ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 1, с.140-144

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.956

ЗАДАЧИ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

КОШИ-РИМАНА С СИНГУЛЯРНЫМИ ОКРУЖНОСТЬЮ

И ТОЧКОЙ В МЛАДШИХ КОЭФФИЦИЕНТАХ

В настоящей работе для обобщённой системы Коши-Римана, младшие коэффициенты ко-

торой допускают сильную особенность на окружности и слабую особенность в точке, ре-

шена задача типа Гильберта.

DOI: 10.31857/S0374064121010143

1. Постановка задачи типа Римана-Гильберта. Пусть область D содержит точку

z = 0 и окружность L = {z : |z| = R} и ограничена простым ляпуновским контуром Γ, ори-

ентированным против часовой стрелки. Обозначим D₀ = D \ ({0}

^⋃ L) и D_ε = D \ (d0ε ⋃ d1ε)

с малым ε > 0, где d0ε = {z : |z| < ε} и d1ε = {z : R - ε < |z| < R + ε}. В области D₀

рассмотрим уравнение

∂u

a(z)

b(z)

- p(z)

u = f(z),

(1.1)

∂z

||z| - R|ⁿ

|z|^m

где 2∂_z = ∂_x + i∂_y, u(z) = u₁(x, y) + iu₂(x, y), нормирующий множитель p(z) = p₀(z)|p₀(z)|-1,

p₀(z) = z(|z|-R). Коэффициенты a, b принадлежат классу C(D), а правая часть f - классу

L^p(D), p > 2, где n > 1, 0 < m < 1.

Исследованию задач для уравнения (1.1) с коэффициентами, имеющими особенности пер-

вого порядка в изолированной особой точке или линии, посвящены работы [1-8] и др.

Под обобщённым решением уравнения (1.1) понимается функция u ∈ C(D\({0}

^⋃ L)),

имеющая первую обобщённую производную по z, принадлежащую классу L^p(D_ε) для любого

ε > 0, и удовлетворяющая этому уравнению почти всюду.

В настоящей работе для обобщённой системы типа Коши-Римана (1.1), коэффициенты

которой допускают сильную особенность на окружности L и слабую особенность в точке

z = 0, исследована задача типа Римана-Гильберта.

Задача R. Для уравнения (1.1) в классе

u, ea(R)/||z|-R|n-1 u ∈ C^μ(D),

0 < μ < 1 - 2/p,

(1.2)

требуется найти решения краевой задача типа Римана-Гильберта:

Re Gea(R)/||z|-R|n-1 u|_Γ = g,

(1.3)

где функции G, g заданы и принадлежат классу C^ν (Γ), причём G всюду отлична от нуля.

2. Интегральные представления решений. Рассмотрим частный случай уравнения

(1.1) с b = 0, т.е. уравнение

u_z - Au = f,

(2.1)

где для краткости положено A(z) = p(z)(||z| - R|ⁿ)-1a(z), a(z) ∈ C(D). В данном случае

коэффициент A ограничен в начале координат и имеет сильную неподвижную особенность

на окружности L.

В представлении общего решения последнего уравнения и в его описании существенную

роль играет интегральный оператор Векуа [9, с. 31]

∫

f (ζ) d₂ζ

(T f)(z) = -

ζ-z

140

ЗАДАЧИ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОШИ-РИМАНА

141

с плотностью f ∈ L^p(D), p > 2. Здесь и ниже через d₂ζ обозначается элемент площади.

Хорошо известно, что этот оператор T : L^p(D) → W1,p(D) ограничен и имеет место вложение

W1,p(D) ⊂ C^α(D) с показателем Гёльдера α = (p-2)/p. В частности, этот оператор компактен

в пространстве L^p(D), p > 2.

В общем случае сингулярного коэффициента A интегральный оператор Векуа также мож-

но применить при условии, что известно некоторое решение уравнения Ω′¯z = A в области

D₀, где

Ω(z) = lim(TεA)(z), z = L.

