ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1359-1366
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.927.25+517.958:621.372.8
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ДИСПЕРСИОННЫХ
УРАВНЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНАХ
КРУГЛОГО ВОЛНОВОДА
© 2021 г. Ю. Г. Смирнов
Исследуются ТЕ-поляризованные электромагнитные волны, распространяющиеся в неод-
нородном диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненном нелинейной средой,
в которой нелинейность описывается законом Керра. Доказано существование бесконечно-
го множества нелинейных как поверхностных, так и вытекающих волн. Найдены достаточ-
ные условия, при выполнении которых может распространяться несколько волн, и опреде-
лены области локализации соответствующих постоянных распространения.
DOI: 10.31857/S0374064121100083
Введение. Распространение светового луча в однородной нелинейной среде или волновод-
ной структуре, заполненной нелинейной средой, описывается законом Керра (см. [1]). Впервые
уравнения, описывающие распространение волн в нелинейной среде с нелинейностью, выра-
женной законом Керра, получены в начале 70-х годов прошлого века в пионерских работах
П.Н. Елеонского и В.П. Силина (см., например, [2]). Метод дисперсионных уравнений приме-
няется для исследования распространения волн в нелинейном слое [3, 4]. Однако при изучении
других структур, например, круглого диэлектрического волновода, применять этот метод уже
невозможно.
Аналитические и численные результаты, связанные с распространением ТЕ-поляризован-
ных волн в круглом нелинейном диэлектрическом волноводе, полученные с использованием
метода возмущений, представлены в работах [5-8].
В данной работе исследуются электромагнитные волны, распространяющиеся в неоднород-
ном диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненном средой, нелинейность кото-
рой описывается законом Керра. В ней получен важный результат, составляющий сущность
теории распространения нелинейных волн в открытых металлодиэлектрических волноводах:
существует бесконечный спектр нелинейных поверхностных или вытекающих волн.
1. Постановка задачи. Рассмотрим трёхмерное пространство R3 с цилиндрической сис-
темой координат Oρϕz, заполненное изотропной средой без источников, имеющей диэлектри-
ческую проницаемость εcε0 = const и магнитную проницаемость μ0, где ε0 и μ0 - диэлек-
трическая проницаемость и проницаемость вакуума. Рассмотрим электромагнитные волны,
распространяющиеся вдоль линии передачи Σ := {(ρ, ϕ) : r0 ≤ ρ ≤ r,
0 ≤ ϕ < 2π}, располо-
женной в R3, с образующей, параллельной оси Oz. Поперечное сечение волновода состоит из
двух концентрических окружностей радиусов r0 и r, где r0 - радиус внутреннего идеально
проводящего цилиндра, а r - r0 - толщина диэлектрической цилиндрической оболочки.
Предполагаем, что поля зависят гармонически от времени как exp(-iωt), где ω > 0 -
круговая частота.
Нахождение поверхностных ТЕ-поляризованных волн сводится [9] к определению нетри-
виальных решений однородной системы уравнений Максвелла с зависимостью от координаты
z (вдоль которой структура регулярна) в виде eiγz,
∇ × H = -iωεE,
∇ × E = iωH,
E = (0,Eϕ(ρ)eiγz,0), H = (Hρ(ρ)eiγz,0,Hz(ρ)eiγz),
удовлетворяющих условиям сопряжения для тангенциальных составляющих электрического и
магнитного полей на поверхности разрыва диэлектрической проницаемости (ρ = r0 и ρ = r)
[Eϕ]|ρ=r0 = 0,
[Hz]|ρ=r0 = 0,
[Eϕ]|ρ=r = 0,
[Hz]|ρ=r = 0,
(1)
1359
1360
СМИРНОВ
где [f]|ρ=ρ0 = lim
f (ρ) - lim f(ρ). Решение также должно быть ограниченным и удовле-
ρ→ρ0-0
ρ→ρ0+0
творять условиям на бесконечности. Для поверхностных волн электромагнитное поле должно
убывать как O(1/ρ) при ρ → ∞, а для вытекающих волн оно должно возрастать при ρ → ∞.
Ниже будут рассмотрены оба случая.
Предполагаем, что относительная диэлектрическая проницаемость во всём пространстве
имеет вид ε = ε(ρ) + α(ρ)|E|2 при r0 ≤ ρ ≤ r, и ε = εc при ρ > r и ρ < r0, где α(ρ) и ε(ρ) -
непрерывные функции при ρ ∈ [r0, r] и
|E|2 = |(Ee-iωt, eρ)|2 + |(Ee-iωt, eϕ)|2 + |(Ee-iωt, ez)|2.
