ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1483-1490

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.1+517.938

НАБЛЮДАТЕЛЬ СОСТОЯНИЯ

ДЛЯ ЧЕТЫРЁХМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

С ВЕКТОРНЫМ ВЫХОДОМ

Рассмотрена задача синтеза наблюдателя с линейной динамикой ошибки для четырёх-

мерной системы с векторным выходом. Получены необходимые и достаточные условия

существования наблюдателя, предложен алгоритм его построения. Рассмотрен пример по-

строения наблюдателя для четырёхмерной модели электрической активности сердца, пред-

ставляющей собой систему двух связанных между собой уравнений Ван дер Поля.

DOI: 10.31857/S0374064121110066

Введение. Существуют различные подходы к восстановлению состояния динамической

системы по её выходу. Один из таких подходов - построение наблюдателя. Наблюдатель -

дополнительная система, которая в качестве входа использует выход исходной системы, а её

состояние даёт оценку состояния исходной системы. Теме наблюдателей посвящено большое

число работ (отметим монографии [1-3], обзор [4] и приведённую в них библиографию). В этом

направлении достаточно глубоко исследованы системы со скалярным выходом, в то время как

системы с векторным выходом изучены значительно меньше.

В данной работе для четырёхмерной системы с векторным выходом рассматривается на-

блюдатель с линейной динамикой ошибки. Синтез такого наблюдателя связан с приведением

исходной системы к специальному виду (расширенному каноническому виду для построения

наблюдателя, или третьему каноническому наблюдаемому виду) [1, с. 23; 5]. Основная про-

блема здесь как раз и состоит в таком преобразовании: для преобразованной системы на-

блюдатель строится без труда. Имеются необходимые и достаточные условия существования

третьего канонического вида для произвольной динамической системы, но эти условия носят

абстрактный характер и на практике трудно проверяемы. Отметим, что в случае двумерной

системы со скалярным выходом построение наблюдателя с линейной динамикой ошибки не вы-

зывает трудностей [2, с. 419; 6]. Однако уже в простейшем векторном случае четырёхмерной

системы с двумерным выходом ситуация существенно сложнее: условия существования на-

блюдателя представляют собой систему из восьми дифференциальных уравнений в частных

производных.

Статья организована следующим образом. В п. 1 приведены нужные в работе сведения о

наблюдателях с линейной динамикой ошибки для нелинейных систем и из теории

K(x)-двойственности, а также критерий существования наблюдателя на основе этой теории.

В п. 2 сформулирован и доказан основной результат работы - необходимые и достаточные

условия существования наблюдателя четырёхмерной системы. В п. 3 рассмотрен пример че-

тырёхмерной системы, представляющей собой модель электрической активности сердечной

системы на основе уравнения Ван дер Поля (она получена на материале статьи [7], см. так-

же [8, 9]). В п. 4 показаны результаты численного эксперимента, проведённого с этой моделью.

Заключение подводит итог выполненного исследования.

1. Наблюдатель с линейной динамикой ошибки. Рассмотрим динамическую систему

с векторным выходом

x = A(x), y = h(x),

(1)

где x ∈ Rⁿ, y ∈ R^k, A(x) = (a₁(x), . . . , a_n(x))^т ∈ C^∞(Rⁿ), h(x) = (h₁(x), . . . , h_k(x))^т.

Восстановление вектора состояния системы (1) по выходу y состоит в использовании по-

следовательности функций h(x), L_Ah(x), L2Ah(x), . . . , где L_Ah(x) - производная Ли функ-

ции h по векторному полю A(x) системы (1) (производная функции h в силу системы (1)),

1483

1484

КАНАТНИКОВ, ТКАЧЕВА

L^sAh(x) = L(Ls-1Ag(x)), s > 1. Если восстановление возможно в окрестности каждой точки

фазового пространства, то система называется локально наблюдаемой [2, с. 415; 5].

Если система (1) локально наблюдаема, то в окрестности заданной точки она в некоторой

системе координат может быть представлена в каноническом наблюдаемом виде

Ż₁₁ = z₁₂,

Ż₁₂ = z₁₃, ... ,

Ż1,l1-1 = z1,l₁ ,

Ż1,l1 = f1(z),

Żk1 = zk2,

Żk2 = zk3, ... ,

Żk,lk-1 = zk,l_k ,

Żk,lk = fk(z),

y₁ = z₁₁, y₂ = z₂₁, ... , y_k = zk1.

