s)α-1K(t, s)u(s) ds =

c_l,k

(t - s)α-1-lK_k-l(t, s)u(s) ds,

dt^k

l=0



d^k



F (u₁) - F (u₂))



≤ atα-k1∥K∥Ck,0( △;L(U))^∥u1 - u2^∥C([0,t1];U)^.

^ dt^k (

C[0,t₁];U)

В итоге приходим к неравенству

∥F (u₁) - F (u₂)∥_Cn

([0,t₁];U) ≤ a2t1-m+1∥K∥_Cn,n-m+1₍ ̂△;L(U))∥u1 - u2∥Cnm([0,t₁];U).

Выбрав t₁ достаточно малым, получим сжимаемость оператора F на полном метрическом

пространстве C^nm([0, t₁]; U). По теореме о сжимающем отображении найдётся единственная

неподвижная точка u¹⁰ ∈ C^nm([0, t₁]; U) оператора F.

Заметим, что из проведённых рассуждений и условия h ∈ C^nm([0, T ]; U) следует также, что

оператор F действует из пространства C^nm([0, T ]; U) в него же.

Если t₁ < T, то при t₂ ∈ (t₁, T ] рассмотрим метрическое пространство

C^nm,t

([0, t₂]; U) := {u ∈ C^nm([0, t₂]; U) : u(t) = u¹⁰(t), t ∈ [0, t₁]}

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

106

ФЕДОРОВ, КОСТИЧ

с метрикой d(u₁, u₂) = ∥u₁ - u₂∥_Cn([0,t2];U). Нетрудно доказать его полноту, при этом, в силу

доказанного выше, оператор F действует из пространства Cnm,t1 ([0, t₂]; U) в него же. Для про-

извольных u₁, u₂ ∈ Cnm,t1 ([0, t₂]; U) обозначим v = u₁ - u₂, тогда при k ≤ m - 1 имеем

∫

∑

d^k

(F (u₁) - F (u₂)) =

(t - s)α-1K(t, s)v(s) ds =

c_l,k

(t - s)α-1-lK_k-l(t, s)v(s) ds,

dt^k

l=0

t₁



d^k



F (u₁) - F (u₂))



≤ a(tα-k2 - tα-k1)∥K∥Ck,0( △;L(U))^∥u1 - u2^∥C([0,t2];U)^,

^ dt^k (

C[0,t₂];U)

а при m ≤ k ≤ n получаем

∫

∑

d^k

(F (u₁) - F (u₂)) =

cl,m-1

(t - s)α-1-lKm-1-l(t, s)v(s) ds +

dt^k

dtk-m+1

l=0

t₁

∫

dk-m+1

+cm-1,m-1

s^α-mK(t,t - s)v(t - s)ds =

dtk-m+1

∫

∑ ∫t

∑

d^l

= c_l,k (t - s)α-1-lKk-l(t,s)v(s)ds +

c_l

s^α-m

[K(t, t - s)v(t - s)] ds

dt^l

l=0

в силу очевидных равенств v(t₁) = v^′(t₁) = . . . = v(n)(t₁) = 0. Таким образом,

∥F (u₁) - F (u₂)∥_Cn

([0,t₂];U) ≤ a1(t2-m+1 - t1-m+1)∥K∥_Cn,n-m+1₍ ̂△;L(U))∥u1 - u2∥Cnm([0,t₂];U),

при этом константу a₁ можно выбрать той же, что и на предыдущем этапе рассуждений. По-

этому при t₂ = min{2t₁, T } оператор F является сжимающим на полном метрическом прост-

ранстве Cnm,t1 ([0, t₂]; U) и, следовательно, имеет единственную неподвижную точку - функ-

цию u²⁰ ∈ C^nm([0, t₂]; U), совпадающую на [0, t₁] с функцией u¹⁰ по определению пространства

Cnm,t1 ([0,t₂];U).

Если t₂ < T, то на следующем шаге выбираем t₃ = min{3t₁, T } и рассматриваем отобра-

жение F на полном метрическом пространстве

C^nm,t

([0, t₃]; U) := {u ∈ C^nm([0, t₃]; U) : u(t) = u²⁰(t), t ∈ [0, t₂]}.