Задача о распространении волн является задачей на собственные значения для уравнений
Максвелла со спектральным параметром γ, который является постоянной распространения
волновода. Пусть λ = γ2 - новый спектральный параметр. Задача нахождения ТЕ-поляризо-
ванных волн в круговом волноводе может быть сведена к следующей краевой задаче. Требу-
ется найти λ > ω2εc такие, что для заданной константы A = 0 существует нетривиальная
функция u(ρ; λ) := Eϕ, удовлетворяющая уравнению
(
)
1
(ρu′)′ + ω2ρ(ε(ρ) + α(ρ)u2) -
u - λρu = 0
(2)
ρ
и граничным условиям
u(r0) = 0,
(3)
u′(r0) = A > 0,
(4)
u′(r) = βu(r),
(5)
в которых
K′1(κr)
β := κ
,
β < 0,
K1(κr)
√
для поверхностных волн, κ =
λ-ω2εc
(> 0), и
I′1(κr)
β := κ
,
β > 0,
I1(κr)
для вытекающих волн. Здесь K1(x) и I1(x) - соответственно функции Макдональда и Ин-
фельда, т.е. модифицированные функции Бесселя (см. [10, гл. 9.6]). Так как K1(x) > 0 и
I1(x) > 0 для x > 0, то β = β(λ) непрерывно дифференцируемая функция на (ω2εc,∞)
и β(ω2εc) = -1/r для поверхностных волн, β(ω2εc) = 1/r для вытекающих волн (см. [10,
гл. 9.6]).
Замечание 1. Постоянная β определяется из решения уравнения (2) в области ρ ≥ r при
α = 0:
u(ρ)
CK1(κρ), ρ ≥ r,
с учётом условий на бесконечности и условий сопряжения (1) для поверхностных волн [11].
Постоянная β также определяется из решения уравнения (2) в области ρ ≥ r при α = 0:
u(ρ)
CI1(κρ), ρ ≥ r,
с учётом условия возрастания решения на бесконечности и условий сопряжения (1) для выте-
кающих волн.
2. Интегральное дисперсионное уравнение для нелинейной задачи на собствен-
ные значения. Введём новую неизвестную функцию v =
√ρu и выберем функции ε и α
такими, чтобы выполнялись равенства
3
α0ρ
ε(ρ, ω) = ϵ +
и α(ρ, ω) =
,
4ρ2ω2
ω2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
1361
где ϵ и α0 - вещественные положительные постоянные. Тогда задача (2)-(5) переходит в
следующую задачу: найти решение уравнения
v′′ + ω2ϵv + α0v3 = λv
(6)
с краевыми условиями
v(r0) = 0,
(7)
v′(r0) = A√r0,
(8)
v′(r) = β0v(r),
где β0 = 1/(2r) + β. Так как 1/2x + K′1(x)/K1(x) = -1/2x - K0(x)/K1(x) < 0 при x > 0 (см.
[10, гл. 9.6]), то β0 < 0 для поверхностных волн. Очевидно, что β0 > 0 для вытекающих волн.
Умножая уравнение (6) на v′, получаем
v′v′′ + ω2ϵv′v + α0v′v3 - λv′v = 0,
или, равносильно,
α0
((v′)2)′ + ω2ϵ(v2)′ +
(v4)′ - λ(v2)′ = 0,
2
что приводит к равенству
α0
(v′)2 + ω2ϵv2 +
v4 - λv2 = C0,
(9)
2
где C0 - константа. Это первый интеграл уравнения (6).
Принимая во внимание непрерывную дифференцируемость функции u(ρ), в силу условий
(7) и (8) находим
C0 = A2r0 > 0.
Отсюда и из равенства (9) следует, что
√
α0
v′ = ± A2r0 - (ω2ϵ - λ)v2 -
v4.
(10)
2
Замечание 2. Так как функция v(ρ) может изменять знак на отрезке [r0, r], то выбор
знака в уравнении (10) пока не определён. Имеем
α0
α0
A2r0 - (ω2ϵ - λ)v2 -
v4 = -
(v2 - z1)(v2 - z2),
(11)
2
2
где
√
√
λ-ω2ϵ+
D
λ-ω2ϵ-
D
z1 =
> 0, z2 =
< 0,
α0
α0
и D := (ω2ϵ-λ)2+2α0A2r0. Из (9) вытекает, что левая часть равенства (11) неотрицательна.
Поэтому, принимая во внимание неравенство z2 < 0, имеем v2 - z1 ≤ 0. Следовательно,
|v| ≤ z1.
