ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1450-1457

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.926.4

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЛИНЕЙНЫХ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ СО ВСЕМИ

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМИ

ПОКАЗАТЕЛЯМИ ПЕРВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ

И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО УБЫВАЮЩИМИ

ВОЗМУЩЕНИЯМИ И РЕШЕНИЯМИ

Доказано существование n-мерных линейных дифференциальных систем с первым при-

ближением, имеющим все положительные характеристические показатели, экспоненциаль-

но убывающими возмущениями и ровно n-1 линейно независимыми решениями с отрица-

тельными показателями Ляпунова. Тем самым в линейном случае получен антиперронов-

ский вариант - вариант, противоположный известному эффекту Перрона смены значений

отрицательных показателей линейного приближения на положительные у решений диф-

ференциальной системы с возмущением высшего порядка малости в окрестности начала

координат и допустимого роста вне её.

DOI: 10.31857/S0374064121110029

Рассматриваем линейные дифференциальные системы

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ, t ≥ t₀,

(1)

с ограниченными бесконечно дифференцируемыми коэффициентами и положительными ха-

рактеристическими показателями λ_n(A) ≥ . . . ≥ λ₁(A) > 0, а также возмущённые системы

y = A(t)y + Q(t)y, y ∈ Rⁿ, t ≥ t₀,

(2)

с бесконечно дифференцируемыми экспоненциально убывающими n × n-матрицами-возмуще-

ниями Q, удовлетворяющими оценке

∥Q(t)∥ ≤ C_Qe^-σt, σ > 0, C_Q = const, t ≥ t₀.

(3)

Возникает вопрос о существовании, например, таких двумерной системы (1) и возмущения

(3), что возмущённая система (2) имеет нетривиальное решение с отрицательным показателем

Ляпунова. Решение этой (первой) задачи может служить предварительным этапом в решении

более важной (второй) задачи о существовании нетривиальных решений с отрицательными

показателями у нелинейной дифференциальной системы

y = A(t)y + f(t,y), y ∈ Rⁿ, t ≥ t₀,

(4)

c бесконечно дифференцируемым m-возмущением f(t, y):

∥f(t, y)∥ ≤ C_f ∥y∥^m, y ∈ Rⁿ, C_f = const, t ≥ t₀,

порядка m > 1 малости в окрестности начала координат y = 0 и допустимого роста вне её в

“антиперроновском” случае положительности всех характеристических показателей линейного

приближения (1). Действительно, согласно принципу линейного включения [1, с. 159], всякое

1450

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

1451

бесконечно продолжимое вправо решение y₀(t) = 0 системы (4) с отрицательным показате-

лем является и решением системы (2) с экспоненциально убывающим возмущением Qy0 (t),

удовлетворяющим условию

∥Qy0 (t)∥ ≤ C_f ∥y₀(t)∥m-1, t ≥ t₀.

Поэтому в случае допустимого отрицательного решения первой задачи следует и такое же

решение второй.

Отметим, что в эффекте Перрона [2; 3, c. 50-51] смены значений отрицательных харак-

теристических показателей системы (1) на положительные показатели решений системы (4)

в работах [4, 5] получено окончательное полное описание множеств как всех положительных,

так и всех отрицательных (в том числе и при отсутствии последних) показателей решений

системы (4), у которой все нетривиальные решения бесконечно продолжимы вправо и имеют

ограниченные конечные показатели.

Положительному решению первой задачи и посвящена настоящая работа. Справедлива

Теорема 1. Для любых параметров λ₂ ≥ λ₁ > 0, θ > 1 и σ ∈ (0, λ₁+θ-1λ₂) существуют:

1) двумерная линейная система (1) с ограниченными бесконечно дифференцируемыми ко-

эффициентами и характеристическими показателями λ_i(A) = λ_i, i = 1, 2;

2) бесконечно дифференцируемое экспоненциально убывающее удовлетворяющее оценке (3)

возмущение Q(t)

такие, что возмущённая линейная система (2) имеет единственное (среди всех её линейно

