ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1325-1332
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.912
К ЗАДАЧЕ О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ В СИСТЕМАХ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
© 2021 г. В. В. Козлов
Обсуждаются условия разделения переменных в автономных системах дифференциальных
уравнений общего вида. Подход основан на идее Лиувилля о включении такой системы
в гамильтонову систему в фазовом пространстве удвоенной размерности. Для разделения
переменных используются координаты Штекеля и введённые Якоби эллиптические коор-
динаты.
DOI: 10.31857/S0374064121100046
1. Уравнения Лиувилля. Пусть v - гладкое векторное поле на n-мерном многообра-
зии M, порождающее автономную систему дифференциальных уравнений
x = v(x).
(1.1)
Здесь x = (x1, . . . , xn) обозначает набор локальных координат на M. Пусть T∗M - простран-
ство кокасательного расслоения M и y = (y1, . . . , yn) - декартовы координаты в векторном
пространстве T∗xM.
На T∗M инвариантным образом определена функция
∑
H(x, y) = (y, v(x)) =
yivi(x).
(1.2)
Скобки ( , ) обозначают спаривание: значение ковектора на векторе. С другой стороны, на T∗M
имеется естественная (каноническая) симплектическая структура - невырожденная замкну-
тая 2-форма
∑
d(y, x) =
dyi ∧ dxi,
которая позволяет поставить в соответствие функции (1.2) (как гамильтониану) систему диф-
ференциальных уравнений Гамильтона
)∗
∂H
∂H
(∂v
x=
= v(x),
y=-
=-
y.
(1.3)
∂y
∂x
∂x
Первая группа уравнений совпадает с исходной системой дифференциальных уравнений (1.1),
а вторая - это сопряжённая система уравнений в вариациях для системы (1.1).
Эти наблюдения, восходящие к Лиувиллю, позволяют свести исследование системы (1.1)
к задаче о гамильтоновой системе (1.3) с линейным по импульсам гамильтонианом. С гамиль-
тонианом (1.2) полезно связать уравнение Гамильтона-Якоби
(
)
∂S
∂S
+
,v(x)
= 0.
(1.4)
∂t
∂x
В гамильтоновом формализме S имеет смысл действия по Гамильтону, а для системы (1.1) -
это её первый интеграл.
Напомним, что полным решением уравнения (1.4) называется функция S(t, x, α) (α =
= (α1, . . . , αn) - набор параметров), удовлетворяющая уравнению (1.4) при каждом фиксиро-
ванном α и условию невырожденности
[
]
∂2S
det
= 0.
(1.5)
∂xi∂αj
1325
1326
КОЗЛОВ В.В.
Так как поле v не зависит от времени, то можно положить
S = -h(α)t + W(x,α),
тогда, как легко видеть, функция W подчиняется уравнению
(
)
∂W
,v(x)
=h
(1.6)
∂x
и удовлетворяет условию (1.5) (с заменой в нём S на W ).
По теореме Якоби, если известно полное решение уравнения (1.4), общее решение соответ-
ствующей гамильтоновой системы (1.3) находится из соотношений
∂S
=βi,
1 ≤ i ≤ n.
∂αi
Возможность нахождения переменных x1, . . . , xn как функций времени t и 2n произволь-
ных постоянных αi, βi
(1 ≤ i ≤ n) гарантирует теорема о неявных функциях с учётом
условия (1.5). Решения сопряжённой линейной системы в вариациях находятся по формулам
∂S
yj =
,
1 ≤ j ≤ n,
∂xj
в которые вместо x следует подставить найденные решения системы (1.1).
Будем говорить, что переменные x1, . . . , xn в системе обыкновенных дифференциальных
уравнений разделяются, если полное решение уравнения (1.6) имеет вид
∑
W (x, α) = Wi(xi, α1, . . . , αn).
i=1
Это общее определение является ключевым для дальнейшего анализа. В пп. 2 и 3 будут указа-
ны содержательные примеры нелинейных систем, решаемых методом разделения переменных.
Однако уже при n = 2 имеются системы дифференциальных уравнений, которые приня-
то относить к системам с разделяющимися переменными и которые не подпадают под наше
рассмотрение. Речь идёт о системах следующего вида:
x1 = v1(x2),
x2 = v2(x1).
(1.7)
Чтобы устранить это противоречие, условимся не различать системы, правые части которых
отличаются множителем в виде всюду положительной (или отрицательной) гладкой функции.
