ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 10, с. 1436-1440
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.968.23
ОБ ОДНОМ ВЫРОЖДАЮЩЕМСЯ
ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРЕ
© 2021 г. А. А. Полосин
Проведена регуляризация одного вырождающегося особого интегрального оператора с пе-
ременными коэффициентами.
DOI: 10.31857/S0374064121100162
Рассмотрим уравнение
∫
1
f (t) dt
xf(x) -
= g(x),
0 < x < +∞.
(1)
πi
t+x
0
Это вырождающееся сингулярное (особое) интегральное уравнение с переменными коэффи-
циентами. Сингулярные интегральные уравнения играют важную роль в различных областях
математики, им посвящена обширная литература (см., например, [1-6]). Уравнение (1) связа-
но, в частности, с так называемым уравнением “плавного перехода” [3].
В дальнейшем считаем, что 0 < x < +∞. Будем предполагать, что функция g(x) при-
надлежит классу C2[0, +∞) и такова, что интеграл
∫
g(t) dt
t+1
0
существует.
Решение уравнения (1) будем искать в классе непрерывных при 0 < x < +∞ функций,
возможно, имеющих особенность интегрируемого порядка в нуле, для которых существует
интеграл
∫
f (t) dt.
0
Определим классический сингулярный интегральный оператор
∫
1
f (t) dt
(Sf)(x) =
πi
t-x
0
и особый оператор
∫
1
f (t) dt
(T f)(x) =
πi
t+x
0
Несложно убедиться в том, что в рассматриваемом классе функций справедливо тождество
T2f = (S2 - I)f,
где I - тождественный оператор.
1436
ОБ ОДНОМ ВЫРОЖДАЮЩЕМСЯ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРЕ
1437
Применяя оператор T к обеим частям уравнения (1), приходим к уравнению
∫
1
(x2 - 1 + S2)f(x) =
f (t) dt + (xI - T )g(x).
(2)
πi
0
Обозначим
{
√
1/
1-x2,
0 < x < 1,
b(x) =
√
i/
x2 - 1,
x > 1.
Очевидно, что функция b(x) допускает аналитическое продолжение с вещественной оси в
верхнюю полуплоскость.
Запишем уравнение (2) в виде
(
∫
)
1
(I - b2(x)S2)f(x) = -b2(x)
f (t) dt + (xI - T )g(x)
πi
0
Факторизуем оператор, стоящий в левой части этого равенства, т.е. представим его главную
часть в виде произведения сингулярных операторов, допускающих обращение в явном виде:
I - b2S2 = (I + bS)(I - bS) + b[S,b]S,
где [S, b] ≡ Sb - bS, b[S, b]S - регулярный оператор.
Обозначив
(I - bS)f = v,
(3)
(
∫
)
1
w(x) = (b[S, b]Sf)(x) - b2(x)
f (t) dt + (xI - T )g(x)
,
πi
0
представим уравнение (2) в виде
(I + bS)v = w.
(4)
Таким образом, регуляризация уравнения (2) сведена к последовательному решению урав-
нений (4) и (3). Это сингулярные интегральные уравнения с вырождением на конце.
Решим уравнение (4) стандартным методом сведения к задаче сопряжения аналитических
функций [2, с. 97]. Пусть
∫
1
v(t) dt
F (z) =
,
πi
t-z
0
тогда уравнение (4) сводится к задаче сопряжения
F+(x) = D(x)F-(x) + 2w(x)/(1 + b(x)),
где
{
√
1 - b(x)
-x2/(1 +
1-x2)2,
0 < x < 1,
D(x) =
=
√
1 + b(x)
x2/(i +
x2 - 1)2,
x > 1.
Определим каноническую функцию X(z) условиями X+(x) = D(x)X-(x), X(∞) = 1.
√
Заметим, что X(z) =
1 - 1/zX0(z), где
∫
1
∫
)
( 1
t
dt
1
t
dt
X0(z) = exp
ln
√
+
ln
√
,
πi
1-t2 +1t-z
πi
t2 - 1 + i t - z
0
1
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
1438
ПОЛОСИН
и
{
√
i√1 - x/(√1 - x2 + 1), 0 < x < 1,
X+(x) =
xX0(x) ·
√x - 1/(√x2 - 1 + i), x > 1,
{
X0(x)
-i√1 - x(√1 - x2 + 1), 0 < x < 1,
X-(x) =
·
x3/2
√x - 1(√x2 - 1 + i),
x > 1,
√
x+1
X(-x) =
X0(-x).
x
Решая задачу сопряжения, получаем
(
∫
)
1
b(x)
1 + b(x) X+(x) w(t)dt
v(x) =
w(x) -
(5)
1 - b2(x)
πi
1 + b(t) X+(t) t - x
0
Отметим некоторые свойства канонической функции.
Лемма 1. Имеет место равенство
∫
1
b(t)/X+(t) dt
1/X+(x)
=
- 1.
πi
1 + b(t) t - x
1 + b(x)
0
Доказательство проводится прямым вычислением:
∫
∫
((
)
(
))
1
b(t)/X+(t) dt
1
1
1
dt
=
-1
-
-1
=
πi
1 + b(t) t - x
2πi
X+(t)
X-(t)
t-x
0
0
(
)
1
1
1
1/X+(x)
=
+
-2
=
- 1.
