ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1546-1554

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.935

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ

ФИЛЬТРОВ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ

ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

Рассматривается задача построения функциональных фильтров (оптимальных функцио-

нальных наблюдателей, т.е. наблюдателей для линейных функционалов от фазового век-

тора) для линейных стационарных управляемых систем, неоднородность которых, кроме

управления, содержит в качестве слагаемого аддитивный белый шум. Выход системы лине-

ен по фазовому вектору и содержит в качестве слагаемого также аддитивный белый шум.

С помощью канонических представлений проведён сравнительный анализ фильтров вто-

рого и третьего порядков по среднеквадратической ошибке наблюдения в установившемся

режиме. Приведён пример системы четвёртого порядка, показывающий, что с увеличением

динамического порядка фильтра оптимальность по квадратичному критерию повышается.

DOI: 10.31857/S037406412111011X

Введение. Рассматривается задача построения функциональных фильтров второго и тре-

тьего порядков, восстанавливающих по измеряемому скалярному выходу несмещённую и оп-

тимальную оценку скалярного функционала от фазового вектора непрерывной системы со

стохастическими возмущениями. Некоррелированные между собой белые шумы с априорно

известными вероятностными характеристиками воздействуют как на объект, так и на канал

измерений. В качестве критерия оптимальности используется установившаяся среднеквадра-

тичная ошибка.

На практике применение фильтров второго и третьего порядков оказывается более под-

ходящим, чем использование фильтров первого порядка, например, при обработке сигналов

спутниковых навигационных систем [1, гл. 5]. В работе [2] сравниваются фильтры первого и

второго порядков и отмечаются преимущества фильтра второго порядка, при этом оптималь-

ный наблюдатель интерпретируется как авторегрессионная модель. Фильтр третьего порядка,

основанный на интегрированной модели случайного блуждания, исследуется в работе [3], где

среднеквадратичная ошибка вычисляется с помощью решения уравнений Риккати.

Функциональные фильтры исследовались ранее как в непрерывном [4, 5], так и в дискрет-

ном [6] времени. В [4] предложено обобщение условия несмещённости в совместной задаче

стабилизации и оптимальной фильтрации, а в [5] предложен подход к численному моделиро-

ванию фильтров пониженного порядка на основе построения статистических оценок критерия

оптимальности. В [6] представлены аналитические выражения для передаточных функций

системы в отклонениях и функциональных фильтров различных динамических порядков, на-

чиная с первого порядка.

В данной работе скалярный функционал от вектора состояния стохастической системы

выбирается таким образом, что фильтра первого порядка, восстанавливающего несмещённую

оценку, не существует. При этом осуществляется синтез и сравнение между собой по квадра-

тичному критерию фильтров второго и третьего порядков. Для вычисления критерия опти-

мальности применяется метод интегральных квадратичных оценок качества [7].

1. Постановка задачи. Рассмотрим n-мерную линейную систему со стохастическими

возмущениями и с одномерным выходом:

x = Ax + Bu + w(t), x(0) = x₀,

y = Cx + v(t),

(1)

1546

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ

1547

где x ∈ Rⁿ - неизвестный фазовый вектор, u ∈ R^m - известный вход системы, y ∈ R -

измеряемый выход системы; A, B, C - постоянные матрицы соответствующих размеров,

x₀ - случайная величина, а w(t) и v(t) - белые шумы размерности n и 1 соответственно, с

известными вероятностными характеристиками

E[x₀] = x₀, E[(x₀ - x₀)(x₀ - x₀)^т] = P₀,

E[w(t)] = 0, E[w(t)w(t^′)^т] = Qδ(t - t^′),

E[v(t)] = 0, E[v(t)v(t^′)] = Rδ(t - t^′),

E[w(t)v(t^′)] = 0,

здесь Q и P₀ - положительно полуопределённые матрицы; R > 0; случайная величина x₀ не

коррелированна с шумами w(t) и v(t). Первое уравнение в системе (1) понимается в смысле

стохастического дифференциального уравнения [8, с. 65].

