ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1333-1338

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.52+517.926.4

О ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЯХ

УСЛОВНО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Доказано, что верхние генеральные показатели всех систем из H-класса системы линейных

дифференциальных уравнений с условно-периодическими коэффициентами равны между

собой. Указана их связь со спектральным радиусом оператора монодромии этой системы.

DOI: 10.31857/S0374064121100058

Введение. Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

x^′ = a(t)x.

(1)

Здесь a - действительная условно-периодическая матричная функция, т.е. a(t) = A(et), где

A = A(ϕ) - непрерывная n × n-матричная функция переменного ϕ = (ϕ₁,...,ϕ_m) ∈ R^m,

являющаяся ω_j -периодической по ϕ_j (j = 1, m), e = (1, . . . , 1) ∈ R^m, m ≥ 2, x ∈ Rⁿ, t ∈ R

и частоты β_i = 2π/ω_i, i = 1, m, рационально независимы. Обозначим ω = (ω₁, . . . , ω_m) и

ω = (ω₂,...,ω_m).

Введём ещё несколько обозначений. Пусть P_n(ω) - банахово пространство ω_j -периоди-

ческих по ϕ_j (j = 2, m) непрерывных вектор-функций u: Rm-1 → Cⁿ переменного

ϕ =

= (ϕ₂, . . . , ϕ_m) с нормой ∥u∥_ω = max

∥u(ϕ)∥, где ∥ · ∥ - какая-либо норма вектора в конеч-

ϕ∈Rm-1

номерном пространстве (согласованная с ней норма матрицы обозначается также через ∥ · ∥),

ê = (1,...,1) ∈ Rm-1; E - единичная n × n-матрица. Если ϕ,ϕ^′ ∈ R^m, то запись ϕ = ϕ^′

(mod ω) (или ∥ϕ - ϕ^′∥ < ϵ (mod ω)) означает, что найдутся целые числа r₁, . . . , r_m такие,

что ϕ = ϕ^′ +(r₁ω₁, . . . , r_mω_m) (или ∥ϕ-ϕ^′ +(r₁ω₁, . . . , r_mω_m)∥ < ϵ). В этом же смысле следует

понимать запись ϕ^j → ϕ (mod ω) при j → ∞.

Пусть n × n-матричная функция X является решением матричного уравнения

∫

X(ϕ) = A(ϕ - eξ)X(ϕ - eξ) dξ + E,

тогда X невырождена при всех ϕ ∈ R^m, а матричные функции X и X-1 непрерывны на

R^m и ω_j-периодичны по ϕ_j (j = 2,m) [1, 2].

Рассмотрим систему

X(ω₁,

ϕ)u(ϕ-êω1)-λu

ϕ) = g(ϕ)

(2)

относительно неизвестной вектор-функции u. Мы используем следующее условие разрешимо-

сти этой системы (не претендуя на его новизну, возможно, в теории операторов взвешенного

сдвига имеется результат, из которого оно следует). Система (2) для любой функции g ∈ P_n(ω)

имеет единственное решение u ∈ P_n(ω), если |λ| > ν(ϕ) для некоторого

ϕ ∈ Rm-1, где

√

ϕ) = lim

j+1 ∥Xj+s ··· X_s∥

(3)

j,s→∞

и X_j =X(ω₁

ϕ + jω₁ê) (этот предел конечен, так как функция X(ω₁,·) ограничена).

С помощью этого условия мы показываем, что все системы из H-класса системы (1) на

полуоси t ≥ 0 имеют один и тот же верхний генеральный показатель μ = ω-11 ln ρ, где ρ -

1333

1334

КОЗЛОВ Ю.Д.

спектральный радиус оператора монодромии системы (1). Последнее равенство является ана-

логом классического результата для периодической системы (см. теорему 1.1 из [3, с. 282]).

