ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1474-1482

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.1:517.951

ПРИМЕНЕНИЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ

МЕТОДОВ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ В ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ. I

Рассматривается вопрос о применении дифференциально-геометрических и алгебраиче-

ских методов теории динамических систем с управлением в теории дифференциальных

уравнений с частными производными.

DOI: 10.31857/S0374064121110054

Введение. После приведения системы дифференциальных уравнений с частными про-

изводными к специальному виду в параметрической форме, разрешённой относительно всех

производных

∂_kyⁱ = g^ik(t,y,u),

открывается возможность применения некоторых дифференциально-геометрических и алгеб-

раических методов теории динамических систем с управлением, используя некоторую анало-

гию данных объектов. Эти методы позволяют исследовать некоторые вопросы декомпозиции,

построения симметрий и др.

1. Динамические системы с управлением и недоопределённые системы обыкно-

венных дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему обыкновенных дифферен-

циальных уравнений

h^k(t,y,dy/dt) = 0, k = 1,q,

(1)

где h^k, k = 1, q, - заданные гладкие функции, t ∈ R¹, y = (y¹, . . . , yⁿ)^т ∈ M (M - область

в Rⁿ), dy/dt = (dy¹/dt,... ,dyⁿ/dt)^т. Решением системы (1) называется непрерывная кусочно-

гладкая вектор-функция y(t), t ∈ [t₀, t₁], удовлетворяющая равенствам (1) всюду в точках её

дифференцируемости. Система (1) называется недоопределённой, если q < n. Далее считаем

это неравенство для системы (1) выполненным.

Динамической системой с управлением называется система уравнений вида

yⁱ = fⁱ(t,y,u), i = 1,n, (t,y) ∈ [t₀,t₁] × M ⊂ Rn+1, u ∈ U ⊂ R^r,

(2)

где t₀, t₁ ∈ R фиксированы. Будем предполагать, что функции fⁱ,

∂fⁱ/∂y^j,

∂fⁱ/∂u^α яв-

ляются гладкими. Обычно называют y фазовыми переменными (состояниями), u - управ-

лениями (внешними воздействиями). Множество M, называемое фазовым пространством,

и множество U являются областями. Управления могут быть кусочно-непрерывными век-

тор-функциями u(t), t ∈ [t₀, t₁]. В этом случае они называются допустимыми. Решением

системы (2) называется непрерывная кусочно-гладкая вектор-функция y(t), t ∈ [t₀, t₁], для

которой существует такое допустимое управление u(t), t ∈ [t₀, t₁], что вектор-функции y(t),

u(t) удовлетворяют соотношениям (2).

Недоопределённые системы являются более сложными математическими объектами, чем

системы обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме

dyⁱ/dt = fⁱ(t, y), i = 1, n, (t, y) ∈ R¹ × M.

(3)

1474

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

1475

Это проявляется, например, в том, что для систем (1) не верно утверждение о единственно-

сти решения, проходящего через заданную начальную точку (независимо от гладкости функ-

ций h^k).

Рассмотрим связь систем (2) и (1) между собой. Число уравнений в системе (1) меньше чис-

ла переменных. Поэтому все производные нельзя выразить из уравнений (1) через переменные

y. Однако (по крайней мере локально) это можно сделать за счёт введения новых переменных.

Пусть ранг якобиевой матрицы от функций h^k относительно производных dyⁱ/dt постоянен

и равен q. Тогда по теореме о неявной функции некоторые q производных, соответствую-

щих расположению главного минора в указанной матрице, (локально) выражаются через y

и остальные n - q производных, которые принимаются за новые параметрические перемен-

ные u. В результате соотношения (1) перейдут в соотношения (2). Обратно, аналогичным

образом используя теорему о неявной функции и предположение о постоянстве ранга якоби-

евой матрицы от функций fⁱ относительно переменных u, можно перейти от системы (2) к

двойственной системе (1) исключением переменных u (т.е. выражением их через y, dy/dt из

одних уравнений и подстановкой в другие уравнения).