Такие системы имеют одни и те же фазовые траектории и интегрируются (или не интегри-
руются) в квадратурах одновременно. Так как рассматриваются автономные системы диффе-
ренциальных уравнений, то задача отыскания их траекторий (а не решений) представляется
даже более естественной. Если разделить правые части (1.7) на произведение v1v2 (в области,
где система (1.7) не имеет особых точек), то получим систему с разделяющимися переменными
в смысле нашего общего определения.
В заключение этого пункта приведём одно соотношение, важное для дальнейшего анализа.
Пусть
Φ1 = (y,w1(x)) и Φ2 = (y,w2(x))
- две линейные по импульсам функции на T∗M, w1 и w2 - гладкие векторные поля на M.
Тогда скобка Пуассона {Φ1, Φ2} равна
(y, [w1, w2]),
где [ , ] - коммутатор векторных полей. Следовательно, функции Φ1 и Φ2 находятся в инво-
люции тогда и только тогда, когда поля w1 и w2 коммутируют между собой.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
К ЗАДАЧЕ О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
1327
Пусть функции
F1 = H = (y,v), F2 = (y,w2), ... , Fn = (y,wn)
(1.8)
находятся попарно в инволюции друг с другом. В частности, все они - интегралы гамиль-
тоновой системы (1.3). Пусть, кроме того, векторные поля w1 = v, w2, . . . , wn линейно
независимы в каждой точке M и нестеснены на M. Тогда каждая связная компонента мно-
гообразия M будет цилиндром (диффеоморфна прямому произведению Rk × Tn-k, Tm -
m-мерный тор) и на этом цилиндре можно ввести k линейных координат ψ1, . . . , ψk и n - k
угловых координат ϕk+1, . . . , ϕn mod 2π так, что в этих координатах система (1.1) прини-
мает вид
ψi = ci,
ϕj = ωj; c,ω = const.
(1.9)
Сформулированное утверждение - глобальный вариант теоремы о выпрямлении траекторий
(см., например, [1, гл. II, § 4]). В компактном случае (т.е. когда k = 0) получаем условно-
периодические движения на Tn. Сведение системы уравнений к виду (1.9) часто называют её
линеаризацией (поскольку переменные ψi, 1 ≤ i ≤ k, и ϕj, k+1 ≤ j ≤ n, линейно меняются
со временем).
Применение уравнений Лиувилля к интегрированию нелинейных систем дифференциаль-
ных уравнений содержится в работе [2]. Эту заметку следует рассматривать как дополнение
к ней.
2. Штекелевы системы. Рассмотрим невырожденную n × n-матрицу
[ϕij (xj )],
1 ≤ i,j ≤ n,
(2.1)
и пусть Φ - её определитель, а Φij - алгебраическое дополнение элемента ϕij (зависящего
только от координаты xj). Рассмотрим n систем дифференциальных уравнений следующего
вида:
fj(xj)Φmj(x)
xj =
,
1 ≤ j ≤ n,
(2.2)
Φ(x)
где fj - не обращающиеся в нуль гладкие функции одного переменного. Целое m (1 ≤ m ≤ n)
нумерует эти системы. Утверждается, что каждая из этих систем интегрируется методом раз-
деления переменных. Более того, в случае тора (когда M = Tn) все эти нелинейные системы
линеаризуются одним и тем же преобразованием.
Уравнение (1.6) в рассматриваемом случае принимает следующий вид:
∑
∂W
fjΦmj
= αmΦ (h = αm),
(2.3)
∂x
j
j=1
или
(
)
∑
∑
∂W
Φmj fj
− αkϕkj
= 0.
∂x
j
j=1
k=1
Положим
∑
W =
Ws(xs,α),
(2.4)
где Ws (как функция от одной переменной xs) удовлетворяет уравнению
∑
∂Ws
fs
=
αkϕks(xs).
(2.5)
∂x
s
k=1
Оно тривиально решается, и (поскольку матрица (2.1) невырождена) функция (2.4) даёт пол-
ное решение уравнения (2.3).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
1328
КОЗЛОВ В.В.
