ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1536-1545

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.977.1

О МИНИМАКСНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ

ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЙТРАЛЬНОГО

ТИПА: СЛУЧАЙ НЕОДНОРОДНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА

Исследуется уравнение Гамильтона-Якоби с коинвариантными производными, отвечающее

динамическим системам нейтрального типа. При этом, в отличии от предыдущих работ, га-

мильтониан в уравнении может не удовлетворять условию однородности. Дано определение

минимаксного (обобщённого) решения этого уравнения. Доказаны существование и един-

ственность этого решения, а также установлена его согласованность с понятием решения

в классическом смысле. Доказательства основаны на выборе подходящего функционала

Ляпунова-Красовского.

DOI: 10.31857/S0374064121110108

Введение. Работа продолжает исследования [1-6] уравнений Гамильтона-Якоби в функ-

ционально-дифференциальных системах и посвящена развитию теории минимаксных (обоб-

щённых) решений [7] для уравнений Гамильтона-Якоби, проистекающих из задач управления

и дифференциальных игр [8-10] в системах нейтрального типа [11, 12].

Рассматривается задача Коши для уравнения Гамильтона-Якоби с коинвариантными про-

изводными [1-3, 13] и условием на правом конце. При этом рассматриваемое уравнение имеет

две особенности. Первая - это появление нового слагаемого, которого не возникало при иссле-

довании уравнений Гамильтона-Якоби, соответствующих системам с запаздыванием [1-3], а

вторая - отсутствие условия однородности гамильтониана, что влечёт за собой существенные

отличия данной работы от работы [5], в которой это условие предполагалось выполненным.

Отметим, что из-за указанных особенностей разработанные ранее конструкции решений урав-

нений Гамильтона-Якоби [1-3, 5, 7] к рассматриваемому уравнению напрямую неприменимы:

возникают трудности как технического, так и принципиального характера. При этом в при-

ложениях к задачам динамической оптимизации первая особенность позволяет охватить ди-

намические системы, которые описываются при помощи функционально-дифференциальных

уравнений нейтрального типа в форме Дж. Хейла [14], а вторая - использовать интегрально-

терминальные показатели для оценки качества динамического процесса.

В статье дано определение минимаксного решения рассматриваемой задачи Коши. Уста-

новлена его согласованность с понятием решения в классическом смысле (теоремы 1, 2). До-

казаны существование и единственность минимаксного решения (теорема 3). Доказательства

проводятся по классической схеме рассуждений из [7] (см. также [3]) и существенно опираются

на свойства (леммы 1, 2) подходящего функционала Ляпунова-Красовского [6, 12].

1. Вспомогательные определения и обозначения. Пусть t₀,ϑ ∈ R, t₀ < ϑ и h > 0.

Всюду ниже угловые скобки 〈 · , · 〉 используем для обозначения скалярного произведения

векторов, а двойные скобки ∥ · ∥ - для евклидовой нормы. Через Lip ([a, b], Rⁿ) обозначаем

пространство липшицевых функций, действующих из [a, b] в Rⁿ, снабжённое равномерной

нормой. Для краткости обозначим Lip = Lip ([-h, 0], Rⁿ) и G = [t₀, ϑ] × Lip. Равномерную

норму пространства Lip обозначим через ∥ · ∥_∞.

Пусть (τ, w(·)) ∈ G. Определим множество всех липшицевых продолжений функции w(·):

Λ(τ, w(·)) = {x(·) ∈ Lip ([τ - h, ϑ], Rⁿ): x_τ (·) = w(·)}.

Здесь x_τ (·) - функция из Lip такая, что x_τ (ξ) = x(τ + ξ), ξ ∈ [-h, 0].

Следуя [1; 2; 3, § 2; 13, § 2.4], говорим, что функционал ϕ: G → R коинвариантно диф-

ференцируем (ci-дифференцируем) в точке (τ, w(·)) ∈ G, τ < ϑ, если существуют число

1536

О МИНИМАКСНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

1537

∂_τ ϕ(τ,w(·)) и вектор ∇ϕ(τ,w(·)) ∈ Rⁿ такие, что для любой функции x(·) ∈ Λ(τ,w(·)) имеет

место равенство

ϕ(t, x_t(·)) - ϕ(τ, w(·)) = ∂_τ ϕ(τ, w(·))(t - τ) + 〈x(t) - w(0), ∇ϕ(τ, w(·))〉 + o(t - τ), t ∈ [τ, ϑ],

где величина o(t-τ) зависит от пары {τ, x(·)}, и o(t-τ)/(t-τ) → 0 при t → τ +0. Величины

∂_τ ϕ(τ,w(·)) и ∇ϕ(τ,w(·)) называются ci-производными функционала ϕ в точке (τ,w(·)).

Аналогично, отображение G ∋ (τ, w(·)) → ψ = (ψ₁, . . . , ψ_n) ∈ Rⁿ ci-дифференцируемо в

точке (τ, w(·)) ∈ G, τ < ϑ, если в этой точке ci-дифференцируемы функционалы ψ_i : G → R,

i = 1,n. При этом полагаем ∂_τψ = (∂_τψ₁,...,∂_τψ_n) и ∇ψ = (∇ψ₁,...,∇ψ_n).

2. Уравнение Гамильтона-Якоби с коинвариантными производными. Пусть функ-

ция g : [t₀, ϑ] × Rⁿ → Rⁿ удовлетворяет условию

(g) для любого α > 0 существует такое λ_g = λ_g(α) > 0, что, каковы бы ни были τ, t ∈

∈ [t₀, ϑ] и x, y ∈ Rⁿ, при условии max{∥x∥, ∥y∥} ≤ α имеет место оценка

∥g(τ, x) - g(t, y)∥ ≤ λ_g(|τ - t| + ∥x - y∥).