(2)

Величины l₁, l₂, . . . , l_k называются индексами наблюдаемости.

Представление (2) можно в блочно-векторной форме записать более компактно. Для этого

через D^j обозначим квадратную матрицу порядка l_j , элементы d^pq (p, q = 1, l_j ) которой

определяются равенствами: d^pq = 1, если p - q = -1, и d^pq = 0 в противном случае; че-

рез F^j (z) - вектор-столбец (0, 0, . . . , f_j(z)) высоты l_j ; через C^j - вектор-строку (1, 0, . . . , 0)

длины l_j , j = 1, k. Тогда систему (2) можно записать в виде

Ż = Dz + F(z), y = Cz,

где D = diag (D¹, D², . . . , D^k), F (z) = (F¹(z), F²(z), . . . , F^k(z))^т, C = diag (C¹, C², . . . , C^k).

Представление системы (1) вида

ζ =D^тζ+Ψ

ζ), y = H

ζ),

(3)

где

ζ = (ζ1,l1,ζ2,l2,...,ζk,lk)^т, Ψ

ζ) = (ψ₁

ζ), ψ₂

ζ), . . . , ψ_n

ζ))^т, назовём расширенным кано-

ническим наблюдаемым видом для построения наблюдателя, или просто третьим канониче-

ским наблюдаемым видом. Этот канонический вид отличается от канонического вида (3) тем,

что фазовые переменные в каждом блоке следуют в обратном порядке (так что вместо D име-

ем D^т), а нелинейные добавки входят в каждое уравнение, но зависят только от переменных,

присутствующих в выходе системы.

Для системы вида (3) при условии, что отображение H обратимо, наблюдатель с линейной

динамикой ошибки строится в следующем виде:

η=D^тη+

C(η - ζ) + Ψ

ζ),

(4)

где

C =diag

C¹

C²,...

C^k), а

C^j - вектор-строка (0,0,... ,1) длины l_j, j = 1,k. Динамика

ошибки e = η - ζ описывается линейным дифференциальным уравнением

ė = (D^т + GC)e.

При этом n × k-матрицу G следует выбирать таким образом, чтобы квадратная матрица

D^т + GC была гурвицевой.

Основные проблемы, возникающие здесь, - вопрос о существовании у заданной системы

третьего канонического вида и при наличии последнего построение алгоритма приведения к

нему. Решение этих проблем найдено в рамках теории K(x)-двойственности [5].

Рассмотрим динамическую систему с векторным управлением

x = A(x) + B(x)u,

(5)

где x ∈ Rⁿ, A(x) = (a₁(x), . . . , a_n(x))^т ∈ C^∞(Rⁿ), B(x) ∈ C^∞(Rⁿ) - матрица размера n ×

× m, u ∈ R^m - вектор управления. Класс систем (1) (динамических систем с выходом, ДС) и

класс систем (5) (аффинных управляемых динамических систем, АУДС) связаны отношением

двойственности.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

НАБЛЮДАТЕЛЬ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ЧЕТЫРЁХМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

1485

Пусть B_j(x) - столбцы матрицы B(x), а Wⁱ(x) - матрицы Якоби векторных функций

Hⁱ(x) = (h_i(x),L_Ah_i(x),... ,Lli-1Ah_i(x))^т, имеющие размер l_i × n. ДС (1) и АУДС (5) называ-

ются K(x)-двойственными, если выполняются равенства

Wⁱ(x)B_j(x) = (0,... ,0,k_ij(x))^т, i,j = 1,k;

(6)

обозначим K(x) = (k_ij (x))ki,j=1 [5]. Для любой локально наблюдаемой ДС и любой гладкой

матрицы K(x) существует K(x)-двойственная ей АУДС.