Пусть ri ∈ (r0, r), i = 1, N , - точки экстремума функции v. В силу дифференцируемости
этой функции необходимо, чтобы v′(ri) = 0. Из (10) и (11) следует, что в точках ri экстремума
функции v выполняется равенство |v(ri)| =
√z1. Более того, с учётом условия v′(r0) > 0 за-
ключаем, что r2j-1 и r2j являются соответственно точками максимума и минимума функции
v(ρ), т.е. v(r2j-1) =
√z1, v(r2j ) = -√z1.
Таким образом, интервалами возрастания функции v(ρ) являются (r0, r1), (r2, r3) и т.д.,
а интервалами убывания - (r1, r2), (r3, r4) и т.д. Общее число интервалов возрастания и убы-
вания функции v(ρ) равно N + 1. Знание поведения функции на этих интервалах позволяет
определить знак на них в уравнении (10).
Теперь рассмотрим биквадратное уравнение
α0
β20v2(r) + (ω2ϵ - λ)v2(r) +
v4(r) - A2r0 = 0.
2
5
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
1362
СМИРНОВ
Обозначая в нём v2(r) = t ≥ 0, получаем квадратное уравнение
α0
t2 + (β20 + ω2ϵ - λ)t - A2r0 = 0
2
с дискриминантом d = (β20 + ω2ϵ - λ)2 + 2α0A2r0. Корни этого квадратного уравнения имеют
вид
√
√
λ-β20 -ω2ϵ+
d
λ-β20 -ω2ϵ-
d
t1 =
> 0, t2 =
< 0.
α0
α0
Положим v± := ±√t1. Тогда получаем следующие краевые условия:
v(r0) = 0, v′(r0) = A√r0, v(r) = v±.
Обозначим
(
)-1/2
α0
w = A2r0 + (λ - ω2ϵ)v2 -
v4
(> 0).
2
Интегрируем уравнение (10) на интервале (r0, r1) с учётом выбора знака “+” перед квадрат-
ным корнем в (10) в силу условия v′(r0) > 0. Имеем
∫
w dv = C1 + ρ - r0, ρ ∈ (r0, r1),
0
где C1 - константа. Подставляя в это тождество вместо ρ значение r0 (и вычисляя предел),
находим, что C1 = 0. Следовательно,
∫
w dv = ρ - r0, ρ ∈ (r0, r1).
(12)
0
Затем, заменяя в тождестве (12) ρ на r1, приходим к равенству
√z1
∫
w dv = r1 - r0.
(13)
0
Далее повторяем те же действия на всех интервалах (ri, ri+1), выбирая знак “ + ” или
“-” производной функции v(ρ) перед радикалом в (10) в зависимости от того, возрастает
или убывает функция на этом интервале. Повторяя процедуру для интервалов (r2j-1, r2j )
(j ≥ 1), получаем
∫
-
w dv = ρ + C2j , ρ ∈ (r2j-1, r2j ),
√
z1
с некоторыми константами C2j . Подставляя в это тождество вместо ρ значение r2j-1 (и вы-
числяя предел), находим, что C2j = -r2j-1. Следовательно,
∫
-
w dv = ρ - r2j-1, ρ ∈ (r2j-1, r2j ).
(14)
√
z1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
1363
Затем, заменяя в тождестве (14) ρ на r2j , приходим к равенству
√z1
∫
w dv = r2j - r2j-1.
(15)
−√z1
Повторяя эту процедуру для интервалов (r2j , r2j+1) (j ≥ 1), получаем
∫
w dv = ρ + C2j+1, ρ ∈ (r2j , r2j+1),
-√z1
с некоторой константой C2j+1. Подставляя в это тождество вместо ρ значение r2j
(и вычис-
ляя предел), находим, что C2j+1 = -r2j , и поэтому
∫
w dv = ρ - r2j , ρ ∈ (r2j , r2j+1).
(16)
−√z1
Далее, заменяя в тождестве (16) ρ на r , получаем равенство
√z1
∫
w dv = r2j+1 - r2j.
(17)
−√z1
На последнем интервале (rN , r) в случае чётного N будем иметь
∫
w dv = ρ + CN+1, ρ ∈ (rN , r),
-√z1
с некоторой константой CN+1. Подставляя в это тождество вместо ρ значение rN
(и вычис-
ляя предел), находим, что CN+1 = -rN и, значит,
∫
w dv = ρ - rN , ρ ∈ (rN , r).
(18)
−√z1
Затем, заменяя в тождестве (18) ρ на r , получаем равенство
∫
w dv = r - rN .
