ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1426-1430

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.968.72

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

ПОЛУГРУПП, ПОРОЖДАЕМЫХ ВОЛЬТЕРРОВЫМИ

ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ

С СИНГУЛЯРНЫМИ ЯДРАМИ

В сепарабельном гильбертовом пространстве изучаются заданные на положительной полу-

оси абстрактные линейные неоднородные вольтерровы интегро-дифференциальные урав-

нения второго порядка с операторными коэффициентами, имеющие ядра с интегрируемы-

ми особенностями. Рассматриваемые уравнения представляют собой операторные модели

задач, возникающих в теории вязкоупругости. Приводится метод сведения начальной за-

дачи для изучаемого уравнения к задаче Коши для линейного дифференциального уравне-

ния в расширенном функциональном пространстве. Найдены достаточные условия, кото-

рым должны удовлетворять ядра интегральных операторов интегро-дифференциального

уравнения, чтобы у соответствующего линейного однородного дифференциального уравне-

ния в расширенном пространстве существовала сжимающая и экспоненциально устойчивая

полугруппа. Получены оценки решений задачи Коши для линейного уравнения в расши-

ренном пространстве. Рассматривается пример использования полученных результатов в

случае дробно-экспоненциальных ядер (функции Работнова) интегральных операторов.

DOI: 10.31857/S0374064121100149

Введение. В работе рассматриваются абстрактные интегро-дифференциальные уравне-

ния с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве. Эти абстрактные инте-

гро-дифференциальные уравнения могут быть реализованы как интегро-дифференциальные

уравнения в частных производных, которые возникают в теории линейной вязкоупругости (см.

[1, с. 130; 2, с. 54; 3, с. 477]). К рассматриваемому классу уравнений относятся также инте-

гро-дифференциальные уравнения Гуртина-Пипкина, описывающие процесс распространения

тепла в средах с памятью (см. [4-6]). В качестве ядер интегральных операторов могут быть

рассмотрены, в частности, суммы дробно-экспоненциальных функций (функций Работнова)

с положительными коэффициентами, имеющие широкое применение в теории вязкоупугости

(см. [7, с. 29]). Результаты, представленные в данной работе, являются продолжением и раз-

витием исследований, опубликованных в работах [8-10], посвящённых спектральному анализу

оператор-функций, являющихся символами вольтерровых интегро-дифференциальных урав-

нений.

1. Определения. Обозначения. Постановка задачи. Пусть H - сепарабельное гиль-

бертово пространство, A - самосопряжённый положительный, A^∗ = A ≥ κ₀I (κ₀ = const > 0),

оператор, действующий в пространстве H и имеющий ограниченный обратный. Пусть B -

симметрический оператор, (Bx, y) = (x, By), действующий в пространстве H, с областью

определения Dom B (Dom A ⊆ Dom B), неотрицательный, (Bx, x) ≥ 0 для любых x, y ∈

∈ Dom B, и удовлетворяющий неравенству ∥Bx∥ ≤ κ∥Ax∥,

0 < κ = const < 1, для любого

x ∈ DomA; тождественный оператор в пространстве H обозначаем через I.

Рассмотрим в пространстве H следующую задачу для интегро-дифференциального урав-

нения второго порядка на положительной полуоси R₊ := (0, ∞):

∫

∑

d²u(t)

+ (A + B)u(t) -

R_k(t - s)(a_kA + b_kB)u(s)ds = f(t), t ∈ R₊,

(1)

dt²

k=1 0

u(+0) = ϕ₀, u⁽¹⁾(+0) = ϕ₁.

(2)

1426

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛУГРУПП

1427

Предположим, что функции R_k : R₊ → R₊ удовлетворяют следующим условиям:

R_k(t) - положительные невозрастающие функции, R_k(t) ∈ L₁(R₊), k = 1,N.

(3)

Замечание 1. Из условий (3) следует, что lim

R_k(t) = 0, k = 1,N.

t→+∞

Кроме того, будем предполагать, что выполнены условия

∫

)

(

∫

)

∑(

∑

a_k

R_k(s)ds

< 1,

b_k

R_k(s)ds

< 1.

