ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1464-1473

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

УДК 517.926.4

ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНОГО ЭФФЕКТА ПЕРРОНА

ПРИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

ЛИНЕЙНОЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ

С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Пусть

Mⁿ - класс n-мерных линейных систем обыкновенных дифференциальных урав-

нений с непрерывными на временной полуоси R₊ коэффициентами, n ≥ 2, а Λ(A) -

спектр показателей Ляпунова системы A ∈

Mⁿ (Λ(A) ∈ Rⁿ, где R = R⊔{-∞, ∞}).

Для заданных метрического пространства M, функции Θ ∈ C(R₊, R) и каждой системы

A∈

Mⁿ рассматривается класс Qⁿ[Θ, A](M) таких параметрических возмущений Q ∈

∈ C(R₊ × M,R^n×n) матрицы коэффициентов системы A, которые удовлетворяют оценке

sup{∥Q(t, μ)∥ : μ ∈ M} ≤ C_Q exp(-Θ(t)t), t ∈ R₊, C_Q - постоянная (своя для каждой

функции Q), и не уменьшают показатели Ляпунова системы A. Спектр Λ(A + Q) по-

казателей Ляпунова возмущённой системы является функцией M → Rⁿ параметра μ.

Получено полное описание класса пар (Λ(A), Λ(A + Q)), когда A пробегает класс

Mⁿ,

а матричнозначная функция Q при каждом A - класс Qⁿ[Θ, A](M). Показано, в частно-

сти, что классы таких пар совпадают между собой, т.е. не зависят от выбора функции Θ.

DOI: 10.31857/S0374064121110042

Для заданного натурального n ≥ 2 обозначим через

Mⁿ множество линейных диффе-

ренциальных систем

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

(1)

с кусочно-непрерывными коэффициентами, а через Mⁿ - его подмножество, состоящее из сис-

тем с ограниченными на временной полуоси R₊ коэффициентами. Кроме того, через

Mⁿ и

CMⁿ будем обозначать подмножества в

Mⁿ и Mⁿ соответственно, образованные системами

с непрерывными коэффициентами. Далее мы отождествляем систему (1) с матричнозначной

функцией A(·) и пишем A

Mⁿ и т.п.

Напомним, что характеристическим показателем вектор-функции f : P → Rⁿ, заданной

на неограниченном подмножестве P полуоси R₊, называется величина (полагаем ln 0 = -∞)

λ[f] = lim

ln ∥f(t)∥,

P ∋t→+∞ t

а показателями Ляпунова системы A

Mⁿ - величины [1]

λ_i(A) = inf

supλ[x], i = 1,n,

L∈G_i(S(A))_x∈L

где S(A) - векторное пространство решений системы (1), а G_i(S(A)) - множество его i-мер-

ных подпространств. В наших обозначениях показатели Ляпунова нумеруются, в отличие

от [1], в порядке неубывания. Набор Λ(A) ≡ (λ₁(A), . . . , λ_n(A)) называется спектром по-

казателей Ляпунова системы (1).

Так как мы не предполагаем коэффициенты рассматриваемых систем ограниченными на

полуоси R₊, их показатели Ляпунова могут, вообще говоря, принимать несобственные зна-

чения, т.е. являются точками расширенной числовой прямой R ≡ R

^⊔ {-∞, +∞}, которую

1464

ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНОГО ЭФФЕКТА ПЕРРОНА

1465

наделим стандартным порядком и порядковой топологией. Если все показатели Ляпунова сис-

темы (1) конечны (что заведомо имеет место, если A ∈ Mⁿ), то они совпадают с величинами,

определёнными в [2, § 3.1.3; 3, гл. III, § 4].

В работе [4] О. Перрон построил пример системы A ∈ CM² и такой её непрерывной

2 × 2-матрицы-возмущения Q, экспоненциально убывающей к нулю на бесконечности, что

каждый из показателей Ляпунова возмущённой системы A + μQ при всех μ = 0 принимает

одно и то же значение, большее значения соответствующего показателя исходной системы A.

Таким образом, в примере Перрона показатели Ляпунова являются ступенчатыми функциями

параметра.

О. Перроном построен также [5] пример системы A ∈ CM² с отрицательными показателя-

ми Ляпунова и такого её непрерывного возмущения f : R₊ × G → R² (G - окрестность нуля

в R²) высшего порядка малости (т.е. ∥f(t,x)∥/∥x∥ ⇒ 0 при x → 0), что характеристиче-

ский показатель любого имеющего в начальный момент t = 0 ненулевую первую компоненту

решения возмущённой системы

x = A(t)x + f(t, x) больше некоторого положительного чис-

ла, а характеристические показатели остальных решений совпадают со старшим показателем

Ляпунова невозмущённой линейной системы.

