ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1397-1406

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.951

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБРАТИМЫХ ЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

В ВИДЕ КОМПОЗИЦИИ ТРЕУГОЛЬНЫХ

Исследуются обратимые линейные дифференциальные операторы по двум переменным.

Задача их описания актуальна вследствие её связи с задачами преобразования систем

уравнений в частных производных. В работе применяются алгебраические методы тео-

рии спектральных последовательностей цепных комплексов. Доказывается, что любой об-

ратимый линейный дифференциальный оператор с двумя независимыми переменными в

прямой сумме с тождественным отображением представляется в виде композиции не более

чем четырёх треугольных обратимых операторов. Сформулирован алгоритм разложения

в такую композицию, который продемонстрирован на примере.

DOI: 10.31857/S0374064121100113

Введение. В работе рассматриваются обратимые дифференциальные операторы, обрат-

ные к которым также являются дифференциальными операторами. Такие операторы возника-

ют при решении многих математических задач (см., например, [1, § 2.3]). Среди них - задачи

преобразования систем дифференциальных уравнений в случае, когда используются обрати-

мые преобразования, в которых переменные одной системы выражаются не только через пе-

ременные другой системы, но и через производные до какого-либо конечного порядка зависи-

мых переменных по независимым. Такие преобразования называются С-преобразованиями [2,

п. 6.3.6]. Отсутствие законченной теории C-преобразований затрудняет их применения к зада-

чам преобразования дифференциальных уравнений. C-преобразования линейных систем явля-

ются обратимыми линейными дифференциальными операторами. В случае нелинейных систем

линеаризации C-преобразований интерпретируются как обратимые линейные дифференциаль-

ные операторы. Поэтому актуальна задача описания обратимых линейных дифференциальных

операторов.

Настоящая работа продолжает исследования, начатые в работах [3-6]. В [3] доказано, что

действие любого обратимого дифференциального оператора по двум переменным можно рас-

ширить на больший модуль так, что полученный оператор будет композицией треугольных

обратимых операторов. В данной работе этот результат уточняется и показывается, что суще-

ствует композиция, состоящая не более чем из четырёх треугольных обратимых операторов.

Указанный результат доказывается более прозрачным (по сравнению с [3]) методом с целью

обобщения его на случай большего количества переменных. Используемый подход аналоги-

чен подходу, применявшемуся ранее в работах [4-6] в случае одной независимой переменной,

и основан на анализе спектральных последовательностей цепных комплексов, связанных с

обратимым дифференциальным оператором.

Статья организована следующим образом. В п. 1 определяются обратимые линейные диф-

ференциальные операторы и приводится пример такого оператора. Таблицы чисел, класси-

фицирующие обратимые операторы, вводятся в п. 2. Определение треугольных обратимых

операторов и основной результат формулируются в п. 3, п. 4 посвящён последовательностям

Спенсера, необходимым для доказательства основной теоремы. Само доказательство, а так-

же алгоритм разложения обратимых операторов в виде композиции треугольных обратимых

операторов приводятся в п. 5. В заключении обосновывается, почему обобщение на большее

число переменных полученных результатов представляется весьма правдоподобным.

1. Обратимые линейные дифференциальные операторы. Имея в виду возможные

дальнейшие обобщения, мы используем наиболее общее (алгебраическое) определение линей-

ных дифференциальных операторов (подробное изложение алгебраической теории таких опе-

раторов см. в [2, гл. 1]).

1397

1398

ЧЕТВЕРИКОВ

Пусть A - R-алгебра, P и Q - два A-модуля, Hom_R(P, Q) - линейное пространство

R-гомомофизмов из P в Q. В этом пространстве введём две A-модульные структуры, опре-

делённые умножениями

(aΔ)(p) = aΔ(p), (a⁺Δ)(p) = Δ(ap), a ∈ A, p ∈ P, Δ ∈ Hom_R(P, Q).

(1)

Обозначим

δ_a(Δ) = a⁺Δ - aΔ, δa0,...,a_k = δa₀ ◦ ... ◦ δa_k , a0,... ,ak ∈ A.

R-гомоморфизм Δ: P → Q называют линейным дифференциальным оператором порядка, не

превосходящего k, над алгеброй A, если δa0,...,a_k (Δ) = 0 для всех a0, . . . , ak ∈ A.

Линейный дифференциальный оператор из A в A называют скалярным.

Через ord Δ будем обозначать порядок дифференциального оператора Δ, т.е. k = ord Δ,

если Δ - оператор порядка, не превосходящего k, но не k - 1.

В случае, когда A = C^∞(M) - R-алгебра гладких (бесконечно дифференцируемых) функ-

ций на многообразии M, а P и Q - модули гладких сечений двух локально тривиальных

векторных расслоений ξ и ζ над M соответственно (о теории расслоений см. [7, гл. 2 и 3]),

сформулированное определение эквивалентно обычному определению линейного дифферен-

циального оператора. В частности, скалярный такой оператор на двумерном многообразии

M представляет собой конечную сумму производных по координатам x₁, x₂ на M с коэф-

фициентами из A:

∑

∂

Δ=

a_ij(x₁,x₂)∂i1∂j2, a_ij(x₁,x₂) ∈ A,

∂₁ =

∂₂ =

∂x₁

∂x₂

i+j≤k

Если расслоения ξ и ζ тривиальны и многомерны, то P и Q - модули векторных функций на

M соответствующей размерности, а любой оператор представляет собой матрицу скалярных

операторов.