Аналогичное соотношение между генеральным показателем H-класса системы (1) и спек-

тральным радиусом оператора монодромии ранее было получено в работе [4]. Множество сис-

тем из Н-класса системы (1) можно рассматривать как одно дифференциальное уравнение в

пространстве P_n(ω). Генеральный показатель κ этого уравнения - это и есть генеральный

показатель Н-класса, для него справедлива формула [4]

κ = lim t-1 ln sup

∥X(t + ξ, ê(t + ξ) +

ϕ)X-1(ξ, êξ +

ϕ)∥.

t,ξ→∞

ϕ∈Rm-1

Если в этой формуле под знаком логарифма убрать операцию sup, то для каждого

ϕ∈Rm-1

получим выражение верхнего генерального показателя некоторой системы из Н-класса (см. [4,

формула (5)]). При этом выражение под знаком логарифма (без значка sup) зависит от

ϕ, а

предел - нет. Кроме того, оказывается, что и ν(ϕ) не зависит от

ϕ, а именно, ν(ϕ) = ρ для

всех

ϕ∈Rm-1.

Понятие генерального показателя введено П.Г. Болем (см. [5, с. 456-486]). Он же является

одним из основателей теории условно периодических функций. В работе мы опираемся на его

идею периодического пространственного расширения этих функций. Мы также используем

идеи и технику, которые применяются для исследования периодических систем в моногра-

фии [3].

Обзор теории показателей линейных систем, включая условно-периодические системы,

можно найти в [6]. Отметим, что устойчивость системы (1) при постоянно действующих возму-

щениях равносильна отрицательности её верхнего генерального показателя [5]. Следовательно,

необходимым и достаточным условием устойчивости при постоянно действующих возмущени-

ях всех систем из H-класса системы (1) является условие ρ < 1.

1. Решение системы (2). Зафиксируем произвольные векторы

ϕ ∈ Rm-1 и u-1 ∈ Cⁿ,

положим u_k = u(ϕ+kω1ê), gk =g

ϕ + kω₁ê) и найдём u_k (k = 0,1,...) из системы (2):

u₀ = λ-1(X₀u-1 - g₀), ...

∑

...,

u_k = λ-1(X_kuk-1 - g_k) = λ-(k+1)X_k ··· X₀u-1 -

λ-(k-s+2)X_k ··· X_sgs-1 - λ-1g_k.

(4)

s=1

Исследуем полученную последовательность {u_k}.

Лемма 1. Пусть функция ν(ϕ) определяется формулой (3) и |λ| > ν(ϕ), тогда последо-

вательность {u_k} ограничена.

Доказательство. Поскольку |λ| > ν(ϕ), то по определению верхнего предела для произ-

вольного ε ∈ (0, |λ| - ν(ϕ)) возьмём s0 ∈ N такое, что из неравенств k > s > s0 следует

|λ|-(k-s+1)∥X_k · · · X_s∥ ≤ αk-s+1 (α = |λ|-1(ν(ϕ) + ε) < 1).

Кроме того, существует c > 0 такое, что |λ|-(s0-s+1)∥Xs0 · · · X_s∥ ≤ c для s = 0, s₀. Тогда

∑

∥u_k∥ ≤ |λ|-k-1∥X_k · · · Xs0+1Xs₀ · · · X0u-1∥ +

|λ|-(k-s+2)∥X_k · · · X_s∥∥gs-1∥ +

s=s₀+1

∑

+ |λ|-1

|λ|-(k-s0)∥X_k · · · Xs0+1∥|λ|-(s0-s+1)∥Xs₀ · · · Xs∥∥gs-1∥ + |λ|-1∥gk∥ ≤

s=1

( ∑k

)

≤ αk-s0c∥u-1∥ + |λ|-1∥g∥_ω

αk-s+1 + αk-s0cs₀ + 1

≤

s=s₀+1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

О ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЯХ

1335

≤ c∥u-1∥ + |λ|-1∥g∥_ω((1 - α)-1 + cs₀ + 1).

