ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1458-1463

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.938

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ

С ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫМИ ПРАВЫМИ ЧАСТЯМИ

И ЛОКАЛИЗАЦИЯ АТТРАКТОРОВ

Для автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с дробно-рацио-

нальными правыми частями, для которых неотрицательный ортант положительно инва-

риантен, найдены достаточные условия существования нетривиальных локализирующих

множеств, соответствующих координатным функциям. Установлены условия существова-

ния у таких систем аттрактора и исследовано его положение. Для систем, представляющих

собой модели популяционной динамики, указана связь полученных результатов с услови-

ями вымирания или выживания популяций.

DOI: 10.31857/S0374064121110030

Введение. Через Rn+,0 обозначим неотрицательный ортант пространства Rⁿ, т.е. ортант,

образованный точками с неотрицательными координатами: Rn+,0 = {x = (x₁, . . . , x_n)^т : x_i ≥ 0,

i = 1,n}. Рассмотрим в Rⁿ автономную систему обыкновенных дифференциальных уравне-

ний

x = f(x), x = (x₁,...,x_n)^т ∈ Rⁿ, f(x) = (f₁(x),...,f_n(x))^т.

(1)

Далее считаем, что каждая функция f_i(x), i = 1, n, является дробно-рациональной, причём

такой, что она представима в виде отношения двух многочленов со знаменателем, не имеющим

нулей в Rn+,0. Раскладывая в этом представлении функции f_i(x) числитель по степеням x_i,

получаем, что

∑

f_i(x) = xmi pⁱ(x)i,

p_i(x) =

p_ij(x_i)x^ji, i = 1,n,

(2)

q_i(x)

j=0

где m_i - целое неотрицательное число, q_i(x) - многочлен, принимающий положительные зна-

чения при x ∈ Rn+,0, а p_i(x) - многочлен n_i-й степени по переменной x_i, коэффициенты кото-

рого p_ij(x_i), j = 0, n_i, являются многочленами переменной x_i = (x₁, . . . , xi-1, xi+1, . . . , x_n)^т и

свободный член pi0(x_i) ненулевой. Введём удобное в дальнейшем обозначение для отношения

k-го и m-го коэффициентов многочлена p_i(x) : именно, положим P^ikm(x_i) ≡ p_ik(x_i)/p_im(x_i),

0≤k,m≤n_i.

Будем предполагать, что для системы (1) множество Rn+,0 положительно инвариантно.

Для функций (2) это приводит к условию

⋂

f_i(x)|_{x

≥ 0.

(3)

i=0} R⁺

Поэтому в (2) для каждого значения i выполняется одно из двух условий: либо m_i > 0, либо

pi0(x_i) ≥ 0 при

x_i ≥ 0, если m_i = 0.

К виду (1), (2) преобразуются математические модели роста раковой опухоли с учётом

реакции иммунной системы [1, 2], развития рака поджелудочной железы [3, 4], динамики эко-

логических систем [5], взаимодействия иммунной системы и раковых клеток [6-8], развития

связанного со спидом рака [9], роста меланомы [10] и многие другие модели популяционной

динамики.

В данной работе получены достаточные условия существования локализирующих мно-

⋂_n

жеств вида

{0 ≤ x_i ≤ a_i} для инвариантных компактов и аттрактора системы (1)-(3).

i=1

1458

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ

1459

1. Обозначения и определения. Все компактные инвариантные множества системы

x = F(x), x ∈ Rⁿ, F ∈ C¹(Rⁿ,Rⁿ),

(4)

содержащиеся в подмножестве Q ⊂ Rⁿ, лежат в локализирующем множестве Ω(φ, Q) [11],

соответствующем функции φ ∈ C¹(Rⁿ) (локализирующей функции) и множеству Q ⊂ Rⁿ и

определяемом равенством

Ω(φ, Q) = {x ∈ Q : φ_inf (Q) ≤ φ(x) ≤ φ_sup(Q)},

(5)

здесь

φ_inf(Q) = inf{φ(x) : x ∈ S(φ)

^⋂Q}, φ_sup(Q) = sup{φ(x) : x ∈ S(φ)^⋂ Q},

а S(φ) = {x ∈ Rⁿ : L_Fφ(x) = 0} - универсальное сечение функции φ, L_Fφ - производная Ли

от функции φ(x) по направлению векторного поля системы (4). Очевидно, что производная

L_F φ не имеет нулей в Q \ Ω(φ,Q).

