ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1299-1304
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.984
О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ КЛАССИЧЕСКИХ
ОПЕРАТОРОВ ДИРАКА И ОПЕРАТОРОВ С ИНВОЛЮЦИЕЙ
В ОДНОРОДНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ
© 2021 г. А. Г. Баскаков, И. А. Криштал, Н. Б. Ускова
Приводятся теоремы о локализации спектра операторов Дирака и операторов с инволю-
цией в некотором классе пространств функций, введённом в статье, опубликованной в
[Contemp. Math. 2018. V. 706. P. 93-114].
DOI: 10.31857/S0374064121100010
Введение. В работе рассматривается дифференциальное выражение первого порядка,
определяющее дифференциальный оператор в некотором классе однородных пространств (см.
определение ниже, а также [1]). Класс задаётся таким образом, чтобы спектр оператора не за-
висел от выбора конкретного однородного пространства, причём одно из пространств в классе
является гильбертовым пространством H функций со значениями в гильбертовом пространст-
ве H. В H спектр дифференциального оператора возможно оценить. Таким образом, оценка
спектра распространяется и на другие однородные пространства. В данной работе мы аккурат-
но определяем пространства и операторы, для которых эта схема работает, а также приводим
соответствующие оценки. В качестве примера рассматривается оператор Дирака на прямой из
[2], и полученная в [2] оценка его спектра обобщается на целый класс однородных пространств,
в частности, на пространства Степанова. Другим примером является оператор с инволюцией
из [3]. Для него полученные в [3] оценки также распространяются на другие функциональные
пространства.
Введём используемые в статье функциональные пространства.
Для любого комплексного банахова пространства X через End X обозначим банахову ал-
гебру всех ограниченных линейных операторов, действующих в X . Далее комплексное гиль-
бертово пространство обозначим через H, а символом S2(H) - двусторонний идеал операто-
ров Гильберта-Шмидта из алгебры End H.
В работе систематически используются пространства Бохнера-Лебега Lp(R, X ), p ∈ [1, ∞].
Для p ∈ [1, ∞] через Lp(R, X ) обозначается банахово пространство измеримых по Бохнеру
и суммируемых на R со степенью p (существенно ограниченных при p = ∞) классов эк-
вивалентности функций со значениями в комплексном банаховом пространстве X . Нормы в
пространствах Lp(R, X ) задаются формулами
(∫
)1/p
∥x∥p =
∥x(t)∥pX dt
,
p ∈ [1,∞), и
∥x∥∞ = ess sup ∥x(t)∥X .
t∈R
R
В первой части статьи используются пространства L1 = L1(R) = L1(R, C) и L2 = L2(R) =
= L2(R,C). Пространство L1 будем рассматривать как банахову алгебру со свёрткой функций
в качестве операции умножения. Пространство H = L2(R, H) (и, в частности, пространство
L2) является гильбертовым пространством со стандартным скалярным произведением. Через
W12(R,Cd), d ∈ N, обозначаем пространство Соболева абсолютно непрерывных функций из
L2(R,Cd), производная которых также принадлежит пространству L2(R,Cd).
Пусть X - комплексное банахово пространство и L1,s = L1,s(R, End X ) - пространство,
состоящее из всех таких функций F : R → End X , для которых выполняются следующие два
свойства (см. также [1]):
а) для каждого x ∈ X функция из R в X , действующая по правилу s → F (s)x, измерима;
1299
1300
БАСКАКОВ и др.
б) существует функция f ∈ L1(R) такая, что
∥F (s)∥EndX ≤ f(s).
(1)
Для F ∈ L1,s положим ∥F ∥ = ∥F ∥1 = inf ∥f∥, где инфимум берётся по всем таким функциям
f ∈ L1(R), для которых выполнено неравенство (1).
Отметим, что введённое пространство L1,s является банаховой алгеброй со свёрткой
∫
(F1 ∗ F2)(t)x = F1(s)F2(t - s)x ds, F1, F2 ∈ L1,s, x ∈ X ,
R
в качестве операции умножения; в частности, ∥F1 ∗ F2∥1 ≤ ∥F1∥1∥F2∥1.
Мы далее также будем использовать линейное пространство L1,loc = L1,loc(R, X ) локально
суммируемых (измеримых по Бохнеру) классов эквивалентности функций со значениями в
банаховом пространстве X , в частности [1], для любых компакта K ⊂ R и функции f ∈
∈ L1,loc имеем
∫
∥f(t)∥X dt < ∞.
K
Через Sp = Sp(R, X ), p ∈ [1, +∞), обозначаем пространство Степанова [4, с. 37], состоящее
из функций f ∈ L1,loc, для которых конечна величина
(∫1
)1/p
∥f∥Sp = sup
∥f(t + s)∥pX dt
,
s∈R
0
принимаемая за норму в Sp.
