ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1305-1317

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.911

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ

РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,

СЛАБО УПРАВЛЯЕМЫХ ГРУБЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ

С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ

ПОКАЗАТЕЛЕМ ГЁЛЬДЕРА

Разработан функциональный вариант теории грубых траекторий с произвольным показа-

телем Гёльдера. С его помощью для класса обыкновенных и класса стохастических од-

номерных дифференциальных уравнений, слабо управляемых грубыми траекториями с

произвольным показателем Гёльдера, доказана теорема существования и единственности

решения и для уравнений первого из этих классов получена формула замены переменных.

DOI: 10.31857/S0374064121100022

Введение. Дифференциальные уравнения вида dY_t = f(Y_t) dX_t, где X - некоторая α-

гёльдеровская функция, α ≤ 1/2, не могут быть исследованы с использованием интегралов

Римана-Стилтьеса. В работе Т. Лайонса [1] предложен принципиально новый подход к инте-

грированию по α-гёльдеровским функциям и разработаны его приложения к теории диффе-

ренциальных уравнений. Метод Лайонса основан на включении в интегральные суммы членов

тейлоровских разложений высших порядков, соответствующих уравнению dY_t = f(Y_t) dX_t, и

получил название теории грубых траекторий. М. Губинелли [2] разработал функциональный

вариант теории грубых траекторий, позволяющий исследовать дифференциальные уравнения,

управляемые негеометрическими грубыми траекториями. Однако теория грубых траекторий

применима лишь при α > 1/3. Ф.А. Харан [3] показал, что подход Губинелли может быть рас-

ширен и использован для интегрирования по гёльдеровским функциям с показателем α > 1/4.

Однако подход Харана реализован лишь для геометрических грубых траекторий.

Теория грубых траекторий имеет наиболее значительное применение в теории стохастиче-

ских дифференциальных уравнений и, в частности, для уравнений, управляемых дробными

броуновскими движениями [4]. Первые работы, посвящённые таким приложениям теории гру-

бых траекторий, принадлежат Л. Кутэн, Ж. Кьяну, Ф. Бадуэну [5, 6]. В дальнейшем эти

результаты уточнялись и обобщались в работах [7-11]. В статье [5] показано, что для дробных

броуновских движений с индексами Хёрста H ≤ 1/4 их кусочно-линейные аппроксимации

не являются сходящимися по вероятности. Поэтому стохастические дифференциальные урав-

нения, управляемые дробными броуновскими движениями с индексами Хёрста H ≤ 1/4, не

могут быть исследованы в рамках известной теории грубых траекторий.

Опираясь на идеи Губинелли и Харана, в настоящей статье разработана теория грубых

траекторий с произвольным показателем Гёльдера α, которая, в отличие от теории Лай-

онса, не требует сходимости кусочно-линейных аппроксимаций процесса X, что позволяет

применять построенную теорию к исследованию проблемы существования и единственности

решений одномерных стохастических дифференциальных уравнений, управляемых дробными

броуновскими движениями с произвольным показателем Хёрста H ∈ (0, 1). Недостатком тео-

рии грубых траекторий являются жёсткие условия относительно гладкости и ограниченности

функции f. Для стохастических дифференциальных уравнений, управляемых стандартными

и дробными броуновскими движениями с индексами Хёрста, большими 1/2, результаты могут

быть значительно усилены, что, в частности, показано в работах [12-20].

1305

1306

ВАСЬКОВСКИЙ

Определение грубых траекторий. Зафиксируем какие-либо T > 0 и α ∈ (0,1]. Пусть

V - конечномерное евклидово пространство. Через C^α([0,T],V ) и Cα2 ([0,T],V ) обозначим

множества функций f : [0, T ] → V и g : [0, T ]² → V соответственно таких, что величины

|f_t - f_s|

|g_s,t|

∥f∥_α := sup

∥g∥α,2 := sup

|t - s|^α

s,t∈[0,T]

s=t

конечны. Как и в [4, гл. 2], далее для функции двух переменных g_s,t будем писать ∥g∥_α вместо

∥g∥α,2. Для функции одной переменной f_t через f_s,t будем обозначать приращение f_t - f_s.

Для целого неотрицательного k и конечномерных евклидовых пространств V и W через

C^kb(V,W) обозначим множество функций h : V → W таких, что норма

∑

∥h∥_Ck :=

∥Dⁱh∥_∞

i=0

конечна, где ∥Dⁱh∥_∞ = sup |Dⁱh_t|.

t∈[0,T ]

Положим n = [1/α]. Обозначим через C^α([0, T ], V ) множество α-непрерывных по Гёль-

деру грубых траекторий, т.е. множество элементов X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) таких, что Xⁱ ∈

∈ Ciα2([0,T],V

^⊗i) для любого i = 1,n, и для любых s,u,t ∈ [0,T] выполняется тождество

Чена X_s,t = X_s,u ⊞ X_u,t, где

∑

(X_s,u ⊞ X_u,t)ⁱ =

X^js,u

^⊗X^i-ju,t.

j=0

⊕_n

Отметим, что операция ⊞ задаёт умножение на тензорной алгебре T(n)(V ) =

^⊗i, где

i=0

^⊗0 = R. Таким образом, элемент X : [0,T]² → T(n)(V ) однозначно определяется значения-

ми X0,t, t ∈ [0, T ], поскольку X_s,t = (X0,s)-1 ⊞ X0,t. Далее будем писать X_t вместо X0,t.

Грубая траектория X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) называется геометрической, если

Sym (X^is,t) =

(X1s,t)

^⊗i для всех i = 1,n,

где Sym (X^is,t) обозначает симметрическую часть тензора X^is,t. Множество геометрических

грубых траекторий обозначаем через C^αg([0, T ], V ).

Будем говорить, что элемент X ∈ C^α([0, T ], V ) является грубой траекторией над X ∈

∈ C^α([0,T],V ), если X10,t = X_t для любых t ∈ [0,T].