независимых) решение y(t) с отрицательным показателем Ляпунова, равным

θσ - θλ₁ - λ₂

λ₀ =

θ-1

Доказательство. Сначала докажем теорему в более простом варианте системы (1) с ку-

сочно-постоянной матрицей коэффициентов A(t). Затем по ней построим уже бесконечно диф-

ференцируемую матрицу B(t), отличающуюся от матрицы A(t) на таких столь коротких

промежутках времени, содержащих её точки разрыва, что будет выполнено условие

+∞

J_M (B - A) ≡

∥B(τ) - A(τ)∥e^Mτ dτ < +∞

t₀

с достаточно большой постоянной M > 0 (например, большей коэффициента неправильности

Гробмана системы (1)). Это интегральное условие обеспечит [6] совпадение характеристичес-

ких показателей как у систем (1) и x = B(t)x, так и у систем (2) и y = B(t)y +Q(t)y с одной

и той же матрицей Q(t).

1^◦. Построение системы первого приближения. По числу θ > 1 и моментам t_k = θ^k,

k ∈ N, определим коэффициенты

{

-α_i, t ∈ [t2k-1,t2k), i = 1,2,

a_i(t) = (-1)ⁱ ×

k ∈ N,

(5)

α_i,

t ∈ [t2k,t2k+1), i = 1,2,

линейной диагональной системы

x = diag[a₁(t),a₂(t)]x ≡ A(t)x, x ∈ R², t ≥ t₁ = θ,

(6)

с кусочно-постоянной матрицей A(t) и определяемыми ниже постоянными α₂ ≥ α₁ > 0.

В силу представлений (5) коэффициентов a_i(t) диагональной системы (6) справедливы

равенства

∫

θ-1

a_i(τ)dτ = α_i

(t2k-i+3 - t2k-i+1), i = 1, 2, k ∈ N,

θ+1

t2k-i+1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1452

ИЗОБОВ, ИЛЬИН

из которых следуют представления

θ-1

λ_i(A) = α_i

i = 1,2,

(7₁)

θ+1

характеристических показателей системы (6). Из них для постоянных α_i в силу условия тео-

ремы 1 получаем представления для постоянных α_i :

θ+1

α_i =

λ_i, θ > 1, i = 1,2.

(7₂)

θ-1

2^◦. Одновременное построение экспоненциально убывающих возмущения и ре-

шения. Предположим, что на отрезке [t₁, t2k-1] с произвольно фиксированным k ∈ N по-

строены необходимые возмущение (3) и решение y(t) с положительными компонентами. При

этом для нормы этого решения в момент t = t2k-1 и угла γ2k-1 = ∢{y(t2k-1, Ox₂)} выполнены

условия

21-2k ≤ ∥y(t2k-1)∥e-λ0t2k-1 ≤ 22k-1

(8)

с определённым в теореме числом λ₀, имеющим в силу (7) представление

θσ

θα₁ + α₂

λ₀ =

;

θ-1

θ+1

tg γ2k-1 = exp(-βt2k-1), β = -θσ + (θ - 1)(α₁ + α₂) > 0.

(9)

Продолжим построение 2×2-возмущения Q(t) и решения y(t) на следующем промежутке

(t2k-1, t2k+1]. На первой его части (t2k-1, t2k] элементы матрицы Q(t) = (q_ij (t)) определим

следующим образом:

q_ij(t) = q₂₂(t) ≡ 0, i = 1, j = 1,2, t ∈ [t2k-1,t2k],

q₂₁(t) ≡ 0, t ∈ [t2k-1,τ₁(t2k)], τ₁(t2k) ≡ t2k - 1 - 2ε(t2k).

При этом используемая здесь и ниже при определении матрицы B(t) величина ε(t) имеет

значение ε(t) = exp(-t²).

На оставшемся промежутке (τ₁(t2k), t2k] бесконечно дифференцируемый и равномерно

ограниченный по k элемент q₂₁(t) имеет представление

⎧

⎨e01(t,τ1,τ2), t ∈ (τ1,τ2),

q₂₁(t) = d2ke^-σt ×

t ∈ [τ₂,τ₃),

^⎩e₁₀(t,τ₃,τ₄), t ∈ [τ₃,τ₄],

с некоторой определённой ниже постоянной d2k и моментами τ_l ≡ τ_l(t2k):

τ₂ = τ₁ + ε(t2k), τ₃ = τ₂ + 1, τ₄ = t2k.