Теорема 1 [5]. Локально наблюдаемая ДС (1), у которой все индексы наблюдаемости

одинаковы: l₁ = l₂ = ... = l_k = l, допускает построение наблюдателя (4) в окрестности за-

данной точки x₀ тогда и только тогда, когда существует такая функциональная матрица

K(y) порядка k, гладкая в окрестности точки h(x₀), что:

а) алгебра Ли K(h(x))-двойственной аффинной управляемой системы коммутативна;

б) матрица K(y) является матрицей Якоби некоторого гладкого отображения в окрест-

ности точки h(x₀), причём detK(h(x₀)) = 0.

Замечание. Алгебра Ли A_n АУДС (5) порождается векторными полями adi-1AB_j, i =

= 1, l_j , j = 1, m, где ad^sAB_j = ad_A(ads-1AB_j ), ad_AB_j = [A, B_j ] - коммутатор векторных полей.

Пусть

V l = (B₁,... ,(-1)l-1 adl-1AB₁,...,B_m,... ,(-1)l-1 adl-1AB_m).

Матрица V^l состоит из части столбцов матрицы управляемости K(x)-двойственной АУДС.

Теорема 2 [5]. Матрица Якоби отображения x = T (ζ), приводящего динамическую сис-

тему (1) к третьему каноническому наблюдаемому виду, записанная в переменных x, сов-

падает с матрицей V^l(x), составленной для K(h(x))-двойственной АУДС.

Теорема 1 доставляет условия существования у ДС третьего канонического вида, которые

в конечном счёте сводятся к системе дифференциальных уравнений, выражающих равенство

нулю коммутаторов векторных полей. Теорема 2 показывает, как найти замену переменных,

приводящую ДС к третьему каноническому виду.

2. Четырёхмерная система с векторным выходом. Рассмотрим задачу построения

наблюдателя с линейной динамикой ошибки для динамической системы четвёртого порядка

с векторным выходом. Условие локальной наблюдаемости вместе с условием совпадения ин-

дексов наблюдаемости сводят задачу к частному случаю, когда размерность вектора выхода

и два индекса наблюдаемости равны двум. Рассматривая вопрос о построении наблюдателя,

сразу можно считать, что система задана в каноническом наблюдаемом виде (2):

x₁ = x₂,

x₂ = F(x),

x₃ = x₄,

x₄ = G(x), y = (x₁,x₃),

(7)

здесь и ниже x = (x₁, x₂, x₃, x₄)^т.

Чтобы получить условия существования наблюдателя, найдём сначала K(x)-двойственную

систему для произвольной матрицы K(y) вида

(

)

u₁(y) v₁(y)

K(y) =

u₂(y) v₂(y)

где u₁(y), u₂(y), v₁(y), v₂(y) - функции, зависящие только от выхода системы, т.е. только

от переменных x₁, x₃.

Находим подматрицы матрицы управляемости, соответствующие координатам выхода:

(

)

(

)

W¹ =

W² =

Для вычисления векторных полей B₁, B₂ двойственной АУДС используем уравнения (6).

В результате получим, что

B₁ = (0,u₁,0,u₂)^т, B₂ = (0,v₁,0,v₂)^т.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1486

КАНАТНИКОВ, ТКАЧЕВА

Найденные векторные поля B₁ и B₂ позволяют записать двойственную АУДС.

Условие коммутативности алгебры Ли эквивалентно тому, что векторные поля B₁, B₂,

ad_AB₁ = [A, B], ad_AB₂ попарно коммутируют. Для этого достаточно проверить равенство

нулю векторных полей [B₁, B₂], [B1, adAB1], [B2, adAB2], [B2, adAB1].

Для коммутатора [B₁, B₂] имеем

∂B₂

∂B₁

[B₁, B₂] =

B₁ -

B₂ = 0,

∂x

т.е. векторные поля B₁ и B₂ коммутируют при любых условиях.

Вычислим векторное поле ad_AB₁ :

⎛

⎞

-u₁

⎜

x₂u1,x1 + x₄u1,x3 - u₁F₂ - u₂F₄

⎟

ad_AB₁ =

⎝

⎠,

-u₂

x₂u2,x1 + x₄u2,x3 - u₁G₂ - u₂G₄

где для краткости введены обозначения F_j и G_j для частных производных Fxj и Gxj соот-

ветственно. Аналогично (с заменой символа u на символ v) находим, что

⎛

⎞

-v₁

⎜

x₂v1,x1 + x₄v1,x3 - v₁F₂ - v₂F₄

⎟

ad_AB₂ =

⎝

⎠.

