ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1443-1449

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.925.51+519.216.73

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ,

СЛАБО УПРАВЛЯЕМЫХ ГРУБЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ

С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ

ПОКАЗАТЕЛЕМ ГЁЛЬДЕРА

Доказываются теоремы об устойчивости решений одномерных стохастических дифферен-

циальных уравнений, управляемых грубыми траекториями с произвольным положитель-

ным показателем Гёльдера.

DOI: 10.31857/S0374064121110017

Введение. Рассмотрим одномерное стохастическое дифференциальное уравнение

dY_t = f(Y_t)dX_t, t ∈ R₊ := [0,+∞),

(1)

где X_t - случайный процесс, имеющий п.н. непрерывные по Гёльдеру порядка α ∈ (0, 1)

траектории, f : R → R - детерминированная функция, имеющая непрерывные и ограничен-

ные производные любого порядка m ∈ {0, . . . , [1/α] + 1}. Стохастические дифференциальные

уравнения (1), вообще говоря, не могут быть исследованы в рамках как классической теории

стохастических дифференциальных уравнений Ито [1], так и теорий Лайонса и Губинелли

потраекторного интегрирования по грубым траекториям [2, 3]. В работе [4] разработан функ-

циональный вариант теории интегрирования по грубым траекториям с произвольным показа-

телем Гёльдера и с помощью этой теории доказаны теоремы существования и единственности

решений, а также формула замены переменных.

В настоящей работе доказывается, что условия, обеспечивающие существование и един-

ственность решений уравнений (1), гарантируют также непрерывную зависимость решений от

начальных данных на любом конечном отрезке; исследуется устойчивость по Ляпунову нуле-

вого решения уравнения (1) на основании устойчивости нулевого решения соответствующего

обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) dZ_t = f(Z_t) dt. При этом под решени-

ем уравнения (1) понимается решение стохастического дифференциального уравнения, слабо

управляемого соответствующей грубой траекторией [4].

Для определения решений нам понадобится ряд понятий, введённых в статье [4].

Определение грубых траекторий. Зафиксируем какие-либо T > 0 и α ∈ (0,1]. Пусть

V - конечномерное евклидово пространство. Через C^α([0,T],V ) и Cα2 ([0,T],V ) обозначим

множества функций f : [0, T ] → V и g : [0, T ]² → V соответственно, для которых величины

|f_t - f_s|

|g_s,t|

∥f∥_α := sup

∥g∥α,2 := sup

s,t∈[0,T]

|t - s|^α

s,t∈[0,T]

|t - s|^α

s=t

конечны. Далее, как и в [5, гл. 2], для функции двух переменных g_s,t будем писать ∥g∥α

вместо ∥g∥α,2. Для функции одной переменной f_t через f_s,t будем обозначать приращение

f_t - f_s.

Для целого неотрицательного k и конечномерных евклидовых пространств V и W через

C^kb(V,W) обозначаем множество функций h : V → W таких, что норма

∑

∥h∥_Ck :=

∥Dⁱh∥_∞

i=0

конечна, где ∥Dⁱh∥_∞ = sup |Dⁱh_t|.

t∈[0,T ]

1443

1444

ВАСЬКОВСКИЙ

Положим n = [1/α]. Обозначим через C^α([0, T ], V ) множество α-непрерывных по Гёль-

деру грубых траекторий, т.е. множество элементов X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) таких, что Xⁱ ∈

∈ Ciα2([0,T],V

^⊗i) для любого i = 1,n, и для любых s,u,t ∈ [0,T] выполняется тождество

Чена X_s,t = X_s,u ⊞ X_u,t, в котором

∑

(X_s,u ⊞ X_u,t)ⁱ =

X^js,u

^⊗X^i-ju,t.

j=0

⊕

Отметим, что операция ⊞ задаёт умножение на тензорной алгебре T(n)(V ) =

^⊗i, где

i=0

^⊗0 = R. Таким образом, элемент X : [0,T]² → T(n)(V ) однозначно определяется значения-

ми X0,t, t ∈ [0, T ], поскольку X_s,t = (X0,s)-1 ⊞ X0,t. Далее будем писать X_t вместо X0,t.

