ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1431-1435

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

УДК 517.983.35

ОБ ОДНОМ ОБРАТИМОМ РАСШИРЕНИИ

НЕСАМОСОПРЯЖЁННОГО СИНГУЛЯРНОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА НА ПОЛУОСИ

Рассматривается дифференциальный оператор, порождаемый в классе финитных функ-

ций на положительной полуоси несамосопряжённым дифференциальным выражением

-a₂(x)f^′′+a₁(x)f^′+a₀(x)f с коэффициентами, локально интегрируемыми по Лебегу. Не ис-

ключаются случаи, когда a_j (x) (j = 0, 1) являются знакопеременными или могут иметь

бесконечные пределы при x → ∞ (с любым знаком). Даны описания внутренних связей

между коэффициентами a_j (j = 0, 1, 2), при которых рассматриваемый оператор допус-

кает замкнутое обратимое расширение в пространстве L₂(0, ∞).

DOI: 10.31857/S0374064121100150

В работе рассматривается несамосопряжённый оператор

L₀f ≡ -a₂(x)f^′′ + a₁(x)f^′ + a₀(x)f,

(1)

заданный на классе C∞0(I) бесконечно дифференцируемых и финитных функций f, опреде-

лённых на полуоси I = (0, ∞). Будем предполагать, что коэффициенты a_j (j = 1, 2) принад-

лежат классу L2,loc(I), а коэффициент a₀ - классу L2,loc(R⁺) (здесь и ниже R⁺ = [0, ∞)),

кроме того, считаем, что коэффициент a₂ положителен на I и что a-12 = 1/a₂ ∈ L₂(I), а

коэффициенты a_j (j = 0, 1) невырождены на ∞, т.е. |aj,(t)| > 0 для любого t > 0, где

aj,(t) = {x ≥ t : aj (x) = 0}. Выше и в дальнейшем через |G| для измеримого множества

G ⊂ R = (-∞,∞) обозначается его мера Лебега, а через L_p(G) и Lp,loc(G) - соответственно

пространство Лебега функций g : G → R с нормой

(∫

)1/p

∥g∥Lp (G) = ∥g; Lp(G)∥ =

|g(x)|^p dx

и пространство всех функций g, принадлежащих для любого [a, b] ⊂ G классу L_p([a, b]).

Известно, что к исследованию сингулярных дифференциальных операторов, порождае-

мых несамосопряжёнными дифференциальными выражениями, не существует общих подхо-

дов. В данной работе коэффициенты не являются гладкими, a_j(·) при j = 0, 1 могут менять

знак в любой окрестности +∞, в частности, не исключается случай, когда lim

a₀(x) = -∞.

x→∞

В ней решается одна из основных задач теории операторов - задача о существовании замкну-

того обратимого расширения минимального оператора L₀. Для решения этой задачи приме-

няется метод локальных оценок на “характеристических” промежутках. Для этого строится

односторонняя двухвесовая модификация “бегущих средних” Отелбаева (см. [1]). В работе вы-

явлены внутренние связи между коэффициентами a_j (j = 0, 1, 2), при которых минимальный

оператор L₀ допускает существование обратимого расширения. Исследование публикаций по-

казало, что поставленная задача при принятых в работе условиях на переменные коэффици-

енты решалась впервые.

Перейдём к построению характеристического размера. Обозначим через L^+loc(I) класс

невырожденных локально суммируемых в I функций f ≥ 0 (весовых функций). Пусть x ≥ 0,

h > 0, Δ = [x,x+h], ℜ_x,h - совокупность всех аффинных функций R(t) = c₀+c₁t (c₀,c₁ ∈ R),

для которых ∥R; L₂(Δ)∥ = 1. Далее, пусть v ∈ L^+loc(I), ρ(·) > 0 в I и ρ-1 = 1/ρ ∈ L₁(I).

1431

1432

КУСАИНОВА и др.

Положим

S^#(x,h;v) = inf

∥vR²; L₁(Δ)∥,

R∈ℜ_x,h

M^#(x,h;ρ,v) = (h³∥ρ-1;L₁(Δ)∥S^#(x,h;v))1/2.

