ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.130-134

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.984.5

ОТСУТСТВИЕ ВЫРОЖДЕННЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ

ДЛЯ ОДНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

Приведены условия, которым должны удовлетворять коэффициенты линейного диффе-

ренциального уравнения второго порядка, зависящие от спектрального параметра, чтобы

у него не существовало вырожденных двухточечных краевых условий.

DOI: 10.31857/S037406412101012X

Введение. Если характеристический определитель Δ(λ) краевой задачи или дифферен-

циального оператора [1, с. 26] не равен тождественно некоторой постоянной, то для этих

задачи или оператора их краевые условия называются невырожденными краевыми услови-

ями [2, с. 35], в противном случае, т.е. когда Δ(λ) ≡ const, они называются вырожденными.

В работе [3] М.Х. Стоуном показано, что если в задаче Штурма-Лиувилля

y^′′ + q(x)y + λy = 0,

y(0) - y(π) = 0,

y^′(0) + y^′(π) = 0,

рассматриваемой на отрезке [0, π], потенциальная функция q(x) является симметричной (т.е.

q(x) = q(π - x) для любого x ∈ [0, π]), то характеристический определитель этой краевой

задачи тождественно нулевой, а значит, её спектр полностью заполняет всю плоскость.

В монографии [3, с. 27] показано, что если коэффициенты обыкновенного линейного диф-

ференциального уравнения являются непрерывными, то для спектра его краевой задачи имеет

место следующая альтернатива: либо 1) существует не более счётного числа собственных зна-

чений, не имеющих предельных точек в C, либо 2) каждое λ ∈ C есть собственное значение.

Прямые и обратные задачи с нераспадающимися краевыми условиями для случая 1) до-

статочно хорошо изучены (см., например, [4, 5]). Вырожденный случай 2) изучен значительно

меньше.

В работах [6] и [7] описаны все вырожденные двухточечные краевые условия для опера-

тора D² и для оператора Штурма-Лиувилля соответственно. Эти результаты обобщены на

оператор диффузии в работе [8]. Именно, в ней показано, что у рассматриваемого на отрезке

[0, π] уравнения

y^′′ + (λ² - 2λp(x) - q(x))y = 0,

в котором λ - спектральный параметр, а p(·) ∈ W¹²(0, π), q(·) ∈ L₂(0, π) - вещественнозначные

функции, в случае, если p(x) = p(π - x) или q(x) = q(π - x) для x из некоторого подынтер-

вала отрезка [0, π], двухточечных краевых условий с Δ(λ) ≡ 0 не существует и единственно

возможными вырожденными двухточечными краевыми условиями являются условия Коши:

y(0) = y^′(0) = 0 и y(π) = y^′(π) = 0. В случае же p(x) = p(π - x) и q(x) = q(π - x), x ∈ [0, π],

тождество Δ(λ) ≡ 0 реализуется только для условий y(i)(0) + (-1)ⁱy(i)(π) = 0, i = 0, 1, и

y(i)(0) + (-1)i+1y(i)(π) = 0, i = 0,1 (названных в [7] ложнопериодическими условиями), а

тождество Δ(λ) ≡ const = 0 - только для условий y(i)(0) + (-1)ⁱay(i)(π) = 0, i = 0, 1, и

y(i)(0) + (-1)i+1ay(i)(π) = 0, i = 0,1, где a = 1 (названных в [7] обобщёнными условиями

Коши).

130

ОТСУТСТВИЕ ВЫРОЖДЕННЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ

131

Первые результаты для дифференциальных операторов произвольного чётного порядка

получены в работе [9] (см. также монографию [10]). В этой работе приведены примеры диф-

ференциальных операторов любого чётного порядка n, спектр которых заполняет всю ком-

плексную плоскость. Краевые условия у этих операторов имели следующий вид:

y(i)(0) + (-1)ⁱy(i)(π) = 0, i = 0,n - 1.

Возникает естественный вопрос, существуют ли другие, помимо приведённых в [9], приме-

ры операторов чётного порядка, спектр которых заполняет всю комплексную плоскость.