Грубая траектория X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) называется геометрической, если

Sym(X^is,t) =

(X1s,t)⊗i для всех i = 1,n.

Множество геометрических грубых траекторий обозначаем через C^αg([0, T ], V ).

Будем говорить, что элемент X ∈ C^α([0, T ], V ) является грубой траекторией над X ∈

∈ C^α([0,T],V ), если X10,t = X_t для любых t ∈ [0,T].

Определение слабо управляемых грубых траекторий. Пусть X ∈ C^α([0,T],V ),

а X = (1,X¹,...,Xⁿ) - грубая траектория над X. Пусть W - конечномерное евклидо-

во пространство. Будем говорить, что функция Y_t ∈ C^α([0, T ], W ) слабо управляется гру-

бой траекторией X ∈ C^α([0, T ], V ), если существуют функции Y⁽¹⁾ : [0, T ] → L(V, W ),

^⊗ (n-1),W)такие,что

..., Y (n-1) : [0,T] → L(V

Y_s,t = Y(1)sX1s,t + ... + Y(n-1)sXn-1s,t + R^Y,ns,t, Y(1)s,t = Y(2)sX1s,t + ... + Y(n-1)sXn-2s,t + RY,n-1s,t,

...,

Y(n-2)s,t =Y(n-1)sX1s,t +RY,2s,t, Y(n-1)s,t =RY,1s,t;

а величина ∥R^Y,i∥_iα конечна для каждого из остаточных членов R^Y,i, i = 1, n. Функцию Y (i)

будем называть грубой производной порядка i от Y.

Определим банахово пространство

{

}

∑

DαX([0,T],W) = (Y,Y⁽¹⁾,... ,Y(n-1)) : Y ∈ C^α([0,T],W),

∥R^Y,i∥_iα < ∞

i=1

с полунормой

∑

∥(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1))∥_Dα =

∥R^Y,i∥_iα.

i=1

Норма элемента Y = (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], W ) определяется равенством

∑

∥Y∥_Dα :=

|Y(i)0| + ∥(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1))∥_Dα ,

i=0

где Y(0)t = Y_t.

Определение интеграла по грубым траекториям. Пусть V, W - некоторые конечно-

мерные евклидовы пространства, X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈ C^α([0, T ], V ), Y ∈ C^α([0, T ], L(V, W )),

(Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], L(V, W )). Возьмём некоторые s, t ∈ [0, T ], s < t, через P

обозначим произвольное конечное разбиение отрезка [s, t] точками, а через |P| - его диаметр.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

1445

∫t

Грубым потраекторным интегралом

Y_r dX_r назовём следующий предел интегральных

сумм (если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [s, t]

точками):

∫

∑

Y_r dX_r := lim

Y(i)uXi+1u,v.

|P|→0

[u,v]∈P i=0

Определение грубых траекторий на полуоси. Пусть β ∈ (1/(n + 1),1/n], X ∈

∈ C^β(R₊,R), т.е. при любом T > 0 сужение X|[0,T] принадлежит пространству C^β([0,T],R).

Для каждого i ∈ {1, . . . , n} определим X^is,t := (X_s,t)ⁱ/i!, s, t ∈ R₊.

Элемент X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) : R²⁺ → T(n)(R) будем называть геометрической грубой

траекторией над X. Множество геометрических грубых траекторий X над X по всем

X ∈ C^β(R₊,R) будем обозначать через

∈

g (R+, R). Если X ∈

g (R+, R), то X|[0,T ]2

∈

g ([0, T ], R) для любого T > 0.

Пусть α, β ∈ (1/(n + 1), 1/n], α < β. Будем говорить, что функция Y ∈ C^α(R₊, R) слабо

управляется геометрической грубой траекторией X ∈

g (R+, R), если существуют Y(i) :

R₊ → R, i ∈ {1,... ,n - 1}, такие, что величины ∥R^Y,i|[0,T]2∥_iα конечны при любом T > 0

для каждого остаточного члена R^Y,i, i ∈ {1, . . . , n}, где

∑

R^Y,is,t = Y(n-i)s,t -

Y(n-i+j)sX^js,t.

j=1

Скажем, что вектор-функция Y = (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) принадлежит множеству DαX(R₊, R),

если при любом T > 0 её сужение Y|[0,T] принадлежит пространству DαX([0, T ], R).