Функция же e_αβ (η, η₁, η₂) является бесконечно дифференцируемой монотонной функцией

Гелбаума-Олмстеда [4]

e_αβ(η,η₁η₂) = α + (β - α)exp{-(η - η₁)-2 exp[-(η - η₂)-2]},

определённой на интервале с концами η = η₁ и η = η₂ (не обязательно соответственно левым

и правым) и принимающей на них значения

e_αβ(η₁,η₁,η₂) = α, e_αβ(η₂,η₁,η₂) = β

и нулевые значения своих односторонних производных любого порядка.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

1453

В результате возмущённая система (2) на отрезке [t2k-1, t2k] состоит из двух уравнений:

y₁ = a₁(t)y₁,

y₂ = a₂(t)y₂ + q₂₁(t)y₁.

(2₁)

Последовательно интегрируя их, получаем следующие представления компонент y_i(t) иссле-

дуемого решения y(t):

y₁(t) = y₁(t2k-1)exp[α₁(t - t2k-1)], t ∈ [t2k-1,t2k].

(10)

y₂(t) = y₂(t2k-1)exp[-α₂(t - t2k-1)], t ∈ [t2k-1,τ₁],

(11₁)

∫t

y₂(t) = y₂(τ₁)e-α2(t-τ1) + q₂₁(τ)y₁(τ)eα2(τ-t) dτ, t ∈ [τ₁,τ₄].

(11₂)

τ₁

Если d2k = 0, то вторая компонента y₂(t) решения y(t) имеет представление (11₁) для

всех t ∈ [t2k-1, t2k]. И поэтому в силу равенств (9) для угла γ2k = ∢{y(t2k), Ox₁} справедливы

оценки

y₂(t2k)

tg γ2k =

= ctg γ2k-1 exp[-(α₁ + α₂)(t2k - t2-1)]

⁽⁹⁾≥ exp(-σt2k).

(12)

y₁(t2k)

С другой стороны, при d2k = -d < 0 у соответствующего решения y(t) системы (2₁) пер-

вая компонента y₁(t) имеет прежнее представление (10), а для второй y₂(t), определяемой

равенствами (11₁),

(11₂), возникает вопрос: может ли она при некоторой равномерно огра-

ниченной по k ≥ k₀ постоянной d2k < 0 обратится в нуль в момент t = t2k. Установим это.

С помощью представлений (10) и (11₁),

(11₂) для значения y₂(t2k) этой компоненты имеем

оценки сверху:

∫τ3

y₂(t2k)exp[α₂(t2k - τ₁)] ≤ y₂(τ₁) - dy₁(τ₁) e-στ+(α1+α2)(τ-τ1) dτ ≤ y₂(τ₁) - dy₁(τ₁)e-στ1 ≡ R.

τ₂

При этом последнее неравенство справедливо в силу оценки σ < α₁ + α₂, вытекающей из

условия теоремы 1 изменения параметра σ и представлений (7) показателей системы (6).

В выражении для величины R заменим положительные значения y₁(τ₁) и y₂(τ₁) компо-

нент рассматриваемого решения их представлениями (10) и (11₁), а также значением tg γ2k-1.

В результате получим неравенства

Ry-11(τ₁) = ctg γ2k-1 × exp[-(α₁ + α₂)(τ₁ - t2k-1)] - de-στ1 ≤

≤ exp[-σt2k + (α₁ + α₂)(t2k - τ₁)] - de-στ1 = e-στ1 (exp[(α₁ + α₂ - σ)(t2k - τ₁)] - d) ≤

≤ e-στ1(exp[α₁ + α₂ - σ] - d) < e-στ1(exp(α₁ + α₂) - d) = 0

(13)

для d = exp(α₁ + α₂) и k ≥ k₀. Поэтому в силу непрерывной зависимости тангенса угла γ2k