Локализирующие множества системы (4), построенные по множеству Q и функции φ(x),

имеют следующие свойства [12-14].

Утверждение 1. Если множество Q компактно и положительно инвариантно, то и

локализирующее множество (5) компактно и положительно инвариантно.

Утверждение 2. Пусть множество Q положительно инвариантно и выполнены нера-

венства L_F φ > 0 в Q

^⋂ {x ∈ Rⁿ : φ(x) < φ_inf (Q)} и L_F φ < 0 в Q^⋂ {x ∈ Rⁿ : φ(x) > φ_sup(Q)}.

Тогда любое расширение

Ω(φ, Q, ε_-, ε₊) = {x ∈ Q : φ_inf (Q) - ε_- ≤ φ(x) ≤ φ_sup(Q) + ε₊}, ε_-, ε₊ > 0,

(6)

локализирующего множества (5) положительно инвариантно.

Утверждение 3. Пусть выполняются следующие условия: множество Q положитель-

но инвариантно; начинающиеся в Q траектории системы определены на неограниченном

вправо временном интервале; для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что L_F φ(x) < -δ

при x ∈ Q

^⋂ {x ∈ Rⁿ : φ_sup(Q) + ε₊ ≤ φ(x) ≤ φ_sup(Q) + ε₊ + ε}; для любого ε > 0 существует

δ > 0 такое, что L_Fφ(x) > δ при x ∈ Q

^⋂ {x ∈ Rⁿ : φ_inf (Q) - ε_- - ε ≤ φ(x) ≤ φ_sup(Q) - ε_-}.

Тогда начинающиеся в Q \ Ω(φ, Q, ε_-, ε₊) траектории системы (4) попадают в множество

Ω(φ, Q, ε_-, ε₊) (см. определение (6)) за конечное время.

Последовательности h_i ∈ C¹(Rⁿ), i ∈ N, локализирующих функций соответствуют итера-

ционные последовательности локализирующих множеств вида (5)

K₀ = Q, K₁ = Ω(h₁,K₀), ... , K_i = Ω(h_i,Ki-1), ...

(7)

и расширенных локализирующих множеств

K′0 = Q, K′1 = Ω(h₁,K′0,ε1-,ε₁₊), ... , K^′i = Ω(h_i,K′i-1,ε_i-,εi+), ...

(8)

Множества (7), (8) содержат все компактные инвариантные множества, лежащие в множе-

стве Q, и множества (8) положительно инвариантны, если положительно инвариантно мно-

жество Q.

2. Предварительные результаты. Обозначим через S(φ,Q) пересечение S(φ)

^⋂ Q, на-

зываемое универсальным сечением функции φ, соответствующим множеству Q.

Рассмотрим i-е уравнение системы (1)-(3).

Теорема 1. Пусть Q ⊂ Rn+,0 и старший коэффициент pini (x_i) многочлена p_i(x) не

имеет нулей в Q. Тогда справедливы следующие утверждения.

1. Если n_i = 0, m_i = 0 или n_i = 0, m_i > 0 и {x_i = 0}

^⋂Q = ∅, то система не имеет

инвариантных компактов, содержащихся в Q.

2. Если n_i = 0, m_i > 0 и {x_i = 0}

^⋂Q = ∅, то все инвариантные компакты, принадле-

жащие множеству Q, содержатся в множестве {x_i = 0}

^⋂ Q.

3. Если n_i > 0 и A_i < +∞, где

A_i = sup max

|P^ijn

(x_i)|,

(9)

x∈Q j=0,ni-1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

2^∗

1460

КРИЩЕНКО, СТАРКОВ

то все инвариантные компакты, принадлежащие множеству Q, содержатся в множестве

{x ∈ Rⁿ : 0 ≤ x_i ≤ A_i + 1}

^⋂ Q.