(4)

k=1

Пусть

(

∫

(

∫

))

∑

)) (_N∑

A₀ :=

a_k

R_k(s)ds A +

b_k

R_k(s)ds B, A_k := a_kA + b_kB.

k=1

Из известных результатов (см. [11, с. 361]) вытекает, что операторы A₀ и A_k, k = 1, N ,

являются самосопряжёнными и положительными.

Превратим область определения Dom Aβ0 оператора Aβ0, β > 0, в гильбертово простран-

ство H_β, введя на Dom Aβ0 норму, эквивалентную норме его графика.

Замечание 2. Из свойств операторов A и B следует, что операторы A₀ и A_k, k = 1, N ,

являются обратимыми. Кроме того, из неравенства Гайнца (см. [12, c. 177-178]) вытекает, что

операторы Q_k := A1/2kA-1/20 допускают ограниченное замыкание в H для всех k = 1, N , и

что A-10 - ограниченный оператор.

Определение 1. Назовём вектор-функцию u(t) классическим решением задачи (1), (2),

если u(t) ∈ C²(R₊, H), Au(t), Bu(t) ∈ C(R₊, H) и u(t) удовлетворяет уравнению (1) при всех

t ∈ R₊ и начальному условию (2).

2. Полугруппа в расширенном функциональном пространстве. Через Ω_k обозна-

чим весовое пространство L2rk (R₊, H) вектор-функций на полуоси R₊ со значениями в H,

снабжённое нормой

∫

)1/2

∥u∥Ωk =

r_k(s)∥u(s)∥2H ds

r_k(τ) := 1/R_k(τ) : R₊ → R₊, k = 1,N.

Рассмотрим сильно непрерывную полугруппу L_k(t) левых сдвигов в пространстве Ω_k (см.

[13, с. 33]): L_k(t)ξ(τ) = ξ(t + τ), t > 0. Известно, что линейный оператор T_kξ(τ) = ∂ξ(τ)/∂τ

в пространстве Ω_k с областью определения Dom T_k = {ξ ∈ Ω_k : ∂ξ(τ)/∂τ ∈ Ω_k} является ге-

нератором полугруппы L_k(t) (см. [13, c. 66]).

Введём операторы B_k : H → Ω_k и B^∗k : Ω_k → H (k = 1, N ), действующие следующим

образом:

∞

∫

B_kv = R_k(τ)Q_kv, B^∗kξ(τ) = Q^∗k ξ(τ)dτ, k = 1,N, τ ∈ R₊,

а также гильбертово пространство H = H

^⊕H^⊕(⊕Nk=1Ω_k), снабжённое нормой

∑

∥(v, ξ₀, ξ₁(τ), . . . , ξ_N (τ))∥2H = ∥v∥2H + ∥ξ₀∥2H +

∥ξ_k∥^2Ω

τ ∈R₊,

k=1

которое будем называть расширенным гильбертовым пространством.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

9^∗

1428

ВЛАСОВ, РАУТИАН

Зададим в расширенном пространстве H линейный оператор A с областью определения

{

Dom A = (v, ξ₀, ξ₁(τ), . . . , ξ_N (τ)) ∈ H : v ∈ H1/2,

}

∑

ξ₀ +

B^∗kξ_k(τ) ∈ H1/2, ξ_k(τ) ∈ Dom(T_k), k = 1,N

k=1

действующий следующим образом:

(

)

∑

A(v, ξ₀, ξ₁(τ), . . . , ξ_N (τ)) =

-A1/2

ξ₀ +

B^∗kξ_k(τ)

, A1/20v, B_kv + T_kξ_k(τ), k = 1,N

k=1

Введём (2 + N)-компонентные векторы вида

Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), . . . , ξ_N (t, τ)) ∈ H, z = (v₀, ξ₀₀, ξ₁₀(τ), . . . , ξN0(τ)) ∈ H.

В расширенном пространстве H рассмотрим следующую задачу Коши:

Z(t) = AZ(t), t ∈ R₊,

(5)

Z(0) = z.

(6)

Определение 2. Вектор-функция Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), . . . , ξ_N (t, τ)), t ∈ [0, ∞), при-

нимающая значения в пространстве H, называется классическим решением задачи (5), (6),

если v(t), ξ₀(t) ∈ C¹([0, ∞)), ξ_k(t, τ) ∈ C¹([0, ∞), H) при каждом τ ∈ R₊ и любом k = 1, N ,

Z(t) ∈ C([0, ∞), D(A)) и вектор-функция Z(t) удовлетворяет уравнению (5) при всех t ∈ R₊

и начальному условию (6).

