ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1318-1324

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.927.2+517.984.46

УТОЧНЕНИЕ ОЦЕНОК СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

ДЛЯ СТРУНЫ С СИНГУЛЯРНЫМ ВЕСОМ

Рассматривается линейный дифференциальный пучок A(λ) ≡ L - λV, где L ≡ -y^′′ +

+ q(x)y - оператор Штурма-Лиувилля с сингулярным потенциалом q(x), V - оператор

умножения на сингулярный вес ρ(x), x ∈ (0, π), а λ ∈ C - спектральный параметр.

Предполагается, что потенциал q и вес ρ принадлежат пространству Соболева W-12[0, π]

с отрицательным индексом гладкости, причём q - вещественно-, а ρ - комплекснозначные

функции. Доказано, что для собственных значений λ_n, n ∈ N, пучка A(λ) при всех n ∈

∈ N выполняется оценка |λ_n| ≥ Cn, где C - постоянная, не зависящая от номера n.

DOI: 10.31857/S0374064121100034

Введение. В статье изучается дифференциальное уравнение

-y^′′(x) + q(x)y(x) = λρ(x)y(x), x ∈ (0,π),

(1)

и ассоциированный с ним линейный операторный пучок A(λ) := L - λV, где L - оператор

Штурма-Лиувилля, порождённый дифференциальным выражением l(y) := -y^′′+q(x)y и кра-

евыми условиями типа Штурма, V - оператор умножения на функцию ρ, а λ - спектральный

параметр. Здесь функции q и ρ являются распределениями первого порядка сингулярности

(т.е. обобщёнными производными функций из класса L₂[0, π]). Уравнение (1) представляет

собой математическую модель для описания малых поперечных колебаний нагруженной стру-

ны. Функция y(x) показывает отклонение струны от положения равновесия, q(x) - функция,

задающая плотность внешних сил, действующих на струну в точке x, а ρ(x) - функция плот-

ности струны.

Изучение задачи о колебаниях нагруженной струны имеет большую историю. В частно-

сти, связанные с этой задачей вопросы изучались в работах [1-7]. Данная статья является

продолжением работы [8], по которой можно более подробно ознакомиться с историей вопроса

и актуальностью темы. Один из результатов статьи [8] состоял в доказательстве для опе-

раторного пучка A(λ) оценок его собственных значений λ_n, n ∈ N, вида |λ_n| ≥ Cn/ln n.

Целью настоящей работы является уточнение этих оценок. Именно, в теореме 2 доказано, что

|λ_n| ≥ Cn, здесь и выше C - постоянная, не зависящая от n.

1. Предварительные сведения. Прежде чем переходить к изложению результатов ра-

боты, дадим точное определение операторного пучка A(λ) := L - λV. Подробное описание

этого пучка и его свойств приведено в работе [8]. Для замкнутости изложения в данном пунк-

те повторим, следуя [9], определения нужных в дальнейшем функциональных пространств

и действующих в них операторов, а также отметим необходимые их свойства (подробности

можно найти в работе [9]).

1.1. Определения пространств. Через H будем обозначать пространство L₂[0,π], через

(·,·) - скалярное произведение в H, а через ∥ · ∥ - L₂-норму.

Далее, W¹²[0, π] - классическое пространство Соболева, W¹²[0, π] = {f ∈ AC[0, π] : f^′ ∈ H},

с нормой ∥f∥1 := (∥f∥2 + ∥f′∥2)1/2 и соответствующим скалярным произведением (·,·)1.

Введём подпространства пространства W¹²[0, π], отвечающие трём различным типам краевых

условий: Дирихле, Дирихле-Неймана и Неймана-Дирихле, именно, положим

W12,D[0,π] = {f ∈ AC[0,π] : f^′ ∈ H, f(0) = f(π) = 0},

W12,DN[0,π] = {f ∈ AC[0,π] : f^′ ∈ H, f(0) = 0},

W12,ND[0,π] = {f ∈ AC[0,π] : f^′ ∈ H, f(π) = 0}.