Требуется на основе наблюдения выхода y(t) и по известному входу u(t) определить несме-

щённую оценку z(t) скалярного функционала

z(t) = F x(t)

(2)

с известной матрицей F = (f₁ . . . f_n) ∈ R1×n, обеспечивающую минимум установившегося

= z(t) - z(t):

J = lim E[e²(t)] → min.

(3)

t→∞

Не ограничивая общности рассуждений, считаем, что пара {C, A} наблюдаема и задана

во второй канонической форме наблюдаемости [9, с. 25]:

⎛

⎞

-α₁

⎜1

-α₂⎟

)

⎝

⎠, C =

⁽0

(4)

-α_n

где α_i - коэффициенты характеристического полинома матрицы A, т.е.

α(s) = det(sI - A) = sⁿ + α_nsn-1 + . . . + α₁.

2. Построение наблюдателей. Пусть для матрицы F имеет место разложение

F =PT,

где P ∈ R1×k, T ∈ R^k×n. Тогда

z=Fx=PTx=Pq,

где q = T x ∈ R^k - неизвестный вектор, подлежащий оценке. Для его восстановления исполь-

зуем наблюдатель порядка k вида

q=Nq+TBu+My,

q(0) = T x₀,

z = Pq.

(5)

Используя правило дифференцирования Ито [8, с. 85] стохастического сигнала, нетрудно

= q(t) - q(t) описывается уравнением

ė_q =

q=Tx-Nq-TBu-My=

= TAx - N(q - e_q) - MCx + Tw - Mv = Ne_q + (TA - MC - NT)x + Tw - Mv,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1548

ФОМИЧЕВ, КАМЕНЩИКОВ

в котором

q ∈ R^k - фазовый вектор наблюдателя, N, M, P, T - постоянные матрицы

соответствующих размеров.

Уравнение для ошибки e = z - z имеет вид

e = z - z= Fx - Pq= PTx - Pq= P(q - q) = Pe_q.

На основании известных результатов [10, с. 55] заключаем, что для того чтобы оценки q(t) и

z(t) являлись несмещёнными для q(t) и z(t) соответственно, необходимо и достаточно, чтобы

были выполнены следующие условия:

F = PT, TA - MC - NT = 0, N - гурвицева матрица.

(6)

При этом, если матрица N гурвицева, то [11, с. 127] ошибка наблюдения e в установившемся

режиме является стационарным в широком смысле случайным процессом, в котором матема-

тическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит от одной переменной.

Не ограничивая общности рассуждений, считаем, что пара {P, N} наблюдаема и задана в

первой канонической форме наблюдаемости [9, с. 24]:

⎛

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

N =

⎜

⎟,

P = (1 0 ... 0),

(7)

⎝

⎠

−l₁

-l₂

-l₃

-l_k

где l_i - коэффициенты характеристического полинома матрицы N, т.е.

β(s) = det(sI - N) = s^k + l_ksk-1 + . . . + l₁.

Известно [9, с. 75], что для того чтобы функционал (2) мог быть восстановлен наблюда-

телем (5) второго порядка (k = 2, n > 4) необходимо и достаточно выполнение следующих

условий:

f₂f₄ - f²³

f₂f₃ - f₄f₁

l₁ =

> 0, l₂ =

> 0, f₁f₃ - f²² = 0,

(8)

f₁f₃ - f²²

f₁f₃ - f²

f₂f₄ - f²³

f₂f₃ - f₄f₁

f_i = -fi-2

-fi-1

i = 5,n,

(9)

f₁f₃ - f²²

f₁f₃ - f²

где условие f₁f₃ - f²² = 0 в (8) означает, что наблюдатель (5) первого порядка (k = 1) не

может восстановить несмещённую оценку функционала (2).

Исследуем вопрос, когда линейные фильтры второго (k = 2) и третьего (k = 3) поряд-

ков могут для системы (1), (4) четвёртого (n = 4) порядка восстановить функционал (2) от

вектора состояния, в котором элементы матрицы F удовлетворяют ограничениям (8).