Найдётся такое k ∈ N, что (k - 1)t₁ < T, kt₁ ≥ T. Повторив рассуждения k раз, завершим

доказательство разрешимости.

Доказательство оценки (7) проводится так же, как и доказательство аналогичной оценки

в лемме 1. Лемма доказана.

2. Невырожденная задача идентификации. Обозначим

∫t

g_δ(t) := Γ(δ)-1tδ-1, J^δth(t) := (g_δ ∗ h)(t) = g_δ(t - s)h(s)ds

при δ > 0, t > 0. Пусть m - 1 < α ≤ m ∈ N, D^mt - обычная производная целого порядка m,

J0t - тождественный оператор,

(

)

∑

D^αtf(t) = D^mtJ^m-αt f(t) -

f(k)(0)gk+1(t)

k=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ

107

– производная Герасимова-Капуто (см. [27, 28], обсуждение терминологии - например, в [29,

30]). При α, β > 0 обозначим функцию Миттаг-Лёффлера

∑

zⁿ

E_α,β(z) =

Γ(αn + β)

n=0

Пусть Z - банахово пространство, A ∈ L(Z), f : [0, T ] → Z, z_k ∈ Z, k = 0, m - 1.

Рассмотрим задачу Коши

D^αtz(t) = Az(t) + f(t), t ∈ [0,T],

(8)

z(k)(0) = z_k, k = 0,m - 1.

(9)

Решением задачи (8), (9) будем называть функцию z ∈ Cm-1([0, T ]; Z), для которой справед-

ливо включение

(

)

∑

J^m-α

z- z(k)(0)gk+1

∈ C^m([0,T];Z)

k=0

и выполняются равенства (8), (9).

Лемма 5 [18, 19]. Пусть A ∈ L(Z), f ∈ C([0, T ]; Z), z_k ∈ Z, k = 0, m - 1. Тогда задача

(8), (9) имеет единственное решение, и это решение представляется в виде

∫

∑

z(t) =

t^kEα,k+1(At^α)z_k + (t - s)α-1E_α,α(A(t - s)^α)f(s)ds.

(10)

k=0

Рассмотрим задачу идентификации

D^αtz(t) = Az(t) + B(t)u(t) + g(t), t ∈ [0,T],

(11)

z(k)(0) = z_k, k = 0,m - 1,

(12)

Φz(t) = Ψ(t), t ∈ [0,T],

(13)

где m - 1 < α ≤ m ∈ N, U, V, Z - банаховы пространства, A ∈ L(Z), B : [0, T ] → L(U; Z),

g : [0, T ] → Z, Φ ∈ L(Z;V), Ψ : [0,T] → V, zk ∈ Z, k = 0,m - 1 заданы, а функции

z : [0,T] → Z и u : [0,T] → U требуется определить, (13) - условие переопределения.

Решением задачи (11)-(13) будем называть пару (u, z) функций u ∈ C([0, T ]; U) и z ∈

∈ Cm-1([0,T];Z) такую, что

)

∑

J^m-αt z -

z(k)(0)gk+1

∈ C^m([0,T];Z)

k=0

и выполняются равенства (11)-(13).

Теорема 1. Пусть m ∈ N, n ∈ N, A ∈ L(Z), B ∈ Cmax{0,n-m+1}([0, T ]; L(U; Z)), g ∈

∈ C^nm([0,T];Z), Φ ∈ L(Z;V), при всех t ∈ [0,T] существует обратный оператор (ΦB(t))-1 ∈

∈ L(V;U), (ΦB(t))-1 ∈ Cⁿ([0,T];L(V;U)), z_k ∈ Z, k = 0,m - 1, Ψ ∈ C([0,T];V), m - 1 <

< α ≤ m, Dαt Ψ ∈ C^nm([0,T];V), Ψ(k)(0) = Φz_k, k = 0,m - 1. Тогда задача (11)-(13) имеет

единственное решение (u,z), при этом u ∈ C^nm([0,T];U) и справедлива оценка

∥z∥_Cm-1([0,T];Z) + ∥D^αtz∥C([0,T];Z) + ∥u∥_Cn

m([0,T ];U) ≤

)

∑

≤C

∥z_k∥_Z + ∥g∥_Cn

([0,T ];Z) + ∥DtαΨ∥Cn

([0,T ];V)

(14)

k=0

в которой константа C = C(A, B, Φ) не зависит от z₀, z₁, . . . , zm-1, g, Ψ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

108

ФЕДОРОВ, КОСТИЧ

Доказательство. Если z - решение задачи Коши (11), (12) при некотором u, то в силу

непрерывности оператора Φ справедливо равенство

D^αtΦz(t) = ΦD^αtz(t) = Φ(Az(t) + B(t)u(t) + g(t)).