В работе [11] дан утвердительный ответ на поставленный вопрос. Более того, для опера-

тора D4 описаны все 12 возможных классов двухточечных краевых задач на собственные

значения, спектр которых заполняет всю комплексную плоскость. Каждый из этих классов

содержит произвольную константу. Поэтому для оператора дифференцирования четвёртого

порядка имеется континуум краевых задач со спектром, полностью заполняющим всю ком-

плексную плоскость.

До недавного времени оставался открытым вопрос, сформулированный, в частности, в мо-

нографии [10]: существуют ли спектральные задачи с дифференциальным уравнением нечёт-

ного порядка, спектр которых заполняет всю комплексную плоскость. Примеры таких опера-

торов для любого нечётного порядка приведены в работе [12].

В работе [13] показано, что если n - чётное число, большее двух, а d = ±1, то характери-

стический определитель задачи

∑

y(n)(x) +

p_m(x)y(n-m)(x) + λy(x) = 0,

m=1

y(n-j)(0) + d(-1)j+1y(n-j)(π) = 0, j = 1,n,

где p_m(·) ∈ L₁(0, π), тождественно равен константе, отличной от нуля.

В заключение отметим, что для оператора Штурма-Лиувилля с вырожденными краевыми

условиями достаточно хорошо изучены [14, 15] вопросы полноты и базисности.

1. Случай, когда корни характеристического уравнения - константы. Рассмотрим

спектральную задачу, порождённую уравнением

d²y

+ p₁(x,λ)

+ p₂(x,λ)y = 0

(1)

dx²

и краевыми условиями

U_j(y) ≡ aj1y(0) + aj2y(1) + aj3y^′(0) + aj4y^′(1) = 0, j = 1,2,

(2)

здесь λ - спектральный параметр, x ∈ [0, 1], a_jk ∈ C (j = 1, 2, k = 1, 4), а функции p_i(x, λ)

(i = 1, 2) имеют следующий вид:

p₁(x,λ) = λp₁₀ + p₁₁(x), p₂(x,λ) = λ²p₂₀ + λp₂₁(x) + p₂₂(x),

где pi1(x) ∈ C¹[0, 1], p₂₂(x) ∈ C[0, 1], pi0 = const, i = 1, 2.

Обозначим матрицу, образованную коэффициентами a_jk краевых условий (2) через A, а

её миноры, составленные из l-го и m-го столбцов, через M_lm, т.е.









a₁₂

a₁₃

a₁₄

a1l a1m

A=a



M_ij =



l,m = 1,4.

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₂₄

,



a2l a2m

,

На протяжении всей статьи будем считать, что ранг матрицы A равен двум:

rank A = 2.

(3)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

9^∗

132

АХТЯМОВ

Пусть также выполнены следующие три условия:

1) p²¹⁰ - 4p₂₀ = 0;

2) p₁₀ = 0;

3) p₂₀ = 0.

Вследствие условия 1) характеристическое уравнение ω² + p₁₀ω + p₂₀ = 0 имеет различные

корни ω₁ = ω₂. Поэтому (см. [16]) уравнение (1) имеет фундаментальную систему решений

{y₁(x, λ), y₂(x, λ)} такую, что эти решения и их производные допускают при λ → +∞, λ ∈ R,

асимптотические разложения

y_k(x,λ) = eωkλx(uk0(x) + λ-1uk1(x) + λ-2uk2(x) + O(λ-3)), k = 1,2,

(4)

(

)

dy_k(x, λ)

=ω_kλeωkλx uk0(x) + λ-1(uk1(x) +

u′k0(x)) + O(λ-2) ,

k = 1,2,

(5)

ω_k

где uk0(x) = 0, k = 1, 2, при всех x ∈ [0, 1]. Здесь и ниже через O(λ^-m), где m ∈ N,

обозначается функция от x и λ, модуль которой не превосходит const |λ|^-m для всех x ∈

∈ [0, 1] и достаточно больших |λ|.

В дальнейшем нам понадобятся следующие обозначения:

f₁(λ) = y₁(0,λ)y₂(1,λ) - y₂(0,λ)y₁(1,λ), f₂(λ) = y₁(0,λ)y′2(0,λ) - y′1(0,λ)y₂(0,λ),

f₃(λ) = y₁(0,λ)y′2(1,λ) - y₂(0,λ)y′1(1,λ), f₄(λ) = y₁(1,λ)y′2(0,λ) - y′1(0,λ)y₂(1,λ),

f₅(λ) = y₁(1,λ)y′2(1,λ) - y₂(1,λ)y′1(1,λ), f₆(λ) = y′1(0,λ)y′2(1,λ) - y′2(0,λ)y′1(1,λ).

