ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1384-1396

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.6

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ

С УСЛОВИЕМ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО

НА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА

Для уравнения смешанного типа второго рода доказаны единственность и существование

решения краевой задачи с условием Трикоми на части граничной характеристики и усло-

вием Бицадзе-Самарского на граничной и параллельной ей внутренней характеристике.

DOI: 10.31857/S0374064121100101

1. Постановка задачи A. Пусть Ω - конечная односвязная область в комплексной плос-

кости C = {z = x + iy : x, y ∈ R}, ограниченная при y > 0 нормальной кривой

Γ:x² +

y2-m = 1

(2 - m)²

с концами в точках A(-1, 0) и B(1, 0), а при y < 0 - характеристиками

AC : x -

(-y)(2-m)/2 = -1 и BC : x +

(-y)(2-m)/2 = 1

2-m

уравнения

u_xx + (sign y)|y|^mu_yy + α|y|m-1u_y = 0,

(1)

где m и α - постоянные, причём

0 < m < 2, m - 1 < α < m/2.

(2)

Обозначим через Ω₁ и Ω₂ части области Ω, лежащие соответственно в полуплоскостях

y > 0 и y < 0, а через C₀ и C₁ - точки пересечения характеристик AC и BC соответственно

с характеристикой, выходящей из точки E(c, 0), где (c, 0) ∈ J = {(x, y) : -1 < x < 1, y = 0}.

Через Ω₂₁ обозначим характеристический треугольник EC₁B.

Настоящая работа посвящена исследованию краевой задачи с условием Трикоми [1, с. 29] на

характеристике AC₀ и условием Бицадзе-Самарского [2] на параллельных характеристиках

C₀C и EC₁.

Задача A. Найти функцию u(x, y) со следующими свойствами:

1) справедливо включение u(x, y) ∈ C(Ω);

2) функция u(x, y) - регулярное решение уравнения (1) в области Ω₁;

3) функция u(x, y) является обобщённым решением из класса R₂ [3; 4, с. 113] уравнения (1)

в области Ω₂ \ (EC₀

^⋃EC₁);

4) имеют место включения y^αu_y(x, y) ∈ C(Ω₁

^⋃J1 ⋃J₂), (-y)αuy(x, y) ∈ C(Ω2

^⋃J1 ⋃J₂),

и на интервалах J₁

^⋃J₂ выполняется условие склеивания

∂u(x, y)

lim

(-y)^α

= - lim

y^α

(x, 0) ∈ J₁

^⋃J₂,

(3)

y→-0

∂y

y→+0

∂y

где J₁ = {(x, y) : -1 < x < c, y = 0}, J₂ = {(x, y) : c < x < 1, y = 0};

1384

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С УСЛОВИЕМ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО

1385

5) функция u(x, y) удовлетворяет краевым условиям

u(x, y)|_Γ = ϕ(x, y), (x, y) ∈ Γ,

(4)

u(x, y)|AC0 = ψ(x), x ∈ [-1, (c - 1)/2],

(5)

u(θ(x)) = μu(θ^∗(x)) + ρ(x), x ∈ [c, 1],

(6)

где ϕ(x, y), ψ(x), ρ(x) - заданные функции, причём

ϕ(-1, 0) = ψ(-1) = 0, ρ(c) = ψ((c - 1)/2) = 0,

(7)

μ = const < 0,

(8)

ϕ(x, y) = yε+1ϕ₁(x, y), ϕ₁(x, y) ∈ C(Γ), ε > 0,

(9)

ρ(x) ∈ C¹[c, 1]

^⋂C²[c,1), ψ(x) ∈ C¹[-1,(c - 1)/2]^⋂ C²[-1,(c - 1)/2);

(10)

функции ρ^′′(x) и ψ^′′((x - 1)/2) при x → 1 и x → c соответственно могут обращаться в

бесконечность, порядок которой меньше 1- β, где 2β = (2α - m)/(2- m), 2β ∈ (-1, 0); здесь

(

)2/(2-m))

(

)2/(2-m))

⁽x-1

2-m

⁽x+c

2-m

θ(x) =

(x + 1)

θ^∗(x) =

(x - c)

(11)

θ(x) (θ^∗(x)) - точки пересечения характеристики C₀C (характеристики EC₁) с характери-

стикой, исходящей из точки M(x, 0) где x ∈ [c, 1].

Заметим, что условие (5) является условием Трикоми на характеристике AC₀, а усло-

вие (6) - условием Бицадзе-Самарского, заданным на параллельных характеристиках C₀C и

EC₁.

Задача A для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом первого рода

в случае, когда краевое условие на первой части характеристики задаётся локально, а на

второй части и параллельной ей внутренней характеристике задаётся условие типа Бицадзе-

Самарского, изучена в работах [2, 5]. Такие задачи для уравнения параболо-гиперболического

типа второго рода исследованы в работах [6, 7].