от постоянной d и оценок (12) и (13) существует такое значение d2k этой постоянной, что

будет выполнено равенство tg γ2k = exp(-βt2k) с прежним (9) числом β (в доказательстве

теоремы 2 при таких треугольных и аналогичных им возмущениях эти углы в отдельные

моменты становятся равными нулю). При этом компонента y₂(t) остаётся положительной для

всех t ∈ [t2k-1, t2k], совпадает на отрезке [t2k-1, τ₁] с аналогичной компонентой y⁰² решения

y₀(t) (с тем же начальным значением в момент t = t2k-1) линейной системы (6).

Оценим на отрезке [t2k-1, t2k] норму решения y(t) построенной системы (21). Так как

выполнено неравенство λ₀ > -α₂, справедливое в силу очевидного неравенства

θσ

θ(α₂ - α₁)

λ₀ + α₂ =

> 0,

θ-1

θ+1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1454

ИЗОБОВ, ИЛЬИН

то для второй компоненты имеем оценки

0 < y₂(t) ≤ ∥y(t2k-1)∥y₂(t2k-1)exp[-α₂(t - t2k-1)] ≤

≤ 22k-1 exp[λ₀t - (λ₀ + α₂)(t - t2k-1)] < 22k-1 exp(λ₀t), t ∈ [t2k-1,t2k].

(14)

Для первой же компоненты y₁(t), ведущей для решения y(t) на отрезке [t2k-1, t2k], функция

λ₁(t) ≡ t-1 ln y₁(t) = t-1[ln y₁(t2k-1) + α₁(t - t2k-1)]

имеет положительную производную

λ′1(t) = t-2[α₁t2k-1 - ln y₁(t2k-1)] > 0, t ∈ (t2k-1,t2k),

в силу неравенства 0 < y₁(t2k-1) < 1. Тем самым эта функция принимает наибольшее значение

в момент t = t2k. Поэтому справедливы оценки сверху

t-1 lny₁(t) ≤ t-12k ln y₁(t2k)

⁽⁸⁾≤ t-12k ln(22k-1 exp[λ₀ - β + (θ - 1)α₁]t2k-1) =

θ-1

=λ₀ -

(α₂ - α₁) + (2k - 1)t-12k ln 2 ≡ λ₀₀ + (2k - 1)t-12k ln 2, t ∈ [t2k-1, t2k].

(15)

θ+1

Аналогичным образом для первой компоненты в момент t = t2k устанавливаются также

и оценки снизу

t-12k ln y₁(t2k) ≥ t-12k ln(21-2k exp[λ₀ - β - (θ - 1)α₁]t2k-1) ≥ λ₀ + (1 - 2k)ln 2.

(16)

В результате из неравенств 0 < y₂(t2k) < y₁(t2k) и (14)-(16) вытекают окончательные оценки

∥y(t)∥ ≤ 22keλ0t, t ∈ [t2k-1, t2k],

2-2k ≤ ∥y(t2k)∥e-λ00t2k ≤ 22k.

На следующем отрезке [t2k, t2k+1], на котором a₁(t) = -α₁, a₂(t) = α₂ и ведущей для

решения y(t) является её вторая компонента y₂(t), осуществим аналогичные построения и

рассуждения. В итоге получим оценки

0 < y_i(t) ≤ 22keλ0t, i = 1,2, t ∈ [t2k,t2k+1],

2-2keλ0t2k+1 ≤ y₂(t2k+1),

следствием которых и неравенства y₁(t2k+1) < y₂(t2k+1) являются двусторонние оценки

2-2k-1eλ0t2k+1 ≤ ∥y(t2k+1)∥,

∥y(t)∥ ≤ 22k+1eλ0t, t ∈ [t2k, t2k+1].

Методом математической индукции эти построения возмущённой системы (2) с бесконечно

дифференцируемым 2 × 2-возмущением и необходимым решением y(t) c показателем λ[y] =

= λ₀ < 0, но кусочно-постоянной матрицей A(t), распространим на всю полуось [t2k0-1,+∞),

положив Q(t) ≡ 0 на промежутке [t₀, t2k0-1).

