ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.125-129
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.956.3
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ
НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИСТЕМЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
© 2021 г. А. Т. Асанова
Для системы дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка в
прямоугольной области рассматривается начально-краевая задача. С помощью введения
новой неизвестной функции исследуемая задача сводится к эквивалентной задаче, состоя-
щей из нелокальной задачи для системы гиперболических уравнений второго порядка с па-
раметрами и интегральных соотношений. Предложен итерационный алгоритм нахождения
приближённого решения эквивалентной задачи и доказана его сходимость. Установлены
достаточные условия существования единственного классического решения исследуемой
задачи, формулируемые в терминах её исходных данных.
DOI: 10.31857/S0374064121010118
1. Постановка задачи. В прямоугольнике Ω = [0, T ] × [0, ω] для линейной неоднородной
системы n дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка с двумя
независимыми переменными
∂3u
∂2u
∂2u
∂u
∂u
= A(t, x)
+ B(t,x)
+ C(t,x)
+ D(t,x)
+ E(t,x)u + f(t,x)
(1.1)
∂x2∂t
∂x2
∂x∂t
∂x
∂t
рассматривается начально-краевая задача
{
∑
∂2u(tj,x)
∂2u(t,x)
∂u(tj , x)
P0,j(x)
+ P1,j(x)
+ P2,j(x)
+
∂x2
∂x∂t
∂x
j=0
t=tj
}
∂u(t, x)
+ P3,j(x)
+ P4,j(x)u(tj,x)
= ϕ(x), x ∈ [0, ω],
(1.2)
∂t
t=tj
u(t, 0) = ψ1(t), t ∈ [0, T ],
(1.3)
∂u(t, x)
= ψ2(t), t ∈ [0,T],
(1.4)
∂x
x=0
где u(t, x) = col (u1(t, x), u2(t, x), . . . , un(t, x)) - неизвестная функция; n × n-матрицы A(t, x),
B(t, x), C(t, x), D(t, x), E(t, x) и n-вектор-функция f(t, x) непрерывны на Ω; n × n-мат-
рицы Pi,j (x), i = 0, 4, j = 0, m + 1, и n-вектор-функция ϕ(x) непрерывны на [0, ω];
0 =
= t0 ≤ t1 < ... < tm ≤ tm+1 = T; n-вектор-функции ψ1(t) и ψ2(t) непрерывно дифференци-
руемы на [0, T ].
Через C(Ω, Rn) (C([0, ω], Rn)) обозначим пространство непрерывных на Ω (на [0, ω]) n-
вектор-функций u(t, x) (ϕ(x)) с нормой ∥u∥0 = max
∥u(t, x)∥
(∥ϕ∥0 = max ∥ϕ(x)∥), где
(t,x)∈Ω
x∈[0,ω]
∥u(t, x)∥ = max
|ui(t, x)|
(∥ϕ(x)∥ = max |ϕi(x)|), а через C1([0, T ], Rn) - пространство непре-
i=1,n
i=1,n
рывно дифференцируемых на [0, T ] n-вектор-функций ψ(t) с нормой
∥ψ∥1 = max( max
∥ψ(t)∥, max ∥ψ(t)∥).
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
125
126
АСАНОВА
Функция u(t, x) ∈ C(Ω, Rn), имеющая в прямоугольнике Ω непрерывные по совокупно-
сти переменных частные производные ∂u(t, x)/∂x, ∂u(t, x)/∂t, ∂2u(t,x)/∂x2, ∂2u(t,x)/∂x∂t,
∂3u(t,x)/∂x2∂t, называется классическим решением задачи (1.1)-(1.4), если она удовлетворя-
ет системе уравнений (1.1) для всех (t, x) ∈ Ω и краевым условиям (1.2)-(1.4).
Начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производ-
ных третьего порядка возникают при исследовании различных явлений естествознания и тех-
ники (из многочисленных публикаций, в которых приводятся приложения таких систем, ука-
жем только монографии [1-4]).