Определение [1]. Банахово пространство F = F(R, X ) функций, определённых на R со
значениями в комплексном банаховом пространстве X , называется однородным, если выпол-
нены следующие пять условий:
i) пространство F непрерывно вложено в S1;
ii) представление S : R → End F, определяемое правилом
(S(s)x)(t) = x(t + s), t, s ∈ R, x ∈ F,
(2)
является изометрическим представлением группы R операторами из End F [5, 6];
iii) для x ∈ F и C ∈ End X функция y(t) = C(x(t)), t ∈ R, принадлежит пространству
F и справедливо неравенство ∥y∥ ≤ ∥C∥∥x∥;
∫
iv) для x ∈ F и F ∈ L1,s свёртка (F ∗x)(t) =R F (s)x(t-s) ds принадлежит пространству
F и имеет место неравенство ∥F ∗ x∥ ≤ ∥F∥1∥x∥;
v) если для некоторого x ∈ F равенство x ∗ f = 0 верно для всех f ∈ L1, то x = 0.
Следующие банаховы пространства являются однородными пространствами (или имеется
эквивалентная норма, в которой они однородны):
1) пространство Степанова Sp = Sp(R, X ), p ∈ [1, +∞);
2) пространство Lp = Lp(R, X ), p ∈ [1, +∞];
3) пространство Cb = Cb(R, X ) ограниченных непрерывных функций со значениями в
банаховом пространстве X и нормой ∥x∥∞ = sup ∥x(t)∥, x ∈ Cb;
t∈R
4) подпространство C0 = C0(R, X ) функций из Cb(R, X ), исчезающих на бесконечности,
т.е. lim
∥x(t)∥X = 0 для любой x ∈ C0(R, X ).
|t|→∞
Подчеркнём, что это далеко не все интересные однородные пространства функций, дру-
гие можно найти в [1, 7, 8], но они в данной работе не используются. Все результаты будем
формулировать только для указанных выше однородных пространств 1)-4), обозначая их сим-
волом F. Кроме того, предполагается, что пространство значений X функций из F является
некоторым гильбертовым пространством, т.е. X = H.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ КЛАССИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
1301
Перейдём к определению рассматриваемых дифференциальных операторов L. Пусть
d
L≡-
- B : D(L) ⊆ F → F,
dt
где область определения D(L) ⊆ F оператора L совпадает с областью определения D(A) ⊆ F
оператора A = -d/dt, и оператор B : D(B) ⊆ F → F - линейный замкнутый оператор
умножения на функцию b : R → End H, подчинённый оператору A; поэтому считаем, что
D(B) = D(A).
Напомним, что оператор B подчинён оператору A, если D(A) ⊆ D(B) и при некоторой
постоянной C > 0 справедливо неравенство ∥Bx∥ ≤ C(∥x∥+ ∥Ax∥), x ∈ D(A). Пространство
операторов, подчинённых оператору A, обозначим через LA(F).
Область определения D(A) оператора A состоит из всех таких x ∈ F, для которых
существует y ∈ F, для которой при всех s ≤ t из R имеют место равенства
∫t
x(t) = x(s) - y(τ) dτ, s ≤ t.
s
В работе [9, теорема 4] доказана следующая
Теорема 1. Спектр σ(L) оператора L не зависит от выбора пространства F.
Приведём также без доказательства ещё один результат [3, теорема 4.1], на который будем
опираться.
Теорема 2. Пусть A : D(A) ⊂ H → H - самосопряжённый оператор в комплексном
гильбертовом пространстве H и оператор B принадлежит идеалу операторов Гильберта-
Шмидта S2(H). Тогда существует такая непрерывная функция f ∈ L2(R), f : R → R+,
что для всех λ ∈ σ(A - B) имеет место неравенство |Im λ| ≤ f(Re λ).
Таким образом, существует такая непрерывная вещественная функция f ∈ L2(R), что
спектр σ(A - B) оператора A - B лежит между графиками функций f и -f.
Из теоремы 1 немедленно вытекает, что если имеет место теорема о локализации спектра
для оператора
d
L≡-
- B : D(L) ⊆ H → H и B ∈ S2(H), H = L2(R,H),
dt
то такая же теорема имеет место для оператора L, действующего в однородных пространствах
Sp(R,H), p ∈ [1,∞), Lp(R,H), p ∈ [1,∞], Cb(R,H), C0(R,H).
Если включение B ∈ S2(H), где H - гильбертово пространство, места не имеет, то можно
использовать любое преобразование подобия оператора A-B, B ∈ LA(H), в оператор A - B0,
B0 ∈ S2(H). В [2] в качестве такого преобразования подобия выступает предварительное
преобразование подобия метода подобных операторов. Приведём его краткое описание.
