ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1516-1535

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.929+517.977

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ СЕМЕЙСТВА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

ДИНАМИЧЕСКОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО СОСТОЯНИЮ

Для спектрально управляемой линейной автономной системы с соизмеримыми запаздыва-

ниями строится динамическая обратная связь по состоянию в виде дифференциально-раз-

ностного регулятора, обеспечивающая замкнутой системе финитную стабилизацию (пол-

ное успокоение исходной системы за конечное время). Решение этой задачи выполняется

при помощи приведения исходной системы к системе с конечным спектром (спектраль-

ное приведение) внутренним контуром регулятора, определяемым некоторым векторным

полиномом. Затем строится внешний контур регулятора, обеспечивающий замкнутой сис-

теме финитную стабилизацию. Указаны условия на коэффициенты семейства спектрально

управляемых линейных автономных систем одного порядка с одними и теми же соизмери-

мыми запаздываниями, при выполнении которых указанный регулятор будет единым для

всех систем семейства - тем самым решена задача одновременной финитной стабилизации

такого семейства. Результаты проиллюстрированы примерами.

DOI: 10.31857/S0374064121110091

Введение. Пусть объект управления описывается линейной автономной дифференциаль-

но-разностной системой

∑

x(t) =

A_ix(t - ih) + bu(t), t > 0, x(t) = η(t), t ∈ [-mh,0].

(1)

i=0

Здесь x - n-вектор-столбец решения системы (1) (n ≥ 2); h > 0 - постоянное запаздывание;

A_i - постоянные n × n-матрицы (i = 0,m, m - максимальная кратность запаздывания в

системе (1)); b - постоянный n-вектор; η - начальная кусочно непрерывная функция; u -

скалярное управление. Векторные величины полагаем записанными в столбец, штрих далее

обозначает операцию транспонирования.

Считаем, что в системе (1) b = e_n = [0, . . . , 0, 1]^′. Этого всегда можно достичь линейным

невырожденным преобразованием переменных x = T x с постоянной матрицей T или введе-

нием вспомогательной переменной

u(t) = u₁(t). Обозначим A(λ) = A₀ + A₁λ + . . . + A_mλ^m,

где λ ∈ C. Пусть E_n - единичная матрица n-го порядка, W (p, e^-ph) = pE_n - A(e^-ph) -

характеристическая матрица (p ∈ C), w(p, e^-ph) = |W (p, e^-ph)| - характеристический ква-

зиполином однородной (b = 0) системы (1). Здесь и далее | · | - определитель квадратной

матрицы. Набор σ = {p ∈ C : w(p, e^-ph) = 0} корней характеристического квазиполинома с

учётом их кратностей называют спектром системы (1). Так как коэффициенты характерис-

тического квазиполинома w(p, e^-ph) действительны, то не вещественные числа, входящие в

σ, разбиваются на пары взаимно сопряжённых.

Пусть в операторной записи уравнений λ - оператор сдвига, p - оператор дифференциро-

вания: pⁱλ^j f(t) = f(i)(t - jh) (f(t) - функция; i, j - целые неотрицательные числа).

Задача стабилизации дифференциальной системы с запаздыванием и её обобщение - за-

дача управления спектром - имеют давнюю историю [1, 2]. Н.Н. Красовским в докладе [1]

указана связь задачи стабилизации со свойством вполне управляемости, означающим полное

успокоение системы (1). Задача полного успокоения системы (1) заключается [3, с. 358] в обес-

печении за счёт выбора управления u(t), t ∈ [0, t₁], тождеств

x(t) ≡ 0, u(t) ≡ 0, t ≥ t₁,

(2)

1516

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

1517

где t₁ > 0 - некоторый фиксированный момент времени, не зависящий от начальной функ-

ции η.

В настоящей работе решается задача полного успокоения системы (1) посредством дина-

мического дифференциально-разностного регулятора по типу обратной связи по состоянию.

Если такая обратная связь построена, то она обеспечивает точечную вырожденность [4, 5]

замкнутой системы в направлениях, выделяющих её первые n фазовых переменных. Это на-

блюдение стало основой оригинального подхода [6] к построению динамических регуляторов

полного успокоения линейных автономных систем с запаздыванием второго порядка. В даль-

нейшем этот подход был обобщён [7, 8] на названные системы произвольного порядка, а также

на системы других видов [9, 10]. В работах [6, 7] установлено, что для разрешимости задачи

полного успокоения системы (1) посредством обратной связи по состоянию необходимо и до-

статочно, чтобы система (1) была спектрально управляема, т.е. чтобы выполнялось равенство

rank [pE_n - A(e^-ph), b] = n для всех p ∈ C.

(3)

Следуя [11], обеспечение полного успокоения исходной системы (1) посредством обратной

связи будем также называть финитной стабилизацией. В работах [6-10] задача финитной

стабилизации решается через обеспечение замкнутой системе конечного спектра (спектраль-

ное приведение). Задача спектрального приведения инициирована работой [12] и в различных

постановках исследовалась многими авторами [13-15] (в этих работах приведена достаточно

полная библиография).

Ниже для спектрально управляемой системы (1) предлагается схема построения обратной

связи, обеспечивающей замкнутой системе финитную стабилизацию. Решение этой задачи,

как и в отмеченных выше работах [6-10], выполняется через приведение исходной системы к

системе с конечным спектром с помощью регулятора, определяемого некоторым векторным

полиномом. Подбором числового вектора строится квазиполином, не имеющий общих корней

с характеристическим полиномом спектрально приведённой системы, что достаточно для по-

строения второго контура регулятора, обеспечивающего финитную стабилизацию исходной

системы.

Получены условия на коэффициенты систем, при выполнении которых указанные век-

торный полином и числовой вектор могут быть выбраны едиными для семейства спектрально

управляемых линейных автономных систем одного порядка с одними и теми же соизмеримыми

запаздываниями, что тем самым даёт решение задачи их одновременной финитной стабили-

зации. Задача одновременной асимптотической стабилизации названного семейства объектов

с запаздыванием исследована в работах [16, 17]. Излагаемый далее подход к решению задачи

финитной стабилизации является по своей сути алгебраическим и сводится к стандартным

операциям над полиномами и полиномиальными матрицами.

Структура статьи следующая. В п. 1 обоснованы (теорема 1) общие требования к двухкон-

турному регулятору, обеспечивающему финитную стабилизацию замкнутой системы. В п. 2 по

шагам излагается реализация этих требований. Исходная система приводится к системе с ко-

нечным спектром подбором векторного полинома, обеспечивающего выполнение приводимого

ниже равенства (8) (шаг 1). Построение внешнего контура регулятора (см. теорему 2), обеспе-

чивающего точечную вырожденность замкнутой системы и тем самым - её финитную стабили-

зацию, основано на лемме 1 (шаг 2). На этом шаге строится квазиполином, не имеющий общих

корней с характеристическим полиномом системы, замкнутой внутренним контуром (см. ниже

систему (18)). Несовместность этой системы позволяет алгоритмизировать вычисление коэф-

фициентов внешнего контура регулятора (шаги 3-5). В конце п. 2 рассмотрен случай, когда

исходная система имеет конечный спектр и, следовательно, необходимость внутреннего конту-

ра отпадает. В п. 3 построенный регулятор модифицируется для его применения к семейству

спектрально управляемых систем (см. пп. 4, 5).

1. Регулятор финитной стабилизации. Построим дифференциально-разностный регу-

лятор, обеспечивающий замкнутой системе (1) финитную стабилизацию (см. тождества (2)).

Обозначим Mn+1(p, λ) = w(p, λ), и пусть

M (p, λ) = [M₁(p, λ), . . . , M_n(p, λ), Mn+1(p, λ)]^′

(4)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1518

МЕТЕЛЬСКИЙ

– вектор-столбец, образованный алгебраическими дополнениями к элементам (начиная с пер-

вого) последней строки матрицы

⎡

⎤

p - a₁₁(λ) ...

-a1,n-1(λ)

-a1,n(λ)

⎢

⎥

⎢

⎥

-an,1(λ) ...

-an,n-1(λ) p - a_n,n(λ)

-1

⎥_.

Fϕ(p, λ) =⎢

(5)

⎥

∑

⎣

⎦

-ϕ₁(λ) ...

-ϕn-1(λ)

-ϕ_n(λ) p^r -

ϕi(λ)p^r-i

i=1

Здесь a_ij (λ) - элементы матрицы A(λ); ϕ_i(λ), i = 1, n,

ϕi(λ), i = 1, r, - полиномы с

действительными коэффициентами, которые подбираем такими, чтобы |F_ϕ(p, λ)| = d₀(p), где

d₀(p) - некоторый полином степени ν = deg d₀(p) ≥ n + 1.

При выполнении условия (3) система полиномиальных уравнений

M_i(p,λ) = 0, (p,λ) ∈ C², i = 1,n + 1,

(6)

относительно переменных p, λ может иметь лишь конечное [8], в частности, пустое множество

решений. Поэтому редуцированный базис Грёбнера (в словарном порядке λ > p) для систе-

мы полиномов (4) необходимо содержит полино

d₀(p) с действительными коэффициентами,

множество корней которого обозначим

P₀. В частности, возможно

d₀(p) = 1 и тогда

P₀ = ∅.

По свойству базиса Грёбнера найдётся векторный полином

ϕ′(p, λ) = (ϕ1(p,λ),... ,ϕn+1(p, λ))

такой, что справедливо разложение

ϕ′(p, λ)M(p, λ)

d₀(p).

(7)

Замечание 1. При вычислении базиса Грёбнера для системы полиномов (4) полином

Mn+1(p,λ) = w(p,λ) можно исключить, так как он является линейной комбинацией поли-

номов M_i(p, λ), i = 1, n.

Если степень полинома

ν = de

d₀(p) меньше, чем n + 1, то обе части равенства (7)

домножим на полином d₁(p) с действительными коэффициентами степени n + 1 - ν. Обо-

значим d₀(p) = d₁(p

d₀(p). Если de

d₀(p) ≥ n + 1, то полагаем d₁(p) = 1. Таким образом,

ν = degd₀(p) ≥ n + 1. Считаем, что старший коэффициент полинома d₀(p) равен единице.