В настоящей работе получены достаточные условия существования и единственности клас-
сического решения задачи (1.1)-(1.4) и предложен метод построения её приближённых ре-
шений. Для этого мы используем метод введения функциональных параметров [5]. С по-
мощью этого метода рассматриваемая начально-краевая задача для системы дифференци-
альных уравнений третьего порядка сводится к эквивалентной задаче, включающей нелокаль-
ную задачу для системы гиперболических уравнений второго порядка относительно параметр-
функции и интегральные соотношения. Построен итерационный алгоритм нахождения при-
ближённых решений эквивалентной задачи и установлена его сходимость. Достаточные усло-
вия однозначной разрешимости начально-краевых задач (1.1)-(1.4) формулируются в терми-
нах коэффициентов системы и матриц краевых условий. Результаты работ [6, 7] распространя-
ются на класс начально-краевых задач для систем дифференциальных уравнений в частных
производных третьего порядка. Отметим, что ранее начально-краевые задачи типа (1.1)-(1.4)
рассматривались в одномерном случае.
2. Редукция к эквивалентной задаче и основное утверждение. Введём новую неиз-
вестную функцию v(t, x) = ∂u(t, x)/∂x. Тогда задача (1.1)-(1.4) перейдёт в эквивалентную
задачу
(
)
∂2v
∂v
∂v
∂u
= A(t, x)
+ B(t,x)
+ C(t,x)v + f(t,x) + F t,x,u,
,
(2.1)
∂x∂t
∂x
∂t
∂t
{
}
∑
∂v(tj,x)
∂v(t,x)
P0,j(x)
+ P1,j(x)
+ P2,j(x)v(tj,x)
=
∂x
∂t
j=0
t=tj
(
)
∂u
= ϕ(x) - Φ x, u,
,
x ∈ [0,ω],
(2.2)
∂t
v(t, 0) = ψ2(t), t ∈ [0, T ],
(2.3)
∫x
∫
x
∂u(t, x)
∂v(t,ξ)
u(t, x) = ψ1(t) + v(t, ξ) dξ,
=ψ˙1(t) +
dξ, (t, x) ∈ Ω,
(2.4)
∂t
∂t
0
0
где
(
)
(
{
}
∑
∂u
∂u
∂u
∂u(t, x)
F t,x,u,
=D(t,x)
+E(t,x)u, Φ x,u,
=
P3,j(x)
+P4,j(x)u(tj,x)
∂t
∂t
∂t
∂t
j=0
t=tj
В соотношениях (2.4) учтены условия (1.3).
Пара функций (v(t, x), u(t, x)), непрерывных на Ω, называется решением задачи (2.1)-
(2.4), если функция v(t, x) ∈ C(Ω, Rn) имеет непрерывные частные производные ∂v(t, x)/∂x,
∂v(t,x)/∂t,
∂2v(t,x)/∂x∂t на Ω и удовлетворяет нелокальной задаче для системы гипербо-
лических уравнений второго порядка (2.1)-(2.3), где функции u(t, x) и v(t, x) связаны инте-
гральным соотношением (2.4).
Пусть u∗(t, x) - классическое решение задачи (1.1)-(1.4). Тогда пара (v∗(t, x), u∗(t, x)), где
v∗(t,x) = ∂u∗(t,x)/∂x, будет решением задачи (2.1)-(2.4). Обратно, если пара (v(t,x), u(t,x)) -
решение задачи
(2.1)-(2.4), то функция
u(t, x) будет классическим решением задачи
(1.1)-(1.4).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
127
Если известны функция u(t, x) и её производная ∂u(t, x)/∂t, то из нелокальной задачи
для системы гиперболических уравнений (2.1)-(2.3) находим функцию v(t, x) и её производ-
ные. Если известна функция v(t, x), то из интегральных соотношений (2.4) находим функцию
u(t, x) и её производную ∂u(t, x)/∂t. Так как неизвестными являются как функция u(t, x),
так и функция v(t, x), то применяется итерационный процесс, строящийся по следующему
алгоритму.
Шаг 0. 1) Положим u(t, x) = ψ1(t),
∂u(t, x)/∂t =ψ1(t) в правой части системы уравнений
(2.1) и в соотношении (2.2); затем, решая нелокальную задачу (2.1)-(2.3), находим v(0)(t, x) и
её производные ∂v(0)(t, x)/∂x, ∂v(0)(t,x)/∂t для всех (t,x) ∈ Ω.
