ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1421-1425

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.957+517.958

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

ТРЁХ СОБОЛЕВСКИХ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ

ПСЕВДОЛАПЛАСИАНЫ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА

Построено несколько классов точных решений для трёх нелинейных, содержащих псевдо-

лапласианы четвёртого порядка, соболевских уравнений, описывающих квазистационар-

ные процессы в полупроводниках с учётом отрицательной дифференциальной проводимо-

сти.

DOI: 10.31857/S0374064121100137

Введение. Работа посвящена построению классов точных решений следующих уравнений:

∂

∂u

Δu + u

= Δ₄u,

(1)

∂t

∂x

∂

Δu = Δ₄u,

(2)

∂t

∂

Δu + Δu = Δ₄u.

(3)

∂t

В (1)-(3) функция u зависит от трёхмерного вектора пространственных ω = (x, y, z) и вре-

менной t > 0 переменных, а через Δ_pu (здесь p = 4) обозначен псевдолапласиан порядка p,

т.е. div (|∇u|p-2∇u). Операторы ∇ и Δ действуют только по пространственным переменным.

В монографии [1, гл. 7, § 2] для уравнения (1) и более общих, чем (2) и (3), уравнений

(содержащих псевдолапласианы произвольного порядка; при этом в ней подчёркивалось, что

p = 4 - это “физически важный случай”) изучалась разрешимость (локальная и глобальная)

начально-краевых задач и в случае только локальной разрешимости получены оценки време-

ни существования их решений. Уравнения, подобные (1)-(3), описывают квазистационарные

процессы в полупроводниках с учётом отрицательной дифференциальной проводимости.

Отметим, что существуют обширные исследования в области качественной теории соболев-

ских уравнений, в которых изучаются вопросы существования и единственности решений, их

разрушения и асимптотики (например, [1-3]), но в литературе о точных решениях уравнений

в частных производных (например, [4-6]) такие уравнения встречаются редко.

В данной работе построено несколько классов точных решений уравнений (1)-(3), выра-

жающихся через элементарные и специальные функции.

В дальнейшем через c, c₁, c₂, . . . обозначаются, вообще говоря, произвольные действи-

тельные постоянные, через α = (α₁, α₂, α₃) - произвольный постоянный ненулевой трёхмер-

ный вектор, через k(·), k₁(·), k₂(·), . . . - произвольные дифференцируемые функции ска-

лярного аргумента. Для векторов α = (α₁, α₂, α₃) и ω = (x, y, z) их скалярное произведение

обозначаем через 〈α, ω〉, т.е. 〈α, ω〉 = α1x + α2y + α3z. Далее считаем, что для рассматри-

ваемых параметров, переменных и функций выполняемые с ними действия и преобразования

корректны.

Введём функцию

)

⁽1

(w + c)

2w - c

χ(w; c) =

√

arctg

√

(4)

c²

w² - cw + c²

1421

1422

АРИСТОВ

переменной w (для c = 0). Несложно убедиться, что

∫

= χ(w;c) + const.

w³ + c³

1. Построение решения уравнения (1). Построим два класса точных решений уравне-

ния (1). Для построения используем метод бегущей волны и поиск автомодельных решений.

1. Построим решение типа бегущей волны. Пусть u(ω; t) = v(ξ), где ξ = 〈α, ω〉 + t. Под-

ставив эту функцию в уравнение (1), получим

α₁

〈α, α〉v^′′′(ξ) + α₁v(ξ)v^′(ξ) = 〈α, α〉²((v^′(ξ))³)^′, или v^′′ +

v² - 〈α,α〉(v^′)³ = c.

2〈α, α〉

Положив v^′(ξ) = w(v), откуда v^′′(ξ) = w dw/dv, придём к уравнению

α₁

- 〈α, α〉w³ +

v² = c.

(5)

2〈α, α〉

Замена w = 1/y приводит уравнение (5) к уравнению Абеля первого рода (см. [7, гл. 1,

§ 4.10]). В частности, если α₁ = 0 и c = 0, то, выполнив такую замену и проинтегрировав

с учётом равенства (4) полученное уравнение, после обратной замены будем иметь неявное

√

соотношение χ(1/w;³

〈α, α〉/c) = -cv + c₁. При α₁ = c = 0, непосредственно решая урав-

нение (5) и возвращаясь к исходным переменным, получаем, что рассматриваемые решения

уравнения (1) выражаются через элементарные функции и разрушаются за конечное время:

√

v=c₂ ±

c₁ - 2〈α,α〉-1(〈α,ω〉 + t).