(10)

Доказательство. Локализирующей функции h = x_i и множеству Q соответствует уни-

версальное сечение

{

∑

S(h, Q) = x ∈ Rⁿ : xmi

p_ij(x_i)x^ji = 0}⋂Q.

j=0

Если S(h, Q) = ∅, то система не имеет инвариантных компактов, содержащихся в Q.

Именно этот случай реализуется при выполнении условий утверждения 1 теоремы.

В условиях утверждения 2 получаем, что S(h, Q) = {x_i = 0}

^⋂Q = ∅, h_inf(Q) = h_sup(Q) =

= 0 и все инвариантные компакты из Q содержатся в множестве Ω(h,Q), совпадающем с

множеством S(h, Q).

Пусть выполнены условия утверждения 3 теоремы и m_i > 0. Тогда S(h, Q) = ({x_i =

= 0}

^⋃{∑nij=0 pij(xi)xⁱ = 0})^⋂ Q = ∅. Поэтому hinf (Q) ≥ 0, а hsup(Q) ≤ max{0, sup Pi}, где

∑ni

P_i = {x_i :

p_ij(x_i)x^ji = 0, x ∈ Q}. Множество P_i содержится в множестве неотрицатель-

j=0

ных корней многочлена

∑

p_ij(x_i)

x^ji + xnii

)

pini(x_i

j=0

относительно переменной x_i, а значит, sup P_i ≤ A_i + 1. Следовательно, справедливо вклю-

чение Ω(h, Q) ⊂ {0 ≤ x_i ≤ A_i + 1}

^⋂ Q, которое выполнено и в случаях m_i = 0, n_i > 0 и

пустого множества S(h, Q). Теорема доказана.

Следствие. Если при Q = Rn+,0 для каждого i = 1, n выполнено утверждение 2 или 3

теоремы 1, то все инвариантные компакты системы содержатся в параллелотопе

⋂i=n

i=1

{0 ≤ x_i ≤ s_i},

где s_i = A_i + 1 или s_i = 0.

Уточним утверждение 3 теоремы 1 при n_i = 1, 2, Q = Rn+,0 и отсутствии нулей в Rn-1+,0 у

старшего коэффициента pini (x_i) многочлена p_i(x). В случае m_i = 0 согласно условию (3) в

Rn-1+,0 выполнено неравенство pi0(x_i) ≥ 0. Фиксируем локализирующую функцию h = x_i.

Рассмотрим случай m_i = 0, n_i = 1.

Если pi1(x_i) > 0 в Rn-1+,0, то для функции h = x_i универсальное сечение S(h, Rn+,0) сов-

падает с множеством {x_i = 0}

^⋂ {pi0(x_i) = 0}⋂ Rn+,0 и оказывается, что все инвариантные

компакты содержатся в этом же множестве.

Если pi1(x_i) < 0 в Rn-1+,0, то универсальное сечение S(h, Rn+,0) имеет вид

{x ∈ Rn+,0 : x_i = ψ_i(x_i)}, ψ_i(x_i) = -Pi01(x_i) ≥ 0

и поэтому

h_inf(Rn+,0) = inf

ψ_i(x_i), h_sup(Rn+,0) = sup

ψ_i(x_i).

Rn-1+,0

Rn-1

+,0

Следовательно, все инвариантные компакты содержатся в локализирующем множестве

{

Ω(h, Rn+,0) = x ∈ Rⁿ : inf

ψ_i(x_i) ≤ x_i ≤ sup

ψ_i(x_i)}⋂Rn+,0.