2. Основные функциональные соотношения. При исследовании задачи A важную

роль играют функциональные соотношения между функциями ν^±(x) и τ(x), привнесённые

на интервал J из эллиптической и гиперболической части области Ω, где

u(x, 0) = τ(x), (x, 0) ∈ J,

(12)

∂u(x, y)

lim

(-y)^α

= ν^-(x), lim

y^α

= ν⁺(x), (x,0) ∈ J.

(13)

y→-0

∂y

y→+0

∂y

Обобщённое решение из класса R₂ задачи Коши с данными (12), (13) для уравнения (1) в

области Ω₂ даётся формулой [3; 4, с. 230, формула (27.5)]

∫

u(ξ, η) = (η - t)^-β (ξ - t)^-βT (t) dt + (η - t)^-β(t - ξ)^-β N(t) dt,

(14)

-1

в которой

ξ=x-

(-y)(2-m)/2, η = x +

(-y)(2-m)/2,

(15)

2-m

)1-2β

Γ(2 - 2β)

⁽2-m

N (t) = T (t)/2 cos(πβ) - γ₁ν^-(t), γ₁ =

(16)

(1 - α)Γ²(1 - β)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1386

МИРСАБУРОВ, ИСЛОМОВ

∫x

τ (x) = τ(-1) + (x - t)-2βT (t) dt,

-1 < x < 1,

(17)

−1

функции T (x) и ν^-(x) непрерывны в (-1, 1) и интегрируемы на [-1, 1], а функция τ(x)

обращается в нуль, который имеет порядок не меньше -2β при x → -1.

Обобщённое решение из класса R₂ задачи Коши с данными (12), (13) для уравнения (1) в

области Ω₂₁ даётся формулой

∫

u(ξ, η) = (η - t)^-β (ξ - t)^-βT (t) dt + (η - t)^-β(t - ξ)^-β N(t) dt,

(18)

где ξ, η и N(t) определяются соответственно равенствами (15) и (16);

∫x

τ (x) = τ(c) + (x - t)-2βT (t) dt, c < x < 1,

(19)

функции T (x) и ν^-(x) непрерывны в (c, 1) и интегрируемы на [c, 1], а функция τ(x) обра-

щается в нуль, который имеет порядок не меньше -2β при x → c.

В силу (7), (8) из условий (5) и (6) следует, что

τ (-1) = 0, τ(c) = 0.

(20)

Положив ξ = -1, η = x и ξ = c, η = x соответственно в формулах (14) и (18), с учётом

равенств (11) после несложных преобразований получим, что

∫x

u(θ(x)) = (x - t)^-β(1 + t)^-βN(t) dt,

-1 ≤ x ≤ 1,

(21)

−1

∫x

u(θ^∗(x)) = (x - t)^-β(t - c)^-β N(t) dt, c ≤ x ≤ 1.

(22)

Дифференцируя тождество (6) по x, а затем применяя к обеим частям полученного ра-

венства оператор D

,x [·], будем иметь

∫

D^-β d-1,x

u(θ(x)) -

(x - t)^β

u(θ(t)) dt =

Γ(1 + β) dx

−1

= μD^-β

u(θ^∗(x)) + D^-βc,xρ^′(x), c < x < 1,

(23)

^c,x dx

где D^αc,x[·] - оператор интегро-дифференцирования дробного порядка α [4, c. 16].

Подставляя представления (21), (22) в равенство (23) с учётом (5), (16) и тождеств

D-β-1,xDβ-1,x(x + 1)^-βN(x) = (x + 1)^-βN(x),

-1 < x < 1,

D^-βc,xD^βc,x(x - c)^-βN(x) = (x - c)^-βN(x), c < x < 1,

получаем

T (x)

γ₁ν^-(x) =

+ F₁(x), c < x < 1,

(24)

2 cos(πβ)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С УСЛОВИЕМ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО

1387

где

∫

d₀(x) d

F₁(x) = d₀(x)D^-βc,xρ^′(x) +

(x - t)^βψ^′((t - 1)/2) dt,

(25)

Γ(1 + β) dx

−1

d₀(x) = (Γ(1 - β)(μ(x - c)^-β - (1 + x)^-β))-1.

Равенство (24) представляет собой первое функциональное соотношение между функциями

T (x) и ν^-(x), привнесённое на интервал J₂ из области Ω₂₁.

Точно так же, положив ξ = -1 и η = x в формуле (14), с учётом условия (5) полу-

чим второе функциональное соотношение между функциями T (x) и ν^-(x), привнесённое на

интервал J₁ из области Ω₂:

(1 + x)

γ₁ν^-(x) =

T (x) +

D-β-1,xψ^′(x),

-1 < x < c.