1318

УТОЧНЕНИЕ ОЦЕНОК НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1319

Для четвёртого типа условий - условий Неймана - через W12,N [0, π] обозначим всё простран-

ство W¹²[0, π].

Поясним, что мы понимаем под соответствием описанных выше пространств и краевых

условий. Зададим оператор T, действующий в пространстве H, любым из следующих спосо-

бов. Положим

Ty = -y^′′, D(T) = {y ∈ W²²[0,π] : y(0) = y(π) = 0},

(2)

Ty = -y^′′, D(T) = {y ∈ W²²[0,π] : y(0) = y^′(π) = 0},

(3)

Ty = -y^′′, D(T) = {y ∈ W²²[0,π] : y^′(0) = y(π) = 0},

(4)

Ty = -y^′′ + y, D(T) = {y ∈ W²²[0,π] : y^′(0) = y^′(π) = 0}.

(5)

В каждом из этих случаев оператор T самосопряжён и равномерно положителен, а значит,

корректно определён его квадратный корень T1/2.

Гильбертово пространство с нормой графика (∥T1/2x∥² + ∥x∥²)1/2 обозначим через H₁.

Несложно видеть, что пространства H₁ в случаях (2)-(5) совпадают с пространствами

W12,D[0,π], W12,DN[0,π], W12,ND[0,π] и W12,N[0,π] соответственно.

Введём пространство W-12[0, π] как пространство распределений, дуальное к пространству

Соболева W¹²[0, π] относительно действия ( · , · ). Любой линейный непрерывный функционал

F на пространстве W¹²[0, π] допускает представление

∫π

F (ϕ) = 〈f, ϕ〉 = f₀ϕ(0) + f_πϕ(π) - ϕ^′(x)w(x) dx, f ∈ W-12[0, π], ϕ ∈ W¹²[0, π], w ∈ H.

Такое представление неоднозначно, поскольку тройки (w, f₀, f_π) и (w + c, f₀ - c, f_π + c) по-

рождают одинаковые функционалы. Функцию w, определённую таким образом с точностью

до константы, будем называть обобщённой первообразной функции f ∈ W-12.

Будем также рассматривать пространства распределений над подпространствами H₁

пространства W¹²[0, π]. Их мы введём аналогично - как дуальные к H₁ относительно действия

(·,·) и будем обозначать через H-1.

1.2. Определения операторов. Перейдём к определению операторов. Опишем сначала

оператор L. Пусть u ∈ H - обобщённая первообразная потенциала q. Всюду далее считаем

потенциал q вещественным. Отметим, что оператор L может быть корректно определён и

для комплексного потенциала, однако это требует иной техники. Строго говоря (см. [10]),

Ly = l(y) = -(y^[1](x))^′ - u(x)y^[1](x) - u²(x)y(x), y^[1](x) := y^′(x) - u(x)y(x),

D(L) = {y, y^[1] ∈ AC[0, π] : l(y) ∈ H, y^[1](0) + h₀y(0) = y^[1](π) + h_πy(π) = 0}.

(6)

Условимся, что равенство h₀ = ∞ (или h_π = ∞) означает, что первое (или второе) краевое

условие принимает вид y(0) = 0 (соответственно, y(π) = 0).

В работе [10] получено представление для квадратичной формы (Ly, y) и доказана её за-

мкнутость. Тогда, согласно второй теореме о представлении (см., например, [11, гл. VI, теоре-

ма 2.23]), форма (Ly, y)+c для любого достаточно большого c > 0 порождает в H самосопря-

жённый оператор (совпадающий, естественно, с оператором L + c), причём D((L + c)1/2) =

= D((Ly,y)) = H₁, а (L + c)1/2 является изоморфизмом между пространствами H₁ и H.

Переходя к дуальным пространствам, получаем, что оператор (L + c)1/2 является также изо-

морфизмом между пространствами H и H-1, а L + c - изоморфизмом между пространст-

вами H₁ и H-1.

Обратимся к оператору V. Определим его действие следующим правилом:

∫π

〈V y, ϕ〉 = 〈ρ, yϕ〉 = ρ₀y(0)ϕ(0) + ρ_πy(π)ϕ(π) - v(x)(y(x)ϕ(x))^′ dx.