Множество всех линейных дифференциальных операторов порядка, не превосходящего k,

действующих из P в Q, представляет собой A-модуль относительно и того, и другого умно-

жения из (1). Обозначим через Diff+k(P, Q) A-модуль относительно второго умножения, и

пусть

⋃

Diff+∗(P, Q) =

Diff+k(P, Q).

k=0

Заметим, что если P, Q, R - A-модули, Δ ∈ Diff+k(P, Q), ∇ ∈ Diff+l (Q,R), то ∇ ◦ Δ: P →

→ R - оператор порядка, не большего k + l. Это утверждение вытекает из формулы

δ_a(∇ ◦ Δ) = δ_a(∇) ◦ Δ + ∇ ◦ δ_a(Δ)

и того факта, что отображение δ_a уменьшает порядок оператора на единицу, т.е.

δ_a : Diff+s(P,Q) → Diff+s-1(P,Q), s > 0, a ∈ A.

Отметим также, что в общем случае композиция линейных дифференциальных операторов

некоммутативна, даже если операторы скалярные.

Дифференциальный оператор Δ: P → Q называют (двусторонне) обратимым, если су-

ществует такой дифференциальный оператор Δ-1 : Q → P, что композиция Δ-1 ◦Δ является

тождественным отображением модуля P, а композиция Δ ◦ Δ-1 - тождественным отображе-

нием модуля Q. В этом случае оператор Δ-1 называют обратным к Δ.

Отметим, что приведённое определение симметрично относительно замены Δ на Δ-1.

Поэтому оператор Δ-1 также обратим, а Δ - обратный к нему оператор.

В данной работе рассматриваются обратимые линейные дифференциальные операторы

по двум переменным, т.е. на двумерном многообразии M. Рассуждения локальны, поэтому

можно считать, что M = R² - плоскость, а P и Q - модули векторных функций на R².

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБРАТИМЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 1399

Нетрудно показать, что если существует обратимый линейный дифференциальный оператор

из P в Q, то векторные функции из P и Q имеют одинаковую размерность, которую мы

обозначаем через m, т.е. P = A^m = Q, A = C^∞(M).

Приведём пример обратимого оператора рассматриваемого типа.

Пример 1. Рассмотрим в случае m = 2 операторы Δ и Δ-1, которые заданы матрицами

(

)

(

)

1-∂1∂2 + ∂1∂2

∂³² - ∂²¹ - ∂³¹∂²²

1+∂₁∂²²

-∂³² + ∂²¹ + ∂³¹∂²²

Δ=

Δ-1 =

−∂²¹∂₂

1+∂₁∂²²

∂²¹∂₂

1-∂₁∂²² +∂⁴¹∂₂

Нетрудно убедиться в том, что эти операторы являются обратными друг к другу.

2. Таблицы чисел обратимых операторов. Пусть M - двумерное многообразие, A =

= C^∞(M), P, Q - A-модули гладких сечений двух локально тривиальных векторных рас-

слоений, Δ: P → Q - дифференциальный оператор порядка l. Рассмотрим следующие A-

модули:

Gp = Diff^p(A, Q), Fk = {α ∈ Diffk+l(A, Q) : α = Δ ◦ β, β ∈ Diff^k(A, P )}, p, k ≥ 0.

Так как G_p и F_k - подмодули модуля Diff+s(A, Q), где s = max(p, k + l), то их пересече-

ние F_k

^⋂G_p - также подмодуль модуля Diff+s(A,Q). Модули G_p и F_k являются модулями

гладких сечений локально тривиальных векторных расслоений над M. Обозначим соответ-

ствующие расслоения через ξ_p и ζ_k. Слои этих расслоений над точкой θ ∈ M состоят из

линейных дифференциальных операторов в точке θ, и размерность слоёв не зависит от точки.

Пересечение модулей F_k

^⋂G_p является модулем гладких сечений пересечения векторных рас-

слоений ξ_p и ζ_k. Слои пересечения векторных расслоений могут иметь разную размерность,

зависящую от точки θ ∈ M. Такой объект называют векторным расслоением с особенностя-

ми. Под размерностью модуля R гладких сечений векторного расслоения с особенностями

над многообразием M мы понимаем целочисленную функцию, которая точке θ ∈ M ставит

в соответствие размерность слоя этого расслоения над θ. Обозначим её через dim R. Набор

элементов β₁, . . . , β_k модуля сечений векторного расслоения ξ будем называть базисом этого

θ∈Uограниченияβ

модуля в окрестности U точки θ ∈ M, если в каждой точке

1,θ,^...,

βk,˜θ этих элементов образуют базис слоя расслоения ξ над точкойθ.