-v₂

x₂v2,x1 + x₄v2,x3 - v₁G₂ - v₂G₄

Теперь вычислим коммутатор [B₁, ad_AB₁]:

⎛

⎞

⎜

2u₁u1,x1 + 2u₂u1,x3 - u²¹F₂₂ - 2u₁u₂F₂₄ - u²²F₄₄

⎟

[B₁, ad_AB₁] =

⎝

⎠,

2u₁u2,x1 + 2u₂u2,x3 - u²¹G₂₂ - 2u₁u₂G₂₄ - u²²G₄₄

где через F_ij и G_ij обозначены частные производные Fxix_j и Gx_ix_j соответственно. Анало-

гичным образом находится коммутатор [B₂, ad_AB₂]:

⎛

⎞

⎜

2v₁v1,x1 + 2v₂v1,x3 - v²¹F₂₂ - 2v₁v₂F₂₄ - v²²F₄₄

⎟

[B₂, ad_AB₂] =

⎝

⎠.

2v₁v2,x1 + 2v₂v2,x3 - v²¹G₂₂ - 2v₁v₂G₂₄ - v²²G₄₄

Наконец, вычислим последний коммутатор [B₂, ad_AB₁]:

⎛

⎞

⎜

u₁v1,x1 + u₂v1,x3 + v₁u1,x1 + v₂u1,x3 - u₁v₁F₂₂ - (u₁v₂ + v₁u₂)F₂₄ - u₂v₂F₄₄

⎟

[B₂, ad_AB₁] =

⎝

⎠.

v₁u2,x1 + v₂u2,x3 + u₁v2,x1 + u₂v2,x3 - u₁v₁G₂₂ - (u₁v₂ + v₁u₂)G₂₄ - u₂v₂G₄₄

В результате приходим к следующей системе условий для приведения системы (7) к тре-

тьему наблюдаемому каноническому виду:

u1,x3 = v1,x1, u2,x3 = v2,x1,

u²¹F₂₂ + 2u₁u₂F₂₄ + u²²F₄₄ - 2u₁u1,x1 - 2u₂u1,x3 = 0,

u²¹G₂₂ + 2u₁u₂G₂₄ + u²²G₄₄ - 2u₁u2,x1 - 2u₂u2,x3 = 0,

v²¹F₂₂ + 2v₁v₂F₂₄ + v²²F₄₄ - 2v₁v1,x1 - 2v₂v1,x3 = 0,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

НАБЛЮДАТЕЛЬ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ЧЕТЫРЁХМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

1487

v²¹G₂₂ + 2v₁v₂G₂₄ + v²²G₄₄ - 2v₁v2,x1 - 2v₂v2,x3 = 0,

u₁v₁F₂₂ + (u₁v₂ + v₁u₂)F₂₄ + u₂v₂F₄₄ - u₁v1,x1 - u₂v1,x3 - v₁u1,x1 - v₂u1,x3 = 0,

u₁v₁G₂₂ + (u₁v₂ + v₁u₂)G₂₄ + u₂v₂G₄₄ - v₁u2,x1 - v₂u2,x3 - u₁v2,x1 - u₂v2,x3 = 0.

(8)

В системе (8) первая строка - условие того, что матрица K(y) является матрицей Якоби

некоторого отображения, остальные условия - условия коммутируемости векторных полей.

Последние шесть уравнений системы (8) распадаются на две группы: уравнения относи-

тельно F и уравнения относительно G. Каждая группа - это система трёх линейных алгеб-

раических уравнений относительно трёх частных производных. Матрица каждой из этих двух

систем имеет очень характерный вид. Она однородна, и её определитель фактически является

степенью определителя матрицы K(y), т.е. матрица невырождена:



v²¹

2v₁v₂

v²²



det J₁ =

u²¹

2u₁u₂

u²²

=(u1v₂ - u₂v₁)³.



u₁v₁

(u₁v₂ + u₂v₁) u₂v₂

Отсюда вытекает, что частные производные второго порядка однозначно определяются через

частные производные функций u_i, v_i, а следовательно, не зависят от переменных x₂, x₄,

так как матрица K(y) не зависит от этих переменных. Отсюда получаем следующий вывод.