Отношение к уравнениям (2) именно как к системам с управлением сформировалось в

прошлом веке, когда выяснилось, что некоторые реальные системы описываются такими со-

отношениями, причём функции u(t) трактуются как внешние воздействия (управления). Ока-

залось, что некоторые задачи можно эффективно решать с помощью некоторых дифферен-

циально-геометрических методов, использующих такие объекты как группа диффеоморфиз-

мов, алгебра Ли векторных полей, распределение, кораспределение (система Пфаффа) и др.

Указанные объекты связываются с системами (2) как некоторые ассоциированные с ними

объекты и определяются правыми частями этих систем, а их классические свойства определя-

ют управленческие свойства системы (2). Например, транзитивность ассоциированной группы

связана с управляемостью (свойством достижимости), свойство допускать декомпозицию - с

импримитивностью группы, вопрос о классификации аффинных систем с управлением связан

с классическим вопросом классификации систем Пфаффа и т.д. [1-4].

Рассмотрим некоторые из ассоциированных объектов. Введём оператор полного диффе-

ренцирования по времени в силу системы (2):

∂

X(u) :=

+ fⁱ(t,y,u)

(4)

∂t

∂yⁱ

(здесь и далее применяется правило суммирования по повторяющемуся верхнему и нижнему

индексам). Рассмотрим X(u) как семейство операторов с параметром u. Придавая управле-

нию u различные постоянные допустимые значения u ∈ U, получаем различные операторы

(векторные поля) в области M, которые образуют семейство полей в M, которое назовём

ассоциированным. Выделим в этом семействе базисное подсемейство, т.е. укажем такие допу-

стимые значения u₁, . . . , u_p ∈ U, что операторы

∂

X_j :=

+ f^ij(t,y)

j = 1,p,

(5)

∂t

∂yⁱ

где f^ij(t, y) = fⁱ(t, y, u_j ), линейно несвязаны, т.е. линейно независимы в каждой точке (t, y)

(см. [1, определение 2.2]), а подстановка в (4) любого допустимого значения u приводит к

оператору, который линейно связанно выражается через операторы X₁, . . . , X_p :

X(u) = ϕ^j (t, y, u)X_j .

(6)

Таким образом, при любом допустимом управлении u(t) оператор X(u(t)) линейно выража-

ется через конечное число операторов X_j , не зависящих от управления.

После выделения базисного семейства X₁, . . . , X_p оно пополняется. Шаг классической

процедуры пополнения заключается в вычислении коммутаторов [X_j , X_k], j, k = 1, p. Если

коммутатор линейно несвязан с операторами семейства, то он добавляется к нему; в противном

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

3^∗

1476

ЕЛКИН

случае он отбрасывается. Шаг повторяется для семейства, расширенного за счёт добавленных

коммутаторов. Если на очередном шаге все вновь вычисленные коммутаторы отброшены, то

процедура завершается. В частности, процедура завершится, если после очередного шага коли-

чество операторов в семействе сравняется с размерностью n пространства состояний. Итак,

в результате пополнения получается полное семейство, состоящее из полей X₁, . . . , X_p и

некоторых полей

∂

X_k = ϕ^ik(t,y)

k = p + 1,m.

(7)

∂yⁱ

Поля (7) получены в результате вычисления коммутаторов полей (5), поэтому них отсутству-

ет дифференцирование по независимой переменной t. В более общем смысле можно говорить

о переходе от ассоциированного семейства к минимальной алгебре Ли, содержащей это се-

мейство. Процедура пополнения составляет только часть такого перехода и заключается в

построении базисного семейства этой алгебры, т.е. максимального числа линейно несвязанных

полей алгебры. Не следует путать базисное семейство с базисом, который состоит из макси-

мального числа линейно независимых полей алгебры, если размерность алгебры конечна [5,

с. 90]. Заметим, что число полей в базисном семействе конечно и не превышает число пере-

менных (в данном случае n + 1). Также в более общем и современном смысле это число равно

рангу распределения, порождаемого алгеброй (подробности см. в [3, с. 62]). Для целей дан-

ной работы достаточно иметь дело с базисным семейством, которое получается в результате

классического процесса пополнения [6, с. 14; 5, с. 70-72].