Эти примеры Перрона послужили отправной точкой многочисленных исследований вли-

яния различных классов линейных и нелинейных возмущений на показатели Ляпунова сис-

тем из Mⁿ, а результаты, полученные в этом направлении, составляют существенную часть

современной теории показателей Ляпунова. Эффект скачкообразного изменения значений по-

казателей Ляпунова системы из Mⁿ при тех или иных ”малых“ её возмущениях назван в

монографии [6, гл. 4] эффектом Перрона. Позднее, начиная с работы [7], это название - эф-

фект Перрона - стало использоваться только применительно к ситуации (её, формально гово-

ря, и рассмотрел О. Перрон), при которой возмущения не уменьшают показатели Ляпунова

исходной системы (этой терминологии мы и следуем в дальнейшем). В отличие от [6, 7], в ко-

торых эффект Перрона, как в работе [5], рассматривался при возмущениях высшего порядка

малости, мы в соответствии с работой [4] рассматриваем линейные убывающие (в частности,

экспоненциально) к нулю возмущения матриц коэффициентов систем из

Mⁿ и в этом случае

называем, следуя работе [8], эффект Перрона линейным.

Перейдём к более общей ситуации. Пусть M - метрическое пространство. Рассмотрим

семейство линейных дифференциальных систем

x = A(t,μ)x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊,

(2)

зависящих от параметра μ ∈ M, такое, что при каждом μ ∈ M система (2) имеет непре-

рывные коэффициенты. Зафиксировав i = 1, n и поставив каждому μ ∈ M в соответствие

i-й показатель Ляпунова системы (2), получим функцию λ_i(· ; A) : M → R, которая назы-

вается i-м показателем Ляпунова семейства (2). Функция Λ(· ; A) ≡ (λ₁(· ; A), . . . , λ_n(· ; A))

называется спектром показателей Ляпунова того же семейства.

Вопрос о возможном характере зависимости показателей Ляпунова от параметра постав-

лен В.М. Миллионщиковым в работе [9]. В этой же работе установлено, что если отображение

A : R₊ × M → R^n×n непрерывно, то каждый из показателей Ляпунова семейства (2) при-

надлежит классу функций, представимых в виде поточечного предела убывающей последова-

тельности функций первого класса Бэра. В монографии [10, § 37] установлено, что указанный

класс функций допускает и другое описание: это в точности те функции M → R, для которых

прообраз любого луча [r, +∞], r ∈ R, является G_δ -множеством (отметим, что в [10] рассмат-

риваются только R-значные функции; к таким функциям при помощи сохраняющего порядок

гомеоморфизма R → [-1, 1] сводится рассматриваемая нами ситуация R-значных функций,

см. [11]). Следуя [10], будем обозначать этот класс функций (^∗, G_δ).

В работе [12] для каждого метрического пространства M получено полное описание спек-

тров показателей Ляпунова Λ(· ; A), отвечающих семействам (2) с непрерывной функцией

A( · , · ), которая ограничена при каждом μ ∈ M, а в работе [11] аналогичное описание по-

лучено для семейств с произвольной непрерывной функцией A( · , · ), именно, доказано, что

функция F = (f₁, . . . , f_n) : M → (R)ⁿ является спектром показателей Ляпунова некоторого

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1466

РАВЧЕЕВ

семейства (2) с непрерывной функцией A( · , · ) тогда и только тогда, когда её компоненты

удовлетворяют условию f₁ ≤ . . . ≤ f_n и принадлежат классу (^∗, G_δ). Условимся обозначать

класс всех таких функций F через Gⁿ(M).

Для заданной функции Θ : R₊ → R через Qⁿ[Θ](M) обозначим класс непрерывных по

совокупности переменных матричнозначных функций Q( · , · ) : R₊ × M → R^n×n, каждая из

которых для некоторого числа C_Q > 0 удовлетворяет условию

sup ∥Q(t,μ)∥ ≤ C_Qe-Θ(t)t, t ∈ R₊.

μ∈M

В работе [13] для каждых метрического пространства M и i ∈ {1, . . . , n} получено полное

описание класса

{

}

⋃

λ_i(·;A + Q) : A ∈ CMⁿ, Q ∈

Qⁿ[σ](M)

σ∈(0,+∞)

а в работе [14] - класса

{

}

⋃

Λ(· ; A + Q) : A ∈ CMⁿ, Q ∈

Qⁿ[σ](M)

σ∈(0,+∞)

Последний состоит из всех ограниченных функций F ∈ Gⁿ(M). Отметим, что в силу теоремы

Богданова-Гробмана [15, 16] для всякой системы A ∈ Mⁿ существует такое число σ₀ > 0,

что при всех σ > σ₀ и μ ∈ M спектры показателей Ляпунова систем A(·) и A(·) + Q( · , μ),

если Q ∈ Qⁿ[σ](M), совпадают между собой. Для систем с неограниченными коэффициента-

ми это уже не имеет места - в работе [17] построена такая система A ∈ CMⁿ, что для любого

метрического пространства M класс {Λ(· ; A + Q) : Q ∈ Qⁿ[3-1 ln t](M)} совпадает с классом

Gⁿ(M), т.е. на таких - убывающих быстрее всякой экспоненты - параметрических возмущени-

ях реализуется любой возможный для семейства (2) с непрерывными коэффициентами спектр

показателей Ляпунова.

Для каждой системы A

Mⁿ через Qⁿ[Θ,A](M) обозначим подкласс класса Qⁿ[Θ](M),

состоящий из тех возмущений, которые не уменьшают её показателей Ляпунова, т.е. для лю-

бых системы A ∈

Mⁿ и её возмущения Q ∈ Qⁿ[Θ,A](M) при всех i = 1,n и μ ∈ M

выполняется неравенство λ_i(μ; A + Q) ≥ λ_i(A). Очевидно, что для любой системы A

Mⁿ

класс Qⁿ[Θ, A](M) не пуст, поскольку ему принадлежит тождественно нулевая матрица.