Определение слабо управляемых грубых траекторий. Пусть X ∈ C^α([0,T],V ),

а X = (1,X¹,...,Xⁿ) - грубая траектория над X. Пусть W - конечномерное евклидо-

во пространство. Будем говорить, что функция Y_t ∈ C^α([0, T ], W ) слабо управляется гру-

бой траекторией X ∈ C^α([0, T ], V ), если существуют функции Y⁽¹⁾ : [0, T ] → L(V, W ),

^⊗ (n-1),W)такие,что

..., Y (n-1) : [0,T] → L(V

Y_s,t = Y(1)sX1s,t + ... + Y(n-1)sXn-1s,t + R^Y,ns,t, Y(1)s,t = Y(2)sX1s,t + ... + Y(n-1)sXn-2s,t + RY,n-1s,t,

...,

Y(n-2)s,t =Y(n-1)sX1s,t +RY,2s,t, Y(n-1)s,t =RY,1s,t;

а величина ∥R^Y,i∥_iα, i = 1, n, конечна для каждого из остаточных членов R^Y,i. Функцию

Y (i) будем называть грубой производной порядка i от Y (если α ∈ (1/2,1/3], то грубая

производная Y⁽¹⁾ является производной Губинелли [4, гл. 4]).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ

1307

Так как пространство C^α([0, T ], W ) банахово, то множество

{

}

∑

DαX([0,T],W) = (Y,Y⁽¹⁾,... ,Y(n-1)) : Y ∈ C^α([0,T],W),

∥R^Y,i∥_iα < ∞

i=1

также образует банахово пространство относительно нормы

∑

∥Y∥_Dα :=

|Y(i)0| + ∥(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1))∥_Dα ,

i=0

∑_n

где Y(0)t = Y_t,

∥(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1))∥_Dα

∥R^Y,i∥iα [4, гл. 4].

i=1

Определение интеграла по грубым траекториям. Пусть V, W - некоторые конечно-

мерные евклидовы пространства, X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈ C^α([0, T ], V ), Y ∈ C^α([0, T ], L(V, W )),

(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], L(V, W )). Возьмём некоторые s, t ∈ [0, T ], s < t, через P

обозначим произвольное конечное разбиение отрезка [s, t] точками, а через |P| - наибольшую

из длин отрезков разбиения.

∫t

Потраекторным интегралом

Y_r dX_r назовём следующий предел интегральных сумм

(если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [s, t] точ-

ками):

∫

∑

Y_r dX_r := lim

Y(i)uXi+1u,v.

|P|→0

[u,v]∈P i=0

Предложение 1. Пусть V, W - конечномерные евклидовы пространства, α ∈ (0, 1], n =

= [1/α], X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈ C^α([0, T ], V ), (Y, Y ⁽¹⁾, . . . , Y (n-1)) ∈ DαX([0, T ], L(V, W )). Тогда

∫t

для любых s, t ∈ [0, T ] интеграл

Y_r dX_r корректно определён и существует постоянная

C = C(α) такая, что выполняется оценка

∫



∑



∑



r dXr -

Xi+1s,t

∥Xn+1-i∥(n+1-i)α∥R^Y,i∥_iα|t - s|(n+1)α

(1)

 Y

≤

i=0

i=1

для всех s, t ∈ [0, T ].

Доказательство. Пусть

∑

ψ_s,t =

Y(i)sXi+1s,t,

0<s<t<T,

i=0

δψ_s,u,t = ψ_s,t - ψ_s,u - ψ_u,t,

0<s<u<t<T.

Непосредственной подстановкой несложно убедиться в справедливости равенства

∑

δψ_s,u,t = -

R^Y,is,uXn-i+1u,t.

(2)

i=1

Докажем, что существует постоянная β > 1 такая, что ∥ψ∥_α,β := ∥ψ∥_α + ∥δψ∥β,3 < ∞, где

|ψ_s,t|

|δψ_s,u,t|

∥ψ∥_α = sup

∥δψ∥β,3 = sup

s<t |t - s|^α

s<u<t |t - s|^β

Имеем

(

)

∑

|Xi+1s,t|

∑

∥ψ∥_α ≤ sup|Yis| sup

= sup

|Yi0| +

|Y(j)0Xj-i0,s + RY,n-i0,s|

∥Xi+1∥_α ≤

s<t

|t - s|^α

i=0

j=i+1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1308

ВАСЬКОВСКИЙ

≤ cT,α,X(1 + ∥Y∥_Dα ) < ∞,

здесь cT,α,X - постоянная, зависящая от T, α, max

∥Xi+1∥_α.

i=0,n-1

Покажем теперь, что ∥δψ∥β,3 < ∞ при β = (n + 1)α. Вследствие равенства (2) имеем

∑_n

∑

|Xn-i+1u,t|

|δψ_s,u,t|

i=1

,uX^u

,u|

∥δψ∥β,3 = sup

= sup

≤ sup

(3)

s<u<t |t - s|(n+1)α

s<u<t

|t - s|(n+1)α

s<u<t |t - s|^iα |t - s|(n+1-i)α

i=1

Существуют постоянные c = cT,α,X, l = lT,α,∥Y∥Dα такие, что для любых i = 1, n и всех

s,u,t, 0 < s < u < t < T, выполняются неравенства

|R^Y,is,u| ≤ l|s - u|^iα,

|Xn-i+1u,t| ≤ c|t - u|(n-i+1)α.

(4)

Учитывая неравенства (4) в (3), получаем, что ∥δψ∥β,3 < ∞.

∫t

Таким образом, согласно лемме 4.2 [4], интеграл

Y_r dX_r корректно определён.

Перейдём к доказательству оценки (1). Из доказательства леммы 4.2 [4] следует, что суще-

ствует постоянная C = C(β) такая, что выполняется неравенство

∫



∑



r dXr -

Xi+1s,t

C∥δψ∥β,3|t - s|^β для всех s, t,

0<s<t<T.

(5)

 Y

≤

i=0

Используя равенство (2), получаем

∑_n

,uX^u

∑

,uX^u

i=1

∥δψ∥β,3 = sup

≤

sup

≤

s<u<t

|t - s|^β

s<u<t

|t - s|^β

i=1

∑

|Xn-i+1u,t|

∑

,u|

≤ sup

≤

∥R^Y,i∥_iα∥Xn+1-i∥(n+1-i)α.

