ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1346-1358

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.51

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ЦЕЛОМ

СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НЕКОТОРОГО

КЛАССА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

В гильбертовом пространстве для дифференциальных уравнений третьего порядка, линей-

ных относительно производных, с действительнозначными коэффициентами, являющими-

ся функциями независимой переменной, и с нелинейным относительно искомой функции

членом, задаваемым сильно монотонным оператором, удовлетворяющим условию Липши-

ца, продемонстрирован метод установления достаточных условий асимптотической устой-

чивости в целом стационарных решений. Приведены неравенства, позволяющие оценить

для указанных уравнений скорость сходимости их решений к стационарному решению.

DOI: 10.31857/S0374064121100071

1. Постановка задачи. Пусть H - вещественное гильбертово пpостpанство, (u, v) - ска-

лярное произведение элементов u и v из H, оператор A : H → H является, вообще говоря,

нелинейным и обладает свойствами:

A - сильно монотонный на H оператор, т.е. справедливо неравенство

(Au - Av, u - v) ≥ M∥u - v∥² для всех u, v ∈ H, где M = const > 0;

(1)

A удовлетворяет на H условию Липшица, т.е.

∥Au - Av∥ ≤ L∥u - v∥ для всех u, v ∈ H, где L = const > 0.

(2)

Рассмотрим в пространстве H уравнение

Ax = f,

(3)

в котором f - фиксированный элемент из H. В силу предположений (1) и (2) уравнение (3)

имеет единственное решение x ∈ H при любом элементе f ∈ H (см., например, [1, теоре-

ма 18.5; 2, теорема 1.7.5]). Кроме того, задача Коши

y^′′′(t) + ϕ₁(t)y^′′(t) + ϕ₂(t)y^′(t) + ϕ₃(t)(Ay(t) - f) = 0, t ≥ t₀ ≥ 0,

(4)

y(t₀) = y₀, y^′(t₀) = y′0, y^′′(t₀) = y′′0

(5)

однозначно разрешима при любых непрерывных при t ≥ t₀ действительнозначных функциях

ϕ₁(t), ϕ₂(t), ϕ₃(t) и любых элементах y₀, y′0, y′′0 из H (см. [3, § 33.4]).

Тождественно постоянная функция y(t) = x ∈ H при всех t ≥ t₀, где x - решение уравне-

ния (3), является решением уравнения (4). Это решение называется стационарным решением

(см. [4, § 1]) уравнения (4). Для приложений представляет интерес поведение решения y(t) =

= const задачи (4), (5) относительно стационарного решения уравнения (4). Если H = R и

Ay = ay, a = const > 0, f = 0, ϕ_k(t) = ϕ_k = const, k = 1, 3, то эта задача является линейной

и легко решается с помощью критерия Рауса-Гурвица. В наших предположениях уравнение

(4) на H в общем случае не является линейным.

Цель данной работы состоит в установлении условий на функции ϕ₁(t), ϕ₂(t), ϕ₃(t) и

параметры M, L, при которых выполняется соотношение

∥y(t) - x∥ → 0 при t → ∞

1346

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ЦЕЛОМ

1347

при любых начальных условиях (5), т.е., другими словами, нас интересуют достаточные усло-

вия асимптотической устойчивости в целом стационарного решения x уравнения (4). Решение

поставленной задачи получим, используя методику, предложенную в работах [5, 6], для неко-

торого определяемого ниже класса функций ϕ_k(t), k = 1, 3. Для решения построим вспомо-

гательное линейное дифференциальное неравенство третьего порядка относительно некоторой

скалярной функции, для которого можно использовать критерий Рауса-Гурвица.

2. Вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть действительнозначная функция x(t) ∈ C²[t₀, ∞) удовлетворяет ли-

нейному дифференциальному неравенству второго порядка

x^′′(t) + px^′(t) + qx(t) ≤ a(t), t ≥ t₀, x(t₀) = x₀, x^′(t₀) = x′0,

где p и q - действительные числа, а функция a(t), t ≥ t₀, непрерывна. Пусть также k₁,

k₂ - корни уравнения

k² + pk + q = 0.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если k₁ и k₂ - действительные различные числа, то верно неравенство

(

x(t) ≤

(x₀k₂ - x′0) exp{k₁(t - t₀)} + (x′0 - k₁x₀) exp{k₂(t - t₀)} +

k₂ - k₁

∫^t

)

+ a(s)[exp{k₂(t - s)} - exp{k₁(t - s)}] ds

;

(6)

t₀

2) если k1,2 = α ± iβ, α и β - действительные числа, то выполняется оценка

)

⁽x′0 - αx₀

x(t) ≤

sin(β(t - t₀)) + x₀ cos(β(t - t₀)) exp{α(t - t₀)} +

∫

a(s) exp{α(t - s)} sin(β(t - s)) ds;

(7)

t₀

3) если k₁ = k₂ = α, то справедливо неравенство

x(t) ≤ (x₀(1 + αt₀) - t₀x′0) exp{α(t - t₀)} + (x′0 - αx₀)t exp{α(t - t₀)} +

∫t

+ a(s)(t - s) exp{α(t - s)} ds.

