ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.135-139
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.977.57+517.958
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ
С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ДЛЯ МОДЕЛИ
ДВИЖЕНИЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
© 2021 г. В. Г. Звягин, А. В. Звягин, Нгуен Минь Хонг
Рассматривается задача оптимального управления с обратной связью для начально-крае-
вой задачи, описывающей движение нелинейно-вязкой жидкости. Доказывается существо-
вание оптимального решения, дающего минимум заданному функционалу качества. Для
доказательства существования оптимального решения используется аппроксимационно-то-
пологический метод исследования задач гидродинамики.
DOI: 10.31857/S0374064121010131
Введение. Движение несжимаемой нелинейно-вязкой жидкости в ограниченной области
Ω ⊂ Rn, n = 2,3, на промежутке времени [0,T] (T < ∞) описывается следующей начально-
краевой задачей:
∑
∂v
∂v
+
vi
- Div [2μ(I2(v))ε(v)] + grad p = f,
(1)
∂t
∂xi
i=1
div v = 0, v|t=0 = v0(x), v|∂Ω×[0,T] = 0,
(2)
где v(x, t) - вектор-функция скорости частицы жидкости в точке x ∈ Ω в момент времени
t ∈ [0,T]; p - функция давления в жидкости; f - плотность внешних сил; ε - тензор скоро-
стей деформации ε(v) = (εij (v)), εij (v) = (∂vi/∂xj + ∂vj /∂xi)/2; тензор I2(v) определяется
∑n
равенством I22(v) = ε(v) : ε(v) =
[εij (v)]2. Здесь для произвольных квадратных матриц
i,j=1
∑n
A = (aij) и B = (bij) одного порядка используется обозначение A : B :=
aijbij, а через
i,j=1
Div M обозначена дивергенция тензора M = (mij), т.е. вектор
)
∑
∑
∂m1j
∂mnj
Div M :=
,...,
∂xj
∂xj
j=1
j=1
Данная математическая модель подробно исследовалась в работах профессора В.Г. Литви-
нова (см., например, [1]), в которых приведены примеры таких жидкостей и естественные огра-
ничения на вязкость рассматриваемой среды, выраженные через свойства функции μ : R+ →
→ R. Эта функция должна быть непрерывно дифференцируема и удовлетворять неравенствам
a) 0 < C1 ≤ μ(s) ≤ C2 < ∞; b) - sμ′(s) ≤ μ(s) при μ′(s) < 0;
c) |sμ′(s)| ≤ C3 < ∞.
Здесь и далее через Ci обозначаются различные константы.
Вопрос существования решений для данной задачи рассматривался в работах [1-3] и др.
В данной работе рассматривается задача оптимального управления с обратной связью для сис-
темы (1), (2). Исследованию задач управления посвящено большое количество работ (см. [4-6]).
Однако, в то время как управление для линейных систем достаточно хорошо изучено, управ-
ление для нелинейных систем остаётся малоисследованной задачей (даже для конечномерных
или локальных областей). На практике часто возникает задача управления (оптимального
управления) движением жидкости при помощи внешних сил. Обычно при решении таких
задач управление выбирается из некоторого заданного (конечного) множества управлений.
135
136
ЗВЯГИН и др.
В настоящей работе рассматривается задача управления внешними силами, которые зависят
от скорости движения жидкости. Такие задачи называются задачами с обратной связью (см.,
например, [7-9] и приведённую в этих работах библиографию). Эта позволяет более точно вы-
бирать управление, поскольку в данном случае управление выбирается не из конечного набора
имеющихся управлений, а принадлежит образу некоторого многозначного отображения (есте-
ственно, что на это отображение накладываются некоторые условия), что даёт возможность
более точно выбрать управление.
В данной работе изучается вопрос существования решений задачи управления с обратной
связью для модели нелинейно-вязкой жидкости (1), (2), а также доказывается существование
оптимального решения рассматриваемой задачи, дающего минимум заданному ограниченному
функционалу качества.