Рассмотрим отображение ψ(τ, w(·)) = g(τ, w(-h)), (τ, w(·)) ∈ G. Обозначим через G_∗

множество точек (τ, w(·)) ∈ G, τ < ϑ, в которых это отображение ci-дифференцируемо. Далее

для удобства примем обозначения

∂_τ g(τ,w(·)) = ∂τψ(τ,w(·)) и ∇g(τ,w(·)) = ∇ψ(τ,w(·)).

Отметим, что если функция g дифференцируема в точке (τ, w(-h)) и существует правая

производная d⁺w(-h)/dτ, то справедливы равенства

∂_τ g(τ,w(·)) = ∂g(τ,w(-h))/∂τ + ∇_xg(τ,w(-h))d⁺w(-h)/dτ,

∇g(τ,w(·)) = 0.

Отметим также, что, следуя схеме доказательства леммы 1 из [4], несложно получить

Утверждение 1. Пусть (τ, w(·)) ∈ G, τ < ϑ и x(·) ∈ Λ(τ, w(·)). Тогда при почти всех

t ∈ [τ,ϑ] справедливы соотношения

(t, x_t(·)) ∈ G_∗,

∂_τ g(t,x_t(·)) =

(g(t, x(t - h))),

∇g(t,x_t(·)) = 0.

Пусть функция H : [t₀, ϑ] × Rⁿ × Rⁿ × Rⁿ → R и отображение σ : Lip → R удовлетворяют

следующим условиям:

(H.1) функция H непрерывна;

(H.2) существует такая константа c_H > 0, при которой справедливо неравенство

|H(τ, x, x^′, s) - H(τ, x, x^′, r)| ≤ c_H (1 + ∥x∥ + ∥x^′∥)∥s - r∥, τ ∈ [t₀, ϑ], x, x^′, s, r ∈ Rⁿ;

(H.3) для любого α > 0 существует такое λ_H = λ_H (α) > 0, что, каковы бы ни были

τ ∈ [t₀,ϑ] и x,x^′,y,y^′,s ∈ Rⁿ, при условии max{∥x∥,∥x^′∥,∥y∥,∥y^′∥} ≤ α имеет место оценка

|H(τ, x, x^′, s) - H(τ, y, y^′, s)| ≤ λ_H (∥x - y∥ + ∥x^′ - y^′∥)(1 + ∥s∥);

(σ) отображение σ непрерывно.

Рассмотрим задачу Коши для уравнения Гамильтона-Якоби с ci-производными

∂_τ ϕ(τ,w(·)) + 〈∂_τ g(τ,w(·)),∇ϕ(τ,w(·))〉 +

+ H(τ,w(0),w(-h),∇ϕ(τ,w(·))) = 0, (τ,w(·)) ∈ G_∗,

(1)

и условием на правом конце

ϕ(ϑ, w(·)) = σ(w(·)), w(·) ∈ Lip.

(2)

Отметим, что условия (H.1)-(H.3) и (σ) аналогичны условиям, рассматриваемым при иссле-

дованиях минимаксных решений уравнений Гамильтона-Якоби для систем с запаздыванием

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1538

ПЛАКСИН

(см. [1; 2; 3, § 4]). Однако главное отличие уравнения (1) от уравнений Гамильтона-Якоби для

систем с запаздыванием заключается в появлении нового слагаемого 〈∂_τ g(τ, w(·)), ∇ϕ(τ, w(·))〉.

Так как это слагаемое определено только на множестве G_∗, то уравнение (1) также можно

рассматривать только на этом множестве. При этом, как и в уравнениях Гамильтона-Якоби

для систем с запаздыванием, искомым в задаче (1), (2) будем считать непрерывный функци-

онал ϕ, определённый на всём G.

3. Минимаксное решение. Через P(Rⁿ) обозначим класс всех подмножеств в Rⁿ. Взяв

константу c_H из условия (H.2), определим отображение F : Rⁿ × Rⁿ → P(Rⁿ) соотношением

F (x, x^′) = {f_x ∈ Rⁿ : ∥f_x∥ ≤ c_H (1 + ∥x∥ + ∥x^′∥)}, x, x^′ ∈ Rⁿ.

(3)

Пусть (τ, w(·)) ∈ G. Через X(τ, w(·)) обозначим множество таких функций x(·) ∈ Λ(τ, w(·)),

для которых справедливо дифференциальное включение

(x(t) - g(t, x(t - h))) ∈ F (x(t), x(t - h)) при п.в. t ∈ [τ, ϑ].

Тогда в силу утверждения 1 работы [5] и вида (3) отображения F получаем

Утверждение 2. Множество X(τ, w(·)) является непустым компактом в пространст-

ве Lip ([τ - h, ϑ], Rⁿ). Более того, существует такое число α > 0, что для любой функции

x(·) ∈ X(τ, w(·)) справедливы неравенства

∥x(t)∥ ≤ α,

∥x(t) - x(t^′)∥ ≤ α|t - t^′|, t, t^′ ∈ [τ - h, ϑ],



d



x(t) - g(t, x(t - h)))

α при п.в. t ∈ [τ,ϑ].

(4)

≤

^ dt⁽

Определим отображение E : [t₀, ϑ] × Rⁿ × Rⁿ × Rⁿ → P(Rⁿ) × R соотношением

E(τ, x, x^′, s) = {(f_x, f_z) ∈ F (x, x^′) × R: f_z = 〈f_x, s〉 - H(τ, x, x^′, s)}.