Теорема 3. Если система (7) приводится к третьему каноническому виду, то функции

F и G являются квадратичными по переменным x₂, x₄.

Если функции F и G удовлетворяют необходимому условию, то нужно решить систему (8)

относительно четырёх функций u_i, v_i, i = 1, 2. Если такое решение существует, то система

приводится к третьему каноническому виду. При этом замена переменных x = T (ζ), приво-

дящая систему (7) к третьему каноническому виду, является решением следующей системы

уравнений:

⎛

⎞

v₁

u₁

v₁

Fv u1 Fu⎟

= V ^l = (B₁,-ad_AB₁,B₂,-ad_AB₂) = ^⎝

⎠,

(9)

dζ

v₂

u₂

v₂

Gv u2 Gu

где

Fv = -x2v1x₁ - x4v1x₃ + v1Fx2+v2^Fx4^,Fu=-x2^u1x1^-x4^u1x3+u1^Fx2+u2^Fx4^,

Gv = -x2v2x₁ - x4v2x₃ + v1Gx2+v2^Gx4^,Gu=-x2^u2x1^-x4^u2x3+u1^Gx2+u2^Gx4^.

Для решения систему (9) необходимо преобразовать к виду dζ/dx = (V^l)-1, и мы в ре-

зультате приходим к задаче восстановления функций по их частным производным.

Замечание. Ошибка построенного наблюдателя асимптотически стремится к нулю в ка-

ноническеой системе координат. При переходе к исходным координатам стремление ошибки к

нулю будет сохраняться, по крайней мере, локально, если траектория системы, отслеживаемая

наблюдателем, является ограниченной при t → +∞. Если же траектория неограниченная, то

сходимость наблюдателя можно гарантировать только при дополнительных условиях (напри-

мер, при условии глобальной липшицевости замены переменных x = T (ζ)).

3. Наблюдатель для системы двух связанных уравнений Ван дер Поля. Система

x₁ = x₂,

x₂ = -a₁x₂(x₁ - w₁₀)(x₁ - w₁₁) - x₁(x₁ + d₁)(x₁ + e₂),

x₃ = x₄,

x₄ = -a₂x₄(x₃ - w₂₀)(x₃ - w₂₁) - x₃(x₃ + d₂)(x₃ + e₂) + k₂₁(x₃ - x₁)

(10)

описывает электрическую активность сердца и представляет собой систему из двух связанных

друг с другом модифицированных уравнений Ван дер Поля. Здесь x₁, x₃ - трансмембранные

потенциалы в клетках синоатриального узла (SA) и атриовентикулярного узла (AV), а x₂,

x₄ - скорости изменения этих потенциалов. В представленной модели не учтён третий узел

сердечной системы - пучок Гиза-Пуркинье (предполагается, что он находится в состоянии

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1488

КАНАТНИКОВ, ТКАЧЕВА

блокады). В полном виде система из трёх связанных модифицированных уравнений Ван дер

Поля как модель электрической активности сердца представлена в [7].

Измерению доступны только потенциалы электрической активности сердца, в то время как

скорости потенциалов напрямую не измеряются. Поэтому в данном случае в качестве выхода

следует рассматривать вектор-функцию h(x) = (x₁, x₃). Рассмотрим задачу построения для

системы (10) наблюдателя с линейной динамикой ошибки.

Рассматриваемая система является частным случаем системы (7) с функциями

F (x) = -a₁x₂(x₁ - w₁₀)(x₁ - w₁₁) - x₁(x₁ + d₁)(x₁ + e₂),

G(x) = -a₂x₄(x₃ - w₂₀)(x₃ - w₂₁) - x₃(x₃ + d₂)(x₃ + e₂) + k₂₁(x₃ - x₁).

Эти функции линейны по переменным x₂, x₄, так что необходимое условие, определяемое

теоремой 3, выполнено. Более того, система уравнений (8) при этом существенно упрощается.

Нетрудно заметить, что для того чтобы уравнения этой системы были выполнены, достаточно

взять функции u₁(y), u₂(y), v₁(y), v₂(y) постоянными. Таким образом, рассматриваемая

система приводится к третьему каноническому виду.