Из условий (6) и канонических представлений (4), (7) следует, что для фильтров второго

порядка

(

)

(

)

f₁

f₂

f₃

f₄

-α₁f₁ - α₂f₂ - α₃f₃ - α₄f₄ - t₂₄

T =

M =

f₂

f₃

f₄

t₂₄

-α₁f₂ - α₂f₃ - (α₃ - l₁)f₄ - (α₄ - l₂)t₂₄

t₂₄ = -l₁f₃ - l₂f₄,

(10)

где коэффициенты l₁, l₂ характеристического полинома фильтра удовлетворяют услови-

ям (8). Вместе с этим передаточные функции относительно входов w, v и выхода e име-

ют вид

W_ew(s) =

⁽f₁(s + l₂) + f₂ f₂s - f₁l₁ f₃s - f₂l₁ f₄s - f₃l₁),

β(s)

W_ev(s) =

((α₁f₁ +α₂f₂ +α₃f₃ +α₄f₄ +t₂₄)s-(α₂f₁ +α₃f₂ +α₄f₃ +f₄)l₁ +(l₂f₁ +f₂)α₁). (11)

β(s)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ

1549

Из условий (6) и канонических представлений (4), (7) следует, что для фильтров третьего

порядка имеют место равенства

⎛

⎞

⎛

⎞

f₁

f₂

f₃

f₄

-α₁f₁ - α₂f₂ - α₃f₃ - α₄f₄ - t₂₄

T =^⎝f₂

f₃

f₄

t₂₄⎠, M = ⎝

-α₁f₂ - α₂f₃ - α₃f₄ - α₄t₂₄ - t₃₄

⎠,

(12)

f₃

f₄

t₂₄

t₃₄

−α₁f₃ - (α₂ - l₁)f₄ - (α₃ - l₂)t₂₄ - (α₄ - l₃)t₃₄

⎛

⎞⎛

⎞

⎛

⎞

f₁

f₂

f₃

l₁

f₄

⎝f2

f₃

f₄⎠⎝l2⎠=- ⎝t24⎠,

(13)

f₃

f₄

t₂₄

l₃

t₃₄

где t₂₄, t₃₄ - неизвестные параметры. При этом условие

f₃(f²³ - f₂f₄) + f₄(f₁f₄ - f₂f₃)

t₂₄ =

(14)

f₁f₃ - f²

является необходимым и достаточным условием существования единственного решения ли-

нейной системы (13), которое в этом случае имеет вид

f₄(f²⁴ - f₃t₂₄) + t₂₄(f₂t₂₄ - f₃f₄) + t₃₄(f²³ - f₂f₄)

l₁ =

t₂₄(f₁f₃ - f²²) - f₃(f²³ - f₂f₄) - f₄(f₁f₄ - f₂f₃)

f₄(f₂t₂₄ - f₃f₄) + t₂₄(f²³ - f₁t₂₄) + t₃₄(f₁f₄ - f₂f₃)

l₂ =

t₂₄(f₁f₃ - f²²) - f₃(f²³ - f₂f₄) - f₄(f₁f₄ - f₂f₃)

f₄(f²³ - f₂f₄) + t₂₄(f₁f₄ - f₂f₃) + t₃₄(f²² - f₁f₃)

l₃ =

(15)

t₂₄(f₁f₃ - f²²) - f₃(f²³ - f₂f₄) - f₄(f₁f₄ - f₂f₃)

где параметры t₂₄, t₃₄ выбираются такими, чтобы полином β(s) был устойчив, т.е. чтобы

выполнялись неравенства

l₁ > 0, l₂ > 0, l₃ > 0, l₂l₃ - l₁ > 0.