(7)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1320

ИВАНОВ

Таким образом, оператор V

: W12 → W-12 корректно определён. Пользуясь неравенством

∥ · ∥_C ≤ C_abs∥ · ∥₁, проведём оценку

|〈V y, ϕ〉| ≤ (|ρ₀| + |ρ_π|)∥y∥_C ∥ϕ∥_C + ∥v∥L2 (∥y∥_C ∥ϕ^′∥L2 + ∥y^′∥L2 ∥ϕ∥_C ) ≤

≤ C_abs(|ρ₀| + |ρ_π| + ∥v∥L2)∥y∥₁∥ϕ∥₁ ≤ C_abs∥ρ∥-1∥y∥₁∥ϕ∥₁,

из которой следует ограниченность оператора V : W¹² → W-12.

Ограничив оператор V y = ρy на подпространство H₁ ⊆ W¹² (это эквивалентно проектиро-

ванию векторов V y на H-1), получим ограниченный оператор из W¹² в H-1. Этот оператор

в свою очередь можно ограничить на подпространство H₁ ∋y и получить ограниченный опе-

ратор из H₁ в H-1.

Итак, для любого λ ∈ C нами определён ограниченный оператор A(λ) = L - λV, дей-

ствующий из H₁ в H-1. Отметим, что для каждого фиксированного λ квадратичная форма

оператора A(λ), заданная на пространстве H₁, имеет вид

∫π

〈Ay, y〉 = ∥y∥² - (h₀ + λρ₀)|y(0)|² + (h_π - λρ_π)|y(π)|² + (λv(x) - u(x))(y(x)y(x))^′ dx

(с описанными выше корректировками в случае h₀ = ∞ или h_π = ∞). Согласно [10] эта

форма определяет замкнутый оператор

Ay = -(y^′ + (λv - u)y)^′ + (λv - u)y^′

в пространстве H с областью определения

D(A) = {y, y^′ + (λv - u)y ∈ AC : Ay ∈ H,

(y^′ + (λv - u)y + (h₀ + λρ₀)y)(0) = (y^′ + (λv - u)y + (h_π - λρ_π)y)(π) = 0}.

(8)

Таким образом, пучок A(λ) = L - λV можно рассматривать и как семейство замкнутых

плотно определённых неограниченных операторов в H. При этом, однако, область определе-

ния D(A) может изменяться в зависимости от значения параметра λ.

1.3. Спектральные свойства операторов. Спектр оператора L, действующего в прост-

ранстве H, описан в работе [10]. Он дискретен и имеет единственную точку накопления +∞.

Далее будем предполагать, что 0 ∈ σ(L). Все собственные значения μn вещественны, их

геометрическая и алгебраическая кратности совпадают друг с другом и равны единице.

Обозначим через {ϕ_n}∞1 систему соответствующих собственных функций оператора L,

нормированных условием ∥ϕ_n∥ = 1. Из [10, теорема 2.9] вытекает, что система {ϕ_n}∞1 явля-

ется ортонормированным базисом в пространстве H.

Спектральные свойства оператора V следуют из его компактности. Они приведены и до-

казаны в работе [9].

2. Вспомогательные утверждения. Нам понадобится хорошо известная лемма Грону-

олла, формулируемая в классическом случае для класса непрерывных функций. В работе [1]

эта лемма обобщена на существенно более широкий класс функций, чем непрерывные.

Лемма Гронуолла. Пусть (a, b) - интервал вещественной прямой, а ω - положи-

тельная борелевская мера на (a, b). Если c ∈ (a, b) и вещественнозначная функция v ∈

∈ L1,loc((a,b);ω) удовлетворяет неравенству

∫x

0 ≤ v(x) ≤ K + v(ξ)dω(ξ), x ∈ [c,b),

с некоторой вещественной постоянной K, то для функции v справедлива оценка

∫_x

v(x) ≤ Ke

dw(ξ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

УТОЧНЕНИЕ ОЦЕНОК НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1321

Далее эта лемма применяется для функций, суммируемых по Лебегу на конечном отрезке.