Ставится задача полного дескриптивно-множественного описания для каждых n ≥ 2 и

метрического пространства M класса пар (Λ(A), Λ(· ; A+ Q)), составленных из спектра Λ(A)

системы A и функции Λ(· ; A + Q), когда A пробегает множество CMn, а матричнозначная

функция Q при каждом A - класс Qⁿ[Θ, A](M), т.е. класса

Πⁿ[Θ](M) = {(Λ(A),Λ(·;A + Q)) : A ∈

Mⁿ, Q ∈ Qⁿ[Θ,A](M)}.

Другими словами, требуется получить описание линейного эффекта Перрона при параметри-

ческих возмущениях систем с неограниченными коэффициентами. Отметим, что полное описа-

ние линейного эффекта Перрона для систем с ограниченными коэффициентами, т.е. описание

класса пар

{

}

⋃

(Λ(A), Λ(· ; A + Q)) : A ∈ CMⁿ, Q ∈

Qⁿ[σ,A](M)

σ∈(0,+∞)

составленного из спектра исходной системы с ограниченными непрерывными коэффициентами

и спектра возмущённой системы с параметрическим возмущением, экспоненциально убываю-

щим к нулю на бесконечности и не уменьшающим значений показателей Ляпунова исходной

системы, получено в работе [8].

Решение поставленной выше задачи содержит

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНОГО ЭФФЕКТА ПЕРРОНА

1467

Теорема. Пусть n ≥ 2, M - метрическое пространство, а Θ : R₊ → R - непрерывная

функция. Пара (l, F (·)), где l = (l₁, . . . , l_n) ∈ (R)ⁿ и F (·) = (f₁(·), . . . , f_n(·)) : M → (R)ⁿ, тог-

да и только тогда принадлежит классу Πⁿ[Θ](M), когда выполняются следующие условия:

1) l₁ ≤ . . . ≤ l_n, 2) fi(μ) ≥ li для всех μ ∈ M и i = 1, n, 3) функция F (·) принадлежит

классу Gⁿ(M).

Для доказательства теоремы нам потребуются четыре леммы, первые три из которых хо-

рошо известны и легко доказываются (см. [17]), а четвёртая установлена в работе [18, лемма 2].

Лемма 1. Пусть система (1) на полуинтервале [c, d) ⊂ (0, +∞) диагональна и имеет

постоянные коэффициенты. Тогда для каждого i = 1,n и любого решения x(·) этой системы

функция χ^xi : [c, d] → R

^⊔ {-∞}, задаваемая равенством χ^xi(t) = t-1 ln |x_i(t)|, t ∈ [c, d],

монотонна (вообще говоря, нестрого).

Лемма 2. Пусть P ⊂ R₊ - неограниченное множество. Тогда для любой вектор-функции

x(·) = (x₁(·), . . . , x_n(·))^т : P → Rⁿ справедливо равенство λ[x] = max

λ[x_i].

1≤i≤n

Следуя [19, глава IV, § 2], скажем, что системы A, B

Mⁿ слабо ляпуновски эквивалент-

ны, если существуют фундаментальные матрицы X(·) и Y (·) этих систем, удовлетворяющие

условию

sup (∥L(t)∥ + ∥L-1(t)∥) < ∞, где L(t) = Y (t)X-1(t), t ∈ R₊.

(3)

t∈R₊

Нетрудно убедиться, что введённое отношение (слабой ляпуновской эквивалентности) являет-

ся отношением эквивалентности на

Mⁿ. Отметим, что на множестве Mⁿ отношения класси-

ческой ляпуновской эквивалентности [2, § 18.2] и слабой ляпуновской эквивалентности совпа-

дают между собой: если выполнено условие (3) и коэффициенты одной из рассматриваемых

систем ограничены, то дополнительное условие sup{∥L(t)∥ : t ∈ R₊} < ∞ (производная вы-

числяется в тех точках, где она определена) равносильно [2, § 18.2] ограниченности коэффици-

ентов другой системы. Заметим также, что в работе [20] используется другое, не равносильное

нашему, определение слабой ляпуновской эквивалентности.

Лемма 3. Если системы A

Mⁿ и B

Mⁿ слабо ляпуновски эквивалентны, то их

одноимённые показатели Ляпунова одинаковы: λ_i(A) = λ_i(B), i = 1,n.

Лемма 4. Пусть системы A, B

Mⁿ удовлетворяют условию

max{∥A(t)∥, ∥B(t)∥} ≤ f(t), t ∈ R₊,

∫+∞

где f : R₊ → (0, +∞) - непрерывная функция, для которой интеграл

f (s) ds расходится.

Тогда если величина



∫



( ∫t

)



B(s) - A(s)) ds

f (s) ds

t∈R₊,

 (

^e

ограничена, то системы A и B слабо ляпуновски эквивалентны.

Доказательство теоремы. 1. Установим сначала необходимость условий теоремы. Усло-

вия 1), 2) вытекают непосредственно из определений, а условие 3) - из [9, леммы 6-9] (см. так-

же [11, следствие 1]).