Подчеркнём, что все n систем (2.2) дифференциальных уравнений одновременно решают-
ся разделением переменных x1, . . . , xn. Легко понять, что n функций вида (1.8)
∑
Fk = Φkjfjyj/Φ,
1 ≤ k ≤ n,
j
образуют полный набор интегралов в инволюции. Так как по предположению функции f1,
..., fn нигде не обращаются в нуль, то
∂(F1, . . . , Fn)
= 0.
∂(y1, . . . , yn)
Следовательно, фазовые потоки систем дифференциальных уравнений (2.2) при разных m
коммутируют между собой.
Указанный способ разделения переменных впервые применил Штекель для решения урав-
нений динамики (см., например, монографию [3, п. 2.3] и имеющиеся в ней ссылки). В част-
ности, он указал римановы метрики, геодезические которых находятся с помощью квадратур.
Те же переменные разделяются и в соответствующем операторе Лапласа-Бельтрами.
Из уравнения (2.5) следует, что
∫xs
∑αkϕks(z)
Ws =
dz.
fs(z)
x0s
Следовательно, по теореме Якоби
∫
ϕks(z)
dz = βk, k = m,
fs(z)
s
x0s
∫
ϕms(z)
dz = t + βm,
(2.6)
fs(z)
s
x0s
что даёт общее решение системы дифференциальных уравнений (2.2) с номером m. В качестве
произвольных постоянных можно взять x01, . . . , x0n или β1, . . . , βn.
3. Уравнения Абеля. Рассмотрим частный случай системы Штекеля, когда матрица (2.1)
является матрицей Вандермонда
⎡
⎤
1
1
1
⎢
x1
x2
xn
⎥
⎣
⎦.
xn-11
xn-12
... xn-1
n
Запишем в явном виде систему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменны-
ми (2.2) в самом простом случае, когда m = n:
∏
xj = fj(xj)
(xj - xs),
1 ≤ j ≤ n.
(3.1)
s=1
s=j
Если не принимать во внимание содержание п. 2, то здесь непосредственно не видно, что эта
система может быть решена с помощью разделения переменных.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
К ЗАДАЧЕ О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
1329
Во многих проинтегрированных задачах механики f1 = . . . = fn = f и
√
f (z) =
P (z),
(3.2)
где P - многочлен степени 2n + 1 или 2n + 2 без кратных корней. В частности, при n = 2
уравнения (3.1) (функция f определяется равенством (3.2)) возникают при интегрировании
уравнений вращения тяжёлого твёрдого тела в случаях Ковалевской и Горячева-Чаплыгина
(см., например, [1, гл. II, § 5]).
Уравнения (2.6) примут следующий вид:
∫
dz
√
=β1,
P (z)
x0s
∫
zn-2 dz
(3.3)
√
=βn-1,
P (z)
x0s
∫
zn-1 dz
√
=t+βn.
P (z)
x0s
Задача их обращения (нахождение x1, . . . , xn) - предмет классических исследований, на-
чатых Абелем, Якоби и Риманом (современный подход изложен, например, в [4]). Если P -
многочлен степени 2n - 1, то (как доказал Абель) решение трансцендентной системы (3.3)
сводится к алгебраической задаче о решении некоторой системы полиномиальных уравне-
ний. Якоби связал разделяющиеся переменные x1, . . . , xn с эллиптическими координатами
в Rn [5, c. 209]. Связь уравнений Абеля (3.1) с системами Штекеля обсуждалась также в ра-
ботах [6; 7, гл. 3, § 3] с точки зрения задачи интегрирования уравнений динамики.
4. Системы на торе с многозначными интегралами. Пусть M - n-мерный тор Tn =
= {x1, . . . , xn mod 2π} и f : Tn → R - гладкая положительная функция. Рассмотрим следу-
ющую систему дифференциальных уравнений на Tn:
xj = ωj/f(x),
1 ≤ j ≤ n.
(4.1)
Здесь ω1, . . . , ωn - постоянные числа, отличные от нуля.
Очевидно, система (4.1) интегрируется с помощью квадратур. Более того, она допускает
многозначные интегралы
Fij = ωjxi - ωixj ,
1 ≤ i,j ≤ n.
Среди них ровно n - 1 функционально независимых. Отметим,что при некоторых дополни-
тельных предположениях верно и обратное: если система на торе допускает n-1 независимых
многозначных интегралов, то в некоторых угловых переменных эта система приводится к ви-
ду (4.1) (см. [8]). Случай n = 3 рассмотрен В.И. Арнольдом [9]. Система (4.1) допускает
инвариантную меру f(x) dnx. Как показал А.Н. Колмогоров [10], любая система без особых
точек на двумерном торе, допускающая инвариантную меру с положительной гладкой плот-
ностью, приводится к виду (4.1).