(6)

s<u<t

|u - s|^iα |t - u|(n-i+1)α

i=1

Таким образом, из соотношений (5) и (6) вытекает оценка (1). Предложение доказано.

Следствие. Пусть X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈ C^αg([0, T ], R) - геометрическая грубая траекто-

рия над X ∈ C^α([0,T],R), α ∈ (0,1], n = [1/α]. Если F ∈ C^nb(R,W), где W - конечномер-

ное евклидово пространство, то (F(X),DF(X),... ,Dn-1F(X)) ∈ DαX([0,T],W) и для любых

∫t

s,t ∈ [0,T] корректно определён интеграл

F (X_r) dX_r.

Доказательство. Пусть Y(i)t = DⁱF (X_t), i = 0, n - 1. По формуле Тейлора с остаточным

членом в форме Лагранжа имеем

F (X_t) = F (X_s) + DF (X_s)X1s,t + . . . + Dn-1F (X_s)Xn-1s,t + DⁿF (X_s + θX_s,t)X^ns,t, θ ∈ (0, 1).

Отсюда следует, что R^Y,ns,t = DⁿF (X_s +θX_s,t)X^ns,t. Так как DⁿF (X) ∈ C_b(R, W ), ∥Xⁿ∥_nα < ∞,

то ∥R^Y,n∥_nα < ∞.

Аналогичными рассуждениями, раскладывая DⁱF (X_t) по формуле Тейлора, доказываем,

что ∥R^Y,i∥_iα < ∞ для любого i < n.

Таким образом, (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], W ) и, согласно предложению 1, интеграл

∫t

F (X_r ) dX_r корректно определён.

Композиция слабо управляемых грубых траекторий с гладкими функциями.

Пусть α ∈ (1/(n + 1), 1/n], X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈ C^αg([0, T ], R) - геометрическая грубая траек-

тория над X ∈ C^α([0, T ], R). Пусть Y ∈ C^α([0, T ], R), (Y, Y⁽¹⁾, Y⁽²⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], R);

f ∈ Cnb (R,R).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ

1309

Определим Z_t = f(Y_t). По аналогии с формулой Фаа-Ди-Бруно [21, с. 137] положим

∑

Z(k) =

D^jf(Y )B_k,j(Y⁽¹⁾,... ,Y(k-j+1)), k = 1,n - 1,

(7)

j=1

где B_k,j(x₁, . . . , xk-j+1) - многочлены Белла [21, с. 133].

Предложение 2. Пусть α ∈ (1/(n + 1), 1/n], X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈ C^αg([0, T ], R) - гео-

метрическая грубая траектория над X ∈ C^α([0,T],R), f ∈ C^nb(R,R). Если

(Y, Y⁽¹⁾, Y⁽²⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], R),

то (Z,Z⁽¹⁾,Z⁽²⁾,... ,Z(n-1)) ∈ DαX([0,T],R), где Z = f(Y ), а грубые производные Z(k) опре-

деляются по формулам (7). Кроме того, для любого M > 0 существует такое C_M > 0,

что для любого (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], R), для которого ∥(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1))∥_Dα +

∑n-1

|Y(i)0| ≤ M, выполняется оценка

i=0

∥(Z, Z⁽¹⁾, Z⁽²⁾, . . . , Z(n-1))∥_Dα

≤C_M.

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда X_t = t, а Y - произвольная функ-

ция из C^nb([0, T ], R). В данном случае грубые производные Y(i)t совпадают с обычными про-

изводными DⁱY_t.

Возьмём произвольное i ∈ {1, . . . , n}. С одной стороны, справедливость равенства

Z(i)t = Z(i)s + Z(i+1)sX1s,t + ... + Z(n-1)sXn-i-1s,t + R^Z,n-is,t,

(8)

где RZ,n-is,t = O(|t - s|n-i), вытекает из формулы Тейлора с остаточным членом в форме

Лагранжа.

С другой стороны, согласно формуле (7), справедливо равенство

∑

Z(i)t =

D^jf(Y_t)B_i,j(Y(1)t,... ,Y(i-j+1)t).

(9)

j=1

В силу формулы Тейлора получаем

∑

D^jf(Y_t) =

D^kf(Y_s)Yk-j+1s,t + O(Y^n-js,t) =

k=j

(

∑

(n-1∑

)k-j+1⁾

D^kf(Y_s)

Y(l)sX^ls,t + R^Y,n

+ O(Y ^n-js,t).

(10)

s,t

k=j

l=1

По определению грубых производных имеем

B_i,j(Y(1)t,... ,Y(i-j+1)t) = B_i,j(Y(1)s + Y(2)sX1s,t + ... + Y(n-1)sXn-2s,t + RY,n-1s,t, ... ,

Y (i-j+1)s + Y (i-j+2)sX1s,t + . . . + Y (n-1)sXn-i+j-2s,t + RY,n-i+j-1s,t).

(11)

Подставляя (10) и (11) в (9) и приводя подобные, приходим к соотношению

∑

Z(i)t =

X^r

s,t

D^jf(Y_s)P_r,j(Y(1)s,... ,Y(n-1)s) + O(|t - s|^n-i),

(12)

r=0

j=1

где P_r,j (x₁, . . . , xn-1) - некоторые многочлены, не зависящие от X, Y, f.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1310

ВАСЬКОВСКИЙ

Принимая во внимание равенства (7), будем иметь

∑

Z(i)s + Z(i+1)sX1s,t + ... + Z(n-1)sXn-i-1s,t =

X^r

D^jf(Y_s)Br+i,j(Y(1)s,... ,Y(r+i-j+1)s).

(13)

s,t

r=0

j=1

Теперь из формулы Фаа-Ди-Бруно [21, с. 137], соотношений (8), (12), (13), выполненных

для произвольных функций Y ∈ C^nb([0, T ], R), f ∈ C^nb(R, R) и X_t = t, вытекает, что

P_r,j(x₁,... ,xn-1) = Br+i,j(x₁,... ,xr+i-j+1)

(14)

для всех j ≤ r + i, и P_r,j(x₁, . . . , xn-1) ≡ 0 при j > r + i.