Множество различных корней полинома d₀(p) обозначим P₀ = {p_i ∈ C : i = 1, μ₀}.

Согласно [18, следствие 1] найдутся полиномы ϕ_i(λ), i = 1, n;

ϕi(λ), i = 1, r, r = ν -

− n ≥ 1, обеспечивающие равенство

[

]

∑

- ϕ₁(λ),... ,-ϕ_n(λ),p^r -

ϕi

(λ)p^r-i M(p, λ) = d₀(p).

(8)

i=1

Полиномы ϕ_i(λ), i = 1, n, и ϕi(λ), i = 1, r, можно найти методом неопределённых коэффи-

циентов, используя равенство (8).

Замечание 2. В силу задания системы (6) значения p_k

P₀ войдут в состав корней по-

линома d₀(p) при любом выборе полиномов ϕ_i(λ), i = 1, n,

ϕi(λ), i = 1, r, обеспечивающих

равенство (8). Поэтому d₀(p) = d₁(p

d₀(p) и

P₀ ⊆ P₀. Значения p_k ∈

P0 будем называть

инвариантными спектральными значениями, а полино

d₀(p) - инвариантным полиномом.

Есл

P₀ = ∅, то множество корней полинома d₀(p) = d₁(p) может быть произвольным при

условии: невещественные корни разбиваются на пары самосопряжённых. При выборе полино-

ма d₁(p) учитываем требование: различным корням p_i полинома d₁(p) должны соответство-

вать различные значения λ_i = e-pih. Оно необходимо для построения искомого регулятора.

Равенство (8) означает, что |F_ϕ(p, λ)| = d₀(p), т.е. замкнутая система с характеристической

матрицей F_ϕ(p, λ) имеет конечный спектр.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

1519

Регулятор финитной стабилизации будем строить в виде

u(t) = xn+1(t),

∑

x(r)n+1(t) =

ϕi(λ)xi(t) +

ϕi(λ)xⁿ

(t) + f₁(p, λ)xn+2(t) + q₁(λ)a₁(λ)xn+3(t),

i=1

∑

x(s)n+2(t) =

ψ_ix_i(t) + f₂(p,λ)xn+2(t) + q₂(λ)a₁(λ)xn+3(t),

i=1

xn+3(t) = xn+2(t) + a₂(λ)xn+3(t), t > 0.

(9)

∑r1

Здесь a_i(λ), i = 1, 2, q^′(λ) = [q₁(λ), q₂(λ)]; ψ_i ∈ R, i = 1, n - числа; f₁(p, λ) =

f_i(λ)pr1-i,

i=0

∑_s

f_i(λ), i = 0,r₁, f₂(p,λ) =

f_i(λ)p^s-i,

f_i(λ), i = 0,s, - некоторые полиномы, r₁ ≥ 0,

i=0

s ≥ 1.

Характеристической матрицей замкнутой системы (1), (9) будет следующая (λ = e^-ph):

⎡

⎤

p - a₁₁(λ) ...

-a1,n(λ)

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢-an-1,1(λ) ...

-an-1,n(λ)

⎥

⎢

⎥

⎢

−an,1(λ) ... p - a_n,n(λ)

-1

⎥

⎢

⎥

A(p, λ)=

∑

(10)

⎢

⎥

⎢

-ϕ₁(λ) ...

-ϕ_n(λ) p^r -

-f₁(p,λ)

-q₁(λ)a₁(λ)⎥

ϕi(λ)p^r-i

⎢

⎥

⎢

i=1

⎥

⎣

⎦

-ψ₁

-ψ_n

p^s - f₂(p,λ)

-q₂(λ)a₁(λ)

-1

p - a₂(λ)

Замкнутую систему (1), (9) с характеристической матрицей (10) будем называть систе-

мой (10). Коэффициенты системы (10) подберём такими, чтобы имело место равенство

A(p, λ)| = d(p),

где d(p) = d₂(p)d₀(p) - характеристический полином степени N ≥ n + 3, а d₂(p) - некоторый

полином с действительными коэффициентами. Также потребуем, чтобы замкнутая система

приводилась к нормальной форме. Ниже установлено (теорема 2), что при N ≥ 2n + r это

возможно, причём полиномы f_i(p, λ), i = 1, 2, можно выбрать (лемма 3) такими, чтобы вы-

полнялись неравенства

r₁ = deg_p f₁(p,λ) ≤ n + r - 1, r₂ = deg_p f₂(p,λ) ≤ s - 1.

(11)

Неравенство N ≥ 2n + r всегда можно обеспечить за счёт степени deg d₂(p) = s + 1 полино-

ма d₂(p).

Покажем, что если N ≥ 2n + r и выполнены неравенства (11), то система (10) может быть

записана в нормальной форме. Для упрощения будем оперировать элементами характеристи-

ческой матрицы (10).

Если r ≥ 2, то, введя вспомогательные переменные

xn+1(t) = x₁(t),

x₁(t) = x₂(t), ... ,

xr-2(t) = xr-1(t)

из системы (10), получим систему с характеристической матрицей, в которой после n-й строки

и (n + 1)-го столбца добавятся r - 1 строк и столбцов. Так как эта процедура общеизвестна,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1520

МЕТЕЛЬСКИЙ

то выпишем фрагмент полученной матрицы, начиная с элемента, расположенного в позиции

(n, n + 1):

⎡

⎤

-1

⎢

-1

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

-1

⎥

(12)

⎢

⎥

ϕ₂(λ) p -

ϕ₁(λ)

-f₁(p,λ)

⎢

ϕr(λ)

ϕr-1(λ) . . .

⎥

⎢

⎥

∑

⎣

⎦

p^s -

f_i(λ)p^s-i

i=1

Если m₁ = r₁ - r ≥ 0, то, выполняя элементарные преобразования над столбцами этой

матрицы (см. [19, п. 3.4]), её последний столбец приведём к виду

[

]_′

∑

f₀(p,λ),

f₁(λ),... ,

fr-1(λ),

f_r(λ),p^s -

f_i(λ)ps-i

(13)

i=1

Здесь

f₀(p,λ) - некоторый полином со старшим членом

f₀(λ)pr1-r относительно p;

f_i(λ),

i = 1,r, - некоторые полиномы.

Так как N ≥ 2n + r, то s = N - n - r - 1 ≥ n - 1. Если s ≥ 2, то в полученной характе-

ристической матрице после (n + r)-й строки и (n + r + 1)-го столбца аналогично (12) добавим

s - 1 строку и s - 1 столбец, что опять-таки равносильно введению s - 1 вспомогательных

переменных.

Согласно (11) получаем m₁ = r₁ - r ≤ n - 1, и поскольку n - 1 ≤ s, то m₁ ≤ s. Если

m₁ > 0, то, используя строки с номерами с n + r + 1 по n + r + s, посредством элементарных

преобразований элементы n-й строки

[-an,1(λ), . . . , p - a_n,n(λ), -1, 0, . . . , 0,

f₀(p,λ),0,... ,0],

начиная с n + r + 1-го, заменим полиномами, зависящими только от λ. В результате получим

регулятор финитной стабилизации в виде

u(t) = ψ₁f(λ)x₁(t) + . . . + ψ_nf(λ)x_n(t) + xn+1(t) + . . .

f₁(λ)x_N-s(t) +

...

f_s(λ)xN-1(t) + f(λ)q₂(λ)a₁(λ)x_N (t),

xn+1(t) = xn+2(t)

f₁(λ)x_N-s(t), ... ,

xN-s-2(t) = xN-s-1(t)

fr-1(λ)x_N-s(t),

xN-s-1(t) = ϕ₁(λ)x₁(t) + ... + ϕ_n(λ)x_n(t) +

ϕr(λ)xn+1(t) +

...+

ϕ₁(λ)xN-s-1(t)

f_r(λ)x_N-s(t) + ... + q₁(λ)a₁(λ)x_N (t),

x_N-s(t) = xN-s+1(t), ... ,

xN-2(t) = xN-1(t),

xN-1(t) = ψ₁x₁(t) + ... + ψ_nx_n(t) + ...

f_s(λ)x_N-s(t) + ...

...

f₁(λ)xN-1(t) + q₂(λ)a₁(λ)x_N (t),

x_N(t) = x_N-s(t) + a₂(λ)x_N (t), t > 0.

(14)

Здесь

f_i(λ), i = 1,s, - некоторые полиномы; f(λ)

f₀(λ) - коэффициент полинома f₁(p,λ)

при pr1 , если m₁ = r₁ - r = s, и f(λ) = 0, если m₁ < s.

Теорема 1. Пусть выполнено условие спектральной управляемости (3). Для финитной

стабилизации системы (1) регулятором (14) достаточно:

1) обеспечить замкнутой системе (10) конечный спектр с некоторым характеристичес-

ким полиномом d(p) степени N ≥ 2n + r;

2) выбрать полиномы a₁(λ), a₂(λ) так, чтобы функции a₁(e^-ph)/d(p), (a₂(e^-ph)-p)/d(p)

были целыми.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

1521

Доказательство теоремы следует доказательству теоремы 1 работы [8]. Так как харак-

теристическая матрица замкнутой системы (1), (14) (обозначим её

A(p, e^-ph)) получена из

матрицы (10) элементарными преобразованиями строк и столбцов, то её определитель так-

же равен d(p). К замкнутой системе (1), (14) применимо преобразование Лапласа. Согласно

теореме Винера-Пэли для выполнения тождеств (2) достаточно [4], чтобы элементы первых

n строк матрицы

A(p, e^-ph))-1 были целыми функциями экспоненциального типа. Поэтому,

учитывая структуру обратной матрицы, достаточно, чтобы дополнительные миноры к элемен-

там первых n столбцов характеристической матрицы

A(p, e^-ph) были целыми функциями.

Последнее свойство обеспечено ввиду разложения названных миноров по последнему столбцу

матрицы

A(p, e^-ph) и условия 2) теоремы 1 (детали см. в [8]). Таким образом, регулятор (14)

обеспечивает финитную стабилизацию системы (1).