Теорема 1. Оператор A в пространстве H с плотной областью определения Dom A

является максимально диссипативным, т.е. Re (Ax, x) ≤ 0 при x ∈ Dom A и оператор A

не имеет нетривиальных диссипативных расширений.

Теорема 2. Линейный оператор A является генератором сжимающей C₀-полугруппы

S(t) = etA в пространстве H, при этом решение задачи (5), (6) представимо в виде Z(t) =

= S (t)z, t ∈ R₊, и для любого z ∈ Dom A справедливо энергетическое равенство

(

∫

)

∑

∥S(t)z∥2H = -

lim

r_k(τ)∥ξ_k(t,τ)∥2H +

r^′k(τ)∥ξ_k(t,τ)∥2H dτ

τ→0+

k=1

Замечание 3. Так как функции r_k(τ) являются монотонными, то, согласно теореме Ле-

бега [14, с. 15], их производные r^′k(τ) существуют почти всюду при τ ∈ [0, ∞).

Доказательства теорем 1 и 2 приведены в работе [15].

3. Экспоненциальная устойчивость. Предположим, что ядра R_k(τ), k = 1,N, инте-

гральных операторов удовлетворяют следующим условиям:

R^′k(τ) + γR_k(τ) ≤ 0

(7)

для любого τ ∈ R₊ при некотором γ > 0. Условие (7) хорошо известно в литературе (см.,

например, монографию [3, с. 481], а также цитированную в ней литературу). Положим

+^∞

∫

M_k(t) = R_k(s)ds = R_k(t + s)ds, k = 1,N.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛУГРУПП

1429

Приведём результат об экспоненциальной устойчивости полугруппы S(t), t ≥ 0.

Теорема 3. Пусть S(t)z - решение задачи (5), (6) при t ∈ R₊ и пусть функции R_k(τ)

(k = 1, N ) удовлетворяют условиям (3), (4) и условию (7) для некоторого γ > 0 и любого

τ ∈ R₊. Тогда для любого z ∈ H справедливо неравенство

√

∥S(t)z∥_H ≤

3∥z∥_He^-ωt.

При этом

{

}

ω = maxωβ, ωβ =

min

β>0

γ₁(β)

γ₂(β)

(

)

(

)

)]

}

^{3 M_k(0)^[

γ₁(β) := max

6∥Q-1k∥² +

+ N ∥Q-1k∥²+ 1+

M (β) ∥Q_k∥2

1≤k≤N

2 M(β) M_k(β)

λ_kβ2

{

}}

^{M_k(0)

γ₂(β) :=

max

1, N max

√

M (β)

1≤k≤N

λ_k

λ₀

∫

∑

λ_m = inf

(A_mx, x), m = 0, N , M_k(β) := R_k(s) ds, k = 1, N , M(β) :=

M_k(β).

∥x∥=1

k=1

x∈Dom Am

4. Корректная разрешимость. Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения

Z(t) = AZ(t) + F (t), t ∈ R₊,

(8)

Z(0) = z.

(9)

Относительно неоднородности F (t) и начального вектора z будем предполагать, что они име-

∑_N

ют вид F (t) = (f₁(t), 0, . . . , 0), где f1(t) = f(t) -

M_k(t)A_kϕ₀, и z = (ϕ₁,A1/20ϕ₀,0,... ,0)

k=1

N+1

(свойства вектор-функции f(t) и векторов ϕ₀, ϕ₁ указаны в формулировке теоремы 4).

На основании теоремы 6.5 из монографии [12, с. 166] получаем следующий результат.

Теорема 4. Пусть функции R_k(τ) : R₊ → R₊, k = 1, N , удовлетворяют условиям (3),

(4), (7) и выполнено одно из следующих двух условий:

1) вектор-функция A1/20f(t) принадлежит пространству C([0, +∞), H), функция M_k(t) -

пространству C([0,+∞)), k = 1,N, а векторы ϕ₀ и ϕ₁ - пространствам H3/2 и H1/2

соответственно;

2) вектор-функция f(t) принадлежит пространству C¹([0, +∞), H), функция M_k(t) -

пространству C¹([0,+∞)), k = 0,N, а векторы ϕ₀ и ϕ₁ - пространствам H₁ и H1/2

соответственно.