Стохастические дифференциальные уравнения, слабо управляемые грубыми

траекториями с произвольным положительным показателем Гёльдера. Пусть на пол-

ном вероятностном пространстве (Ω, F, P ) с потоком σ-алгебр (F_t)t≥0 задан F_t-согласован-

ный случайный процесс X_t, t ∈ R₊, такой, что почти все траектории процесса X_t принадле-

жат пространству C^β(R₊, R), β ∈ (1/(n + 1), 1/n]. Определим процесс X_· = (1, X10,·, . . . , Xn0,·)

как случайную величину, принимающую значения в

g (R+, R) п.н., где X^s,t = (Xs,t)ⁱ/i!.

Выберем и зафиксируем произвольное α ∈ (0, β).

Пусть Y ∈ C^α([0, T ], R), (Y, Y⁽¹⁾, Y⁽²⁾, . . . , Y(n-1)) ∈ DαX([0, T ], R); f ∈ C^nb(R, R). Опреде-

лим Z_t = f(Y_t). По аналогии с формулой Фаа-Ди-Бруно положим

∑

Z(k) =

D^jf(Y )B_k,j(Y⁽¹⁾,... ,Y(k-j+1)), k = 1,n - 1,

(2)

j=1

где B_k,j(x₁, . . . , xk-j+1) - многочлены Белла [6].

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

dY_t = f(Y_t)dX_t, t ∈ R₊.

(3)

Определение 1. Пусть ξ : Ω → R - F₀-измеримая случайная величина. Решением урав-

нения (3) с начальным условием Y₀ = ξ будем называть F-измеримую случайную величину

Y = (Y,Y ⁽¹⁾,...,Y (n-1)) со значениями в DαX(R₊,R) п.н. такую, что случайный процесс Y_t

является F_t-согласованным и п.н. для всех t ∈ R₊ выполняется равенство

∫^t

Y_t = ξ + f(Y_s)dX_s,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1446

ВАСЬКОВСКИЙ

где грубые производные от функции f(Y ), участвующие в определении интеграла в правой

части, определяются по формулам (2). Решение уравнения (3) с начальным условием Y₀ = ξ

назовём единственным, если для любых двух решений Y и

Y уравнения (3) с начальным

условием Y₀ = ξ выполняется равенство P (Y =Y) = 1.

Рассмотрим ОДУ

dZ_t = f(Z_t) dt, t ∈ R.

(4)

Пусть S_t, t ∈ R, - поток, порождённый уравнением (4), т.е. Z_t = S_tZ₀. В работе [4] доказано

Предложение. Пусть α, β ∈ (1/(n + 1), 1/n], α < β, X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈

g (R+, R)

п.н. Если f ∈ Cn+1b(R,R), то для любой F₀-измеримой случайной величины ξ : Ω → R суще-

ствует единственное решение Y = (Y,Y⁽¹⁾,... ,Y(n-1)) уравнения (1) с начальным условием

Y₀ = ξ и п.н. выполняются равенства

Y_t = SX0,t ξ, Y(i)t = Di-1ff(Y_t), i = 1,n - 1, t ∈ R₊,

где (D_f h)(z) = f(z)Dh(z).

Непрерывная зависимость решений от начальных данных. Наряду с уравнени-

ем (3) рассмотрим возмущённое уравнение

dY_t

f (Y_t) dX_t, t ∈ R₊.

(5)

Теорема 1. Пусть α, β ∈ (1/(n + 1), 1/n], α < β, p ≥ 1, T > 0, X = (1, X¹, . . . , Xⁿ) ∈

∈

g (R+, R) п.н., ξ : Ω → R - F0-измеримая случайная величина; f ∈

(R, R). Если

E∥X∥pα,[0,T] < ∞, то для любого ε > 0 существует δ = δ(ε,T) такое, что для любых

функции

f ∈ Cn+1b(R,R) и F₀-измеримой случайной величины

ξ : Ω → R, для которых

f - f∥_Cn+1 + E|ξ- ξ|^p ≤ δ, выполняется неравенство

∑

Y (i) - Y (i)∥pα,[0,T] ≤ ε,

i=0

где Y = (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) - решение уравнения (3) с начальным условием Y₀ = ξ,

Y =

Y(1),...