2. Для доказательства достаточности воспользуемся подходящей модификацией построе-

ния, предложенного в работе [8]. Без ограничения общности можно считать, что функция Θ

положительна, возрастает и не ограничена сверху (в противном случае заменим её функцией

t → e^t + max |Θ(s)|, t ∈ R₊).

s∈[0,t]

Определим последовательность T^m, m ∈ N₀ ≡ N

^⊔ {0}, j = 0, 6, целых неотрицательных

чисел рекуррентно равенствами T⁰⁰ = 0 и

{

если j = 2, 5,

T0m+1 = T6m, T^jm = Tj-1m +

m∈N₀,

j = 1,6.

2m⁺¹,

если j = 1, 3, 4, 6,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1468

РАВЧЕЕВ

Нетрудно убедиться, что T0m = 4(2m+1 - 2) + 2m, m ∈ N₀.

Пусть функция F (·) = (f₁(·), . . . , f_n(·)) и набор l = (l₁, . . . , l_n) удовлетворяют условиям

1)-3), причём l не имеет конечных отрицательных компонент, т.е. для любого i = 1, n имеем

либо l_i ≥ 0, либо l_i = -∞. В силу [21] (см. также [11, следствие 2]) для каждого i = 1, n

существует последовательность непрерывных функций f^im : M → R, m ∈ N₀, такая, что

справедливо представление

f_i(μ) = lim

f^im(μ), μ ∈ M.

m→∞

Для каждых m ∈ N₀ и i = 1, n положим Θ_m = Θ(T0m+1), l^mi = min{max{l_i, -Θ_m}, Θ_m} и

∑m-1

L^mi =

l^ki(T0k+1 -T0k). Так как Θ_m → +∞ при m → ∞, то, заменяя в случае необходимо-

k=0

сти функцию f^im функцией min{f^im, Θ_m}, можно считать, что f^im(μ) ≤ Θ_m при всех m ∈ N₀,

i = 1,n и μ ∈ M. Определим функцию σ_m : M → R равенством

σ_m(μ) = (Lmθ(m) + 35Θ_m2m+1 - fθ(m)max{q,0}(μ)T3m)/T2m, μ ∈ M,

где q = (m - θ(m))/n, а функция θ : N₀ → {1, . . . , n} задаётся условием θ(m) ≡ m (mod n).

3. Для упрощения дальнейшей записи через Δ^m, m ∈ N₀, j = 1, 6, условимся обозна-

чать полуинтервал [

m ,T^m), через Δm - полуинтервал [T^m,Tm+1), а через

Δ^jm и

Δ_m -

соответствующие отрезки.

Следуя [8], для каждой тройки чисел α = (a, b, c)^т ∈ R³ определим на отрезке

Δ_m мат-

ричнозначную функцию A[α; m] при помощи равенства

⎧

⎪diag [-c, -2c]

при t ∈ Δ1m

^⊔Δ4m,

⎨

O₂

при t ∈ Δ2m

^⊔Δ5m,

A[α; m](t) =

⎪diag [c, 2c]

при t ∈ Δ3m,

⎩

diag [a + c, b + 2c]

при t ∈Δ6m.

Для матрицы Коши XA[α;m]( · , · ) системы

x = A[α;m](t)x, x = (x₁,x₂)^т ∈ R², t ∈ Δm,

непосредственными вычислениями получаем соотношения

XA[α;m](T1m,T0m) = XA[α;m](T2m,T0m) = XA[α;m](T4m,T0m) = XA[α;m](T5m,T0m) = diag[e-cdm ,e-2cdm ],

XA[α;m](T3m,T0m) = E₂, XA[α;m](T6m,T0m) = diag[eadm ,ebdm ],

(4)

где обозначено d_m = 2m+1, а E₂ - единичная 2 × 2-матрица.

Для всякого σ > 0 определим на отрезке

Δ_m матричнозначную функцию Q[σ;m] при

помощи равенства

⎧(

)

⎨

при t ∈ Δ^m, j ∈ {2, 5},

Q[σ; m](t) =

(-1)^j e-σTm

⎩

O₂

при остальных t ∈Δm,

где O₂ - нулевая 2 × 2-матрица. Положим C[α, σ; m] = A[α; m] + Q[σ; m]. Тогда для матрицы

Коши XC[α,σ;m]( · , · ) системы

x = C[α,σ;m](t)x, x = (x₁,x₂)^т ∈ R², t ∈ Δm,

непосредственными вычислениями получаем соотношения

XC[α,σ;m](T1m,T0m) = XC[α,σ;m](T5m,T0m) = diag[e-cdm ,e-2cdm ],

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНОГО ЭФФЕКТА ПЕРРОНА

1469

(

)

ecdm

XC[α,σ;m](T2m,T0m) = XC[α,σ;m](T4m,T0m) =

e-σTm-cdm e-2cdm

(

)

XC[α,σ;m](T3m,T0m) =

XC[α,σ;m](T6m,T0m) = diag[eadm ,ebdm ].

