ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.114-124
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.968.23
О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ РИМАНА С ОТРАЖЕНИЕМ
НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ И СВЯЗАННЫХ С НИМИ
СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯХ
© 2021 г. А. А. Карелин, А. А. Тарасенко
Доказывается теорема об эквивалентности скалярной краевой задачи Римана со сдвигом-
отражением на вещественной оси и матричной краевой задачи Римана без сдвига. Устанав-
ливается связь между рассматриваемой краевой задачей и краевой задачей с сохраняющим
ориентацию сдвигом-поворотом на единичной окружности. Основным средством изучения
служат операторные тождества, построенные авторами в предыдущих работах и позво-
ляющие удалить сдвиг-отражение в интегральном уравнении, соответствующем краевой
задаче.
DOI: 10.31857/S0374064121010106
Введение. Краевым задачам Римана и связанным с ними сингулярным интегральным
уравнениям посвящено большое число работ. Особое место в этой тематике занимают иссле-
дования краевых задач и интегральных уравнений со сдвигами. Интерес к этой проблематике
не ослабевает и в настоящее время.
В работе [1] нами построены операторные тождества, преобразующие сингулярные ин-
тегральные операторы с инволюциями, порождёнными дробно-линейными карлемановскими
сдвигами, к эквивалентным матричным характеристическим операторам без сдвигов. Пре-
образование осуществляется с помощью обратимых операторов. Простота рассматриваемых
сдвигов позволила избежать появления дополнительных и компактных операторов, которые
не оказывают влияния на построение теории Фредгольма, но существенно сказываются на
размерности, структуре ядра операторов и методах нахождения решений уравнений. Для син-
гулярного интегрального оператора B с инволюцией, изменяющей ориентацию, операторное
тождество имеет вид HBE = DR+ . Здесь H и E - обратимые операторы, а DR+ - матричный
характеристический сингулярный интегральный оператор без сдвига.
Применение операторных тождеств открывает возможность известные результаты для
матричных характеристических сингулярных интегральных операторов использовать для ис-
следования скалярных сингулярных интегральных операторов со сдвигом, и наоборот.
На этом пути были найдены приложения, в которых основным методом исследования слу-
жили именно операторные тождества.
В работе [2] на основе известных результатов о факторизации [3] получены условия обрати-
мости в весовых пространствах Лебега для сингулярных интегральных операторов с дробно-
линейной инволюцией и кусочно-постоянными коэффициентами с тремя согласованными точ-
ками разрыва. Для однородных уравнений с такими операторами получены формулы подсчёта
числа линейно-независимых решений [4, теорема 4].
Достоинства предлагаемого метода проявляются при рассмотрении различных приложе-
ний. В соответствии с этим подходом в работе [5, теорема 1] изучалась краевая задача Римана
со сдвигом во внутрь области и кусочно-постоянными коэффициентами, принимающими два
значения, с точкой разрыва в начале координат. Найдены условия существования и единствен-
ности решения неоднородной задачи, а также формулы подсчёта числа линейно независимых
решений однородной задачи.
Операторные тождества также можно использовать при изучении матричных сингуляр-
ных интегральных операторов без сдвигов. В статье [6, теорема 3.1] рассматривались мат-
ричные характеристические операторы с коэффициентами, представляющими собой кусочно-
постоянные матрицы с разрывами на множестве точек {-1, 0, 1}, принимающие согласован-
ные значения. Для таких операторов установлены условия их обратимости в весовых прост-
ранствах Лебега на вещественной оси.
114
О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ РИМАНА С ОТРАЖЕНИЕМ
115
В настоящей работе мы продолжаем применять операторные тождества для исследова-
ния краевых задач Римана и сингулярных интегральных уравнений и предлагаем новые при-
ложения. В п. 2 приводятся сведения об операторных тождествах для нашего случая сдвига-
отражения и некоторые формулы, которые будут использованы в следующих пунктах работы.
В п. 3 формулируется краевая задача Римана с отражением на вещественной оси, которой и
посвящена данная работа.
В п. 4 доказывается, что скалярная краевая задача со сдвигом-отражением о нахождении
аналитических функций Φ+(z) в верхней и Φ-(z) в нижней полуплоскостях по условию на
границе R ≡ (-∞, +∞):
[χR+ - χR- a(x)]Φ+(x) + [χR+ a(x) - χR- ]Φ-(x) - [χR+ b(x)]Φ+(-x) + [χR- b(x)]Φ-(-x) = 0,
где R+ и R- - положительная и отрицательная полуоси, χR± (x) - характеристическая функ-
ция контура R±, заданная на R, эквивалентна матричной краевой задаче без сдвига о на-
хождении аналитической функции Ψ(z) в плоскости с разрезом вдоль вещественной положи-
тельной полуоси по условию
Ψ+(x) = G(x)Ψ-(x),
где Ψ+(x) и Ψ-(x) - предельные значения искомой функции соответственно сверху и снизу
относительно положительной полуоси. Доказывается следствие о приведении рассматривае-
мой краевой задачи с изменяющим ориентацию сдвигом к краевой задаче с сохраняющим
ориентацию сдвигом.