1.1. Первые интегралы и управляемость. Напомним, что первым интегралом сис-

темы (3) называется такая функция Φ(t, y), которая на любом решении y(t) системы (3)

принимает постоянное значение

Φ(t, y(t)) = const.

Дифференцируемая функция Φ(t, y) является первым интегралом системы (3), если и только

если она удовлетворяет следующему тождеству:

∂Φ(t,y)

+ fⁱ(t,y)

для всех (t, y) ∈ R¹ × M и u ∈ U,

(8)

∂t

∂yⁱ

т.е. действие оператора полного дифференцирования по времени в силу системы (3) должно

равняться нулю. Первым интегралом системы с управлением (2) естественно назвать функ-

цию, принимающую постоянное значение на любых решениях, которые соответствуют произ-

вольным допустимым управлениям u(t). Таким образом, для таких функций Φ(t, y) должны

выполняться соотношения

dΦ(t, y(t))

∂Φ(t,y(t))

= X(u(t))Φ(t,y(t)) =

+ fⁱ(t,y,u(t))

= 0.

(9)

∂t

∂yⁱ

Первые интегралы совпадают с решениями системы уравнений, соответствующими всем ассо-

циированным операторам (4), т.е. системы

∂Φ(t,y)

+ fⁱ(t,y,u)

для всех (t, y) ∈ [t₀, t₁] × M и u ∈ U,

(10)

∂t

∂yⁱ

поскольку тождественное выполнение равенств (10) влечёт за собой и выполнение всех ра-

венств (9).

С другой стороны, решения системы (10) совпадают с решениями полной системы диффе-

ренциальных уравнений, которая соответствует полям (6), (7):

∂Φ

X_jΦ =

+ f^ij(t,y)

= 0, j = 1, p,

(11)

∂t

∂yⁱ

∂Φ

X_kΦ = ϕ^ik(t,y)

= 0, k = p + 1, m.

(12)

∂yⁱ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

1477

Согласно теории полных систем [5, с. 16; 4, с. 72] у такой системы имеется набор функциональ-

но независимых решений (интегральный базис) в количестве, равном разности между числом

переменных и числом уравнений. Для системы (11), (12) таковым является некоторый набор

функций Φ¹(t, y), . . . , Φ^n-m(t, y), для которого



∂Φk

k=1,n-m



rank^

= m,



∂yⁱ

i=1,n

причём для любого интеграла Φ(y) справедливо представление

Φ(y) = G(Φ¹(y), . . . , Φ^m(y)),

где G - гладкая функция. Сделаем (локальную) замену координат

x^k = Φ^k(t,y), k = 1,n,

(13)

где Φ^k(t, y), k = 1, m, - полный набор интегралов, а Φ^k(t, y), k = m + 1, n, - произвольные

функции, выбранные таким образом, чтобы замена координат (13) являлась невырожденной.

В новой системе координат система (2) приобретает вид

x^k = 0, k = 1,m,

(14)

x^l

= fl0(t,x) + f^lα(t,x)u^α, l = m + 1,n.

(15)

Система (2) называется управляемой на интервале [t₀, t₁] [1, с. 63], если для любых двух

состояний y₀, y₁ ∈ M существует её решение y(t), удовлетворяющее условиям y(t₀) = y₀,

y(t₁) = y1. Связь понятия управляемости и первого интеграла заключается в следующем

утверждении.

Теорема 1 [1, с. 63]. Система (2) управляема на интервале [t₀, t₁] только тогда, когда у

неё отсутствуют нетривиальные (т.е. непостоянные) первые интегралы.