Поэтому в соответствии с равенством (10) и условием (13) имеем

∫

(m-1∑

D^αtΨ(t) = ΦA

t^kEα,k+1(t^αA)z_k + (t - s)α-1E_α,α((t - s)^αA)g(s)ds +

k=0

∫t

)

+ (t - s)α-1E_α,α((t - s)^αA)B(s)u(s) ds

+ ΦB(t)u(t) + Φg(t).

Воспользовавшись условием непрерывной обратимости операторов семейства ΦB(t), прихо-

дим к равенству

∫t

u(t) = (t - s)α-1K(t, s)u(s) ds + h(t),

(15)

где

K(t, s) = -(ΦB(t))-1ΦAE_α,α((t - s)^αA)B(s) ∈ Cn,max{0,n-m+1}(^△; L(U)),

(

∑

h(t) = (ΦB(t))-1 D^αtΨ(t) - ΦA

t^kEα,k+1(t^αA)z_k -

k=0

∫t

)

− ΦA (t - s)α-1E_α,α((t - s)^αA)g(s)ds - Φg(t)

∈ C^nm([0,T];U).

Действительно, рассуждая так же, как и при доказательстве леммы 4, при g ∈ C^nm([0, T ]; Z)

получаем в силу непрерывности операторов Φ и A, что

∫t

Φg ∈ C^nm([0,T];V), ΦA (t - s)α-1E_α,α((t - s)^αA)g(s)ds ∈ C^nm([0,T];V),

остаётся учесть вложение Cⁿ([0, T ]; V) ⊂ C^nm([0, T ]; V) и лемму 3.

Таким образом, по лемме 1 при n < α или по лемме 4 в случае n ≥ α существует един-

ственное решение u ∈ C^nm([0, T ]; U) уравнения (15), которое удовлетворяет оценке вида (14)

для функции u.

Из доказанного следует, что по лемме 5 существует единственное решение z задачи Коши

(11), (12) с заданным u, которое удовлетворяет оценке (14) в силу равенства (10) с функцией

f (t) = g(t) + B(t)u(t). Теорема доказана.

Замечание 1. Понятно, что ключевым условием в теореме является условие непрерывной

обратимости операторов семейства ΦB(t). По сути оно означает адекватное соответствие ин-

формации, получаемой из условия переопределения, и неизвестной информации в уравнении.

3. Задача идентификации для вырожденного уравнения. Пусть X, Y - банаховы

пространства, L ∈ L(X; Y), M ∈ Cl(X; Y), D_M - область определения оператора M, снаб-

жённая его нормой графика ∥ · ∥DM := ∥ · ∥_X + ∥M · ∥_Y. Обозначим R^Lμ(M) := (μL - M)-1L,

L^Lμ := L(μL - M)-1.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ

109

Оператор M называется (L, σ)-ограниченным, если существует такое a > 0, что при

любом μ из множества {μ ∈ C : |μ| > a} существует оператор (μL - M)-1 ∈ L(Y; X).

Возьмём контур γ = {μ ∈ C : |μ| = r > a}. В [31, c. 89] показано, что операторы

∫

P :=

R^Lμ(M)dμ ∈ L(X) и Q :=

L^Lμ(M)dμ ∈ L(Y)

(16)

2πi

являются проекторами. Положим

X⁰ := ker P, X¹ := im P, Y⁰ := ker Q, Y¹ := im Q, P₀ := I - P, Q₀ := I - Q.

Тогда X = X⁰

^⊕X¹, Y = Y0 ⊕Y¹. Обозначим через L_k (через M_k) сужение оператора L

(оператора M) на подпространство X^k (DMk := D_M

^⋂X^k), k = 0,1.