Пусть оператор Δ: P → Q обратим, l = ord Δ, а L - порядок обратного оператора. Точку

θ ∈ M назовём d-регулярной точкой обратимого оператора Δ, если в некоторой окрестности

этой точки пересечение слоёв расслоений ξ_p и ζ_k имеет постоянную размерность для любых

p = 0,l и k = 0,L. Таким образом, в окрестности d-регулярной точки функция dim(F_k

^⋂G_p)

постоянна для указанных k и p. Далее будем рассматривать обратимые операторы только в

окрестности d-регулярных точек.

В работах [4-6] использовался поход к классификации обратимых операторов на одномер-

ном M, основанный на исследовании размерностей d_k,p = dim(F_k

^⋂G_p). А именно, считалось,

что одному классу принадлежат те и только те обратимые операторы, которые имеют одина-

ковые наборы чисел d_k,p, k, p ≥ 0. Этот подход применим и к рассматриваемому в данной

работе случаю двумерного многообразия M. В частности, важную роль играют наборы чисел

κ_k,p = d_k,p - dk-1,p - dk,p-1 + dk-1,p-1, d-1,p = 0 = dk,-1 = κ-1,p = κk,-1,

которые совпадают с размерностями модулей, исследуемых далее.

3. Треугольные обратимые операторы. Пусть A = C^∞(M), а P, Q - A-модули

гладких сечений локально тривиальных векторных расслоений. Линейный дифференциаль-

ный оператор ∇: P → Q называется треугольным обратимым оператором в окрестности

точки θ ∈ M, если в этой окрестности существуют базисы модулей Q и P, в которых мат-

рица оператора ∇ имеет верхнетреугольный вид, т.е. на диагонали стоят единицы, под ней -

нули, а над ней - скалярные операторы.

Из определений композиции операторов и умножения матриц легко вытекает, что любой

треугольный обратимый оператор обратим и что обратный к нему оператор также является

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1400

ЧЕТВЕРИКОВ

треугольным. Заметим, кроме этого, что если M - матрица оператора ∇: P → Q в некоторых

базисах модулей Q и P, а R - какой-либо A-модуль и id_R - его тождественное отображе-

ние, то матрица оператора ∇

^⊕ id_R : P^⊕ R -→ Q^⊕ R, (∇^⊕ id_R)(p^⊕ r) = ∇(p)^⊕ r имеет

блочный вид

(

)

M 0

(2)

где 0 - нулевые матрицы, E - единичная матрица.

Теорема. Пусть M - двумерное многообразие, A = C^∞(M), P = A^m = Q. Тогда для

любого обратимого линейного дифференциального оператора Δ: P → Q ненулевого порядка

существует модуль R такой, что в окрестности d-регулярной точки оператора Δ опера-

тор Δ

^⊕ id_R является композицией не более чем четырёх треугольных обратимых опера-

торов.

4. Последовательности Спенсера модуля. Введём алгебраические структуры, необхо-

димые для описания модулей F_k

^⋂G_p и доказательства теоремы. R-линейное отображение

∇: A → P называется дифференцированием алгебры A со значениями в A-модуле P, если

∇(ab) = a∇(b) + b∇(a) для любых a, b ∈ A. R-линейное отображение ∇: A

^⊗A → P на-

зывается кососимметричным 2-дифференцированием алгебры A со значениями в A-модуле

P, если

∇(a₁, a₂) + ∇(a₂, a₁) = 0,

∇(ab, a₂) = a∇(b, a₂) + b∇(a, a₂) для любых a, b, a₁, a₂ ∈ A.

Через D₁(P ) обозначим множество всех дифференцирований алгебры A со значениями в

A-модуле P, а через D₂(P ) - множество всех кососимметричных 2-дифференцирований ал-

гебры A со значениями в P. Так как любое дифференцирование является дифференциальным

оператором порядка 1, то D₁(P ) ⊂ Diff⁺¹(A, P ).

В рассматриваемом нами случае любой элемент из D₁(G_p) имеет вид ∇₁∂₁ + ∇₂∂₂, где

∇₁,∇₂ ∈ G_p, а любой элемент из D₂(G_p) - вид ∇∂₁ ∧ ∂₂, где ∇ ∈ G_p. Определим операторы

S₀ : G_p → Q, S₁ : D₁(G_p) → Gp+1, S₂ : D₂(G_p) → D₁(Gp+1),

называемые операторами Спенсера [2, п. 1.1.8], соотношениями

S₀(∇) = ∇(1), S₁(∇₁∂₁ + ∇₂∂₂) = ∇₁ ◦ ∂₁ + ∇₂ ◦ ∂₂, S₂(∇∂₁ ∧ ∂₂) = (∇ ◦ ∂₁)∂₂ - (∇ ◦ ∂₂)∂₁,

в которых ∇, ∇₁, ∇₂ ∈ Diff+∗(A, Q). Последовательность

−→ Q -→ 0

точна и называется Diff-комплексом Спенсера порядка p + 1 модуля Q [2, п. 1.1.9].