Доказательство. Пусть система (2) управляема на интервале [t₀, t₁]. Фиксируем началь-

ную точку (t₀, y₀). Для нетривиального первого интеграла Φ(t, y) (если он существует) по

определению приходим к равенству

Φ(t₀, y₀) = Φ(t₁, y₁),

где y₁ = y(t₁) - конечная точка некоторого решения y(t). Так как точка y₁ может быть

любой, то справедливы равенства

∂Φ(t₁,y)

= 0, i = 1, n,

∂yⁱ

что противоречит нетривиальности первого интеграла. Теорема доказана.

Следствие. Система (2) управляема на интервале [t0, t1] только тогда, когда число

полей в полном семействе (6), (7) равно n + 1.

1.2. Автономные системы. Рассмотрим отдельно случай автономных систем, т.е. систем,

в которые независимая переменная не входит явно. В нормальной форме такие системы с

управлением имеют вид

yⁱ = fⁱ(y,u), i = 1,n, y ∈ M ⊂ Rⁿ, u ∈ U ⊂ R^r.

(16)

В этом случае рассмотрение, в том числе введение сопутствующих дифференциально-геомет-

рических понятий, естественно ведётся в фазовом пространстве M изменения фазовых пере-

менных (состояний) y. Точнее, вводятся следующие ассоциированные объекты (подробности

см. в [2, c. 124-126]).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1478

ЕЛКИН

Через c₀ обозначим семейство гладких векторных полей, заданных в области M :

∂

ξ_u = fⁱ(y,u)

u ∈ U.

(17)

∂yⁱ

Каждое поле семейства c₀ получается, если фиксировать некоторое постоянное значение u

из множества U. Поля (17) называются ассоциированными полями системы (16), а семей-

ство c₀ - ассоциированным семейством системы (16). Минимальная алгебра Ли векторных

полей, содержащая семейство c₀, называется ассоциированной алгеброй Ли системы (16) и

обозначается через c.

Введём также распределение Δ_c, порождаемое ассоциированной алгеброй c. Это распре-

деление ставит в соответствие каждой точке y ∈ M линейную оболочку векторов, определяе-

мых полями алгебры c. Величина dim Δ_c равна числу полей в базисном семействе алгебры c,

которое получается в результате пополнения базисного подсемейства семейства c₀. Ещё раз

отметим, что не следует путать базисное семейство и базис алгебры: базис состоит из мак-

симального числа линейно независимых полей, а базисное семейство состоит из максималь-

ного числа линейно несвязанных, т.е. линейно независимых в каждой точке, полей. Поэтому,

в частности, число полей в базисном семействе алгебры не превышает n и равно dim Δ_c.

Для неавтономных систем (2) аналогичное семейство состоит из полей (5) и (7). Через S_u

обозначим локальные однопараметрические группы, порождаемые полями (17) и называемые

ассоциированными однопараметрическими группами системы (16).

Преобразования однопараметрической группы, которая порождается полем с фиксирован-

ным u₀ ∈ U, переводят точки области M в точки этой же области по решениям y(t), кото-

рые соответствуют постоянному управлению U(t) = u₀. Локальная группа диффеоморфиз-

мов области M, порождаемая семейством векторных полей c₀ и являющаяся минимальной

локальной группой, содержащей однопараметрические группы S_u, u ∈ U, называется ло-

кальной ассоциированной группой системы (16) и обозначается через S (в дальнейшем слово

“локальная” для краткости опускается). Преобразования ассоциированной группы определя-

ются решениями y(t) системы (16), соответствующими всевозможным кусочно-постоянным

управлениям, если при этом разрешается движение от точки к точке как в положительном,

так и в отрицательном направлении времени. Более подробно это означает следующее. Каждое

преобразование s ∈ S имеет вид s = stlu_l · · · su22 su11 , где sukk ∈ Suk,k=1,l.Равенствоs(y)=y′

означает существование конечной последовательности точек y = c₀, c₁, . . . , c_l = y^′ области

M, где c_k = stku_k ··· su22su1 (y). Это эквивалентно тому, что для каждого k = 1,l существует₁

решение y(t) = stku_k (ck-1) системы (16), соответствующее постоянному управлению u(t) = uk,

для которого y(0) = ck-1, y(t_k) = c_k. При этом, если t_k ≥ 0, то y(t) определено на отрезке

[0, t_k], а если t_k ≤ 0, то на отрезке [tk, 0].