(5)

Пусть (τ, w(·))∈G и s ∈ Rⁿ. Через CH(τ, w(·), s) обозначим множество таких пар (x(·), z(·))∈

∈ Λ(τ, w(·)) × Lip ([τ, ϑ], R), для которых справедливо дифференциальное включение

(x(t) - g(t, x(t - h)), z(t)) ∈ E(t, x(t), x(t - h), s) при п.в. t ∈ [τ, ϑ]

и выполнено условие z(τ) = 0. Тогда, пользуясь утверждением 1 работы [5] и видом (5)

отображения E, нетрудно показать, что справедливо

Утверждение 3. Множество CH(τ, w(·), s) является непустым компактом в прост-

ранстве Lip ([τ - h, ϑ], Rⁿ) × Lip ([τ, ϑ], R). Для числа α из утверждения 2 и любой пары

(x(·), z(·)) ∈ CH(τ,w(·),s) справедливы неравенства (4). Существует такое число β > 0,

что для любой пары (x(·), z(·)) ∈ CH(τ, w(·), s) справедливы неравенства

|z(t)| ≤ β,

|z(t) - z(t^′)| ≤ β|t - t^′|, t, t^′ ∈ [τ, ϑ].

Функционал ϕ₊ : G → R назовём верхним решением задачи (1), (2), если он удовлетворяет

следующим условиям:

(ϕ₊.1) функционал ϕ₊ полунепрерывен снизу;

(ϕ₊.2) для любых (τ, w(·)) ∈ G, s ∈ Rⁿ, t^∗ ∈ [τ, ϑ] и ζ > 0 найдётся такая пара

(x(·), z(·)) ∈ CH(τ, w(·), s), что справедливо неравенство ϕ₊(t^∗, x_t∗ (·))-z(t^∗) ≤ ϕ₊(τ, w(·))+ζ;

(ϕ₊.3) имеет место оценка ϕ₊(ϑ, w(·)) ≥ σ(w(·)) для всех w(·) ∈ Lip.

Функционал ϕ_- : G → R назовём нижним решением задачи (1), (2), если он удовлетворяет

следующим условиям:

(ϕ_-.1) функционал ϕ_- полунепрерывен сверху;

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О МИНИМАКСНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

1539

(ϕ_-.2) для любых (τ, w(·)) ∈ G, s ∈ Rⁿ, t^∗ ∈ [τ, ϑ] и ζ > 0 найдётся такая пара

(x(·), z(·)) ∈ CH(τ, w(·), s), что справедливо неравенство ϕ_-(t^∗, x_t∗ (·))-z(t^∗) ≥ ϕ_-(τ, w(·))-ζ;

(ϕ_-.3) имеет место оценка ϕ_-(ϑ, w(·)) ≤ σ(w(·)) для всех w(·) ∈ Lip.

Функционал ϕ: G → R будем называть минимаксным решением задачи (1), (2), если он

является одновременно верхним и нижним решением этой задачи.

Действуя по схеме из доказательств лемм 4, 5 работы [4], опираясь при этом на утвержде-

ние 3, несложно доказать

Утверждение 4. При выполнении условия (ϕ₊.1) условие (ϕ₊.2) эквивалентно условию

(ϕ∗+.2) для любых (τ, w(·)) ∈ G и s ∈ Rⁿ найдётся такая пара (x(·), z(·)) ∈ CH(τ, w(·), s),

что справедливо неравенство ϕ₊(t, x_t(·)) - z(t) ≤ ϕ₊(τ, w(·)), t ∈ [τ, ϑ].

При выполнении условия (ϕ_-.1) условие (ϕ_-.2) эквивалентно условию

(ϕ^∗-.2) для любых (τ, w(·)) ∈ G и s ∈ Rⁿ найдётся такая пара (x(·), z(·)) ∈ CH(τ, w(·), s),

что справедливо неравенство ϕ_-(t, x_t(·)) - z(t) ≥ ϕ_-(τ, w(·)), t ∈ [τ, ϑ].

4. Согласованность. Как и в случае уравнений Гамильтона-Якоби для систем с запазды-

ванием [3, гл. 2], для доказательства согласованности понятия решения в классическом смысле

задачи (1), (2) с введённым выше понятием минимаксного решения этой задачи на “классиче-

ское” решение ϕ требуется наложить дополнительные условия гладкости. Если следовать [3,

гл. 2], то от ϕ нужно потребовать непрерывность на G, ci-дифференцируемость на [t₀, ϑ)×Lip

и непрерывность его ci-производных ∂_tϕ и ∇ϕ на [t₀, ϑ) × Lip. Однако, как показано в [4],

даже в самом простом случае для систем нейтрального типа такие условия не выполняются.

Поэтому, следуя работе [4], в приводимой ниже теореме будем предполагать выполненными

другие более приспособленные к системам нейтрального типа условия.

Теорема 1. Пусть функционал ϕ: G → R удовлетворяет следующим условиям:

(ϕ.1) функционал ϕ непрерывен;

(ϕ.2) для любого α > 0 существует такое λ_ϕ = λ_ϕ(α) > 0, что справедливо неравенство

|ϕ(τ, w(·)) - ϕ(τ^′, w^′(·))| ≤ λ_ϕ(|τ - τ^′| + ∥w(·) - w^′(·)∥_∞), τ, τ^′ ∈ [t₀, ϑ], w(·), w^′(·) ∈ D(α),

где D(α) = {w(·) ∈ Lip: ∥w(·)∥_∞ ≤ α,

|w(ξ) - w(ξ^′)| ≤ α|ξ - ξ^′|, ξ, ξ^′ ∈ [-h, 0]};

(ϕ.3) функционал ϕ ci-дифференцируем на G_∗;

(ϕ.4) существуют такие t₀ < t₁ < . . . < t_k = ϑ, что для любых α > 0 и η ∈ (0, Δt),

где Δt = min{ti+1 - t_i : i = 0, k - 1}, градиент ∇ϕ равномерно непрерывен на множестве

⋃k-1

(

[t_i, t_i - η] × D(α))

⋂G_∗.

i=0

Пусть также функционал ϕ удовлетворяет уравнению Гамильтона-Якоби (1) и усло-

вию (2). Тогда ϕ является минимаксным решением задачи (1), (2).

Доказательство. Из того, что функционал ϕ удовлетворяет условиям (ϕ.1) и (2) сле-

дует, что для ϕ выполняются условия (ϕ₊.1), (ϕ₊.3) и (ϕ_-.1), (ϕ_-.3). Таким образом,

для доказательства теоремы остаётся показать выполнение для ϕ условий (ϕ₊.2) и (ϕ_-.2).