Пусть X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈ C^αg([0, T ], R), Y = (Y, Y⁽¹⁾, Y⁽²⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], R).

В силу соотношений (7) справедливо равенство (13), а также равенство (12) с теми же мно-

гочленами P_r,j(x₁, . . . , xn-1). Теперь из равенств (14) следуют соотношения (8). При этом

постоянные, входящие в оценку для O большого в соотношениях (10), (12), могут быть выбра-

ны одними и теми же для всех Y ∈ DαX([0, T ], R) из шара радиуса M (следовательно, таким

же свойством обладает и постоянная, входящая в оценку для O большого в соотношении (8)).

Таким образом, (Z, Z⁽¹⁾, Z⁽²⁾, . . . , Z(n-1)) ∈ DαX([0, T ], R) и ∥(Z, Z(1), Z(2), . . . , Z(n-1))∥Dα

= O(M). Предложение доказано.

В дальнейшем нам понадобится многомерный аналог формул Фаа-Ди-Бруно для грубых

производных.

Пусть X ∈ C^αg([0, T ], R), Y = (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)),

Y(1),...

Y (n-1)) ∈ DαX([0,T],R),

g∈C^nb(R²,R), Z_t =g(Y_t

Y_t). Положим

∑∑

Z(k)t =

D^j

g(Y_t

Y_t)Q_j,l(Y(1)t,... ,Y(k)t

Y(1)t,...

Y (k)t), k = 1,n - 1,

(15)

x^ly^j-l

j=1 l=0

где Q_j,l(x₁, . . . , x_k, y₁, . . . , y_k) =

^∑k!∏ki=1((i!)^mi qi1!qi2!)-1xqi1iyii2, а суммирование осуществля-

ется по всем целым неотрицательным числам m_i, qi1, qi2 (i ∈ {1, . . . , k}) таким, что m₁ +

+ 2m₂ + . . . + km_k = k, q₁₁ + . . . + qk1 = l, q₁₂ + . . . + qk2 = j - l, qi1 + qi2 = m_i, i ∈ {1, . . . , k}.

Предложение 3. Пусть α ∈ (1/(n + 1), 1/n], X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈ C^αg([0, T ], R) - гео-

метрическая грубая траектория над X ∈ C^α([0,T],R), g ∈ C^nb(R²,R). Если

(Y, Y⁽¹⁾, Y⁽²⁾, . . . , Y(n-1)),

Y(1),...

Y (n-1)) ∈ DαX([0,T],R),

то (Z,Z⁽¹⁾,Z⁽²⁾,... ,Z(n-1)) ∈ DαX([0,T],R), где Z

= g(Y

Y ), а грубые производные Z(k)

определяются по формулам (15). Для любого M > 0 существует такое C_M > 0, что для

любых (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)),

Y(1),...

Y (n-1)) ∈ DαX([0,T],R), для которых

∑

∥(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1))∥_Dα +

|Y(i)0| ≤ M,

∥

Y(1),...

Y (n-1))∥_Dα +

Y(i)0| ≤ M,

i=0

выполняется оценка ∥(Z, Z⁽¹⁾, Z⁽²⁾, . . . , Z(n-1))∥_Dα

≤C_M.

Доказательство предложения 3 проводится по той же схеме, что и предложения 2, при

этом необходимо воспользоваться формулой Тейлора для функции двух переменных и дву-

мерным аналогом формулы Фаа-Ди-Бруно из [22].

В завершение настоящего пункта докажем, что произведение управляемых грубых траек-

торий является управляемой грубой траекторией.

Пусть

X ∈ Cαg ([0,T],R), G = (G,G⁽¹⁾,...,G(n-1)),

H = (H,H⁽¹⁾,...,H(n-1)) ∈ DαX([0,T],R), Z_t = G_tH_t.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ

1311

Положим

∑

Z(k)t =

C^jkG(j)tH(k-j)t, k = 1,n - 1.

(16)

j=0

Предложение 4. Пусть α ∈ (1/(n + 1), 1/n], X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈ C^αg([0, T ], R) - гео-

метрическая грубая траектория над X ∈ C^α([0,T],R), g ∈ C^nb(R²,R). Если

G = (G,G⁽¹⁾,...,G(n-1)), H = (H,H⁽¹⁾,...,H(n-1)) ∈ DαX([0,T],R),

то (Z,Z⁽¹⁾,Z⁽²⁾,... ,Z(n-1)) ∈ DαX([0,T],R), где Z = GH, а грубые производные Z(k) опреде-

ляются по формулам (16). Кроме того, выполняется оценка

∥(Z, Z⁽¹⁾, Z⁽²⁾, . . . , Z(n-1))∥_Dα ≤

(

)(

)

∑

≤ C ∥(G,G⁽¹⁾,... ,G(n-1))∥_Dα +

|G(i)0|

∥(H, H⁽¹⁾, . . . , H(n-1))∥_Dα +

|H(i)0|

i=0

где постоянная C не зависит от G и H.

Доказательство. Возьмём произвольное i ∈ {1, . . . , n} и рассмотрим остаточный член

R^Z,is,t = Z(n-i)s,t - Z(n-i+1)sX1s,t - ... - Z(n-1)sXi-1s,t.