(8)

t₀

Неравенство (6) установлено, например, в [7]. Оценки (7) и (8) можно получить, в частно-

сти, следующим образом. Для случаев 2), 3) решим задачу Коши

v^′′(t) + pv^′(t) + qv(t) = a(t), v(t₀) = x(t₀) = x₀, v^′(t₀) = x^′(t₀) = x′0,

и на основании результатов [8, § 24.3] запишем неравенство x(t) ≤ v(t), что приведёт к оценкам

(7) и (8).

Лемма 2. Пусть действительнозначная функция x(t) ∈ C³[t₀, ∞) удовлетворяет ли-

нейному дифференциальному неравенству третьего порядка

x^′′′(t) + px^′′(t) + qx^′(t) + gx(t) ≤ η(t), t ≥ t₀, x(t₀) = x₀, x^′(t₀) = x′0, x^′′(t₀) = x′′0,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

4^∗

1348

РЯЗАНЦЕВА

где p, q и g - действительные числа, а функция η(t), t ≥ t₀, непрерывна. Пусть также

k₁, k₂, k₃ - корни уравнения

k³ + pk² + qk + g = 0.

Тогда справедливы следующие утверждения:

i) если корни k₁, k₂, k₃ - действительные попарно различные числа, то верна оценка

(

x(t) ≤

u₁ exp{k₂(t - t₀)} + u₂ exp{k₃(t - t₀)} +

k₂ - k₃

[

]

+u₀

(exp{k₁(t - t₀)} - exp{k₂(t - t₀)}) -

(exp{k₁(t - t₀)} - exp{k₃(t - t₀)})

k₁ - k₂

k₁ - k₃

∫

η(θ)(exp{k₁(t - θ)} - exp{k₂(t - θ)})dθ -

k₁ - k₂

t₀

∫

)

η(θ)(exp{k₁(t - θ)} - exp{k₃(t - θ)})dθ

k₁ - k₃

t₀

где u₀ = x′′0 - (k₂ + k₃)x′0 + k₂k₃x₀, u₁ = x′0 - k₃x₀, u₂ = k₂x₀ - x′0;

ii) если k₁ - действительное число, а k2,3 = α ± iβ - комплексные взаимно сопряжённые

числа, то имеет место неравенство

x(t) ≤ [x₀ cos(β(t - t₀)) + u₃ sin(β(t - t₀))] exp{α(t - t₀)} +

u₀

β(k2 + β²)[βexp{k1(t-t0)}-exp{α(t-t0)}(βcos(β(t-t0))+ksin(β(t-t0)))]+

[

∫

exp(k₁t) η(ξ) exp(-k₁ξ) dξ -

k² + β²

t₀

∫^t

(

)

]

− exp(αt) η(ξ) exp(-αξ) cos(β(t - ξ)) -

sin(β(t - ξ)) dξ

t₀

где u₀ = x′′0 - 2αx′0 + (α² + β²)x₀,

k₌ k₁ - α, u₃ = (x′0 - αx₀)/β;

iii) если k₁ = k₂ = k, k₃ = k, то выполнена оценка

x(t) ≤ w₁ exp{k(t - t₀)} + w₂t exp{k(t - t₀)} -

[

]

u₀

(t - t₀) exp{k(t - t₀)} -

(exp{k₃(t - t₀)} - exp{k(t - t₀)})

k₃ - k

k₃

-k

∫

[

]

η(ξ) (ξ - t) exp{k(t - ξ)} +

(exp{k₃(t - ξ)} - exp{k(t - ξ)}) dξ,

k₃

−k

k₃

-k

t₀

здесь w₁ = x₀(1 + kt₀) - t₀x′0, w₂ = x′0 - kx₀, u₀ = x′′0 - 2kx′0 + k²x₀;

iv) если k₁ = k₂ = k₃ = k, то верно неравенство

∫

exp(kt)

x(t) ≤ (v₁ + v₂t + v₃t²) exp{k(t - t₀)} +

(s - t)²η(s) exp(-ks) ds,

t₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ЦЕЛОМ

1349

где v₁ = (1 + t₀k + t²⁰k²/2)x₀ - t₀(1 + t₀k)x′0 + t²⁰x′′0/2, v₂ = -k(1 + t₀k)x₀ + (1 + 2kt₀)x′0 - t₀x′′0,

v₃ = (k²x₀ - 2kx′0 + x′′0)/2.

3. Основной результат. Пусть ϕ_k(t), k = 1,3, - действительнозначные положительные

четырежды непрерывно дифференцируемые убывающие и выпуклые вниз функции, t ≥ t₀ ≥

≥ 0. Тогда имеют место неравенства (см. [9, гл. 2, § 10])

ϕk(t) - ϕk(τ) ≤ ϕ^k(t)(t - τ), t ≤ τ, k = 1, 3.

(9)

Кроме того, считаем, что

lim

ϕk(t) = ϕ^k > 0, k = 1, 3.

(10)

t→∞

При исследовании поведения решения задачи (4), (5) при t → ∞ важную роль играет

ограниченность норм производных y(k)(t) (k = 0, 2). Приведём достаточное условие, при

котором эти свойства для решения y(t) уравнения (4) выполняются (см. [5]).