(26)

2 cos(πβ)

Γ(1 - β)

Решение задачи E_α с условиями (4) и (13) для уравнения (1) в области Ω₁ существует,

единственно и представимо в виде [4, формула (10.41)]

∫1

{(

)-β (

)-β}

4t²

u(x, y) = -γ₂ ν⁺(t) (t - x)² +

y2-m

- (1 - xt)² +

y2-m

dt -

(2 - m)²

−1

∫^l

dξ(s)

- γ₂β(2 - m)(1 - R²) ϕ[ξ(s),η(s)]ηα-1(s)(r²¹)-β-1F(β,β + 1,2β;1 - σ)

ds,

(27)

где

}

r²

σ=

= (ξ - t)² +

(η(2-m)/2 ∓ y(2-m)/2)², R² = x² +

y2-m,

r²¹

(2 - m)²

а s - длина дуги кривой Γ, отсчитываемая от точки B(1,0), и l - длина всей дуги кривой Γ.

Используя уравнение нормальной кривой Γ и полагая в формуле (27) y = 0, с учётом со-

отношений (12), (9) получаем функциональное соотношение между функциями τ(x) и ν⁺(x),

привнесённое на интервал J из области Ω₁:

∫1

τ (x) = -γ₂

(|x - t|-2β - (1 - xt)-2β)ν⁺(t) dt + F₂(x), (x, 0) ∈ J,

(28)

−1

где

(

∫1

)(1-2β)(ε+α)/((1-α)+1)

2-m

(1 - t²)(1-2β)(ε+α)/(2(1-α)) ϕ₁(t) dt

F₂(x) = γ₂β

(1 - x²)

(29)

(1 - 2xt + x²)1+β

−1

(

)

⁽2-m)2/(2-m)

ϕ₁(x) = ϕ x,

(1 - x²)1/(2-m)

Отметим, что соотношение (28) справедливо для всего промежутка J.

3. Единственность решения задачи A. Для доказательства единственности решения

задачи A важную роль играют следующие три леммы.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1388

МИРСАБУРОВ, ИСЛОМОВ

Лемма 1. Если функция τ^′(x) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем k > -2β

при -1 < x < 1 (т.е. τ(x) ∈ C(1,k)(-1,1)), то функция

∫

sin(2πβ) d

T (x) =

τ^′(t)(x - t)2β dt

(30)

2πβ dx

представима в виде

(

∫

)

sin(2πβ)

T (x) =

τ^′(x)(x - a)2β + 2β (τ^′(t) - τ^′(x))(x - t)2β-1 dt ,

(31)

2πβ

где a принимает значение -1 или c.

Доказательство. В силу определения оператора интегро-дифференцирования дробного

порядка [4, c. 16] и тождества Γ(z)Γ(1 - z) = π/ sin(πz) из представлений (17) и (19) с учётом

равенства (20) вытекает, что

T (x) =

D1-2βa,xτ(x),

(32)

Γ(1 - 2β)

или

∫

sin(2πβ) d

T (x) =

τ (t)(x - t)2β dt =

τ^′(t)(x - t)2β dt.

(33)

2πβ dx²

2πβ dx

Рассмотрим функцию

x-ε

T₁(x,ε) =

τ^′(t)(x - t)2β dt

(34)

и найдём её производную

∫

dT₁(x, ε)

= τ^′(x - ε)ε2β + 2β

τ^′(t)(x - t)2β-1 dt =

∫x

= 2β (τ^′(t) - τ^′(x))(x - t)2β-1 dt + (x - a)2β τ^′(x) - ε2β (τ^′(x) - τ^′(x - ε)).

Отсюда, поскольку τ^′(x) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем k > -2β, при ε → 0

получим

∫

dT₁(x)

= τ^′(x)(x - a)2β + 2β (τ^′(t) - τ^′(x))(x - t)2β-1 dt,

откуда с учётом определения (34) в силу равенства (33) имеем представление (31). Лемма

доказана.

Лемма 2. Пусть выполнены условия

τ (x) ∈ C[-1, 1]

^⋂C(1,k)(-1,1), k > -2β, -1 < 2β < 0,

(35)

и функция τ(x) в точке x = x₀ (x₀ ∈ (-1, 1)) принимает наибольшее положительное

значение (НПЗ) (наименьшее отрицательное значение (НОЗ)). Тогда функцию T (x), опре-

делённую равенством (32), в точке x = x₀ можно представить в виде

T (x₀) =

D1-2βa,xτ(x)|x=x0 =

Γ(1 - 2β)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С УСЛОВИЕМ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО

1389

(

∫

x₀

)

2β

τ (x₀) - τ(t)

(x₀ - a)2β-1τ(x₀) + (1 - 2β)

(36)

Γ(1 + 2β)Γ(1 - 2β)

(x₀

- t)2-2β

причём

T (x₀) < 0 (T (x₀) > 0), x₀ ∈ (-1, 1).

(37)

Доказательство. Возьмём произвольную точку x₁ ∈ (-1, x) и запишем интеграл, входя-

щий в представление (31), в виде суммы двух интегралов - по промежуткам (a, x₁) и (x₁, x).