Эта оценка завершает доказательство леммы.

Вследствие рациональной независимости частот β_i, i = 1, m, по теореме Кронекера [7,

с. 68] для произвольного η ∈ Rm-1 найдётся возрастающая последовательность натуральных

чисел {k_j } такая, что

ϕ + k_jω₁ê → η (mod ω)

при j → ∞. Для краткости назовём её

ϕη-последовательностью.

Лемма 2. Пусть {k_j } является ϕη-последовательностью и выполняются условия лем-

мы 1, тогда подпоследовательность {ukj } последовательности {u_k} из леммы 1 сходится.

Доказательство. Используя представления (4), докажем, что последовательность {ukj }

фундаментальна. Для этого запишем k_j в виде k_j = p₀ + q_j + r_j , где p₀, q_j, r_j ∈ N и p₀ + q_j

также является членом последовательности {k_j }. Пусть ε > 0 произвольно. Благодаря огра-

ниченности {u_k}, так же, как в лемме 1, найдутся r₀, p₀ ∈ N такие, что

|λ|-(p0+1)∥Xp0+q_j +r_j · · · Xq_j +r_j uq_j +r_j -1∥ < ε/4,

|λ|-(p0+1)∥Xp0+q_j · · · Xq_j uq_j -1∥ < ε/4

для q_j > r₀ и r_j ∈ N.

Зафиксируем p₀. Принимая во внимание, что матричная X(ω₁, · ) и векторная g функции

непрерывны и ω_j -периодичны по ϕ_j (j = 2, m), мы можем выбрать r₀ так, чтобы для q_j > r₀

и r_j ∈ N расстояние между точками

ϕ+(po +q_j +r_j)ω₁ê и

ϕ+(po +q_j)ω₁ê по mod

ω было

настолько малым, что выполняются неравенства

∑

|λ|-(p0+s+2)∥Xp0+q_j +r_j · · · Xq_j +r_j +sgq_j +r_j +s-1 - Xp₀+q_j · · · Xq_j +sgq_j +s-1∥ < ε/4

s=1

|λ|-1∥gp0+q_j +r_j - gp₀+q_j ∥ < ε/4.

Подставляя ϕ + qω1ê вместо

ϕ в (4), получаем

up+q = u_p

ϕ+qω₁ê)=λ-(p+1)X_p

ϕ+qω₁ê)···X₀

ϕ+qω₁ê)u-1

ϕ + qω₁ê) -

∑

- λ-(p-s+2)X_p

ϕ+qω₁ê)···X_s

ϕ+qω₁ê)gs-1

ϕ+qω₁ê)-λ-1g_p

ϕ + qω₁ê) =

s=1

∑

=λ-(p+1)Xp+q··· X_quq-1 -

λ-(p-s+2)Xp+q ··· Xq+sgq+s-1 - λ-1gp+q

s=1

для p, q ∈ N.

Используя это соотношение и предыдущие оценки, имеем неравенство

∥up0+q_j +r_j - up₀+q_j ∥ = ∥up₀ (ϕ+(qj +rj)ω1ê)-up0

ϕ + q_jω₁ê)∥ < ε

при q_j > r₀, r_j ∈ N. Следовательно, последовательность {ukj } сходится. Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть |λ| > ν(ϕ) (ν

ϕ) определено формулой (3)) для некоторого

ϕ∈Rm-1,

тогда система (2) для любой функции g ∈ P_n(ω) имеет единственное решение u ∈ P_n(ω).

Доказательство. Существование. Пусть η ∈ Rm-1 произвольно и {k_j } является

ϕη-по-

следовательностью. В силу леммы 2 можно положить u(η) = lim

ukj . Если взять другую

j→∞

ϕη-последовательность {r_j }, то urj → u(η). Действительно, если допустить, что urj → v =

= u(η), то последовательность uk1 , ur1 , uk2 , ur2 , . . . сходится и расходится одновременно.

