ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1339-1345
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.927.2+517.925.52
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПУАНКАРЕ
ДЛЯ ДВУМЕРНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ
И УРАВНЕНИЙ РИККАТИ
© 2021 г. В. И. Мироненко, В. В. Мироненко
Получены формулы вычисления отображения Пуанкаре за период для двумерной ли-
нейной периодической системы дифференциальных уравнений и для дифференциального
уравнения Риккати.
DOI: 10.31857/S037406412110006X
Введение. Данная работа представляет собой продолжение работы [1]. Ограничимся в ней
рассмотрением двумерных линейных периодических по времени дифференциальных систем.
Чтобы обратить внимание читателя на тот факт, что основные идеи работы приложимы и к
нелинейным системам, мы рассмотрим также и уравнение Риккати.
Далее будем пользоваться понятием отображения Пуанкаре за период [2, c. 209; 3, c. 216].
Напомним вначале необходимые для понимания работы сведения из теории отражающей
функции [4-11].
Пусть n ∈ N фиксировано и D - открытая область в Rn. Рассмотрим дифференциальную
систему
dx
= X(t,x), t ∈ R, x ∈ D,
(1)
dt
задача Коши для которой имеет единственное решение для любой точки (t0, x0) ∈ R × D.
Пусть x = ϕ(t; t0, x0) - общее решение этой системы в форме Коши. Отражающая функция
F (t, x) системы (1) определяется формулой F (t, x) = ϕ(-t; t, x). Очевидно, что F (0, x) ≡
≡ x, x ∈ D. Для x ∈ D через Ix = (-αx,αx) обозначим максимальный симметричный
относительно нуля интервал существования решения ϕ(t; 0, x). Графики решений ϕ(t; 0, x),
t ∈ Ix, заполняют некоторую открытую область, которая и является областью определения
отражающей функции F (t, x).
Главное свойство отражающей функции состоит в том, что для любого решения x(t) систе-
мы (1) справедливо тождество F (t, x(t)) ≡ x(-t), t ∈ Ix(0). Другими словами, отражающая
функция каждому будущему состоянию x(t) реальной системы, моделируемой дифферен-
циальной системой (1), ставит в соответствие её прошлое состояние x(-t) в симметричный
относительно настоящего t = 0 момент времени. Отсюда вытекают следующие утверждения
(см. [5, 6]).
1. Если система (1) 2ω-периодична по t и F (t, x) - её отражающая функция, то отобра-
жение Пуанкаре на отрезке [-ω, ω] для этой системы задаётся правилом x → F (-ω, x).
2. Если F (t, x) является отражающей функцией 2ω-периодической системы (1), то про-
должимое на [-ω, ω] решение x(t) = ϕ(t; -ω, x0) будет 2ω-периодическим тогда и только
тогда, когда F (-ω, x0) = x0. Характер устойчивости этого решения совпадает с характером
устойчивости неподвижной точки x0 отображения Пуанкаре x → F (-ω, x).
3. Дифференцируемая функция F (t, x), определённая в некоторой окрестности гиперплос-
кости t = 0 пространства (t, x), является отражающей функцией системы (1) тогда и только
тогда, когда она представляет собой решение задачи Коши
∂F
∂F
+
X(t, x) + X(-t, F ) = 0, F (0, x) = x.
∂t
∂x
1339
1340
МИРОНЕНКО В.И., МИРОНЕНКО В.В.
4. Для линейной системы
dx
= P(t)x, t ∈ R, x ∈ Rn,
(2)
dt
отражающая функция линейна и имеет вид x = F (t)x, где матрица F (t) выражается через
фундаментальную матрицу Φ(t) системы (2) формулой F (t) = Φ(-t)Φ-1(t). Эта матрица
называется отражающей матрицей и является решением следующей задачи Коши для ли-
нейного матричного дифференциального уравнения:
dF
+ FP(t) + P(-t)F = 0, F(0) = E,
(3)
dt
где E - единичная матрица.
5. Если система (2) получена из системы dy/dt = Q(t)y, имеющей отражающую функцию
y = F(t)y, заменой переменных x = S(t)y, то отражающая функция системы (2) задаётся
формулой x = S(-t)F (t)S-1(t)x.