Далее используя формулу интегрирования по частям для интеграла по промежутку (a, x₁),

получаем

{

∫

x₁

sin(2πβ)

T (x) =

-2β(1 - 2β) (τ(t) - τ(x))(x - t)2β-2 dt + 2β(x - a)2β-1τ(x) +

2πβ

∫x

}

τ^′(t) - τ^′(x)

+ 2β

dt + (x - x₁)2β τ^′(x) + 2β(x - x₁)2β-1(τ(x₁) - τ(x))

(38)

(x - t)1-2β

x₁

Полагая в тождестве (38) x = x₀ и затем переходя к пределу при x₁ → x₀, с учётом

включения (35) придём к представлению (36).

Пусть в точке (x₀, 0) ∈ J функция τ(x) достигает своего НПЗ (НОЗ), тогда из (36) с

учётом предположений (2) и неравенств -1 < 2β < 0, τ(x₀) - τ(x) > 0 (τ(x₀) - τ(x) < 0)

получим неравенство (37). Лемма доказана.

Следующая лемма представляет собой аналог принципа экстремума А.В. Бицадзе.

Лемма 3. Если выполнены условия (2) и (8), то решение u(x, y) задачи A при ψ(x) ≡ 0,

ρ(x) ≡ 0 своих НПЗ и НОЗ в замкнутой области Ω₁ достигает только в точках кривой Γ.

Доказательство. В силу принципа Хопфа [8, с. 25; 9, 10] решение u(x, y) уравнения (1)

внутри области Ω₁ не может достигать своих НПЗ или НОЗ. Допустим, что решение u(x, y)

достигает своих НПЗ или НОЗ в точках интервала (-1, 1) оси y = 0.

Рассмотрим отдельно три случая:

1. Пусть u(x, y) своего НПЗ (НОЗ) достигает в некоторой точке Q(x₀, 0) ∈ J₁. Тогда ра-

венство (26) при ψ(x) ≡ 0 принимает вид γ₁ν^-(x) = T (x)/(2 cos(πβ)), -1 < x < c. Отсюда в

силу (2), (3), (13) и (37) заключаем, что в точке Q(x₀, 0) НПЗ (НОЗ) выполняется неравенство

ν⁺(x₀) > 0 (ν⁺(x₀) < 0).

Это неравенство противоречит принципу Заремба-Жиро [4, с. 88, лемма 11.1] (т.е. проти-

воречит неравенству ν⁺(x₀) < 0 (ν⁺(x₀) > 0)), поэтому Q(x₀, 0) ∈ J₁.

2. Пусть решение u(x, y) своего НПЗ (НОЗ) достигает в некоторой точке P (x₀, 0) ∈ J₂.

Тогда, положив в (24) ψ(x) ≡ ρ(x) ≡ 0, будем иметь γ₁ν^-(x) = T (x)/(2 cos(πβ)), c < x < 1.

Отсюда, принимая во внимание (2), (3), (13) и (37), заключаем, что в точке P (x₀, 0) ∈ J₂ НПЗ

(НОЗ) справедливо неравенство ν⁺(x₀) > 0 (ν⁺(x₀) < 0).

Это неравенство противоречит неравенству ν⁺(x₀) < 0 (ν⁺(x₀) > 0) [4, с. 88, лемма 11.1],

поэтому P (x₀, 0) ∈ J₂.

3. Пусть x₀ = c, тогда из соответствующего однородного условия (5) (с ϕ(x) ≡ 0) следует,

что u(c, 0) = 0, тогда в силу (6) (с ρ(x) ≡ 0) получаем u(C₀) = μu(E), откуда u(E) = 0, т.е.

τ (c) = 0, или u(c, 0) = 0. Следовательно, функция u(x, y) не достигает своего экстремума в

точке E(c, 0), т.е. x₀ = c.

Таким образом, при выполнении условий леммы 3 функция u(x, y) своих НПЗ и НОЗ

достигает в точках кривой Γ. Лемма доказана.

Из леммы 3 вытекает

Теорема 1. Если выполнены условия (2) и (8), то задача A имеет не более одного ре-

шения.

Доказательство. При однородных краевых данных (4)-(6) из леммы 3 следует тождество

u(x, y) ≡ 0 в области Ω₁. Тогда в силу непрерывности решения задачи A в смешанной области

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1390

МИРСАБУРОВ, ИСЛОМОВ

Ω и условия сопряжения (3) имеем

∂u(x, y)

u(x, -0) ≡ 0, (x, 0) ∈ J_j , lim

(-y)^α

≡ 0, (x, 0) ∈ J_j (j = 1, 2).

(39)

y→-0

∂y

Теперь, восстанавливая решение задачи A в области Ω₂ как решение задачи Коши с од-

нородными данными (39) по формуле (14), с учётом (16), (32) получаем, что u(x, y) ≡ 0 в Ω₂.

Следовательно, u(x, y) ≡ 0 во всей смешанной области Ω. Теорема доказана.

4. Существование решения задачи A.

Теорема 2. Если выполнены условия (2), (7)-(10) и

)

⁽c-1

-1 < 2β < 0, ρ^′(c) = 0, ψ^′(-1) = ψ^′

= 0,

(40)

то решение задачи A в области Ω существует.