Пусть существует положительное число R₀ такое, что при всех достаточно больших t

справедливо неравенство

ϕ₁(t)∥y^′′(t)∥² - (y(t) + y^′′(t),y^′(t)) + ϕ₂(t)(y^′(t),y^′′(t)) +

+ ϕ₃(t)(Ay(t) - f,y^′′(t)) ≥ 0, если

∥y(t)∥² + ∥y^′(t)∥² + ∥y^′′(t)∥² ≥ R₀ > 0,

(11)

тогда найдётся постоянная r₀ > 0, для которой

∥y(k)(t)∥ ≤ r₀, k = 0, 2, t ≥ t₀.

(12)

Далее считаем условие (11) выполненым.

Обратимся к задаче (4), (5) и определим скалярную функцию

∥y(t) - x∥

r(t) =

;

несложно видеть, что справедливы тождества

r^′(t) = (y^′(t),y(t) - x), r^′′(t) = ∥y^′(t)∥² + (y^′′(t),y(t) - x),

r^′′′(t) = (y^′′′(t),y(t) - x) + 3(y^′′(t),y^′(t)).

Здесь и всюду далее x - стационарное решение уравнения (4).

Умножив равенство (4) скалярно на y(t) - x и воспользовавшись свойством (1) оператора

A, получим неравенство

r^′′′(t) + ϕ₁(t)r^′′(t) + ϕ₂(t)r^′(t) + 2Mϕ₃(t)r(t) ≤ ϕ₁(t)∥y^′(t)∥² + 3∥y^′′(t)∥∥y^′(t)∥.

(13)

Построим следующие вспомогательные функции:

∥y^′(t)∥

∥y^′′(t)∥²

ρ(t) =

R(t) =

для них очевидны тождества

ρ^′(t) = (y^′′(t),y^′(t)), ρ^′′(t) = (y^′′′(t),y^′(t)) + ∥y^′′(t)∥²,

(14)

R^′(t) = (y^′′′(t),y^′′(t)).

(15)

Используя числовое неравенство ab ≤ a²/2 + b²/2 и определения функций ρ(t) и R(t), от

неравенства (13) приходим к неравенству

r^′′′(t) + ϕ₁(t)r^′′(t) + ϕ₂(t)r^′(t) + 2Mϕ₃(t)r(t) ≤ (2ϕ₁(t) + 3)ρ(t) + 3R(t) ≡ F(t).

(16)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1350

РЯЗАНЦЕВА

Найдём оценки сверху функций ρ(t) и R(t). Умножив равенство (4) скалярно на y^′(t), будем

иметь

(y^′′′(t), y^′(t)) + ϕ₁(t)(y^′′(t), y^′(t)) + ϕ₂(t)∥y^′(t)∥² = -ϕ₃(t)(Ay(t) - Ax, y^′(t)).

(17)

С учётом определения функции ρ(t), тождеств (14) и свойства (2) оператора A от неравенства

(17) придём к неравенству

ρ^′′(t) + ϕ₁(t)ρ^′(t) + 2ϕ₂(t)ρ(t) ≤ ∥y^′′(t)∥² + Lϕ₃(t)∥y(t) - x∥∥y^′(t)∥.

(18)

Последнее слагаемое в правой части неравенства (18), воспользовавшись указанным выше

числовым неравенством и определением функций r(t) и ρ(t), оценим следующим образом:

Lϕ₃(t)∥y(t) - x∥∥y^′(t)∥ ≤ Lϕ₃(t)(r(t) + ρ(t)).

(19)

Значит, от неравенства (18) приходим к неравенству

ρ^′′(t) + ϕ₁(t)ρ^′(t) + (2ϕ₂(t) - Lϕ₃(t))ρ(t) ≤ 2R(t) + Lϕ₃(t)r(t).

Применяя в последнем неравенстве метод замороженных коэффициентов и учитывая свойства

функций ϕ_k(t), получаем, что

ρ^′′(t) + ϕ₁(τ)ρ^′(t) + (2ϕ₂(τ) - Lϕ₃(τ))ρ(t) ≤ 2R(t) + Lϕ₃(t)r(t) +

+ (ϕ₁(τ) - ϕ₁(t))ρ^′(t) + L(ϕ₃(t) - ϕ₃(τ))ρ(t), t ≤ τ.

Отсюда, принимая во внимание оценки (9) и (12), выводим неравенство

ρ^′′(t) + ϕ₁(τ)ρ^′(t) + (2ϕ₂(τ) - Lϕ₃(τ))ρ(t) ≤ 2R(t) + Lϕ₃(t)r(t) + c₁g₂(t,τ),

(20)

в котором g₂(t, τ) ≡ (t - τ)(ϕ′1(t) + ϕ′3(t)), t ≤ τ. Здесь и далее через c_k, k ∈ N, обозначаем

положительные постоянные.

Умножив равенство (4) скалярно на y^′′(t), после простых преобразований получим нера-

венство

(y^′′′(t), y^′′(t)) + ϕ₁(t)∥y^′′(t)∥² ≤ ϕ₂(t)∥y^′(t)∥∥y^′′(t)∥ + ϕ₃(t)∥Ay(t) - Ax∥∥y^′′(t)∥.

С учётом определения функции R(t) и тождества (15), используя оценку типа (19) для

слагаемых в правой части последнего неравенства, будем иметь

R^′(t) + 2ϕ₁(t)R(t) ≤ ϕ₂(t)(ρ(t) + R(t)) + Lϕ₃(t)(r(t) + R(t)),

или

R^′(t) + (2ϕ₁(t) - ϕ₂(t) - Lϕ₃(t))R(t) ≤ ϕ₂(t)ρ(t) + Lϕ₃(t)r(t).