Заметим, что R(t) ≡ h-1/2 ∈ ℜ_x,h. Поэтому S^#(x, h; v) ≤ h-1∥v; L₁(Δ)∥.

Произвольную функцию h(x) > 0, x ≥ 0, будем называть функцией длины (ф.д.) в R⁺.

Скажем, что пара (ρ, v) удовлетворяет условию (Π^#) относительно ф.д. h(·), если

M^#(x,h(x);ρ,v) ≥ 1 для любого x ≥ 0.

Запись: (ρ, v) ∈ Π^# относительно ф.д. h(·). Для заданной ф.д. h(·) примем обозначение

Δ(x) = [x, x + h(x)] и будем называть такой отрезок характеристическим.

Будем говорить, что вес v ∈ L^+loc(R⁺) удовлетворяет условию регулярности (R) относи-

тельно ф.д. h(·), если существует такое η ∈ (0, 1), что

ηh(x)-1∥v; L₁(Δ)∥ ≤ S^#(x, h(x); v).

(2)

Запись: v ∈ (R) относительно ф.д. h(·).

На промежутках Δ ⊂ R⁺ положим

∥f; W^lp(Δ; ρ, v)∥ = ∥ρ1/pf(l); L_p(Δ)∥ + ∥v1/pf; L_p(Δ)∥ (l ∈ N,

1 ≤ p < ∞).

◦

Обозначим через

W^lp(ρ,v) пополнение класса C∞0(I) по норме ∥f; Wlp(I; ρ, v)∥. Далее для

w ∈ L^+loc(I) и r = 0,1 обозначим

K_r(x,h;ρ,w) = h1-r(∥ρ-1;L₁(Δ)∥∥w;L₁(Δ)∥)1/2.

Лемма 1. Пусть (ρ, v) ∈ Π^# и v ∈ (ℜ) относительно ф.д. h(·). Существует такая

постоянная c = c(r) > 0, что для всех f ∈ W²²(Δ(x);ρ,v) справедливо неравенство

∥w1/2f(r); L₂(Δ(x))∥ ≤ cK_r(x, h(x); ρ, w)∥f; W²²(Δ(x); ρ, v)∥.

(3)

Неравенство (3) представляет собой простое следствие из основного неравенства на харак-

теристических отрезках Δ(x):

∫

[ ∫

∫

]1/2

c(η)h(x)-3/2∥f; L₂(Δ(x))∥ ≤

|f^′′|dt +

ρ-1dt +

|f|²v(t)dt

(4)

Δ(x)

где c(η) =

√η/2(1+√η). Неравенство (4) несложно вывести из доказательств основных нера-

венств для “односторонней бегущей средней” [1] и “двухвесовой бегущей средней” [2, § 1.6; 3].

Пример 1. Функция v(x) = (1 + x)2m (m ∈ N) удовлетворяет условию (R) относительно

произвольной функции длины h(·) в R⁺.

Пример 2. Если функция v удовлетворяет условию (2) и |v(t)| > 0 для всех t > 0, то

функция

h^#(x) = h^#(x;ρ,v) = sup{h > 0 : M^#(x,h;ρ,v) ≤ 1}

конечна и положительна в R⁺. При этом пара (ρ, v) ∈ Π^# относительно ф.д. h^#(·), а именно

справедливо

Утверждение 1. Пусть h^# = h^#(x; ρ, v). Тогда M^#(x, h^#; ρ, v) = 1.

◦

Лемма 2. Пусть (a²², a²⁰) ∈ Π^# и a²⁰ ∈ (R) относительно ф.д. h(·), W =

W²²(a²²,a²⁰) и

K(a₂, a₀) = sup

max{h(x)-r+3/2∥a-12; L2(Δ(x))∥} < ∞,

(5)

x≥0

r=0,1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ ОДНОМ ОБРАТИМОМ РАСШИРЕНИИ

1433

N (a₂, a₁) = sup∥a1; L2(Δ(x))∥∥a-12; L2(Δ(x))∥ < ∞.