Нетрудно убедиться, что для любых функций f, g : [0, T ] → R справедливо тождество

(fg)_s,t = f_sg_s,t + g_sf_s,t + f_s,tg_s,t. Поэтому

∑

R^Z,is,t =

C^jn-i(G(j)sH(n-i-j)s,t +G(j)s,tH(n-i-j)s +G(j)s,tH(n-i-j)s,t)-

X^l

s,t

Cjn-i+lG(j)sH(n-i+l-j)s =

j=0

l=1

j=0

)

∑

(i+j-1∑

∑

(n-j-1∑

= C^jn-iG(j)

H(n-i-j+r)sX^rs,t+RH,i+j

+ C^jn-iH(n-i-j)

G(j+r)sX^rs,t +R^G,n-j

s,t

j=0

r=1

j=0

r=1

)

∑

(n-j-1∑

)(i+j-1∑

+ C^j

G(j+r)sX^rs,t + R^G,n-j

H(n-i-j+r)sX^rs,t + RH,i+j

n-i

s,t

j=0

r=1

∑

- X^l

Cjn-i+lG(j)sH(n-i+l-j)s.

s,t

l=1

j=0

Приводя подобные и группируя члены, получаем

∑

R^Z,is,t =

X^j

s,t

H(r)sP_j,r(G(1)s,... ,G(n-1)s,R^G,is,t,... ,R^G,ns,t) +

j=0

r=0

∑

+ X^j

R^H,rs,tQ_j,r(G(1)s,... ,G(n-1)s,R^G,is,t,... ,R^G,ns,t),

(17)

s,t

j=0

r=i

где P_j,r(x₁, . . . , xn-1, y_i, . . . , y_n), Q_j,r(x₁, . . . , xn-1, y_i, . . . , y_n) - некоторые линейные многочле-

ны с нулевыми свободными членами, коэффициенты которых не зависят от G, H, X.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1312

ВАСЬКОВСКИЙ

Полагая X_t = t, G, H ∈ Cⁿ([0, T ], R) и раскладывая Z(n-i)t по формуле Тейлора в точке s,

заключаем, что P_j,r(x₁, . . . , xn-1, y_i, . . . , y_n) не зависят от x₁, . . . , xn-1 при j < i. Следова-

тельно, из соотношения (17) вытекает существование постоянной C_i = C_i(G, X) такой, что

(

)(

)

∑

∥R^Z,i∥_iα ≤ C_i

∥(G, G⁽¹⁾, . . . , G(n-1))∥_Dα +

|G(i)0|

∥(H, H⁽¹⁾, . . . , H(n-1))∥_Dα +

|H(i)0|

i=0

Предложение доказано.

Дифференциальные уравнения, управляемые грубыми траекториями. Пусть β ∈

∈ (1/(n + 1), 1/n], X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈

g ([0, T ], R) - геометрическая грубая траектория над

X ∈ C^β([0,T],R); f ∈ Cn+1b(R,R). Выберем произвольно и зафиксируем α ∈ (0,β).

Рассмотрим дифференциальное уравнение

dY_t = f(Y_t)dX_t, t ∈ [0,T].

(18)

Определение 1. Решением уравнения (18) с начальным условием Y₀ = x ∈ R будем назы-

вать элемент (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], R) такой, что для любого t ∈ [0, T ] выполнено

равенство

∫t

Y_t = x + f(Y_s)dX_s,

(19)

где интеграл в правой части соотношения (19) понимается как грубый потраекторный ин-

теграл, а соответствующие ему грубые производные от Z = f(Y ) определяются по форму-

лам (7), а Y⁽¹⁾⁰ = f(Y₀), Y⁽²⁾⁰ = Df(Y₀)f(Y₀), Y⁽³⁾⁰ = D²f(Y₀)f²(Y₀) + (Df(Y₀))²f(Y₀) и т.д.

Определение 2. Пусть x ∈ R. Будем говорить, что уравнение (18) с начальным условием

Y₀ = x

(20)

имеет единственное решение, если для любых решений Y,

Y∈ DαX([0,T],R) уравнения (18)

таких, что Y₀

Y₀ = x, следует, что Y_t =Yt для любых t ∈ [0,T].

Теорема 1. Пусть α, β ∈ (1/(n + 1), 1/n], α < β, X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈

g ([0, T ], R).

Если f ∈ Cn+1b(R, R), то для любого x ∈ R уравнение (18) с начальным условием (20) имеет

единственное решение.

Доказательство. Не нарушая общности, можем предполагать, что [0, T ] = [0, 1]. Дока-

жем, что существует T₀ > 0 такое, что уравнение (18) с начальным условием (20) имеет

единственное решение в единичном шаре

BT0 = {Y = (Y,Y⁽¹⁾,... ,Y(n-1)) ∈ DαX([0,T₀],R) : Y₀ = (x,f(x),Df(x)f(x),...),

∥Y∥_Dα ≤ 1}.

Определим аналог отображения Ито-Лайонса MT0 : DαX([0, T₀], R) → DαX([0, T₀], R), задав

его равенством

(

∫

)

MT0(Y,Y⁽¹⁾,... ,Y(n-1)) = x + Z_s dX_s,Z,Z(1),... ,Z(n-2)

где грубые производные Z(i) определяются по формулам (7).

Воспользовавшись предложениями 1 и 2, получаем

(n-2)



|Z_s

∑



∑



(n-k)

∥MT0(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1))∥_Dα = sup

sup|t - s|-(k-1)α

- Z(n-k+i)sX^is,t

^Z

s,t

⁺

^X s=t

|t - s|^α

s=t

k=3

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ

1313

 ∫



[

]



∑



∑

+ sup|t - s|^-nα

Z_r dX_r - Z(i)sXi+1s,t



Z(n-k)s,t =

Z(n-k+i)sX^is,t + R^Z,k

≤

⁼

s,t

s=t

i=0

i=1

∑

X^ks,t + RZ,k+1s,t|

≤ sup

s=t

|t - s|^kα

k=1



∑



+ sup|t - s|^-nα

∥Xn+1-i∥(n+1-i)α∥R^Z,i∥_iα|t - s|(n+1)α + Z(n-1)sX^ns,t

CTβ-α0 < 1,

≤

s=t

i=1

где постоянная C может быть выбрана не зависящей от Y ∈ BT0 . Таким образом, существует

T₀ > 0 такое, что MT0 (BT0 ) ⊂ BT0 .

Докажем, что отображение MT0 является сжимающим в шаре BT0 .

Пусть Y = (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)),

Y(1),...

Y (n-1)) ∈ BT0. Применяя композицию с

функцией f, определим соответствующие элементы (Z, Z⁽¹⁾, . . . , Z(n-1)),

Z⁽¹⁾,...