2. Положим u(ω; t) = v(ξ; t), где ξ = 〈α, ω〉. Здесь, не нарушая общности, можем считать,

что |α| = 1. Подставив эту функцию в уравнение (1), получим после упрощений:

∂²v

α₁

⁽∂v)3

v² -

- k(t) = 0.

∂ξ∂t

∂ξ

Построим автомодельные решения этого уравнения. Пусть v = t^af(θ), где θ = ξt^b. Вычислив

нужные производные, подставим их в уравнение. Затем, заменив входящую в него перемен-

ную ξ на θt^-b, придём к следующему уравнению:

α₁

ta+b-1((a + b)f^′ + bθf^′′) +

t2af² - t3(a+b)f′3 = k(t).

Поделив его левую и правую части на ta+b-1, видим, что в уравнении останутся только сле-

дующие зависящие от t коэффициенты: ta-b+1, t2(a+b)+1, t1-a-bk(t). Для того чтобы они

были постоянными, нужно наложить условия:

a - b + 1 = 0,

2(a + b) + 1 = 0, t1-a-bk(t) = const.

Следовательно, a = -3/4, b = 1/4, k(t) = ct-3/2/4. Таким образом,

u(ω; t) = t-3/4f(〈α, ω〉t1/4),

где функция f(·) - решение уравнения θf^′′(θ) - 2f^′(θ) - 4f′3(θ) + 2α₁f²(θ) = c.

2. Построение решения уравнения (2). Для построения решения уравнения (2) исполь-

зуем методы бегущей волны, неполной бегущей волны, метод мультипликативного разделения

переменных и поиск сферически-симметричных решений.

1. Пусть u(ω; t) = v(ξ), где ξ = 〈α, ω〉+t. Подставив эту функцию в уравнение (2), получим

v^′′′(ξ) = 〈α,α〉((v^′(ξ))³)^′.

(6)

Проинтегрируем уравнение (6) почленно, взяв для удобства постоянную интегрирования в

виде 〈α, α〉c³, и введём переменную w(ξ) = v^′(ξ). В результате придём к уравнению

= 〈α, α〉(w³ + c³).

(7)

dξ

Возможны только следующие два случая.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ТРЁХ СОБОЛЕВСКИХ УРАВНЕНИЙ

1423

1.1. Пусть c = 0. Интегрируя уравнение (7), получаем -w-2/2 = 〈α, α〉ξ - c₁/2, откуда

w = ±(c₁ - 2〈α,α〉ξ)-1/2. Возвращаясь к исходной переменной, находим, что

v = ±(c₁ - 2〈α,α〉ξ)1/2/〈α,α〉 + c₂.

1.2. Пусть c = 0. Интегрируя уравнение (7) и учитывая равенство (4), получаем неявное

соотношение

χ(w; c) = 〈α, α〉ξ + c₁.

2. Под решениями типа неполной бегущей волны понимаются решения вида u(ω; t) = v(ξ; t),

где ξ = 〈α, ω〉. Такие решения мы уже рассматривали для уравнения

(1). Как и выше,

не нарушая общности, можем считать, что |α| = 1. Подставив функцию искомого вида в

уравнение (2), получим

∂³v

∂

⁽⁽∂v)3)

∂²v

⁽∂v)3

или

+ k(t).

∂t∂ξ²

∂ξ

∂t∂ξ

∂ξ

Положив w = ∂v/∂ξ, придём к уравнению первого порядка

∂w

= w³ + k(t).

(8)

∂t

Ограничимся рассмотрением трёх частных случаев.

2.1. Пусть k(t) = 0. Интегрируя уравнение (8), находим, что w = ±(k₁(ξ)-2t)-1/2, откуда

для v(·) получаем квадратуру

∫

dξ

√

k₁(ξ) - 2t

2.2. Пусть k(t) = const = c³ = 0. Интегрирование уравнения (8) даёт неявную формулу

χ(w; c) = t + k₁(ξ).