2. Вычисление коэффициентов регулятора (9). Заметим, что построение регулятора

(14) равносильно построению регулятора (9), поскольку регулятор (14) получен элементарны-

ми преобразованиями характеристической матрицы (10). Поэтому приведём схему вычисления

коэффициентов регулятора (9), гарантирующих выполнение условий теоремы 1.

1) Полиномы ϕ_i(λ), i = 1, n, и

ϕj (λ), j = 0, r - 1, можно найти как указано в [8, след-

ствие 1] или методом неопределённых коэффициентов, используя равенство (8).

2) Выбор коэффициентов ψ₁, . . . , ψn-1, ψ_n.

Введём определитель



 p - a11(λ) ...

-a1,n-1(λ)

-a1,n(λ)



Δ_ψ(p,λ) =



.

-an-1,1(λ) ... p - an-1,n-1(λ)

-an-1,n(λ)



ψ₁

ψn-1

ψ_n

Очевидно, что Δ_ψ(p, λ) = M₁(p, λ)ψ₁ + . . . + Mn-1(p, λ)ψn-1 + M_n(p, λ)ψ_n.

Лемма 1. При выполнении условия (3) для произвольного набора чисел P₀ = {p_i ∈ C : i =

= 1, μ₀} найдётся действительный вектор ψ = (ψ₁, . . . , ψn-1, ψ_n), ψ_n = 1, такой, что

Δ_ψ(p_i,e-pih) = M₁(p_i,e-pih)ψ₁ + ... + Mn-1(p_i,e-pih)ψn-1 + M_n(p_i,e-pih) = 0, p_i ∈ P₀. (15)

Доказательство. Согласно условию (3) (M₁(p, e^-ph), . . . , M_n(p, e^-ph)) = 0, p ∈ C, поэто-

му имеем систему ненулевых векторов

M_i = (M₁(p_i,e-pih),... ,M_n(p_i,e-pih)) = 0, p_i ∈ P₀, i = 1,μ₀.

(16)

Каждому вектору системы (16) поставим в соответствие ненулевой вектор, образованный

только действительными или только мнимыми частями его компонент. А именно, пусть

M_i = (Mi1,... ,M_i,n), i = 1,μ₀,

где

M_i = ReMi, если вектор ReMi ненулевой, и

M_i = ImMi в противном случае. В силу

условия (16) либо ReMi = 0, либо ImMi = 0 при каждом i = 1, μ₀.

Очевидно, что для конечной системы ненулевых векторов {Mi : i = 1, μ₀} существует

направление (ψ₁, . . . , ψn-1, 1), проекция на которое каждого вектора будет отлична от нуля.

Значит, найдутся числа α_i ∈ R, α_i = 0, i = 1, μ₀, такие, что система линейных алгебраиче-

ских уравнений

Mi1ψ₁ + ... + Mi,n-1ψn-1 = α_i - M_i,n, i = 1,μ₀,

(17)

совместна относительно неизвестных ψ_i ∈ R, i = 1, n - 1. Числа α_i ∈ R, α_i = 0, i = 1, μ₀,

можно найти из условия ортогональности столбца [α₁ - M1n, . . . , αμ0 - Mμ0,n]^′ всем решениям

однородной системы линейных алгебраических уравнений, сопряжённой к системе (17) (тео-

рема Фредгольма). Требуемый набор действительных чисел ψ₁, . . . , ψn-1, удовлетворяющих

условию (15), получим как решение системы (17). Лемма доказана.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1522

МЕТЕЛЬСКИЙ

Вследствие выбора вектора (ψ₁, . . . , ψn-1) система уравнений

Δ_ψ(p,e^-ph) = 0, d₀(p) = 0

(18)

несовместна. Отсюда вытекает [19, следствие 1] следующее утверждение, существенное для

построения регулятора (9), точнее, для построения векторных полиномов q^′(λ) = (q₁(λ), q₂(λ)),

f^′(p,λ) = (f₁(p,λ), f₂(p,λ)).

Лемма 2. Если выполнено условие (15), то система полиномиальных уравнений

Δ_ψ(p,λ) = 0, d₀(p) = 0, (p,λ) ∈ C²,

(19)

относительно переменных (p,λ) может иметь лишь конечное, в частности, пустое мно-

жество решений P_λ = {(p_i, λ_i) ∈ C² : i = 1, μ}.

Замечание 3. Ввиду несовместности системы (18) замкнутая система (1) с характери-

стической матрицей (5), в которой λ = e^-ph, спектрально наблюдаема по линейному выходу

y(t) = ψ₁x₁(t) + . . . + ψn-1xn-1(t) + x_n(t), t ≥ 0.

3) Выбор полинома d(p) и полиномов a₁(λ), a₂(λ).

Согласно п. 1 получаем разложение (7) и полином d₀(p), удовлетворяющий (8). Харак-

теристический полином d(p) замкнутой системы (10) берём в виде d(p) = d₂(p)d₀(p), где

d₂(p) - полином с действительными коэффициентами. Для приведения замкнутой системы

(10) к нормальной форме понадобится неравенство N = deg d(p) ≥ 2n + r, которое всегда

можно выполнить за счёт степени полинома d₂(p). При выборе полинома d₂(p) также учиты-

ваем требование: различным корням p_i полинома d₂(p) должны соответствовать различные

значения λ_i = e-pih.

Пусть характеристический полином d(p) замкнутой системы имеет вид

∏

d(p) = (p - p_i)ri , p_i

(20)

i=1

где

P = {p_i ∈ C : i = 1,s₁} - множество его различных корней, а r_i - алгебраическая

кратность корня p_i. ОбозначимΛ = {e-pih : p_i

P, i = 1,s₁}.

Для обеспечения условия 2) теоремы 1 необходимо и достаточно, чтобы корни полинома

d(p) (см. (20)) являлись нулями функций a₁(e^-ph) и a₂(e^-ph) - p не меньшей кратности.

Поэтому возьмём [6]

∏

a₁(λ) = (λ - λ_i)ri, λ_i = e-pih ∈^Λ.

(21)

i=1

Чтобы функция (a₂(e^-ph) - p)/d(p) была целой необходимо и достаточно, чтобы для всех

p_i

P производные по переменной p обращались в нуль:

(a₂(e^-ph) - p)(k)|p=pi = 0, i = 1, s₁, k = 0, r_i - 1.

Поэтому для всех λ_i = e-pih ∈Λ (p_i

P) должны выполняться равенства

a₂(λ_i) = p_i

P, a(k)2(λ_i) = (-1)k(k - 1)!,

k = 1,r_i - 1, если r_i > 1, i = 1,s₁.

(22)

hλ^k

Замечание 4. Если набор корней полином

d₀(p) (d(p)

d₀(p)d₁(p)d₂(p)) содержит ком-

плексно сопряжённые корни, то возможна ситуация, когда pk1 = pk2 , но λk1 = λk2 = e-pk1,2^h,

и первое равенство в (22) выполнить нельзя, так как в этом случае a₂(λk1 ) = a₂(λk2 ). В та-

кой ситуации, чтобы воспользоваться уже проведёнными рассуждениями, введём [20] новое

запаздывание:^h = h/k, где k - натуральное число. Тогда матрица системы (1) будет иметь

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

1523

вид A(λ) = A₀ + A₁λ^k + . . . + A_mλ^km и λⁱx_k(t) = x_k(t - ih). Натуральное k и полиномы

d₁(p), d₂(p) можно выбрать такими, чтобы различным значениям p_i

P соответствовали

различные λ_i = e-pih. Считаем далее это условие выполненным.

Пусть P∗0 = {p_i ∈ C : i = 1, μ₁}, Λ = {λ_j ∈ C : j = 1, μ₂} - конечные (см. лемму 2) множе-

ства различных значений переменных (p, λ) таких, что при некоторых (i, j) пара (p_i, λ_j ) ∈ P_λ,

т.е. P∗0, Λ - проекции множества P_λ на p и λ соответственно. Очевидно включение P∗0 ⊆ P₀.

Обозначим Q(p, λ) = (Δ_ψ(p, λ), d₀(p))^′. Потребуем, чтобы одновременно с равенствами (22)

выполнялись соотношения Q(a₂(λ_i), λ_i) = 0, λ_i ∈ Λ\^Λ, т.е. равносильно

|Δ_ψ(a₂(λ_i), λ_i)| + |d₀(a₂(λ_i))| = 0, λ_i ∈ Λ\^Λ.

(23)

Эти условия понадобятся при построении векторного полинома q^′(λ).

Если для интерполяционного полинома a₂(λ), построенного согласно формулам (22), при

некотором λ^∗i ∈ Λ\Λ неравенство (23) не выполняется, то к интерполяционным условиям (22)

добавим [19] равенство

a₂(λ^∗i) = p₀ (p₀ ∈ R, p₀ ∈ P₀ и λ^∗i ∈ Λ\Λ).

(24)

Напомним, что P₀ - множество различных корней полинома d₀(p). Значение p₀ можно взять

одним и тем же для всех λ^∗i ∈ Λ\^Λ. Вместо (24) можно потребовать выполнения равенства

a₂(λ^∗i) = p^∗i (p^∗i ∈ C, e-pih = λ^∗i, λ^∗i ∈ Λ\Λ).

(25)

При этом паре комплексно сопряжённых значений λ^∗ ставим в соответствие пару комплекс-_i

1,2

но сопряжённых значений p∗i1,2 . Полином a₂(λ) найдём как решение известной в теории

полиномов интерполяционной задачи (22), (24) или (22), (25), т.е. как полином Лагранжа-

Сильвестра [21, с. 104].

4) Вычисление полинома q^′(λ) = (q₁(λ), q₂(λ)).

Положим

k(p, λ) = (a₁(λ)q^′(λ)Q(p, λ) + d(p))/(a₂(λ) - p), K(p, λ) = k(p, λ) + p^sd₀(p).