Для завершения доказательства теоремы 1 необходимо кусочно-постоянную диагональную

матрицу A(t) с элементами (5) и счётным числом точек разрыва t = t_k заменить бесконечно

дифференцируемой ограниченной матрицей B(t), удовлетворяющей условию J_M (B - A) <

< +∞ (с достаточно большим M > 0) и тем самым обеспечивающей совпадение показателей

λ_i(B) = λ_i(A), λ_i(B + Q) = λ_i(A + Q), i = 1,2,

у построенных и “заменённых” линейных систем.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

1455

На отрезках [η₁, η₂] с концами

η₁ = t_k, η₂ = t_k + ε(t_k), ε(t_k) ≡ exp(-t2k), k ≥ k₀,

элементы b_i(t) диагональной матрицы B(t) определим равенствами b_i(t) = eδiΔ_i (η, η1, η2)

через функции Гелбаума-Олмстеда со значениями

δ_i = a_i(η₁), Δ_i = a_i(η₂), i = 1,2.

На остальных промежутках рассматриваемой полуоси функции b_i(t) совпадают с элемен-

тами a_i(t) матрицы A(t). Эту операцию бесконечного сглаживания элементов a_i(t) матрицы

A(t) осуществим для всех k ≥ k₀. По свойствам функций Гелбаума-Олмстеда коэффициенты

b_i(t) уже являются бесконечно дифференцируемыми и для них выполнены соотношения

{

≤ 2α₂, t ∈ (t_k, t_k + ε(t_k)),

|b_i(t) - a_i(t)|

≡ 0,

t ∈ [t_k + ε(t_k),tk+1], k ≥ k₀.

Поэтому условие J_M (B - A) < +∞ с любым числом M > 0, очевидно, оказывается выпол-

ненным:

∑

J_M (B - A) ≤ 2α₂ exp(-θ2k + Mθk+1) < +∞, θ > 1.

k=0

Единственность решения y₀(t) построенной линейной возмущённой системы (2) с отрица-

тельным показателем среди всех её линейно независимых решений очевидным образом следует

из неравенства Ляпунова. Действительно, предположив противное - существование второго

решения y₁(t) с отрицательным показателем, линейно независимого с построенным y₀(t) и

тем самым составляющего с ним фундаментальную систему Y (t) = [y₀(t), y₁(t)] решений воз-

мущённой системы (2), имели бы в силу неравенства Ляпунова следующее противоречие:

∫

θ-1

0 > λ[y₀] + λ[y₁] ≥ lim

Sp[A(τ) + Q(τ)]dτ = lim

Sp A(τ)dτ = (α₂ - α₁)

≥ 0.

t→∞ t

θ+1

t₀

Из этих и аналогичных им неравенств следует используемое при доказательстве теоремы 2

Утверждение. Для матрицы Коши Y₂(t, τ) построенной двумерной системы (2) и лю-

бых нечётных чисел k(l), l ∈ N, со свойством k(l)/k(l + 1) → 0 при l → ∞ справедливо

неравенство

lim

t-1k(l+1) ln ∥Y₂(tk(l+1),tk(l))∥ ≥ -λ₀ > 0.

l→∞

Теорема 1 доказана.

Замечание 1. Построение необходимых возмущения Q(t) и решения y(t) можно вместо

использованного в работе треугольного способа осуществить соответствующими поворотами.

Замечание 2. Вместо последовательности tk+1 = θt_k, θ > 1, k ∈ N, можно использовать

последовательность {t_k} со свойством t_kt-1k+1 → 0 при k → +∞.

Возникает вопрос, аналогичный вопросу в замечании 3.

Замечание 3. Справедливо ли утверждение:

если λ_i(A) > 0, i = 1, n, то λ_n(A + Q) > 0

для любых кусочно-непрерывных ограниченной n × n-матрицы A(t) и экспоненциально убы-

вающего n × n-возмущения Q(t)?