Z(n-1))∈

∈ DαX([0,T₀],R) согласно формулам (7).

Положим

(Δ, Δ⁽¹⁾, . . . , Δ(n-1)) = (Z

Z,Z⁽¹⁾

Z⁽¹⁾,... ,Z(n-1)

Z(n-1)).

Аналогично, воспользовавшись предложением 1, получаем

∥MT0(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) - MT0

Y(1),...

Y (n-1))∥_Dα ≤

(21)

≤ C(|Δ⁽¹⁾⁰|+... +|Δ(n-1)0|+ ∥(Δ,Δ⁽¹⁾,... ,Δ(n-1))∥_Dα

)Tβ-α0 = C∥(Δ, Δ⁽¹⁾, . . . , Δ(n-1))∥_DαTβ-α0.

ПоложимΔs = G_sH_s, где

∫¹

Gs = g(Ys

Y_s), H_s = Y_s

Y_s, g(x,y) = Df(xt + (1 - t)y)dt,

и определим грубые производные G(i) согласно формулам (15), грубые производные H(i)

согласно формулам (7) и грубые производные

Δ(i) согласно формулам (16).

Как показано в [4, с. 115], имеет место равенство Δ_t =Δt для любых t ∈ [0, T₀]. Если

X_t = t, Y

Y ∈ Cⁿ([0,T₀],R), то Δ(i) =Δ(i) в силу единственности производной. Так как

коэффициенты многочленов, входящих в формулы (7), (15), (16), не зависят от Y,

^Y, X, то

равенство Δ(i) =Δ(i) для всех i ∈ {1, . . . , n - 1} сохраняется для произвольных Y,

Y∈ BT0 ,

X∈

g ([0, T0], R).

Используя предложения 3 и 4, приходим к оценке

)

(n-1∑

∥(Δ, Δ⁽¹⁾, . . . , Δ(n-1))∥_Dα ≤ C

G(i)0+∥(G, G⁽¹⁾, . . . , G(n-1))∥_Dα

∥(H, H⁽¹⁾, . . . , H(n-1))∥_Dα ≤

i=0

≤C∥(Y

Y,Y⁽¹⁾

Y(1),... ,Y(n-1)

Y (n-1))∥_Dα ,

(22)

где постоянная C может быть выбрана не зависящей от Y,

Y∈ MT0(BT0 ).

Таким образом, из соотношений (21) и (22) вытекает, что, уменьшив при необходимости

значение T₀, можно добиться того, чтобы отображение MT0 являлось сжимающим в ша-

ре BT0 .

Так как значение T₀ может быть выбрано независимо от заданного начального усло-

вия (20), то существует единственное решение уравнения (18) с начальным условием (20) на

всём отрезке [0, 1]. Теорема доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1314

ВАСЬКОВСКИЙ

Докажем формулу замены переменных в дифференциальном уравнении (18).

Теорема 2. Пусть α, β ∈ (1/(n + 1), 1/n], α < β, X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈

g ([0, T ], R),

f ∈ Cn+1b(R,R), x ∈ R, Y = (Y,Y⁽¹⁾,...,Y(n-1)) ∈ DαX([0,T],R) - единственное решение

уравнения (18) с начальным условием (20). Тогда для любого g ∈ Cn+1b(R, R) имеет место

равенство

∫t

g(Y_t) - g(Y_s) = Dg(Y_τ )f(Y_τ ) dX_τ , s, t ∈ [0, T ],

(23)

где грубые производные от Dg(Y )f(Y ) определяются по формулам (7).

Доказательство. Пусть s < t, возьмём произвольное конечное разбиение P = {s = t₀ <

< t₁ < ... < t_N = t} отрезка [s,t]. Разложим g(Y_t) по формуле Тейлора с остаточным членом

в форме Лагранжа:

)

∑

^∑1

g(Y_t) - g(Y_s) =

D^jg(Yti )Y^jt

Dn+1g(Yti + θ_iYti,ti+1 )Yti,t 1

(24)

i,ti+1

i+1

(n + 1)!

i=0

j=1

где θ_i ∈ (0, 1).

Нетрудно видеть, что справедливо неравенство



∑



∑



Dn+1g(Yti + θ_iYti,ti+1 )

C∥Y ∥n+1

|ti+1 - t_i|(n+1)α = O(|P|(n+1)α-1).

(25)



ti,ti+1

≤

i=0

Используя предложение 1, получаем соотношение

∫

∑

Yti,ti+1 =

f (Y_τ ) dX_r =

Z(k)tXk+1t

+ O(|ti+1 - t_i|(n+1)α),

(26)

i,ti+1

k=0

где Z(k) - грубые производные от Z = f(Y ), вычисленные по формулам (7).

Таким образом, из соотношений (24)-(26) следует, что

∑

(n-1∑

g(Y_t) - g(Y_s) =

D^jg(Yti )

Z(k)tXk+1

+ o(1) при

|P| → 0.

(27)

ti,t

i+1

i=0 j=1

k=0

Приводя подобные и группируя слагаемые в соотношении (27), получаем

∑

g(Y_t) - g(Y_s) =

X^k

D^jg(Yti )P_k,j(Zti ,Z(1)t

,...,Z(n-1)) + o(1) =_t

ti,ti+1

i=0 k=1

j=1

∑

∑∑

X^k

D^jg(Yti )D^lf(Yti )Q_k,j,l(Yti ,Y(1)t

,...,Y (n-1)) + o(1) при

|P| → 0,

ti,ti+1

i=0 k=1

j=1 l=0

где P_k,j(x₀, . . . , xn-1), Q_k,j,l(x₀, . . . , xn-1) - некоторые многочлены, коэффициенты которых

не зависят от f, g, Y, X.