Ниже приведено доказательство условия (ϕ₊.2). Доказательство условия (ϕ_-.2) проводится

аналогичным образом.

Отметим, что в случае τ = ϑ условие (ϕ₊.2) выполняется.

Пусть (τ, w(·)) ∈ G, τ < ϑ, t^∗ ∈ [τ, ϑ] и s ∈ Rⁿ. Для удобства доказательства будем

предполагать, что вместо условия (ϕ.4) для ϕ выполнено условие

(ϕ^∗.4) существуют такие τ < t₁ < . . . < t_k = t^∗, что для любых α > 0 и η ∈ (0, Δt),

где Δt = min{ti+1 - t_i : i = 0, k - 1}, градиент ∇ϕ равномерно непрерывен на множестве

⋃k-1

(

[t_i, t_i - η] × D(α))

⋂G_∗.

i=0

В силу утверждения 3 и условия (ϕ.1) найдётся такое η ∈ (0, min{Δt/2, t₁ - τ}), что для

любых (x(·), z(·)) ∈ CH(τ, w(·), s) и i ∈ {1, . . . , k} имеет место оценка

max{|ϕ(t_i - η, xti-η(·)) - ϕ(t, xt(·))|, |z(ti - η) - z(t)|} ≤ ζ/(4k), t ∈ [ti - η, ti + η]

^⋂ [τ, t^∗]. (6)

Следуя работе [4], определим по непрерывности функционал Φ: G → R, для которого спра-

ведливо равенство

Φ(t, r(·)) = ∇ϕ(t, r(·)), (t, r(·)) ∈ G_∗.

(7)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

7^∗

1540

ПЛАКСИН

Выберем число α в соответствии с утверждением 3. В силу этого утверждения, леммы 3 ра-

боты [4] и условия (ϕ^∗.4) существует такое δ ∈ (0, η), что для всех (x(·), z(·)) ∈ CH(τ, w(·), s)

⋃k-1

и t,t^′ ∈

[t_i, ti+1 - η]

^⋃ [τ, t₁ - η] при условии |t - t^′| ≤ δ выполняется неравенство

i=1

∥Φ(t, x_t(·)) - Φ(t^′, x_t′ (·))∥ ≤ ζ/(2(α + c_H (1 + 2α))(ϑ - τ)).

(8)

Зафиксируем разбиение

Δ = {τ_j ∈ [τ,ϑ], j = 0,l: τ₀ = τ, τ_l = ϑ,

0 < τj+1 - τ_j ≤ δ}.

Рассмотрим дифференциальное включение

(x(t) - g(t, x(t - h)), z(t)) ∈ E(t, x(t), x(t - h), s)

^⋂E(t,x(t),x(t - h),Φ(τ_j,xτj(·)))

(9)

для t ∈ [τ_j, τj+1) и j = 0, l - 1 при начальном условии

x_τ (·) = w(·), z(τ) = 0.

(10)

Рассуждениями, аналогичными [7, с. 12], показывается, что правая часть этого включения

не пуста. Кроме того, нетрудно доказать, что на каждом отрезке [τ_j , τj+1], j = 0, l - 1, она

удовлетворяет условиям (F.1)-(F.3) работы [5]. Поэтому в силу утверждения 1 работы [5]

найдётся пара (x(·), z(·)) ∈ Lip ([τ - h, ϑ], Rⁿ) × Lip ([τ, ϑ], Rⁿ), удовлетворяющая условию (10)

и включению (9) при почти всех t ∈ [τ_j, τj+1), j = 0, l - 1. Зафиксируем эту пару. Согласно

заданию включения (9) имеем (x(·), z(·)) ∈ CH(τ, w(·), s).

Далее покажем, что для выбранной пары (x(·), z(·)) выполняется неравенство из условия

(ϕ₊.2). В силу выбора η и δ для каждого i = 1, k найдётся такое m_i ∈ {0, . . . , l}, что

ti ≤ τmi ≤ ti + η. Обозначим τmi∗-1 = τ. Рассмотрим функцию ω(t) = ϕ(t,xt(·)) - z(t) -

−ϕ(τ, w(·)), t ∈ [τ, ϑ]. Тогда, пользуясь утверждением 3 и условием (ϕ.2), несложно показать,

что эта функция липшицева и, принимая во внимание неравенство (6) и начальное условие

(10), что для неё имеют место оценки

∫

∑

ω(t^∗) = ω(τ) + (ω(τmi ) - ω(t_i - η)) +

ω(t) dt ≤ ζ/2 +

ω(t) dt.

(11)

i=1

i=1 τmi-1

τmi-1

Далее, в силу условия (ϕ.3), включения (9), утверждения 1 и равенства (7) для любого j = 0, l

и почти всех t ∈ [τ_j, τj+1) имеем

ω(t) = ∂_τ ϕ(t, x_t(·)) +

x(t), ∇ϕ(t, x_t(·))

z(t) =

(x(t) - g(t, x(t - h))), Φ(t, x_t(·))

- H(t,x(t),x(t - h),Φ(t,x_t(·))) -

−

(x(t) - g(t, x(t - h))), Φ(τ_j , xτj (·))

- H(t,x(t),x(t - h),Φ(τ_j,xτj(·))).

Отсюда, пользуясь выбором числа α, условием (H.2) и неравенством (8), приходим к оценке

dω(t)/ dt ≤ ζ/(2(ϑ - τ)) при почти всех t ∈ [τmi-1 , t_i - η], i = 1, k. Объединяя эту оценку с

оценкой (11), получаем неравенство в условии (ϕ₊.2).