В [2, п. 1.2.16] сформулированы условия на R-алгебру A, при выполнении которых имеют

место изоморфизмы A-модулей

(

)

D_i(G_p)

≃D_i

i = 1,2, p ≥ 1.

(3)

D_i(Gp-1

)

Gp-1

Показано также, что эти изоморфизмы имеются в случае A = C^∞(M).

Модуль G_p/Gp-1 называется модулем символов порядка p модуля Q. Факторизуя Diff-

комплекс Спенсера порядка p + 1 модуля Q по Diff-комплексу Спенсера порядка p этого

модуля, получаем точную последовательность

)

(

)

⁽Gp-1

S₂

S₁

0 -→ D₂

−→ D₁

-→

Gp+1 -→ 0,

(4)

Gp-2

Gp-1

которая называется δ-последовательностью Спенсера порядка p + 1 модуля Q для симво-

лов [2, п. 1.2.16]. Отображения S₁ и S₂ этой последовательности являются гомоморфизмами

модулей [2, п. 1.5.10].

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57 № 10 2021

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБРАТИМЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 1401

5. Доказательство теоремы. Для описания модулей F_k

^⋂G_p применим теорию цепных

комплексов и их спектральных последовательностей (см. [8, гл. 4, § 1 и гл. 9, § 1]). По возмож-

ности далее будем формулировать используемые понятия и доказывать необходимые факты

этой теории.

Обозначим L = ord Δ-1. Тогда G_p ⊂ Fp+L для любого p ≥ 0, так как если α ∈ G_p, то

α = Δ ◦ β, где β = Δ-1 ◦ α ∈ Diff+p+L(A,P). Модули G_p/Gp-1 имеют фильтрацию

^⋂Fp+L-1 +Gp-1

^⋂F_k +Gp-1

⊃

⊃...⊃

^⋂F₀ +Gp-1.

Gp-1

Так как

S₁ : D₁(F_k) → Fk+1, S₂ : D₂(F_k) → D₁(Fk+1),

то для p ≥ 0, k = 0, p + L, определены последовательности

)

⁽Gp-1⋂Fk-1 +Gp-2

S₂

⁽G_p⋂F_k +Gp-1

S₁

Gp+1

0 -→ D₂

−→ D₁

-→

^⋂Fk+1 + G_p -→ 0.

Gp-2

Gp-1

Это означает, что мы имеем фильтрацию комплексов (4), p ≥ 0, и их спектральные последо-

вательности (см. [8, гл. 9, § 1, п. 2]). Обозначим

^⋂F_k +Gp-1

E_k,p =

⋂

(5)

Fk-1 + Gp-1

Тогда последовательности (E⁰, d⁰) (см. [8, гл. 9, § 1, п. 2]) записываются в виде

−→ Ek+1,p+1 -→ 0, k ≥ 0, p ≥ 0,

(6)

и представляют собой факторизации Diff-комплексов Спенсера. Именно, если элемент ξ ∈

∈ D₂(Ek-1,p-1) (или ξ ∈ D₁(E_k,p)) - фактор-элемент элемента α ∈ D₂(Gp-1) (α ∈ D₁(G_p))

в представлении (5), то S₂(ξ) - фактор-элемент элемента S₂(α) ∈ D₁(G_p) (S₁(α) ∈ Gp+1

соответственно).

Отметим, что мы используем отличные от обычных обозначения и нумерацию элемен-

тов E⁰, потому что для дальнейших рассуждений удобно иметь нумерацию, симметричную

относительно p, k. Для доказательства симметричности E_k,p используем следующий извест-

ный факт.

Теорема Нётер об изоморфизме (см. [8, гл. 4, введение, § 4]). Пусть X и Y - некото-

рые подмодули A-модуля Z, и пусть X+Y - подмодуль, порождённый множеством X

^⋃Y.

Тогда вложение X ⊂ X + Y переводит X

^⋂Y в Y и индуцирует изоморфизм A-модулей

X+Y

^⋂Y-→

Обозначим X = G_p

^⋂F_k и Y = Gp ⋂Fk-1 + Gp-1. Так как Fk-1 ⊂ F_k, то

X+Y =G_p

^⋂F_k +Gp-1, X^⋂Y =G_p⋂Fk-1 +Gp-1⋂F_k.

Применяя теорему Нётер, получаем симметричную относительно k и p формулу

^⋂F_k

E_k,p =

p,k ≥ 0.

(7)

^⋂Fk-1 +Gp-1⋂Fk

Используя известные факты о размерностях пространств (модулей), в окрестности d-ре-

гулярной точки получаем

dim E_k,p = dim(G_p

^⋂F_k) - dim(Gp ⋂Fk-1 + Gp-1 ⋂F_k) =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57 № 10 2021

1402

ЧЕТВЕРИКОВ

= d_k,p - dim(G_p

^⋂Fk-1) - dim(Gp-1 ⋂ F_k) + dim(G_p ⋂Fk-1 ⋂ Gp-1 ⋂ F_k) =

=d_k,p -dk-1,p -dk,p-1 +dk-1,p-1 =κ_k,p.