(6)

x≥0

◦

Тогда для каждой фундаментальной по норме ∥ · ∥_W = ∥· ;W22(a22,a20)∥ последовательности

{f_k} ⊂ C∞0(I) справедливы следующие утверждения:

a) последовательность имеет в L₂(I) предел f = ∥ · ∥L2(I)- lim fk, при этом функция f

имеет непрерывную в I производную f^′ = ∥ · ∥L2(I)- lim f^′k и п.в. конечную в I производную

f^′′(x) = ∥ · ∥L1(I)-lim

; кроме того, a_rf(r) = ∥ · ∥L2(I)- lim

a_rf(r)k, r = 0,1,2;

k→∞

b) для предельной функции f выполняется оценка

∥f; L₂(I)∥ ≤ cK(a₂, a₀)∥f∥_W .

Доказательство утверждения а) леммы 2 опирается на оценки леммы 1. При этом исполь-

зуются свойства пределов lim f(r)k (r = 0, 1, 2) в Lp,loc(I) (1 ≤ p < ∞). Для доказательства

утверждения b) леммы 1 возьмём представление

∑

∥f; L₂(I)∥² =

∥f; L₂(Δ_j )∥²,

j≥1

в котором Δ_j = [x_j, xj+1), xj+1 = x_j +h(x_j ), x₁ = 0. Затем к каждому слагаемому ∥f; L₂(Δ_j )∥²

применим оценку (3) при r = 0 и w ≡ 1.

Теорема 1. Пусть (a²², a²⁰) ∈ Π^# и a²⁰ ∈ (ℜ) относительно ф.д. h(·). Пусть, кроме того,

выполнены условия (5) и (6). Тогда оператор L₀ допускает замкнутое расширение

L : L₂(I) → L₂(I), D(L) ⊂ W.

(7)

Доказательство теоремы 1 следует из леммы 2, в силу которой D(L) ⊂ W и имеет место

импликация

{f_k} ⊂ C∞0(I),

∥f_k∥_W → 0,

∥L₀f_k - z; L₂(I)∥ → 0 ⇒ z = 0.

Теорема 2. Пусть a_i (i = 0, 2) удовлетворяют условиям теоремы 1. Если к тому же

(

∫

∞

)1/2

A(a₀, a₁, a₂) = sup x

w_-(t)dt

√ ,

(8)

x≥0

где w_-(x) = max{0, -(2a₀(x)a₂(x) - a²¹(x))/a²²(x)}, то оператор L в (7) обратим.

Доказательство. Допустим, что найдётся такая функция f = ∥ · ∥_W - lim f_k = 0 (f_k ∈

∈ C∞0(I)) из области определения D(L) оператора L, для которой

Lf = 0.

(9)

Справедливо неравенство ∥f^′∥L2(I) = lim ∥f^′∥L₂(I) > δ > 0, иначе в силу непрерывности

функции f^′ имели бы f^′(x) ≡ 0 в I, а значит, f(x) ≡ c > 0 в I и ∥f∥L2(I) = ∞. Пусть

∥f^′k∥_L

(10)

2(I) >2-1δ(k≥Nδ).

Равенство (9) равносильно равенствуLf = 0 для оператора

^Lf ≡ -f^′′ + b₁(x)f^′ + b₀(x)f, b_r = a_ra-12 (r = 0,1).

Поэтому

∑

-(f^′′, f_k) +

(b_rf(r), f_k) = (Lf, f_k) = 0,

(11)

r=0,1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

1434

КУСАИНОВА и др.

где (· , ·) - скалярное произведение в L₂(I). Последовательно применяя оценки леммы 1 на

каждом характеристическом отрезке Δ_j при ρ = a²², v = a²⁰, получаем

;L₂(I)∥(→ 0 при k → ∞),

где C = sup ∥f_k∥_W < ∞. Далее,

k≥0

(b_rf(r), f_k) = (a_rf(r), a-12f_k), k ≥ 1.