(26)

Докажем, что справедлива

Теорема 2. Пусть выполнено условие спектральной управляемости (3). Для того чтобы

замкнутая система (10) имела характеристический полином d(p) степени N ≥ 2n + r

достаточно:

1) выбрать векторный полином q^′(λ) таким, чтобы функция k(p,λ) была полиномом;

2) векторный полином f^′(p,λ) = (f₁(p,λ),f₂(p,λ)) взять таким, чтобы имело место

равенство

f^′(p,λ)Q(p,λ) = K(p,λ), Q(p,λ) = (Δ_ψ(p,λ),d₀(p))^′,

(27)

где функция K(p, λ) задана в (26).

Доказательство. Пусть выполнены условия 1), 2). Разлагая определитель матрицы (10)

по последней строке, получаем

A(p, λ)|=(p - a₂(λ))((p^s - f₂(p, λ))d₀(p) - f₁(p, λ)Δ_ψ(p, λ)) - a₁(λ)(q₁(λ)Δ_ψ(p, λ) + q₂(λ)d₀(p)) =

= (p - a₂(λ))((p^sd₀(p) - f^′(p, λ)Q(p, λ)) - a₁(λ)q^′(λ)Q(p, λ).

(28)

Так как f^′(p, λ)Q(p, λ) = K(p, λ), то из (26), (28) вытекает, что

A(p, λ)| = d(p). Теорема

доказана.

Чтобы функция k(p, λ) являлась полиномом должно, согласно теореме Безу, выполняться

тождество

a₁(λ)q^′(λ)Q(a₂(λ),λ) + d(a₂(λ)) = 0, λ ∈ C.

(29)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

6^∗

1524

МЕТЕЛЬСКИЙ

Существование векторного полинома q^′(λ), обеспечивающего это тождество, следует из ра-

боты [19]. Действительно, полиномы Δ_ψ(a₂(λ), λ) и d₀(a₂(λ)) взаимно просты в силу усло-

вия (23). Поэтому существует векторный полином q(λ) такой, что

q^′(λ)Q(a₂(λ),λ) = 1, λ ∈ C.

Полином q(λ) может быть найден с помощью алгоритма Евклида или методом неопределён-

ных коэффициентов. Таким образом, при

q^′(λ) = -q^′(λ)d(a₂(λ))/a₁(λ)

(30)

тождество (29) выполняется (дробь d(a₂(λ))/a₁(λ) является полиномом согласно [19]).

5) Нахождение векторного полинома f^′(p, λ).

Полином k(p, λ) запишем следующим образом:

k(p, λ) = ((d(p) - d(p)q^′(λ)Q(p, λ)) + (d(p)q^′(λ)Q(p, λ) + a₁(λ)q^′(λ)Q(p, λ)))/(a₂(λ) - p).

Так как d(p) = d₂(p)d₀(p) = [0, d₂(p)]Q(p, λ), то, заменив в первой скобке d(p) последним

выражением и во второй скобке заменив q^′(λ) согласно (30), получаем

)

⁽1 - q^′(λ)Q(p,λ)

d(p) - d(a₂(λ))

k(p, λ) =

[0, d₂(p)] +

q^′(λ) Q(p,λ).

(31)

a₂(λ) - p

Здесь, согласно теореме Безу, (1 - q^′(λ)Q(p, λ))/(a₂(λ) - p) и (d(p) - d(a₂(λ)))/(a₂(λ) - p) -

полиномы.

Взяв полином

1 - q^′(λ)Q(p,λ)

d(p) - d(a₂(λ))

f^′(p,λ) =

[0, d₂(p)] +

q^′(λ) + [0,1]p^s,

(32)

a₂(λ) - p

вследствие (31) имеем равенство (27), т.е. выполнено условие 2) теоремы 2. Итак, все условия

теорем 1 и 2 реализованы, следовательно, регулятор (14) построен.

Запишем равенство (27) в развёрнутом виде

K(p, λ) = f₁(p, λ)Δ_ψ(p, λ) + f₂(p, λ)d₀(p).

(33)

Лемма 3. Если N ≥ 2n + r, то в равенстве (33) можно считать выполненными нера-

венства

deg_p f₁(p, λ) ≤ n + r - 1 и deg_p f₂(p, λ) ≤ s - 1.

Доказательство. Степень полинома f₁(p, λ) относительно p сделаем меньше степени

n + r переменной p в полиноме d₀(p). Если степень переменной p полинома f₁(p,λ) не

меньше, чем n + r, то представим его в виде

f₁(p,λ) = ξ₀(p,λ)d₀(p) + ξ₁(p,λ),

где ξ_i(p, λ), i = 0, 1, - полиномы, причём deg_p ξ₁(p, λ) ≤ n + r - 1. Это возможно, так как

полином d₀(p) имеет старший член pn+r. В результате получим

K(p, λ) = ξ₁(p, λ)Δ_ψ(p, λ) + (f₂(p, λ) + ξ₀(p, λ)Δ_ψ(p, λ))d₀(p).

(34)

Покажем, что

deg_p(f₂(p, λ) + ξ₀(p, λ)Δ_ψ(p, λ)) ≤ s - 1.

Если допустить обратное неравенство, то

deg_p(f₂(p, λ) + ξ₀(p, λ)Δ_ψ(p, λ))d₀(p) ≥ n + r + s.

(35)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

1525

Так как s = N - n - r - 1 ≥ n - 1, то 2n + r - 1 ≤ n + r + s. Отсюда с учётом того, что

deg_p ξ₁(p, λ) ≤ n + r - 1 и deg_p Δ_ψ(p, λ) = n - 1, получаем

deg_p(ξ₁(p, λ)Δ_ψ(p, λ)) ≤ 2n + r - 2 < n + r + s.

Ввиду (34), (35) deg_p K(p, λ) ≥ n + r + s, что противоречит равенству (26), согласно которому

deg_p K(p, λ) ≤ n + r + s - 1. Лемма доказана.

Полиномы q^′(λ), f^′(p, λ) можно находить методом неопределённых коэффициентов как

решение полиномиального уравнения

(a₁(λ)q^′(λ)Q(p, λ) + d(p)) - (a₂(λ) - p)(f₁(p, λ), f₂(p, λ) - p^s)Q(p, λ) = 0.

(36)

Замечание 5. Если исходная система (1) имеет конечный спектр, т.е. w(p, e^-ph) = w(p) -

полином, то полагаем d₀(p) = w(p) и регулятор финитной стабилизации строим в виде

u(t) = f₁(p, λ)xn+1(t) + q₁(λ)a₁(λ)xn+2(t),

∑

x(s)n+1(t) =

ψ_ix_i(t) + f₂(p,λ)xn+1(t) + q₂(λ)a₁(λ)xn+2(t),

i=1

xn+2(t) = xn+1(t) + a₂(λ)xn+2(t), t > 0.

(37)

Здесь, как и раньше, a_i(λ), i = 1, 2, q^′(λ) = (q₁(λ), q₂(λ)); ψ_i ∈ R, i = 1, n - числа; f₁(p, λ) =

∑r1

∑_s

f_i(λ)pr1-i,

f_i(λ), i = 0,r₁, f₂(p,λ) =

f_i(λ)p^s-i,

f_i(λ), i = 0,s, - некоторые

i=0

полиномы, r₁ ≥ 0, s ≥ 1.

Все приведённые выше утверждения, включая теоремы 1 и 2 (при r = 0), а также изло-

женная в п. 2 схема вычисления коэффициентов регулятора остаются в силе. В частности, при

N ≥ 2n замкнутая система (1), (37) приводится к нормальному виду. Для этого при s ≥ 2 в

полученной характеристической матрице после n-й строки и (n + 1)-го столбца аналогично

(12) добавим s - 1 строку и s - 1 столбец, что равносильно введению s - 1 вспомогательных

переменных. Если r₁ > 0, то, используя строки с номерами с n + 1 по n + s, с помощью

элементарных преобразований замкнутую систему (1), (37) приведём к нормальному виду.

3. Модификация регулятора (9). При построении регулятора элемент an+2,n+1 харак-

теристической матрицы (10) в позиции (n + 2, n + 1) можно взять равным -1. Тогда, как

несложно видеть, модифицированный регулятор

u(t) = xn+1(t),

∑

x(r)n+1(t) =

ϕi(λ)xi(t) +

ϕi(λ)xⁿ

(t) + f₁(p, λ)xn+2(t) + q₁(λ)a₁(λ)xn+3(t),

i=1

∑

x(s)n+2(t) =

ψ_ix_i(t) + xn+1(t) + f₂(p,λ)xn+2(t) + q₂(λ)a₁(λ)xn+3(t),

i=1

xn+3(t) = xn+2(t) + a₂(λ)xn+3(t), t > 0,

(38)

отличается от регулятора (9) лишь предпоследним уравнением.

Полиномы d(p) и a₁(λ), a₂(λ) регулятора (38) строятся так же, как и в п. 2, поскольку

формулировка теоремы 1 не меняется.

Векторные полиномы q^′(λ), f^′(p, λ) находятся согласно (30), (32) с заменой Q(p, λ) =

= (Δ_ψ(p, λ), d₀(p))^′ на

^Q(p, λ) = (Δψ(p, λ), d₀(p))^′, где



p - a11(λ) ...

-a1,n-1(λ)

-a1,n(λ)



Δ_ψ(p,λ) =



 = w(p,λ) + Δ_ψ(p,λ).



-an,1(λ) ...

-an,n-1(λ) p - a_n,n(λ)

-1



ψ₁

ψn-1

ψ_n

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1526

МЕТЕЛЬСКИЙ

Действительно, характеристический определитель замкнутой системы (1), (38) имеет вид

(p - a₂(λ))((p^s - f₂(p, λ))d₀(p) - f₁(p, λ)Δψ(p, λ)) - a₁(λ)(q₁(λ)Δψ(p, λ) + q₂(λ)d₀(p)) =

= (p - a₂(λ))((p^sd₀(p) - f^′(p, λ) ^Q(p, λ)) - a₁(λ)q^′(λ) ^Q(p, λ),

(39)

аналогичный (28), поэтому для регулятора (38) верна прежняя теорема 2, задающая векторные

полиномы q^′(λ), f^′(p, λ).