Напомним некоторые факты из теории целых функций. Подробно они изложены, напри-

мер, в монографии [12]. Пусть f(z) - целая функция. Обозначим M_f (r) = max |f(z)|. Если

|z|=r

существует такое положительное число k, что

M_f(r) < erk ,

то такую функцию называют функцией конечного порядка, а точную нижнюю грань таких

k - порядком целой функции f(z). Типом целой функции f(z) порядка ρ называется точная

нижняя грань чисел A, для которых выполнено неравенство

M_f(r) < eArρ.

Нам понадобится следующее утверждение (см. [13, гл. I, теорема 2.3]), дающее оценку роста

нулей целой функции в терминах её порядка и типа.

Теорема 1. Пусть f(z) - целая функция порядка ρ,

0 < ρ < ∞, и конечного типа σ,

имеющая бесконечно много нулей λ₁, λ₂, ..., λ_n, ..., причём λ_k = 0, k ∈ N. Тогда

lim

(n|λ_n|^-ρ) ≤ σeρ.

n→∞

Целые функции, имеющие порядок ρ = 1 и конечный тип, принято называть целыми

функциями экспоненциального типа. Для данного класса функций неравенство теоремы 1

принимает вид

lim

(n|λ_n|-1) ≤ σe,

n→∞

откуда следует оценка |λn| ≥ Cn роста нулей целой функции экспоненциального типа, в

которой C - константа, не зависящая от номера n.

3. Оценки собственных значений. Теперь мы готовы сформулировать и доказать ос-

новную теорему настоящей работы.

Теорема 2. Пусть функции q(x) и ρ(x) принадлежат пространству H-1, а операторы

L и V определены соотношениями (6) и (7) соответственно. Тогда собственные значения

операторного пучка A(λ) удовлетворяют при всех n ∈ N оценке |λ_n| ≥ Cn, где C - посто-

янная, не зависящая от номера n.

Доказательство. В исходном дифференциальном уравнении -y^′′ + q(x)y = λρ(x)y про-

изведём замену переменных

y₁ = λy, y₂ = y^′ + λvy - uy.

(9)

Вычислим производные введённых функций:

y′1 = λy^′ = λy₂ - λ²vy + λuy = λy₂ - λvy₁ + uy₁ = λ(y₂ - vy₁) + uy₁,

y′2 = y^′′ + λρy + λvy^′ - qy - uy^′.

В силу исходного уравнения имеем

y′2 = (λv - u)y^′ = (λv - u)(y₂ - λvy + uy) = λvy₂ - λ²v²y + λvuy - uy₂ + λvuy - u²y =

= λvy₂ - λv²y₁ + 2vuy₁ - uy₂ - λ-1u²y₁ = λ(vy₂ - v²y₁) + (2vuy₁ - uy₂) - λ-1u²y₁.

Отметим, что вследствие (8) выполняется включение y₁, y₂ ∈ AC[0, π].

В результате получаем систему дифференциальных уравнений

Y ′ = λT(x)Y + Q(x)Y + λ-1S(x)Y,

(10)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1322

ИВАНОВ

где

(

)

(

)

(

)

y₁

⁽ -v

Y =

T =

y₂

-v²

2vu

-u

-u²

Отметим, что поскольку обобщённые первообразные u, v принадлежат пространству H,

каждая из матриц T, Q, S является суммируемой на отрезке [0, π].

Далее для системы (10) будем рассматривать задачу Коши с некоторым начальным усло-

вием

Y (0) = Y₀.

(11)

Задача (10), (11), вообще говоря, не эквивалентна в силу произвольности выбора вектора Y₀

исходной дифференциальной задаче, но эквивалентна интегральному уравнению

∫x

Y (x) = Y₀ + (λT (ξ) + Q(ξ) + λ-1S(ξ))Y (ξ) dξ.

(12)

Через R(ξ) обозначим 2 × 2-матричнозначную функцию λT (ξ) + Q(ξ) + λ-1S(ξ); пусть

R(ξ) = (r_ij (ξ))2i,j=1. Пусть также Y₀ = col (y01 , y02 ).