Для автономных систем (16) понятие управляемости обычно вводят следующим образом.

Система (16) называется управляемой, если для любых двух состояний y₀, y₁ ∈ M существует

её решение y(t), t ∈ [t₀, t₁], удовлетворяющее условиям y(t₀) = y₀, y(t₁) = y₁. Так же, как

и для неавтономных систем, вопрос об управляемости тесно связан с существованием первых

интегралов (по крайней мере локально). Вопрос о первых интегралах решается аналогично.

По крайней мере локально дело сводится к процессу пополнения линейно несвязанных по-

лей ассоциированного семейства (17). В результате пополнения возникает базисное семейство

алгебры c и распределения Δ_c :

∂

X_l = ϕ^il(y)

l = 1,p.

(18)

∂yⁱ

Здесь число p равно рангу распределения Δ_c, т.е dim Δ_c(y). При этом предполагается, что

рассмотрение ведётся в окрестности точки y₀, где ранг постоянен и реализуем процесс попол-

нения. Пусть p < n. Тогда полная система дифференциальных уравнений

∂Φ(y)

X_lΦ(y) = ϕ^il(y)

= 0, l = 1, p,

(19)

∂yⁱ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

1479

имеет в окрестности данной точки m = n - p функционально независимых решений Φ^k(y),

k = 1,m, для которых



∂Φk

k=1,m



rank

= m,



 ∂yⁱ

i=1,n

причём для любого интеграла Φ(y) справедливо представление

Φ(y) = G(Φ¹(y), . . . , Φ^m(y)),

где G - гладкая функция. В окрестности точки y₀ определено семейство локально инвари-

антных многообразий (т.е. преобразования групп не выводят точки из этих многообразий)

размерности p:

Φ^k(y) - c^k = 0, k = 1,... ,m = n - p,

(20)

где c^k = const. Сделаем (локальную) замену координат

x^k = Φ^k(y), k = 1,n,

(21)

где Φ^k(y), k = 1, m, - полный набор интегралов, а Φ^k(y), k = m + 1, n, - произвольные

функции, выбранные таким образом, чтобы замена координат (21) являлась невырожденной.

В новой системе координат семейство многообразий (20) запишется следующим образом:

x^k - c^k = 0, k = 1,m,

(22)

а система (16) приобретает вид

x^k = 0, k = 1,m,

(23)

x^l

= fl0(x) + f^lα(x)u^α, l = m + 1,n.

(24)

Здесь полезна также интерпретация в терминах ассоциированной группы S. Если для

любого y ∈ M выполняется равенство dim Δ_c(y) = n и M - связная область, то, соглас-

но теореме Рашевского-Чжоу [3, с. 89], группа диффеоморфизмов, порождаемая семейством,

является транзитивной. Следовательно, из любой точки y₀ ∈ M можно попасть в любую

другую точку y₁ ∈ M, двигаясь по интегральным траекториям полей семейства, т.е. по реше-

ниям управляемой системы (16), соответствующим постоянным (точнее, кусочно-постоянным)

управлениям. При этом разрешается движение как в положительном направлении времени,

так и в отрицательном. В этом случае говорят, что система (16) обладает свойством слабой

управляемости. По поводу разных определений управляемости см., например, [7]. Декомпо-

зиция (23), (24) является частным случаем более общей декомпозиции

x^k = gk0(x¹,... ,x^m) + g^kα(x¹,... ,x^m)u^α, k = 1,m,

(25)

xⁱ = gi0(x¹,... ,xⁿ) + g^iα(x¹,... ,xⁿ)u^α, i = m + 1,n,

(26)

(x¹, . . . , x^m) ∈ W ⊂ R^m, (xm+1, . . . , xⁿ) ∈ L ⊂ R^n-m, u ∈ R^r.