1. Постановка задачи и основные результаты. Сначала введём основные обозначения
и приведём вспомогательные утверждения.
Обозначим: Lp(Ω),
1 ≤ p < ∞, - множество измеримых вектор-функций v : Ω → Rn,
суммируемых с p-й степенью; Wmp(Ω), m ≥ 1, p ≥ 1, - пространства Соболева; C∞0(Ω)n -
пространство бесконечно-дифференцируемых вектор-функций из Ω в Rn с компактным но-
сителем в Ω. Через V обозначим множество {v ∈ C∞0(Ω)n : div v = 0}. Замыкание множества
V по норме L2(Ω) будем обозначать через H, а по норме пространства W12(Ω) - через V.
Введём основное пространство, в котором будут изучаться слабые решения рассматриваемой
задачи:
W1 = {v : v ∈ L2(0,T,V )
⋂L∞(0,T;H), v′ ∈ L1(0,T,V∗)}.
Пространство W1 снабжено нормой ∥v∥W1 = ∥v∥L2(0,T,V ) + ∥v∥L∞ (0,T ;H)+∥v′∥L1(0,T,V∗).
Рассмотрим многозначное отображение Ψ : W1 ⊸ L2(0, T, V∗) в качестве функции управ-
ления. Будем предполагать, что Ψ удовлетворяет следующим условиям:
(Ψ1) отображение Ψ определено на пространстве W1 и имеет непустые, компактные и
выпуклые значения;
(Ψ2) отображение Ψ компактно и полунепрерывно сверху (т.е. для любой функции v ∈
∈ W1 и открытого множества Y ⊂ L2(0,T,V ∗), такого что Ψ(v) ⊂ Y, существует окрестность
U (v), для которой Ψ(U(v)) ⊂ Y );
(Ψ3) отображение Ψ глобально ограничено, т.е. существует константа C4 > 0 такая, что
∥Ψ(v)∥L2(0,T,V ∗) := sup{∥u∥L2(0,T,V ∗) : u ∈ Ψ(v)} ≤ C4 для всех v ∈ W1;
(Ψ4) отображение Ψ слабо замкнуто в следующем смысле: если {vl}∞l=1 ⊂ W1, vl ⇀ v0 и
ul ∈ Ψ(vl), ul → u0 в L2(0,T,V∗), то u0 ∈ Ψ(v0).
Будем рассматривать слабую постановку задачи управления с обратной связью для на-
чально-краевой задачи (1), (2). В работе под обратной связью мы понимаем условие
f ∈ Ψ(v).
(3)
Определение 1. Пара функций (v,f) ∈ W1 × L2(0,T,V∗) называется слабым решением
задачи с обратной связью (1), (2), если она удовлетворяет при всех ϕ ∈ V и п.в. t ∈ [0, T ]
равенству
∫
∫
∑
∂ϕj
〈v′, ϕ〉 -
vivj
dx + 2
μ(I2(v))ε(v) : ε(ϕ) dx = 〈f, ϕ〉,
(4)
∂x
i
Ω i,j=1
Ω
начальному условию v(0) = v0 и условию обратной связи (3).
Здесь и далее 〈v′, ϕ〉 = (∂v/∂t, ϕ).
Первым результатом работы является
Теорема 1. Пусть многозначное отображение Ψ удовлетворяет условиям (Ψ1)-(Ψ4),
а вязкость μ рассматриваемой среды - условиям a)- c). Тогда существует хотя бы одно
решение (v∗,f∗) ∈ W1 × L2(0,T,V∗) задачи с обратной связью (1)-(3).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
137
Обозначим через Σ ⊂ W1 × L2(0, T ; V∗) множество всех слабых решений задачи управле-
ния с обратной связью (1)-(3). Рассмотрим произвольный функционал качества Φ : Σ → R,
удовлетворяющий следующим условиям:
(Φ1) Существует число γ такое, что Φ(v, f) ≥ γ для всех (v, f) ∈ Σ.