(16)

Одновременно с этим передаточные функции относительно входов w, v и выхода e име-

ют вид

⎛

⎞

f₁(s² + l₃s + l₂) + f₂(s + l₃) + f₃

⎜ f₂(s² + l₃s) + f₃s - f₁l₁

⎟

⎜

⎟

W_ew(s) =

⎠^,

β(s)

⎝ f₃(s² + l₃s) + f₄s - f₂l₁

f₄(s² + l₃s) + t₂₄s - f₃l₁

W_ev(s) =

((α₁f₁ + α₂f₂ + α₃f₃ + α₄f₄ + t₂₄)s² +

β(s)

+ (l₃(α₁f₁ + α₂f₂ + α₃f₃ + α₄f₄ + t₂₄) + α₁f₂ + α₂f₃ + α₃f₄ + α₄t₂₄ + t₃₄)s +

+ α₁(l₂f₁ + l₃f₂ + f₃) - l₁(α₂f₁ + α₃f₂ + α₄f₃ + f₄)).

(17)

Если условие (14) нарушено, то решение линейной системы (13) имеет вид

(f₂f₄ - f²³)(f₁f₄ - f₂f₃) + C₁(f₂f₄ - f²³)(f₁f₃ - f²²)

l₁ =

(f₁f₃ - f²²)²

3f₁f₂f₃f₄ - f²¹f²⁴ - f₁f³³ - f³²f₄ + C₁(f₂f₃ - f₁f₄)(f₁f₃ - f²²)

l₂ =

l₃ = C₁,

(18)

(f₁f₃ - f²²)²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1550

ФОМИЧЕВ, КАМЕНЩИКОВ

где C₁ - свободная неизвестная, которая выбирается такой, чтобы выполнялись условия устой-

чивости (16). По-другому это означает, что существует множество наблюдателей третьего по-

рядка, у которых коэффициенты характеристического полинома находятся на пересечении

области гурвицевости матрицы N и линейного многообразия решений системы уравнений

s³¹ + l₃s²¹ + l₂s₁ + l₁ = 0, s³² + l₃s²² + l₂s₂ + l₁ = 0,

(19)

где s₁, s₂ (корни характеристического полинома s² + l₂s + l₁, в котором коэффициенты l₁

и l2 удовлетворяют условиям (8)) вычисляются по формуле

√

f₁f₄ - f₂f₃ ±

(f₂f₃ - f₁f₄)² - 4(f₂f₄ - f²³)(f₁f₃ - f²²)

s1,2 =

2(f₁f₃ - f²²)

Кроме того, если условие (14) нарушено, то передаточные функции W_ew(s), W_ev(s) будут

такими же, как и в случае фильтра второго порядка.

Для систем (1), (4) порядка выше четвёртого (n > 4) существование единственного оп-

тимального фильтра третьего порядка, восстанавливающего несмещённую оценку функци-

онала (2) от вектора состояния и удовлетворяющего условиям (6), исключает возможность

существования фильтра второго порядка, так как в этом случае нарушается условие (9).

Приведённые рассуждения позволяют сформулировать следующее утверждение.

Теорема. Для системы (1), (4) со стохастическими возмущениями и фильтров (5), (7)

второго и третьего порядков, восстанавливающих несмещённую оценку функционала (2) от

вектора состояния, в котором элементы матрицы F удовлетворяют ограничениям (8),

справедливы следующие утверждения:

1) для системы четвёртого (n = 4) порядка условия (8) являются необходимыми и доста-

точными условиями существования фильтра второго порядка, в котором элементы матриц

T и M определяются по формуле (10), а передаточные функции W_ew и W_ev имеют вид (11);

2) для системы четвёртого (n = 4) порядка условия (14)-(16) являются необходимыми и

достаточными условиями существования единственного оптимального фильтра третьего

порядка, в котором элементы матриц T и M определяются по формулам (12), (13), а пе-

редаточные функции W_ew и W_ev имеют вид (17); при этом если условие (14) нарушено, то

существует множество наблюдателей третьего порядка, у которых коэффициенты харак-

теристического полинома имеют вид (18), а передаточные функции W_ew и W_ev - вид (11);

3) для системы порядка выше четвёртого (n > 4) условия (8), (9) являются необхо-

димыми и достаточными условиями существования фильтра второго порядка, в котором

элементы матриц T и M задаются равенствами

⎛

⎞

∑

(

)