1. Отражающая матрица и периодические решения линейных двумерных сис-
тем. Каждую линейную систему (2) с непрерывной матрицей коэффициентов можно записать
в виде
dx
= Pev(t)x + Pod(t)x, t ∈ R, x ∈ Rn,
(4)
dt
где Pev(t) = (P (t) + P (-t))/2 и Pod(t) = (P (t) - P (-t))/2 - соответственно чётная и нечётная
непрерывные матрицы. Сделав в системе (4) замену переменных
(
∫
t
)
1
y = xexp
-
tr Pev(τ) dτ
,
n
0
где tr - след матрицы, получим систему вида (4), у которой матрица чётной части Pev(t) имеет
тождественно нулевой след. Поэтому в дальнейшем, рассматривая двумерную систему (4), без
нарушения общности считаем, что она имеет вид
(
)
(
)
dx
p1(t) p2(t)
α(t) β(t)
=
x+
x, t ∈ R, x ∈ R2,
(5)
dt
p3(t)
-p1(t)
γ(t) δ(t)
здесь
(
)
(
)
p1(t) p2(t)
α(t) β(t)
Pev(t) :=
и Pod(t) :=
p3(t)
-p1(t)
γ(t) δ(t)
– чётная и нечётная непрерывные матрицы.
В дальнейшем мы будем рассматривать именно эту систему, если не оговорено противное.
Теорема 1. Пусть в системе (5) при всех t ∈ R матрица Pev(t) непрерывно дифферен-
цируема, а матрица Pod(t) непрерывна. Пусть также выполнены следующие условия:
1) при всех t ∈ R имеет место неравенство -det Pev(t) ≡ p21(t) + p2(t)p3(t) > 0;
2) функции
-p1(t)
-p2(t)
-p3(t)
m(t) :=
√
,
n(t) :=
√
,
r(t) :=
√
p21(t) + p2(t)p3(t)
p21(t) + p2(t)p3(t)
p21(t) + p2(t)p3(t)
удовлетворяют соотношениям
dm
dn
dr
+ nγ - βr = 0,
+ n(δ - α) + 2mβ = 0,
+ r(α - δ) - 2mγ = 0.
(6)
dt
dt
dt
Тогда отражающая матрица системы (5) задаётся формулой
F (t) = E ch ϕ(t) + M(t) sh ϕ(t),
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПУАНКАРЕ
1341
где
(
)
∫
t
√
m(t) n(t)
M (t) =
и ϕ(t) = 2
p21(τ) + p2(τ)p3(τ) dτ.
r(t)
-m(t)
0
Доказательство. Для того чтобы доказать теорему, достаточно проверить справедли-
вость основного соотношения (3) для отражающей матрицы, дифференциальное уравнение в
котором в нашем случае принимает вид
dF
+ F(Pev + Pod) + (Pev - Pod)F =
dt
d
=
(E ch ϕ + M sh ϕ) + (E ch ϕ + M sh ϕ)(Pev + Pod) + (Pev - Pod)(E ch ϕ + M sh ϕ) =
dt
dϕ
dM
dϕ
= E shϕ
+
sh ϕ + M
ch ϕ + 2Pev ch ϕ + (MPev + PevM) sh ϕ + (MPod - PodM) sh ϕ =
dt
dt
dt
(
)
(
)
(
)
dϕ
dϕ
dM
= M
+ 2Pev ch ϕ + E
+ MPev + PevM shϕ +
+ MPod - PodM shϕ = 0.
dt
dt
dt
Действительно, здесь каждое из выражений в скобках обращается в нуль. В этом легко убе-
диться, если учесть, что из условия 2 следует тождество
√
1
dϕ
Pev = -M p21 + p2p3 = -
M
2
dt
Условие F (0) = E очевидно выполнено. Теорема доказана.
Замечание 1. В соответствии с общим положением теории отражающей функции отобра-
жение Пуанкаре 2ω-периодической системы (5) на отрезке [-ω, ω] задаётся формулой
(
)
ch ϕ(ω) - m(ω) sh ϕ(ω)
-n(ω)sh ϕ(ω)
F (-ω, x) =
x.