Y (n-1)) - решение уравнения (5) с начальным условием Y₀ = ξ.

Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы не выполняется, т.е. найдётся

ε₀ > 0, для которого при любом δ_k = 1/k, k ∈ N, существуют f_k ∈ Cn+1b(R,R), F₀-измери-

мые случайные величины ξ_k : Ω → R такие, что ∥f_k - f∥_Cn+1

+E|ξ_k -ξ|^p ≤ δ_k, и выполняется

неравенство

∑

E∥Y(i)k - Y(i)∥pα,[0,T] ≥ ε₀,

i=0

здесь Y_k = (Y_k, Y(1)k, . . . , Y(n-1)k) - решение уравнения (3) с начальным условием Y₀ = ξ_k.

Пусть S_k,t - поток, порождённый уравнением (4). Согласно предложению 1 имеем

Y_t = SXt-X₀ξ,

= Di-1ff(Y_t),

Y_k,t = Sk,Xt-X₀ ξk, Y(i)k,t = Di-1ffk(Yk,t).

Не нарушая общности, можно считать, что X₀ = 0. Обозначим g(τ) = S_τ ξ, g_k(τ) = S_k,τ ξ_k,

ψ_k(τ) = g_k(τ) - g(τ), τ ∈ R. Таким образом,

|ψ_k(X_t) - ψ_k(X_s)|

|(X_t - X_s)Dψ_k(X_s + θ_k(X_t - X_s))|

∥Y_k - Y ∥α,[0,T] = sup

= sup

≤

s=t

|t - s|^α

s=t

|t - s|^α

≤ ∥X∥α,[0,T]∥Dψ_k∥_∞.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

1447

Так как E∥X∥pα,[0,T] < ∞, то lim

E∥Y_k - Y ∥pα,[0,T] = 0.

k→∞

Выберем произвольно i ∈ {1, . . . , n - 1}. Обозначим h(y) = Di-1ff(y), h_k(y) = Di-1ffk(y),

ϕk(y) = hk(y) - h(y), y ∈ R. Тогда будем иметь

∥Y(i)k - Y(i)∥α,[0,T] = sup|hk(Yk,t)-hk(Yk,s)-h(Yt)+h(Ys)^|

s=t

|t - s|^α

|(Y_k,t - Y_k,s)Dϕ_k(Y_k,s + θ_k(Y_k,t - Y_k,s))|

|h(Y_k,t) - h(Y_k,s) - h(Y_t) + h(Y_s)|

= sup

+ sup

≤

s=t

|t - s|^α

s=t

|t - s|^α

≤ ∥Y_k - Y ∥α,[0,T]∥Dϕ_k∥_∞ + ∥Dh∥_∞∥Y_k - Y ∥α,[0,T] + C∥D²h∥_∞(∥Y_k - Y ∥α,[0,T] + |ξ_k - ξ|).

Следовательно, lim

E∥Y(i)k - Y(i)∥pα,[0,T] = 0. Таким образом,

k→∞

∑

lim

E∥Y(i)k - Y(i)∥α,[0,T] = 0.

k→∞

i=0

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Устойчивость по Ляпунову решений на полуоси. Перейдём к исследованию устой-

чивости нулевого решения уравнения (3) в предположении, что f(0) = 0. Дополнительно

предположим, что функция f ∈ Cn+1(R, R) такова, что любое решение Z_t, t ≥ 0, уравне-

ния (4) не имеет взрывов.

Далее под нулевым решением уравнения (3) понимаем решение Y ≡ 0 уравнения (3) с

нулевым начальным условием Y₀ = 0.