Доказательство. В силу равенств (19) и (32) из представлений (24) следует, что

D1-2βc,xτ(x) = γ₃ν^-(x) - 2cos(πβ)F₁(x), c < x < 1,

(41)

Γ(1 - 2β)

здесь γ₃ = 2γ₁ cos(πβ).

Точно так же в силу равенств (17) и (32) из представления (26) вытекает, что

D1-2β-1,xτ(x) = γ₃ν^-(x) - F₃(x),

-1 < x < c,

(42)

Γ(1 - 2β)

где

2 cos(πβ)(1 + x)

F₃(x) =

D-β-1,xψ^′(x).

(43)

Γ(1 - β)

Применяя оператор

к соотношению (28), с учётом равенства (30) будем

Γ(1 - 2β)

иметь

{∫c

γ₂ sin(2πβ)

⁽c - s)-2β ν⁺(s)ds

D1-2βc,xτ(x) = -γ₂(1 - cos(2πβ))ν⁺(x) -

Γ(1 - 2β)

x-c

s-x

-1

∫1

∫

⁽s-c)-2βν⁺

(s) dt

⁽1 - cs)-2β sν⁺(s)ds^}

D-2βc,xF′2(x).

(44)

x-c

s-x

x-c

1 - xs

Γ(1 - 2β)

-1

Вследствие (44) соотношения (41) и (42) с учётом условия (3) запишем соответственно

в виде

∫¹

]

⁽1+s)-2β[

ν⁺(x) = -λ

ν⁺(s)ds + F₄(x),

-1 < x < c,

(45)

1+x

s-x

1 - xs

−1

{∫c

∫

⁽c-s)-2βν⁺

(s) ds

⁽s - c)-2β ν⁺(s)ds

ν⁺(x) = -λ

x-c

s-x

x-c

s-x

−1

∫1

⁽1 - cs)-2β sν⁺(s)ds^}

+ F₅(x), c < x < 1,

(46)

x-c

1 - xs

−1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С УСЛОВИЕМ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО

1391

где

cos(πβ)

λ=

π(1 + sin(πβ))

(

)

F₄(x) =

F₃(x) +

D-2β-1,xF′2(x) ,

(47)

2γ₂(1 + sin(πβ)) sin(πβ)

Γ(1 - 2β)

(

)

F₅(x) =

2 cos(πβ)F₁(x) +

D-2βc,xF′2(x)

(48)

2γ₂(1 + sin(πβ)) sin(πβ)

Γ(1 - 2β)

В силу (7), (9), (10), (40) с учётом равенств (25), (29), (43) из представлений (47) и (48) следует,

что функция F₄(x) принадлежит классу C(-1, c]

^⋂L₁[-1,c] и обращается в бесконечность

порядка, меньшего -2β при x → -1, а при x → c ограничена, функция же F₅(x) при-

надлежит классу C(c, 1]

^⋂L₁[c,1] и обращается в бесконечность порядка, меньшего -2β при

x → c, а при x → 1 ограничена.

Заметим, что соотношения (45) и (46) имеют место для x ∈ (-1, c) и x ∈ (c, 1) соот-

ветственно. Чтобы рассматривать их на одном промежутке (-1, 1), заменим в (45) x на

ax - b, а в (46) x на bx + a (здесь a = (c + 1)/2, b = (1 - c)/2, a + b = 1, a - b = c), тогда

получим

∫c

(

)-2β(

)

1+s

ν⁺(ax - b) = -λ

ν⁺(s)ds -

a(1 + x)

s - ax + b

1 - (ax - b)s

−1

∫1

(

)

)-2β(

1+s

-λ

ν⁺(s)ds + F₄(ax - b), x ∈ J,

(49)

a(1 + x)

s - ax + b

1 - (ax - b)s

{∫c

(

∫

(

c-s

)-2β ν⁺(s) ds

s-c

)-2β ν⁺(s) ds

ν⁺(bx + a) = -λ

b(1 + x)

s - bx - a

b(1 + x)

s - bx - a

−1

∫c

(

∫

(

}

1 - cs

)-2β sν⁺(s) ds

1 - cs

)-2β sν⁺(s) ds

+ F₅(bx + a), x ∈ J. (50)

b(1 + x)

1 - (bx + a)s

b(1 + x)

1 - (bx + a)s

−1

Далее в интегралах правой части равенств (49) и (50) сделаем замену переменной инте-

грирования s = at - b для интегралов по промежутку (-1, c) и s = bt + a для интегралов

по промежутку (c, 1), в результате получим следующую систему сингулярных интегральных

уравнений относительно неизвестных функций ν₁(x) и ν₂(x):

∫1

)

⁽1+t)-2β(

ν₁(x) + λ

ν₁(t)dt =

1+x

t-x

1 - (ax - b)(at - b)