(11)

Rn-1+,0

Rn-1

+,0

Рассмотрим случай m_i > 0, n_i = 1. Универсальное сечение S(h, Rn+,0) совпадает с мно-

жеством {x_i = 0}

⋂Rn+,0 ⋃H, где H = {x ∈ Rⁿ : pi0(x_i) + pi1(x_i)x_i = 0}⋂Rn+,0. Несложно

заметить, что в этом случае

h_inf(Rn+,0) = 0, h_sup(Rn+,0) ≥ 0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ

1461

и, более того, h_sup(Rn+,0) = max{0, sup

ψ_i(x_i)}. Следовательно, все инвариантные компакты

Rn-1

+,0

содержатся в локализирующем множестве

{

}}⋂

Ω(h, Rn+,0) = x ∈ Rⁿ : 0 ≤ x_i ≤ max

0, sup

ψ_i(x_i)

Rn+,0.

(12)

Rn-1

+,0

В случае m_i = 0, n_i = 2 универсальное сечение функции h имеет вид

S(h, Rn+,0) = {x ∈ Rⁿ : p_i(x) = pi0(x_i) + pi1(x_i)x_i + pi2(x_i)x2i = 0}

⋂Rn+,0.

Если pi2(x_i) > 0 в Rn-1+,0, то в Rn+,0 выполняется неравенство

p_i(x) ≥ x_i(pi1(x_i) + pi2(x_i)x_i) > 0

для x_i > max{0, -Pi12(x_i)}. Поэтому при

sup

-Pi12(x_i) < 0

Rn-1

+,0

находим, что S(h, Rn+,0) = {x ∈ Rⁿ : pi0(x_i) = 0; x_i = 0}

⋂Rn+,0 и, если S(h,Rn+,0) = ∅, то

имеет место равенство h_sup(Rn+,0) = 0, а при

sup

-Pi12(x_i) ≥ 0

Rn-1

+,0

выполнено неравенство

h_sup(Rn+,0) ≤ sup

-Pi12(x_i).

Rn-1

+,0

Следовательно, все инвариантные компакты содержатся в множестве

{

}}⋂

x ∈ Rⁿ : 0 ≤ x_i ≤ max sup

-Pi12(x_i),0

Rn+,0.

(13)

Rn-1

+,0

Если pi2(x_i) < 0 в Rn-1+,0, то в {x_i ≥ 1}

⋂Rn+,0 справедливо неравенство

p_i(x) ≤ x_i(pi0(x_i) + pi1(x_i) + pi2(x_i)x_i) < 0

для x_i > max{1, -Pi02(x_i) - Pi12(x_i)}. Поэтому

h_sup(Rn+,0) ≤ sup

max{1, -Pi02(x_i) - Pi12(x_i)}

Rn-1

+,0

и все инвариантные компакты содержатся в множестве

{

}}⋂

0 ≤ x_i ≤ max

1, sup

(-Pi02(x_i) - Pi12(x_i))

Rn+,0.

(14)

Rn-1

+,0

3. Существование ограниченного локализирующего множества. Для существова-

ния ограниченного локализирующего множества в виде параллелотопа

⋂_n

{0 ≤ a_i ≤ x_i ≤ b_i}, a_i, b_i ∈ R,

(15)

i=1

достаточно выполнения условий следствия. Эти условия содержат требование конечности точ-

ных верхних граней вида (9) при Q = Rn+,0. Аналогичное требование конечности точных

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1462

КРИЩЕНКО, СТАРКОВ

верхних граней должно выполняться и в случае использования для некоторых значений i ло-

кализирующих множеств (11)-(14) вместо (10). Построение итерационной последовательности

локализирующих множеств с использованием координатных локализирующих функций позво-

ляет ослабить это требование. Действительно, при нахождении первого члена K₁ = Ω(h₁, K₀)

итерационной последовательности для системы (1) экстремальные значения координатной ло-

кализирующей функции h₁ находятся на пересечении её универсального сечения с исходным

множеством K₀ = Q, которое для системы (1) равно Rn+,0. В результате K₁ = Ω(h₁, K₀) =

= {x ∈ Rⁿ : 0 ≤ h_1inf (Rn+,0) ≤ h₁(x) ≤ h_1sup(Rn+,0)}

⋂Rn+,0, и пусть функция h₁ такая,

что h_1sup(Rn+,0) ∈ R, т.е. для первой функции h₁ выполняется требование конечности вели-

чины h_1sup(Rn+,0). При нахождении k-го члена этой последовательности K_k = Ω(h_k, Kk-1),

k > 1, экстремальные значения локализирующей функции h_k находятся на пересечении её

универсального сечения с предыдущим локализирующим множеством Kk-1 = Ω(hk-1, Kk-2).