2) Из интегральных соотношений (2.4) при v(t, x) = v(0)(t, x), ∂v(t,x)/∂t = ∂v(0)(t,x)/∂t
определяем u(0)(t, x) и ∂u(0)(t, x)/∂t для всех (t, x) ∈ Ω.
Шаг m (m ∈ N). 1) Положим u(t, x) = u(m-1)(t, x),
∂u(t, x)/∂t = ∂u(m-1)(t, x)/∂t в
правой части системы уравнений (2.1) и в соотношении (2.2); затем, решая нелокальную за-
дачу (2.1)-(2.3), находим v(m)(t, x) и её производные ∂v(m)(t, x)/∂t, ∂v(m)(t,x)/∂x для всех
(t, x) ∈ Ω.
2) Из интегральных соотношений (2.4) при v(t, x) = v(m)(t, x), ∂v(t,x)/∂t = ∂v(m)(t,x)/∂t
определяем u(m)(t, x) и ∂u(m)(t, x)/∂t для всех (t, x) ∈ Ω; m = 1, 2, . . .
Таким образом, построенный алгоритм состоит из двух частей: 1) при фиксированных
u(t, x) решаются нелокальные задачи для системы гиперболических уравнений второго по-
рядка относительно функции v(t, x); 2) при фиксированных v(t, x) из интегрального соотно-
шения определяются функции u(t, x).
Пусть Us(t, x) - матрица, имеющая вид
∫t
∫
t
∫
∫
Us(t,x) = I + A(τ1,x)dτ1 + ... + A(τ1,x)···
A(τs-1, x)
A(τs, x) dτs · · · dτ1, s ∈ N.
0
0
0
0
∑m+1
Введём обозначения α(x) = max
∥A(t, x)∥, P (x) =
∥P0,j (x)∥, x ∈ [0, ω]. Следую-
j=1
t∈[0,T ]
щее утверждение устанавливает условия однозначной разрешимости задачи (1.1)-(1.4), одно-
временно обеспечивающие реализуемость и сходимость приведённого выше алгоритма.
Теорема. Предположим, что при некотором s0 > 0 для любого s > s0 n × n-матрица
∑m+1
Qs(x) = P0,0(x) +
P0,j(x)Us(tj,x) обратима при всех x ∈ [0,ω] и справедливы неравен-
j=1
ства:
1) ∥[Qs(x)]-1∥ ≤ γs(x), где γs(x) - положительная непрерывная функция на [0, ω];
∑s
2) qs(x) = γs(x)P (x)[eα(x)T - 1 -
[α(x)T ]j /(j!)] ≤ χ < 1, где χ = const .
j=1
Тогда начально-краевая задача (1.1)-(1.4) имеет единственное классическое решение u∗(t, x)∈
∈ C(Ω,Rn).
Доказательство. По предположению теоремы n × n-матрица Qs(x) обратима при всех
x ∈ [0,ω] и справедливы неравенства 1), 2). Поэтому нелокальная задача для системы гипер-
болических уравнений
∂2v
∂v
∂v
= A(t, x)
+ B(t,x)
+ C(t,x)v + F0(t,x),
(2.5)
∂x∂t
∂x
∂t
{
}
∑
∂v(tj,x)
∂v(t,x)
P0,j(x)
+ P1,j(x)
+ P2,j(x)v(tj,x)
= ϕ(x), x ∈ [0, ω],
(2.6)
∂x
∂t
j=0
t=tj
v(t, 0) = ψ2(t), t ∈ [0, T ],
(2.7)
имеет единственное классическое решение для любых F0(t, x) ∈ C(Ω, Rn), ϕ(x) ∈ C([0, ω], Rn)
и ψ2(t) ∈ C1([0,T],Rn) [7].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
128
АСАНОВА
Используем эквивалентность задач (1.1)-(1.4) и (2.1)-(2.4). Решение задачи (2.1)-(2.4) - па-
ру функций (v(t, x), u(t, x)) - найдём согласно приведённому выше алгоритму. Возьмём функ-
цию ψ1(t) за начальное приближение u(t, x), тогда функцию v(0)(t, x) найдём, решая задачу
∂2v
∂v
∂v
= A(t, x)
+ B(t,x)
+ C(t,x)v + f(t,x) + F(t,x,ψ1, ψ1),
(2.8)
∂x∂t
∂x
∂t
{
}
∑
∂v(tj,x)
∂v(t,x)
P0,j(x)
+ P1,j(x)
+ P2,j(x)v(tj,x)
=
∂x
∂t
j=0
t=tj
= ϕ(x) - Φ(x, ψ1, ψ1), x ∈ [0, ω],
(2.9)
v(t, 0) = ψ2(t), t ∈ [0, T ].