(21)

Пусть

m₁(t) ≡ 2ϕ₁(t) - ϕ₂(t) - Lϕ₃(t) ≥ m₀ = const > 1 для всех t ≥ t₀,

(22)

тогда из неравенства (21) вытекает, что

R^′(t) + m₀R(t) ≤ ϕ₂(t)ρ(t) + Lϕ₃(t)r(t),

и лемма 1 из [9, гл. 2, § 10] приводит к оценке

∫t

R(t) ≤ R(t₀) exp{-m₀(t - t₀)} + (ϕ₂(ξ)ρ(ξ) + Lϕ₃(ξ)r(ξ)) exp{-m₀(t - ξ)} dξ.

t₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ЦЕЛОМ

1351

Применив к её интегральному слагаемому правило Лопиталя, будем иметь

R(t) ≤ R(t₀) exp{-m₀(t - t₀)} +

(ϕ₂(t)ρ(t) + Lϕ₃(t)r(t)),

α > 1, t ≥ t₀.

(23)

m₀

При этом считаем, что γ = 1 - α/m₀ > 0. Значит, верны неравенства

1< α<m₀,

0 < γ < 1.

(24)

Учитывая в неравенстве (20) оценки (23), (9), (12) и предположение (22), приходим к неравен-

ству

ρ^′′(t) + ϕ₁(τ)ρ^′(t) + (2(1 - α/m₀)ϕ₂(τ) - Lϕ₃(τ))ρ(t) ≤

≤ L(1 + 2α/m₀)ϕ₃(t)r(t) + c₂(exp(-m₀t) + g(t,τ)),

(25)

в котором

∑

g(t, τ) ≡ (t - τ)

ϕ′k(t), t ≤ τ.

(26)

k=1

Для упрощения записи введём обозначение

m₂(t) ≡ 2γϕ₂(t) - Lϕ₃(t)

(27)

и запишем неравенство (25) в следующем виде:

ρ^′′(t) + ϕ₁(τ)ρ^′(t) + m₂(τ)ρ(t) ≤

≤ γ₀Lϕ₃(t)r(t) + c₂(exp(-m₀t) + g(t,τ)) ≡ G(t,τ), γ₀ = 1 + 2α/m₀.

(28)

В силу предположения (10) у функций m₁(t) и m₂(t) существуют пределы при t → ∞.

На основании неравенства (22) заключаем, что

lim

m₁(t) = 2ϕ⁰¹ - ϕ⁰² - Lϕ⁰³ ≡ m⁰¹ > 1.

(29)

t→∞

Предел функции m₂(t) при t → ∞ считаем положительным, т.е.

lim

m₂(t) = 2γϕ⁰² - Lϕ⁰³ ≡ m⁰² > 0,

γ = 1 - α/m₀,

0 < γ < 1.

(30)

t→∞

Для однородного дифференциального уравнения

ρ^′′(t) + ϕ₁(τ)ρ^′(t) + m₂(τ)ρ(t) = 0,

определяемого левой частью неравенства (28), характеристическое уравнение имеет вид

k² + ϕ₁(τ)k + m₂(τ) = 0.

(31)

Так как в силу (27) корни уравнения (31) выражаются через функции ϕ_k(τ) при k =

= 1, 3, которые положительны и непрерывны при τ ≥ t₀, а также убывают и имеют конечные

пределы при τ → ∞, то модули указанных корней непрерывны и ограничены при τ ≥ t₀.

Кроме того, учитывая соотношение (30), будем считать, что m₂(τ) > 0 при τ ≥ t₀.

Установим оценки сверху для функции ρ(t) на основании неравенства (28). Прежде все-

го отметим, что корни уравнения (31) имеют отрицательные действительные части. Пусть

-μ(τ) - максимальная действительная часть корней уравнения.

Предположим, что

|(ϕ⁰¹)²/4 - m⁰²| = D⁰ = 0.

(32)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1352

РЯЗАНЦЕВА

Значит, дискриминант D(τ) квадратного уравнения (31) не равен нулю при достаточно боль-

ших τ, а корни этого уравнения различны и имеют отрицательные действительные части.

Тогда в силу (6) и (7) верна оценка

∫^t

ρ(t) ≤ c₃ exp(-μ(τ)t)

ψ(τ) G(s, τ) exp{-μ(τ)(t - s)} ds,

(33)

t₀

в которой

{

√

1/(2

D(τ)), если D(τ) > 0,

ψ(τ) ≡

√

|D(τ)|,

если D(τ) < 0,

а функция G(t, τ) определена в (28).

Пусть

ψ(τ)/μ(τ) ≤ ψ⁰ для всех τ ≥ t₀.

(34)

Применив к интегралу в (33) правило Лопиталя по переменной t, получим, что при достаточно

больших t справедлива следующая оценка:

ρ(t) ≤ c₃ exp(-μ(τ)t) + αψ⁰G(t, τ), α > 1, t ≤ τ.