1. Об операторных равенствах и продолжении операторов с полуоси на всю
вещественную ось. Пусть Γ и γ - два контура и γ ⊂ Γ. Расширение функции f(t), t ∈ γ,
на Γ \ γ нулём будем обозначать через (JΓ\γ f)(t), t ∈ Γ, а сужение функции ϕ(t), t ∈ Γ, на
γ - через (Cγϕ)(t), t ∈ γ. Символом [H1,H2] обозначаем множество ограниченных линейных
операторов, действующих из банахова пространства H1 в банахово пространство H2; [H1] ≡
≡ [H1, H1].
Пространства с весом определяются стандартным образом:
L22(R+,ρ(t)) = {f : ρf ∈ L22(R+)}.
Введём операторы вдоль контура R: IR - тождественный оператор, WR - оператор отра-
жения, SR и SR+ - операторы сингулярного интегрирования вдоль контуров R и R+ соот-
ветственно:
∫
∫
1
ϕ(t)
1
ϕ(t)
(IRϕ)(t) = ϕ(t), (WRϕ)(t) = ϕ(-t), (SRϕ)(t) =
dτ, (SR+ ϕ)(t) =
dτ,
πi
τ-t
πi
τ-t
R
R+
IR,SR,WR ∈ [L2(R)]; CR+ ∈ [L2(R),L2(R+)]; JR- ∈ [L2(R+),L2(R)].
Отметим, что SRWR = -WRSR.
Введём также операторы
{
[
]
[
]
[
]
ϕ1
ϕ1(t),
t∈R+
ϕ(t), t ∈ R+
C ϕ
R+
MR
=
=JR-ϕ1+WRJR-ϕ2, M-1Rϕ=
=
,
ϕ2
ϕ2(-t),
t∈R-
ϕ(-t), t ∈ R+
CR+WRϕ
[
]
1
1
1
Z±1 =
√
,
(NRζ)(t) = ζ(t2), (N-1Rζ)(t) = ζ(t1/2),
1
-1
2
M-1R ∈ [L2(R),L22(R+)], MR ∈ [L22(R+),L2(R)],
NR ∈ [L22(R+,ρ),L22(R+)], N-1R ∈ [L22(R+),L22(R+,ρ)], ρ(t) = t-1/4.
Оператор H ∈ [L2(R), L22(R+, ρ)] определим как композицию операторов N-1ZM-1R.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
8∗
116
КАРЕЛИН, ТАРАСЕНКО
(
)
SR+ + U1,R+
0
Введём также обратимый оператор P =
, P ∈ [L22(R+)].
0
IR+
В работе [1, теорема 3.11] построены операторные равенства, преобразующие сингулярные
интегральные операторы aIR + bQR + cSR + dQRSR ∈ L2(R) с ограниченными измеримыми
коэффициентами a, b, c, d и инволюцией QR, определяемой правилом
√
δ2 + ρ
δx + ρ
(QRϕ)(x) =
ϕ[α(x)], α(x) =
,
x-δ
x-δ
где δ, ρ - действительные числа, δ2 + ρ > 0, в матричные характеристические сингуляр-
ные интегральные операторы uIR+ + vSR+ ∈ [L22(R+, t-1/4)] с ограниченными измеримыми
коэффициентами u и v.
Сформулируем эту теорему об операторных равенствах для нашего случая сдвига-от-
ражения.
Теорема 1. Сингулярный интегральный оператор
Bw = aIR + bWR + cSR + dWRSR, Bw ∈ [L2(R)],
с отражением (WRϕ)(t) = ϕ(-t) и ограниченными измеримыми коэффициентами a, b, c,
d при умножении на него обратимых операторов
H = N-1RZ-1M-1R ∈ [L22(R+),L22(R+,t-1/4)] и E = MRZPNR ∈ [L22(R+,t-1/4),L22(R+)],
на H слева и на E справа, преобразуется в матричный характеристический сингулярный
интегральный оператор DR+ :
DR+ = HBwE, DR+ = uIR+ + vSR+, DR+ ∈ [L22(R+,t-1/4)].