Пусть h(Y ) = Dg(Y )f(Y ), обозначим H_t = h(Y_t). Пусть H(j), j ∈ {1, . . . , n - 1}, - грубые

производные от H, определённые по формулам (7). Если X_t = t, Y ∈ Cⁿ([0, T ], R), то

∑

g(Y_t) - g(Y_s) =

X^kt

H(k-1) + o(1) =_t

i,ti+1

i=0 k=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ

1315

(

)

∑

X1t

h(Yti ) +

X^k

D^jh(Yti )Bk-1,j(Y(1)t

,...,Y(k-j))

+ o(1) =

i,ti+1

ti,ti+1

i=0

k=2

j=1

∑

∑∑

X^k

D^jg(Yti )D^lf(Yti )Qk,j,l(Yti ,Y(1)t

,...,Y(n-1))+o(1) при

|P| → 0, (28)

ti,ti+1

i=0 k=1

j=1 l=0

где

^Q(x₀, . . . , xn-1) - некоторые многочлены, коэффициенты которых не зависят от f, g, Y,

X. В силу единственности производных от Y ∈ Cⁿ([0, T ], R) заключаем, что Q_k,j,l =Qk,j,l

для любых k, j, l. Так как многочлены Q_k,j,l не зависят от Y, X, то соотношения (28)

сохраняются для произвольных Y ∈ DαX([0, T ], R), X ∈

g ([0, T ], R).

Переходя к пределу при |P| → 0 в соотношении

∑

g(Y_t) - g(Y_s) =

X^kt

H(k-1) + o(1),_t

i,ti+1

i=0 k=1

получаем требуемое равенство (23). Теорема доказана.

Наряду с уравнением (18) рассмотрим отвечающее ему ОДУ

dZ_t = f(Z_t) dt, t ∈ R.

(29)

Пусть S_t, t ∈ R, - поток, соответствующий уравнению (29), т.е. Z_t = S_tZ₀.

Теорема 3. Пусть α, β ∈ (1/(n + 1), 1/n], α < β, X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈

g ([0, T ], R).

Если f ∈ Cn+1b(R, R), то для любого x ∈ R единственное решение Y = (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1))

уравнения (18) с начальным условием (20) может быть найдено по формулам

= Di-1ff(Y_t), i ∈ {1,... ,n - 1}, t ∈ [0,T],

(30)

Y_t = SXt-X₀ x,

где (D_f h)(z) = f(z)Dh(z).

Доказательство. Рассмотрим уравнение

dU_t = dX_t, t ∈ [0, T ],

(31)

с начальным условием U₀ = X₀, U⁽¹⁾⁰ = 1, U⁽²⁾⁰ = . . . = U(n-1)0 = 0. Очевидно, что единствен-

ным решением уравнения (31) является элемент U_t = (X_t, 1, 0, . . . , 0).

Применяя теорему 2 к g(U_t), где g(y) = S_y(SX0 )-1x, U_t = X_t, получаем

∫t

g(U_t) - g(U_s) = f(g(U_τ )) dX_τ .

Таким образом, элемент Y = (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) является единственным решением урав-

нения (18) с начальным условием (20), где Y_t = g(X_t), Y(1)t = f(Y_t), Y(2)t = Df(Y_t)f(Y_t),

Y (3)t = D²f(Y_t)(f(Y_t))² + (Df(Y_t))²f(Y_t) и так далее. Теорема доказана.

Замечание 1. Утверждение теоремы 3 выполняется для произвольной функции f ∈

∈ Cn+1(R,R): решение Y уравнения (18) с начальным условием (20) существует, единственно

и находится по формулам (30) на некотором достаточно малом отрезке [0, a] ⊂ [0, T ], a > 0.

Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые грубыми траекто-

риями с произвольным показателем Гёльдера. Пусть на полном вероятностном прост-

ранстве (Ω, F, P ) с потоком σ-алгебр (F_t)t∈[0,T] задан F_t-согласованный случайный про-

цесс X_t, t ∈ [0, T ], такой, что почти все траектории процесса X_t принадлежат пространству

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

2^∗

1316

ВАСЬКОВСКИЙ

C^β([0,T],R), β ∈ (1/(n + 1), 1/n]. Определим процесс X· = (1, X10,·, . . . , Xn0,·) как случай-

ную величину, принимающую значения в

g ([0, T ], R) п.н., где X^s,t = (Xs,t)ⁱ/(i!). Выберем и

зафиксируем произвольное α ∈ (0, β).

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

dY_t = f(Y_t)dX_t, t ∈ [0,T].

(32)

Определение 3. Пусть ξ : Ω → R - F₀-измеримая случайная величина. Решением урав-

нения (32) с начальным условием Y₀ = ξ будем называть F-измеримую случайную величину

Y = (Y,Y ⁽¹⁾,...,Y (n-1)) со значениями в DαX([0,T],R) п.н. такую, что для почти всех ω ∈ Ω

элемент Y(ω) является решением детерминированного уравнения dY_t(ω) = f(Y_t(ω)) dX_t(ω)

в смысле определения 1. Решение уравнения (32) с начальным условием Y₀ = ξ назовём един-

ственным, если для любых двух решений Y,

Y уравнения (32) с начальным условием Y₀ = ξ

выполняется равенство P (Y =Y) = 1.

Теорема 4. Пусть α, β ∈ (1/(n + 1), 1/n], α < β, X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈

g ([0, T ], R)

п.н. Если f ∈ Cn+1b(R,R), то для любой F0-измеримой случайной величины ξ : Ω → R

существует единственное решение Y = (Y,Y⁽¹⁾,... ,Y(n-1)) уравнения (32) с начальным

условием Y₀ = ξ, и п.н. выполняются равенства

Y_t = SX0,tξ, Y(i)t = Di-1ff(Y_t), i ∈ {1,... ,n - 1}, t ∈ [0,T],

(33)

где S_t, t ∈ R, - поток, соответствующий уравнению (29).

Доказательство. Пусть Ω₀ = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈

g ([0, T ], R)}. Возьмём произвольное

ω ∈ Ω₀. Из теоремы 1 вытекает, что существует единственный элемент Y(ω) ∈ DαX([0,T],R),

который является решением детерминированного уравнения dY_t = f(Y_t) dX_t(ω), t ∈ [0, T ],

с начальным условием Y₀ = ξ(ω). Согласно теореме 3 выполняются равенства

(ω) = Di-1ff(Y_t(ω)), i ∈ {1, . . . , n - 1}, t ∈ [0, T ].