Нам необходимо оценить левую часть уравнения (12). Рассмотрим отдельно первую ком-

поненту функционального вектора Y (x), т.е. функцию, определяемую равенством

∫x

y₁(x) = y01 + (r1,1(ξ)y₁(ξ) + r1,2(ξ)y₂(ξ))dξ.

(13)

Возьмём модуль от обеих частей равенства (13) и воспользуемся свойствами интеграла и нера-

венством треугольника:

∫x

∫

|y₁(x)| ≤ |y01 | + | (r₁₁(ξ)y₁(ξ) + r₁₂(ξ)y₂(ξ)) dξ| ≤ |y01 | +

(|r₁₁(ξ)∥y₁(ξ)| + |r₁₂(ξ)∥y₂(ξ)|) dξ.

Аналогично для второй компоненты Y (x) получаем

∫x

|y₂(x)| ≤ |y02 | +

(|r₂₁(ξ)∥y₁(ξ)| + |r₂₂(ξ)∥y₂(ξ)|) dξ.

Сложив два последних неравенства, будем иметь

∫x

|y₁(x)| + |y₂(x)| ≤ |y01 | + |y02 | +

(|y₁(ξ)|(|r₁₁(ξ)| + |r₂₁(ξ)|) + |y₂(ξ)|(|r₁₂(ξ)| + |r₂₂(ξ)|)) dξ.

Ослабим это неравенство, заменяя в нём каждую из сумм |ri1(ξ)|+|ri2(ξ)|, i = 1, 2, не меньшей

величиной

^R(ξ) :=∑2i,j=1 |r_ij (ξ)| - l₁-нормой матрицы R(ξ); придём к неравенству

∫x

)

(₂∑

|y₁(x)| + |y₂(x)| ≤ |y01 | + |y02 | +

(|y₁(ξ)| + |y₂(ξ)|)

|r_ij (ξ)| dξ.

(14)

i,j=1

Обозначим

Y (x) := |y₁(x)| + |y₂(x)|,

Y₀ := |y01 | + |y02 |, тогда с учётом введённого выше

обозначения

^R(ξ) неравенство (14) примет вид

∫x

Y (x)

Y₀ +

Y (ξ) ^R(ξ) dξ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

УТОЧНЕНИЕ ОЦЕНОК НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

1323

Так как каждая из матричнозначных функций T, Q и S является суммируемой на [0, π],

матричнозначная функция

R также суммируема на [0, π]. Поэтому последнее неравенство

можно записать в виде

∫x

Y (x)

Y₀ +

Y (ξ) dω(ξ).

Компоненты векторнозначной функции Y принадлежат пространству AC[0, π] и неотри-

цательны. Таким образом, функция

Y удовлетворяет условиям леммы Гронуолла. Следо-

вательно,

∫_x

^R(ξ) dξ_.

Y (x)

Y₀e

(15)

Воспользуемся определением матрицы R и оценим в (15) каждое из слагаемых в показа-

теле экспоненты, используя суммируемость функциональных матриц T, Q и S; имеем

{ ∫x

∫

}

∑

Y (x)

Y₀ exp

|λ|

|t_i,j(ξ)| dξ +

|q_i,j(ξ)| dξ +

|s_i,j (ξ)| dξ

≤eC1|λ|+C2,

|λ|

i,j=1

где C₁, C₂ - функции переменной x, не зависящие от |λ|. Так как

Y (x) = |y₁(x)| + |y₂(x)| ≤

≤ eC1|λ|+C2, то и каждая компонента вектора Y (x) удовлетворяет неравенству

|y_i(x)| ≤ eC1|λ|+C2 , i = 1, 2.

(16)

Поставим теперь для системы (10) краевую задачу. Граничные условия при этом выберем

таким образом, чтобы при подстановке в эту систему y₁ и y₂ в соответствии с заменой (9)

получить в точности равенства, описывающие область определения оператора A согласно (8):

λ-1(h₀ + λρ₀)y₁(0) + y₂(0) = 0, λ-1(h_π + λρ_π)y₁(π) + y₂(π) = 0.