(1)
Коэффициенты оператора Bw и коэффициенты оператора DR+ связаны равенствами
[
√
√
√
√
√
√
√
√
]
1
(c(
t) - d(
t)) - (c(-
t) - d(-
t)) (a(
t) - b(
t)) - (a(-
t) - b(-
t))
u(t) =
√
√
√
√
√
√
√
√
,
2
(c(
t) - d(
t)) + (c(-
t) - d(-
t)) (a(
t) - b(
t)) + (a(-
t) - b(-
t))
[
√
√
√
√
√
√
√
√
]
1
(a(
t) + b(
t)) + (a(-
t) + b(-
t)) (c(
t) + d(
t)) + (c(-
t) + d(-
t))
v(t) =
√
√
√
√
√
√
√
√
2
(a(
t) + b(
t)) - (a(-
t) + b(-
t)) (c(
t) + d(
t)) - (c(-
t) + d(-
t))
Оператор Bw представим в удобном для нас виде
Bw = a0IR + b0SR + (a1IR + b1SR)WR, Bw ∈ L2(R),
и приведём некоторые соотношения из работ [1, 6], с использованием которых и была доказана
теорема об операторных тождествах. Теперь они будут использованы для изучения краевых
задач в следующем пункте работы.
Оператор сдвига WR, действующий в пространстве L2(R), переходит в оператор умноже-
ния на матрицу V в пространстве L22(R):
[
]
1
0
HWRH-1 = V, V =
(2)
0
-1
Отметим также, куда переходит оператор умножения на функцию:
[
√
√
√
√
]
1
(a(
t) + a(-
t)) (a(
t) - a(-
t))
Ha(t)IH-1 =
√
√
√
√
(3)
2
(a(
t) - a(-
t)) (a(
t) + a(-
t))
В справедливости равенств (2), (3) несложно убедиться прямыми вычислениями.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ РИМАНА С ОТРАЖЕНИЕМ
117
Функциональный оператор со сдвигом переходит в оператор умножения на матрицу-
функцию:
H[a(t)I + b(t)WR]H-1 =
[
√
√
√
√
√
√
√
√
]
1
(a(
t) + b(
t)) + (b(-
t) + a(-
t)) (a(
t) - b(
t)) + (b(-
t) - a(-
t))
=
√
√
√
√
√
√
√
√
2
(a(
t) + b(
t)) - (b(-
t) + a(-
t)) (a(
t) - b(
t)) - (b(-
t) - (-
t))
Перемножая операторы в произведении Z-1M-1RBwMRZ, приходим к оператору
∑
B2 := Z-1M-1RBwMRZ = u2IR+ + v2
(-1)kV-kUk,R+ ,
(4)
k=0
где
∫
∫
1
f (τ)
1
f (τ)
U0,R+ =
dτ, U1,R+ =
dτ, x ∈ R+,
πi
τ -x
πi
τ+x
R+
R+
и матричные коэффициенты u2, v2, определённые на R+, задаются равенствами
[
]
1
(a0 + a1)(x) + (a0 + a1)(-x) (a0 - a1)(x) - (a0 - a1)(-x)
u2(x) =
,
(5)
2
(a0 + a1)(x) - (a0 + a1)(-x) (a0 - a1)(x) + (a0 - a1)(-x)
[
]
1
(b0 + b1)(x) - (b0 + b1)(-x) (b0 - b1)(x) + (b0 - b1)(-x)
v2(x) =
(6)
2
(b0 + b1)(x) + (b0 + b1)(-x) (b0 - b1)(x) - (b0 - b1)(-x)
Умножив оператор (4) справа на оператор P, получим
B2P = u3IR+ + v3(SR+ + U1,R+ ) =: B3,
(7)
где
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
1
0
1
0
0
0
u3 = u2
+v2
,
v3 = u2
+v2
(8)
0
1
0
0
0
0
0
1
Умножая оператор (7) слева на N-1R и справа на NR и учитывая, что
N-1R(SR+ + U1,R+ )NR = SR+ ,
придём к матричному характеристическому оператору
N-1RB3NR = uIR+ + vSR+ =: DR+, DR+ ∈ [L22(R+,t-1/4)],
с ограниченными измеримыми матричными коэффициентами
u=N-1Ru3, v=N-1Rv3.
(9)
Покажем, как продолжаются сингулярные интегральные уравнения с полуоси на всю ве-
щественную ось. Рассмотрим в пространстве L22(R+, ρ) уравнение
1
1
(BR+ ϕ)(t) = 0, t ∈ R+, BR+ =
[1 + GR+ (t)]IR+ +
[1 - GR+ (t)]SR+ ,
(10)
2
2
где GR+ (t) - ограниченная измеримая невырожденная матрица-функция, заданная на R+.