Теорема 2. Пусть функционал ϕ: G → R является минимаксным решением задачи

(1), (2) и ci-дифференцируемым в точке (τ, w(·)) ∈ G_∗. Тогда он удовлетворяет уравнению

Гамильтона-Якоби (1) в этой точке.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О МИНИМАКСНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

1541

Доказательство. Покажем, что справедливо неравенство

∂_τ ϕ(τ,w(·)) + 〈∂_τ g(τ,w(·)),∇ϕ(τ,w(·))〉 + H(τ,w(0),w(-h),∇ϕ(τ,w(·))) ≤ 0.

(12)

Так как ϕ является минимаксным решением, то вследствие утверждения 4 для него выполнено

условие (ϕ∗+.2). В согласии с этим условием, полагая в нём s = ∇ϕ(τ, w(·)), определим пару

(x(·), z(·)) ∈ CH(τ, w(·), ∇ϕ(τ, w(·))). Тогда, пользуясь ci-дифференцируемостью отображений

ϕ и g в точке (τ,w(·)), а также утверждением 1, приходим к соотношению

∫

ϕ(t, x_t(·)) - ϕ(τ, w(·))

0≥

z(ξ) dξ = ∂_τ ϕ(τ, w(·)) +

t-τ

dξ

∫

o(t - τ)

+ 〈∂_τ g(τ, w(·)), ∇ϕ(τ, w(·))〉 +

H(ξ, x(ξ), x(ξ - h), ∇ϕ(τ, w(·))) dξ +

t-τ

Устремляя в нём t → τ + 0 и принимая при этом во внимание утверждение 3 и условие

(H.1), получаем неравенство (12). Аналогичным образом устанавливается обратное к (12)

неравенство. Теорема доказана.

5. Функционал Ляпунова-Красовского. Пусть α > 0. Выбирая в согласии с условия-

ми (g) и (H₃) числа λ_g = λ_g(α) > 1 и λ_H = λ_H (α) > 0, определим числа λ_∗ = 4λ_H + 2λ_g/h

и ε_∗ = e-λ∗(ϑ-t0). Пусть ε ∈ (0,ε_∗). Для τ ∈ [t₀,ϑ], c ∈ Rⁿ и w(·) ∈ Lip обозначим:

√

ν^αε(τ,c,w(·)) = θ^αε(τ)κ^αε(c,w(·)), μ^αε(τ,c) = (θ^αε(τ)/

ε⁴ + ∥c∥²)c,

∫

(

)

e-λ∗(τ-t0) - ε

√

2λ_gξ

θ^αε(τ) =

κ^αε(c,w(·)) =

ε⁴ + ∥c∥² + 2λ_H

∥w(ξ)∥dξ.

(13)

−h

Лемма 1. Пусть (τ, w(·)) ∈ G и число α взято в согласии с утверждением 2. Пусть

ε ∈ (0,ε_∗) таково, что θ^αε(t) > 1, t ∈ [t₀,ϑ]. Пусть, кроме того, x(·),y(·) ∈ X(τ,w(·)).

Обозначим

r(t) = x(t) - y(t), t ∈ [τ - h, ϑ], c(t) = r(t) - g(t, x(t - h)) + g(t, y(t - h)), t ∈ [τ, ϑ],

ν(t) = ν^αε(t, c(t), r_t(·)),

μ(t) = μ^αε(t, c(t)), t ∈ [τ, ϑ].

(14)

Тогда функция ν является липшицевой на отрезке [τ, ϑ] и для неё при почти всех t ∈ [τ, ϑ]

справедливо неравенство

ν(t) ≤

c(t), μ(t)

+ H(t,x(t),x(t - h), μ(t)) - H(t,y(t),y(t - h), μ(t)).

(15)

Доказательство. Обозначим κ(t) = κ^αε(c(t), r_t(·)), t ∈ [τ, ϑ]. Пользуясь утверждением 2

и условием (g), нетрудно показать, что функции ν и κ являются липшицевыми на отрезке

[τ, ϑ]. Тогда имеем

∫

〈dc(t)/dt, c(t)〉

4λ_H λ_g

κ(t) =

√

+ 2λ_H ∥r(t)∥ - 2λ_H (1 + 2λ_g)∥r(t - h)∥ +

∥r(ξ)∥dξ.

ε⁴ + ∥c(t)∥²

t-h

Отсюда выводим неравенство

(

∫

)

ν(t) ≤ -λ_∗(1 + θ^α(t))

∥c(t)∥ + 2λ_H

∥r(ξ)∥dξ

+ θαε (t)

κ≤

t-h

≤

c(t), μ(t)

+ 2λ_H θαε (t)∥r(t)∥ - 2λ_H θαε (t)(1 + 2λ_g)∥r(t - h)∥ - 4λ_H θαε (t)∥c(t)∥.

(16)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1542

ПЛАКСИН

По определению функции μ имеем ∥μ(t)∥ ≤ θ^αε(t), t ∈ [τ, ϑ]. Тогда, учитывая неравенство

θ^αε(t) > 1, t ∈ [t₀,ϑ], и выбор чисел α, λ_g и λ_H, для всех t ∈ [τ,ϑ] получаем

∥c(t) - r(t)∥ ≤ λ_g∥r(t - h)∥,

H(t, y(t), y(t - h), μ(t)) - H(t, x(t), x(t - h), μ(t)) ≤ 2λ_H θ^αε(t)(∥r(t)∥ + ∥r(t - h)∥).

(17)

Таким образом, из оценок (16) и (17) вытекает неравенство (15). Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть (τ, w(·)) ∈ G и число α взято в согласии с утверждением 2. Суще-

ствует такое число λ_κ > 0, что для любого ε ∈ (0,ε_∗) справедливо неравенство

∥r_ϑ(·)∥2∞ ≤ λ_κκ^αε(c, r_ϑ(·)), x(·), y(·) ∈ X(τ, w(·)), c ∈ Rⁿ,

(18)

где r_ϑ(·) определяется в согласии с (14).

Доказательство. Положим λ_κ = α(2+1/h)/λ_H . Пусть ε ∈ (0, ε_∗) и x(·), y(·) ∈ X(τ, w(·)).