2
X+(x)
X-(x)
1 + b(x)
Аналогично доказывается
Лемма 2. Справедливо равенство
∫
(
)
1
1/X+(s)
1
1
-
ds =
πi
1 + b(s) s - t
s-x
0
)
)
1
( 1/X+(t)
1
( 1/X+(x)
=
-1
-
-1
+ R(t) - R(x), x,t > 0,
b(t)
1 + b(t)
b(x)
1 + b(x)
в котором
⎧
⎨0,
0 < x < 1,
∫
√
1
r(s) ds
r(x) =
i(1/X-(x) - 1)
x2 - 1, x > 1,
R(x) = r(x) +
πi
s-x
⎩-i(1/X(x) - 1)√x2 - 1, x < -1,
|s|>1
Заметим, что функция R(t) аналитична в окрестности нуля. В дальнейшем такие функции
будем называть регулярными.
Вычисляя интегралы, содержащие каноническую функцию, как в леммах 1 и 2, преобра-
зуем правую часть соотношения (5). В результате получим
b(x)X+(x)
v(x) =
v(x),
1 - b(x)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
ОБ ОДНОМ ВЫРОЖДАЮЩЕМСЯ ОСОБОМ ИНТЕГРАЛЬНОМ ОПЕРАТОРЕ
1439
здесь
∫
∫
1
1 - b(t) g(t) - g(x)
1
b(t) g(t) dt
v(x) = g(x)R1(x) -
dt +
-
πi
tX+(t) t - x
πi
X(-t) t + x
0
0
∫
∫
1
R2(x) - R3(t)
1
-
g(t) dt +
R4(x,t)f(t)dt,
πi
t+x
πi
0
0
где Rk, k = 1, 4, - регулярные функции.
Найденное решение имеет особенность порядка выше единицы в нуле. Для устранения этой
особенности потребуем соблюдения дополнительного условия (условия ортогональности):
v(0) = 0.
(6)
Заметим, что v(x) - v(0) = O(x) при x → +0 в силу равенства
∫
∫
∫
1
b(t) g(t) dt
1
b(t) g(t) - g(0)
b(-x)
g(0)
b(-t) dt
=
dt + g(0)
-
πi
X(-t) t + x
πi
X(-t) t + x
X-(x)
πi
X-(t) t - x
0
0
0
Перейдём к построению решения уравнения (3) с учётом условия (6).
Стандартный способ решения оказывается неприменим, поскольку получающаяся подын-
тегральная функция имеет особенность слишком высокого порядка в нуле. По этой причине
сначала проведём некоторые преобразования.
Будем искать решение уравнения (3) в виде
∫
∫
)
v(x)
b(x)/X+(x)
( ([S, b]Sf)(0)
1
1
g(t) dt
f (x) =
+
-
f (t) dt +
X(-t)
+ f1(x).
2
1 + b(x)
2
2πi
2πi
t+x
0
0
Тогда в силу (4) и свойств канонической функции функция f1(x) должна удовлетворять урав-
нению
∫
b(x)
f1(t)dt
f1(x) -
= v1(x),
(7)
πi
t-x
0
где
(
∫
)
([S, b]Sf)(x) - ([S, b]Sf)(0)
1 - b(x)
xb(x)
b(x) - 1
v1(x) = b(x)
+
f (t) dt -
g(x) +
Tg(x)
2
2πi
2
2
0
Решение уравнения (7) уже может быть построено стандартным образом:
∫
v1(x)
b(x)
1
X+(t)
1
v1(t)dt
f1(x) =
+
(8)
1 - b2(x)
1 + b(x) πi
X+(x) 1 - b(t) t - x
0
Так же, как и в случае уравнения (4), преобразуем правую часть соотношения (8), осно-
вываясь на свойствах канонической функции, аналогичных указанным в леммах 1 и 2:
∫
b(x)/X+(x)
1
b(x)g(x)
f1(x) =
R5(x,t)f(t)dt -
R6(x) -
1 + b(x)
2πi
X+(x)
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
1440
ПОЛОСИН
∫
∫
b(x)
1
X+(t) tb2(t) g(t) - g(x)
b(x)
1 - b(t) X(-t) g(t)dt
-
dt -
+
1 + b(x) 2πi
X+(x) 1 - b(t) t - x
2πi
1 + b(x) X+(x) t + x
0
0
∫
b(x)/X+(x)
1
+
R7(x,t)g(t)dt,
1 + b(x)
2πi
0
где Rk, k = 5, 7, - регулярные функции.
Таким образом, уравнение (2) сведено к регулярному уравнению.
Автор благодарит академика Е.И. Моисеева за интерес к работе.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в рамках реализа-
ции программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики по соглаше-
нию № 075-15-2019-1621 и при частичной финансовой поддержке Российского фонда фунда-
ментальных исследований (проект 20-51-18006 Болг-а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гохберг И.Ц., Крупник Н.Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операто-
ров. Кишинев, 1973.
2. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977.
3. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М., 1978.
4. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М., 1991.
5. Солдатов А.П. Об индексе операторов с концевым символом // Изв. РАН. Сер. мат. 1999. Т. 63.
№ 4. С. 171-206.
6. Полосин А.А. О разрешимости одного сингулярного интегрального уравнения с некарлемановским
сдвигом // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 9. С. 1213-1220.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 16.06.2021 г.
им. М.В. Ломоносова
После доработки 16.06.2021 г.
Принята к публикации 08.09.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 10
2021