Сначала сделаем простое замечание. Если
∑
f =
fj(xj),
то система (4.1) решается разделением переменных. Кстати сказать, этот случай реализует-
ся в интегрируемых задачах динамики твёрдого тела: после введения угловых переменных
уравнения Абеля (3.1) (при n = 2) принимают именно такой вид.
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
1330
КОЗЛОВ В.В.
В общем случае уравнение (1.6) имеет простую форму:
∑ ∂W
ωj
= h(α)f.
(4.2)
∂xj
Положим f = f
f, где f - среднее значение функции f и на Tn, а среднее
f = f -f равно
нулю. Тогда решение уравнения (4.2) представляется как сумма функций W иW, где
∑
W =αjxj,
ωjαj = h(α)f,
а
∑ ∂W
ωj
=
f.
(4.3)
∂xj
Как хорошо известно, для почти всех наборов (ω1, . . . , ωn) ∈ Rn уравнение (4.3) допускает
гладкое решение (причём единственное, если считать среднееW нулём).
Тогда S = -h(α)t + W (x, α) и переменные x1, . . . , xn как функции времени находятся из
соотношений
∂S
ωj
ωj
=-
t+xj +
W′(x) = βj,
1 ≤ j ≤ n.
∂αj
f
f
Здесь W′ =W/h. Следовательно, замена переменных
xj + ω′jW′(x) = ϕj, ω′j = ωj/f
(4.4)
переводит систему (4.1) в систему
ϕj = ωj,
1 ≤ j ≤ n,
(4.5)
задающую условно-периодическое движение по тору. Частоты ω′j - это средние значения пра-
вых частей системы (4.1) относительно инвариантной меры f dnx.
Формулы (4.4) указаны в книге [11, с. 156]; этот же результат о приведении системы (4.1) к
системе (4.5) для почти всех ω ∈ Rn похожим способом доказан в работе [12]. Доказательство
А.Н. Колмогорова [10] для n = 2 основано на другой идее.
5. Условия разделения переменных. Следующее утверждение отвечает на вопрос
о разделении переменных x1, . . . , xn в системе дифференциальных уравнений (1.1), т.е. в
системе
xj = vj(x1,... ,xn),
1 ≤ j ≤ n.
(5.1)
Теорема. Переменные x1, . . . , xn в системе
(5.1) разделяются тогда и только тогда,
когда компоненты векторного поля v удовлетворяют следующим n(n - 1) условиям:
∂2vi
∂vk
∂vi
∂vj
∂vi
vjvk
-vj
-vk
= 0,
1 ≤ i ≤ n,
1 ≤ j < k ≤ n.
(5.2)
∂xj∂xk
∂xj ∂xk
∂xk ∂xj
Доказательство основано на известном результате Леви-Чивиты о критерии разделения
переменных в уравнении Гамильтона-Якоби с гамильтонианом H(x1, . . . , xn, y1, . . . , yn):
∂H ∂H
∂2H
∂H ∂H
∂2H
∂H ∂H
∂2H
∂H ∂H ∂2H
-
-
+
=0
(5.3)
∂yj ∂yk ∂xj∂xk
∂yj ∂xk ∂xj∂yk
∂xj ∂yk ∂yj∂xk
∂xj ∂xk ∂yi∂yj
для всех 1 ≤ j < k ≤ n (суммирования по повторяющимся индексам нет). Доказательство
этого факта и его обсуждение можно найти, например, в [3, п. 2.3].
Подставляя теперь гамильтониан (1.2) в соотношения (5.3), получаем условия (5.2) разде-
ления переменных в системе дифференциальных уравнений (1.1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
К ЗАДАЧЕ О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ
1331
Вряд ли возможно отыскать в самом общем случае все векторные поля, удовлетворяющие
системе (5.2). Рассмотрим упоминавшийся в п. 1 частный случай, когда n = 2, - систему (1.7).
Система (5.2) в этом случае сводится к двум уравнениям в частных производных:
(
)
∂2v1
∂v1
∂v2
∂v1
v1v2
-
+v2
= 0,
∂x1∂x2
∂x2
v1 ∂x1
∂x1
(
)
∂2v2
∂v2
∂v2
∂v1
v1v2
-
+v2
= 0.