По построению F_k ⊂ Gk+l для l = ord Δ, k ≥ 0. Поэтому применимы рассуждения,

приведённые выше, с заменой Δ на Δ-1. Так как модуль Diff+k(A, P ) изоморфен модулю

Fk, а модуль

{α ∈ Diff+p+L(A, P ) : α = Δ-1 ◦ β, β ∈ Diff+p(A, Q)}

- модулю G_p для p, k ≥ 0, то мы получим те же элементы E_k,p, только с заменой p на k и

k на p (этим и объясняется такое представление элементов E⁰).

Рассмотрим теперь для разных k и p модули гомологий комплекса (6) (они составляют

член E1 спектральной последовательности, см. [8, гл. 9, § 1, п. 2]). Так как F-1 = 0, то

E-1,p = 0 и поэтому модуль гомологий в члене E0,p совпадает с E0,p = G_p

^⋂F₀/Gp-1 ⋂ F₀

для любого p ≥ 0. Так как F₀ ⊂ G_l, то E0,p = 0 при p > l. Аналогично, модуль гомологий в

члене Ek,0 совпадает с Ek,0 = G₀

^⋂F_k/G0 ⋂Fk-1, k ≥ 0, и Ek,0 = 0 при k > L.

Отметим, что если E0,0 = 0, то существует такой подмодуль P₀ модуля P, что ограниче-

ние оператора Δ на P₀ представляет собой дифференциальный оператор нулевого порядка

(изоморфизм ввиду обратимости Δ). Выберем в окрестности d-регулярной точки какой-либо

базис B₀ модуля P₀. Образ Δ(P₀) является подмодулем модуля Q, а образ базиса B₀ - ба-

зисом в Δ(P₀). Дополним базисы B₀ и Δ(B₀) до базисов в P и Q соответственно. В этих

базисах матрица оператора Δ имеет блочный вид (2), и мы можем рассматривать обратимый

оператор с матрицей M меньшей размерности. Поэтому далее считаем, что E0,0 = 0.

Последовательно для p = l, 1 в окрестности d-регулярной точки рассмотрим базисы мо-

дулей E0,p и какие-либо элементы из G_p

^⋂F₀, факторами которых они являются. Обозначим

их через β₁, . . . , β_m. Получим базис модуля F₀.

По определению модуль гомологий в члене D₂(Ek-1,p-1) совпадает с ядром S₂, а значит,

является подмодулем в D₂(Ek-1,p-1). Модуль гомологий в члене D₁(E_k,p) представляет собой

фактор-модуль ядра S₁ по образу S₂. Наконец, модуль гомологий в члене Ek+1,p+1 - это

фактор-модуль модуля Ek+1,p+1 по образу S₁. Из соотношений (3) и (7) следуют равенства

D_i(G_p

^⋂F_k)

D_i(E_k,p) =

D_i(G_p

^⋂Fk-1 +Gp-1⋂F_k),i=1,2.

Таким образом, элементы гомологий комплексов (6) представляют собой факторы элементов

из D_i(G_p

^⋂F_k), i = 1,2, или из Gp ⋂F_k. Далее фактор элемента β ∈ D_i(Gp ⋂F_k) в D_i(E_k,p),

i = 1,2, (или β ∈ G_p

^⋂F_k в E_k,p) будем обозначать через [β]. При этом элемент β может

быть определён или не определён, но определён фактор-элемент.

Отметим, что если [α] - ненулевой элемент модуля гомологий в члене D₂(Ek-1,p-1), то

α ∈ D₂(Gp-1

^⋂Fk-1), α ∈ D₂(Gp-2 ⋂ Fk-1), α₁ = S₂(α) ∈ D₁(G_i ⋂ F_k + Fk-1) для некото-

рого i ≤ p - 1 и S₁[α₁] = 0, поскольку S₁ ◦ S₂ = 0. Но так как α ∈ D₂(Gp-2

^⋂Fk-1), то

[α₁] ∈ S₂(D₂(Ek-1,i-1)), а значит, [α1] - элемент модуля гомологий в члене D1(Ek,i). Таким

образом, S₂ отображает элемент модуля гомологий в члене D₂(Ek-1,p-1) в элемент модуля

гомологий в члене D₁(E_k,i). Аналогично S₁ отображает каждый ненулевой элемент [α₂] мо-

дуля гомологий в члене D₁(E_k,p) в элемент модуля гомологий в члене Ek+1,i+1 для некоторого

номера i ≤ p - 1, зависящего от [α₂].

С другой стороны, используя известные свойства спектральных последовательностей [8,

гл. 9, § 1, п. 2], несложно доказать, что любой ненулевой элемент [α1] модуля гомологий в

члене D₁(E_k,p) представляет собой образ относительно S₂ некоторого элемента [α] модуля

гомологий в члене D₂(Ek-1,i-1), i > p. Аналогично любой ненулевой элемент модуля го-

мологий в члене Ek+1,p+1 является образом относительно S₁ некоторого элемента модуля

гомологий в члене D₁(E_k,i), i > p.