Пусть w(x) = 2b₀(x) - b²¹(x), w₊(x) = max{0, w(x)}, w_-(x) = max{0, -w(x)}. Применяя

оценку (10), показываем, что для достаточно больших k ∈ N справедливы неравенства

λ_k = (Lf_k,f_k) ≥ 2-1∥f^′k;L₂(I)∥² + 2-1(∥w1/2+f_k;L₂(I)∥² - ∥w1/2-f_k;L₂(I)∥²) ≥

≥ 2-1(∥f^′k;L₂(I)∥² - ∥w1/2-f_k;L₂(I)∥²) ≥ ^δ

(12)

Для вывода последнего неравенства в (12) мы использовали оценку

∥w1/2-f_k; L₂(I)∥ ≤ 2A(a₀, a₁, a₂)∥f^′k; L₂(I)∥

(см. [4, § 1.3]). Далее равенство (11) запишем как 0 = λ_k +μ_k. Так как μ_k → 0 при k → ∞, то

в силу (12) при достаточно больших k имеем 0 = λ_k + μ_k ≥ λ_k - |μ_k| ≥ δ/16. Следовательно,

допущение (9) при f = 0 места не имеет. Теорема доказана.

Пример 3. Пусть m ∈ N и

∫∞

A = supx

(2(1 + t)^ma-12(t) - a-22(t)) dt ≤

√ .

x≥0

Тогда оператор

L₀y ≡ -a₂(x)y^′′ + y^′ - (1 + x)^my

имеет инъективное замкнутое расширение

◦

L : L₂(I) → L₂(I), D(L) ⊂

W²²(I;a₂,(1 + x)2m).

В силу утверждения 1 пара (a²², a²⁰), a₀(t) = -(1 + t)^m, удовлетворяет условиям теоремы 1

относительно ф.д. h(x) = h^#(x; a²², a²⁰). Обратимся к условиям (5), (6) теоремы 1, где

K(a₂, a₀) = sup{max

K_r(x,h(x);a²²)},

x≥0

r=0,1

∫

[K₀(x, h(x); a²²)]² = h(x)³

a-22dt =

≤

S^#(x,h(x);a²⁰)

∫

[K₁(x, h(x); a²²)]² = h(x)

a-22dt ≤ min{∥a-12;L₂(I)∥²,η-1}≤ η-1 +∥a-12;L₂(I)∥²,

N (a₂, a₁) = sup K₁(x; h(x), a²²) ≤ (η-1 + ∥a-12; L₂(I)∥²)1/2.

x≥0

Осталось заметить, что w_-(x) = 2(1 + x)^ma-10(x) + a-22(x).

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Рес-

публики Казахстан (проект АР08856104 - Л.К. Кусаинова, Я.Т. Султанаев, А.С. Касым) и

финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках

реализации программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по

соглашению № 075-15-2019-1621 (Я.Т. Султанаев).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021

ОБ ОДНОМ ОБРАТИМОМ РАСШИРЕНИИ

1435

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Отелбаев М.О., Кусаинова Л.К., Булабаев А. Оценки спектра одного класса дифференциальных

операторов // Збiрник праць Iнституту математики НАН Украiни. 2009. Т. 6. № 1. С. 165-190.

2. Кусаинова Л.K. Теоремы вложения и интерполяция весовых пространств Соболева: дис

д-ра

физ.-мат. наук. Kaрaгaндa, 1998.

3. Кусаинова Л.К., Султанаев Я.T., Mурат Г.K. Аппроксимативные оценки для одного дифферен-

циального оператора в весовом гильбертовом пространстве // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55.

№ 12. С. 1644-1651.

4. Мазья В.Г. Пространства Л.С. Соболева. Л., 1985.

Евразийский национальный университет

Поступила в редакцию 13.05.2021 г.

им. Л.Н. Гумилева, г. Нур-Султан, Казахстан,

После доработки 13.05.2021 г.

Башкирский государственный педагогический

Принята к публикации 08.09.2021 г.

университет им. М. Акмуллы, г. Уфа

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 10

2021