-r(ω)shϕ(ω)
ch ϕ(ω) + m(ω) sh ϕ(ω)
Теорема 2. Пусть в системе (5) при всех t ∈ R матрица Pev(t) непрерывно дифферен-
цируема, а матрица Pod(t) непрерывна. Пусть также выполнены следующие условия:
1. При всех t ∈ R верно неравенство -det Pev(t) ≡ p21 + p2(t)p3(t) < 0.
2. Функции
-p1(t)
-p2(t)
-p3(t)
m(t) :=
√
,
n(t) :=
√
,
r(t) :=
√
-p21(t) - p2(t)p3(t)
-p21(t) - p2(t)p3(t)
-p21(t) - p2(t)p3(t)
удовлетворяют соотношениям (6).
Тогда отражающая матрица системы (5) задаётся формулой
F (t) = E cos ϕ(t) + M(t) sin ϕ(t),
где
(
)
∫
t
√
m(t) n(t)
M (t) =
и ϕ(t) = 2
-p21(τ) - p2(τ)p3(τ)dτ.
r(t)
-m(t)
0
Доказательство. Сведём доказательство теоремы 2 к доказательству теоремы 1, восполь-
зовавшись формулировкой последней. При этом мы будем считать, что в этой формулировке
использованы обозначения ϕ1, m1, n1, r1 вместо ϕ, m, n, r соответственно. Тогда
t
∫t
√
∫
√
ϕ1(t) = 2
p21(τ) + p2(τ)p3(τ) dτ = 2i
-p21(τ) - p2(τ)p3(τ) dτ = -iϕ(t),
0
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
1342
МИРОНЕНКО В.И., МИРОНЕНКО В.В.
m(t)
n(t)
r(t)
m1(t) =
,
n1(t) =
,
r1(t) =
,
i2 = -1.
i
i
i
Поэтому для отражающей матрицы рассматриваемой системы получим соотношение
sh(iϕ(t))
F (t) = E ch(iϕ(t)) + M(t)
= E cosϕ(t) + M(t)sinϕ(t).
i
Отсюда и следует утверждение теоремы 2.
Провести доказательство можно также, непосредственно проверив соотношение (3).
Следствие 1. Пусть для 2ω -периодической системы (5) выполнены все условия теоре-
мы 2 и
∫
ω
√
q
-p21(τ) - p2(τ)p3(τ) dτ = π
,
p
0
где p, q ∈ N и q/p - несократимая дробь.
Тогда все решения этой системы являются 2ωp-периодическими.
Доказательство. Так как функция ϕ(t) из формулировки теоремы 2 является, согласно
её определению, нечётной, то функция
ϕ(t) чётная и в силу условий следствия 2ω-периоди-
ческая. Хорошо известно, что для всякой 2ω -периодич∫ской чётной фу∫кции
ϕ(t) существуют
ω
ω
2ω -периодическая функция ψ(t) и постоянная c =1
ϕ(τ) dτ =1
ϕ(τ) dτ, для которых
2ω
-ω
ω
0
∫t
ϕ(τ) dτ = ct + ψ(t).
0
Поэтому функция
(
)
πq
cos ϕ(t) = cos(ct + ψ(t)) = cos t
+ ψ(t)
ωp
является 2pω -периодической. Отсюда следует, что отображение Пуанкаре F (-ω)x = Ex на
отрезке [-ωp, ωp] является тождественным. Следствие 1 доказано.
Следствие 2. Пусть выполнены все условия теоремы 2. Тогда все решения 2ω -периоди-
ческой системы (5) ограничены на R и она устойчива не асимптотически.
Доказательство следует непосредственно из теоремы 1 [11, c. 81].
Замечание 2. Будем рассматривать три дифференциальных соотношения, которым долж-
ны удовлетворять функции m(t), n(t), r(t) согласно второму условию теоремы 2, как систему
дифференциальных уравнений для этих функций. Легко убедиться в том, что такая система
имеет первый интеграл m2 + rn = const, что согласуется с определяющими эти функции
формулами, из которых следует, что m2 + rn = 1. Это означает, что вместо трёх дифферен-
циальных соотношений (6) достаточно требовать выполнения только следующих двух диффе-
ренциальных соотношений:
dn
√
dr
√
+ n(δ - α) + 2β
1 - rn = 0,
+ r(α - δ) - 2γ
1 - rn = 0.
dt
dt
В качестве примера рассмотрим систему
(
)
(
)
dx
0
k(t)
α(t) β(t)
=
x+
x,
(7)
dt
p2(t)k(t)
0
γ(t) δ(t)
где k(t) - чётная непрерывная функция, p(t) - чётная, принимающая только положитель-
ные значения, непрерывно дифференцируемая функция, а функции α(t), β(t), γ(t), δ(t) -
непрерывные и нечётные.