∂x1∂x2
∂x1
v1 ∂x2
∂x2
Они легко преобразуются к следующему виду:
∂
∂v1/∂x2
∂
∂v2/∂x1
= 0,
= 0.
∂x1
v1v2
∂x2
v1v2
Отсюда очевидно вытекают равенства
∂v1/∂x2 = ϕ(x2)v1v2,
∂v2/∂x1 = ψ(x1)v1v2
(5.4)
с некоторыми гладкими функциями ϕ и ψ.
Пусть сначала ϕ ≡ 0 (случай ψ ≡ 0 рассматривается аналогично). Тогда из первого
соотношения в (5.4) вытекает, что v1 = α(x1), где α - гладкая функция. Но тогда из второго
равенства в (5.4) следует, что
v2 = β(x2)γ(x1),
∫
где γ1 = exp
ψ(x1)α(x1) dx1. В этом случае уравнение Гамильтона-Якоби (1.6) решается
разделением переменных.
Пусть теперь функции ϕ и ψ не обращаются в нуль. Положим
v1 = w1/ψ, v2 = w2/ϕ.
(5.5)
Тогда из соотношений (5.4) вытекает, что ∂w1/∂x2 = ∂w2/∂x1. Следовательно, поле w =
= (w1, w2) потенциально:
w1 = ∂a/∂x1, w2 = ∂a/∂x2,
(5.6)
причём гладкий потенциал a удовлетворяет уравнению
∂2a
∂a ∂a
=
∂x1∂x2
∂x1 ∂x2
Отсюда находим, что
∂a
∂a
= c1(x1)ea,
= c2(x2)ea
(5.7)
∂x1
∂x2
с некоторыми гладкими функциями c1 и c2 одной переменной. Значит, согласно равенствам
(5.5) и (5.6), будем иметь
c1(x1)
c2(x2)
v1 =
ea, v2 =
ea.
(5.8)
ψ(x1)
ϕ(x2)
Наконец, из первого уравнения в (5.7) получаем
∫
-e-a = c1(x1)dx1 + d(x2).
В итоге представления (5.8) дают следующий вид правых частей нашей системы дифферен-
циальных уравнений:
A(x1)
B(x2)
v1 =
,
v2 =
,
C(x1) + D(x2)
C(x1) + D(x2)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
3∗
1332
КОЗЛОВ В.В.
где A, B, C, D - гладкие функции. В этом случае мы имеем систему Штекеля с разделяю-
щимися переменными из п. 2.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 21-71-
30011).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. Ижевск, 1995.
2. Козлов В.В. Замечания об интегрируемых системах // Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. № 3.
С. 459-478.
3. Переломов А.М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. М., 1990.
4. Дубровин Б.А. Тета-функции и нелинейные уравнения // Успехи мат. наук. 1981. Т. 36. № 2. С. 11-
80.
5. Якоби К. Лекции по динамике. М.; Л., 1936.
6. Цыганов А.В. Однородные системы типа систем Штекеля // Теор. и мат. физика. 1998. Т. 115. № 1.
С. 3-28.
7. Борисов А.В., Мамаев И.С. Современные методы теории интегрируемых систем. М.; Ижевск, 2003.
8. Козлов В.В. Динамические системы на торе с многозначными интегралами // Тр. Мат. ин-та
им. В.А. Стеклова РАН. 2007. Т. 256. С. 201-218.
9. Арнольд В.И. Полиинтегрируемые потоки // Алгебра и анализ. 1992. Т. 4. № 6. С. 54-62.
10. Колмогоров А.Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе // Докл. АН
СССР. 1953. Т. 93. № 5. С. 763-766.
11. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М., 1980.
12. Herman M.R. Exemples de flots hamiltoniens dont aucune perturbation en topologie C∞ n’a d’orbites
périodiques sur un ouvert de surfaces d’énergies // Comp. Rend. Acad. Sci. Paris. 1991. Sér. 1. V. 312.
№ 13. P. 989-994.
Математический институт им. В.А. Стеклова РАН,
Поступила в редакцию 12.07.2021 г.
г. Москва,
После доработки 12.07.2021 г.
Ярославский государственный университет
Принята к публикации 08.09.2021 г.
им. П.Г. Демидова
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