С операторами P+R
= 1/2(IR+ + SR+ ), P-R
= 1/2(IR+ - SR+ ) уравнение (10) записывается
+
+
в виде
(P+R
ϕ)(t) + GR+ (t)(P- ϕ)(t) = 0.R
+
+
Заметим, что операторы P± не являются проекторами.R
+
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
118
КАРЕЛИН, ТАРАСЕНКО
Продолжим уравнение ограниченной измеримой невырожденной матрицей-функцией вто-
рого порядка K(t), заданной на R-, на всё пространство L22(R, ρ):
]
[1 + GR+(t)
1 - GR+(t)
B
R = [JR+K] + JR-
IR+ +
SR+ CR+ =
2
2
= [JR+ K] + JR- [P+R
+ GR+(t)P-R
]CR+ .
(11)
+
+
Рассмотрим также в пространстве L22(R, ρ) уравнение (BRf)(t) = 0, t ∈ R,
[
]
[
]
1 + GR+(t)
1 - GR+(t)
BR = JR+K + JR-
IR + JR-
SR =
2
2
= [JR+ K + JR-]P+R + [JR+ K + JR- GR+(t)]P-R .
(12)
Отметим, что в операторе сингулярного интегрирования в (11) интегрирование ведётся по
вещественной полуоси: (SR+ f)(t) = (SRJ-CR+ f)(t), но результатом является функция из
L22(R,ρ), а в (12) - по всей вещественной оси. Решения уравнений (11) и (12) равны нулю
на контуре R-, так как для них J+Kf(t) = 0. Справедливы следующие соотношения между
ядрами:
J-BR+ = kerBR = ker BR, ker BR+ = CR+ kerBR = CR+ ker BR.
Отличие (12) от (11) и от (10) состоит в том, что в (12) интегрирование в операторе син-
гулярного интегрирования ведётся вдоль всей действительной оси и здесь операторы P+R =
= (IR + SR)/2, P-R = (IR - SR)/2 уже являются проекторами.
2. Постановка краевой задачи Римана с отражением на вещественной оси. Опре-
делим, какая часть оператора Bw с помощью операторного тождества преобразуется в опера-
тор P+R
, а какая его часть - в оператор P-R
, т.е. мы ищем операторы Π+R и Π-R такие, что
+
+
HΠ+RE = P+R
,
HΠ-RE = P- .R
+
+
Из представления (1) следует, что равенство u = v = 2-1IR+ порождает оператор P+ ,R
+
a равенство u = -v = 2-1IR+ - оператор P-R
. Для оператора P- вследствие равенств (9)R
+
+
получаем
(
)
(
)
1
1
0
1
1
0
u3 =
,
v3 = -
2
0
1
2
0
1
Затем в силу равенств (8) находим, что
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
1
0
1
0
0
0
u3 = u2
+v2
,
v3 = u2
+v2
0
1
0
0
0
0
0
1
Следовательно,
(
)
(
)
1
-1
0
1
1
0
u2 =
,
v2 =
2
0
1
2
0
-1
Используем равенства (5) и (6) для нахождения коэффициентов a0, b0, a1, b1 операто-
ра Π-R :
(a0 + a1)(x) + (a0 + a1)(-x) = -1, (a0 - a1)(x) - (a0 - a1)(-x) = 0, x ∈ R+,
(a0 + a1)(x) - (a0 + a1)(-x) = 0, (a0 - a1)(x) + (a0 - a1)(-x) = 1, x ∈ R+,
(b0 + b1)(x) - (b0 + b1)(-x) = 1, (b0 - b1)(x) + (b0 - b1)(-x) = 0, x ∈ R+,
(b0 + b1)(x) + (b0 + b1)(-x) = 0, (b0 - b1)(x) - (b0 - b1)(-x) = -1, x ∈ R+.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ РИМАНА С ОТРАЖЕНИЕМ
119
Вычитая и складывая соответствующие уравнения, получаем тождества
2(a0 + a1)(x) = -1,
2(a0 + a1)(-x) = -1,
2(a0 - a1)(x) = 1,
2(a0 - a1)(-x) = 1, x ∈ R+,
2(b0 + b1)(x) = 1,
-2(b0 + b1)(-x) = 1,
2(b0 - b1)(x) = -1,
2(b0 - b1)(-x) = -1, x ∈ R+,
из которых вытекает, что
1
1
4a0(x) = 0,
4a1(x) = -
,
4a0(-x) = 0,
4a1(-x) = -
,
x∈R+,
2
2
4b0(x) = 2,
4b1(x) = 0,
-4b1(-x) = 0,
-4b0(-x) = 2, x ∈ R+.