√
Для рассматриваемой системы находим: dϕ(t)/dt = 2
p21 + p3p4 = 2p(t)k(t),
(
)
-p2
-k
-1
-p3
p(t)
1
0
1/p(t)
m(t) ≡ 0, n(t) ≡
≡
≡
,
r(t) ≡
≡-
;
M (t) =
ϕ
2pk
2p(t)
ϕ
2
2
p(t)
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПУАНКАРЕ
1343
Условия (6), как показывают вычисления, сводятся к следующим двум:
dp(t)
γ(t) = β(t)p2(t) и
= p(t)(δ(t) - α(t)).
(8)
dt
Поэтому следствием теоремы 1 является
Следствие 3. Пусть для системы (7) выполняются следующие условия:
1) p(t) - чётная дифференцируемая функция на R, принимающая только положитель-
ные значения;
2) k(t) - чётная непрерывная на R функция;
3) справедливы тождества (8).
Тогда отражающая матрица рассматриваемой системы задаётся формулой
F (t) = E ch ϕ(t) + M(t) sh ϕ(t),
где
∫
t
(
)
dϕ(t)
1
0
1/p(t)
=2
p(τ)k(τ) dτ, M(t) =
dt
2
p(t)
0
0
В заключение сделаем следующее важное при практическом использовании полученных
результатов
Замечание 3. Рассмотрим двумерную дифференциальную систему
dx
dy
= a(t)x + b(t)y + P (t, x, y),
= c(t)x + d(t)y + Q(t, x, y),
(9)
dt
dt
где P (t, x, y) и Q(t, x, y) - ряды (или многочлены) по степеням x и y с зависящими от
времени t коэффициентами.
Если
(
)
(
)(
)
F1(t,x,y)
f1(t) f2(t)
x
=
F2(t,x,y)
f3(t) f4(t)
y
– отражающая функция системы линейного приближения
dx
dy
= a(t)x + b(t)y,
= c(t)x + d(t)y,
dt
dt
то нередко эта отражающая функция является отражающей функцией и всей системы (9).
Это происходит тогда и только тогда, когда выполняются соотношения
f1(t)P(t,x,y) + f2(t)Q(t,x,y) + P(-t,f1(t)x + f2(t)y,f3(t)x + f4(t)y) ≡ 0,
f3(t)P(t,x,y) + f4(t)Q(t,x,y) + Q(-t,f1(t)x + f2(t)y,f3(t)x + f4(t)y) ≡ 0.
Проверить эти соотношения при известных fk(t), k = 1, 4, можно простыми, хотя и громозд-
кими при больших степенях у P и Q вычислениями. При этом для однородных по x, y
многочленов Ps(t, x, y), Qs(t, x, y) степени s, для которых
∑
∑
P (t, x, y) =
Ps(t,x,y), Q(t,x,y) =
Qs(t,x,y),
s=2
s=2
вычисления проводятся для каждого s отдельно.
2. Отражающая функция уравнения Риккати. Дифференциальное уравнение Рик-
кати
dx
= a(t) + b(t)x + c(t)x2
(10)
dt
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
1344
МИРОНЕНКО В.И., МИРОНЕНКО В.В.
с дифференцируемыми коэффициентами a(t), b(t), c(t) запишем в виде
dx
= (aev(t) + bev(t)x + cev(t)x2) + (aod(t) + bod(t)x + cod(t)x2),
dt
где выражение в первых скобках представляет собой сумму чётных по t слагаемых, а выра-
жение во вторых скобках - сумму нечётных по t слагаемых.