Отсюда с учётом определения функции G(t, τ) (см. (28)) приходим к неравенству

ρ(t) ≤ c₄Φ(t, τ) + αγ₀ψ⁰Lϕ₃(t)r(t),

(35)

здесь

Φ(t, τ) ≡ exp(-μ(τ)t) + exp(-m₀t) + g(t, τ),

(36)

функция g(t, τ) определена равенством (26). Теперь, приняв во внимание в оценке (23) нера-

венство (35), получаем

R(t) ≤ c₅Φ(t, τ) +

Lϕ₃(t)(αγ₀ψ⁰ϕ₂(t) + 1)r(t).

(37)

m₀

Далее, используя неравенства (35) и (37), построим оценку сверху для функции F (t), опре-

делённой в (16):

αLϕ₃(t)

F (t) ≤ c₆Φ(t, τ) +

Ψ(t)r(t), t ≤ τ,

m₀

где

Ψ(t) ≡ γ₀ψ⁰(2m₀ϕ₁(t) + 3αϕ₂(t) + 3m₀) + 3.

(38)

Таким образом, от неравенства (16) приходим к следующему дифференциальному неравенству

третьего порядка:

r^′′′(t) + ϕ₁(t)r^′′(t) + ϕ₂(t)r^′(t) + W(t)r(t) ≤ c₆Φ(t,τ),

в котором

(

)

W (t) ≡ ϕ₃(t)

2M -

^αLΨ(t) ,

1< α<m₀, t≤τ.

(39)

m₀

Применив в левой части последнего неравенства метод замороженных коэффициентов,

придём к неравенству

r^′′′(t) + ϕ₁(τ)r^′′(t) + ϕ₂(τ)r^′(t) + W(τ)r(t) ≤ c₇Φ(t,τ), t ≤ τ,

(40)

с некоторыми начальными условиями

r(t₀) = ∥y₀ - x∥²/2, r^′(t₀) = (y′0, y₀ - x), r^′′(t₀) = ∥y′0∥² + (y′′0, y₀ - x).

(41)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ЦЕЛОМ

1353

Теперь для скалярной функции r(t), удовлетворяющей неравенству (40) и начальным усло-

виям (41), найдём оценку сверху, зависящую от t и τ (t ≤ τ). Используя лемму 2, установим

оценку сверху для решения r(t) задачи (40), (41) в зависимости от корней характеристичес-

кого уравнения

k³ + ϕ₁(τ)k² + ϕ₂(τ)k + W(τ) = 0.

(42)

Так как нас интересуют условия, при которых r(t) = ∥y(t) - x∥²/2 → 0 при t → ∞, то кор-

ни уравнения (42) должны иметь отрицательную действительную часть. Согласно критерию

Рауса-Гурвица для этого необходимо и достаточно выполнения неравенств

ϕ₁(τ) > 0, ϕ₁(τ)ϕ₂(τ) - W(τ) > 0, W(τ) > 0 для всех τ ≥ t₀.

(43)

Далее считаем, что неравенства (43) выполнены.

В наших предположениях коэффициенты уравнения (42) непрерывны, положительны и

имеют конечные пределы при τ → ∞ (см. (10), (38), (39)). Значит, корни уравнения (42)

ограничены в совокупности при τ ≥ t₀.

Для упрощения записи введём некоторые обозначения. Пусть функция h(t) дифферен-

цируема достаточное число раз при t ≥ t₀. Построим функции G_k(h(t)) по следующему

рекуррентному правилу:

G₁(h(t)) = (h(t)t)^′, G_k(h(t)) = (h(t)t)^′Gk-1(h(t)) + G′k-1(h(t)), k ≥ 2.

(44)

Далее через -λ(τ) будем обозначать максимальную действительную часть корней урав-

нения (42). Заметим, что λ(τ) > 0 при всех τ ≥ t₀ в силу (43).

а) Сначала предположим, что корни уравнения (42) попарно различные. Тогда вследствие

леммы 2 для решения r(t) задачи (40), (41) имеем оценку

{

∫

}

r(t) ≤ c₈ exp(-λ(τ)t) + Φ(s, τ) exp(-λ(τ)(t - s)) ds

t≤τ.

(45)

t₀

Полагая в этой оценке t = τ и учитывая определение (36) функции Φ(t, τ), получаем следу-

ющие соотношения:

{

∫

}

{

r(τ) ≤ c₈ exp(-λ(τ)τ) + Φ(s, τ) exp(-λ(τ)(τ - s)) ds

=c₈

exp(-λ(τ)τ) +

t₀

[∫τ

∫

exp(-μ(τ)s) exp(λ(τ)s) ds + exp(-m₀s) exp(λ(τ)s) ds +

exp(λ(τ)τ)

t₀

∫τ

]}

∑

+ (s - τ) ϕ^′j (s) exp(λ(τ)s) ds

(46)

j=1

t₀

Предположим, что выполняются условия

lim τλ(τ) = ∞,

(47)

τ→∞

λ^′(τ) ≤ 0, τ ≥ t₀,

(48)

тогда первое слагаемое, стоящее в фигурных скобках в (46), является бесконечно малой вели-

чиной при τ → ∞. Применение правила Лопиталя при τ → ∞ приводит к эквивалентности

∫

exp(-m₀s) exp(λ(τ)s) ds ∼

exp(λ(τ)τ)

t₀

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1354

РЯЗАНЦЕВА

∫τ

exp(-m₀τ)

λ^′(τ)

∼

s exp(-m₀s) exp(λ(τ)s) ds.