(5)

ecdm-σTm

4. Построим кусочно-постоянную матричнозначную функцию

A(·)

∈

Mⁿ и семейство

кусочно-постоянных матричнозначных функций^Q( · , μ), μ ∈ M, со следующими свойствами:

1) функция

^Q(·,·) принадлежит классу Qⁿ[Θ](M); 2) все точки разрыва функций

A(·) и

^Q(·,μ), μ ∈ M, содержатся в множестве {T^m : m ∈ N₀, j = 1,6}; 3) спектр Λ

A) показате-

лей Ляпунова системы

A совпадает с набором l; 4) спектр Λ(·

A+^Q) показателей Ляпунова

семейства

A + ^Q совпадает с функцией F(·).

4.1. Для каждого m ∈ N₀ определим на полуинтервале Δ_m систему

A(·) равенствами

x_j = l^mjx_j, если j ∈ {θ(m),θ(m + 1)},

(6)

y = A[((4 + 2^-m)lmθ(m),(4 + 2^-m)lmθ(m+1),35Θ_m)^т;m](t)y,

(7)

а систему

^Q(·,μ) при всяком μ ∈ M - равенствами

x_j = 0, если j ∈ {θ(m),θ(m + 1)},

(8)

y = Q[σ_m(μ);m](t)y.

(9)

⊔

В равенствах (7) и (9) обозначено y = (xθ(m), xθ(m+1))^T. Так какm∈N0 Δ_m = R₊, то системы

A(·) и

^Q(·,μ), μ ∈ M, заданы на всей временной полуоси.

Для доказательства свойства 1) заметим, что при всех m ∈ N₀ и μ ∈ M справедливы

неравенства 4T2m > T0m+1 и σ_m(μ) > 4Θ_m. Поэтому если t ∈Δm для некоторого m ∈ N₀, то

∥Q(t, μ)∥ ≤ e-σm(μ)Tm ≤ e-σm(μ)tTm /Tm+1 ≤ e-σm(μ)t/4 ≤ e-Θmt ≤ e-Θ(t)t, μ ∈ M.

Свойство 2) выполнено по построению.

4.2. Зафиксируем μ ∈ M и вычислим показатели Ляпунова системы

C(· , μ) ≡

A(·) +

+ Q(·,μ). С этой целью для каждого i = 1,n найдём характеристический показатель решения

xⁱ(·) этой системы, задаваемого начальным условием xⁱ(0) = eⁱ, где eⁱ - i-й единичный вектор

пространства Rⁿ. Если j ∈ {1, . . . , n} не совпадает ни с одним из чисел i и θ(i + 1), то из

задания систем (6)-(9) вытекает, что j-я координата решения xⁱ(·) тождественно равна нулю.

Таким образом, имеем ∥xⁱ(t)∥ = ∥zⁱ(t)∥ ≡ ∥(xⁱⁱ(t), xiθ(i+1)(t))^T∥ при всех t ∈ R₊ и, стало быть,

справедливо равенство λ[xⁱ] = λ[zⁱ].

Зададим функции χ^ik : (0, +∞) → R

^⊔ {-∞}, k = 1, 2, равенством χ^ik(t) = t-1 ln |z^ik(t)|,

t > 0. Заметим, что если i = θ(m), то функция zi2(·) тождественно равна нулю на каждом

Δ2

Δ5

из отрезков

, а функция χi1(·) монотонна на них по лемме 1, поскольку функция

zi1(·) удовлетворяет на соответствующих полуинтервалах автономному уравнению. Если же

i = θ(m), то на каждом из промежутков Δ2m и Δ5m вектор-функция zi(·) удовлетворяет

системе (9), отсюда, учитывая, что ∥Q[σ_m(μ); m](t)∥ ≤ 1, t ∈Δm, получаем двустороннюю

оценку

∥zⁱ(Tj-1m)∥ exp(-(t - Tj-1m)) ≤ ∥zⁱ(t)∥ ≤ ∥zⁱ(Tj-1m)∥ exp(t - Tj-1m), t ∈Δjm, j = 2, 5.

Принимая во внимание, что каждый из отрезков

Δ^jm, j = 2,5, имеет длину 1, приходим к

выводу, что при вычислении характеристического показателя λ[zⁱ] вместо отрезков

Δ^jm, j =

= 2, 5, m ∈ N₀, достаточно рассмотреть только их левые концы. Таким образом, справедливо_⋃

равенство λ[zⁱ] = λ[zⁱ|_T], где T =m∈N0 (Δ1m ⋃ Δ3m ⋃ Δ4m ⋃ Δ6m).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1470

РАВЧЕЕВ

Систем

C(· , μ) является диагональной и имеет постоянные коэффициенты на каждом из

промежутков Δ^m, j = 1, 3, 4, 6, m ∈ N₀, значит, по лемме 1 функции χ^ik, k = 1, 2, монотонны

на соответствующих отрезках. Следовательно, при вычислении их верхних пределов при t →

→ +∞ по множеству T, т.е. показателей λ[z^ik|_T], k = 1,2, достаточно ограничиться концами

этих отрезков. Если i ∈ {θ(m), θ(m+1)}, то функция zi1(·) на промежутке Δ_m удовлетворяет

уравнению (6), поэтому по лемме 1 функция χi1(·) монотонна на отрезке

Δ_m, а функция

χi2(·) в силу (6)-(9) тождественно равна -∞ на том же отрезке. Из сказанного выше следует,

что при вычислении показателей λ[z^ik|_T], k = 1, 2, достаточно рассмотреть множество

^T,

состоящее из точек T^m, j = 0, 1, 3, 4, для тех m ∈ N₀, для которых одно из чисел m - i или

m-i+1 кратно n, и точек T0m для всех остальных значений m. Подытоживая предыдущие

рассуждения и применяя лемму 2, получаем

λ[zⁱ] = λ[zⁱ|_T] = max{λ[zi1|_T], λ[zi2|_T]} = max{λ[zi1|_̃], λ[zi2|̃]}.