−1

∫1

⁽1 + a + bt)-2β bν₂(t)dt

= -λ

+ T₁[ν₂] + F₆(x), x ∈ J,

(51)

a(1 + x)

bt - ax + 1

−1

∫1

)

⁽1+t)-2β(

ν₂(x) + λ

ν₂(t)dt =

1+x

t-x

1 - (bx + a)(bt + a)

−1

∫1

⁽ a(1 - t))-2β aν₁(t) dt

= -λ

+ H₁[ν₁] + H₂[ν₂] + F₇(x), x ∈ J,

(52)

b(1 + x)

at - bx - 1

−1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1392

МИРСАБУРОВ, ИСЛОМОВ

где

∫1

(a + bt)bν₂(t) dt

T₁[ν₂] = λ

1 - (ax - b)(bt + a)

-1

∫¹

⁽1 - c(at - b))-2β (at - b)aν₁(t)dt

H₁[ν₁] = λ

b(1 + x)

1 - (bx + a)(at - b)

-1

∫1

(

⁽1 - c(bt + a))-2β

⁽1+t)-2β)

bν₂(t) dt

H₂[ν₂] = λ

(bt + a)

b(1 + x)

1+x

1 - (bx + a)(bt + a)

−1

- регулярные операторы; здесь

ν₁(x) = ν⁺(ax - b), ν₂(x) = ν⁺(bx + a), F₆(x) = F₅(ax - b), F₇(x) = F₆(bx + a).

Уравнения системы (51), (52) являются неклассическими сингулярными интегральными

уравнениями Трикоми, так как они имеют следующие две особенности:

1) “несингулярные” части ядер имеют некарлемановские сдвиги видов ax - b, at - b в (51)

и bx + a, bt + a в (52);

2) первые интегральные операторы в их правых частях не являются регулярными, по-

скольку при x = 1, t = -1 в (51) и при x = -1, t = 1 в (52) ядра этих операторов имеют

изолированные особенности первого порядка (и поэтому они выделены отдельно).

Временно считая правые части уравнений (51) и (52) известными функциями, систему

уравнений (51) и (52) запишем в виде

∫¹

)

⁽1+t)-2β(

ν₁(x) + λ

ν₁(t)dt = g₁(x), x ∈ J,

(53)

1+x

t-x

1 - (ax - b)(at - b)

−1

∫1

)

⁽1+t)-2β(

ν₂(x) + λ

ν₂(t)dt = g₂(x), x ∈ J,

(54)

1+x

t-x

1 - (bx + a)(bt + a)

−1

где

∫1

⁽1 + a + bt)-2β bν₂(t)dt

g₁(x) = -λ

+ T₁[ν₂] + F₆(x), x ∈ J,

(55)

a(1 + x)

bt - ax + 1

−1

∫¹

⁽ a(1 - t))-2β aν₁(t) dt

g₂(x) = -λ

+ H₁[ν₁] + H₂[ν₂] + F₇(x), x ∈ J.

(56)

b(1 + x)

at - bx - 1

−1

Лемма 4. Если функция g₁(x) удовлетворяет условию Гёльдера при x ∈ (-1, 1) и при-

надлежит классу L_p(-1, 1), p > 1, то решение уравнения (53) в классе функций H(-1, 1),

в котором функция (1 + x)-2β ν₁(x) ограничена на левом конце x = -1 интервала (-1, 1) и

может быть неограниченной на его правом конце x = 1, выражается формулой

∫

1 + cos(2θπ)

sin(2θπ)

( 1 + t )2θ( 1 - t )θ( 1 - c(at - b) )θ

ν₁(x) =

g₁(x) +

2π

1+x

1-x

1 - c(ax - b)

-1

(

)

g₁(t)dt,

(57)

t-x

1 - (ax - b)(at - b)

где θ = -β/2,

0 < θ < 1/4.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С УСЛОВИЕМ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО

1393

Лемма 5. Если функция g₂(x) удовлетворяет условию Гёльдера при x ∈ (-1, 1) и принад-

лежит классу L_p(-1, 1), p > 1, то решение уравнения (54) в классе H(-1, 1), в котором

функция (1 + x)-2β ν₂(x) ограничена на левом конце x = -1 интервала (-1, 1) и может

быть неограниченной на его правом конце x = 1, выражается формулой

∫

1 + cos(2θπ)

sin(2θπ)

⁽1+t)3θ(1-t)2θ

ν₂(x) =

g₂(x) +

2π

1+x

1-x

-1

)

⁽1 - c(bx + a))θ(

g₂(t)dt.

(58)

1 - c(bt + a)

t-x

1 - (bx + a)(bt + a)

Доказательства лемм 4 и 5 идентичны доказательству соответствующих утверждений из

работ [2, 11, 12].