ε→0

Следующая лемма [10] описывает одно из решений уравнения Ω′¯z = A в области D₀.

Лемма 1. В предположении

A₀(z) = p(z)(a(z) - a(R))(||z| - R|ⁿ)-1 ∈ L^p(D), n > 1,

(2.2)

сингулярный интеграл Ω(z) существует и представим в виде

2a(R)

Ω(z) = -

+ h(z),

(n - 1)||z| - R|n-1

где h(z) ∈ H(D) определяется равенством

∫

a(R)

dζ

h(z) = (T A₀)(z) +

πi (n - 1)

|ρ - R|n-1 ζ - z

C помощью этой леммы по обычной процедуре [9, с. 31] непосредственно приходим к сле-

дующему представлению, полученному в работе [8].

Теорема 1. Пусть выполнено условие (2.2) и Re a(R) > 0, а также e-Ωf ∈ L^p(D). Тогда

общее решение уравнения (2.1) в классе C(D\L) даётся формулой

u = e^Ω[φ + T(e-Ωf)],

где функция φ ∈ C(D\L) аналитична в области C(D\L).

Сформулированная теорема показывает, что имеет место соотношение

u = O(1)e-2a(R)/||z|-R|n-1 при

|z| → R.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициенты a(z) и b(z) отличны от нуля для любого

z ∈ D. Заметим, что область D содержит сингулярное многообразие, которое состоит из

двух неподвижных особенностей: точка z = 0 и окружность L. Используя общее решение

уравнения (2.1), приходим к интегральному уравнению

V + T(BV ) = φ + F,

(2.3)

в котором V = e-Ωu, B = |z|^-mb(z)e-2iImΩ, F = T (e-Ωf), причём вид функции Ω указан

в лемме 1. В случае отсутствия сингулярности коэффициентов подобное уравнение возника-

ло у И.Н. Векуа, который для его обращения предложил [9, с. 28] метод последовательных

приближений. Однако этот метод применим лишь в предположении, что коэффициент b по

модулю достаточно мал. В общем случае необходимо построить в явном виде резольвенту

этого уравнения.

Для рассмотрения интегрального уравнения (2.3) предварительно изучим действие в раз-

личных пространствах интегрального оператора вида

∫

ϕ(ζ) d₂ζ

(T₀ϕ)(z) =

z∈D,

|ζ|^α0 |ζ - z|^α1

с положительными α_j , j = 1, 2 [8].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

142

ФЁДОРОВ, РАСУЛОВ

Лемма 2. Пусть постоянные α₀, α₁, p, удовлетворяющие неравенствам

0 < α₀ < 1 ≤ α₁ < 2, α₀ + 2α₁ < 3, p > 2/(3 - α₀ - 2α₁),

(2.4)

таковы, что

0 < μ₀ = 3 - α₀ - 2α₁ - 2/p < 1.

(2.5)

Тогда оператор T₀ : L^p(D) → C^μ(D) ограничен.

Как будет показано ниже, в представлении общего решения этого уравнения (1.1) важную

роль играет вещественный линейный интегральный оператор

∫

b₁(ζ)

(Kϕ)(z) =

ϕ(ζ) d₂ζ, z ∈ D,

|ζ|^m(ζ - z)

и связанное с ним уравнение Фредгольма ϕ + Kϕ = f.