Возникает также вопрос о возможном числе линейно независимых решений с отрицатель-

ными показателями Ляпунова у n-мерной линейной возмущённой системы (2), у которой сис-

тема первого приближения (1) имеет все положительные характеристические показатели, а

возмущение Q(t) является экспоненциально убывающим. Справедлива следующая

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1456

ИЗОБОВ, ИЛЬИН

Теорема 2. Для любых параметров

λ_n ≥ ... ≥ λ₂ ≥ λ₁ > 0, n ≥ 3, θ > 1,

0<σ<λ₁ +θ-1λ₂

существуют:

1) n-мерная линейная система (1) с ограниченными бесконечно дифференцируемыми ко-

эффициентами и характеристическими показателями λ_i(A) = λ_i, i = 1, n;

2) бесконечно дифференцируемое экспоненциально убывающее удовлетворяющее оценке (3)

возмущение Q

такие, что n-мерная возмущённая система (2) имеет ровно n - 1 линейно независимых

решений

Y₁(t), ... , Yn-1(t)

(17)

с отрицательными показателями

σθ - θλ₁ - λi+1

λ[Y_i] =

≡ Λ_i, i = 1,n - 1.

(18)

θ-1

Схема доказательства основывается на утверждении теоремы 1 и её доказательстве.

Для последовательности {k(l)} нечётных чисел со свойством k(l)/k(l + 1) → 0 при l → ∞

определим числа T_l = tk(l), l ∈ N, по моментам t_k = θ^k, θ > 1, k ∈ N, из доказательства

теоремы 1. По показателям λ_i > 0 зададим равенствами (7₂) при i = 1, n числа α_n ≥

≥ α₁ > 0. По ним следующим образом определим кусочно-постоянные коэффициенты

a₁(t), ..., a_n(t) линейной n-мерной диагональной системы

x = diag[a₁(t),...,a_n(t)]^т, x ∈ Rⁿ, t ≥ T₁.

(19)

Коэффициент a₁(t) определим на всём бесконечном промежутке [T₁, +∞] равенствами (5).

Остальные коэффициенты a_i(t) зададим равенствами

a_i(t) = -α_i sign a₁(t), t ∈ [Ti-1+k(n-1),Ti+k(n-1)), k ∈ N₀, i = 2,n,

а вне указанных промежутков - равенствами

a_i(t) = -α_i, t ∈ [Ti+k(n-1),Ti-1+(k+1)(n-1)), k ∈ N₀, i = 2,n,

обеспечивающими выполнение неравенств Λ_i > -α_i и тем самым необходимых равенств (18).

На отрезке [T₁, T₂] построениями из доказательства теоремы 1 в координатной плоско-

сти x₁Ox₂ получим первое необходимое решение Y₁(t) = (y(t), 0, . . . , 0) ∈ Rⁿ с двумерным

вектором y(t) ∈ R², реализующим “временной показатель” max t-1 ln ∥y(t)∥ ≈ Λ₁ на отрез-

ке [T₁, T₂]. Треугольным σ-возмущением (или соответствующим поворотом) в левосторонней

окрестности момента t = T₂ (см. доказательство теоремы 1) решение Y₁(t) к моменту t = T₂

“укладываем” в координатную ось Ox₂, т.е. получаем представление Y₁(T₂) = ∥Y₁(T₂)∥e₂, где

e_i - i-й координатный вектор n-мерного пространства. Далее это решение будет определяться

равенством

Y₁(t) = ∥Y₁(T₂)∥e-α2(t-T2)e₂ ∈ Rⁿ, t ∈ [T₂,T_n],

до левосторонней окрестности момента t = T_n.