Теперь выражения для функции g₁(x) и g₂(x) из (55) и (56) подставим соответственно в

формулы (57) и (58). После стандартных вычислений [5, с. 129] систему уравнений (57) и (58)

преобразуем к виду

∫1

⁽1 + x⁾ν₂(s)ds

ν₁(x) = - m

+ H₃[ν₂] + F₇(-x),

(59)

1+s

−1

∫¹

⁽1 + x⁾ν₁(t)dt

ν₂(x) = - n

+ H₄[ν₁] + H₅[ν₂] + F₈(x),

(60)

1+t

−1

где H₃[ν₂], H₄[ν₁], H₅[ν₂] - регулярные операторы и

-θ

A(ay/b)

sin(θπ)

ν₁(x) = ν₁(-x), m(y) =

(61)

1 + ay/b

1+x

sin(θπ)

n(y) =

(62)

1 + by/a

1+t

Таким образом, уравнение (59) совместно с уравнением (60) составляют систему интеграль-

ных уравнений относительно неизвестных функций ν₁(x) и ν₂(x) с сингулярной особенностью

в ядре [2, 12]. Характерной особенностью уравнения (59) является то, что оно разрешено

относительно функции ν₁(x), что позволяет исключить её из уравнения (60).

Подставляя в уравнение (60) выражение для функции v₁(x) из (59), получаем

∫1

(

∫

)

⁽1+x⁾

⁽1+t⁾ν2(s)ds

ν₂(x) = - n

- m

+ H₃[ν₂(t)] + F₆(-t) dt +

1+t

1+s

−1

-1

[

∫

]

⁽1+x⁾ν2(s)ds

+H₄ - m

+ H₃[ν₂(x)] + F₆(-x)

+ H₅[ν₂(x)] + F₇(x),

1+s

−1

или

∫1

K(x, t)ν₂(t) dt

ν₂(x) =

+ H₆[ν₂(x)] + F₈(x),

(63)

1+t

−1

где

∫1

⁽1+x⁾

⁽1 + s⁾ ds

K(x, t) = n

(64)

1+s

1+t

1+s

−1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1394

МИРСАБУРОВ, ИСЛОМОВ

∫¹

[

∫

]

⁽1 + x⁾H₃[v₂(t)]

⁽1+x⁾v2(s)ds

H₆[v₂(x)] = - n

dt + H₄ - m

+H₃[v₂(x)]

+ H₅[v₂(x)]

1+t

1+s

−1

-1

– регулярный оператор, а

∫¹

⁽1 + x⁾F₆(-t)

F₈(x) = - n

dt + H₄[F₆(-x)] + F₇(x)

(65)

1+t

−1

- известная функция.

Теперь оценим ядро K(x, t). Для этого сделав в интеграле (64) замену (1 + s)/(1 + t) = r,

будем иметь

∫

(

)

1+x

K(x, t) =

m(r)

= K₁(x,t) - K₂(x,t),

r(1 + t)

где

+∞

(

)

∫

(

)

1+x

K₁(x,t) =

m(r)

K₂(x,t) =

m(r)

r(1 + t)

2/(1+t)

Оценим сначала интеграл K₂(x, t). В силу (61) и (62) справедливы оценки

(

)

(

)-1

1+x

⁽b)θ

=B 1+

≤ B, m(r) ≤ A

r^-θ,

r(1 + t)

a r(1 + t)

вследствие которых получаем



∫

(

)



∫



1+x

dr



⁽b)θ



|K₂(x, t)| =^

m(r)



r-θ-1 dr

≤



≤

r(1 + t)

2/(1+t)



⁽b)θr^-θ

r=∞



⁽b)θ(1+t)θ



≤ BA



⁼

-θ

θ a

r=2/(1+t)

Следовательно, K₂(x, t)/(1 + t) - регулярное ядро.

Теперь вычислим интеграл

+∞

(

)

∫

1+x

⁽y⁾

K₁(x,t) =

m(r)

= n

m(r)

r(1 + t)

где y = (1 + x)/(1 + t). Тогда в силу (61) и (62) имеем

+∞ (

∫

)-1 A(ar/b)^-θ dr

r^-θ dr

K₁(x,t) =

B 1+

= ABa1-θb1+θ

(66)

1 + ba/r r

(ar + by)(a + br)

Вычислим получившийся несобственный интеграл

+^∞

∫

)

r^-θ dr

r^-θ

r^-θ dr

L(y) =

(67)

(ar + by)(a + br)

b(y - 1)

a + br

ar + by

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ С УСЛОВИЕМ БИЦАДЗЕ-САМАРСКОГО

1395

В интегралах правой части равенства (67) сделаем соответственно замену переменных ин-

тегрирования r = bt/a и r = byt/a, затем, используя интеграл Эйлера [13, с. 168]

∫

xδ-1 dx

(0 < δ < 1),

1+x

sin δπ

найдём, что

⁽b)1-θ π y^θ -1

L(y) =

(68)

b²

sin θπ y^θ(y - 1)

Учитывая равенства (67), (68), из представления (66) получаем

y^θ - 1

1+x

K₁(x,t) = B

(69)

y^θ(y - 1)

1+t

В силу (66) и (69) уравнение (63) запишем в виде

+^∞

⁽⁽1 + x)θ

⁾⁽1 + x

)-1 ω(t) dt

ω(x) =

-1

+ H₈[ω(x)] + F₉(x),

(70)

1+t

где ω(x) = (1 + x)^θν₂(x), H₈[ω(x)] = (1 + x)^θH₇[ω(x)], F₉(x) = (1 + x)^θF₈(x), здесь F₈(x)

определяется из (65), а

∫1

K₂(x,t)v₂(t)dt

H₇[v₂(x)] = H₆[v₂(x)] -

1+t

-1

- регулярный оператор.