Замечание 6. Так какΔψ(p, e^-ph) = w(p, e^-ph)+Δ_ψ(p, e^-ph), то выбором действительного

вектора ψ = (ψ₁, . . . , ψ_n), ψ_n = 1, достаточно обеспечить (см. лемму 1) выполнение условия

Δ_ψ(p_i,e-pih) = 0 для тех значений p_i ∈ P₀, для которых w(p_i,e-pih) = 0. Тогда при некотором

γ ∈ R и действительном векторе (ψ∗1,...,ψ^∗n) = γ(ψ₁,...,ψn-1,1) (число γ легко подобрать)

будем иметь

Δ_ψ(p_i,e-pih) = M₁(p_i,e-pih)ψ∗1 + ... + M_n(p_i,e-pih)ψ^∗n + Mn+1(p_i,e-pih) = 0, p_i ∈ P₀.

(40)

Если w(p_i, e-pih) = 0 для всех pi ∈ P0, то полагаем (ψ1,... ,ψn) = 0 и

Δ_ψ(p,e^-ph) =

= w(p,e^-ph). Тем самым модифицированный регулятор (38) расширяет возможности обес-

печения условия (40), требуемого леммой 2. Это существенно при спектральном приведении и

финитной стабилизации семейства систем вида (1) (см. п. 4).

Ввиду условия (40) для полиномовΔψ(p, λ), d₀(p) справедлива лемма 2. Поэтому остаётся

в силе схема п. 2 вычисления полиномов q^′(λ), f^′(p, λ) регулятора (38).

Как и выше, считаем, что N ≥ 2n + r. Так как N = n + r + s + 1, то s ≥ n - 1. Согласно

лемме 3 m₁ = r₁ - r ≤ n - 1, поэтому m₁ ≤ s. В этом случае справедливо равенство (34), в

котором вместо полинома Δ_ψ(p, λ) будет полиномΔψ(p, λ). Так как deg_p(ξ₁(p, λ)Δψ(p, λ)) ≤

≤ 2n + r - 1 ≤ n + r + s, deg_p K(p, λ) ≤ n + r + s - 1 то

deg_p(f₂(p, λ) + ξ₀(p, λ)Δψ(p, λ)) ≤ s.

Итак, в равенстве (33) можно полагать, что

r₁ = deg_p f₁(p,λ) ≤ n + r - 1 и r₂ = deg_p f₂(p,λ) ≤ s

(41)

∑r1

∑_s

соответственно, где f₁(p, λ) =

f_i(λ)pr1-i и f₂(p,λ) =

f_i(λ)p^s-i.

i=0

Вместо матрицы (12) будем иметь матрицу

⎡

⎤

-1

⎢

-1

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥

⎢

⎥.

⎢

-1

⎥

⎦

^⎣-ϕr(λ)

ϕr-1(λ) . . .

ϕ₂(λ) p -

ϕ₁(λ)

-f₁(p,λ)

−1

p^s - f₂(p,λ)

Элементарными преобразованиями (см. [19, п. 3.4]) её последний столбец приведём к виду

[

f₀(p,λ),

f₁(λ),... ,

fr-1(λ),

f_r(λ),p^s

f (p, λ)]^′,

(42)

где

f₀(p,λ) - некоторый полином со старшим членом

f₀(λ)pr1-r относительно p;

f_i(λ), i =

= 1, r, - некоторые полиномы;

f (p, λ) = f₂(p, λ)

f₀(p,λ).

Так как характеристический полином системы (1), замкнутой регулятором (38), имеет

старший член p^N , то, как следует из представления (39), deg_p(f^′(p, λ)^Q(p, λ)) ≤ n + r +

+s-1. Если r₂ = s, то deg_p(f₂(p,λ)d₀(p)) = n+r+s. Вследствие равенства f^′(p,λ) ^Q(p,λ) =

= f₁(p,λ)Δψ(p,λ) + f₂(p,λ)d₀(p) должно быть

deg_p(f₁(p, λ)Δψ(p, λ)) = n + r + s

(43)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

1527

f₀(λ)

f₀(λ) = 0 - сумма старших относительно p коэффициентов полиномов f₁(p,λ),

f₂(p,λ). Итак, полином

f (p, λ) в столбце (42) будет относительно p иметь степень не боль-

шую, чем s - 1.

В силу (43) имеем r₁ + n = n + r + s или r₁ - r = s. Так как r₁ - r ≤ n - 1 (см. (41)) и

s ≥ n-1, то r₁-r = s = n-1. Если s ≥ 2, то с помощью элементарных преобразований над

строками характеристической матрицы, описанных после выражения (13), приведём регулятор

финитной стабилизации к виду (14), где первое и предпоследнее уравнения будут такими:

u(t) = ψ₁f(λ)x₁(t) + . . . + ψ_nf(λ)x_n(t) + (f(λ) + 1)xn+1(t) + . . .

f₁(λ)x_N-s(t) +

...

f_s(λ)xN-1(t) + f(λ)q₂(λ)a₁(λ)x_N (t),

xN-1(t) = ψ₁x₁(t) + ... + ψ_nx_n(t) + xn+1(t) + ...

f_s(λ)x_N-s(t) +

...

f₁(λ)xN-1(t) + q₂(λ)a₁(λ)x_N (t).

(44)

Как и в (14), здесь

f_i(λ), i = 1, s, - некоторые полиномы; f(λ) =

f₀(λ) - коэффициент

полинома f₁(p, λ) при pr1 , если m₁ = r₁ - r = s, и f(λ) = 0, если m₁ < s.

Все коэффициенты модифицированного регулятора (38) находятся по изложенной выше

схеме. Как и выше, система (1), замкнутая регулятором (38), при N ≥ 2n + r введением

вспомогательных переменных (если необходимо) и элементарными преобразованиями столб-

цов также может быть приведена к нормальной форме. Характеристический определитель

(полином d(p)) приведённой системы, очевидно, не изменится. Первые N - 1 строки матри-

цы, обратной к характеристической матрице приведённой системы, образованы целыми функ-

циями экспоненциального типа. Если старшая степень λ в i-й строке этой матрицы равна

α_i, i = 1,n + 1, то согласно теореме Винера-Пэли в замкнутой системе (1), (38) переменные

x_i(t) ≡ 0, i = 1,n + 1, по крайней мере, при t ≥ (α_i + 1)h. При этом и управление u(t) ≡ 0,

t ≥ (α_i + 1)h, поскольку u(t) = xn+1(t). Следовательно, тождества (2) будут иметь место, по

крайней мере, при t ≥ t₁ = (α + 1)h,

α = max{α_i: i = 1,n + 1}.

4. Спектральное приведение и финитная стабилизация семейства систем ви-

да (1). Единый регулятор финитной стабилизации семейства систем (1) будем строить в виде

(38). Как отмечалось в замечании 6, модифицированный регулятор (38) расширяет возмож-

ности обеспечения условия (40), требуемого леммой 2.

Из изложенного выше видно, что основными этапами построения регулятора являются

обеспечение равенства (8) и неравенства (40) за счёт выбора соответственно векторного поли-

∑r

нома (-ϕ₁(λ), . . . , -ϕ_n(λ), p^r -

i=1

ϕi(λ)p^r-i) и действительного вектора (ψ¹, . . . , ψⁿ). Следо-

вательно, системы, для которых эти векторы являются общими, могут быть замкнуты единым

регулятором. Выясним, для каких семейств систем вида (1) это возможно.

Рассмотрим семейство объектов управления, описываемых линейными автономными диф-

ференциально-разностными системами n-го порядка с соизмеримыми запаздываниями

∑

x^ω(t) =

A^ωix^ω(t - ih) + bu(t), t > 0, x^ω(t) = η^ω(t), ω ∈ Ω, t ∈ [-mh,0].

(45)

i=0

Множество Ω может быть подмножеством действительных чисел: Ω ⊆ R, тогда ω - пара-

метр, от которого зависят коэффициенты семейства (45), или отрезком натурального ряда:

Ω ⊂ N конечно, тогда ω - натуральный индекс (порядковый номер системы: ω = 1,N_Ω).

В записанных далее выражениях и соотношениях предполагается, что ω ∈ Ω. Смысл осталь-

ных обозначений прежний: x^ω = [xω1, . . . , x^ωn]^′ - n-вектор-столбец решения системы с индексом

ω семейства (45) (для краткости - системы ω) (n ≥ 2);

0 < h - постоянное запаздывание;

A^ωi - постоянные n × n-матрицы (i = 0,m, m - максимальная кратность запаздывания в

семействе (45); η^ω - начальная кусочно непрерывная функция; b = e_n = [0, . . . , 0, 1]^′, u -

скалярное управление, одно и то же для всех систем семейства.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1528

МЕТЕЛЬСКИЙ

Следуя п. 1, обозначим A^ω(λ) = Aω0 + Aω1λ + . . . + A^ωmλ^m (λ ∈ C); A^ω(λ) = [a^ωij (λ)];

⎡

⎤

p - aω11(λ) ...

-aω1,n-1(λ)

-aω1,n(λ)

⎢

⎥

⎢

⎥

-aωn,1(λ) ...

-aωn,n-1(λ) p - a^ωn,n(λ)

-1

⎥

F^ωϕ(p,λ) =^⎢

⎥.

⎢

∑

⎥

⎦

⎣ -ϕ₁(λ) ...

-ϕn-1(λ)

-ϕ_n(λ) p^r -

ϕi(λ)p^r-i

i=1

Здесь ϕ_i(λ), i = 1, n,

ϕj (λ), j = 1, r, - некоторые полиномы (r ≥ 1).

Обозначим

Φ(λ) = (ϕ₁(λ), . . . , ϕ_n(λ)),

Φ(λ) = (ϕ1(λ),... ,ϕr(λ)).