Возможность приведения с помощью замены переменных системы (16) к такому виду связана

с другим более общим свойством группы S - импримитивностью (см. [3. с. 127-130]).

2. Системы дифференциальных уравнений с частными производными. Рассмат-

ривается система дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка

Λ_ν(t,y,p) = 0, ν = 1,l,

(27)

где t = (t¹, . . . , t^m)^т, y = (y¹, . . . , yⁿ)^т и p = (. . . , ∂_kyⁱ, . . .), где ∂kyi = ∂yi/∂tk. В дальней-

шем предполагаем для упрощения, что функции Λ_ν , а также все встречающиеся функции

(в том числе решения) гладкие. Под гладкостью понимаем непрерывную бесконечную диф-

ференцируемость. Считаем, что система (27) имеет максимальный ранг и l × mn-матрица

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1480

ЕЛКИН

Якоби производных от функций Λ_ν по p имеет ранг l всюду, где Λ(t, y, p) = 0 (здесь и далее

Λ = (Λ₁,...,Λ_l)^т). При этом условии соотношения (27) задают гладкое многообразие S_Λ в

пространстве переменных (t, y, p), или, иначе говоря, в пространстве 1-струй функций y(t).

Относительно системы (27) будем считать также, что она локально разрешима. Согласно [8,

с. 212] система локально разрешима в точке (t₀, y₀, p₀) ∈ S_Λ, если существует гладкое решение

y = f(t), определённое для t из некоторой окрестности точки t₀ и имеющее предписанные

начальные условия y₀ = f(t₀), p₀ = (∂f/∂t)

. Система называется локально разрешимой,

t=t₀

если она локально разрешима в каждой точке многообразия S_Λ, а система, для которой одно-

временно выполняются свойства максимального ранга и локальной разрешимости называется

невырожденной [8, с. 212].

2.1. Специальный вид и его трактовка с точки зрения теории управления. Урав-

нения (27) задают многообразие S_Λ в неявном виде. Это многообразие можно (в силу невы-

рожденности) представить и в параметрическом виде (в некоторой локальной карте) при по-

мощи разрешения системы (27) относительно максимального числа производных, причём если

остальные (параметрические) производные считать параметрическими переменными и состав-

ленный из них вектор обозначить через u, то получим локальное представление S_Λ в пара-

метрической форме, разрешённой относительно всех производных [8, с. 324]:

∂_kyⁱ = f^ik(t,y,u).

(28)

Выберем локальную карту таким образом, чтобы

t∈I ⊂R^m, y∈M ⊂Rⁿ, u∈U ⊂R^s,

(29)

где I, M, U - некоторые области. Такое представление произвольной системы дифферен-

циальных уравнений с частными производными известно как специальный вид [9, с. 324].

Данное представление встречается также в задаче оптимального управления систем с распре-

делёнными параметрами для удобства вывода необходимых условий оптимальности [10, с. 30].

В (28) остальные (параметрические) производные обозначены через u как параметрические

переменные, причём для параметрических производных соответствующее выражение имеет

просто некоторый вид [9, с. 324]

∂_δy^β = u^γ.

Пример 1. Рассмотрим систему

∂y¹

∂y²

t²,

=y¹y²,

∂t¹

∂t²

∂y¹

= y²(1 - t²y¹).

(30)

∂t²

Полагая ∂y²/∂t¹ = u, запишем эту систему в виде

∂y¹

∂y²

= ut²,

= u,

(31)

∂t¹

∂y¹

∂y²

= y²(1 - t²y¹),

=y¹y².

(32)

∂t²

Далее будем рассматривать системы уравнений в специальном виде и в карте (29). Условие

локальной разрешимости в данном случае означает, что для любых точек t₀ ∈ I, y₀ ∈ M,

u₀ ∈ U существует окрестность V ⊂ L точки t₀, в которой определено такое гладкое решение

y(t), что y(t₀) = y₀, u(t₀) = u₀.