(19)
−√z1
В случае нечётного N на последнем интервале (rN , r) будем иметь
∫
-
w dv = ρ + CN+1, ρ ∈ (rN , r),
√
z1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
5∗
1364
СМИРНОВ
с некоторой константой CN+1. Подставляя в это тождество вместо ρ значение rN (и вычис-
ляя предел), находим, что CN+1 = -rN . Следовательно,
∫
-
w dv = ρ - rN , ρ ∈ (rN , r).
(20)
√
z1
Затем, заменяя в тождестве (20) ρ на r , приходим к равенству
√z1
∫
w dv = r - rN .
(21)
v(r)
Теперь, суммируя равенства (13), (15), (17) и (19) (или (21)), получаем интегральное дис-
персионное уравнение
∫
∓ wdv + NT = r - r0 (N ≥ 1),
(22)
0
в котором
√z1
∫
T =
w dv;
√
-
z1
в формуле (22) знак “- ” соответствует поверхностным волнам, а знак “ + ” - вытекающим
волнам. В (22) учтено, что v(r) и v′(r) имеют разные знаки для поверхностных волн, потому
что β0 < 0, и одинаковые знаки для вытекающих волн, потому что в этом случае β0 > 0.
Замечание 3. Все встречающиеся выше интегралы являются либо собственными, либо
абсолютно сходящимися несобственными, в силу равенства (11).
3. Теоремы о существовании бесконечного множества собственных значений.
Учитывая, что z1z2 = -2A2r0/α0, и изменяя переменную в интеграле (22), получаем
√z1
∫
∫
√
dt
T =
w dv = 2
2
√
√
α0z1 sin2 t + 2A2r0/z1
-
z1
0
Последний интеграл можно оценить сверху следующим образом:
∫
∫
dt
dt
√
≤
√
√
= M,
α0z1 sin2 t + 2A2r0/z1
2Ar0
2α0 sin t
0
0
где M - константа, не зависящая от z1. Отсюда следует, что существуют пределы
lim
T (z1) = 0,
lim
T (z1) = 0.
z1→0
z1→+∞
Так как
√
λ-ω2ϵ+
(λ - ω2ϵ)2 + 2α0A2r0
2A2r0
z1 = z1(λ) =
=
√
,
α0
-λ + ω2ϵ +
(λ - ω2ϵ)2 + 2α0A2r0
то z1(λ) → +∞ при λ → +∞ и z1(λ) → 0 при λ → -∞. Значит, существуют пределы
lim
T (λ) = 0,
lim T (λ) = 0.
(23)
λ→-∞
λ→+∞
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ ДИСПЕРСИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
1365
Очевидно, что функция T (λ) положительна и непрерывна для λ ∈ (-∞, +∞). В силу соот-
ношений (23) существует H = max T (λ).
λ∈(-∞,+∞)
Рассмотрим функцию v+ = v+(λ) на [ω2εc, ∞). Так как v+ ≤
√z1, то
∫
w dv ≤ T/2.
0
Для поверхностных волн получаем
(
)
∫
1
N-
T ≤ - wdv + NT ≤ NT (N ≥ 1).
(24)
2
0
Зафиксируем N ≥ 1. Из двойного неравенства (24) следует, что если r - r0 < (N - 1/2) ×
×T(ω2εc), то существует по крайней мере одно решение уравнения (22). Следовательно, верна
Теорема 1. Существует число N∗ ≥ 1 такое, что для любого N ≥ N∗ уравнение
(22) имеет по крайней мере одно решение, и решения различны для разных N. Существует
бесконечно много решений λ+N уравнения (22), соответствующих поверхностным волнам и
таких, что λ+N > ω2εc и λ+N → ∞ для N → ∞.
Доказательство. Для достаточно большого N справедливо неравенство r - r0 < (N -
- 1/2)T (ω2εc). Поэтому достаточно выбрать N∗ > 1/2 + (r - r0)/T (ω2εc). Предположение о
совпадении решений для различных N1 и N2 сразу же приводит к противоречию с неравен-
ствами (24).
Далее, в силу соотношений (23) собственное значение λ+N больше ω2εc и стремится к +∞
при N → +∞. Теорема доказана.
Для вытекающих волн получаем
∫
(
)
1
NT ≤ wdv + NT ≤ N +
T (N ≥ 1).
(25)
2
0
Зафиксируем N ≥ 1. Из двойного неравенства (25) следует, что если r - r0 < NT (ω2εc),
то существует по крайней мере одно решение уравнения (22). Следовательно, верна
Теорема 2. Существует число N∗∗ ≥ 1 такое, что для любого N ≥ N∗∗ уравнение
(22) имеет по крайней мере одно решение, и решения различны для разных N. Существует
бесконечно много решений λ++N уравнения (22), соответствующих вытекающим волнам и
таких, что λ++N > ω2εc и λ++N → ∞ для N → ∞.