Так как функция r_ϑ(·) непрерывна, найдутся такие ξ₀, ξ₁ ∈ [-h, 0], что

∫

∥r_ϑ(ξ₀)∥ = ∥r_ϑ(·)∥_∞,

∥r_ϑ(ξ₁)∥ =

∥r(ξ)∥dξ.

-h

Тогда, пользуясь выбором числа α, выводим

 ∫

ξ₁



∫



∥r_ϑ(·)∥2∞ = ∥r_ϑ(ξ₀)∥² ≤ ∥r_ϑ(ξ₁)∥² + 2^

r_ϑ(ξ),r_ϑ(ξ) dξ

2λ_H λ_κ

∥r_ϑ(ξ)∥dξ.

≤

dξ

ξ₀

-h

Отсюда, учитывая определение κ^αε в (13), для любого c ∈ Rⁿ получаем неравенство (18).

6. Существование и единственность минимаксного решения. Взяв константу c_H

из условия (H.2), для α, ε > 0, τ ∈ [t₀, ϑ] и x, x^′, y, y^′ ∈ Rⁿ обозначим

Ψ^αε(τ,x,x^′,y,y^′) = {(f_x,f_y,f_z) ∈ Rⁿ × Rⁿ × R: ∥f_x∥ ≤ c_H(1 + ∥x∥ + ∥x^′∥),

∥f_y∥ ≤ c_H (1 + ∥y∥ + ∥y^′∥), c = x - y - g(τ, x^′) + g(τ, y^′),

|f_z + 〈f_x - f_y, μ^αε(τ, c)〉 + H(τ, x, x^′, μ^αε(τ, c)) - H(τ, y, y^′, μ^αε(τ, c))| ≤ ε}.

Пусть (τ, w(·)) ∈ G и z₀ ∈ R. Через X²W^αε(τ, w(·), z₀) обозначим множество таких троек

(x(·), y(·), z(·)) ∈ Lip ([τ -h, ϑ], Rⁿ)×Lip ([τ -h, ϑ], Rⁿ)×Lip ([τ, ϑ], R), для которых справедливо

дифференциальное включение

(x(t) - g(t, x(t - h)), y(t) - g(t, y(t - h)), z(t)) ∈ Ψ^αε(t, x(t), x(t - h), y(t), y(t - h))

при почти всех t ∈ [τ, ϑ] и выполнено начальное условие

x_τ (·) = y_τ (·) = w(·), z(τ) = z₀.

(19)

Несложно показать, что правая часть этого включения удовлетворят условиям (F.1)-(F.3)

работы [5], и, следовательно, в силу утверждения 1 работы [5] множество X²W^αε(τ, w(·), z₀)

является непустым компактом в Lip ([τ - h, ϑ], Rⁿ) × Lip ([τ - h, ϑ], Rⁿ) × Lip ([τ, ϑ], R).

Лемма 3. Пусть ϕ₊ - верхнее и ϕ_- - нижнее решения задачи (1), (2). Пусть также

α, ε > 0, (τ, w(·)) ∈ G, τ < ϑ, и z₀ = ϕ₊(τ, w(·)) - ϕ_-(τ, w(·)). Тогда существует такая

тройка (x(·),y(·),z(·)) ∈ X²W^αε(τ,w(·),z₀), что справедливо неравенство

z(ϑ) ≥ ϕ₊(ϑ, x_ϑ(·)) - ϕ_-(ϑ, y_ϑ(·)).

(20)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О МИНИМАКСНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

1543

Доказательство. Обозначим

M (t) = {(x(·), y(·), z(·)) ∈ X²W^αε(τ, w(·), z₀): z(t) ≥ ϕ₊(t, x_t(·)) - ϕ_-(t, y_t(·))}, t ∈ [τ, ϑ].

В силу начального условия (19) справедливо равенство z(τ) = z₀ = ϕ₊(τ, w(·)) - ϕ_-(τ, w(·)),

которое влечёт за собой непустоту множества M(τ). Определим число

t_∗ = max{t ∈ [τ,ϑ]: M(t) = ∅}.

Здесь максимум достигается в силу компактности множества X²W^αε(τ, w(·), z₀) и условий

(ϕ₊.1) и (ϕ_-.1). Таким образом, для доказательства леммы достаточно доказать равенство

t_∗ = ϑ.

Предположим, что t_∗ < ϑ. Далее в доказательстве используем обозначения (14). По опре-

делению числа t_∗ найдётся такая тройка (x(·), y(·), z(·)), что справедливы соотношения

z(t_∗) ≥ ϕ₊(t_∗, xt∗ (·)) - ϕ_-(t_∗, yt∗ (·)), x(·), y(·) ∈ X(τ, w(·))

(21)

и при почти всех t ∈ [τ, t_∗] неравенство

|dz(t)/dt + 〈dc(t)/dt, μ(t)〉 + H(t, x(t), x(t - h), μ(t)) - H(t, y(t), y(t - h), μ(t))| ≤ ε.

(22)

В силу утверждения 4 для ϕ₊ и ϕ_- выполняются условия (ϕ∗+.2) и (ϕ^∗-.2). Пользуясь этими

условиями, полагая в них s = μ(t_∗), можно переопределить функции x(·) и y(·) на отрезке

[t_∗, ϑ] так, чтобы сохранились соотношения (21) и для всех t ∈ [t_∗, ϑ] выполнялись неравенства

∫t

)

ϕ+(t, xt(·)) -

(x(ξ) - g(ξ, x(ξ - h))), μ(t_∗)

- H(ξ,x(ξ),x(ξ - h), μ(t_∗)) dξ ≤

dξ

t∗

≤ ϕ₊(t_∗,xt∗(·)),

∫t

)

ϕ-(t, yt(·)) -

(y(ξ) - g(ξ, y(ξ - h))), μ(t_∗)

- H(ξ,y(ξ),y(ξ - h), μ(t_∗)) dξ ≥

dξ

t∗

≥ ϕ_-(t_∗,yt∗(·)).