Сравнивая системы (28) и (2), можно заметить определённую аналогию между ними.

Действительно, каждое решение y(t) управляемой системы (2) получается после подстановки

в правую часть управлений u(t) из некоторого класса допустимых функций. С другой сторо-

ны, решения y(t) системы (28) соответствуют выбору из некоторого класса параметрической

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

1481

функции u(t). Однако имеется существенное различие в классах допустимых “управлений”.

Для управляемых систем классы допустимых управлений достаточно известны и широки: от

класса кусочно-непрерывных функций до класса измеримых функций. Для систем (28) зара-

нее задать класс допустимых “управлений” затруднительно, так как далеко не каждый выбор

функций u(t) приводит к решению y(t). Препятствием является, в частности, возможность

несовместности полученной системы после подстановки управления u(t). Тем не менее идео-

логия теории управлений может быть полезна - можно построить аналогичные ассоциирован-

ные дифференциально-геометрические объекты, с помощью которых исследовать, например,

характеристики, присущие всем реализациям допустимых параметрических функций.

2.2. Первые интегралы. Так же, как и для обыкновенных дифференциальных уравне-

ний, введём понятие первого интеграла для систем (28). Гладкую функцию Φ(t, y) назовём

первым интегралом системы (28), если на любом решении y(t) системы (28) она принимает

постоянное значение Φ(t, y(t)) = const.

Замечание. Введённое определение первого интеграла, по существу, совпадает с опреде-

лением для обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако оно практически не исполь-

зуется в литературе для уравнений с частными производными. Причина, видимо, в малочис-

ленности случаев существования нетривиальных первых интегралов для систем с частными

производными и в отсутствии алгоритмов их нахождения. Актуальной считается более общая

проблема существования законов сохранения (см., например, [8, с. 337; 11, с. 258]). Возмож-

но, введённое понятие первого интеграла является более скромным или даже экзотическим

по сравнению с законами сохранения. Тем не менее, если первые интегралы существуют и

найдены, то это может существенно упростить исследование систем уравнений (понизить раз-

мерность задачи - см. ниже представление (37)), причём существование интегралов проверя-

ется несложно с помощью предлагаемого аппарата, который может быть использован и для

изучения более сложных, чем (37), декомпозиций типа (25), (26), а также для нахождения

симметрий.

Условием того, что функция Φ(t, y) будет первым интегралом, является в силу её глад-

кости тождественное равенство нулю производных по всем независимым переменным от этой

функции в силу каждого решения системы (28):

∂Φ(t,y(t))

+ f^ik(t,y(t),u(t))

≡ 0, t ∈ I, k = 1, m.

(33)

∂t^k

∂yⁱ

(Напоминаем, что по повторяющимся верхнему и нижнему индексам проводится суммирова-

ние.)

Введём ассоциированные семейства векторных полей (операторов) C_k, k = 1, m, в области

I × M. Каждое семейство C_k состоит из векторных полей

∂

+ f^ik(t,y,u)

= 0, k = 1, m,

(34)

∂t^k

∂yⁱ

с фиксированным k = 1, m, где u пробегает всё множество постоянных значений из U. Объ-

единение этих семейств обозначим через C₀.

Теорема 2. Функция Φ(t, y) является первым интегралом системы (28) тогда и только

тогда, когда выполняются тождества

∂Φ(t,y)

+ f^ik(t,y,u)

≡ 0, k = 1, m, для всех (t, y) ∈ I × M, u ∈ U.

(35)

∂t^k

∂yⁱ

Доказательство. Достаточность очевидна, поскольку выполнение тождеств (35) для всех

(t, y) ∈ I × M, u ∈ U влечёт за собой выполнение тождеств (33).