2.3. Пусть k(·) - пока произвольная дифференцируемая функция скалярного аргумента.

Построим обобщённо-автомодельные решения уравнения (8) и найдём достаточные условия

на функцию k(·), при которых такие решения существуют.

Пусть w = ϕ(t)f(θ), θ = ξψ(t). Подставив эти выражения в уравнение (8) и заменив ξ на

θ/ψ(t), придём к равенству

ϕ′(t)f(θ) + ϕ(t)ψ^′(t)

f^′(θ) = ϕ³(t)f³(θ) + k(t),

ψ(t)

откуда

ϕ′(t)

ψ^′(t)

k(t)

f (θ) +

θf^′(θ) = f³(θ) +

ϕ³(t)

ϕ²(t)ψ(t)

ϕ³(t)

Для того чтобы получить обыкновенное дифференциальное уравнение для f(θ), потребуем,

чтобы коэффициенты, зависящие от t, были постоянными:

ϕ-³(t)ϕ^′(t) = c₁, ϕ-2(t)ψ-1(t)ψ^′(t) = c₂, ϕ-3(t)k(t) = c₃.

(9)

Во-первых, пусть c₁ = 0. Из первого уравнения в (9) находим ϕ(t) = ±(c₄ - 2c₁t)-1/2. Не

нарушая общности, можем выбрать c₁ = 1/2 и знак “плюс”: это соответствующим образом

масштабирует f. Тогда из второго уравнения в (9) получаем, что ψ(t) = c₅(c₄ - t)-c2 , а из

третьего следует равенство k(t) = c₃(c₄ - t)-3/2. Уравнение для f(·) примет следующий вид:

f (θ)/2 + c₂θf^′(θ) = f³(θ) + c₃. Переобозначая c₅ через c₁, а 2c₃ - через c₃, получаем, что

w = (c₄ - t)-1/2f(c₁ξ(c₄ - t)-c2), где f(·) - решение уравнения

f (θ) + 2c₂θf^′(θ) = 2f³(θ) + c₃.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1424

АРИСТОВ

Во-вторых, пусть c₁ = 0. Из первого уравнения в (9) вытекает, что ϕ(t) = const. Не

нарушая общности, возьмём ϕ(t) = 1. Тогда второе и третье уравнения дадут соответственно

ψ(t) = c₃tc2 и k(t) = c₃. Таким образом, w = f(c₃ξtc2 ), а f(·) - решение уравнения

∫

c₂θf^′(θ) = f³(θ) + c3, т.е. c2

= ln |θ| + c₄.

f³ + c₃

Пусть c₃ = 0 (иначе - ψ(t) = 0). Тогда с учётом равенства (4) получим неявную формулу

c₂χ(f;³

√c₃) = ln |θ| + c₄.

3. Пусть u(ω; t) = f(ω)g(t), где f(·) и g(·) - пока произвольные ненулевые функции

соответственно от трёхмерного вектора и от скалярного аргумента. Подставив это выражение

в уравнение (3), получим Δf · g^′(t) = g³(t)Δ₄f, откуда g-3(t)g^′(t)Δf = Δ₄f. Для того чтобы

получить уравнение только для f(ω), потребуем, чтобы множитель, зависящий от t, был

постоянным. Не нарушая общности, считаем эту постоянную единицей: g-3(t)g^′(t) = 1, откуда

g(t) = (c - 2t)-1/2. Таким образом, u(ω; t) = (c - 2t)-1/2f(ω), где функция f(·) - решение

уравнения Δf = Δ₄f. Этому уравнению удовлетворяет, например, любая линейная функция.

Важным свойством так построенных решений является то, что они разрушаются за конеч-

ное время, поскольку lim u = ∞.

t→c/2

4. Положим u(ω; t) = f(ρ; t), где ρ = x² + y² + z². Вычислив нужные производные, под-

ставив их в уравнение (2) и введя переменную g(ρ; t) = ∂f/∂ρ, получим

∂²g

∂g

2ρ

= 20ρg³ + 24ρ²g²

∂t∂ρ

∂t

∂ρ

Построим автомодельные решения: пусть g = t^ah(θ), где θ = ρt^b. Рассуждая так же, как

при поиске автомодельных решений уравнения (1), получаем уравнение

2θ((3a + 1)h^′ + (2a + 1)θh^′′) + 3(ah + (2a + 1)θh^′) = 20θh³ + 24θ²h²h^′.