Теорема 2 [31, c. 90]. Пусть оператор M является (L, σ)-ограниченным. Тогда справед-

ливы следующие утверждения:

(i) M₁ ∈ L(X¹;Y¹), M₀ ∈ Cl(X⁰;Y⁰), L_k ∈ L(X^k;Y^k), k = 0,1;

(ii) существуют операторы M-10 ∈ L(Y⁰;X⁰), L-11 ∈ L(Y¹;X¹).

Обозначим H := M-10L₀. При p ∈ N₀ оператор M называется (L, p)-ограниченным, если

он (L, σ)-ограничен и при этом H^p = 0, Hp+1 = 0.

Лемма 6 [18]. Пусть α, β > 0, оператор M является (L, σ)-ограниченным и

∫

X_α,β(t) :=

R^Lμ(M)E_α,β(μt^α)dμ, t ≥ 0.

2πi

Тогда при всех t ≥ 0 выполняются следующие соотношения:

(i) X_α,β(t)P = PX_α,β(t) = X_α,β(t);

(ii) X⁰ ⊂ ker X_α,β(t), im X_α,β(t) ⊂ X¹;

(iii) X_α,β(t) = E_α,β(L-11M₁t^α)P.

Пусть f : [0, T ] → Y. Решением уравнения

D^αtLx(t) = Mx(t) + f(t), t ∈ [0,T],

(17)

называется функция x ∈ C([0, T ]; D_M ), для которой справедливы включения

(

)

∑

Lx ∈ Cm-1([0,T];Y), J^m-αt Lx -

(Lx)(k)(0)gk+1

∈ C^m([0,T];Z)

k=0

и при всех t ∈ [0, T ] выполняется равенство (17). Решение x уравнения (17), для которого

x ∈ Cm-1([0,T);X) и выполняются равенства

x(k)(0) = x_k, k = 0,m - 1,

(18)

называется решением задачи Коши (17), (18).

Введём обозначение G := L₀M-10 ∈ L(Y⁰).

Лемма 7. Пусть оператор M является (L, p)-ограниченным при p ∈ N₀, g : [0, T ] →

→ Y⁰ и существуют операторы (Dαt H)^kM-10g ∈ C([0,T];X) при k = 0,p. Тогда существует

единственное решение уравнения D^αtHx(t) = x(t)+M-10g(t), и это решение представляется

в виде

∑

x(t) = - (D^αtH)^kM-10g(t).

k=0

Если, кроме того, g ∈ C^mp([0, T ]; Y), то для этого решения справедливо неравенство

∥x∥C([0,T];DM ) + ∥Lx∥Cm-1([0,T ];Y) + ∥D^tLx∥C([0,T ];Y) ≤ C∥g∥Cmp([0,T ];Y),

в котором положительная константа C = C(L, M) не зависит от g.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

110

ФЕДОРОВ, КОСТИЧ

Доказательство. Существование единственного решения x доказано в работе [18]. Учи-

тывая равенство D^αtL₀x(t) = M₀x(t) + g(t), для решения x : DM0 → X имеем оценку

∥x∥C([0,T];DM ) + ∥Lx∥Cm-1([0,T ];Y) + ∥D^tLx∥C([0,T ];Y) ≤

≤ 2∥x∥C([0,T];DM ) + ∥Lx∥Cm-1([0,T ];Y) + ∥g∥C([0,T ];Y) ≤

∑

≤2

∥(D^αtH)^kM-10g∥C([0,T];X) + 2

∥(D^αtG)^kg∥C([0,T];Y) + 3∥g∥C([0,T];Y) +

k=0

k=1

∑

∥(D^αtG)^kGg∥_Cm-1([0,T];Y) ≤ C(L, M)∥g∥_Cmp([0,T];Y).

k=0

Лемма доказана.

Отметим, что

∑

Lx(t) = - (D^αtG)ⁿGg(t) = - (D^αtG)ⁿGg(t) ∈ Cm-1([0,T];Y)

n=0

в условиях данной леммы, поскольку Gp+1 = M₀Hp+1M-10 = 0.