(Φ2) Если vl ⇀ v∗ в W1 и fl → f∗ в L2(0, T ; V∗), то Φ(v∗, f∗) ≤ lim Φ(vl, fl).
m→∞
Основным результатом работы является
Теорема 2. Если отображение Ψ удовлетворяет условиям (Ψ1)-(Ψ4), вязкость μ рас-
сматриваемой среды - условиям a)- c), а функционал Φ - условиям (Φ1), (Φ2), то задача
оптимального управления с обратной связью (1)-(3) имеет хотя бы одно слабое решение
(v∗, f∗) такое, что
Φ(v∗, f∗) = inf Φ(v, f).
(v,f)∈Σ
2. Схема доказательства. Доказательство теорем 1 и 2 основано на аппроксимационно-
топологическом методе исследования задач гидродинамики (см. [10-14]).
Для этого сначала переходят к операторной трактовке рассматриваемой задачи:
v′(t) + D(v) - K(v) = f,
(5)
в которой операторы K : V → V∗ и D : V → V∗ для функций v ∈ V и ϕ ∈ V задаются
равенствами
∫
∫
∑
∂ϕj
〈K(v), ϕ〉 =
vivj
dx и
〈D(v), ϕ〉 = 2
μ(I2(v))ε(v) : ε(ϕ) dx.
∂x
i
Ω i,j=1
Ω
Таким образом, слабое решение задачи с обратной связью (1)-(3) - это решение (v, f) ∈ W1 ×
× L2(0,T,V ∗) операторного уравнения (5), удовлетворяющее начальному условию v|t=0 = v0
и условию обратной связи (3). Отметим некоторые свойства введённых выше операторов.
Лемма 1. 1) Оператор K : L2(0, T ; V ) → L1(0, T ; V∗) непрерывен.
2) Оператор D : L2(0, T ; V ) → L2(0, T ; V∗) непрерывен и монотонен.
Далее, в связи с тем, что операторы в полученном операторном включении не облада-
ют необходимыми свойствами, рассматривается задача, аппроксимирующая исходную (в дан-
ном случае она представляет собой также операторное включение, но с оператором, облада-
ющим требуемыми свойствами, рассматриваемое в более удобном функциональном простран-
стве W2 = {v : v ∈ L2(0, T ; V ), v′ ∈ L2(0, T ; V∗)}).
Вспомогательная задача. Найти пару функций (v, f) ∈ W2 × L2(0, T, V∗), удовлетворя-
ющую операторному включению
v′(t) + D(v) - Kδ(v) = f ∈ Ψ(v)
(6)
и начальному условию v(0) = v0. Здесь оператор Kδ : V → V ∗, δ > 0, для функций v ∈ V и
ϕ ∈ V задаётся равенством
∫
∑
∑
vivj
∂ϕj
〈Kδ(v), ϕ〉 =
dx, где
|v|2 =
vivi.
1 + δ|v|2 ∂x
i
i=1
Ω i,j=1
Лемма 2. Для любого δ > 0 оператор Kδ : W2 → L2(0, T ; V∗) компактен и справедлива
оценка
∥Kδ(v)∥L2 (0,T ;V ∗) ≤ C5/δ
(7)
с некоторой константой C5, не зависящей от v.
После чего на основе априорных оценок решений и теории топологической степени мно-
гозначных отображений доказывается существование решения вспомогательной задачи. Для
этого вспомогательная задача записывается в следующем виде:
L(v) - Kδ(v) ∈ Ψ(v),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
138
ЗВЯГИН и др.
где L : W2 → L2(0, T ; V∗)×H, L(v) = (v′ +D(v), v|t=0); Kδ : W2 ⊂ L2(0, T ; V ) → L2(0, T ; V∗)×
× H, Kδ(v) = (Kδ(v),0); Ψ : W2 → L2(0,T;V ∗) × H, Ψ(v) = (Ψ(v),v0).