Сделав в уравнении (70) замену переменных 1+t = 2e^-s, 1+x = 2e^-z, получим уравнение

Винера-Хопфа [14, с. 55]:

+∞

sh(θ(z - s)/2)ω(s)ds

ω(z) = B

+ H₉[ω(z)],

(71)

sh((z - s)/2)

где ω(z) = ω(2e-z - 1)e(θ-1)z/2, H9[ω] = H8[e(1-θ)z/2ω(z)] + e(θ-1)z/2F9(2e-z - 1).

Обозначим

B sh(θx/2)

K₃(x) =

sh(x/2)

Индекс κ уравнения (71) совпадает с индексом выражения 1 - K^∗(y), взятым с обратным

знаком [14, c. 56], где

+∞

∫

K^∗(y) = e^-iyxK₃(x)dx = (cos(yx) - isin(yx))K₃(x)dx.

(72)

-∞

В силу формулы [15, с. 518]

∫

sh(px)

sin(pπ/q)

cos(ax)

dx =

sh(qx)

2q ch(aπ/q) + cos(pπ/q)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

7^∗

1396

МИРСАБУРОВ, ИСЛОМОВ

из (72) с учётом (62) и того, что 0 ≤ y < ∞,

0 < θ < 1/4, вследствие нечётности функции

sin(yx)K₃(x) получим

+∞

sh(θx/2)

2sin²(θπ)

K^∗(y) = 2B cos(xy)

dx =

< 1.

(73)

sh(x/2)

ch(2yπ) + cos(θπ)

Поэтому Re (1 - K^∗(y)) > 0.

Из равенства (73) очевидно, что K^∗(y) = O(1/ ch(2πy)) для достаточно больших |y|, по-

этому [14, c. 56]

κ = -Ind(1 - K^∗(y)) = -

(arg(1 - K^∗(y)))|+∞-∞ =

2π

(arg(1 - K^∗(+∞)) - arg(1 - K^∗(-∞))) = -

(arctg 0 - arctg 0) = 0.

2π

Следовательно, уравнение (71) так же, как в [2; 5, с. 140], редуцируется к интегральному

уравнению Фредгольма второго рода [14, с. 46], однозначная разрешимость которого следует

из единственности решения задачи A. Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа.

М.; Л., 1947.

2. Мирсабуров М. Краевая задача для одного класса уравнений смешанного типа с условием Бицадзе-

Самарского на параллельных характеристиках // Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37. № 9. С. 1281-

1284.

3. Кароль И.Л. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного эллиптико-гиперболического типа

// Докл. АН СССР. 1953. Т. 88. № 2. С. 197-200.

4. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа. М., 1985.

5. Салахитдинов М.С., Мирсабуров М. Нелокальные задачи для уравнений смешанного типа с син-

гулярными коэффициентами. Ташкент, 2005.

6. Салахитдинов М.С., Исламов Н.Б. Нелокальная краевая задача с условием Бицадзе-Самарского

для уравнения параболо-гиперболического типа второго рода // Изв. вузов. Математика. 2015. № 6.

С. 43-52.

7. Исламов Н.Б. Аналог задачи Бицадзе-Самарского для одного класса уравнений параболо-гипербо-

лического типа второго рода // Уфимский мат. журн. 2015. Т. 7. № 1. С. 31-45.

8. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М., 1981.

9. Сабитов К.Б. О постановке краевых задач для уравнения смешанного типа с вырождением второго

рода на границе бесконечной области // Сиб. мат. журн. 1980. Т. 21. № 4. С. 146-150.

10. Хайруллин Р.С. К задаче Трикоми для уравнения смешанного типа второго рода // Сиб. мат. журн.

1994. Т. 35. № 4. С. 927-936.

11. Михлин С.Г. Об интегральном уравнении F. Trikomi // Докл. АН СССР. 1948. Т. 59. № 6. С. 1053-

1056.

12. Полосин А.А. Об однозначной разрешимость задачи Трикоми для специальной области // Диффе-

ренц. уравнения. 1996. T. 32. № 3. С. 394-401.

13. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 2. М., 1968.

14. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М., 1978.

15. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1971.

Термезский государственный университет,

Поступила в редакцию 04.07.2020 г.

Узбекистан,

После доработки 05.05.2021 г.

Национальный университет Узбекистана

Принята к публикации 08.09.2021 г.

им. М. Улугбека, г. Ташкент

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021