(2.10)
При условиях 1), 2) теоремы задача (2.8)-(2.10) имеет единственное классическое решение
v(0)(t,x). Тогда из интегральных соотношений (2.4) определяем u(0)(t,x) и её производную
∂u(0)(t,x)/∂t при v(t,x) = v(0)(t,x), ∂v(t,x)/∂t = ∂v(0)(t,x)/∂t.
Соответственно на (m - 1)-м шаге алгоритма находим v(m-1)(t, x) и u(m-1)(t, x) для всех
(t, x) ∈ Ω. Тогда v(m)(t,x) находится как решение задачи (2.1)-(2.3), в которой u(t,x) =
= u(m-1)(t,x), ∂u(t, x)/∂t = ∂u(m-1)(t, x)/∂t, m = 1, 2, . . .
Если найдена функция v(m)(t, x), то следующее приближение функции u(t, x) и её произ-
водной ∂u(t, x)/∂t определяется из интегральных соотношений (2.4):
∫x
∫
x
∂u(m)(t, x)
∂v(m)(t,ξ)
u(m)(t,x) = ψ1(t) + v(m)(t,ξ)dξ,
=ψ˙1(t) +
dξ, (t, x) ∈ Ω.
∂t
∂t
0
0
Введём обозначения
∂v(m-1)(t,x)
Δ(m)1(t,x) = v(m)(t,x) - v(m-1)(t,x), Δ(m)2(t,x) =∂v(m)(t,x)
-
,
∂t
∂t
∂u(m-1)(t,x)
Δ(m)3(t,x) = u(m)(t,x) - u(m-1)(t,x), Δ(m)4(t,x) =∂u(m)(t,x)
-
,
(t, x) ∈ Ω.
∂t
∂t
Тогда для них будут справедливы неравенства
(
)
max max
∥Δ(m+1)1(t, x)∥, max
∥Δ(m+1)2(t, x)∥
≤
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
(
)
≤ Hd(x)max max
∥Δ(m)3(t, x)∥, max
∥Δ(m)4(t, x)∥ ,
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
(
) ∫x
(
)
max max
∥Δ(m)3(t, x)∥, max
∥Δ(m)4(t, x)∥
≤ max max
∥Δ(m)1(t, ξ)∥, max
∥Δ(m)2(t, ξ)∥ dξ,
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
0
где
H = max{eH0H1ω[1 + ωH0],H2[H1(1 + ωH0) + 1]}, H0 = max(H2,∥A∥0H2 + 1),
{
}
∑
H1 = max
max max
∥B(t, x)∥ + max ∥C(t, x)∥,
(∥P1,j (x)∥ + ∥P2,j (x)∥)
,
x∈[0,ω]
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
j=0
H2 = max
[k1(x, s) + k2(x, s)], d(x) = max
∥D(t, x)∥ + max
∥E(t, x)∥, d0 = max d(x),
x∈[0,ω]
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
x∈[0,ω]
{
}
s
∑
∑
γs(x)
[α(x)T ]
[α(x)T ]j
k1(x,s) =
P (x)
k0(x,s) + Tγs(x)max
1 + P(x)
,
,
1-qs(x)
s!
j!
j!
j=0
j=0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
ОБ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
129
{
}
γs(x)
[α(x)T ]s
k2(x,s) =
[eα(x)T - 1]
P (x)
+ 1 k0(x,s),
1 - qs(x)
s!