Векторные полиномы Φ(λ),

Φ(λ) в последней строке матрицы F^ωϕ(p, λ) будем выбирать та-

кими, чтобы

|F^ωϕ(p, λ)| = d₀(p) = p^ν + pν-1β₁ + . . . + pⁿβ_r + . . . + β_ν ,

(46)

где d₀(p) - некоторый полином с действительными коэффициентами: β_i - вещественные числа,

i = 1,ν, ν = n + r. Напомним, что здесь и далее предполагается, что ω ∈ Ω, поэтому если

Ω ⊂ N конечно, то (46) является конечной системой равенств: ω = 1,N_Ω.

Определение. Если при некоторых полиномах Φ(λ),

Φ(λ) и d₀(p) для всех ω ∈ Ω

имеет место равенство (46), то семейство систем (45) назовём спектрально приводимым с

полиномом d₀(p).

Пусть W^ω(p, λ) = [Mω1(p, λ), . . . , Mωn+1]^′ - алгебраческие дополнения к элементам (начи-

ная с первого) последней строки матрицы F^ωϕ(p, λ). Заметим, что Mωn+1(p, λ) = w^ω(p, λ), где

w^ω(p,λ) = |pE_n - A^ω(e^-ph)|.

Как и в п. 1, полином d₀(p) = d₁(p

d₀(p), где d₁(p) - некоторый полином с действи-

тельными коэффициентами

d₀(p) - инвариантный полином, который получается следующим

образом. При ω ∈ Ω для системы полиномов {Mω1(p, λ), . . . , M^ωn(p, λ)} находим редуцирован-

ный базис Грёбнера (в словарном порядке λ > p). Ввиду спектральной управляемости он

необходимо содержит полином

dω0(p), корни которого, если полином отличен от постоянной,

являются инвариантными спектральными значениями. Поэтому должно выполняться равен-

ство

dω0(p)

d₀(p), т.е. этот полином не должен зависеть от параметра ω, иначе построение

предполагаемого единого регулятора невозможно. (В таком случае можно рассмотреть постро-

ение по изложенной выше схеме ”универсального” регулятора с коэффициентами, зависящими

от параметра ω.)

Если параметр ω - натуральный индекс, то, вычисляя редуцированный базис Грёбнера для

системы полиномов {Mω1(p, λ), . . . , M^ωn(p, λ)}, находим инвариантный полином

dω0(p), ω =

= 1, N_Ω, для каждой системы ω в отдельности. Полином

d₀(p) записываем как наименьшее

общее кратное найденных инвариантных полиномов. Векторные полиномы Φ(λ),

Φ(λ), обес-

печивающие равенство (46), могут быть найдены методом неопределённых коэффициентов.

При этом полином d₁(p) также предпочтительно брать с неопределёнными коэффициентами,

так как для фиксированных коэффициентов полинома d₁(p) система (46) может не иметь

решения.

Получим необходимые условия на семейство систем (45), при которых единый регулятор

финитной стабилизации существует, а также необходимые условия, которым удовлетворяют

коэффициенты регулятора. Пусть

∑

M^ωk(p,λ) =

γ^ωk,i(λ)pⁱ, k = 1,n - 1, M^ωn(p,λ) = pn-1 +

γ^ωn,i(λ)pⁱ.

(47)

i=0

Очевидно, что

(

)

∑

|F^ωϕ(p, λ)| = -(ϕ₁(λ)Mω1(p, λ) + . . . + ϕ_n(λ)M^ωn(p, λ)) + w^ω(p, λ) p^r -

ϕi

(λ)p^r-i

(48)

i=1

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

1529

С учётом (47) первую группу слагаемых в (48) представим в виде

∑

-(ϕ₁(λ)Mω1(p, λ) + . . . + ϕ_n(λ)M^ωn(p, λ)) = -

pⁱs^ωi(λ),

i=0

где

∑

s^ωi(λ) =

ϕj (λ)γj,i(λ), i = 0, n - 2, sn-1(λ) = ϕn(λ).

j=1

∑_k

∑_l

Замечание 7. Произведение полиномов L₁(p) =

a_i(λ)p^k-i, L₂(p) =

b_i(λ)p^l-i

i=0

может быть записано в виде

∑

min(i,k)∑

L₁(p)L₂(p) =

pN1-i

a_j(λ)b_i-j(λ), N₁ = k + l.

i=0

j=max(0,i-l)

Запишем характеристический квазиполином системы ω :

w^ω(p,λ) = pⁿ + pn-1αω1(λ) + ... + pαωn-1(λ) + α^ωn(λ).

Согласно замечанию 7 (напоминаем, что ν = n + r) имеем

(

)

∑

min(i,n)∑

w^ω(p,λ) p^r -

ϕi

(λ)p^r-i

=- p^ν-i

α^ωj(λ

ϕi-j (λ), α⁰(λ) =

ϕ₀(λ) = -1.

i=1

i=0

j=max(0,i-r)

Сравнивая коэффициенты полиномов |F^ωϕ(p, λ)| и d₀(p), получаем

∑

−

α^ωj(λ

i = r + 1,ν. (49)

ϕi-j (λ) = βi, i = 1, r,

ϕi-j (λ) - sν-i(λ) = βi,

j=0

j=i-r

Таким образом, верна

Теорема 3. Семейство систем (45) спектрально приводимо с полиномом d₀(p), если и

только если найдутся полиномы Φ(λ),

Φ(λ), обеспечивающие равенства (49).

Так как числа β_j , j = 1, ν, не зависят от параметра ω, то и полиномы в правых частях

равенств (49) не должны зависеть от ω. Величины, не зависящие от индекса ω системы,

будем называть инвариантными.

Опираясь на теорему 3, приведём простые для проверки необходимые условия спектраль-

ной приводимости семейства (45).

Следствие 1. Для спектральной приводимости семейства (45) при 1 ≤ r ≤ n - 2 необ-

ходимо, чтобы были инвариантны r коэффициентов характеристических квазиполиномов

систем семейства (45):

α^ωi(λ) = α_i(λ), i = 1,r, ω ∈ Ω.

Если r ≥ n - 1 ≥ 1, то должны быть инвариантны все коэффициенты характеристи-

ческих квазиполиномов, т.е. системы семейства (45) должны иметь общий характеристи-

ческий квазиполином

w^ω(p,λ) = w(p,λ) = pⁿ + pn-1α₁(λ) + ... + pαn-1(λ) + α_n(λ).

Доказательство. Если 1 ≤ r ≤ n - 2, то из (49) имеем

∑

- α^ωj(λ

ϕi-j (λ) = βi, i = 1, r.

j=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1530

МЕТЕЛЬСКИЙ

Или, в подробной записи:

αω1(λ) -

ϕ₁(λ) = β₁, αω2(λ) - αω1(λ

ϕ₁(λ) -

ϕ₂(λ) = β₂,

α^ωr(λ) - αωr-1(λ

ϕ₁(λ) - ... - αω1(λ

ϕr-1(λ) -

ϕr(λ) = βr.

(50)

Отсюда следует инвариантность коэффициентов α^ωi(λ), i = 1, r, r ≤ n - 2.

При r = n - 1 имеем систему равенств (50) и дополнительно при i = n из правой системы

в (49) получаем равенство

-αω1(λ

ϕn-1(λ) - . . . - αn-1(λ)ϕ1(λ) + αωn(λ) - ϕn(λ) = βn,

что влечёт за собой инвариантность коэффициента α^ωn(λ) = α_n(λ).

Если r ≥ n, то из (49) получаем систему равенств (50), где r = n, откуда и следует

инвариантность всех коэффициентов: α^ωi(λ) = α_i(λ), i = 1, n.

Поэтому для спектральной приводимости семейства (45) при r ≥ n - 1 необходимо, чтобы

все его системы имели общий характеристический квазиполином w^ω(p, λ) = w(p, λ). След-

ствие доказано.

Если r ≥ n - 1, то из правой системы в (49) вытекает, что

∑

α^ωj(λ

ϕi-j (λ) - s^ν-i(λ) = βi, i = r + 1, ν.

j=i-r

Отсюда в подробной записи получаем

-αω1(λ

ϕr(λ) - . . . - αⁿ(λ)ϕr+1-n(λ) - ϕn(λ) = βr+1,

−αω2(λ

ϕr(λ) - . . . - αⁿ(λ)ϕr+2-n(λ) - sn-2(λ) = βr+2, . . . ,

−αωn-1(λ

ϕr(λ) - αⁿ(λ)ϕr-1(λ) - s1(λ) = βν-1,

-α^ωn(λ

ϕr (λ) - s⁰(λ) = βν .

Таким образом, можно сформулировать ещё одно следствие из теоремы 3.

Следствие 2. Для спектральной приводимости семейства (45) при r ≥ n - 1 ≥ 1 необ-

ходима инвариантность всех полиномов

∑

s^ωi(λ) =

ϕj (λ)γ^j,i(λ) = si(λ), i = 0, n - 2.

j=1

Следуя п. 3, рассмотрим определитель



p - aω11(λ) ...

-aω1,n-1(λ)

-aω1,n(λ)



Δω

(p, λ) =



 = w^ω(p,λ) + Δ^ωψ(p,λ),



-aωn,1(λ) ...

-aωn,n-1(λ) p - a^ωn,n(λ)

-1



ψ₁(λ)

ψn-1(λ)

ψ_n(λ)

Δω

где определитель Δ^ωψ(p, λ) получается вычеркиванием в определителе

(p, λ) последнего

столбца и предпоследней строки; ψ_i(λ), i = 1, n, - некоторые полиномы.

Для реализации единого регулятора вида (38) полиномы ψ_i(λ), i = 1, n, должны быть

такими, чтобы выполнялись соотношения

Δω

(p, e^-ph) = 0, p ∈ P⁰ = {p ∈ C : d₀(p) = 0},

(51)

Δω

т.е.

(p, e^-ph) = 0 на корнях полинома d₀(p) (см. (46)). Последнее условие легко обеспечить

для всех систем семейства (45) единым набором чисел ψ = (ψ₁, . . . , ψ_n) (см. лемму 1). Но,

кроме того, определитель

∑

Δω

(p, λ) =

p^n-iq_i(λ),

q₀(λ) = 1,

(52)

i=0

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

1531

должен быть одним и тем же для всех систем семейства (45) (q_i(λ), i = 1, n, - некоторые

полиномы). Чтобы расширить класс систем (45), для которых это возможно, в последней

Δω

строке определителя

(p, λ) числовой вектор ψ заменён векторным полиномом Ψ(λ) =

= (ψ₁(λ), . . . , ψ_n(λ)).