Доказательство. Для достаточно большого N справедливо неравенство r-r0 <NT (ω2εc).
Поэтому достаточно выбрать N∗∗ > (r - r0)/T (ω2εc). Предположение о совпадении решений
для различных N1 и N2 сразу же приводит к противоречию с неравенствами (25).
Далее, в силу соотношений (23) собственное значение λ++N больше ω2εc и стремится к
+∞ при N → +∞. Теорема доказана.
Легко проверить, что v+ =
√t1 <√z1, поэтому
∫
0 < wdv < T/2.
0
Тогда в неравенствах (24) и (25) все нестрогие знаки можно заменить на строгие. Отсюда
следует, что собственные значения λ+N
и λ++ для поверхностных и вытекающих волн неN
1
2
совпадают ни при каких N1 и N2.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
1366
СМИРНОВ
С помощью более детального анализа функции T (λ) можно установить более точное
асимптотическое поведение собственных значений, но в данной статье результаты по асимп-
тотическому поведению не представлены.
Аналогичные результаты для нелинейных задач на собственные значения для плоских
структур получены в работе [12].
Заключение. В статье доказано существование бесконечного множества нелинейных как
поверхностных, так и вытекающих ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в цилиндри-
ческом волноводе, заполненном керр-нелинейной средой. Найдены достаточные условия, при
выполнении которых могут распространяться несколько волн, определены области локализа-
ции соответствующих постоянных распространения.
Разработанный метод может быть эффективно применён и для расчёта ТЕ-волн в цилин-
дрическом нелинейном волноводе, а также для численного определения постоянных распро-
странения поляризованных волн в многослойных открытых металлодиэлектрических цилин-
дрических круглых волноводах с более сложными нелинейностями.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 20-11-
20087).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Akhmediev N.N., Ankiewicz A. Solitons, Nonlinear Pulses and Beams. London, 1997.
2. Eleonskii P.N., Oganes’yants L.G., Silin V.P. Cylindrical nonlinear waveguides // Soviet Physics Jetp.
1972. V. 35. P. 44-47.
3. Smirnov Y.G., Valovik D.V. Nonlinear effects of electromagnetic TM wave propagation in anisotropic
layer with Kerr nonlinearity // Adv. in Math. Phys. 2012. P. 609765.
4. Smirnov Y.G., Valovik D.V. Calculation of the propagation constants of TM electromagnetic waves in a
nonlinear layer // J. of Commun. Tech. and Electronics. 2008. V. 53. № 8. P. 883-889.
5. Kupriyanova S.N., Smirnov Y.G. Propagation of electromagnetic waves in cylindrical dielectric wavegu-
ides filled with a nonlinear medium // Comput. Math. and Math. Phys. 2004. V. 44. № 10. P. 1762-1772.
6. Smirnov Y.G. Propagation of electromagnetic waves in cylindrical dielectric waveguides filled with a
nonlinear medium // J. of Commun. Tech. and Electronics. 2005. V. 50. № 2. P. 179-185.
7. Smirnov Y.G., Schurmann H.-W., Schestopalov Y.V. Integral equation approach for the propagation of
te-waves in a nonlinear dielectric cylinrical waveguide // J. of Nonlin. Math. Phys. 2004. V. 11. № 2.
P. 256-268.
8. Schurmann H.-W., Smirnov Y.G., Shestopalov Y.V. Propagation of TE-waves in cylindrical nonlinear
dielectric waveguides // Phys. Rev. E. 2005. V. 71. № 1. Р. 016614-1016614-10.
9. Smirnov Y.G., Smol’kin E.Y., Valovik D.V. Nonlinear transmission eigenvalue problem describing TE
wave propagation in two-layered cylindrical dielectric waveguides // Comput. Math. and Math. Phys.
2013. V. 53. № 7. P. 973-983.
10. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами
/ Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган. М., 1979.
11. Smirnov Y.G. Eigenvalue transmission problems describing the propagation of TE and TM waves in
two-layered inhomogeneous anisotropic cylindrical and planar waveguides // Comput. Math. and Math.
Phys. 2015. V. 55. № 3. P. 461-469.
12. Смирнов Ю.Г. Метод интегральных дисперсионных уравнений для решения нелинейных задач на
собственные значения // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 10. P. 1331-1338.
Пензенский государственный университет
Поступила в редакцию 02.03.2021 г.
После доработки 02.03.2021 г.
Принята к публикации 08.09.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