Теорема 3. Пусть b2ev(t) - 4aev(t)cev(t) > 0 при всех t ∈ R и функции
-2aev
2cev
-bev
r(t) :=
√
,
s(t) :=
√
,
n(t) :=
√
b2ev - 4aevcev
b2ev - 4aevcev
b2ev - 4aevcev
удовлетворяют системе соотношений
dr
ds
dn
= bod(t)r - 2aod(t)n,
= -bod(t)s - 2cod(t)n,
= cod(t)r + aod(t)s.
(11)
dt
dt
dt
Тогда отражающая функция уравнения (10) задаётся формулой
(ch ϕ(t) + n(t) sh ϕ(t))x + r(t) sh ϕ(t)
F (t, x) =
,
xs(t)shϕ(t) + ch ϕ(t) - n(t)sh ϕ(t)
√
∫t
где ϕ(t) :=
b2ev - 4aev(τ)cev(τ) dτ.
0
Доказательство этой теоремы можно провести, проверив основное соотношение для от-
ражающей функции из свойства 3.
Следствие 4. При выполнении условий теоремы 3 продолжимое на отрезок [-ω, ω] ре-
шение x(t;ω,x(ω)) уравнения (10) является решением краевой задачи
G(x(ω), x(-ω)) = 0
тогда и только тогда, когда
G(x(ω), F (ω, x(ω))) = 0.
Это утверждение следует из главного свойства F (t, x(t)) ≡ x(-t) отражающей функции.
В случае b2ev(t) - 4aev(t)cev(t) < 0 при всех t ∈ R имеем
∫t
√
ϕ(t) = i
4aevcev - b2ev =: ψ(t)i,
0
и отражающая функция уравнения (10) принимает вид
(cos ϕ(t) + n(t) sin ϕ(t))x + r(t) sin ϕ(t)
F (t, x) =
,
xs(t)sin ϕ(t) + cos ϕ(t) - n(t)sin ϕ(t)
где
-2aev
-2cev
-bev
r(t) :=
√
,
s(t) :=
√
,
n(t) :=
√
(12)
4aevcev - b2ev
4aevcev - b2ev
4aevcev - b2ev
Если при этом коэффициенты уравнения (10) 2ω -периодичны, то
∫
t
√
4aevcev - b2ev dτ = c0t + θ(t),
0
∫ω
√
где постоянная c0 = ω-1
4aevcev - b2ev dτ, а θ(t) - 2ω -периодическая функция.
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ПУАНКАРЕ
1345
Отсюда приходим к следующей теореме.
Теорема 4. Пусть все непрерывно дифференцируемые коэффициенты уравнения Риккати
(10) 2ω -периодичны и 4aev(t)cev(t) - b2ev(t) < 0 при всех t ∈ R. Пусть также функции (12)
удовлетворяют соотношениям (11).
Тогда все продолжимые на отрезок [-ω, ω] решения уравнения (10) являются 2ωp-перио-
дическими, если
ω
∫
√
q
4aevcev - b2ev dτ = π
,
p
0
где p, q ∈ N и q/p - несократимая дробь.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мироненко В.И., Мироненко В.В. Явное вычисление отображения Пуанкаре линейной периодиче-
ской системы // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 2. С. 196-202.
2. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1984.
3. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М., 1985.
4. Мироненко В.И. Отражающая функция и классификация периодических дифференциальных сис-
тем // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20. № 9. С. 1635-1638.
5. Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений.
Минск, 1986.
6. Мироненко В.И. Отражающая функция и исследование многомерных дифференциальных систем.
Гомель, 2004.
7. Mironenko V.I., Mironenko V.V. How to construct equivalent differential systems // Appl. Math. Let.
2009. V. 22. P. 1356-1359.
8. Mironenko V.I., Mironenko V.V. Time symmetries and in-period transformations // Appl. Math. Let.
2011. V. 24. P. 1721-1723.
9. Мироненко В.И., Мироненко В.В. The new method for the searching periodic solutions of periodic
differential systems // J. of Appl. Anal. and Comp. 2016. V. 6. № 3. Р. 876-883.
10. Zhou Zhengxin. The Theory of Reflecting Function of Differential Equations and Applications. Beijing,
2014.
11. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.
Гомельский государственный университет
Поступила в редакцию 09.04.2021 г.
им. Ф. Скорины
После доработки 09.04.2021 г.
Принята к публикации 08.09.2021 г.
4
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