(49)

G₁(λ(τ))

exp(λ(τ)τ)G₁(λ(τ))

t₀

Предположим, что неравенства

Gk(λ(τ)) > 0 для всех τ ≥ t0, k = 1, k0,

(50)

имеют место при k₀ = 2. Тогда из эквивалентности (49) с учётом условия (48) следует, что

третье слагаемое, стоящее в фигурных скобках в (46), сходится к нулю при τ → ∞, если

выполнено соотношение

exp(-m₀τ)

lim

= 0,

(51)

τ→∞ G₁(λ(τ))

постоянная m₀ в котором удовлетворяет оценке (22).

Далее рассмотрим последнее слагаемое в оценке (46). Применив дважды правило Лопиталя

и отбросив отрицательные слагаемые, с учётом определения (44) и неравенств (50) при k₀ = 2

запишем цепочку соотношений:

∫

∑

(s - τ)

ϕ′j (s) exp(λ(τ)s) ds ∼ -

ϕ′j (s) exp(λ(τ)s) ds +

exp(λ(τ)τ)

exp(λ(τ)τ)G₁(λ(τ))

j=1

t₀

∫

∑

λ^′(τ)

(s - τ)

ϕ′j (s) exp(λ(τ)s)s ds ≤

exp(λ(τ)τ)G₁(λ(τ))

j=1

t₀

∫

∑

≤-

ϕ′j (s) exp(λ(τ)s) ds ∼

exp(λ(τ)τ)G₁(λ(τ))

j=1

t₀

∫

)

(₃∑

∑

∼-

ϕ′j (τ) exp(λ(τ)τ) + λ^′(τ)

ϕ′j (τ) exp(λ(τ)s)s ds

≤

exp(λ(τ)τ)G₂(λ(τ))

j=1

t₀

∑

≤-

ϕ′j (τ).

G₂(λ(τ))

j=1

Следовательно, последнее слагаемое в (46) стремится к нулю при τ → ∞, если

∑

lim

ϕ′j (τ) = 0.

(52)

τ→∞ G₂(λ(τ))

j=1

Теперь предположим, что имеет место равенство

∫

lim

exp(ϕ_λ(τ)s) ds = 0, ϕ_λ(τ) = -μ(τ) + λ(τ),

(53)

τ→∞ exp(λ(τ)τ)

t₀

где -μ(τ) - максимальная из действительных частей корней уравнения (31).

Таким образом, при попарно различных корнях уравнения (42) в предположениях (47),

(48), (50) при k₀ = 2, (51)-(53) установлено, что решение r(τ) уравнения (40) стремится к

нулю при τ → ∞.

б) Пусть теперь все корни уравнения (42) действительные, причём k₁(τ) = k₂(τ) =^k(τ),

k₃(τ) =^k(τ), и неравенства (50) верны при k₀ = 3. Отметим, что в силу предположений (43)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ЦЕЛОМ

1355

справедливы неравенства k_i(τ) < 0, i = 1, 3. В данном случае величина λ(τ) > 0 определя-

ется равенством -λ(τ) = max{k(τ), k₃(τ)}.

Если -λ(τ) = k₃(τ), то оценка (45) и вытекающие из неё соотношения сохраняются.

Пусть -λ(τ) =^k(τ), тогда, используя оценку из утверждения iii) леммы 2, приходим к

следующей оценке решения r(t) задачи (40), (41):

{

∫

}

r(t) ≤ c₉ t exp(-λ(τ)t) + Φ(s, τ)(t - s) exp(-λ(τ)(t - s)) ds

t≤τ,

(54)

t₀

где функция Φ(t, τ) определена равенством (36). Полагая в (54) t = τ, аналогично (46) полу-

чаем оценку

{

[∫τ

r(τ) ≤ c₉ τ exp(-λ(τ)τ) +

(τ - s) exp(ϕ_λ(τ)s) ds +

exp(λ(τ)τ)

t₀

∫τ

∫

]}

∑

+ (τ - s) exp(-m₀s)exp(λ(τ)s)ds - (τ - s)2

ϕ′j (s) exp(λ(τ)s) ds

(55)

j=1

t₀

Вследствие предельного равенства (47) и неубывания функции λ(τ)τ при τ ≥ t₀ (см. нера-

венство (50) при k = 1) с помощью правила Лопиталя заключаем, что первое слагаемое в

правой части оценки (55) стремится к нулю при выполнении условия

exp(-λ(τ)τ)

lim

= 0.

(56)

τ→∞ G₁(λ(τ))

Учитывая неравенство (50) при k = 1 и применяя в правой части оценки (55) правило Лопи-

таля для третьего слагаемого дважды, а для четвёртого слагаемого трижды и отбрасывая при

этом отрицательные члены, устанавливаем сходимость этих слагаемых к нулю при выполнении

соответственно следующих предельных равенств:

∑

exp(-m₀τ)

lim

и lim

ϕ′j (τ) = 0.

(57)

τ→∞ G₂(λ(τ))

τ→∞ G₃(λ(τ))

j=1

Предположим, что

∫

lim

(τ - s) exp(ϕ_λ(τ)s) ds = 0, ϕ_λ(τ) = -μ(τ) + λ(τ),

(58)

τ→∞ exp(λ(τ)τ)

t₀

тогда и второе слагаемое в правой части оценки (55) стремится к нулю при τ → ∞.