(23)

Вследствие определения (13) функция μ^αε является непрерывной. Тогда, учитывая утвержде-

ние 2 и условие (H.1), несложно показать существование такого t^∗ ∈ (t_∗, ϑ], при котором для

почти всех t ∈ [t_∗, t^∗] имеет место оценка

|〈dc(t)/dt, μ(t) - μ(t_∗)〉 - H(t, x(t), x(t - h), μ(t)) + H(t, x(t), x(t - h), μ(t_∗)) +

+ H(t,y(t),y(t - h), μ(t)) - H(t,y(t),y(t - h), μ(t_∗))| ≤ ε.

(24)

Переопределим функцию z(·) на интервале (t_∗, ϑ] так, чтобы сохранилось включение z(·) ∈

∈ Lip ([τ, ϑ], Rⁿ) и почти всюду выполнялись равенства

dz(t)/dt = 〈dc(t)/dt, μ(t_∗)〉 - H(t, x(t), x(t - h), μ(t_∗)) + H(t, y(t), y(ξ - h), μ(t_∗)), t ∈ [t_∗, t^∗],

dz(t)/dt = 〈dc(t)/dt, μ(t)〉 - H(t, x(t), x(t - h), μ(t)) + H(t, y(t), y(t - h), μ(t)), t ∈ [t^∗, ϑ].

Тогда из соотношений (21)-(24) вытекает включение (x(·), y(·), z(·)) ∈ M(t^∗), которое проти-

воречит выбору числа t_∗. Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть ϕ₊ - верхнее и ϕ_- - нижнее решения задачи (1), (2). Тогда справедливо

неравенство

ϕ+(τ, w(·)) ≥ ϕ-(τ, w(·)), (τ, w(·)) ∈ G.

(25)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1544

ПЛАКСИН

Доказательство. При τ = ϑ неравенство (25) следует из условий (ϕ₊.3) и (ϕ_-.3).

Пусть теперь (τ, w(·)) ∈ G, τ < ϑ. Для доказательства леммы достаточно показать, что

для любого ζ > 0 имеет место оценка

z₀ = ϕ₊(τ,w(·)) - ϕ_-(τ,w(·)) ≥ -ζ.

(26)

Пусть ζ > 0. В силу утверждения 2 и условия (σ), во-первых, найдётся такое δ_σ > 0, что для

любых x(·), y(·) ∈ X(τ, w(·)) при условии ∥x_ϑ(·)-y_ϑ(·)∥_∞ ≤ δ_σ будет справедливо неравенство

|σ(x_ϑ(·)) - σ(y_ϑ(·))| ≤ ζ/3,

(27)

а во-вторых, найдётся такое число γ₁ > 0, при котором имеет место оценка |σ(x_ϑ(·))| ≤ γ₁,

x(·) ∈ X(τ, w(·)). Определим число α > 0 в согласии утверждением 2. По определению (13)

функции θ^αε существует такое число γ₂ > 0, что справедливо неравенство θ^αε(τ)ε² ≤ γ₂,

ε ∈ (0,ε_∗). Таким образом, полагая γ = 2γ₁ + γ₂ + |z₀| + (ϑ - τ)ε_∗, выводим оценку

θ^αε(τ)ε² + z₀ - σ(x_ϑ(·)) + σ(y_ϑ(·)) + (ϑ - τ)ε ≤ γ.

(28)

В согласии с леммой 2 возьмём число λ_κ и выберем ε ∈ (0, ε_∗) так, чтобы выполнялись

неравенства

θ^αε(t) > 1, t ∈ [t₀,ϑ], λ_κγ/θ^αε(ϑ) ≤ δ2σ, θ^αε(τ)ε² ≤ ζ/3, (ϑ - τ)ε ≤ ζ/3.

(29)

Согласно лемме 3 найдётся такая тройка (x(·), y(·), z(·)) ∈ X²W^αε(τ, w(·), z₀), что имеет

место оценка (20). Ниже в доказательстве для упрощения записи будем использовать обозна-

чения (14). По определению множества X²W^αε(τ, w(·), z₀) имеем

dz(t)

≤-

c(t), μ(t)

- H(t,x(t),x(t - h), μ(t)) + H(t,y(t),y(t - h), μ(t)) + ε.

(30)

Определим функцию η(t) := ν(t) + z(t) - (t - τ)ε, t ∈ [τ, ϑ]. Тогда из леммы 1 и оценки

(30) следует неравенство dη(t)/dt ≤ 0 при почти всех t ∈ [τ, ϑ]. Отсюда, учитывая (13), (19),

выбор тройки (x(·), y(·), z(·)) и условия (ϕ₊.3), (ϕ_-.3), получаем, что

θ^αε(τ)ε² + z₀ = η(τ) ≥ η(ϑ) ≥ θ^αε(ϑ)κ^αε(c(ϑ),r_ϑ(·)) + σ(x_ϑ(·)) - σ(y_ϑ(·)) - (ϑ - τ)ε.

(31)

В силу оценок (28) и (31) имеем κ^αε(c(ϑ), r_ϑ(·)) ≤ γ/θ^αε(ϑ). Далее, пользуясь леммой 2 и вы-

бором ε в (29), заключаем, что ∥r_ϑ(·)∥ ≤ δ_σ, откуда вытекает неравенство (27). Воспользо-

вавшись неравенством (27) и третьей и четвёртой оценками в (29), из оценки (31) выводим

неравенство (26).

Теорема 3. Минимаксное решение задачи (1), (2) существует и единственно.