Для функции f ∈ L1(R) её преобразование Фурье
f : R → C определяется формулой
∫
f (λ) = f(t)e-iλt dt, t ∈ R.
R
Для построения преобразования подобия понадобятся следующие функции из L1(R)
⋂L2(R).
Для a > 0 рассмотрим трапецевидную функцию τa, заданную условиями
⎧
⎨1,
если
|ξ| ≤ a,
τa(ξ) =
a-1(2a - |ξ|),
если
a < |ξ| ≤ 2a,
⎩0,
если
|ξ| > 2a.
Непосредственный подсчёт показывает, что τa ∈ L2(R) и τa =
ϕa, где
2sin(3at/2)sin(at/2)
ϕa(t) =
πat2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
1302
БАСКАКОВ и др.
Рассмотрим также функцию ωa : R → R, заданную равенствами: ωa(ξ) = (1 - τa(ξ))/ξ, если
ξ ∈ R \ {0}, и ωa(0) = 0. Пусть функция ψa такова, что
ψa = ωa. Известно [3], что ψa ∈ L1
и ∥ψa∥1 ≤ 1.35/a.
Напомним, что H = L2(R, H). Наряду с представлением S : R → End H, определённым
формулой (2), введём в рассмотрение также представление T : R → End (LA(H)), заданное
формулой
T (t)X = S(t)XS(-t), X ∈ LA(H), t ∈ R.
Для каждой функции f ∈ L1(R) и оператора X ∈ LA(H) определим оператор T (f)X ∈ LA(H)
равенством
∫
∫
(T (f)X)x = f(t)(T (-t)X)x dt = f(t)S(-t)XS(t)x dt, x ∈ D(A).
R
R
В рассматриваемом случае B - оператор умножения на функцию b : R → End H и
∫
(T (f)Bx)(s) = f(t)b(s - t)x(s) dt = (f ∗ b)(s)x(s), s ∈ R.
R
Из [2, теорема 2] и приведённых выше теорем 1, 2 непосредственно следует
Теорема 3. Пусть A : D(A) ⊆ H → H - самосопряжённый оператор и B ∈ LA(H). Пусть
также выполнены условия:
a) T (ψa)B ∈ End H и существует такое a > 0, что ∥T (ψa)B∥EndH < 1;
b) (T (ψa)B)D(A) ⊆ D(A);
c) BT (ψa)B + T (ϕa)B ∈ S2(H);
d) для любого ε > 0 существует λε ∈ C \ R = ρ(A), при котором ∥B(A - λεI)-1∥ < ε.
Тогда оператор A - B подобен оператору A - B0, где B0 ∈ S2(H) и существует такая
непрерывная функция f : R → R+, f ∈ L2(R), что спектр σ(A - B) оператора A - B
лежит между графиками функций f и -f.
Перейдём к оператору Дирака на прямой. Пусть
(
1
0
) dx
(Lx)(t) = i
- V(t)x(t) = Ax(t) - V x(t), t ∈ R,
0
-1
dt
где
(
)
0
v1(t)
V(t) =
,
v1,v2 ∈ L2(R,EndH), D(L) = W12(R,H2) ⊆ L2(R,H2) = H.
v2(t)
0
В [2, теорема 4] для H = C доказана
Теорема 4. Существует такая непрерывная функция f ∈ L2(R), f : R → R+, что для
λ ∈ σ(L) имеет место оценка |Imλ| ≤ f(Reλ).
Непосредственная проверка показывает, что результаты теоремы 4 остаются верными и в
случае произвольного гильбертова пространства H (не только для H = C).
Из свойства 5) в [2, лемма 3] следует, что возмущение V в теореме 4 принадлежит LA(H).
Однако в общем случае V не является ограниченным оператором, и тем более оператором из
идеала S2(H). Поэтому при доказательстве теоремы 4 перед применением теоремы 2 строится
преобразование подобия оператора A - V в оператор A - V0, где V0 ∈ S2(H). По существу
доказательство теоремы 4 сводится к проверке того, что оператор L удовлетворяет условиям
теоремы 3.
Пусть теперь L = A - V : D(L) = D(A) ⊆ F → F, где F - одно из указанных однородных
пространств. Представим оператор L в виде
(
)(
(
))
(
)
1
0
d
0
-v1
1
0
L=
i
-
=
L.
0
-1
dt
v2
0
0
-1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ КЛАССИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ
1303
Для операторов L и
L имеет место локализационная теорема 4 при F = H = L2(R, H).
Поэтому из теорем 1 и 4 вытекает
Теорема 5. Существует непрерывная неотрицательная функция f ∈ L2(R), для ко-
торой спектр оператора Дирака L, действующего в любом из указанных выше однородных
пространств F, заключён между графиками функций f и -f.
Перейдём к оператору с инволюцией. Вначале приведём результат из [3, теорема 1.1].