Покажем, как в окрестности d-регулярной точки выбрать элементы из E_k,p, p, k ≥ 0,

порождающие над A модули гомологии комплексов (6), и как получить все возможные диф-

ференциальные соотношения на них. Используем для этого индукцию по k. Случай k = 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57 № 10 2021

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБРАТИМЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 1403

мы уже рассмотрели: фактор-элементы [β₁], . . . , [β_m] порождают A-модули E0,p, p ≥ 0, а

значит, и модули гомологии в членах D₂(E0,p), D₁(E0,p), E0,p, p ≥ 0.

Предположим, что элементы [β₁], . . . , [βm1 ] (m1 ≥ m) порождают модули гомологий

в членах D₂(E_i,p), D₁(E_i,p), E_i,p, i = 0, k - 1, p ≥ 0. Для каждого p ≥ 0 рассмотрим

базисы модулей гомологий в членах D₂(E_k,p), D₁(E_k,p), E_k,p. Базисный элемент гомологий

из D₂(E_k,p) имеет вид [∇₁]∂₁ + [∇₂]∂₂, где [∇₁], [∇₂] ∈ E_k,p, а базисный элемент гомологий

из D₁(E_k,p) - вид [∇]∂₁ ∧ ∂₂,

[∇] ∈ E_k,p. Таким образом, все указанные базисные элементы

порождаются набором элементов из E_k,p. Выберем в окрестности d-регулярной точки какой-

либо базис этого набора и проделаем эту процедуру для каждого p ≥ 0. Получим элементы

[βm1+1], . . . , [βm2 ] из Ek,p, p ≥ 0 (m2 ≥ m1).

Найдём теперь дифференциальные соотношения на [β₁], . . . , [βm2 ]. Рассмотрим какой-

либо элемент [β_l], l = m₁ + 1, m₂. По построению этот элемент порождает гомологию или в

члене E_k,p, или в члене D₁(E_k,p) для некоторого p ≥ 0. В первом случае, как отмечалось

выше, существует такой элемент [α₂] = [∇₁]∂₁ + [∇₂]∂₂ модуля гомологий в члене D₁(Ek-1,i)

для некоторого i > p, что S₁[α₂] = [∇₁] ◦ ∂₁ + [∇₂] ◦ ∂₂ = [β_l]. По предположению шага

∑m1

индукции имеем [∇_s] =

[β_j ] ◦ a_sj, a_sj ∈ A, s = 1, 2, а значит,

j=1

∑

[β_l] =

[β_j ] ◦ ∇_lj,

(8)

j=1

где ∇lj - скалярные дифференциальные операторы. Во втором случае существует элемент

[α] = [∇]∂₁ ∧ ∂₂ модуля гомологий в члене D₂(Ek-1,i-1), i > p, такой, что элемент S₂[α] =

= ([∇] ◦ ∂₁)∂₂ - ([∇] ◦ ∂₂)∂₁ равен или [βl]∂1 + [β0]∂2, или [β0]∂1 + [βl]∂2 для некоторого

[β₀] ∈ E_k,p. Таким образом, в обоих случаях имеем соотношения (8).

Результатом этих рассуждений для всех k является набор [β_l], l = 1, m₀ (m₀ ≥ m), и

соотношения вида

∑

[β_l] =

[β_j ] ◦ ∇_lj , l = m + 1, m₀.

(9)

j=1

Выберем какие-либо представители β₁, . . . , β_m из классов эквивалентностей [β₁], . . . , [β_m].

Тогда в силу соотношений

∑

β_l =

β_j ◦ ∇_lj, l = m + 1,m₀,

(10)

j=1

получаем представителей βm+1, . . . , βm0 из классов эквивалентностей [βm+1], . . . , [βm0 ].

Соотношения (10) можно записать в матричном виде

-β⁽¹⁾M₁ + β⁽²³⁾(E - M₂) = 0,

где β⁽¹⁾ - матрица, составленная из столбцов β₁, . . . , β_m, а β⁽²³⁾ - матрица, составленная

из столбцов βm+1, . . . , βm0 , матрицы M₁ и M₂ определяются равенствами M₁ = (∇_lj ), где

l = m + 1,m0, j = 1,m, M2 = (∇lj), где l = m + 1,m0, j = m + 1,m0, причём ∇lj = 0

при j ≥ l. Из последнего равенства следует, что матрица E - M₂ является верхнетреуголь-

ной с единицами на диагонали. Поэтому соответствующий оператор является треугольным

обратимым.

Последовательно для k = l, L в окрестности d-регулярной точки найдём базисы модулей

Ek,0 и какие-либо элементы из G0

^⋂F_k, факторами которых они являются. Обозначим их

через e₁, . . . , e_m. Получим базис модуля F₀. Операторы β₁, . . . , β_m, e₁, . . . , e_m линейно

независимы над A и являются A-линейными комбинациями операторов β₁, . . . , βm0 . Среди

элементов β_l, l = m + 1, m₀, выберем такие, которые вместе с β₁, . . . , β_m, e₁, . . . , e_m

образуют базис A-линейной оболочки span_A{β₁, . . . , βm0 }. Обозначим матрицу, составленную

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57 № 10 2021

1404

ЧЕТВЕРИКОВ

из этих элементов, через β⁽³⁾, а матрицу, составленную из элементов e₁, . . . , e_m, через β⁽²⁾.