Пусть U, V, X, Y - банаховы пространства, L ∈ L(X; Y), оператор M ∈ Cl(X; Y) яв-

ляется (L, p)-ограниченным при p ∈ N₀, Φ ∈ L(X; V), B : [0, T ] → L(U; Y), y : [0, T ] → Y,

Ψ : [0,T] → V, x_k ∈ X¹, k = 0,m - 1, заданы. При m - 1 < α ≤ m ∈ N рассмотрим задачу

идентификации

D^αtLx(t) = Mx(t) + B(t)u(t) + y(t), t ∈ [0,T],

(19)

Px(k)(0) = x_k, k = 0,m - 1,

(20)

Φx(t) = Ψ(t), t ∈ [0,T].

(21)

Пара (u, x) функций u ∈ C([0, T ]; U) и x ∈ C([0, T ]; D_M ), для которой D^αtLx ∈ C([0, T ]; Y),

называется решением этой задачи, если выполняются равенства (19)-(21).

Замечание 2. При постановке условий (20) важен тот факт, что гладкость функции P x

не меньше, чем у Lx, так как P x = L-11L₁P x = L-11QLx.

Замечание 3. При p ≥ 1 уравнение (19) называется сильно вырожденным, поскольку в

этом случае его подпространство вырождения X⁰ состоит не только из векторов ядра ker L,

но и из их M-присоединённых векторов высоты, не большей p (см. [31]).

Далее используется ключевое условие X⁰ ⊂ ker Φ.

Теорема 3. Пусть m ∈ N, p ∈ N₀, оператор M является (L, p)-ограниченным, B ∈

∈ Cmax{0,mp-m+1}([0,T];L(U;Y)), Q₀B ∈ C^mp([0,T];L(U;Y)), при p > 0 справедливо соот-

ношение ∥Q₀B(m-1+k)∥L(U;Y) = O(t^k) при t → 0 для k = 1,mp - m + 1, y : [0,T] → Y,

Qy ∈ C^mp([0,T];Y), Q₀y ∈ C^mp([0,T];Y), Φ ∈ L(X;V), X⁰ ⊂ ker Φ, при всех t ∈ [0,T] суще-

ствует обратный оператор (ΦL-11QB(t))-1 ∈ L(V;U), (ΦL-11QB(t))-1 ∈ C^mp([0,T];L(V;U)),

Ψ ∈ C([0,T];V), m-1 < α ≤ m, Dαt Ψ ∈ C^mp([0,T];V), x_k ∈ X¹, Ψ(k)(0) = Φx_k, k = 0,m - 1.

Тогда существует единственное решение (u, x) задачи (19)-(21), при этом выполняется

неравенство

∥x∥C([0,T];DM ) + ∥Lx∥Cm-1([0,T ];Y) + ∥D^tLx∥C([0,T ];Y) + ∥u∥C([0,T ];U) ≤

)

(m-1∑

≤C

∥x_k∥_X + ∥Qy∥_Cmp

+ ∥Q₀y∥_Cmp([0,T];Y) + ∥D^α

Ψ∥_Cmp

(22)

m ([0,T ];Y)

m ([0,T ];V)

k=0

в котором положительная константа C = C(L, M, B, Φ) > 0 не зависит от x_k, k =

= 0, m - 1, y, Ψ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ

111

Доказательство. Имеем x(t) = v(t) + w(t), где P x(t) := v(t), P₀x(t) := w(t). Из условия

X⁰ ⊂ ker Φ следует, что ΦP₀ = 0, поэтому исходная задача (19)-(21) эквивалентна задаче

нахождения функций v, w, u, удовлетворяющих соотношениям

D^αtv(t) = L-11M₁v(t) + L-11QB(t)u(t) + L-11Qy(t), t ∈ [0,T],

(23)

v(k)(0) = x_k, k = 0,m - 1,

(24)

Φx(t) ≡ Φv(t) = Ψ(t), t ∈ [0,T],

(25)

D^αtHw(t) = w(t) + M-10Q₀B(t)u(t) + M-10Q₀y(t), t ∈ [0,T].