⎜

- α_if_i - t2n

⎟

⎜

⎟

f₁

f₂

... fn-1 f_n

i=1

⎜

T =

M =

^⎟,

f₂

f₃

f_n t2n

∑

⎟

⎝

⎠

- α_ifi+1 - (α_n - l₂)t2n + l₁f_n

i=1

t2n = -l₁fn-1 - l₂f_n,

а передаточные функции W_ew и W_ev имеют вид

W_ew(s) =

⁽f₁(s + l₂) + f₂ . . . fn-1(s + l₂) + f_n f_n(s + l₂) + t2n),

β(s)

)

((_n∑

∑

W_ev(s) =

α_if_i + t2n (s + l₂) +

α_ifi+1 + (α_n - l₂)t2n - l₁f_n

;

β(s)

i=1

4) для системы порядка выше шестого (n > 6) условия

f₃(f²³ - f₂f₄) + f₄(f₁f₄ - f₂f₃)

f₅ =

(20)

f₁f₃ - f²

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ

1551

f_i = -l₁fi-3 - l₂fi-2 - l₃fi-1, i = 7,n,

f₄(f²⁴ - f₃f₅) + f₅(f₂f₅ - f₃f₄) + f₆(f²³ - f₂f₄)

l₁ =

f₅(f₁f₃ - f²²) - f₃(f²³ - f₂f₄) - f₄(f₁f₄ - f₂f₃)

f₄(f₂f₅ - f₃f₄) + f₅(f²³ - f₁f₅) + f₆(f₁f₄ - f₂f₃)

l₂ =

f₅(f₁f₃ - f²²) - f₃(f²³ - f₂f₄) - f₄(f₁f₄ - f₂f₃)

f₄(f²³ - f₂f₄) + f₅(f₁f₄ - f₂f₃) + f₆(f²² - f₁f₃)

l₃ =

f₅(f₁f₃ - f²²) - f₃(f²³ - f₂f₄) - f₄(f₁f₄ - f₂f₃)

l₁ > 0, l₂ > 0, l₃ > 0, l₂l₃ - l₁ > 0

являются необходимыми и достаточными условиями существования фильтра третьего по-

рядка, в котором элементы матриц T и M задаются равенствами

⎛

⎞

f₁

f₂

... fn-2 fn-1 f_n

T =^⎝f₂

f₃

... fn-1

f_n t2n⎠,

f₃

f₄

f_n

t2n t3n

⎛

⎞

∑

- α_if_i - t2n

⎜

⎟

⎜

⎟

i=1

⎜

⎟

⎜

∑

⎟

⎜

⎟

M =

⎜

- α_ifi+1 - α_nt2n - t₃₄

⎟,

⎜

⎟

⎜

i=1

⎟

∑

⎝

⎠

− α_ifi+2 - (αn-1 - l₂)t2n - (α_n - l₃)t3n + l₁f_n

i=1

t2n = -l₁fn-2 - l₂fn-1 - l₃f_n, t3n = -l₁fn-1 - l₂f_n - l₃t2n,

а передаточные функции W_ew и W_ev имеют вид

⎛

⎞

f₁(s² + l₃s + l₂) + f₂(s + l₃) + f

⎜

⎟

⎜

⎟

W_ew(s) =

⎜fn-2(s2 + l3s + l2) + fn-1(s + l3) + fn⎟,

β(s)

⎝

⎠

fn-1(s² + l₃s + l₂) + f_n(s + l₃) + t2n

f_n(s² + l₃s + l₂) + t2n(s + l₃) + t3n

)

((_n∑

(n-1∑

W_ev(s) =

α_if_i + t2n (s²

+l₃s + l₂) +

α_ifi+1 + α_nt2n + t₃₄ (s + l₃)

β(s)

i=1

)

(n-2∑

α_ifi+2 + (αn-1 - l₂)t2n + (α_n - l₃)t3n - l₁f_n

β(s)

i=1

при этом условие (20) исключает возможность существования фильтра второго порядка

для систем порядка выше четвёртого (n > 4), так как в этом случае нарушается усло-

вие (9).