Необходимость вытекает из условия локальной разрешимости. Действительно, возьмём

первый интеграл Φ(t, y), точки t₀ ∈ I, y₀ ∈ M, u₀ ∈ U и гладкое решение y(t) такое,

что y(t₀) = y₀, u(t₀) = u₀. Из тождеств (33) для этого решения и произвольного выбора

точек t₀ ∈ I, y₀ ∈ M, u₀ ∈ U следуют тождества (35).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1482

ЕЛКИН

Из предыдущих пунктов работы, посвящённых динамическим системам, следует алгоритм

проверки существования и нахождения первых интегралов. Нужно выделить в каждом ас-

социированном семействе (34) максимальное число линейно несвязанных векторных полей,

объединить эти поля и пополнить в области I × M изменения переменных. Если число s

полей в полученном полном семействе меньше числа переменных n + m, то нетривиальные

первые интегралы существуют, причём число функционально независимых интегралов равно

n + m - s. Они находятся с помощью решения соответствующей полной системы дифферен-

циальных уравнений. Если сделать (локальную) замену зависимых переменных

x^k = Φ^k(t,y), k = 1,n,

(36)

где Φ^k(y), k = 1, q, - независимые интегралы, а Φ^k(y), k = q + 1, n, - произвольные функции,

выбранные таким образом, чтобы замена координат (36) была невырожденной, то в новой

системе координат система (28) приобретает следующий вид:

∂_kxⁱ = 0, i = 1,q,

∂_kx^j = h^jk(t,x,u), j = q + 1,n.

(37)

Пример 2. Рассмотрим систему (31), (32) из примера 1. Семейство C₀ состоит из двух

подсемейств

∂

X1u =

+ ut²

X2u =

+ y²(1 + t²y¹)

+y¹y²

∂t¹

∂y¹

∂y²

∂t²

∂y¹

∂y²

т.е. второе подсемейство состоит из одного поля. Легко видеть, что поля Y₁ = X₁₀, Y₂ = X₁₁,

Y₃ = X2u образуют линейно несвязанное подсемейство D семейства C₀. Вычисляя коммута-

торы, получаем [Y₁, Y₂] = 0, [Y1, Y3] = 0, [Y2, Y3] = (t2y2 + y1)Y2 - (t2 + y1)Y1. Таким образом,

поля Y₁ = X₁₀, Y₂ = X₁₁, Y₃ = X2u составляют полное семейство, т.е. процесс пополнения

заканчивается на первом шаге и семейство D - полное. Соответствующая полная система

дифференциальных уравнений имеет решение Φ(t, y) = y²t¹ - y¹. После замены переменных

x¹ = y²t¹ - y¹, x² = y² исходная система уравнений приводится к виду

∂x¹

∂x²

= 0,

= x²(t¹x² - x¹).

∂t¹

∂t²

Заключение. Рассмотрена возможность применения методов теории управления в теории

уравнений с частными производными.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных ис-

следований (проект 19-01-00625).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Яковенко Г.Н. Теория управления регулярными системами. М., 2008.

2. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Дифференциально-геометрический подход.

М., 1997.

3. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Декомпозиция и инвариантность по воз-

мущениям. М., 2003.

4. Елкин В.И. Редукция нелинейных управляемых систем. Симметрии и классификация. М., 2006.

5. Чеботарев Н.Г. Непрерывные группы преобразований. М.; Л., 1940.

6. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. М., 1947.

7. Hermann R., Krener A.J. Nonlinear controllability and observability // IEEE Trans. Aut. Contr. 1977.

V. AC-22. № 5. P. 728-740.

8. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М., 1989.

9. Рашевский П.К. Геометрическая теория уравнений с частными производными. М.; Л., 1947.

10. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М., 1975.

11. Бочаров А.В., Вербовецкий А.М., Виноградов А.М. и др. Симметрии и законы сохранения уравнений

математической физики / Под ред. А.М. Виноградова, И.С. Красильщикова. М., 2005.

Федеральный исследовательский центр

Поступила в редакцию 07.06.2021 г.

“Информатика и управление” РАН, г. Москва

После доработки 07.06.2021 г.

Принята к публикации 05.10.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021