Доказательство. Обозначим через Φ₊ множество функционалов ϕ₊ : G → R, удовле-

творяющих условиям (ϕ₊.2) и (ϕ₊.3). Аналогично, через Φ_- обозначим множество функци-

оналов ϕ_- : G → R, удовлетворяющих условиям (ϕ_-.2) и (ϕ_-.3). Подобно рассуждениям из

[7, § 8] (см. также [3, § 6]) показывается, что справедливы следующие утверждения:

(a) при любом s ∈ Rⁿ для функционала ϕs+(τ, w(·)) := max{σ(x_ϑ(·)) - z(ϑ) : (x(·), z(·)) ∈

∈ CH(τ,w(·),s)}, (τ,w(·)) ∈ G, имеет место включение ϕs+ ∈ Φ₊;

(b) при любом s ∈ Rⁿ для функционала ϕ^s-(τ, w(·)) := min{σ(x_ϑ(·)) - z(ϑ): (x(·), z(·)) ∈

∈ CH(τ,w(·),s)}, (τ,w(·)) ∈ G, и произвольного функционала ϕ ∈ Φ₊ справедливо неравен-

ство ϕ^s-(τ, w(·)) ≤ ϕ(τ, w(·)), (τ, w(·)) ∈ G;

ждений (a) и (b) выполняются оценки

-∞ < ϕ^s-(τ,w(·)) ≤ ϕ₀(τ,w(·)) ≤ ϕs+(τ,w(·)) < +∞, (τ,w(·)) ∈ G, s ∈ Rⁿ;

(d) из определения функционала ϕ₀ и с учётом утверждения (c) следует включение

ϕ₀ ∈ Φ₊;

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О МИНИМАКСНОМ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЙ ГАМИЛЬТОНА-ЯКОБИ

1545

(e) при любых ξ ∈ [t₀, ϑ] и s ∈ Rⁿ для функционала

{

ϕξ,s0(τ, w(·)) :=sup{ϕ0(ξ,xξ(·))-z(ξ):(x(·),z(·))∈CH(τ,w(·),s)},τ∈[t0,ξ),

ϕ₀(τ,w(·)),

τ ∈ [ξ,ϑ],

где w(·) ∈ Lip, справедливо включение ϕξ,s0 ∈ Φ₊;

(f) из утверждения (d) и (e) вытекает, что ϕ₀ ∈ Φ₊

^⋂Φ_-.

Пользуясь утверждением (f), условием (σ) и утверждением 2 работы [5], несложно пока-

зать, что функционалы

ϕ+0(τ, w(·)) := lim

inf{ϕ₀(t, r(·)): (t, r(·)) ∈ G: |t - τ| ≤ δ, ∥w(·) - r(·)∥_∞ ≤ δ},

δ→0

ϕ-₀(τ, w(·)) := lim

sup{ϕ₀(t,r(·)): (t,r(·)) ∈ G: |t - τ| ≤ δ,∥w(·) - r(·)∥_∞ ≤ δ}, (τ,w(·)) ∈ G,

δ→0

являются верхним и нижним решениями задачи (1), (2) соответственно.

Таким образом, мы показали существование верхнего ϕ⁺⁰ и нижнего ϕ-0 решений, удовле-

творяющих неравенству ϕ⁺⁰(τ, w(·)) ≤ ϕ-0(τ, w(·)), (τ, w(·)) ∈ G. Отсюда в силу леммы 4 вы-

водим равенство ϕ⁺⁰(τ, w(·)) = ϕ-0(τ, w(·)), (τ, w(·)) ∈ G, которое и означает, что функционал

ϕ = ϕ⁺⁰ = ϕ-0 является минимаксным решением задачи (1), (2). Единственность минимаксного

решения также следует из леммы 4.

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом цен-

тре при финансовой поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Фе-

дерации (соглашение 075-02-2021-1383).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Красовский Н.Н., Лукоянов Н.Ю. Уравнения типа Гамильтона-Якоби в наследственных системах:

минимаксное решение // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2000. Т. 6. № 1. С. 110-130.

2. Лукоянов Н.Ю. Уравнения Гамильтона-Якоби для наследственных систем: минимаксное и вязкост-

ное решения // Докл. РАН. 2008. Т. 418. № 3. С. 300-303.

3. Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона-Якоби и задачи управления с наследствен-

ной информацией. Екатеринбург, 2011.

4. Плаксин А.Р. Об уравнении Гамильтона-Якоби-Айзекса-Беллмана для систем нейтрального типа

// Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьют. науки. 2017. Т. 27. Вып. 2. С. 222-237.

5. Плаксин А.Р. О минимаксном решении функциональных уравнений Гамильтона-Якоби для систем

нейтрального типа // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 11. С. 1519-1527.

6. Lukoyanov N.Yu., Plaksin A.R. Hamilton-Jacobi equations for neutral-type systems: inequalities for

directional derivatives of minimax solutions // Minimax Theory and its Appl. 2020. V. 5. № 2. P. 369-

381.

7. Subbotin A.I. Generalized Solutions of First Order PDEs: the Dynamical Optimization Perspective.

Berlin, 1995.

8. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М., 1974.

9. Осипов Ю.С. Дифференциальные игры систем с последействием // Докл. АН СССР. 1971. Т. 196.

№ 4. С. 779-782.

10. Красовский Н.Н. Управление динамической системой. М., 1985.

11. Гомоюнов М.И., Плаксин А.Р. Об основном уравнении дифференциальных игр для систем ней-

трального типа // Прикл. математика и механика. 2018. Т. 82. Вып. 6. С. 675-689.

12. Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. К теории позиционных дифференциальных игр для систем нейтраль-

ного типа // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25. № 3. С. 118-128.

13. Kim A.V. Functional Differential Equations. Application of i-Smooth Calculus. Dordrecht, 1999.

14. Hale J.K., Cruz M.A. Existence, uniqueness and continuous dependence for hereditary systems // Ann.

Mat. Pura Appl. 1970. V. 85. № 1. P. 63-81.

Институт математики и механики

Поступила в редакцию 11.05.2021 г.

им. Н.Н. Красовского УрО РАН, г. Екатеринбург

После доработки 11.05.2021 г.

Принята к публикации 05.10.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021