(17)

Для краевой задачи (10), (17) составим характеристический определитель Δ(λ). Пусть

(

)

(

)

φ₁(x)

ψ₁(x)

Φ=

Ψ=

φ₂(x)

ψ₂(x)

– фундаментальная система решений линейной системы (10). Тогда



(h₀ + λρ₀)φ₁(0) + φ₂(0) λ(h₀ + λρ₀)ψ₁(0) + ψ₂(0)



Δ(λ) =λ

(18)

λ(h_π + λρ_π)φ₁(π) + φ₂(π) λ(h_π + λρ_π)ψ₁(π) + ψ₂(π).

Раскрывая определитель в (18), видим, что каждое слагаемое состоит из произведения |φ_i(x)|,

|ψ_j (x)|, i, j = 1, 2, в точках x = 0 или x = π, и сомножителей, содержащих |λ| в степени

не выше 2, поэтому вследствие оценки (16) порядок по |λ| каждого слагаемого характерис-

тического определителя Δ(λ) равняется в точности 1. Тогда и сам характеристический опре-

делитель Δ(λ) - целая функция комплексного переменного λ порядка ρ = 1 и конечного

типа.

Согласно утверждению теоремы 1 нули характеристического определителя Δ(λ) удовле-

творяют неравенству λ_n ≥ Cn, где C - константа, не зависящая от номера n.

Благодаря выбору граничных условий, характеристический определитель краевой задачи

(10), (17) в точности совпадает с характеристическим определителем оператора A(λ). Из этого

следует, что собственные значения пучка A(λ) совпадают с корнями характеристического

определителя (18), что и завершает доказательство теоремы.

Отметим, что в работе [3] построена последовательность весов ρ_n(x), для которых при

тривиальном потенциале m-е собственное значение задачи мажорируется величиной Cm ln m,

где C - постоянная, не зависящая от номера m. Однако построение предельного веса из

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1324

ИВАНОВ

пространства W-12, для которого полученная в настоящей работе оценка достигается, остаётся

нерешённой задачей.

Автор выражает благодарность проф. И.В. Садовничей и проф. А.М. Савчуку за постоян-

ное внимание к работе и ценные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Eckhardt J., Teschl G. Sturm-Liouville operators with measure-valued coefficients // J. Anal. Math.

2013. V. 120. № 1. P. 151-224.

2. Владимиров А.А., Шейпак И.А. Асимптотика собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с

дискретным самоподобным весом // Мат. заметки. 2010. Т. 88. № 5. С. 662-672.

3. Владимиров А.А. Некоторые замечания об интегральных характеристиках винеровского процесса

// Дальневост. мат. журн. 2015. Т. 15. № 2. С. 156-165.

4. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов // Успехи мат. наук. 2006. Т. 61. Вып. 5 (371).

С. 89-156.

5. Constantin A., Gerdjikov V.S., Ivanov R.I. Inverse scattering transform for the Camassa-Holm equation

// Inverse Problems. 2006. V. 22. P. 2197-2207.

6. Eckhardt J., Kostenko A. An isospectral problem for global conservative multi-peakon solutions of the

Camassa-Holm equation // Comm. in Math. Phys. 2014. V. 329. № 3. P. 893-918.

7. Назаров А.И. Логарифмическая асимптотика малых уклонений для некоторых гауссовских процес-

сов в L₂-норме относительно самоподобной меры // Зап. науч. сем. ПОМИ. 2004. Т. 311. С. 190-213.

8. Иванов А.C., Савчук А.М. След порядка (-1) для струны с сингулярным весом // Мат. заметки.

2017. Т. 102. № 2. С. 197-215.

9. Иванов А.C. Следы высших отрицательных порядков для струны с сингулярным весом // Диффе-

ренц. уравнения. 2018. Т. 54. № 10. С. 1338-1348.

10. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями

// Тр. Моск. мат. о-ва. 2003. Т. 64. С. 159-212.

11. Като T. Теория возмущений линейных операторов. М., 1972.

12. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М., 1956.

13. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент. М., 1983.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 13.04.2021 г.

им. М.В. Ломоносова

После доработки 13.04.2021 г.

Принята к публикации 08.09.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021