Поэтому достаточно выполнения более слабого условия hksup(Kk-1) ∈ R. Пусть при каждом

k = 2,n координатная функция h_k такая, что все функции h₁, ..., h_k попарно различны и

hksup(Kk-1) ∈ R. Тогда приходим к следующему утверждению.

Теорема 2. Пусть для системы (1) существует такой упорядоченный набор из n по-

парно различных координатных локализирующих функций

h₁ = xi1 , ... , h_n = xin,

(16)

что все экстремальные значения hisup(Ki-1), i = 1, n, конечны, где K₀ = Rn+,0, K_i =

= Ω(h_i,Ki-1), i = 1,n - 1. Тогда все инвариантные компакты системы, содержащиеся в

K₀, лежат в ограниченном множестве K_n = Ω(h_n,Kn-1).

В качестве примера укажем систему, рассмотренную в работе [15]. Она преобразуется к

системе четвёртого порядка вида (1)-(3), где все n_i = 1, m₂ = 1, а остальные m_i = 0. Для

этой системы условия теоремы 2 выполнены при h₁ = x₂, h₂ = x₄, h₃ = x₁ и h₄ = x₃.

4. Существование аттрактора. Теорема 2 утверждает существование ограниченного

локализирующего множества для всех инвариантных компактов системы, которое имеет вид

(15), но для существования в системе аттрактора необходимо ещё свойство ограниченности

положительных полутраекторий системы. Установить это свойство можно с помощью провер-

ки выполнения условий утверждения 3. Для этого локализирующим функциям (16) поставим

в соответствие расширенные локализирующие множества вида (8), полагая

K′0 = Rn+,0, K^′k = Ω(h_i

,K′k-1,0,ε_k), ε_k > 0, k = 1,n.

Приходим к следующему следствию теоремы 2 и утверждения 3.

Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия: начинающиеся в Rn+,0 траектории сис-

темы (1)-(3) определены на неограниченном вправо временном интервале; существует такой

упорядоченный набор из n попарно различных координатных локализирующих функций (16)

и такие достаточно малые положительные ε_k, k = 1,n, что все экстремальные значения

hksup(K′k-1), k = 1,n, конечны и для любого k = 1,n и любого ε > 0 существует такое

δ > 0, чтоhk(x) < -δ < 0 при x ∈ K′k-1 ⋂{x ∈ Rⁿ : hksup(K′k-1)+ε_k ≤ h_k(x) ≤ hksup(K′k-1)+

+ ε_k + ε}. Тогда все траектории системы попадают в ограниченное положительно инвари-

антное множество Ω(h_n, K′n-1, 0, ε_n) за конечное время и не выходят из него.

5. Вымирание и выживание популяций. Важное значение для приложений [1-9] име-

ют условия на параметры системы, при которых происходит вымирание популяций или со-

хранение их численности (объёма) большим некоторой положительной величины, например,

с некоторого момента времени при всех ненулевых начальных состояниях. Пусть в системе

(1) переменная x_i характеризует объём популяции и решение x(t) = x(t, x₀) соответствует

начальному условию x₀ = x(0, x₀). Тогда вымирание популяции означает выполнение условия

lim

x_i(t) = 0 для всех начальных условий с x_i(0) > 0, а выживание популяции - существо-

t→+∞

вание постоянной c > 0, для которой lim x_i(t) > c при всех начальных условий с x_i(0) > 0.

t→+∞

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ

1463

Условие вымирания обычно находится с помощью доказательства асимптотической устойчи-

вости в целом положения равновесия, принадлежащего множеству {x_i = 0}, или с помощью

принципа инвариантности Ла-Салля. В последнем случае используется неположительность

производной функции V (x), например, V (x) = x_i, в положительно инвариантном множе-

стве D, в которое все траектории системы попадают за конечное время. Для доказательства

выживания достаточно установить существование такого c > 0, что любая траектория попа-

дает за конечное время в множество {x_i > c} и не выходит из него. В этом случае также часто

используется положительно инвариантное множество D, в которое все траектории попадают

за конечное время. При выполнении условий теоремы 3 в качестве D можно рассмотреть

множество Ω(h_n, K′n-1, 0, ε_n).