(26)

По теореме 1 с n = mp задача (23)-(25) однозначно разрешима, при этом выполняется вклю-

чение u ∈ C^mp([0, T ]; U) ⊂ C([0, T ]; U). Тогда с учётом условий на оператор Q₀B имеем

по лемме 3 включение Q₀Bu ∈ C^mp([0, T ]; Y), поэтому при n = 0, p существуют функции

(D^αtH)ⁿM-10Q₀Bu ∈ C([0, T ]; X) и уравнение (26) разрешимо в силу леммы 7, при этом

∥w∥C([0,T];DM ) + ∥Lw∥Cm-1([0,T ];Y) + ∥D^tLw∥C([0,T ];Y) ≤

≤ C(L,M)(∥Q₀Bu∥_Cmp([0,T];Y) + ∥Q₀y∥_Cmp([0,T];Y)) ≤

≤ C(L,M)∥Q₀y∥_Cmp([0,T];Y)) + C(L,M,B)∥u∥_Cmp

m ([0,T ];U)

Отсюда и из неравенства (14) вытекает требуемая оценка (22). Теорема доказана.

Замечание 4. Результат, аналогичный теореме 3, получен в [26] только при условии, что

α ≥ 1 и p = 0.

Замечание 5. При условии X¹ ⊂ ker Φ однозначная разрешимость задачи (19)-(21) была

исследована для любых α > 0 и p ∈ N₀ как в случае начальных условий (20), так и при

начальных условиях Коши.

4. Пример. Пусть d ∈ {1,2,3}, Ω ⊂ R^d - ограниченная область с гладкой границей ∂Ω.

Рассмотрим начально-краевую задачу

∂^kv₁

(s, 0) = v1k(s), k = 0, m - 1, s ∈ Ω,

(27)

∂t^k

v₁(s,t) = v₃(s,t) = 0, (s,t) ∈ ∂Ω × [0,T],

(28)

D^αt△v₁ = v₁ + b₁(s,t)u(t), (s,t) ∈ Ω × [0,T],

D^αt△v₃ = v₂ + b₂(s,t)u(t), (s,t) ∈ Ω × [0,T],

0 = △v₃ + b₃(s,t)u(t), (s,t) ∈ Ω × [0,T],

(29)

v₁(s₀,t) = Ψ(t), t ∈ [0,T],

(30)

где m - 1 < α ≤ m ∈ N₀, s₀ ∈ Ω.

∑_d

Пусть A := Δ =

∂²/∂s2k - оператор Лапласа с областью определения H²⁰(Ω) := {z ∈

k=1

∈ H²(Ω) : z(s) = 0, s ∈ ∂Ω} ⊂ L₂(Ω),

{ϕ_k} - ортонормированная в L₂(Ω) система его

собственных функций, соответствующая собственным значениям {λ_k} оператора A, зануме-

рованным в порядке их невозрастания с учётом кратности.

Редуцируем задачу (27)-(30) к задаче (19)-(21), выбрав пространства

X = H²⁰(Ω) × L₂(Ω) × H²⁰(Ω), Y = (L₂(Ω))³, U = R

(31)

и операторы

⎛

⎞

⎛

⎞

△ 0

L=^⎝0

△⎠∈L(X;Y),M= ⎝0I

0⎠∈L(X;Y).

(32)

△

При этом Φx = x₁(s₀) для x = (x₁, x₂, x₃) ∈ X, поэтому V = R, Φ ∈ L(X; R), так как при

d < 4 имеет место вложение H²⁰(Ω) ⊂ C(Ω).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

112

ФЕДОРОВ, КОСТИЧ

Лемма 8 [32]. Пусть заданы пространства (31) и операторы (32). Тогда оператор M

(L, 1)-ограничен и проекторы (16) имеют вид

⎛

⎞

⎛

⎞

P =^⎝0

0⎠,Q= ⎝0

0⎠.

Замечание 6. Из представления проектора P следует, что начальные условия (27) имеют

вид условий (20), при этом X⁰ ⊂ ker Φ.