3. Вычисление критерия оптимальности. Так как шумы w(t) и v(t) не коррелиро-

ваны между собой, то [12, с. 21]

∞

∫

J = lim

E[e²(t)] =

(W_ew(jω)QW^тew(-jω) + W_ev(jω)RW^тev(-jω)) dω,

t→∞

2π

-∞

если передаточные функции W_ew и W_ev устойчивы. Согласно теореме это условие устойчи-

вости выполняется, если выполнены условия (6) для фильтров второго и третьего порядков.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1552

ФОМИЧЕВ, КАМЕНЩИКОВ

Вычисление интеграла J сводится [13, с. 334] к вычислению интегралов вида

∫

∞



b0(jω)ν-1 + b₁(jω)ν-2 + ... + bν-12



J_ν =

ω,

(21)

 d

2π

 a₀(jω)^ν + a₁(jω)ν-1 + ... + a_ν

−∞

коэффициенты a_i, b_i в которых зависят от неизвестных параметров фильтра (5), указан-

ных в теореме. Индекс ν в формуле (21) равен порядку (степени полинома знаменателя)

передаточных функций W_ew(s) и W_ev(s). При этом для расчёта интегралов (21) существуют

специальные таблицы [13, с. 742]. Для случая ν = 2 значение интеграла (21) следующее:

b²⁰a₂ + b²¹a₀

J₂ =

(22)

2a₀a₁a₂

Для систем четвёртого порядка и фильтров третьего порядка, как очевидно следует из вида

передаточных функций W_ew и W_ev, приведённых в сформулированной теореме, функционал

в задаче оптимизации является рациональной функцией, т.е. отношением двух полиномов от

переменных t₂₄, t₃₄.

4. Пример. Проведём численный эксперимент на примере системы (1), (4) четвёртого

порядка (n = 4), в которой

⎤

^⎡0

-1

⎢1

-4⎥

]

]_т

⎣

⎦, C =

^[0

F =

^[1

-1

-5

x₀ =

^[1

-6

-4

Q = P₀ = I, R = 1, B = 0.

Фильтра первого порядка (k = 1), восстанавливающего несмещённую оценку скалярно-

го функционала (2), не существует. Фильтр второго порядка (k = 2), восстанавливающий

несмещённую оценку скалярного функционала (2), имеет вид (5), в котором

(

)

(

)

(

)

-1

-5

-2

P =

⁽1

N =

T =

M =

−1

-3

-1

-5

Установившееся среднее значение квадрата ошибки наблюдения вычисляется по формуле (22):

∫

∞

|jω + 2|² + |jω + 1|² + |2jω + 1|² + |5jω + 2|² + |2jω + 1|²

J =

dω =

≈ 7.6667.

2π

|(jω)² + 3jω + 1|²

−∞

Если условие (14) нарушено (t₂₄ = 13), то наблюдатели третьего (k = 3) порядка имеют

вид (5), а

⎛

⎞

)

P =

⁽1

N =^⎝

⎠_,

3-C₁

8 - 3C₁

-C₁

⎛

⎞

⎛

⎞

-1

-5

-2

T =^⎝-1

-5

⎠,M= ⎝₅

⎠,C1 > 3.

-5

-34

-13

Значение J в критерии оптимальности в этом случае для фильтров третьего порядка нахо-

дится так же, как и для фильтра второго порядка и равно

J = 23/3 ≈ 7.6667.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ

1553

Следовательно, для случая t₂₄ = 13 существует множество наблюдателей, у которых коэффи-

циенты характеристического полинома β(s) находятся на пересечении линейного многообра-

√

зия решений системы уравнений (19) с s1,2 = (-3±

5)/2 и области гурвицевости матрицы N.