Таким образом, мы построили коэффициенты оператора Π-R, именно:
1
1
a0(x) = 0, a1(x) = -
,
b0(x) = 0, b1(x) =
sgn (x), x ∈ R.
2
2
Итак,
[
]
1
1
Π-R =
-
IR +
sgn (x)SR WR, HΠ-RE = P- .
(13)
R+
2
2
Рассуждая аналогично, получаем для оператора P+ матрицыR
+
(
)
(
)
1
1
0
1
1
0
u2 =
,
v2 =
2
0
1
2
0
1
и находим, что для коэффициентов оператора Π+R справедливы тождества
1
1
a0(x) =
,
a1(x) = 0, b1(x) = 0, b0(x) =
sgn (x), x ∈ R.
2
2
Итак,
1
1
Π+R =
IR +
sgn (x)SR, HΠ+RE = P+ .
(14)
R+
2
2
Теперь сформулируем скалярную краевую задачу Римана: найти аналитические функции
Φ+(z) в верхней D+ и Φ-(z) в нижней D- полуплоскостях, удовлетворяющие условию на
границе
[χR+ - χR- a(x)]Φ+(x) + [χR+ a(x) - χR- ]Φ-(x) - [χR+ b(x)]Φ+(-x) + [χR- b(x)]Φ-(-x) = 0. (15)
Известные коэффициенты a(x), b(x) принадлежат классу ограниченных измеримых функ-
ций, а краевые значения Φ+(x), Φ-(x) ищем из пространства L2(R), при этом Φ-(∞) = 0.
Приведём и другие формы записи краевого условия (15):
Φ+(x) - Φ-(x)
Φ+(x) + Φ-(x)
(1 - a(x))
+ sgn (x)(1 + a(x))
-
2
2
Φ+(-x) - Φ-(-x)
Φ+(-x) + Φ-(-x)
− b(x)
- sgn (x)b(x)
= 0.
2
2
Сформулированная краевая задача относится к четырёхэлементным краевым задачам со
сдвигом Карлемана [7, гл. 16.1]. Для некоторых частных случаев этих задач известны методы
нахождения их решений.
В следующем пункте работы при переходе от краевой задачи (15) к сингулярному инте-
гральному уравнению станет понятно, зачем понадобилось получать соотношения (13), (14) и
почему краевое условие выбрано нами в таком виде.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
120
КАРЕЛИН, ТАРАСЕНКО
3. Об эквивалентности краевой задачи с отражением на вещественной оси и
матричной краевой задачи без сдвига на вещественной положительной полуоси.
Рассмотрим матричную задачу Римана: найти аналитическую вектор-функцию Ψ(z) на плос-
кости с разрезом вдоль положительной вещественной полуоси по краевому условию
Ψ+(t) = GR+ (t)Ψ-(t), t ∈ R+,
(16)
где Ψ+(t), Ψ-(t) - предельные значения искомой вектор-функции соответственно сверху и
[
]
g11(t) g12(t)
снизу относительно положительной полуоси, коэффициент GR+ (t) =
- из-
g21(t) g22(t)
вестная не сингулярная матрица-функция с элементами gij (t) из множества ограниченных
измеримых функций, краевые значения Ψ+(t) и Ψ-(t) ищем из пространства L22(R+) при
условии Ψ-(∞) = 0.
Скалярная задача Римана в классической постановке для гёльдеровского коэффициента и
замкнутого контура решена в [8, § 14], затем задача обобщалась на различные классы коэф-
фициентов и контуров. Однако эффективные методы решения матричных задач не найдены.
Теорема 2. Краевые задачи (15) и (16) эквивалентны. Связь между коэффициентами
краевых задач осуществляется по формулам
1
a(t) =
JR- [g11(t2) + g12(t2) + g21(t2) + g22(t2)] +
2
1
+
WRJR-[g11(t2) - g12(t2) - (tg21(t2) - g22(t2))],
2
1
b(t) =
JR- [g11(t2) - g12(t2) + g21(t2) - g22(t2)] +
2
1
+
WRJR-[g11(t2) + g12(t2) - (g21(t2) + g22(t2))]
(17)
2
и
[
√
√
√
√
√
√
√
√
]
1
(a(
t)+a(-
t))+(b(
t)+b(-
t))
-(a(
t) - a(-
t))+(b(
t) - b(-
t))
GR+(t)=
√
√
√
√
√
√
√
√
(18)
2
(a(
t) - a(-
t))+(b(
t) - b(-
t))
-(a(
t)+a(-
t))+(b(
t)+b(-
t))
Доказательство. От краевой задачи (15) по формулам Сохоцкого [9, c. 55]
(IRϕ)(x) = Φ+(x) - Φ-(x), (SRϕ)(x) = Φ+(x) + Φ-(x)
(19)
перейдём к эквивалентному ей скалярному сингулярному интегральному уравнению со сдви-
гом (Bwϕ)(t) = 0,
[
]
1
1
(Bwϕ)(t) =
(IRϕ)(x) +
sgn (x)(SRϕ)(x)
+
2
2
[
]
1
1
+ [a(x)IR + b(x)WR]
-
(IRϕ)(x) +
sgn (x)(SRϕ)(x) ,
(20)
2
2
решения которого ищутся в пространстве L2(R).