Тогда матрица β⁽²³⁾ представляется в виде

β⁽²³⁾ = β⁽¹⁾T₂ + (β⁽²⁾β⁽³⁾)T₁,

где (β⁽²⁾β⁽³⁾) - блочная матрица, составленная из матриц β⁽²⁾ и β⁽³⁾, а T₂ и T₁ - матрицы

элементов из A, матрица T₁ обратима. Соотношения (10) записываются в блочно-матричном

виде

β⁽¹⁾M₃ + (β⁽²⁾β⁽³⁾)Δ₁ = 0,

(11)

где M₃ = T₂(E - M₂)- M₁, а Δ₁ = T₁(E - M₂) - матрица треугольного обратимого оператора

по определению. Отметим также, что каждое соотношение в (11) представляет собой A-ли-

нейную комбинацию соотношений (10) и наоборот.

Аналогично, меняя в рассуждениях местами {F_k} и {G_p}, получаем элементы

β_l], l =

= 1, m₀, и соотношения вида (9) на них. Так как и [β_l], l = 1, m₀, и

β_l], l = 1,m₀, порождают

модули гомологий одних и тех же комплексов (6), то A-линейные оболочки {[β_l]} и {

β_l]} сов-

падают, а значит, наборы B = ([β₁], . . . , [βm0 ]) и

B=(

β₁],... ,

βm0 ]) образуют разные базисы

одного и того же модуля. Пусть T - матрица перехода от базиса B к базису

B. Тогда T -

обратимая матрица элементов из A, т.е. обратимый дифференциальный оператор нулевого

порядка, и

B=TB. Дифференциальныесоотношенияна

β₁], ...,

βm0 ] аналогичны соотно-

шениям (9), но матрицы β⁽¹⁾ и β⁽²⁾ меняются местами. Рассуждая аналогично предыдущему,

получаем соотношения вида

β⁽²⁾N₃ + (β⁽¹⁾β⁽³⁾)Δ₂ = 0,

(12)

где Δ₂ - матрица треугольного обратимого оператора.

Так как соотношения (12) и (11) определяются гомологиями одних и тех же комплексов (6),

то соотношения (12) дифференциальным образом выражаются через соотношения (11), и на-

оборот, соотношения (11) выражаются через соотношения (12). Это означает, что существует

обратимый дифференциальный оператор с матрицей Δ₃ такой, что соотношения (12) совпа-

дают с соотношениями

β⁽¹⁾M₃Δ₃ + (β⁽²⁾β⁽³⁾)Δ₁Δ₃ = 0.

(13)

Отметим также, что соотношения и из (11), и из (12) разбиваются на две группы: 1) соот-

ветствующие гомологиям в членах E_k,p и 2) соответствующие гомологиям в членах D₁(E_k,p).

Соотношения первой группы из (12) выражаются A-линейным образом через соотношения

первой группы из (11). А соотношения второй группы из (12) определяются с точностью до

образа S₂, а значит, выражаются A-линейным образом через соотношения второй группы

из (11) и дифференциальным образом через соотношения первой группы из (11). Поэтому Δ₃

является матрицей треугольного обратимого оператора.

Кроме того, так как столбцы матрицы β⁽¹⁾ составляют базис модуля F₀, то β⁽¹⁾ - матрица

оператора Δ в соответствующих базисах модулей P и Q. Аналогично столбцы матрицы

β⁽²⁾ составляют базис модуля G₀, а значит β⁽²⁾ - единичная матрица. Учитывая это, в силу

соотношений (12) получаем, что матрица N₃ представляется в виде произведения блочной

матрицы (-Δ - β⁽³⁾) и матрицы Δ₂.

Умножая соотношения (12) справа на матрицу Δ-12, получаем

⎛

⎞

(β⁽¹⁾β⁽²⁾β⁽³⁾) ⎝-Δ

-β⁽³⁾⎠=0.

(14)

Аналогично умножая соотношения (13) справа на матрицу Δ-12, будем иметь

β⁽¹⁾M₃Δ₃Δ-12 + (β⁽²⁾β⁽³⁾)Δ₁Δ₃Δ-12 = 0.

(15)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57 № 10 2021

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБРАТИМЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ 1405

Так как соотношения (12) и (13) совпадают между собой, то совпадают между собой и соот-

ношения (14) и (15), а значит, матрица Δ₁Δ₃Δ-12 имеет блочный вид

(

)

-Δ -β⁽³⁾

Нетрудно видеть, что

(

)

(

)

(

)

-Δ -β⁽³⁾

-E

-β⁽³⁾

=Δ₄

Δ₄ =

Поэтому имеем разложение

(

)

=Δ₄Δ₁Δ₃Δ-12.