Заключение. Для изложения результатов использованы координатные локализирующие

функции. Установлено, что возникающие локализирующие множества ограничены плоскостя-

ми, параллельными координатным плоскостям, что упрощает интерпретацию этих множеств.

Работа Крищенко А.П. выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фунда-

ментальных исследований (проект 20-07-00296) и Министерства науки и высшего образования

Российской Федерации (проект 0705-2020-0047).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ku-Carrillo R.A., Delgadillo S.E., Chen-Charpentier B.M. A mathematical model for the effect of obesity

on cancer growth and on the immune system response // Appl Math. Model. 2016. V. 40. P. 4908-4920.

2. Khajanchi S. Uniform persistence and global stability for a brain tumor and immune system interaction

// Biophys. Rev. and Lett. 2017. V. 12. № 4. P. 187-208.

3. Louzoun Y., Xue C., Lesinski G.B, Friedman A. A mathematical model for pancreatic cancer growth

and treatments // J. Theor. Biol. 2014. V. 351. P. 74-82.

4. Hu X., Ke G., Jang S. R.-J. Modeling pancreatic cancer dynamics with immunotherapy // Bull. Math.

Biol. 2019. V. 81. P. 1885-1915.

5. Hastings A. Transient dynamics and persistence of ecological systems // Ecology Lett. 2001. V. 4. P. 215-

220.

6. Kirschner D., Panetta J.C. Modeling immunotherapy of the tumor-immune interaction // J. Math. Biol.

1998. V. 37. P. 235-252.

7. De Pillis L.G., Radunskaya A. The dynamics of an optimally controlled tumor model: a case study

// Math. Comp. Model. 2003. V. 37. P. 1221-1244.

8. Starkov K.E., Krishchenko A.P. Ultimate dynamics of the Kirschner-Panetta model: Tumor eradication

and related problems // Phys. Lett. A. 2017. V. 381. P. 3409-3416.

9. Lou J., Ruggeri T., Ma Z. Cycles and chaotic behavior in an AIDS-related cancer dynamic model in vivo

// J. Biol. Systems. 2007. V. 15. P. 149-168.

10. Kronik N., Kogan Y., Schlegel P.G., Wolfl M. Improving T-cell immunotherapy for melanoma through

a mathematically motivated strategy: efficacy in numbers? // J. Immunother. 2012. V. 35. P. 116-124.

11. Крищенко А.П. Локализация инвариантных компактов динамических систем // Дифференц. урав-

нения. 2005. Т. 41. № 12. С. 1597-1604.

12. Крищенко А.П. Поведение траекторий автономных систем // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54.

№ 11. С. 1445-1450.

13. Крищенко А.П. Локализация простой и сложной динамики в нелинейных системах // Дифференц.

уравнения. 2015. Т. 51. № 11. С. 1440-1447.

14. Крищенко А.П. Анализ асимптотической устойчивости автономных систем методом локализации

инвариантных компактов // Докл. РАН. 2016. Т. 469. № 1. С. 17-20.

15. Крищенко А.П., Тверская Е.С. Поведение траекторий систем с неотрицательными переменными

// Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1439-1446.

Московский государственный технический университет

Поступила в редакцию 10.05.2021 г.

им. Н.Э. Баумана,

После доработки 10.05.2021 г.

Федеральный исследовательский центр

Принята к публикации 05.10.2021 г.

“Информатика и управление” РАН, г. Москва,

Центр исследований и разработок

в области цифровых технологий (CITEDI)

Национального политехнического института,

г. Тихуана, Мексика

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021