Имеем равенство

Δω

(p, λ) = (ψ₁(λ)Mω1(p, λ) + . . . + ψ_n(λ)M^ωn (p, λ)) + w^ω(p, λ),

(53)

заменяя в котором полиномы M^ωi(p, λ) согласно (47), можем записать

∑

Δω

(p, λ) = pⁿ +

p^n-iα^ωi(λ) +

p^n-is^ωn-i(λ),

i=1

где

∑

sωi(λ) =

ψ_j(λ)γ^ωj,i(λ), i = 0,n - 2,

sωn-1(λ) = ψ_n(λ).

j=1

Тогда в силу (52) верно равенство

α^ωi(λ) + s^ωn-i(λ) = q_i(λ), i = 1,n.

(54)

С учётом следствия 1 получаем

Следствие 3. Для существования единого регулятора стабилизации семейства (45) при

2 ≤ r ≤ n - 2 необходимо, чтобы были инвариантны r - 1 полиномов

∑

sωi(λ) =

ψ_j(λ)γ^ωj,i(λ) = s_i(λ), i = n - r,n - 2.

j=1

Если r ≥ n - 1 ≥ 1, то должны быть инвариантны полиномы

sωi(λ) = s_i(λ), i = 0, n - 2.

В последнем случае (r ≥ n-1 ≥ 1), согласно следствию 1, необходимо, чтобы выполнялись

равенства w^ω(p, λ) = w(p, λ). Если к тому же w(p, e^-ph) = 0, p ∈ P⁰, то можно положить

Δω

ψ_j(λ) = 0, j = 1,n, и вследствие (53) получаем, что

(p, λ) = w(p, λ).

Теорема 4. Для реализации единого регулятора вида с полиномами

Δ_ψ(p,λ) = pⁿ +

∑_n

∑_ν

p^n-iq_i(λ) и d₀(p) = p^ν +

p^ν-iβ_i достаточно, чтобы существовали векторные

i=1

полиномы Φ(λ),

Φ(λ), обеспечивающие равенства (49), и векторный полином Ψ(λ), обеспе-

чивающий равенства (54) и неравенства (51).

Полиномы Φ(λ),

Φ(λ), d₀(p) можно находить методом неопределённых коэффициентов

как решение системы (49), полином Ψ(λ) - как решение системы (54) и неравенства (51).

5. Примеры. Процедуру построения единого регулятора финитной стабилизации вида

(38) проиллюстрируем примерами.

Пример 1. Пусть объект управления описывается системой (45) второго порядка с мат-

рицами

[

]

[

]

ω(2 - λ)

A^ω(λ) =

ω = 0, b =

h = ln2.

(55)

(-1 - 4ω - 2ω² + ω²λ)/ω

-4 - 2ω + ωλ

Система (55) имеет бесконечный спектр и характеристический квазиполином (λ = e^-ph)

w(p, λ) = p² + 4p - λ + 2.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1532

МЕТЕЛЬСКИЙ

Алгебраические дополнения M^ω(p, λ) = [Mω1(p, λ), Mω2(p, λ), Mω3 (p, λ)]^′ к элементам (начи-

ная с первого) последней строки матрицы F_ϕ(p, λ) следующие:

Mω1(p,λ) = -ω(2 - λ), Mω2(p,λ) = p + ω(2 - λ), Mω3(p,λ) = p² + 4p - λ + 2.

Решая систему (6), находим (p, λ) = (0, 2). Так как e^-ph = λ, то система (55) спектрально

управляема, поскольку, очевидно, выполняется условие (3). Следовательно, регулятор финит-

ной стабилизации при каждом действительном значении ω = 0 существует.

Находим базис Грёбнера: {p, -2+λ} для системы полиномов M^ω(p, λ); значит, в разложе-

нии (7

d₀(p) = p. Возьмём d₁(p) = (p+1)(p+3), тогда d₀(p) = p(p+1)(p+3), P₀ = {0,-1,-3}.

Равенство (8) примет вид

[1 + λ, 1 + λ, p]M^ω(p, λ) = d₀(p).

ПолиномΔωψ(p, λ), обеспечивающий выполнение требования (51), не должен зависеть от

ω. Так как полином w(p,λ) = p² +4p-λ+2 удовлетворяет этому требованию и w(p_i,e-pih) =

Δω

= 0 для всех p_i ∈ P₀, то, согласно (40), полагаем (ψ∗1,ψ∗2) = 0 и

(p, e^-ph) = w(p, e^-ph).

Итак,

Δ_ψ(p,λ) = p² + 4p - λ + 2, d₀(p) = 3p + 4p² + p³.

Решая систему (19), находим

P_λ = {(-3,-1),(-1,-1),(0,2)}, Λ = {-1,2}, P∗1 = {0,-1,-3}.

В данном случае r = 1, поэтому порядок замкнутой системы равен N = 2n + r = 5, s =

= N - (n + r + 1) = 1. И следовательно, единый регулятор финитной стабилизации ищем в

виде (38):

u(t) = x₃(t),

x₃(t) = -(1 + λ)x₁(t) - (1 + λ)x₂(t) + f₁(p,λ)x₄(t) + q₁(λ)a₁(λ)x₅(t),

x₄ = x₃(t) + f₂(p,λ)x₄(t) + q₂(λ)a₁(λ)x₅(t),

x₅(t) = x₄(t) + a₂(λ)x₅(t), t > t₀ ≥ 0.

(56)

Характеристическая матрица замкнутой системы в данном случае следующая:

⎡

⎤

p - aω11(λ)

-aω12(λ)

⎢

-aω21(λ) p - aω22(λ)

-1

⎥

⎢

⎥

pE₅

A^ω(λ) =

⎢

1+λ

-f₁(p,λ)

-q₁(λ)a₁(λ)⎥

(57)

⎣

⎦

-1

p - f₂(p,λ)

-q₂(λ)a₁(λ)

-1

p - a₂(λ)

Полиномы a_i(λ), q_i(λ), f_i(p, λ), i = 1, 2, получим, выполнив рекомендации п. 2 (пп. 4, 5).

Полином d(p) возьмём в виде d(p) = (p - 1)p(p + 1)(p + 2)(p + 3). Следовательно,

Λ={8,4,2,1,1/2}.

P = {-3,-2,-1,0,1},

Согласно формулам (21), (22) строим полиномы

a₁(λ) = (λ - 8)(λ - 4)(λ - 2)(λ - 1)(2λ - 1)/2,

a₂(λ) = (λ - 1)(-2136 + 1014λ - 211λ² + 14λ³)/840

такие, чтобы функции a₁(e^-ph)/d(p) и (a₂(e^-ph) - p)/d(p) были целыми. Непосредственной

проверкой убеждаемся, что условие (23) для Λ \Λ = {-1} выполняется.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

1533

Методом неопределённых коэффициентов, решая уравнения (36), находим компоненты век-

торных полиномов q^′(λ) = (q₁(λ), q₂(λ)) и f^′(p, λ) = (f₁(p, λ), f₂(p, λ)), существование кото-

рых обосновано в п. 2 (там же приведены и необходимые формулы):

q₁(λ) = -(677 - 453λ + 46λ²)(-2136 + 1014λ - 211λ² + 14λ³)×

×(-1488 + 831λ - 197λ² + 14λ³)(-582 + 321λ - 113λ² + 14λ³)/120022560000,

q₂(λ) = (-525141162 + 534571011λ - 308231478λ² + 110236554λ³ -

- 25304723λ⁴ + 3585194λ⁵ - 279412λ⁶ + 9016λ⁷)/142884000,

f₁(p,λ) = -(λ - 4)(2λ - 1)(677 - 453λ + 46λ²)(13856256 + 4616640p + 705600p²-

-24040800λ - 2646000pλ + 19271700λ² + 1029000pλ² - 9434700λ³ - 189000pλ³ +

+ 3024973λ⁴ + 11760pλ⁴ - 639450λ⁵ + 84925λ⁶ - 6300λ⁷ + 196λ⁸)/285768000,

f₂(p,λ) = (13677888 + 2274720p - 50700330λ - 6640200pλ + 58581965λ² + 4716600pλ² -

- 35143770λ³ - 1108800pλ³ + 13352874λ⁴ + 77280pλ⁴ -

- 3280845λ⁵ + 488310λ⁶ - 39180λ⁷ + 1288λ⁸)/340200.

Все параметры замкнутой системы (57) указаны, т.е. единый регулятор финитной стаби-

лизации вида (56) построен. Приведём замкнутую систему (57) к нормальной форме.

Выполняя элементарные преобразования над столбцами характеристической матрицы (57),

её четвёртый столбец приведём к виду (см. (14), (44))

[0,

f₀(p,λ),

f₁(λ),p

f₁(λ),-1]^′,

f₁(λ) = f₂(p,λ)

f₀(p,λ).

Здесь

(λ - 4)(2λ - 1)(677 - 453λ + 46λ²)(5496 + 840p - 3150λ + 1225λ² - 225λ³ + 14λ⁴)

f₀(p,λ) = -

340200

f₁(λ) = -(λ - 8)(λ - 4)(λ - 2)(2λ - 1)(677 - 453λ + 46λ²)(-1488 + 831λ - 197λ² + 14λ³)×

(-582 + 321λ - 113λ² + 14λ³)

f₁(λ) = -

(2976 - 3150λ + 1225λ² - 225λ³ + 14λ⁴).

285768000

840

Умножая четвёртую строку полученной матрицы на полином

f (λ) = -(λ - 4)(2λ - 1)(677 - 453λ + 46λ²)/405

и прибавляя ко второй строке, получаем, что

f₁(λ) = -(λ - 4)(2λ - 1)(677 - 453λ + 46λ²)/135.