Теорема 6. Пусть
d
LI = -i
- V : W12(R) ⊆ L2(R) → L2(R)
(3)
dt
и (V x)(t) = v(t)x(-t), t ∈ R, v ∈ L2(R). Тогда существует такая непрерывная веществен-
ная функция f ∈ L2(R), что для всех λ ∈ σ(LI ) имеет место неравенство |Im λ| ≤ f(Re λ).
Зачастую исследование спектра оператора с инволюцией сводится к исследованию спектра
оператора Дирака [10]. Именно, спектр оператора с инволюцией LI , заданного формулой (3),
совпадает со спектром оператора Дирака
(
)
(
)
1
0
d
0
v(t)
L = -i
-
,
0
-1
dt
v(-t)
0
где v ∈ L2(R, End H) и D(L) ⊆ W12(R, C2) ⊂ L2(R, C2) → L2(R, C2).
Таким образом, имеет место
Теорема 7. Существует непрерывная неотрицательная функция f ∈ L2(R) такая, что
спектр оператора LI, действующего в любом из однородных пространств F, допускает для
всех λ ∈ σ(LI ) оценку |Im λ| ≤ f(Re λ).
Отметим, что обычно рассматриваются операторы Дирака и операторы с инволюцией на
конечном отрезке [0, ω]. Интересные результаты, касающиеся спектральных свойств таких
операторов, содержатся, например, в [10-15].
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-
следований (проект 19-01-00732).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Baskakov A.G., Krishtal I.A. Spectral properties of an operator polynomial with coefficients in a Banach
algebra // Contemp. Math. 2018. V. 706. P. 93-114.
2. Баскаков А.Г., Криштал И.А., Ускова Н.Б. О спектральных свойствах оператора Дирака на прямой
// Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 2. С. 153-161.
3. Baskakov A.G., Krishtal I.A., Uskova N.B. Closed operator functional calculus in Banach modules and
applications // J. Math. Anal. Appl. 2020. V. 492. № 2. P. 124473.
4. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М.,
1978.
5. Баскаков А.Г., Криштал И.А. Гармонический анализ каузальных операторов и их спектральные
свойства // Изв. РАН. Сер. мат. 2005. Т. 69. Вып. 3. С. 3-54.
6. Баскаков А.Г. Теория представлений банаховых алгебр, абелевых групп и полугрупп в спектраль-
ном анализе линейных операторов // Совр. мат. Фунд. напр. 2004. Т. 9. С. 3-151.
7. Баскаков А.Г., Струков В.Е., Струкова И.И. Гармонический анализ периодических и почти пери-
одических на бесконечности функций из однородных пространств и гармонических распределений
// Мат. сб. 2019. Т. 210. № 10. С. 37-90.
8. Баскаков А.Г., Дикарев Е.Е. Спектральная теория функций в исследовании дифференциальных
операторов с частными производными // Уфимск. мат. журн. 2019. Т. 11. № 1. С. 3-18.
9. Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифферен-
циальных операторов // Функц. анализ и его приложения. 1996. Т. 30. Вып. 3. С. 1-11.
10. Бурлуцкая М.Ш., Хромов А.П. Метод Фурье в смешанной задаче для уравнения с частными про-
изводными первого порядка с инволюцией // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2011.
Т. 51. № 12. С. 2233-2246.
11. Джаков П., Митягин Б.С. Зоны неустойчивости одномерных периодических операторов Шредин-
гера и Дирака // Успехи мат. наук. 2006. Т. 61. Вып. 4 (370). С. 77-182.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
1304
БАСКАКОВ и др.
12. Савчук А.М. О базисности системы собственных и присоединенных функций одномерного опера-
тора Дирака // Изв. РАН. Сер. мат. 2018. Т. 82. Вып. 2. С. 113-139.
13. Савчук А.М., Садовничая И.В. Спектральный анализ одномерной системы Дирака с суммируемым
потенциалом и оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентами-распределениями // Совр. мат.
Фунд. напр. 2020. Т. 66. Вып. 3. С. 373-530.
14. Владыкина В.Е., Шкаликов А.А. Спектральные свойства обыкновенных дифференциальных опе-
раторов с инволюцией // Докл. РАН. 2019. Т. 484. № 1. С. 12-17.
15. Kopzhassarova A.A., Lukashov A.L., Sarsenbi A.M. Spectral properties of non-self-adjoint perturbations
for a spectral problem with involution // Abstr. Appl. Anal. 2012. Art. ID 590781.
Воронежский государственный университет,
Поступила в редакцию 01.02.2021 г.
Северо-Осетинский государственный университет
После доработки 10.04.2021 г.
им. К.Л. Хетагурова, г. Владикавказ,
Принята к публикации 08.09.2021 г.
Университет Северного Иллинойса,
г. Де-Калб, США,
Воронежский государственный технический университет
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