Лемма 3. Нелинейный оператор L : W2 → L2(0, T ; V∗) × H корректно определён, обра-
тим, и для любых v ∈ W2 справедлива оценка
∥v∥W2 ≤ C6∥L(v)∥L2 (0,T ;V ∗)×H .
(8)
Кроме того, обратный оператор L-1 : L2(0,T;V∗) × H → W2 непрерывен.
Из последней леммы следует, что изучение вспомогательной задачи эквивалентно исследо-
ванию задачи о неподвижной точке следующего включения:
v ∈ F(v),
(9)
где F : W2 → W2 и F (v) = L-1(Kδ(v) + Ψ(v)).
Теорема 3. Операторное включение (9) имеет хотя бы одно решение v ∈ W2.
Для доказательства теоремы 3 рассматривается семейство вспомогательных включений:
v ∈ G(v), где G(v) = L-1(λKδ(v) + λΨ(v)). Заметим, что данное семейство совпадает с
изучаемой задачей (9) при λ = 1.
Установим априорную оценку решений для включения v ∈ G(v). Если v ∈ W2 - решение
одного из включений семейства вспомогательных задач, то в силу оценок (7) и (8) и условий
(Ψ1)-(Ψ4) имеем
∥v∥W2 ≤ C7(∥Kδ(v)∥L2(0,T ;V ∗) + ∥f∥L2(0,T ;V ∗) + ∥v0∥H ) ≤ C7(C5/δ + C8 + ∥v0∥H ).
Выберем R > C7(C5/δ + C8 + ∥v0∥H ), тогда ни одно решение семейства вспомогательных
задач не принадлежит границе шара BR ⊂ W2. Поэтому отображение G : W2 × [0, 1] → W2
определяет гомотопию многозначных отображений на BR. Следовательно, топологическая
степень deg (G,BR, 0) определена для каждого значения λ ∈ [0, 1] (см. [15, гл. 3]). В силу
свойства гомотопической инвариантности степени имеем deg (F,BR, 0) = deg (I,BR, 0) = 1.
Отличие от нуля степени отображения F обеспечивает существование решения операторного
включения (9), a следовательно, существование решения вспомогательной задачи.
Лемма 4. Для любого решения vδ ∈ W2, δ > 0, операторного включения (9) справедливы
оценки
max
(10)
∥vδ(t)∥H + ∥vδ∥L2(0,T ;V ) ≤ C9(∥f∥L2(0,T ;V ∗) + ∥vδ0∥H),
t∈[0,T ]
∥v′δ∥L
(11)
1(0,T ;V∗) ≤C10(1+∥f∥L2(0,T ;V∗)+∥vδ0∥H)2
с константами C9 и C10, не зависящими от δ.
И, наконец, показывается, что из последовательности решений вспомогательной задачи
можно выделить подпоследовательность, сходящуюся в некотором смысле к решению исход-
ного операторного включения.
Для этого возьмём произвольную последовательность положительных чисел {δl}∞l=1, δl →
→ 0. Для каждого δl известно, что соответствующая вспомогательная задача имеет по край-
ней мере одно решение vl ∈ W2. Вследствие оценок (10) и (11), не уменьшая общности рассуж-
дений, считаем, что vl ⇀ v∗ слабо в L2(0, T ; V ), vl ⇀ *- слабо в L∞(0, T ; H), vl → v∗ сильно
в L2(QT ), vl → v∗ почти всюду QT , v′l ⇀ v′∗ в смысле распределений. Так как оператор D
слабо непрерывен, то будем полагать, что D(vl) ⇀ D(v∗) слабо в L2(0, T ; V∗), а следователь-
но, в смысле распределений со значениями в V∗. В силу леммы 5.3 из гл. 5 монографии [16]
имеет место следующая сходимость: Kδl (vl) --→ K(v∗) в смысле распределений.