Это противоречие доказывает наше утверждение.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1336

КОЗЛОВ Ю.Д.

Только что определённая вектор-функция является ω_r-периодической по ϕ_r, так как не

только

ϕ+k_jω₁ê → η (mod ω), но и ϕ+k_jω₁ê → η+(0,...,0,ω_r, 0, . . . , 0) (mod ω) при j → ∞

(r = 2, m). Поэтому u(η) = u(η + (0, . . . , 0, ω_r, 0, . . . , 0)).

Докажем, что эта функция непрерывна. Возьмём произвольное

η ∈ Rm-1 и последова-

тельность

ϕj }, сходящуюся к

η по mod

ω при j → ∞. Согласно определению u(ϕj ),

для каждого натурального j выберем l_j ∈ N такое, что ∥ϕj - ljω1ê -

ϕ∥ < j-1 (mod ω)

и ∥u(ϕj ) - ulj ∥ < j-1. Тогда

ϕ + l_jω₁ê → η (mod ω) и lim

u(ϕj ) = lim

u(l_j ω₁ê +

ϕ) = u(η).

j→∞

Это доказывает, что вектор-функция u непрерывна на Rm-1.

Так как матричная X(ω₁, · ) и векторная g функции непрерывны и периодичны и

ϕ+

+k_jω₁ê→ η (mod ω), то gkj =g

ϕ+k_jω₁ê)→g(η) и Xkj =X(ω₁

ϕ+ k_jω₁ê) → X(ω₁, η) при

j → ∞. Кроме того,

ϕ + (k_j - 1)ω₁ê → η - êω₁ (mod ω) и Xkjukj-1 - λuk_j = gk_j. Поэтому,

переходя к пределу в предыдущем равенстве, получаем, что X(ω₁, η)u(η - êω₁) - λu(η) = g(η)

для η ∈ Rm-1. Существование решения доказано.

Единственность. Допустим противное. Тогда существует нетривиальное решение u ∈ P_n(ω)

системы

X(ω₁, η)u(η - êω₁) - λu(η) = 0.

Пусть u_k = u(ϕ + kω1ê), тогда uk = λ-(k+1)Xk ···X0u-1. Покажем, что uk → 0. Пусть ε, s0

и c будут такими же, как в лемме 1. Для δ > 0 найдём s₁ ∈ N такое, что

|λ|-(k-s+1)∥X_k · · · X_s∥∥u-1∥ < δ

для k > s > s₁. Тогда будем иметь

∥u_k∥ ≤ |λ|-(k-s1)∥X_k · · · Xs1+1∥|λ|-(s1-s0)∥Xs₁ · · · Xs₀+1∥|λ|-(s0+1)∥Xs₀ · · · X0∥∥u-1∥ < δ·1·c = δc

для k > s₁ > s₀ и

∥u_k∥ ≤ |λ|-(k-s0)∥X_k · · · Xs0+1∥|λ|-(s0+1)∥Xs₀ · · · X0∥∥u-1∥ < δc

для k > s₀ ≥ s₁. Следовательно, последовательность {u_k} является бесконечно малой. Взяв

произвольное

η ∈ Rm-1 и

ϕη-последовательность

{k_j }, получим, что u(η) = lim

ukj = 0.

j→∞

Это противоречит нетривиальности вектор-функции u и завершает доказательство теоремы.

2. Верхние генеральные показатели систем из H-класса системы (1). Рассмотрим

систему

x^′ = b(t)x,

принадлежащую H-классу системы (1), т.е. существует последовательность {et_k}, сходящаяся

по mod ω, и a(t + t_k) → b(t) равномерно на действительной прямой.

Так как матричная функция A периодична и непрерывна, то она равномерно непрерывна

на R^m. Поэтому, если et_k → ϕ (mod ω), где ϕ ∈ R^m, то a(t + t_k) = A(e(t + t_k)) → A(et + ϕ)

равномерно по t ∈ R при k → ∞. Значит, в нашем случае H-классом системы (1) является

множество систем

x^′ = A(et + ϕ)x,

где ϕ ∈ R^m.