(6)

Очевидно, что f₂(λ) = 0 для любого λ ∈ C.

Обозначим через z_i(x, λ), i = 1, 2, решения уравнения (1), удовлетворяющие начальным

условиям z₁(0, λ) = 1, z′1(0, λ) = 0 и z₂(0, λ) = 0, z′2(0, λ) = 1. Отсюда и из линейной

независимости функций y₁(x, λ) и y₂(x, λ) вытекают тождества

y′2(0,λ)y₁(x,λ) - y′1(0,λ)y₂(x,λ)

y₁(0,λ)y₂(x,λ) - y₂(0,λ)y₁(x,λ)

z₁(x,λ) =

z₂(x,λ) =

(7)

f₂(λ)

Как несложно убедиться, воспользовавшись формулами (7), характеристический опреде-

литель Δ(λ) = det (U_k(z_i))2k,i=1 задачи (1), (2) имеет следующий вид:

f₁(λ)

f₃(λ)

f₄(λ)

f₅(λ)

f₆(λ)

Δ(λ) = M₁₂

+M₁₃ +M₁₄

+M₂₃

+M₂₄

+M₃₄

(8)

f₂(λ)

Из вида функций f_i(λ), i = 1, 6, и представлений (4), (5) следует [17], что тождество

Δ(λ) ≡ const = 0 невозможно. В работе [17] доказана линейная независимость семейства

функций {f_i(λ) : i = 1, 6}, а значит, тождество Δ(λ) ≡ 0 возможно тогда и только тогда,

когда выполняются равенства M₁₂ = M₁₃ = M₁₄ = M₂₃ = M₂₄ = M₃₄ = 0, но эти равенства

противоречат условию (3). Поэтому справедлива

Теорема 1. Задача (1), (2) не имеет вырожденных краевых двухточечных условий.

2. Случай, когда корни характеристического уравнения - переменные. Рассмот-

рим спектральную задачу, порождённую уравнением

d²y

+ λq₁(x, λ)

+ λ²q₂(x,λ)y = 0

(9)

dx²

и краевыми условиями (2), где для коэффициентов q_i(x, λ) справедливо представление

∑

q_i(x,λ) =

λ^-jp_ij(x), i = 1,2,

(10)

j=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ОТСУТСТВИЕ ВЫРОЖДЕННЫХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ

133

для всех x ∈ [0, 1] и λ ∈ Ω_R при некотором R > 0 (здесь и ниже Ω_R = {λ ∈ C : |λ| ≥ R}) и

хотя бы одна из функций pi0(x), i = 1, 2, не равна тождественно нулю на [0, 1].

Предположим, что выполняются следующие условия:

а) функции p_ij(x), i = 1, 2, j = 0, 1, . . . , (см. представление (10)) непрерывны и ограни-

чены в совокупности на отрезке [0, 1];

б) корни ω₁(x), ω₂(x) характеристического уравнения ω² + p₁₀(x)ω + p₂₀(x) = 0 различны

между собой при всех значениях x ∈ (0, 1);

в) функции dpi0(x)/dx и pi1(x), i = 1, 2, имеют непрерывные производные в промежутке

(0, 1);

г) существует бесконечная подобласть

Ω_R области Ω_R, в которой при всех значениях

x ∈ [0,1] выполняются неравенства Re(λω₁(x)) ≤ Re(λω₂(x));

д) справедливы соотношения

∫

ω_i(x)dx = 0, i = 1,2, и

(ω₁(x) ± ω₂(x)) dx = 0;

е) ω₁(1)ω₂(0) = 0 или ω₁(0)ω₂(1) = 0;

ж) ω₁(0)ω₁(1) - ω₂(0)ω₂(1) = 0.

При выполнении условий а)-г) дифференциальное уравнений (9) имеет в областиΩR фун-

даментальную систему решений {y₁(x, λ), y₂(x, λ)}, допускающих представление

∫_x

y_k(x,λ) = e^λ

ω_k(τ)dτ (uk0(x) + λ-1uk1(x) + λ-2uk2(x) + O(λ-3)), k = 1,2,

(11)

где uk0(x) = 0, k = 1, 2, при всех x ∈ [0, 1]; причём представления (11) можно дифференци-

ровать с точностью до первых двух членов.