Второе решение Y₂(t) является решением системы (19), не подвергается возмущениям

на промежутке [T1, T2), расположено на оси Ox3 и имеет на нём представление Y2(t) =

= e₃e-α3(t-T1). На отрезке [T₂,T₂ + 1] допустимым треугольным возмущением, действующим

в плоскости x₁Ox₃, образуем к моменту t = T₂+1 необходимый угол ∢{Y₂(T₂+1), Ox₃} в пер-

вой четверти координатной плоскости x₁Ox₃ с тангенсом этого угла, равным exp [-β(T₂ + 1)]

с соответствующим числом β > 0 (см. доказательство теоремы 1). Построениями и рассуж-

дениями из доказательства теоремы 1, действующими на отрезке [T₂ + 1, T₃] и не затрагиваю-

щими на нём остальных решений Y_i(t) = ∥Y_i(t)∥e_i, i = 2, реализуем “временной показатель”

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О СУЩЕСТВОВАНИИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ

1457

max{t-1 ln ∥Y₂(t)∥} ≈ Λ₂. Это решение, достаточно близко приближающееся к оси Ox₃ на

отрезке [T₃ - 1, T₃], укладываем на нём к моменту t = T₃ на эту ось. Далее оно определяется

равенством

Y₂(t) = ∥Y₂(T₃)∥e₃e-α3(t-T3), t ∈ [T₃,Tn+1].

Методом математической индукции аналогичным образом построим все необходимые и,

очевидно, линейно независимые решения (17) возмущённой системы (2) с n × n-возмущени-

ем (3).

Докажем теперь отсутствие у системы (2), уже имеющей n - 1 построенных решений (17)

с отрицательными показателями (18), какого-либо решения Y_n(t) также с отрицательным (и

даже неположительным) показателем и линейно независимого со всеми решениями (17). Пред-

положим противное - такое решение Y_n(t) у системы (2) есть. Тогда для её фундаментальной

системы решений Y (t) = [Y₁(t), . . . , Y_n(t)] и моментов τ(l) = T₁ + k(l)(n - 1) с нечётными но-

мерами k(l), l ∈ N, k(l)/k(l + 1) → 0 при l → ∞, воспользуемся частным случаем оценки [7]:

∏

max ∥Y_j[τ(l + 1)]∥ ×

∥Y_j [τ(l)]∥ ≥

j=1,n,

j=p(l+1)

≥ C|detY [τ(l)]| × ∥Y₂[τ(l + 1),τ(l)]∥,

0 < C = const, l ∈ N,

(20)

где p(l + 1) ∈ {1, . . . , n} - номер, на котором реализуется максимум в последнем неравенстве,

а Y₂(t,τ) - матрица Коши двумерной системы (см. утверждение в доказательстве теоремы 1).

Вычислив логарифм от обеих частей неравенства (20), разделив их на τ(l+1) и затем перейдя

к верхнему пределу от левой части при l → ∞, на основании указанного утверждения и

предположения получим противоречие 0 ≥ -λ₀ > 0.

Для завершения доказательства теоремы 2 осталось лишь применить изложенную в дока-

зательстве теоремы 1 процедуру бесконечного сглаживания в точках разрыва матриц коэф-

фициентов исходной и возмущённой систем с функцией ε(t) = exp(-t²). Теорему 2 можно

считать доказанной.

Работа выполнена при финансовой поддержке Белорусского республиканского (проект

Ф20P-005) и Российского (проект 20-57-00001Бел_а) фондов фундаментальных исследований.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее

приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

2. Perron O. Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Zeitschr. 1930. Bd. 32. Hf. 5. S. 703-

728.

3. Леонов Г.А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения. М.; Ижевск,

2006.

4. Изобов Н.А., Ильин А.В. Построение произвольного суслинского множества положительных ха-

рактеристических показателей в эффекте Перрона // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 4.

С. 464-472.

5. Изобов Н.А., Ильин А.В. Построение счётного числа различных суслинских множеств характерис-

тических показателей в эффекте Перрона смены их значений // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56.

№ 12. С. 1585-1589.

6. Изобов Н.А., Мазаник С.А. Об асимптотически эквивалентных линейных системах при экспонен-

циально убывающих возмущениях // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42. № 2. C. 168-173.

7. Изобов Н.А. Оценка снизу для минимального показателя линейной системы // Дифференц. урав-

нения. 1978. Т. 14. № 9. C. 1576-1588.

Институт математики НАН Беларуси,

Поступила в редакцию 09.04.2021 г.

г. Минск,

После доработки 09.04.2021 г.

Московский государственный университет

Принята к публикации 09.04.2021 г.

им. М.В. Ломоносова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021