Из последнего равенства в (5) и задания систем (6)-(9) вытекает, что для i-й компоненты

любого решения x(·) рассматриваемой системы при всех m ∈ N₀ выполнено соотношение

x_i(T0m+1) = x_i(T0m)exp(l^mi(T0m+1 - T0m)), из которого следует, что

x_i(T0m) = exp(L^mi)x_i(0), m ∈ N₀.

(10)

В частности,

zⁱ(T0m) = exp(L^mi)(1,0)^T, m ∈ N₀.

(11)

Следовательно,

lim

(1/T0m) ln ∥zⁱ(T0m)∥ = lim

L^mi/T0m = l_i.

m→∞

Положим m^iq = qn + i, q ∈ N₀, i = 1, n. Из равенств (5), (11) и оценки L^mi ≤ Θ_mT0m

вытекают соотношения

lim

(1/T1mi

) ln ∥zⁱ(T1mi)∥ = lim

= -∞,

q→∞

(Lmqi - 35Θmiq 2mq +1)/T^m

m^iq

lim

(1/T4mi

) ln |zi2(T4mi)| ≤ lim

(1/T4mi

) ln |zi1(T4mi)| = lim

- 35Θ_mi

2m^q +1)/T⁴

= -∞,

q→∞

m^iq

lim

(1/T3mi

) ln |zi2(T3mi)| = lim

+ 35Θ_mi

2m^q +1 - σ_mi

(μ)T2mi)/T3mi

= lim

f^iq(μ) = f_i(μ),

q→∞

lim

(1/T3mi

) ln |zi1(T3mi

)| = lim

Lmqi/T^miq ≤ li,

q→∞

m^iq-1

lim

(1/T1mi

) ln ∥zⁱ(T1mi

)∥ = lim

- 35Θ_mi

2m^q +1)/T1mi

= -∞,

q→∞

q-1

q→∞

q-1

lim

(1/T4mi

) ln ∥zⁱ(T4mi

)∥ = lim

(Lmq -1i - 35Θ_mi

2m^q +1)/T4mi

= -∞,

-1

q→∞

m^iq-1

lim

(1/T3mi

) ln ∥zⁱ(T3mi

)∥ = lim

/T3mi

≤l_i.

q→∞

q-1

q→∞

q-1

В силу приведённых выше соотношений и неравенства f_i(μ) ≥ l_i получаем, что λ[zⁱ] = f_i(μ).

Таким образом, λ[xⁱ] = f_i(μ).

4.3. Для каждого i = 1, n положим S_i = {T³

: q ∈ N0}. В силу п. 4.2 справедливы

m^iq

равенства

λ[xⁱ] = λ[xⁱ|Si ] = f_i(μ), λ[x^k|Si ] ≤ l_k, k = 1, n, k = i.

Рассуждая так же, как в доказательстве теоремы работы [8], устанавливаем нормальность [22]

базиса x¹(·), . . . , xⁿ(·) решений системы

C(·,μ). Таким образом, λ[xⁱ], i = 1,n, - показатели

Ляпунова системы

C(·,μ). Сучётом п.4.2 имеем равенство Λ(μ

C) = F(μ).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНОГО ЭФФЕКТА ПЕРРОНА

1471

4.4. Вычислим теперь показатели Ляпунова невозмущённой системы

A. Для каждого i =

= 1, n обозначим через xⁱ(·) решение этой системы, выходящее в момент времени t = 0 из

вектора eⁱ. Так как система

A является диагональной, то все компоненты решения xⁱ(·),

кроме i-й, тождественно равны нулю. Таким образом, ∥xi(t)∥ = |xii(t)| при всех t ∈ R+.

Зададим функцию χⁱ : (0, +∞) → R

^⊔ {-∞} равенством χⁱ(t) = t-1 ln ∥xⁱ(t)∥, t > 0. Система

A имеет постоянные коэффициенты на каждом из промежутков Δ^m, j = 1, 6, m ∈ N₀,

поэтому по лемме 1 функция χⁱ монотонна на соответствующих отрезках. Следовательно,

при вычислении её верхнего предела при t → +∞, т.е. показателя λ[xⁱ], можно ограничиться

концами указанных промежутков. Так как функция xⁱ(·) постоянна на каждом из отрезков

Δ^jm, j = 2,5, m ∈ N₀, и lim

T2m/T1m = lim

T5m/T4m = 1, то достаточно рассмотреть только

m→∞

левые их концы. Более того, если i ∈ {θ(m), θ(m + 1)}, то функция xⁱⁱ(·) на промежутке Δ_m

удовлетворяет автономному уравнению (6), поэтому функция χⁱ(·) монотонна на отрезкеΔm.

Из сказанного следует, что λ[xⁱ] = λ[xⁱ|_̃], где множество

T описано в п. 4.2.

Из последнего равенства в (4) и задания системы (6), (7) вытекает, что для i-й компоненты

любого решения x(·) рассматриваемой системы при всех m ∈ N₀ выполнено равенство (10).