Характеристические и генеральные показатели системы (1) инвариантны относительно

сдвига аргумента матрицы a. Следовательно, множество генеральных показателей систем

x^′ = A(t, êt +

ϕ)x,

(5)

где

ϕ ∈ Rm-1, совпадает с множеством генеральных показателей систем из H-класса систе-

мы (1). Поэтому далее будем рассматривать систему (5).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

О ГЕНЕРАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЯХ

1337

Для каждого

ϕ∈Rm-1 матрица X(t,êt+

ϕ) является нормированной фундаментальной

матрицей системы (5) [2]. Поэтому, следуя теореме 4.4 из [3, с. 175], верхний генеральный

показатель этой системы на полуоси t ≥ 0 можно представить в виде

ϕ) = lim t-1 ln ∥X(t + ξ, ê(t + ξ) +

ϕ)X-1(ξ, êξ +

ϕ)∥.

(6)

t,ξ→∞

Кроме того, функция X обладает свойством

X(ϕ₁ + lω₁,

ϕ) = X(ϕ)X(lω₁,

ϕ - ϕ₁ê),

(7)

где ϕ₁ ∈ R,

ϕ ∈ Rm-1 и l ∈ Z [1, 2]. Это равенство является аналогом известного свойства

фундаментальной матрицы периодической системы.

Лемма 3. Пусть μ(ϕ) - верхний генеральный показатель системы (5) на полуоси t ≥ 0

и ν

ϕ) определяется формулой (3). Тогда равенство μ

ϕ) = ω-11 ln ν

ϕ) справедливо для всех

ϕ∈Rm-1.

Доказательство. Используя равенство (7) (для l = 1), получаем

X(pω₁,

ϕ+pω₁ê)=X((p-1)ω₁

ϕ+pω₁ê)X(ω₁

ϕ + ω₁ê) = ...

...=X(ω₁

ϕ+pω₁ê)X(ω₁

ϕ+(p-1)ω₁ê)···X(ω₁

ϕ + ω₁ê) = Xp ···X₁.

Следовательно,

Xj+s ··· X_s = Xj+s ··· X₁(Xs-1 ··· X₁)-1 =

=X((j+s)ω₁

ϕ+(j+s)ω₁ê)X-1((s-1)ω₁

ϕ + (s - 1)ω₁ê).

Пусть t + ξ = (j + s)ω₁ + γ и ξ = (s - 1)ω₁ + δ, где γ, δ ∈ [0, ω₁] и j, s ∈ N, тогда в силу

(7) имеем

X(t + ξ, (t + ξ)ê +

ϕ) = X(γ, (j + s + γ)ω₁ê +

ϕ)X((j + s)ω₁,

ϕ + (j + s)ω₁ê)

X(ξ, ξê +

ϕ) = X(δ,(s - 1 + δ)ω₁ê+

ϕ)X((s - 1)ω₁,ϕ + (s - 1)ω1ê).

Вследствие непрерывности функций X и X-1 и их периодичности по ϕ_r (r = 2, m)

найдётся число β > 0 такое, что ∥X-1(γ,

ϕ)∥ < β и ∥X(γ,ϕ)∥ < β, а значит, ∥X-1(γ,ϕ)y∥ >

>β-1∥y∥ и ∥X(γ,

ϕ)y∥ > β-1∥y∥ для γ ∈ [0, ω₁],

ϕ∈Rm-1 и y∈Rⁿ.