Используя соотношения
1
1
-
IR +
sgn (x)SR = Π-RWR = WRΠ-R,
2
2
запишем уравнение (20) в другой форме, через оператор Π+R, Π-R :
(Bwϕ)(t) = (Π+Rϕ)(t) + [a(t)WR + b(t)IR](Π-Rϕ)(t).
(21)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ РИМАНА С ОТРАЖЕНИЕМ
121
От матричной краевой задачи (16) по формулам Сохоцкого (19)
Ψ+(t) = (P+R
ψ)(t), Ψ-(t) = -(P- ψ)(t),R
+
+
где P+R
= (IR+ + SR+)/2, P-R
= (IR+ - SR+)/2, перейдём к равносильному ей векторному
+
+
сингулярному интегральному уравнению
(BR+ ψ)(t) = 0, (BR+ ψ)(t) = (P+R
ψ)(t) + GR+ (t)(P-R
ψ)(t), t ∈ R+,
(22)
+
+
решения которого ищутся в пространстве L22(R+).
Теперь покажем эквивалентность интегральных уравнений (21) и (22).
Применив операторное тождество к сингулярному интегральному уравнению со сдвигом
(21), получим
(HBwEψ)(t) = 0, HΠ+REψ(t) + H[a(x)WR + b(x)IR]H-1HΠ-REψ(t) = 0,
где ψ(t) = (E-1ϕ)(t).
Учитывая равенство SWR = -WRS и соотношения (2), (3), (13), (14), приходим к матрич-
ному уравнению
]
(1[(a(√t)+a(-√t))(a(√t)-a(-√t))
P+R
ψ+
√
√
√
√
V+
+
2
(a(
t) - a(-
t)) (a(
t) + a(-
t))
[
√
√
√
√
])
1
(b(
t) + b(-
t)) (b(
t) - b(-
t))
+
√
√
√
√
P- ψ = 0,R
2
(b(
t) - b(-
t)) (b(
t) + b(-
t))
+
которое и соответствует векторному сингулярному интегральному уравнению без сдвига (22)
с коэффициентами, подсчитываемыми по формуле (18).
Чтобы установить связь между коэффициентами, выражаемую формулами (17), запи-
шем результат применения операторного тождества к матричному коэффициенту GR+ (t) =
[
]
g11(t) g12(t)
=
. Для этого, чтобы упростить в дальнейшем запись, введём обозначения
g21(t) g22(t)
g1(t) = g11(t) + g12(t), g2(t) = g21(t) + g22(t), g3(t) = g11(t) - g12(t), g4(t) = -g21(t) + g22(t).
Тогда будем иметь
H-1GR+Hφ = MRZNGR+N-1Z-1M-1Rφ = MRZGR+(t2)Z-1M-1Rφ =
[
][
]
[
]
1
1
1
g11(t2) g12(t2)
1
1
1
=
√
MR
√
M-1Rφ =
1
-1
g21(t2) g22(t2)
1
-1
2
2
[
][
]
1
g1(t2) + g2(t2) g3(t2) - g4(t2)
CR+φ
=
MR
=
2
g1(t2) - g2(t2) g3(t2) + g4(t2)
CR+WRφ
[
]
1
(g1(t2) + g2(t2))CR+ φ + (g3(t2) - g4(t2))CR+ WRφ
=
MR
=
2
(g1(t2) - g2(t2))CR+ φ + (g3(t2) + g4(t2))CR+ WRφ
1
=
JR- [(g1(t2) + g2(t2))CR+ φ + (g3(t2) - g4(t2))CR+ WRφ] +
2
1
+
WJR-[(g1(t2) - g2(t2))CR+φ + (g3(t2) + g4(t2))CR+Wφ].
2
Итак, нами получено равенство H-1GR+ Hφ = a(t)(Iφ)(t) + b(t)(WRφ)(t), где
1
1
a(t) =
JR-[g11(t2) + g12(t2) + g21(t2) + g22(t2)] +
WRJR-[g11(t2) - g12(t2) - (g21(t2) - g22(t2))],
2
2
1
1
b(t) =
JR-[g11(t2) - g12(t2) + g21(t2) - g22(t2)] +
WRJR-[g11(t2) + g12(t2) - (g21(t2) + g22(t2))].