(34)

Y_t(ω) = SX0,t(ω)ξ(ω),

Для каждого ω ∈ Ω \Ω₀ положим Y(ω) = 0. Из соотношений (34) вытекает, что Y_t является

F_t-согласованным случайным процессом. Так как P(Ω₀) = 1, то процесс Y является реше-

нием уравнения (32) с начальным условием Y₀ = ξ. В силу теоремы 1 построенное решение

является единственным. Справедливость соотношений (33) вытекает из равенств (34). Теорема

доказана.

Замечание 2. В частности, теорема 3 остаётся в силе, если выбрать X_t = B^Ht , где B^Ht -

дробное броуновское движение с показателем Хёрста H ∈ (β, 1).

Замечание 3. Дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению (18), рассматрива-

лось в работах [23-25], в которых под его решением понимался предел последовательности

решений уравнений со сглаженным возмущением X_t.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lyons T. Differential equations driven by rough signals // Rev. Mat. Iberoamericana. 1998. V. 14. № 2.

P. 215-310.

2. Gubinelli M. Controlling rough paths // J. of Funct. Anal. 2004. V. 216. № 1. P. 86-140.

3. Harang F.A. On the theory of rough paths, fractional and multifractional Brownian motion with

applications to finance: dissertation . . . master of mathematics. Oslo, 2015.

4. Friz P., Hairer M. A Course on Rough Paths with an Introduction to Regularity Structures. Cham, 2014.

5. Coutin L., Qian Z. Stochastic analysis, rough path analysis and fractional Brownian motions // Probab.

Theory Related Fields. 2002. V. 122. № 1. P. 108-140.

6. Baudoin F., Coutin L. Operators associated with a stochastic differential equation driven by fractional

Brownian motions // Stoch. Proc. and their Appl. 2007. V. 117. P. 550-574.

7. Neuenkirch A., Nourdin I., Robler A., Tindel S. Trees and asymptotic expansions for fractional stochastic

differential equations // Ann. de Inst. Henri Poincare (B) Probab. and Stat. 2009. V. 45. № 1. P. 157-174.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЙ

1317

8. Васьковский М.М., Качан И.В. Асимптотические разложения решений стохастических дифферен-

циальных уравнений с дробными броуновскими движениями // Докл. НАН Беларуси. 2018. T. 62.

№ 4. С. 398-405.

9. Vaskouski M., Kachan I. Asymptotic expansions of solutions of stochastic differential equations driven

by multivariate fractional Brownian motions having Hurst indices greater than 1/3 // Stoch. Anal. and

Appl. 2018. V. 36. № 6. P. 909-931.

10. Васьковский М.М. Стохастические дифференциальные уравнения смешанного типа со стандарт-

ными и дробными броуновскими движениями с индексами Хёрста, большими 1/3 // Весцi НАН

Беларусi. Сер. фiз.-мат. навук. 2020. T. 56. № 1. С. 36-50.

11. Леваков А.А., Васьковский М.М. Стохастические дифференциальные уравнения и включения.

Минск, 2019.

12. Guerra J., Nualart D. Stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion and standard

Brownian motion // Stoch. Anal. and Appl. 2008. V. 26. № 5. P. 1053-1075.

13. Mishura Y.S., Shevchenko G.M. Existence and uniqueness of the solution of stochastic differential

equation involving Wiener process and fractional Brownian motion with Hurst index H > 1/2 // Comm.

in Stat. Theory and Methods. 2011. V. 40. № 19-20. P. 3492-3508.

14. Леваков А.А., Васьковский М.М. Существование слабых решений стохастических дифференциаль-

ных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями и с разрывными коэффици-

ентами // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 2. С. 187-200.

15. Леваков А.А., Васьковский М.М. Существование слабых решений стохастических дифференциаль-

ных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями, с разрывными коэффици-

ентами и с частично вырожденным оператором диффузии // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50.

№ 8. С. 1060-1076.

16. Васьковский М.М. Существование слабых решений стохастических дифференциальных уравнений

с запаздыванием и стандартным и дробным броуновскими движениями // Весцi НАН Беларусi.

Сер. фiз.-мат. навук. 2015. № 1. С. 22-34.

17. Леваков А.А., Васьковский М.М. Существование решений стохастических дифференциальных

включений со стандартным и дробным броуновскими движениями // Дифференц. уравнения. 2015.

Т. 51. № 8. С. 997-1003.

18. Леваков А.А., Васьковский М.М. Свойства решений стохастических дифференциальных уравнений

со стандартным и дробным броуновскими движениями // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 8.

С. 1011-1019.

19. Васьковский М.М. Устойчивость и притяжение решений нелинейных стохастических дифференци-

альных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями // Дифференц. уравне-

ния. 2017. Т. 53. № 2. С. 160-173.

20. Васьковский М.М., Качан И.В. Методы интегрирования стохастических дифференциальных урав-

нений смешанного типа, управляемых дробными броуновскими движениями // Весцi НАН Бела-

русi. Сер. фiз.-мат. навук. 2019. T. 55. № 2. С. 135-151.

21. Comtet L. Advanced Combinatorics. The Art of Finite and Infinite Expansions. Dordrecht, 1974.

22. Mishkov R.L. Generalization of the formula of Faa Di Bruno for a composite function with a vector

argument // Int. J. Math. & Math. Sci. 2000. V. 24. № 7. P. 481-491.

23. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М., 1991.

24. Kurzweil J. Generalized ordinary differential equation // Czech. Math. J. 1958. V. 8. № 1. P. 360-388.

25. Yablonski A. Differential equations with generalized coefficients // Nonlin. Anal. 2005. V. 63. P. 171-197.

Белорусский государственный университет,

Поступила в редакцию 09.04.2021 г.

г. Минск

После доработки 09.04.2021 г.

Принята к публикации 08.09.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021