Определение 2. Будем говорить, что нулевое решение уравнения (3) устойчиво по ве-

роятности, если для любых ε₁,ε₂ > 0 существует δ = δ(ε₁,ε₂) > 0 такое, что для каждой

F₀-измеримой случайной величины ξ : Ω → R, |ξ| ≤ δ п.н., выполняется неравенство

(

)

P sup|Y_t| ≥ ε₁

≤ε₂,

t≥0

где Y = (Y, Y⁽¹⁾, . . . , Y(n-1)) - решение уравнения (3) с начальным условием Y₀ = ξ. Скажем,

что нулевое решение уравнения (3) асимптотически устойчиво по вероятности, если оно

устойчиво по вероятности и существует Δ > 0, при котором для любой F₀-измеримой слу-

чайной величины ξ : Ω → R,

→ 0.

t→+∞

Пусть p ≥ 1; будем говорить, что нулевое решение уравнения (3) является p-устойчивым, ес-

ли для любого ε > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что для любой F₀-измеримой случайной

величины ξ : Ω → R, |ξ| ≤ δ п.н., выполняется неравенство sup E|Y_t|^p ≤ ε.

t≥0

→ +∞ и для любого T > 0 величина E( sup |X_t|) конечна.

t→+∞

t∈[0,T ]

Если нулевое решение уравнения (4) устойчиво по Ляпунову (соответственно асимптоти-

чески устойчиво) при t ≥ 0, то нулевое решение уравнения (3) устойчиво по вероятности

(соответственно асимптотически устойчиво по вероятности).

Доказательство. Не нарушая общности, можем считать, что X₀ = 0. Пусть Z_t - решение

уравнения (4) с начальным условием Z₀ = ξ, тогда Y_t = ZXt . Зафиксируем произвольные

ε₁,ε₂ > 0.

→

+∞, то для любого ε₂ > 0 существует τ = τ(ε₂) > 0, при котором

t→+∞

P (X_t ≥ 0 для всех t > τ) ≥ 1 - ε₂/2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1448

ВАСЬКОВСКИЙ

Так как величина E( sup |X_t|) конечна, то в силу неравенства Чебышёва найдётся посто-

t∈[0,τ]

янная M = M(τ, ε₂) > 0 такая, что

P (|X_t| ≤ M для всех t ∈ [0, τ]) ≥ 1 - ε₂/2.

Предположим, что нулевое решение уравнения (4) устойчиво по Ляпунову при t ≥ 0.

Тогда найдётся δ = δ(ε₁, M) > 0, при котором для любой F₀-измеримой случайной величины

ξ : Ω → R, |ξ| ≤ δ п.н., выполняется неравенство sup |Z_t| ≤ ε₁ п.н.

t≥-M

Таким образом, имеем

(

)

(

)

P sup|Yt| > ε1

= P sup|ZXt| > ε₁

≤ P(существует t ≥ 0 такое, что X_t < -M) ≤

t≥0

≤ P(существует t ∈ [0,τ] такое, что X_t < -M) + P(существует t > τ такое, что X_t < 0) ≤

≤ ε₂/2 + ε₂/2 = ε₂.

Таким образом, нулевое решение уравнения (3) устойчиво по вероятности.

Следовательно, нулевое решение уравнения (4) асимптотически устойчиво при t ≥ 0. Тог-

да существует Δ > 0, при котором для любой F₀-измеримой случайной величины ξ : Ω →

→ R, |ξ| ≤ Δ п.н., решение Z_t уравнения (4) с начальным условием Z₀ = ξ обладает свой-

ством: с вероятностью 1 имеет место сходимость Z_t → 0 при t → +∞. Возьмём произвольные

ε₁,ε₂ > 0. Существует δ = δ(ε₁) такое, что P(|Z_t| ≤ ε₁ для всех t ≥ δ) = 1.

→

+∞, то найдётся δ₁ > 0, при котором

t→+∞

P(существует t ≥ δ₁ такое, что X_t < δ) ≤ ε₂.

Таким образом,

P (|Y_t| ≤ ε₁ для всех t ≥ δ₁) = P (|ZXt | ≤ ε₁ для всех t ≥ δ₁) =

= 1 - P(существует t ≥ δ₁ такое, что |ZXt| > ε₁) ≥

≥ 1 - P(существует t ≥ δ₁ такое, что X_t < δ) ≥ 1 - ε₂.

→ 0, поэтому нулевое решение уравнения (3) асимптотически устойчиво

t→+∞

по вероятности. Теорема доказана.