2
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
122
КАРЕЛИН, ТАРАСЕНКО
Обозначим: T - единичная окружность с центром в начале координат, D+ - ограничива-
емый ею открытый круг, а D- - дополнение к его замыканию, D- = C \ D+. Сформулируем
скалярную краевую задачу Римана со сдвигом, сохраняющим ориентацию на окружности T :
найти аналитические функции Θ+(z) в области D+ и Θ-(z) в области D- по условию на
границе:
Θ-(t) = aT (t)Θ+(t) + bT (t)Θ+(α(t)), α(t) = -t, t ∈ T.
(23)
Известные коэффициенты aT (t), bT (t) принадлежат классу ограниченных измеримых функ-
ций, краевые значения Θ+(t), Θ-(t) ищем из пространства L2(T, h(t)), причём Θ-(∞) = 0,
а весовую функцию берём равной h(t) = (1 - t)-1/4(1 + t)1/4.
Следствие. Краевая задача (15) эквивалентна краевой задаче (23) с коэффициентами,
подсчитываемыми по формулам (17) и (26), (27), (29) (см. ниже).
Доказательство. По теореме 2 от скалярной задачи (15) с краевым условием
[χR+ - χR- a(x)]Φ+(x) + [χR+ a(x) - χR- ]Φ-(x) - [χR+ b(x)]Φ+(-x) + [χR- b(x)]Φ-(-x) = 0
приходим к векторной задаче (16) с краевым условием
Ψ+(x) = GR+(x)Ψ-(x), x ∈ R+.
Формулы (17) дают выражение элементов матрицы GR+ (x) через коэффициенты a(x) и b(x)
краевой задачи Римана с инволюцией, изменяющей ориентацию.
Затем по формулам (19) записываем её в виде векторного характеристического уравнения
(22) в пространстве L22(R+, x-1/4):
(BR+ ψ)(x) = 0, BR+ = P+R
+ GR+(x)P- .R
+
+
C помощью единичного оператора продолжаем уравнение на всё пространство L22(R, x-1/4).
В формуле (12) функцию K(x) надо взять равной единице K(x) = 1. Переходим к уравнению
(BRf)(x) = 0, BR = uRIR + vRSR,
[
]
[
]
(1 + GR+ (x))
1 - GR+(x)
uR(x) = χR-(x) + J-
,
vR(x) = J-
(24)
2
2
С использованием проекторов это уравнение запишется в виде
(BRf)(x) = (P+Rf)(x) + [χR- (x) + J-GR+ (x)](P-Rf)(x).
Обозначим через T+ и T- верхнюю и нижнюю части окружности T. Чтобы не возникало
разночтений, тождественный оператор и сингулярный интегральный оператор Коши вдоль
единичной окружности, рассматриваемые в векторном пространстве [L22(T, h(t)], будем обо-
значать через IT и ST , а рассматриваемые в скалярном пространстве [L2(T, h(t)] - через IT
и ST соответственно.
C помощью взаимнообратных операторов
(
)
(
)
1
t+1
2i
x+i
(Λϕ)(t) =
ϕ i
,
(Λ-1ϕ)(x) =
ξ i
,
Λ ∈ [L22(R,ρ(x)),L22(T,h(t))]
t-1
t-1
x-i
x-i
переведём уравнение (24) с вещественной оси на единичную окружность [10, гл. 9.6; 94]:
(AT ξ)(t) = 0, ξ(t) = (Λf)(t), AT = ΛBRΛ-1 = uT (t)IT - vT (t)ST , AT ∈ [L22(T, h(t)],
(25)
где
[
]
[
]
1 + GR+(x)
1 - GR+(x)
uT (t) = Λ χR-(x) + J-
Λ-1uR(x), vT (t) = Λ J-
Λ-1vR(x).
(26)
2
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
О КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ РИМАНА С ОТРАЖЕНИЕМ
123
Выше было учтено равенство ΛSRΛ-1 = -ST . Отметим, что справедливы равенства
ΛP±RΛ-1 = P∓T,
и запишем уравнение (25) через проекторы P±T = 2-1IT ± 2-1ST :
(AT ξ)(t) = (P-Tξ)(t) + GT (P+Tξ)(t), GT (t)IT = Λ[χR- (x) + J-GT+ (x)]Λ-1.