Из равенств (4), (10) и оценки L^mi ≤ Θ_mT0m вытекают соотношения

m^iq

lim

χⁱ(T^j

) = lim

- 35Θ_mi

2m^q +1)/T^j

= -∞, j = 1,4,

m^iq

q→∞

lim

χⁱ(T^j

) = lim

(Lmq -1i - 35Θ_mi

-1

2m^q +1)/T^j

= -∞, j = 1,4,

q→∞

m^iq-1

q→∞

m^iq-1

m^iq

m^iq-1

lim

χⁱ(T3mi

) = lim

/T3mi

≤l_i,

lim

χⁱ(T3mi

) = lim

/T3mi

≤l_i,

q→∞

q-1

q→∞

q-1

где обозначено m^iq = qn + i, q ∈ N₀, i = 1, n. Следовательно, λ[xⁱ] = λ[xⁱ|̃T] = l_i. Так

как система

A диагональна, то базис x¹(·), . . . , xⁿ(·) является нормальным. Таким образом,

спектр показателей Ляпунова системы

A совпадает с набором l.

5. Построим теперь непрерывную матричнозначную функцию A(·) и семейство непрерыв-

ных матричнозначных функций Q( · , μ), μ ∈ M, такие, что спектры показателей Ляпунова

систем

A и A, а также спектры показателей Ляпунова семейств

A + ^Q и A + Q совпадают

между собой и выполнены неравенства

∥A(t)∥ ≤

A(t)∥,

∥Q(t, μ)∥ ≤ ∥Q(t, μ)∥, t ∈ R₊, μ ∈ M.

Выберем непрерывную возрастающую функцию f : R₊ → R₊ так, чтобы при всех t ∈ R₊

выполнялось неравенство

A(t)∥ + 1 ≤ f(t). Тогда

C(t, μ)∥ ≤ f(t) для всех t ∈ R₊ и μ ∈ M,

поскольку ∥Q(t, μ)∥ ≤ 1. Положим

∫t

T6m+j = T^jm, m ∈ N₀, j = 1,6, F(t) = 3 f(s)ds, t ∈ R₊,

δ_k = 2^-k exp(-F(Tk+1))/f(Tk+1), k ∈ N.

Далее, выберем непрерывную (например, кусочно-линейную) функцию s : R₊ → [0, 1], ко-

торая тождественно равна нулю в окрестности каждой из точек T_k и тождественно равна

единице на каждом из отрезков [T_k + δ_k, Tk+1 - δk+1], k ∈ N.

Положим A(t) = s(t

A(t), Q(t, μ) = s(t)^Q(t, μ), C(t, μ) = s(t

C(t, μ), t ∈ R₊, μ ∈ M.

Так как матричнозначная функция

A(·) постоянна на каждом интервале (T_k, Tk+1), k ∈ N,

то матричнозначная функция A(·) непрерывна. Покажем, что матричнозначная функция

Q(·,·) непрерывна. Пусть заданы t₀ ∈ R₊ и μ₀ ∈ M. Если t₀ совпадает с одной из то-

чек T_k, k ∈ N, или лежит внутри одного из промежутков Δ^m, m ∈ N₀, j = 1, 3, 4, 6, то

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1472

РАВЧЕЕВ

по построению найдётся такая окрестность U точки t₀, что Q(t, μ) - нулевая матрица при

всех t ∈ U и μ ∈ M. Если t₀ лежит внутри одного из промежутков Δ^m, m ∈ N₀, j =

= 2, 5, то Q( · , · ) непрерывна в точке (t₀, μ₀) как произведение постоянной по t в некоторой

окрестности точки t₀ и непрерывной по μ матричнозначной функции

^Q(·,·) и непрерывной

функции s(·).

Пусть для некоторых k^′, k^′′ ∈ N выполнены включения t^′ ∈ [T_k′ , T_k′₊₁) и t^′′ ∈ [T_k′′ , T_k′′₊₁).

Тогда справедлива цепочка неравенств

∫

t′′

∫

∑

∥s(τ

C(τ, μ)

C(τ, μ)∥ dτ ≤

f (τ) dτ ≤

2δ_kf(Tk+1) ≤

k=k^′

t′

T_k-δ_k

∑

≤2

2-k exp(-F (Tk+1)) ≤ 2 exp(-F (t^′)),

k=k^′

∫+∞

из которой следует, что интеграл I(t, μ) =

∥C(τ, μ)

C(τ, μ)∥ dτ при всех μ ∈ M и t ∈

∈ R₊ сходится и удовлетворяет оценке I(t,μ)expF(t) ≤ 2. В силу леммы 4 системы C(·,μ)

C(· , μ) слабо ляпуновски эквивалентны при каждом μ ∈ M. Применяя лемму 3, заключа-

ем, что спектры показателей Ляпунова этих систем совпадают между собой. Аналогичными

рассуждениями устанавливается совпадение спектров показателей Ляпунова систем A и

6. Пусть теперь заданы набор l ∈ (R)ⁿ и функция F : M → (R)ⁿ, удовлетворяющие усло-

виям 1)-3) теоремы, причём li0 , i₀ = 1, n, - первый слева конечный отрицательный элемент

набора l. По доказанному существуют система A₀ ∈ CMn и семейство Q ∈ Qⁿ[Θ, A₀](M),

удовлетворяющие равенствам Λ(A₀) = (l₁ -li0 , . . . , l_n -li0 ) и Λ(· ; A₀ +Q) = (f₁ -li0 , . . . , f_n -li0 )

(полагаем -∞ - a = -∞ и +∞ - a = +∞ для любого a ∈ R).