Теорема 2. При выполнении условий (2.4) и (2.5) имеют место следующие утверждения:

(a) однородное уравнение ϕ+Kϕ = 0 в классе C(D) имеет конечное число линейно неза-

висимых (над полем R) решений ϕ₁, . . . , ϕ_n ∈ H(G), и существуют такие линейно незави-

симые суммируемые функции h₁,... ,h_n ∈ L(D), что условия ортогональности

∫

Re f(ζ)h_j(ζ)d₂ζ = 0,

1 ≤ j ≤ n,

(2.6)

необходимы и достаточны для разрешимости неоднородного уравнения ϕ + Kϕ = f;

(b) для заданного 1 < α₁ < 2, которое по отношению к α₀ = m удовлетворяет условиям

(2.4), найдутся такие функции P₁(z, ζ), P₂(z, ζ) ∈ C(D × D), что при выполнении условий

(2.6) функция

∫

[P₁(z, ζ)f(ζ) + P₂(z, ζ)f(ζ)] d₂ζ

ϕ(z) = f(z) + (P f)(z), (P f)(z) =

(2.7)

|ζ|^m|ζ - z|^α1

является одним из решений уравнения ϕ + Kϕ = f;

Обратимся к уравнению (2.3) с ядром B = |z|^-mb(z)e-2iImΩ, а также с правой частью

φ + F, где F = T(e-Ωf).

Обозначим через H(D, e^Ω) класс функций u, для которых e-Ωu ∈ H(D). Аналогичный

смысл имеет и весовой класс L^p(D, e^Ω).

Теорема 3. Пусть n > 1,

0 < m < 1, выбрано 1 < α < (3 - m)/2 и выполнены условия

теоремы 1. Пусть e-ΩF ∈ L^p(D), p > 2, так что функция F ∈ H(D). Тогда в обозначениях

теоремы 2 любое решение u уравнения (1.1) в классе u ∈ H(D,e^Ω) представимо в виде

[

]

∑

u=e^Ω

φ+Pφ+F +PF + ξ_jϕ_j

(2.8)

j=1

с произвольными ξ_j ∈ R, где интегральный оператор P определяется формулой (2.7), а

функция φ(z) ∈ H(D) аналитична в области D и удовлетворяет условиям

∫

Re (φ + F)(ζ)h_j(ζ)d₂ζ = 0,

1 ≤ j ≤ n.

(2.9)

Доказательства теорем 1-3 приведены в [8].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

ЗАДАЧИ ТИПА ГИЛЬБЕРТА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОШИ-РИМАНА

143

3. Решение задачи типа Римана-Гильберта. Мы не приводим хорошо известные ре-

зультаты (см., например, [11, 12]) относительно классической задачи Римана-Гильберта для

аналитических функций, задаваемой условием

ReGφ|_Γ = g,

где функция G ∈ C^ν(Γ) всюду отлична от нуля.

Пусть контур Γ принадлежит классу C1,ν и функция ζ = α(z) осуществляет конформ-

ное отображение области D на единичный круг |ζ| < 1. Тогда по теореме Келлога [13] эта

функция принадлежит классу C1,ν (D). Считая контур Γ ориентированным против часовой

стрелки, введём индекс Коши

κ=

arg G|_Γ.

2π

Теорема 4. Пусть выполнены условия теорем 2, 3 и F ∈ L^p(D, e^Ω), p > 2. Тогда задача

R является фредгольмовой в классе H(D, e^Ω) и её индекс равен 1 - 2κ.

Другими словами, однородная задача имеет конечное число m линейно независимых ре-

шений, неоднородная задача разрешима при выполнении m^′ условий ортогональности на пра-

вую часть f уравнения (1.1) и правой части g задачи R, причём m - m^′ = 1 - 2κ.

Доказательство. Подставляя представление (2.8) в условие (1.3), для аналитической

функции φ вместе с дополнительными условиями (2.9) получим краевую задачу

∑

Re G₀(φ + Rφ)|_Γ + ξ_jRe(G₀ϕ_j)|_Γ = g₀

(3.1)

с коэффициентом G₀ = λe^h|_Γ и правыми частями

g₀ = g - Re [G₀(F + PF)]|_Γ.

Неизвестными в этой задаче наряду с функцией φ являются и вещественные числа ξ_j.