Таким образом, справедливы оценки

β-2∥Xj+s ··· X_s∥ = β-2∥X((j + s)ω₁,

ϕ+(j+s)ω₁ê)X-1((s-1)ω₁

ϕ + (s - 1)ω₁ê)∥ ≤

≤ ∥X(t + ξ, (t + ξ)ê +

ϕ)X-1(ξ, êξ +

ϕ)∥ ≤

≤β²∥X((j + s)ω₁,

ϕ+(j+s)ω₁ê)X-1((s-1)ω₁

ϕ + (s - 1)ω₁ê)∥ = β²∥Xj+s ···X_s∥

и, следовательно,

t-1 ln(β-2∥Xj+s ··· X_s∥) ≤ t-1 ln ∥X(t + ξ,(t + ξ)ê+

ϕ)X-1(ξ, êξ +

ϕ)∥ ≤

≤ t-1 ln(β²∥Xj+s ···X_s∥),

(8)

t = (j + 1)ω₁ + γ - δ.

Переходя к верхнему пределу в этих неравенствах при j и s, стремящихся к бесконечно-

сти, приходим к нужному результату, так как левая и правая части неравенства (8) стремятся

к ω-11lnν

ϕ), а средняя часть - к μ(ϕ). Лемма доказана.

Рассмотрим оператор монодромии L [1, 2] системы (1), определённый на P_n(ω) равенством

Lu = X(ω₁,

ϕ)u(ϕ - êω1), u ∈ Pn(ω).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1338

КОЗЛОВ Ю.Д.

Теорема 2. Пусть ρ - спектральный радиус оператора L и μ(ϕ) - верхний генеральный

показатель системы (5) на полуоси t ≥ 0. Тогда для всех

ϕ ∈ Rm-1 справедлива формула

ϕ) = ω-11 ln ρ.

Доказательство. Во-первых, заметим, что ν(ϕ) ≥ ρ и, следовательно, μ(ϕ) ≥ ω-11 ln ρ

для всех

ϕ ∈ Rm-1. В противном случае, если допустить, что ν

ϕ) < ρ для некоторого

ϕ ∈ Rm-1, то система (2), согласно теореме 1, имеет единственное решение u ∈ P_n(ω), как

только g ∈ P_n(ω) и |λ| = ρ. Следовательно, окружность |λ| = ρ состоит из регулярных точек

оператора L. Это противоречит тому, что значение ρ является спектральным радиусом этого

оператора.

В работе [4] доказано соотношение

ω-11 ln ρ = lim t-1 ln max

∥X(t + ξ, ê(t + ξ) +

ϕ; ξ)∥,

(9)

t,ξ→∞

ϕ∈Rm-1

в котором X(t + ξ, ê(t + ξ)+

ϕ;ξ) = X(t+ξ, ê(t+ξ)+ϕ)X-1(ξ, êξ +ϕ). Сравнивая равенства (9)

и (6), заключаем, что μ(ϕ) ≤ ω-11 ln ρ и, следовательно, μ(ϕ) = ω-11 ln ρ. Теорема доказана.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Программы государственной

поддержки ведущих университетов Российской Федерации (соглашение № 02.A03.21.0006

от 27.08.2013 между Министерством образования и науки Российской Федерации и Уральским

федеральным университетом).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Козлов Ю.Д. О приводимости системы л.д.у. с условно-периодическими коэффициентами. Екате-

ринбург, 1995. Деп. в ВИНИТИ 06.05.95, N1278-В95.

2. Козлов Ю.Д. О дихотомии системы линейных дифференциальных уравнений с условно-периодиче-

скими коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 3. С. 294-299.

3. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом

пространстве. М., 1970.

4. Козлов Ю.Д. О показателях H-класса условно-периодической системы дифференциальных уравне-

ний // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 10. С. 1402-1405.

5. Боль П. Собр. тр. Рига, 1974.

6. Изобов Н. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техн.

Сер. Мат. анализ. Т. 12. М., 1974. С. 71-146.

7. Корнфельд Н.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. М., 1980.

Уральский федеральный университет

Поступила в редакцию 08.01.2020 г.

им. Первого Президента России Б.Н. Ельцина,

После доработки 08.06.2020 г.

г. Екатеринбург

Принята к публикации 08.09.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021