Принимая во внимание оценки (10), (11) и условия (Ψ1)-(Ψ4), без ограничения общности
можем предположить, что существует f∗ ∈ L2(0, T ; V∗) такое, что fl → f∗ ∈ Ψ(v∗) при l →
→ ∞. Таким образом, переходя в каждом из членов равенства
v′l + D(vl) - Kδ
(vl) = fl ∈ Ψ(vl)
l
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
ОБ ОПТИМАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ
139
к пределу при l → ∞, получаем, что предельные функции (v∗, f∗) удовлетворяют равенству
v′∗ + D(v∗) - K(v∗) = f∗ ∈ Ψ(v∗),
а переходя к пределу при l → ∞ в начальном условии vl(0) = v0, заключаем, что v∗ удовле-
творяет начальному условию v∗(0) = v0.
Следовательно, (v∗, f∗) - слабое решение задачи управления с обратной связью (1)-(3).
Заметим, что так как v∗ ∈ L2(0, T ; V )
⋂L∞(0,T;H), то из равенства (5) следует включение
v′∗ ∈ L1(0,T;V∗).
После доказательства разрешимости задачи управления показывается, что во множестве
решений найдётся хотя бы одно решение, дающее минимум заданному функционалу качества
(именно поэтому данный вид задач называют задачами оптимального управления движением
жидкости с обратной связью).
Исследования Звягина В.Г. выполнены при финансовой поддержке Министерства науки и
высшего образования Российской Федерации (проект FZGU-2020-0035) и Российского фонда
фундаментальных исследований (проект 20-01-00051). Исследования Звягина А.В. выполнены
при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 19-
31-60014).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. М., 1982.
2. Соболевский П.Е. Существование решений математической модели нелинейно вязкой жидкости
// Докл. АН СССР. 1985. Т. 285. № 1. C. 44-48.
3. Dmitrienko V.T., Zvyagin V.G. The topological degree method for equations of the Navier-Stokes type
// Abstr. and Appl. Analysis. 1997. V. 2. № 1. P. 1-45.
4. Lions J.L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. Berlin, 1971.
5. Abergel F., Temam R. On some control problems in fluid mechanics // Theor. Comput. Fluid Dyn. 1990.
V. 1. № 6. P. 303-325.
6. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределёнными системами. Теория и приложения. Но-
восибирск, 1999.
7. Zvyagin V., Obukhovskii V., Zvyagin A. On inclusions with multivalued operators and their applications
to some optimization problems // J. Fixed Point Theory and Appl. 2014. V. 16. P. 27-82.
8. Звягин А.В. Задача оптимального управления для стационарной модели слабо концентрированных
водных растворов полимеров // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 2. C. 245-249.
9. Звягин А.В. Оптимальное управление с обратной связью для альфа-модели Лере и альфа-модели
Навье-Стокса // Докл. РАН. 2019. Т. 486. № 5. C. 527-530.
10. Звягин В.Г. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию математических задач гид-
родинамики // Совр. математика. Фундам. направления. 2012. Т. 46. C. 92-119.
11. Звягин В.Г., Турбин М.В. Математические вопросы гидродинамики вязкоупругих сред. М., 2012.
12. Звягин А.В., Поляков Д.М. О разрешимости альфа-модели Джеффриса-Олдройда // Дифференц.
уравнения. 2016. Т. 52. № 6. C. 782-787.
13. Звягин В.Г., Дмитриенко В.Т. О слабых решениях регуляризованной модели вязкоупругой жид-
кости // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. № 12. C. 1633-1645.
14. Звягин В.Г., Орлов В.П. О слабой разрешимости задачи вязкоупругости с памятью // Дифференц.
уравнения. 2017. Т. 53. № 2. C. 215-220.
15. Kamenskii M., Obukhovskii V., Zecca P. Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential
Inclusions in Banach Spaces. Berlin, 2001.
16. Звягин В.Г., Дмитриенко В.Т. Аппроксимационно-топологический подход к исследованию задач
гидродинамики. Система Навье-Стокса. М., 2004.
Воронежский государственный университет,
Поступила в редакцию 16.03.2020 г.
Воронежский государственный
После доработки 16.03.2020 г.
педагогический университет
Принята к публикации 13.10.2020 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№1
2021