Если условие (14) выполнено (t₂₄ = 13), то существует функциональный оптимальный

наблюдатель (5) третьего порядка, решающий задачу оптимальной фильтрации, в котором

для нахождения неизвестных переменных (t₂₄, t₃₄) решается задача минимизации критерия

оптимальности с ограничением на параметры, которые должны быть такими, чтобы характе-

ристический полином наблюдателя был устойчив. Численные результаты, которые получены

с помощью метода последовательного квадратичного программирования [14, гл. 18], дают сле-

дующие значения:

⎛

⎞

⎛

⎞

-1

-5

N ≈^⎝

⎠_,T≈ ⎝-1

-5

11.4859

⎠_,

−2.0493

-4.1196

-3.5352

-5

11.4859

-24.1049

⎛

⎞

-0.4859

)

P =

⁽1

M ≈^⎝ 1.1614

⎠_.

-2.6394

Установившееся среднее значение квадрата ошибки наблюдения в этом случае J ≈ 7.0675.

Таким образом, критерий оптимальности (3) для фильтра третьего порядка оказался мень-

ше, чем для фильтра второго порядка.

Заключение. В работе предложены необходимые и достаточные условия существования

и единственности фильтров второго и третьего порядков. С помощью канонических представ-

лений линейных систем получены аналитические выражения как для передаточных функций

систем в отклонениях, так и для коэффициентов характеристического полинома функцио-

нальных фильтров. Приведён пример системы четвёртого порядка, для которой построены

фильтры второго и третьего порядков и проведено сравнение по среднеквадратичному крите-

рию оптимальности полученных фильтров. Показано, что по сравнению с фильтром второго

порядка фильтр третьего порядка может дать выигрыш по квадратичному критерию опти-

мальности в установившемся режиме.

Статья опубликована при финансовой поддержке Министерства образования и науки Рос-

сийской Федерации в рамках реализации программы Математического центра фундаменталь-

ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2019-1621 и при финансовой поддержке

Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 20-37-90065-Аспиранты, 20-08-

00073-А).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kaplan E., Hegarty C. Understanding GPS: Principles and Applications. Boston, 2005.

2. El Husseini A.H., Simon E.P., Ros L. Second-order autoregressive model-based Kalman filter for the

estimation of a slow fading channel described by the Clarke model: optimal tuning and interpretation

// Digital Signal Processing. 2019. V. 90. P. 125-141.

3. Shu H., Simon E.P., Ros L. Third-order kalman filter: tuning and steady-state performance // IEEE

Signal Proc. Lett. 2013. V. 20. № 11. P. 1082-1085.

4. Каменщиков М.А., Капалин И.В. Метод построения оптимального функционального фильтра для

линейных стационарных стохастических систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит. матема-

тика и кибернетика. 2018. № 4. С. 19-26.

5. Каменщиков М.А., Капалин И.В. Численное моделирование линейной стохастической системы в

задаче оптимальной фильтрации пониженного порядка // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 8.

С. 1142-1143.

6. Каменщиков М.А. Передаточные функции оптимальных фильтров различных динамических по-

рядков для дискретных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислит. математика и кибернетика.

2021. № 2. С. 19-28.

7. Красовский А.А. О степени устойчивости линейных систем // Тр. ВВИА им. проф. Н.Е. Жуков-

ского. 1948.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1554

ФОМИЧЕВ, КАМЕНЩИКОВ

8. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления. М., 1973.

9. Коровин С.К., Фомичев В.В. Наблюдатели состояния для линейных систем с неопределенностью.

М., 2007.

10. O’Reilly J. Observers for Linear Systems. London, 1983.

11. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М., 1977.

12. Saberi A., Stoorvogel A.A., Sannuti P. Filtering Theory. With Applications to Fault Detection, Isolation,

and Estimation. Basel, 2007.

13. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. СПб., 2003.

14. Nocedal J., Wright S. Numerical Optimization. New York, 2006.

Электротехнический университет, г. Ханчжоу, Китай

Поступила в редакцию 10.06.2021 г.

Московский государственный университет

После доработки 10.06.2021 г.

им. М.В. Ломоносова,

Принята к публикации 05.10.2021 г.

Институт системного анализа РАН, г. Москва,

Институт проблем управления

им. В.А. Трапезникова РАН, г. Москва,

Национальный исследовательский

технологический университет “МИСиС”, г. Москва

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021