Положим

(

)

(

)

u₁(y) v₁(y)

K(y) =

u₂(y) v₂(y)

Согласно (9) для нахождения замены переменных, приводящей систему к третьему канониче-

скому виду, получаем следующее уравнение:

⎛

⎞

⎟

=V^l =⎝0

⎠,

(11)

dζ

в котором в рассматриваемом случае F_v = Fx2 = -a₁(x₁ - w₁₀)(x₁ - w₁₁), F_u = Fx4 = 0,

Gv = Gx₂ = 0, Gu = Gx₄ = -a2(x3 - w20)(x3 - w21).

Система (11) распадается на две независимые подсистемы и легко решается. Решая её,

находим искомую замену переменных:

ζ₁ = a₁(3-1x³¹ - 2-1(w₁₀ + w₁₁)x²¹ + w₁₀w₁₁x₁) + x₂ + C₁, ζ₂ = x₁ + C₂,

ζ₃ = a₂(3-1x³³ - 2-1(w₂₀ + w₂₁)x²³ + w₂₀w₂₁x₃) + x₄ + C₃, ζ₄ = x₃ + C₄,

где C_j - произвольные постоянные, которые можно положить равными нулю.

Обратная замена переменных (при C_i = 0, i = 1, 4) имеет следующий вид:

x₁ = ζ₂, x₂ = ζ₁ - a₁(3-1ζ³² - 2-1(w₁₀ + w₁₁)ζ²² + w₁₀w₁₁ζ₂),

x₃ = ζ₄, x₄ = ζ₃ - a₂(3-1ζ³⁴ - 2-1(w₂₀ + w₂₁)ζ²⁴ + w₂₀w₂₁ζ₄).

(12)

Переход к третьему каноническому наблюдаемому виду даёт нам функцию Ψ(ζ₂, ζ₄):

⎛

⎞

-ζ₂(ζ₂ + d₁)(ζ₂ + e₂)

⎜

⎟

⎜

-a₁(3-1ζ³² - 2-1(w₁₀ + w₁₁)ζ²² + w₁₀w₁₁ζ₂)

⎟

Ψ(ζ₂, ζ₄) =^⎜

⎟.

⎜

⎟

⎝

-ζ₄(ζ₄ + d₂)(ζ₄ + e₂) + k₂₁(ζ₄ - ζ₂)

⎠

−a₂(3-1ζ³⁴ - 2-1(w₂₀ + w₂₁)ζ²⁴ + w₂₀w₂₁ζ₄)

Наблюдатель с линейной динамикой ошибки строится по формуле (4), в которой

(

)

C =

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

НАБЛЮДАТЕЛЬ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ЧЕТЫРЁХМЕРНОЙ СИСТЕМЫ

1489

Остаётся выбрать матрицу G, обеспечивая этим условие гурвицевости матрицы M_e = D+GC.

Обозначив

(

)т

g₁₁

g₂₁

g₃₁

g₄₁

g₁₂

g₂₂

g₃₂

g₄₂

получим

⎛

⎞

g₁₁

g₁₂

⎜1

g₂₁

g₂₂⎟

M_e =

⎝

⎠.

g₃₁

g₃₂

g₄₁

g₄₂

Запишем характеристический многочлен для матрицы M_e :

P (λ) = λ⁴ + (-g₂₁ - g₄₂)λ³ + (g₂₁g₄₂ - g₃₂ - g₁₁ - g₂₂g₄₁)λ² +

+ (g₁₁g₄₂ - g₁₂g₄₁ + g₂₁g₃₂ - g₂₂g₃₁)λ + g₁₁g₃₂ - g₁₂g₃₁.

Задав по своему выбору четыре корня этого многочлена, получим систему из четырёх уравне-

ний относительно восьми неизвестных - элементов второго и четвёртого столбцов матрицы G.

Несложно заметить, что если, например, задать какие-либо значения элементов второго столб-

ца, то относительно четырёх элементов четвёртого столбца получим систему линейных урав-

нений, решение которой не представляет сложности.

4. Численное моделирование. Работоспособность построенного наблюдателя для мо-

дели кардиостимулятора проверим с помощью вычислительного эксперимента. Объединяем

систему (10) с системой (4), описывающей наблюдатель. Хотя в систему (4) формально вхо-

дит вектор ζ - состояние исходной системы в каноническом виде, в действительности с учётом

вида матрицы

C используются лишь переменные выхода.