Тогда задача (8), (9) имеет единственное классическое решение

Z(t) = (v(t), ξ₀(t), ξ₁(t, τ), . . . , ξ_N (t, τ)),

где v(t) := u^′(t), ξ₀(t) := A1/20u(t), а u(t) - классическое решение задачи (1), (2), и справедлива

следующая оценка:

[

E(t) :=

(∥u^′(t)∥2H + ∥A1/20u(t)∥2H ) ≤¹∥Z(t)∥2H ≤ d (∥ϕ1∥2H + ∥A1/20ϕ0∥2H )e-2ωt +

(∫t



∫

)



)₂]



∑



+ e-ω(t-s)

(s) -

R_k(p)dp ds A_kϕ₀

(10)

f



k=1

с постоянной d, не зависящей от вектор-функции F, векторов ϕ₀, ϕ₁ и постоянной ω,

определённой в формулировке теоремы 3.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1430

ВЛАСОВ, РАУТИАН

5. Пример. Рассмотрим ядра интегральных операторов следующего вида:

∑

(-β_k)ⁿt^nα

R_k(t) =: Эα-1(-β_k,t) := tα-1

k = 1,N,

Γ[(n + 1)α]

n=0

- функции Работнова (см. [7, с. 29]), где 0 < α < 1, β_k > 0, k = 1, N , Γ(·) - гамма-функция

Эйлера.

Отметим, что условия (4) примут соответственно вид

∑

a_j

b_j

< 1,

< 1.

β_j

j=1

При этом оценка (10) переходит в оценку

[

E(t) :=

(∥u^′(t)∥2H + ∥A1/20u(t)∥2H ) ≤¹∥Z(t)∥2H ≤ d (∥ϕ1∥2H + ∥A1/20ϕ0∥2H )e-2ωt +

(∫t



∫

)



)₂]



∑



e^-sτ dτ

e-ω(t-s)

(s) -

A_kϕ₀

^f

 d

τ (τ^α + 2β_k cos(πα) + β2kτ^-α)

k=1

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реа-

лизации программы Математического центра фундаментальной и прикладной математики по

соглашению № 075-15-2019-1621 (теорема 3) и при частичной финансовой поддержке Россий-

ского фонда фундаментальных исследований (теорема 4) (проект № 20-01-00288 А).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М., 1970.

2. Christensen R.M. Theory of Viscoelasticity. An Introduction. New York; London, 1971.

3. Amendola G., Fabrizio M., Golden J.M. Thermodynamics of Materials with Memory. Theory and

Applications. New York; Dordrecht; Heidelberg; London, 2012.

4. Gurtin M.E., Pipkin A.C. General theory of heat conduction with finite wave speed // Arch. Rat. Mech.

Anal. 1968. V. 31. P. 113-126.

5. Eremenko A., Ivanov S. Spectra of the Gurtin-Pipkin type equations // SIAM J. Math. Anal. 2011.

V. 43. № 5. P. 2296-2306.

6. Лыков А.В. Проблема тепло- и массообмена. Минск, 1976.

7. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977.

8. Власов В.В., Раутиан Н.А. Спектральный анализ функционально-дифференциальных уравнений.

М., 2016.

9. Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и представление решений интегро-диффе-

ренциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости // Дифференц. уравнения. 2019.

T. 55. № 4. С. 574-587.

10. Vlasov V.V., Rautian N.A. A study of operator models arising in problems of hereditary mechanics // J.

of Math. Sci. (N.Y.). 2020. V. 244. № 2. P. 170-182.

11. Като Т. Теорема возмущений линейных операторов. М., 1972.

12. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М., 1967.

13. Engel K.J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. New York, 2000.

14. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М., 1979.

15. Раутиан Н.А. Полугруппы, порождаемые вольтерровыми интегро-дифференциальными уравнени-

ями // Дифференц. уравнения. 2020. Т 56. № 9. С. 1226-1244.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 14.06.2021 г.

им. М.В. Ломоносова,

После доработки 14.06.2021 г.

Московский центр фундаментальной

Принята к публикации 08.09.2021 г.

и прикладной математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021