Пример. Пусть W_t и B^Ht - независимые одномерные соответственно стандартное бро-

уновское движение и дробное броуновское движение с индексом Хёрста H ∈ (0, 1/2)

^⋃ (1/2, 1).

Рассмотрим линейное стохастическое дифференциальное уравнение

dY_t = -Yt dX_t, t ∈ R₊,

(6)

где X_t = at + bW_t + cB^Ht , a > 0, b, c ∈ R.

Возьмём произвольные α, β,

0 < α < β < H. Тогда почти все траектории процесса

X_t принадлежат пространству C^β(R₊,R). Из предложения вытекает, что уравнение (6) с

начальным условием Y₀ = x имеет единственное решение, определяемое формулой

Y_t = e-at-bWt-cBt x, t ∈ R₊.

Проверим выполнимость условий теоремы 2. Так как sup |X_t| ≤ C∥X∥β,[0,T], то, согласно

t∈[0,T ]

лемме 7.4 [7], величина E( sup

→ +∞. Возьмём произ-

t→+∞

t∈[0,T ]

вольные ε₁, ε₂ > 0. Так как процессы W_t и B^Ht независимы, то процесс

X_t

= bW_t + cB^Ht

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

1449

имеет нормальное распределение с нулевым средним и дисперсией, равной b²t + c²t2H . Таким

образом,

∞

∫

P (X_t > ε₁ для всех t ≥ δ) = P

X_t > ε₁ - at для всех t ≥ δ) =

√

e-s2/² ds,

2π

√

где M_t = (ε₁ - at)/

b²t + c²t2H. Так как M_t

→ -∞, то найдётся δ > 0 такое, что

t→+∞

∞

∫

√

e^-s2/2 ds ≥ 1 - ε

2π

M_δ

→ +∞. Следовательно, согласно теореме 2, нулевое решение уравнения

t→+∞

(6) является асимптотически устойчивым по вероятности.

Пусть p ≥ 1, исследуем p-устойчивость нулевого решения уравнения (6). Имеем

E|Y_t|^p = E|x|^pet(-pa+p2b²/2)+t2H p²c²/².

Таким образом, при c = 0 и H > 1/2 нулевое решение уравнения (6) не является p-устойчи-

вым. Если c = 0 или H ∈ (0, 1/2), то нулевое решение этого уравнения p-устойчиво тогда и

только тогда, когда a > pb²/2.

Замечание. Аналогичный результат об устойчивости нулевого решения уравнения (6) с

H > 1/2 получен в статье [8]. Проблема устойчивости решений многомерных стохастических

дифференциальных уравнений, управляемых дробными броуновскими движениями, исследо-

валась в работах [8-10].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процессы.

М., 1986.

2. Lyons T. Differential equations driven by rough signals // Rev. Mat. Iberoamericana. 1998. V. 14. № 2.

P. 215-310.

3. Gubinelli M. Controlling rough paths // J. of Funct. Anal. 2004. V. 216. № 1. P. 86-140.

4. Васьковский М.М. Существование и единственность решений дифференциальных уравнений, сла-

бо управляемых грубыми траекториями с произвольным положительным показателем Гёльдера

// Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 10. С. 1305-1317.

5. Friz P., Hairer M. A Course on Rough Paths with an Introduction to Regularity Structures. Cham, 2014.

6. Comtet L. Advanced Combinatorics. The Art of Finite and Infinite Expansions. Dordrecht, 1974.

7. Nualart D., Rascanu A. Differential equations driven by fractional Brownian motion // Coll. Math. 2002.

V. 53. № 1. P. 55-81.

8. Качан И.В. Устойчивость линейных стохастических дифференциальных уравнений смешанного ти-

па с дробными броуновскими движениями // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 5. С. 590-606.

9. Леваков А.А., Васьковский М.М. Стохастические дифференциальные уравнения и включения.

Минск, 2019.

10. Васьковский М.М. Устойчивость и притяжение решений нелинейных стохастических дифференци-

альных уравнений со стандартным и дробным броуновскими движениями // Дифференц. уравне-

ния. 2017. Т. 53. № 2. С. 160-173.

Белорусский государственный университет,

Поступила в редакцию 09.04.2021 г.

г. Минск

После доработки 09.04.2021 г.

Принята к публикации 08.09.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021