Таким образом, если у уравнения (42) ровно два различных корня, то решение r(τ) урав-

нения (40) стремится к нулю при τ → ∞ при выполнении условий (56)-(58) и (50) при k₀ = 3.

в) Пусть уравнение (42) имеет корень k = -λ(τ) < 0 кратности три. В этом случае лемма 2

обеспечивает следующую оценку для решения задачи (40), (42):

{

∫

}

r(τ) ≤ c₁₀ τ² exp(-λ(τ)τ) +

(τ - s)²Φ(s, τ) exp(λ(τ)s) ds

(59)

exp(λ(τ)τ)

t₀

Считаем, что неравенства (50) выполнены при k₀ = 4. Применение дважды правила Лопиталя

при τ → ∞ приводит к эквивалентности

τ²

∼

exp(λ(τ)τ)

exp(λ(τ)τ)G₂(λ(τ))

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1356

РЯЗАНЦЕВА

Значит, первое слагаемое в правой части оценки (59) стремится к нулю при τ → ∞, если

exp(-λ(τ)τ)

lim

= 0.

(60)

τ→∞ G₂(λ(τ))

Далее, используя правило Лопиталя, заключаем, что

∫τ

exp(-λ(τ)τ) (τ - s)² exp(-m₀s) exp(λ(τ)s) ds → 0

t₀

при τ → ∞, если выполняется соотношение

exp(-m₀τ)

lim

= 0.

(61)

τ→∞ G₃(λ(τ))

Пусть

∫τ

lim exp(-λ(τ)τ)

(τ - s)² exp(ϕ_λ(τ)s) ds = 0.

(62)

τ→∞

t₀

Применяя четырежды правило Лопиталя и отбрасывая отрицательные слагаемые, приходим

к неравенству

∫τ

∑

- exp(-λ(τ)τ) (τ - s)³

ϕ′j (s) exp(λ(τ)s) ds ≤ -

ϕ′j (τ).

G₄(λ(τ))

j=1

t₀

Следовательно, при выполнении условий (60)-(62) и предельного равенства

∑

lim

ϕ′j (τ) = 0

(63)

τ→∞ G₄(λ(τ))

j=1

решение r(τ) уравнения (40) стремится к нулю при τ → ∞ и в условиях п. в).

Подведём итог проведённым рассуждениям, сформулировав доказанное утверждение.

Теорема. Пусть H - вещественное гильбертово пространство, оператор A: H → H

является, вообще говоря, нелинейным и обладает свойствами (1) и (2), а ϕ_k(t), k = 1, 3, -

действительнозначные положительные функции класса C[t₀,∞), t₀ = const ≥ 0. Тогда

задача Коши для дифференциального уравнения третьего порядка (4) при любых начальных

условиях (5) имеет единственное решение y : [t₀, ∞) → H класса C³[t₀, ∞).

Пусть, дополнительно, существует такая постоянная R₀ > 0, что при всех доста-

точно больших t выполняется неравенство (11), а ϕ_k(t), k = 1,3, - убывающие выпуклые

вниз функции класса C⁴[t₀, ∞), для которых имеют место условия (43) с функцией W, за-

данной равенством (39). Пусть также функции m₁(t) и m₂(t), определённые в (22) и (27)

соответственно, обладают свойствами (29) и (30), и справедливы условия (24), (32) и (34).

Пусть, кроме того, -μ(τ) и -λ(τ) - максимальные действительные части корней уравне-

ний (31) и (42) соответственно, причём выполнены условия (47), (48), а функции G_k(λ(τ)),

k = 1,4, определены равенствами (44) при h(t) = λ(t). Пусть, наконец, при достаточно

больших τ, если корни уравнения (42) попарно различны, выполнены неравенства (50) при

k₀ = 2 и условия (51)-(53); если совпадают ровно два корня уравнения (42), то имеют ме-

сто неравенства (50) при k₀ = 3 и условия (56)-(58); если же все три корня уравнения (42)

совпадают между собой, то справедливы неравенства (50) при k₀ = 4 и условия (60)-(63).

Тогда единственное решение задачи Коши для дифференциального уравнения (4) при лю-

бых начальных условиях (5) стремится при t → ∞ к единственному стационарному реше-

нию уравнения (4), т.е. стационарное решение уравнения (4) асимптотически устойчиво в

целом.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ В ЦЕЛОМ

1357

4. Замечания. Укажем величину μ(τ), равную модулю максимальной действительной

части корней уравнения (31):

{

√

(ϕ₁(τ) -

ϕ²¹(τ) - 4m₂(τ))/2, если D(τ) > 0,

μ(τ) =

ϕ₁(τ)/2,

если D(τ) < 0.

Отсюда заключаем, что в наших предположениях lim μ(τ) = 0.

τ→∞

Кроме того, нетрудно убедиться, что в наших условиях

{

√

ψ(τ)

1/(

D⁰(ϕ⁰¹ -

(ϕ⁰¹)² - 4m⁰²)), если D(τ) > 0,

lim

√

(64)

τ→∞ μ(τ)

2/(

D⁰ϕ⁰¹),

если D(τ) < 0,

причём здесь неравенства D(τ) > 0 или D(τ) < 0 выполняются при достаточно больших

τ. Величина D⁰ определена равенством (32). Значение предела (64) можно использовать для

нахождения величины ψ⁰, обеспечивающей оценку (34). Найти величину λ(τ) и проверить

условия теоремы, содержащие эту величину, можно с помощью численных расчётов.