{
}
∑
∑
[α(x)T ]j
k0(x,s) = [eα(x)T - 1]γs(x)max
1 + P(x)
,
T +Teα(x)T;
j!
j!
j=0
j=0
все эти величины не зависят от f, ψ1, ψ2 и ϕ.
Отсюда вытекает основное неравенство
(
)
max max
∥Δ(m+1)1(t, x)∥, max
∥Δ(m+1)2(t, x)∥
≤
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
∫x
(
)
≤ Hd(x) max max
∥Δ(m)1(t, ξ)∥, max
∥Δ(m)2(t, ξ)∥ dξ.
(2.11)
t∈[0,T ]
t∈[0,T ]
0
Из неравенства (2.11) следует, что последовательности {v(m)(t, x)} и {∂v(m)(t, x)/∂t} сходятся
в пространстве C(Ω, Rn) при m → ∞ к функциям v∗(t, x) и w∗(t, x) соответственно. Пре-
дельные функции v∗(t, x) и w∗(t, x) непрерывны на Ω, кроме того, w∗(t, x) = ∂v∗(t, x)/∂t
для всех (t, x) ∈ Ω. Из неравенства (2.10) вытекает равномерная сходимость последователь-
ностей {u(m)(t, x)} и {∂u(m)(t, x)/∂t} на Ω при m → ∞ к функциям u∗(t, x) и ∂u∗(t, x)/∂t
соответственно. Тогда пара функций (v∗(t, x), u∗(t, x)) является решением задачи (2.1)-(2.4)
и удовлетворяет неравенству
max{∥v∗∥0, ∥u∗∥0} ≤ (1 + ω)eHd0ω max{∥f∥0, ∥ψ1∥1, ∥ψ2∥1, ∥ϕ∥0}.
(2.12)
Пусть теперь пара (v(t, x), u(t, x)) - решение задачи (2.1)-(2.4), где f(t, x) = 0, ψ1(t) = 0,
ψ2(t) = 0 и ϕ(x) = 0 для всех (t,x) ∈ Ω. Тогда из однозначной разрешимости задачи (2.5)-
(2.7) и условий (2.4) заключаем, что v(t, x) = 0 и
u(t, x) = 0 для всех (t, x) ∈ Ω. Поэтому
из оценки (2.12) вытекает, что задача (2.1)-(2.4) однозначно разрешима. Из эквивалентности
задач (2.1)-(2.4) и (1.1)-(1.4) следует однозначная разрешимость задачи (1.1)-(1.4). Классиче-
ское решение u∗(t, x) ∈ C(Ω, Rn) задачи (1.1)-(1.4) удовлетворяет неравенству
∥u∗∥0 ≤ (1 + ω)eHd0ω max{∥f∥0, ∥ψ1∥1, ∥ψ2∥1, ∥ϕ∥0}.
Теорема доказана.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Респуб-
лики Казахстан на 2020-2022 гг. (грант AP08955461).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Пташник Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными
производными. Киев, 1984.
2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. М., 1995.
3. Жегалов В.И., Миронов А.Н. Дифференциальные уравнения со старшими частными производны-
ми. Казань, 2001.
4. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М., 2006.
5. Asanova A.T., Dzhumabaev D.S. Well-posedness of nonlocal boundary value problems with integral
condition for the system of hyperbolic equations // J. Math. Anal. and Appl. 2013. V. 402. № 1. P. 167-
178.
6. Assanova A.T., Imanchiev A.E. On conditions of the solvability of nonlocal multi-point boundary value
problems for quasi-linear systems of hyperbolic equations // Eurasian Math. J. 2015. V. 6. № 4. P. 19-28.
7. Asanova A.T. Multipoint problem for a system of hyperbolic equations with mixed derivative // J. of
Math. Sci. (United States). 2016. V. 212. № 3. P. 213-233.
Институт математики и математического моделирования,
Поступила в редакцию 28.02.2019 г.
г. Алматы, Республика Казахстан
После доработки 02.09.2020 г.
Принята к публикации 13.10.2020 г.
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