(10)

Здесь a - числовой параметр. В частности, при a = -1/2 уравнение (10) можно упростить.

Запишем его в следующем виде:

P dθ + Qdh = 0, P = 40θh³ + 3h, Q = 48θ²h² + 2θ.

Заметим, что оно инвариантно относительно преобразования θ = e-2εθ, h = e^εh, которому

соответствует инфинитезимальный оператор X = ξ∂/∂θ + η∂/∂h, где ξ = -2θ, η = h. Тогда,

как известно из [8, с. 198], это уравнение имеет интегрирующий множитель вида μ = (P ξ +

+Qη)-1. Здесь μ = (-32θ²h³ -4θh)-1. Для удобства умножим его на -4: μ = (8θ²h³ +θh)-1.

Таким образом, уравнение можно записать в виде dΦ = 0, где функция Φ удовлетворяет

условиям ∂Φ/∂θ = P μ, ∂Φ/∂h = Qμ.

Из уравнения ∂Φ/∂h = Qμ найдём, что Φ = 2 ln h + 2 ln(8θh² + 1) + k(θ). Подставив это

выражение в равенство ∂Φ/∂θ = P μ, определим функцию k(·):

16h²

40θh² + 3

+ k^′(θ) =

или k^′(θ) =

8θh² + 1

8θ²h² + θ

откуда k(θ) = 3 ln |θ| + c.

Значит, уравнение (10) при a = -1/2 имеет общее решение Φ = const, которое приво-

дится к виду h²(8θh² + 1)²θ³ = c/8. Решая это кубическое относительно h² алгебраическое

уравнение по формуле Кардано, находим, что

√

h(θ) = ±

(3R(θ) - 2)/(24θ),

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ТРЁХ СОБОЛЕВСКИХ УРАВНЕНИЙ

1425

где

)₂

√ 1

√( 1

√ 1

√( 1

R=³

+³

2θ²

729

2θ²

729

Заметим, что если u = v(ω; t) - решение уравнения (2), то u = v(ω; t) + k(t) - тоже его

решение. Значит, “классическое” решение задачи Коши для этого уравнения может не быть

единственным.

Приведённые построения показывают, что верна

Теорема 1. Уравнения (1) и (2) имеют решения, выражающиеся через элементарные

функции и разрушающиеся за конечное время (т.е. существующие локально по времени, но

не глобально).

3. Построение решения уравнения (3).

Теорема 2. Если u = v(ω; t) - решение уравнения (2), то u = e^-tv(ω; e2t/2) - решение

уравнения (3).

Доказательство. Уравнение (3) сводится к уравнению (2) заменой переменных. Положим

сначала u = ve^-t. Тогда уравнение (3) принимает вид

1 ∂Δv

=Δ₄v.

e2t

∂t

Перейдя теперь к переменной τ = e2t/2, получим уравнение (2) с переменной τ вместо t и

функцией v вместо u.

Следовательно, если u = v(ω; t) - решение уравнения (2), то u = e^-tv(ω; e2t/2) - решение

уравнения (3). Теорема доказана.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундамен-

тальных исследований (проект 18-29-10085мк) и частичной финансовой поддержке Минобрна-

уки РФ в рамках реализации программы Математического центра фундаментальной и при-

кладной математики по соглашению № 075-15-2019-1621.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Свешников А.Г., Альшин А.Б., Корпусов М.О., Плетнер Ю.Д. Линейные и нелинейные уравнения

соболевского типа. М., 2007.

2. Корпусов М.О. Разрушение в неклассических нелокальных уравнениях. М., 2010.

3. Hayashi N., Kaikina E., Naumkin P., Shishmarev I. Asymptotics for Dissipative Nonlinear Equations.

Berlin; Heidelberg, 2006.

4. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической

физики и механики. М., 2005.

5. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики. М.,

2002.

6. Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный, 2010.

7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., 1971.

8. Ибрагимов Н.Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделиро-

вания. М., 2012.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 06.06.2021 г.

им. М.В. Ломоносова,

После доработки 28.06.2021 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 08.09.2021 г.

и прикладной математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021