Соотношения (3.1) запишем в следующем операторном виде:

∑

R⁰φ + P⁰φ + ξ_jϕ0j = g⁰,

∫

Re φ(ζ)h_j(ζ)d₂ζ = η_j,

1 ≤ j ≤ n,

(3.2)

где положено

R⁰φ = ReG₀φ|_Γ, P⁰φ = Re G₀(Pφ)|_Γ, ϕ0j = Re G₀ϕ_j|_Γ,

∫

g⁰ = g₀, η_j = -Re F(ζ)h_j(ζ)d₂ζ.

Обозначим через X банахово пространство функций φ, которые аналитичны в D и при-

надлежат классу C^μ(D). Через Y⁰ обозначим пространство вещественнозначных функций из

класса C^μ(Γ). Тогда при достаточно малом μ оператор R⁰ : X → Y⁰ ограничен, а с учётом

теоремы 2 оператор P⁰ : X → Y⁰ компактен. Как следует из теоремы 3, оператор R⁰ : X →

→ Y ⁰ фредгольмов и его индекс равен 1 - 2κ, поэтому на основании известных свойств

(см. [14, с. 122; 15]) фредгольмовых операторов это же верно и для оператора N = (R⁰ + P⁰).

С другой стороны, оператор системы (3.1) можно рассматривать как ограниченный оператор

N : X × Rⁿ → Y ⁰ × Rⁿ, главная часть которого совпадает с N. Поэтому (см. [14, с. 122; 15])

оператор

N также фредгольмов и его индекс in

N = indN = 1-2κ. Остаётся заметить [12,

с. 134, 334], что система (3.2) эквивалентна исходной задаче R. Теорема доказана.

Авторы выражают глубокую благодарность А.П. Солдатову за ценные советы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021

144

ФЁДОРОВ, РАСУЛОВ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Михайлов Л.Г. Новые классы особых интегральных уравнений и их применение к дифференциаль-

ным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963.

2. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Римана с сингулярной точкой. Душанбе, 1993.

3. Расулов А.Б., Солдатов А.П. Краевая задача для обобщённого уравнения Коши-Римана с сингу-

лярными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 5. С. 637-650.

4. Тунгатаров А., Абдыманапов С.А. Некоторые классы эллиптических систем на плоскости с сингу-

лярными коэффициентами. Алматы, 2005.

5. Begehr H., Dao-Qing Dai. On continuous solutions of a generalized Cauchy-Riemann system with more

than one singularity // J. Differ. Equat. 2004. V. 196. P. 67-90.

6. Meziani A. Representation of solutions of a singular CR equation in the plane // Complex Var. and

Elliptic Equat. 2008. V. 53. P. 1111-1130.

7. Гончаров А.Л., Климентов С.Б. Построение нелокальных решений обобщённых систем Коши-

Римана с сингулярной точкой // Междунар. школа-семинар по геометрии и анализу, посвящ. па-

мяти Н.В. Ефимова. Тез. докл. Абрау-Дюрсо, 1998. С. 185-187.

8. Расулов А.Б., Бободжанова М.А., Федоров Ю.С. Представление общего решения уравнения типа

Коши-Римана с сингулярной окружностью и особой точкой // Дифференц. уравнения и процессы

управления. 2016. № 3. С. 1-16.

9. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М., 1959.

10. Расулов А.Б. Интегральные представления и краевые задачи для обобщённой системы Коши-

Римана со сверхсингулярными многообразиями // Вестн. МЭИ. 2012. № 6. С. 23-30.

11. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М, 1977.

12. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1968.

13. Goluzin G.M. Geometric Theory of Functions of a Complex Variable. Providence, 1969.

14. Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. М., 1970.

15. Солдатов А.П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I // Совр.

математика. Фунд. направления. 2017. Т. 63. № 1. С. 1-189.

Национальный исследовательский университет

Поступила в редакцию 25.06.2019 г.

“Московский энергетический институт”

После доработки 12.09.2020 г.

Принята к публикации 13.10.2020 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№1

2021