Характеристический определитель Δ(λ) задачи (2), (9) задаётся равенством (8), в котором

функции f_i(λ), i = 1, 6, определяются формулами (6) с функциями (11).

Из вида функций {f_i(λ)}, i = 1, 6, следует [17], что тождество Δ(λ) ≡ const = 0 невоз-

можно. В работе [17] доказано, что функции {f_i(λ) : i = 1, 6}, заданные равенствами (6),

(11), являются линейно независимыми, поэтому тождество Δ(λ) ≡ 0 возможно тогда и толь-

ко тогда, когда выполняются равенства M₁₂ = M₁₃ = M₁₄ = M₂₃ = M₂₄ = M₃₄ = 0, но эти

равенства противоречат условию (3). Поэтому имеет место

Теорема 2. Задача (2), (9) не имеет вырожденных краевых двухточечных условий.

Работа выполнена за счёт средств государственного бюджета по госзаданию (проект

0246-2019-0088) и при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гран-

ты 18-51-06002-Aз_a, 18-01-00250-a).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М., 1969.

2. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев, 1977.

3. Stone M.H. Irregular differential systems of order two and the related expansion problems // Trans.

Amer. Math. Soc. 1927. V. 29. P. 23-53.

4. Ширяев Е.А., Шкаликов А.А. Регулярные и вполне регулярные дифференциальные операторы

// Мат. заметки. 2007. Т. 81. Вып. 4. C. 636-640.

5. Sadovnichii V.A., Sultanaev Ya.T., Akhtyamov A.M. General inverse Sturm-Liouville problem with

symmetric potential // Azerbaijan J. of Math. 2015. V. 5. № 2. P. 96-108.

6. Lang P., Locker J. Spectral theory of two-point differential operators determined by D². I. Spectral

properties // J. of Math. Anal. and Appl. 1989. V. 141. № 2. P. 538-558.

7. Ахтямов А.М. О вырожденных краевых условиях в задаче Штурма-Лиувилля // Дифференц.

уравнения. 2016. Т. 52. № 8. С. 1121-1123.

8. Ахтямов А.М. Вырожденные краевые условия оператора диффузии // Дифференц. уравнения.

2017. Т. 53. № 11. С. 1546-1549.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

134

АХТЯМОВ

9. Садовничий В.А., Кангужин Б.Е. О связи между спектром дифференциального оператора с сим-

метрическими коэффициентами и краевыми условиями // Докл. АН СССР. 1982. Т. 267. № 2.

С. 310-313.

10. Locker J. Eigenvalues and Completeness for Regular and Simply Irregular Two-Point Differential

Operators (Mem. Amer. Math. Soc.). Providence, 2006.

11. Akhtyamov A.M. On degenerate boundary conditions for operator D4 // Springer Proc. in Math. and

Stat. 2017. V. 216. P. 195-203.

12. Ахтямов А.М. О спектре дифференциального оператора нечётного порядка // Мат. заметки. 2017.

Т. 101. Вып. 5. C. 643-646.

13. Makin A. Two-point boundary-value problems with nonclassical asymptotics on the spectrum // Electr.

J. of Differ. Equat. 2018. V. 95. P. 1-7.

14. Маламуд М.М. О полноте системы корневых векторов оператора Штурма-Лиувилля с общими

краевыми условиями // Функц. анализ и его приложения. 2008. Т. 42. № 3. C. 45-52.

15. Макин А.С. Об обратной задаче для оператора Штурма-Лиувилля с вырожденными краевыми

условиями // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 10. C. 1408-1411.

16. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений

и о разложении произвольных функций в ряды. Петроград, 1917.

17. Ахтямов А.М. О единственности восстановления краевых условий спектральной задачи по её спек-

тру // Фунд. и прикл. математика. 2000. Т. 6. Вып. 4. C. 995-1006.

Башкирский государственный университет, г. Уфа,

Поступила в редакцию 26.02.2020 г.

Институт механики им. Р.Р. Мавлютова,

После доработки 26.02.2020 г.

Уфимского научного центра РАН

Принята к публикации 13.10.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021