Теорема 4. Пусть m ∈ N, b₁ ∈ C1m([0, T ]; L₂(Ω)), b₂, b₃ ∈ C^m([0, T ]; L₂(Ω)), справедливы

соотношения ∥∂^mb_i(·,t)/∂t^m∥L2(Ω) = O(t) при t → 0 и i = 2,3, при всех t ∈ [0,T] выполня-

ются условия (A-1b₁( ·, t))|s=s0 = 0 и [(A-1b₁( ·, t))|s=s0 ]-1 ∈ C^m([0, T ]; R), Ψ ∈ C([0, T ]; R),

m - 1 < α ≤ m, Dαt Ψ ∈ C^mm([0,T];R), v1k ∈ H²⁰(Ω), Ψ(k)(0) = v1k(s₀), k = 0,m - 1. Тогда

существует единственное решение (v₁,v₂,v₃,u) задачи (27)-(30), при этом имеет место

неравенство

∥v₁∥C([0,T];H2(Ω))

+ ∥v₂∥C([0,T];L2(Ω)) + ∥v3∥C([0,T ];H20(Ω)) ⁺∥Δv1^∥Cm-1([0,T ];L2(Ω)) ⁺

∑

∥u_i∥C([0,T];R) ≤

+ ∥Δv₃∥_Cm-1([0,T];L2(Ω)) + ∥D^tΔv1∥C([0,T ];L2(Ω)) ⁺∥DtΔ^v3^∥C([0,T ];L2(Ω)) ⁺

i=1,2,3

≤ C(∥v₁₁∥_H2

(Ω)

+ ∥v₁₂∥L2(Ω) + ∥v13∥H²⁰(Ω) ⁺∥DtΨ∥Cmm([0,T ];R)),

в котором константа C > 0 не зависит от v1k, k = 0, m - 1, и Ψ.

Доказательство. В условиях задачи (27)-(30) отображение ΦL-11QB(t) : R → R пред-

ставляет собой оператор умножения на число (A-1b₁( ·, t))|s=s0 . Поэтому все условия теоре-

мы 3 при p = 1 выполняются и по этой теореме получаем требуемое. Теорема доказана.

Работа Федорова В.Е. выполнена в рамках исследований Уральского математического цен-

тра, а также при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-

ний (проект 19-41-450001) и финансовой поддержке Правительства Российской Федерации

(акт 211, контракт 02.A03.21.0011).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Al Horani M., Favini A. An identification problem for first-order degenerate differential equations // J.

of Optim. Theory and Appl. 2006. V. 130. P. 41-60.

2. Прилепко А.И. Метод полугрупп решения обратных, нелокальных и неклассических задач. Про-

гноз-управление и прогноз-наблюдение эволюционных уравнений. I // Дифференц. уравнения. 2005.

Т. 41. № 11. 1560-1571.

3. Уразаева А.В., Федоров В.Е. Задачи прогноз-управления для некоторых систем уравнений гидро-

динамики // Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44. № 8. С. 1111-1119.

4. Уразаева А.В., Федоров В.Е. О корректности задачи прогноз-управления для некоторых систем

уравнений // Мат. заметки. 2009. Т. 85. Вып. 3. С. 440-450.

5. Prilepko A.I., Orlovskii D.G., Vasin I.A. Metho ds for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics.

New York; Basel, 2000.

6. Favini A., Lorenzi A. Differential Equations. Inverse and Direct Problems. Boca Raton; London; New

York, 2006.

7. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск, 2008.

8. Tarasov V.E. Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields

and Media. New York, 2011.

9. Kozhanov A.I. Composite Type Equations and Inverse Problems. Utrecht, 1999.

10. Пятков С.Г., Абашеева Н.Л. Разрешимость краевых задач для операторно-дифференциальных

уравнений смешанного типа. Вырожденный случай // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43. № 3. С. 678-693.

11. Fedorov V.E., Urazaeva A.V. An inverse problem for linear Sobolev type equations // J. of Inverse and

Ill-Posed Problems. 2004. V. 12. P. 387-395.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧА ИДЕНТИФИКАЦИИ

113

12. Pyatkov S.G., Shergin S.N. Inverse problems for some Sobolev-type mathematical models // Вестн.

Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер. Мат. моделирование и программирование. 2016. Т. 9. № 2. C. 75-89.

13. Fedorov V.E., Ivanova N.D. Identification problem for a degenerate evolution equation with overdeter-

mination on the solution semigroup kernel // Discr. and Contin. Dynamical Systems. Ser. S. 2016. V. 9.

P. 687-696.

14. Fedorov V.E., Ivanova N.D. Inverse problem for Oskolkov’s system of equations // Math. Methods in

the Appl. Sci. 2017. V. 40. № 17. P. 6123-6126.