(27)
Применяем операторное тождество FAT F-1 = Aw из работы [6] к векторному уравнению
без сдвига (25), чтобы получить скалярное уравнение с сохраняющим ориентацию карлема-
новским сдвигом
(Awξ)(t) = 0, Aw = F[P-T + GT P+T]F-1, ξ(t) = (Ff)(t), F = MZΠN,
(28)
в пространстве L2(T, h(t)), где составляющие части M, Z, Π, N оператора F выражаются
по формулам
[
]
ψ1
MT
=JT-ψ1 + WTJT-ψ2, MT ∈[L22(T+,h),L2(T,h)], (NTζ)(t)=ζ(t2), NT ∈[L22(T+,h)],
ψ2
[
]
C
ϕ
M-1Tϕ=T+
,
M-1T ∈ [L2(T),L22(T+)], (N-1Tζ)(t) = ζ(t1/2), N-1T ∈ [L22(T+,h)],
CT+WT ϕ
[
]
1
1
1
Z±1 =
√
,
Π±1 = diag [1,t±1].
1
-1
2
Укажем взаимосвязь проекторов FP±TF-1 = P±T и отметим, что оператор умножения на
матрицу-функцию GT переходит в функциональный оператор со сдвигом
FGTF-1 = FΛ[χR-(x) + JR-GR+(x)]Λ-1F-1 = aTIT + bTWT.
Эти соотношения можно получить прямыми вычислениями. Коэффициенты aT (t), bT (t) вы-
[
]
q11(t) q12(t)
ражаются через компоненты матрицы-функции GT (t) =
при помощи равенств
q21(t) q22(t)
1
aT (t) =
JT- {q11(t2) + t-1q12(t2) + tq21(t2) + q22(t2)} +
2
1
+
WT JT-{q11(t2) - t-1q12(t2) - [tq21(t2) - q22(t2)]},
2
1
bT (t) =
JT- {q11(t2) - t-1q12(t2) + tq21(t2) - q22(t2)} +
2
1
+
WT JT-{q11(t2) + t-1q12(t2) - [tq21(t2) + q22(t2)]},
(29)
2
которые можно получить аналогично тому, как это было сделано выше для сдвига, изменяю-
щего ориентацию на вещественной оси.
Итак, от уравнения (28) мы приходим к скалярному сингулярному интегральному уравне-
нию в пространстве L2(T, h(t)) со сдвигом (WT φ)(t) = φ(-t), но уже сохраняющим ориента-
цию на единичной окружности:
(P-Tξ)(t) + (aT IT + bT WT )(P+Tξ)(t) = 0.
Связь между коэффициентами осуществляется по формулам (17), (25), (27), (29).
Чтобы завершить доказательство, осталось перейти по формулам Сохоцкого
Θ+(t) = (P+Tξ)(t), Θ-(t) = -(P-Tξ)(t)
к краевой задаче Римана со сдвигом (23).
Доказанное следствие устанавливает связь между краевой задачей с изменяющим ориен-
тацию сдвигом и краевой задачей с сохраняющим ориентацию сдвигом.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
124
КАРЕЛИН, ТАРАСЕНКО
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Karelin A.A. On a relation between singular integral operators with a carlemann linear-fractional shift
and matrix characteristic operators without shift // Boletin Soc. Mat. Mexicana. 2001. V. 7. № 3. P. 235-
246.
2. Karelin A.A. Singular integral operators with coefficients of a special structure related to operator
equalities // Complex Analysis and Operator Theory. 2008. V. 2. № 4. P. 549-567.
3. Спитковский И.М., Ташбаев А.М. Факторизация кусочно-постоянных матриц-функций с 3 точками
разыва в классах Lp,ρ и некоторые её приложения // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307. № 2. С. 291-296.
4. Karelin А.А. On the operator equality and some of its application // Proc. of A. Razmadze Math. Inst.
2002. V. 128. P. 105-116.
5. Karelin А.А. Applications of operator equalities to singular integral operators and to Riemann boundary
value problems // Math. Nachr. 2007. V. 280. № 9-10. P. 1108-1117.
6. Карелин А.А., Перес-Лечуга Ж., Тарасенко А.А. Задача Римана и сингулярные интегральные урав-
нения с коэффициентами, порождёнными кусочно-постоянными функциями // Дифференц. урав-
нения. 2008. Т. 44. № 9. С. 1182-1192.
7. Litvinchuk G.S. Solvability Theory of Boundary Value Problems and Singular Integral Equations with
Shift. Dordrecht; Boston; London, 2000.
8. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977.
9. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.
10. Gohberg I., Krupnik N. One-Dimensional Linear Singular Integral Equations. Operator Theory: Advances
and Applications. V. 53. Basel; Boston; Berlin, 1992.
Независимый университет штата Идальго,
Поступила в редакцию 20.06.2020 г.
г. Пачука-де-Сото, Мексика
После доработки 20.06.2020 г.
Принята к публикации 13.10.2020 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