Результат работы наблюдателя будем оценивать по разности векторов x и вектора T (η),

который получен из вектора η состояния наблюдателя с помощью преобразования T, описы-

ваемого соотношениями (12). Интегрирование объединённой системы будем проводить мето-

дом Рунге-Кутты с переменным шагом в среде Matlab (функция ode45).

В вычислительном эксперименте использованы следующие значения параметров систе-

мы (10):

a₁ = 1, d₁ = 3, e₁ = 3.5, w₁₀ = -0.81, w₁₁ = 0.82, k₂₁ = 1,

a₂ = 1, d₂ = 3, e₂ = 3.5, w₂₀ = -0.8, w₂₀ = 0.82.

Наблюдатель строился с собственными значениями -2,

-3,

-4,

-5. Для переменных со-

стояния модели и наблюдателя выбраны следующие начальные условия:

x₁(0) = 1, x₂(0) = 0.01, x₃(0) = -1, x₄(0) = 3,

η₁(0) = 0.69, η₂(0) = 1, η₂(0) = 6.33, η₄(0) = -1.

На рис. 1, 2 представлены результаты моделирования: динамика ошибок оценивания пере-

менных x₂, x₄.

Рис. 1. Динамика ошибки оценивания перемен-

Рис. 2. Динамика ошибки оценивания перемен-

ной x2.

ной x4.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1490

КАНАТНИКОВ, ТКАЧЕВА

Заключение. В работе рассмотрена задача построения наблюдателя с линейной динами-

кой ошибки для четырёхмерной системы с векторным выходом. Такой наблюдатель строится

для локально наблюдаемой динамической системы, поэтому предполагалось, что исходная

система имеет канонический вид. В работе получены необходимые и достаточные условия

на правую часть четырёхмерной динамической системы, при выполнении которых построе-

ние для неё наблюдателя с линейной динамикой ошибки возможно. Эти условия найдены с

помощью известных общих условий существования наблюдателя, сформулированных в терми-

нах коммутативности некоторой алгебры Ли, практическая проверка которых затруднитель-

на. Полученные условия существования наблюдателя и алгоритм его построения проверены

на примере системы двух связанных между собой уравнений Ван дер Поля, которая представ-

ляет собой упрощённую модель электрической активности сердечной системы. Аналитические

результаты проиллюстрированы численным моделированием.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства науки и образования (грант

0705-2020-0047) и Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 20-07-00294а

и 19-07-00817а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью.

М., 2007.

2. Краснощёченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и син-

теза. М., 2005.

3. Nonlinear Observers and Applications / Ed. G. Besançon. Berlin, 2007.

4. Голубев А.Е., Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Стабилизация нелинейных динамических систем с ис-

пользованием оценки состояния системы асимптотическим наблюдателем (обзор) // Автоматика и

телемеханика. 2005. № 7. С. 3-42.

5. Крищенко А.П., Ткачев С.Б. Двойственность нелинейных динамических систем и синтез наблюда-

телей // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 5. С. 649-663.

6. Ткачева О.С., Канатников А.Н., Виноградова М.С. Наблюдатель состояния для модели кардио-

стимулятора на основе уравнения Ван дер Поля // Математика и мат. моделирование. 2020. № 1.

С. 16-32.

7. Gois S.R.F.S.M., Savi M.A. An analysis of heart rhythm dynamics using a three-coupled oscillator model

// Chaos, Solitons & Fractals. 2009. V. 41. № 5. P. 2553-2565.

8. Мурашко В.В., Струтынский А.В. Электрокардиография. М., 2017.

9. Van der Pol B., van der Mark J. LXXII. The heartbeat considered as a relaxation oscillation, and an

electrical model of the heart // The London, Edinburgh, and Dublin Philos. Magazine and J. of Sci.

1928. V. 6. № 38. P. 763-775.

Московский государственный технический

Поступила в редакцию 08.05.2021 г.

университет им. Н.Э. Баумана,

После доработки 29.05.2021 г.

Институт проблем управления

Принята к публикации 05.10.2021 г.

им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021