15. Fedorov V.E., Ivanova N.D. Inverse problems for a class of linear Sobolev type equations with

overdetermination on the kernel of operator at the derivative // J. of Inverse and Ill-Posed Problems.

2020. V. 28. № 1. P. 53-61.

16. Федоров В.Е., Гордиевских Д.М. Разрешающие операторы вырожденных эволюционных уравнений

с дробной производной по времени // Изв. вузов. Математика. 2015. № 1. С. 71-83.

17. Гордиевских Д.М., Федоров В.Е. Решения начально-краевых задач для некоторых вырожденных

систем уравнений дробного порядка по времени // Изв. Иркутск. гос. ун-та. Сер. Математика.

2015. Т. 12. С. 12-22.

18. Федоров В.Е., Гордиевских Д.М., Плеханова М.В. Уравнения в банаховых пространствах с вырож-

денным оператором под знаком дробной производной // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 10.

С. 1367-1375.

19. Plekhanova M.V. Nonlinear equations with degenerate operator at fractional Caputo derivative // Math.

Methods in the Appl. Sci. 2017. V. 40. № 17. P. 6138-6146.

20. Fedorov V.E., Nazhimov R.R. Inverse problems for a class of degenerate evolution equations with

Riemann-Liouville derivative // Fract. Calc. and Appl. Anal. 2019. V. 22. № 2. P. 271-286.

21. Федоров В.Е., Нагуманова А.В. Обратная задача для эволюционного уравнения с дробной произ-

водной Герасимова-Капуто в секториальном случае // Изв. Иркутск. гос. ун-та. Сер. Математика.

2019. Т. 28. С. 123-137.

22. Фeдоров В.Е., Нагуманова А.В. Линейные обратные задачи для одного класса вырожденных эво-

люционных уравнений дробного порядка // Итоги науки и техн. Сер. Совр. математика и её при-

ложения. Темат. обзоры. 2019. Т. 167. С. 97-111.

23. Глушак А.В. Обратная задача для абстрактного дифференциального уравнения Эйлера-Пуассона-

Дарбу // Соврем. математика. Фунд. направления. 2006. Т. 15. С. 126-141.

24. Глушак А.В. Об одной обратной задаче для абстрактного дифференциального уравнения дробного

порядка // Мат. заметки. 2010. Т. 87. № 5. С. 684-693.

25. Orlovsky D.G. Parameter determination in a differential equation of fractional order with Riemann-

Liouville fractional derivative in a Hilbert space // Журн. Сиб. Федер. ун-та. Сер. Математика. Фи-

зика. 2015. Т. 8. № 1. P. 55-63.

26. Fedorov V.E., Ivanova N.D. Identification problem for degenerate evolution equations of fractional order

// Fract. Calc. and Appl. Anal. 2017. V. 20. № 3. P. 706-721.

27. Герасимов А.Н. Обобщение линейных законов деформирования и его применение к задачам внут-

реннего трения // Прикл. математика и механика. 1948. Т. 12. № 3. С. 251-260.

28. Caputo M., Mainardi F. A new dissipation model based on memory mechanism // Pure and Appl.

Geophysics. V. 91. № 1. P. 134-147.

29. Rossikhin Y.A. Reflections on two parallel ways in the progress of fractional calculus in mechanics of

solids // Appl. Mech. Rev. 2010. V. 63. № 1.

30. Новоженова О.Г. Биография и научные труды Алексея Никифоровича Герасимова. О линейных

операторах, упруго-вязкости, элевтерозе и дробных производных. М., 2018.

31. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators.

Utrecht; Boston, 2003.

32. Plekhanova M.V. Strong solutions of quasilinear equations in Banach spaces not solvable with respect to

the highest-order derivative // Discr. and Contin. Dynamical systems. Ser. S. 2016. V. 9. № 3. Р. 833-847.

Челябинский государственный университет,

Поступила в редакцию 19.06.2020 г.

Южно-Уральский государственный университет

После доработки 07.07.2020 г.

(национальный исследовательский университет), г. Челябинск, Принята к публикации 13.10.2020 г.

Институт математики и механики

им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург,

Университет Нови-Сада, г. Нови-Сад, Сербия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021