Напомним следующее хорошо известное утверждение: показатели Ляпунова двух систем

x = B(t)x и y = (B(t)+aE_n)y, x,y ∈ Rⁿ, t ∈ R₊, где a ∈ R, а E_n - единичная n×n-матрица,

связаны между собой равенством λ_i(B + aE_n) = λ_i(B)+ a, i = 1, n, которое вытекает из того,

что для решений x(·) и y(·) этих систем с одним и тем же начальным вектором (x(0) = y(0))

имеет место тождество y(t) ≡ x(t) exp(at), t ∈ R₊.

Положим A(·) = A₀(·) + li0 E_n. Тогда вследствие выбора системы A₀ и сказанного выше

получаем, что Λ(A) = l. По той же причине спектр Λ(· ; A + Q) показателей Ляпунова семей-

ства A + Q с так определённой матричнозначной функцией A(·) совпадает с функцией F (·).

Условие Q ∈ Qⁿ[Θ, A](M) очевидно выполняется. Теорема доказана.

Автор выражает благодарность своему научному руководителю В.В. Быкову за постановку

задачи и внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Миллионщиков В.М. Формулы для показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных

уравнений // Тр. Ин-та прикл. математики им. И.Н. Векуа. Тбилиси, 1987. Т. 22. С. 150-178.

2. Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. Теория показателей Ляпунова и ее

приложения к вопросам устойчивости. М., 1966.

3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

4. Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Math. Zeitschr. 1930. Bd. 31.

Hf. 4. S. 748-766.

5. Perron O. Die Stabilitätsfrage bei Differentialgleichungen // Math. Zeitschr. 1930. Bd. 32. Hf. 5. S. 703-

728.

6. Леонов Г.А. Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения. М., Ижевск,

2006.

7. Коровин С.К., Изобов Н.А. Реализация эффекта Перрона смены значений характеристических по-

казателей решений дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2010. Т. 46. № 11. С. 1536-

1550.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОПИСАНИЕ ЛИНЕЙНОГО ЭФФЕКТА ПЕРРОНА

1473

8. Барабанов Е.А., Быков В.В. Описание линейного эффекта Перрона при параметрических возмуще-

ниях, экспоненциально убывающих к нулю на бесконечности // Тр. Ин-та математики и механики

УрО РАН. 2019. Т. 25. № 4. С. 31-43.

9. Миллионщиков В.М. Показатели Ляпунова как функции параметра // Мат. сб. 1988. Т. 137. № 3.

С. 364-380.

10. Хаусдорф Ф. Теория множеств. М.; Л., 1937.

11. Карпук М.В. Показатели Ляпунова семейств морфизмов обобщенных расслоений Миллионщикова

как функции на базе расслоения // Тр. Ин-та математики НАН Беларуси. 2016. Т. 24. № 2. С. 55-71.

12. Карпук М.В. Показатели Ляпунова обобщённых расслоений Миллионщикова как функции на базе

расслоения // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 8. С. 1140-1141.

13. Быков В.В. Функции, определяемые показателями Ляпунова семейств линейных дифференциаль-

ных систем, непрерывно зависящих от параметра равномерно на полуоси // Дифференц. уравнения.

2017. Т. 53. № 12. С. 1579-1592.

14. Барабанов Е.А., Быков В.В., Карпук М.В. Полное описание спектров показателей Ляпунова линей-

ных дифференциальных систем, непрерывно зависящих от параметра равномерно на временной

полуоси // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 12. С. 1579-1588.

15. Богданов Ю.С. К теории систем линейных дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1955.

Т. 104. № 6. С. 813-814.

16. Гробман Д.М. Характеристические показатели систем, близких к линейным // Мат. сб. 1952. Т. 30.

№ 1. С. 121-166.

17. Быков В.В. Полное описание спектров показателей Ляпунова непрерывных семейств линейных

дифференциальных систем с неограниченными коэффициентами // Изв. РАН. Сер. мат. 2020. Т. 84.

№ 6. С. 3-22.

18. Залыгина В.И. О ляпуновской эквивалентности линейных дифференциальных систем с неограни-

ченными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 10. С. 1325-1331.

19. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом

пространстве. М., 1970.

20. Барабанов Е.А. Обобщение теоремы Былова о приводимости и некоторые его применения // Диф-

ференц. уравнения. 2007. Т. 43. № 12. С. 1592-1596.

21. Stepanoff W. Sur les suites des fonctions continues // Fund. Math. 1928. V. 11. P. 264-274.

22. Миллионщиков В.М. Нормальные базисы семейства эндоморфизмов метризованного векторного

расслоения // Мат. заметки. 1985. Т. 38. Вып. 5. С 691-708.

Московский государственный университет

Поступила в редакцию 01.02.2021 г.

им. М.В. Ломоносова

После доработки 16.09.2021 г.

Принята к публикации 05.10.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021