Окончательно система (55), замкнутая единым регулятором финитной стабилизации, имеет

вид

⎡

⎤

p - aω11(λ)

-aω12(λ)

⎢

⎥

−aω21(λ) p - aω22(λ)

-f(λ) - 1

f₁(λ)

-f(λ)q₂(λ)a₁(λ)

⎢

⎥

pE₅

A^ω(λ) =^⎢

1+λ

f₁(λ)

-q₁(λ)a₁(λ)

^⎥.

(58)

⎢

⎥

⎣

⎦

-1

f₁(λ)

-q₂(λ)a₁(λ)

-1

p - a₂(λ)

Так как функции a₁(e^-ph)/d(p) и (a₂(e^-ph)-p)/d(p) - целые, то первые четыре строки об-

ратной матрицы (pE₅

A^ω(e^-ph))-1 образованы целыми функциями экспоненциального типа.

Запишем старшие степени переменной λ в первых четырёх строках матрицы, присоединённой

к характеристической матрице pE₅

A^ω(λ) замкнутой системы (58):

((6, 6, 6, 10, 18), (6, 6, 6, 10, 18), (13, 13, 13, 17, 25), (5, 5, 5, 9, 17)).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1534

МЕТЕЛЬСКИЙ

Отсюда заключаем, что первые две строки обратной матрицы (pE₅

A^ω(e^-ph))-1 образова-

ны целыми функциями, имеющими экспоненциальный тип не выше 18h. Согласно теореме

Винера-Пэли в замкнутой системе (57) переменные x_i(t), i = 1, 2, обратятся в нуль, по край-

ней мере, начиная с момента t₀ + 18h, h = ln 2 (u(t) = 0, t ≤ t₀, t₀ ≥ 0 - момент включения

регулятора), независимо от начальных кусочно непрерывных функций системы (55) и постро-

енного регулятора.

Замечание 8. Переменные x_i(t), i = 3, 4, также обратятся в нуль, начиная с момента

t₀ + 25h и t₀ + 17h соответственно.

Таким образом, регулятор

u(t) = (f(λ) + 1)x₃(t)

f₁(λ)x₄(t) + f(λ)q₂(λ)a₁(λ)x₅(t),

x₃(t) = -(1 + λ)x₁(t) - (1 + λ)x₂(t)

f₁(λ)x₄(t) + q₁(λ)a₁(λ)x₅(t),

x₄ = x₃(t)

f₁(λ)x₄(t) + q₂(λ)a₁(λ)x₅(t),

x₅(t) = x₄(t) + a₂(λ)x₅(t), t > t₀, u(t) = 0, t ≤ t₀,

с указанными выше полиномами f(λ),

f₁(λ),

f₁(λ); a_i(λ), q_i(λ), i = 1,2, обеспечи-

вает конечный спектр (с характеристическим полиномом d(p) = (p - 1)p(p + 1)(p + 2)(p + 3)) и

точечную вырожденность замкнутой системы (58) в направлениях, выделяющих переменные

x_i(t), i = 1,2, и тем самым - финитную стабилизацию (см. тождества (2), где в рассматри-

ваемом случае t₁ = t₀ + 18h) системы (55).

Пример 2. Рассмотрим семейство, состоящее из двух систем вида (1):

[

]

[

]

[

]

2-λ

4-λ

-2 + λ

-3 + λ

A¹(λ) =

A²(λ) =

h = ln4.

1+λ

-4 + λ

-4 - λ

-λ

Систему с матрицей Aⁱ(λ) обозначим S_i, i = 1, 2. Вычисляя базис Грёбнера для каждой

системы, получаем {2 + p, -4 + λ} для S₁, {-1 + p, -3 + λ} для S2. Отсюда заключаем, что

обе системы спектрально управляемы и что инвариантный полином

d₀(p) имеет вид

d₀(p) =

= (-1+p)(2+p), поскольку d₀(p) берём в виде d₀(p) = (-1+p)(2+p)(p₀ +p). Так как r = 1 =

= n-1, то, согласно следствию 1, системы S₁, S₂ должны иметь общий характеристический

квазиполином, что в данном случае выполнено: w(p, λ) = p² + 2p + 3λ - 12 (λ = e^-ph).

Последнюю строку матрицы F^ωϕ(p, λ) ищем в виде [-(f₀ + f₁λ), -(f₂ + f₃λ), p - (f₄ + f₅λ)].

Решая систему

F^ωϕ(p,λ) = (p + 2)(p - 1)(p + p₀), ω = 1,2,

находим

[-(f₀ + f₁λ), -(f₂ + f₃λ), p - (f₄ + f₅λ)] = [6 - 3λ, 21/2 - 3λ, p + 1/2], p₀ = 3/2.

Для приведения замкнутой системы к нормальной форме требуется, чтобы порядок N

замкнутой системы удовлетворял неравенству N = n + r + s + 1 ≥ 2n + r = 5, поэтому

выберем s = 1 и d(p) = d₀(p)d₂(p) = (p + 3/2)(-1 + p)(2 + p)(1 + p)p. Так как w(p_i, e-pih) = 0

Δω

для всех p_i ∈ P₀ = {-2, 1, -3/2}, то в (53) полагаем Ψ(λ) = (0, 0) и

(p, e^-ph) = w(p, e^-ph).

Согласно формулам (21), (22) строим полиномы

a₁(λ) = (-512 + 2784λ - 3196λ² + 1037λ³ - 117λ⁴ + 4λ⁵)/4,

a₂(λ) = (-1 + λ)(-903232 + 288028λ - 33167λ² + 1148λ³)/624960

такие, чтобы функции a₁(e^-ph)/d(p) и (a₂(e^-ph) - p)/d(p) были целыми. Непосредственной

проверкой убеждаемся, что условие (23) для Λ \Λ = {3, 17/4} выполняется.

Методом неопределённых коэффициентов, решая уравнения (36), найдём компоненты век-

торных полиномов q^′(λ) = (q₁(λ), q₂(λ)) и f^′(p, λ) = (f₁(p, λ), f₂(p, λ)). Единый регулятор

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ОДНОВРЕМЕННАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ

1535

финитной стабилизации вида (38) для систем S₁, S₂ построен. Как указано в предыдущем

примере, приводим регулятор к виду, обеспечивающему замкнутой системе нормальную фор-

му. Переменные x_i(t), i = 1, 2, обратятся в нуль, по крайней мере, начиная с момента t₀ +18h,

h = ln4 (u(t) = 0, t ≤ t0, t0 ≥ 0 - момент включения регулятора).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский Н.Н. Оптимальные процессы в системах с запаздыванием // Статистические методы.

Тр. II Междунар. конгресса ИФАК. Базель, 1963. Т. 2. М., 1965.

2. Булатов В.И., Калюжная Т.С., Наумович Р.Ф. Управление спектром дифференциальных уравне-

ний // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10. № 11. С. 1946-1952.

3. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М., 1968.

4. Kappel F. On degeneracy of functional-differential equations // J. Differ. Equat. 1976. V. 22. № 2. P. 250-

267.

5. Метельский А.В. Проблема точечной полноты в теории управления дифференциально-разностны-

ми системами // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49. Вып. 2 (296). С. 103-141.

6. Карпук В.В., Метельский А.В. Полное успокоение и стабилизация линейных автономных систем с

запаздыванием // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. № 6. C. 19-28.

7. Метельский А.В. Полное успокоение линейной автономной дифференциально-разностной системы

регулятором того же типа // Дифференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 9. С. 1240-1255.

8. Метельский А.В. Полное успокоение и стабилизация системы с запаздыванием через спектральное

приведение // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2014. № 1. С. 3-21.

9. Метельский А.В., Хартовский В.Е., Урбан О.И. Регуляторы успокоения решения линейных систем

нейтрального типа // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 3. С. 391-403.

10. Метельский А.В., Хартовский В.Е. Синтез регуляторов успокоения решения вполне регулярных

дифференциально-алгебраических систем с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2017. Т. 53.

№ 4. C. 547-558.

11. Фомичев В.В. Достаточные условия стабилизации линейных динамических систем // Дифференц.

уравнения. 2015. Т. 51. № 11. С. 1516-1521.

12. Manitius A.Z., Olbrot A.W. Finite spectrum assignment problem for systems with delays // IEEE Trans.

on Autom. Contr. 1979. AC-24. № 4. P. 541-553.

13. Метельский А.В. Задача назначения конечного спектра для системы запаздывающего типа // Диф-

ференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 5. С. 692-701.

14. Хартовский В.Е. Приведение к конечному спектру вполне регулярных дифференциально-алгебра-

ических систем с последействием // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 6. С. 827-841.

15. Ким И.Г. Назначение конечного спектра в линейных системах с несколькими сосредоточенными и

распределенными запаздываниями посредством статической обратной связи по выходу // Вестн.

Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Комп. науки. 2020. Т. 30. Вып. 3. С. 367-384.

16. Коровин С.К., Миняев С.И., Фурсов А.С. Подход к одновременной стабилизации линейных дина-

мических объектов с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 2011. Т. 47. № 11. С. 1592-1598.

17. Миняев С.И., Фурсов А.С. Одновременная стабилизация: построение универсального стабилизато-

ра для линейных объектов с запаздыванием с использованием спектральной приводимости // Диф-

ференц. уравнения. 2012. Т. 48. № 11. С. 1533-1539.

18. Метельский А.В. Построение наблюдателей для дифференциальной системы запаздывающего типа

с одномерным выходом // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 3. С. 396-408.

19. Метельский А.В. Полная и финитная стабилизация дифференциальной системы с запаздыванием

обратной связью по неполному выходу // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 12. C. 1665-1682.

20. Карпук В.В., Метельский А.В. Критический случай при построении регулятора полного успокое-

ния для линейной автономной системы с запаздыванием // Тез. докл. Междунар. мат. конф. “Пятые

Богдановские чтения по обыкновенным дифференциальным уравнениям”. Минск, 2010. C. 88-89.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 1988.

Белорусский национальный технический университет,

Поступила в редакцию 13.05.2021 г.

г. Минск

После доработки 14.08.2021 г.

Принята к публикации 05.10.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021