(16)

Следовательно, оператор Δ

^⊕ id_R представляется в виде композиции треугольных обратимых

операторов с матрицами Δ₄, Δ₁, Δ₃ и Δ-12. Теорема доказана.

Из сформулированных результатов и доказательства теоремы вытекает, что для разложе-

ния обратимых линейных дифференциальных операторов в композицию треугольных можно

применять следующий

Алгоритм.

Шаг 1. Последовательно для k = 0, L найти образующие модулей E_k,p и модулей гомо-

логий комплекса (6) для p ≥ 0. Получить набор β₁, . . . , βm0 и соотношения вида (10) на

них.

Шаг 2. Преобразовать соотношения вида (10) к виду (11) и вычислить матрицу Δ₁.

Шаг 3. Поменять модули G_p и F_k местами и преобразовать соотношения вида (10) к

виду (12), вычислить матрицы Δ₂ и Δ-12.

Шаг 4. Найти матрицу Δ₃.

Шаг 5. Записать представление (16).

Пример 2. Применим данный алгоритм к оператору Δ из примера 1. Для этого введём

следующие обозначения для операторов:

(

)

(

)

e₁ =

e₂ =

β₁ = Δ ◦ e₁, β₂ = Δ ◦ e₂.

На шаге k = 1 алгоритма получаем элемент β₃ и соотношение

(

)

-∂³

+∂₂

β₃ = β₁ ◦ ∂₂ + β₂ ◦ ∂₁ =

(17)

∂₁

на шаге k = 3 - элемент β₄ и соотношения

(

)

∂²

β₄ = β₃ ◦ ∂²² - β₂ =

e₁ = β₃ ◦ ∂₁∂₂ + β₁,

-1

а на шаге k = 5 - соотношение

e₂ = e₁ ◦ ∂²¹ - β₄.

Поменяв модули G_p и F_k местами, приходим к тем же соотношениям, кроме соотноше-

ния (17). Вместо него получаем соотношение

β₃ = e₁ ◦ ∂₂ - β₄ ◦ ∂₁.

(18)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57 № 10 2021

1406

ЧЕТВЕРИКОВ

Разность между равенствами (17) и (18) даёт соотношение (β₁ - e₁) ◦ ∂₂ + (β₂ + β₄) ◦ ∂₁ = 0,

которое является следствием остальных соотношений. Вычисляя матрицы Δ₃, Δ₁, Δ₂, Δ-12

и Δ₄, получаем искомое разложение:

⎛

⎞

⎛

⎞

1-∂₁∂²² +∂⁴¹∂₂

∂³² - ∂²¹ - ∂³¹∂²²

-1

∂³¹ - ∂₂

-∂²¹

⎜

−∂²¹∂₂

1+∂₁∂²²

0⎟

⎜

-1

-∂₁

⎟

⎝

⎠=

⎝

⎠◦

⎛

⎞ ⎛

⎞

-∂²¹

-∂₁∂₂

∂²²

⎜0

⎟

⎜

∂₁

0⎟

⎜

0⎟

◦

⎝

⎠◦

⎝

⎠◦

⎝

⎠.

-∂²²

-∂₁∂₂

−∂₂

−1

∂²¹∂₂

-1 - ∂₁∂²²

-∂₁

Заключение. В работе доказано, что обратимые линейные дифференциальные операто-

ры с двумя независимыми переменными разлагаются в композицию треугольных обратимых

операторов. В качестве следствия доказательства этого результата сформулирован алгоритм

разложения, который продемонстрирован на примере. Основой приведённого доказательства

является использование δ-последовательности Спенсера, определяемой для любого количе-

ства переменных. Поэтому обобщение полученных результатов на большее количество пере-

менных представляется вполне возможным.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образова-

ния Российской Федерации (проект 0705-2020-0047) и Российского фонда фундаментальных

исследований (проекты 19-07-00817 и 20-07-00279).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Громов М. Дифференциальные соотношения с частными производными. М., 1990.

2. Виноградов А.М., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифферен-

циальных уравнений. М., 1986.

3. Chetverikov V.N. Invertible linear differential operators on two-dimensional manifolds. Preprint of the

Erwin Schrodinger Intern. Inst. for Math. Physics. Vienna, 1993. № 55.

4. Четвериков В.Н. Анализ и синтез обобщённых обратимых дифференциальных операторов с одной

независимой переменной// Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51. № 11. С. 1534-1544.

5. Chetverikov V.N. Invertible linear ordinary differential operators // J. of Geom. and Phys. 2017. V. 113.

P. 10-27.

6. Chetverikov V.N. Invertible linear ordinary differential operators and their generalizations // J. of Geom.

and Phys. 2020. V. 151. Art. 103617.

7. Хьюзмоллер Д. Расслоенные пространства. М., 1970.

8. Спеньер Э. Алгебраическая топология. М., 1971.

Московский государственный технический

Поступила в редакцию 09.06.2021 г.

университет им. Н.Э. Баумана

После доработки 09.06.2021 г.

Принята к публикации 08.09.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57 № 10 2021