Отметим, что в условиях теоремы дифференциальное уравнение (4) при любых начальных

условиях (5) определяет приближённый метод нахождения решения уравнения (3).

Уравнения вида (4) возникают в задачах изучения классического движения в соответствии

со вторым законом Ньютона при выполнении некоторых дополнительных условий, а также в

задачах, уравнения которых получаются из закона изменения энергии во времени.

Пусть коэффициенты в уравнении (4) постоянны, т.е. ϕ_k(t) = ϕ_k = const, k = 1, 3. Тогда

λ(t) = λ > 0, G_k(λ(t)) = λ^k, k ≥ 1. Значит, условия (47), (48) и (50) теоремы очевидно вы-

полнены. Справедливость предположений (51)-(53), (56)-(58), (60)-(63) при соответствующих

значениях k₀ в рассматриваемом случае проверяется без труда.

Заметим, что случаи совпадающих корней квадратного уравнения (31) и наличия хотя бы

двух одинаковых корней у кубического уравнения (42) на практике реализуются редко.

Пусть η(t) - положительная четырежды непрерывно дифференцируемая убывающая вы-

пуклая вниз функция, для которой

lim

η(t) = η₀ > 0,

t→∞

и для коэффициентов уравнения (4) справедливы равенства

ϕ₁(t) = a₁ + η(t), ϕ₂(t) = a₂ + a₃η(t), ϕ₃(t) = a₄η(t),

где a_k (k = 1, 4) - положительные постоянные. Свойства функций ϕ_k(t) (k = 1, 3) определя-

ются значениями параметров η₀ и a_k, k = 1, 4. Например, соотношения (9) и (10), очевидно,

имеют место, второе неравенство в условиях (43) будет верно, если a₁ и a₂ достаточно велики

по сравнению с a₄. Из определения функции m₁(t) (см. (22)) вытекает, что

m₁(t) = 2a₁ - a₂ + (2 - a₃ - La₄)η(t).

Пусть 2 - a₃ - La₄ ≥ 0, тогда приходим к неравенству m₁(t) ≥ 2a₁ - a₂, т.е. можно принять,

что m₀ = 2a₁ - a₂. Таким образом, оценка (22) имеет место, если 2a₁ - a₂ > 1.

Соотношения (29) и (30) принимают соответственно вид

lim

m₁(t) = 2a₁ - a₂ + (2 - a₃ - La₄)η₀ = m⁰¹ ≥ m₀ > 0,

t→∞

lim

m₂(t) = 2γ(a₂ + a₃η₀) - La₄η₀ = m⁰² > 0,

t→∞

а равенство (26) запишется в виде

g(t, τ) = (1 + a₃ + a₄)(t - τ)η^′(t),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1358

РЯЗАНЦЕВА

(

)

W (t) = a₄η(t)

2M -

^αL(γ₀ψ⁰[η(t)(2m₀ + 3αa₃) + 2m₀a₁ + 3αa₂ + 3m₀] + 3)

m₀

Условие (32) в рассматриваемом случае будет следующим:



ϕ⁰¹)²



0=D⁰ =(

-m⁰²

|η²⁰ + (2a₁ - 8γa₃ + 4La₄)η₀ + a²¹ - 8γa₂|.

⁼

Значит, D⁰ = 0, если действительное число η₀ не является корнем квадратного уравнения

z² + (2a₁ - 8γa₃ + 4La₄)z + a²¹ - 8γa₂ = 0.

Предложенная методика применима и для исследования асимптотической устойчивости

стационарного решения дифференциального уравнения второго порядка. Для установления

же достаточных условий асимптотической устойчивости стационарного решения дифферен-

циального уравнения, линейного относительно производных, порядка выше третьего, необхо-

димо получить утверждения, аналогичные леммам 1 и 2, для скалярных дифференциальных

неравенств соответствующих порядков.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных урав-

нений. М., 1972.

2. Alber Ya., Ryazantseva I. Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Type. Dordrecht, 2006.

3. Тpеногин В.А. Функциональный анализ. М., 1988.

4. Матвеев Н.М. Обыкновенные дифференциальные уравнения. СПб, 1996.

5. Рязанцева И.П. О непрерывном методе третьего порядка с постоянными коэффициентами для урав-

нений с монотонными операторами в гильбертовом пространстве // Дифференц. уравнения. 2018.

Т. 54. № 2. С. 267-275.

6. Ryazantseva I. Regularized continuous third-order method for monotone operator equations in Hilbert

space// Appl. Anal. and Optimization. 2019. V. 3. № 2. P. 231-239.

7. Рязанцева И.П. Непрерывный метод решения задач условной минимизации // Жуpн. вычислит.

математики и мат. физики. 1999. Т. 39. № 5. С. 734-742.

8. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. СПб, 2003.

9. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М., 1981.

Нижегородский государственный технический

Поступила в редакцию 24.03.2021 г.

университет им. Р.Е. Алексеева

После доработки 24.03.2021 г.

Принята к публикации 08.09.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021