ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1555-1563

ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.935

ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ

ДЛЯ ПЕРЕКЛЮЧАЕМЫХ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОБЪЕКТОВ

С РЕЖИМАМИ РАЗЛИЧНЫХ ПОРЯДКОВ

Исследуется задача стабилизации по состоянию скалярных по входу переключаемых интер-

вальных линейных систем, режимы функционирования которых могут иметь различные

динамические порядки. Для решения этой задачи предлагается подход к построению ста-

билизирующего регулятора, основанный на методе расширения динамического порядка и

решении систем линейных матричных неравенств.

DOI: 10.31857/S0374064121110121

1. Постановка задачи. Настоящая статья является продолжением исследований работ [1,

2] по стабилизации параметрически неопределённых скалярных по входу переключаемых ин-

тервальных линейных систем, режимы функционирования которых могут иметь различные

динамические порядки. Предлагаемые в данной статье подходы к решению указанной задачи

основываются на методе расширения динамического порядка [3, с. 205] и существенно опи-

раются на результаты работ [1, 4]. Отметим, что в [4] введена необходимая терминология и

достаточно подробно описана процедура применения метода расширения динамического по-

рядка для построения алгоритма стабилизации по состоянию для переключаемых линейных

систем с режимами различных динамических порядков.

Итак, в соответствии с терминологией работы [4] рассматривается переключаемая интер-

вальная линейная система, скалярная относительно входа и заданная следующим уравнением

состояния:

x(σ) = [A_σ]x(σ) + [b_σ]u, σ ∈ S(Ω), Z(Ω) = {Z_ij ∈ Rni×nj : (i,j) ∈ Ω},

(1)

где σ : R₊ → I = {1, . . . , m} - кусочно-постоянная функция (переключающий сигнал) с ко-

нечным числом разрывов (переключений) на любом конечном промежутке, I - множество

индексов, нумерующих режимы функционирования системы (1); [A_σ] = [A] ◦ σ - компози-

ция отображения [A] : I → {[A₁], . . . , [A_m]}

([A_i] ∈ Rni×ni ) и переключающего сигнала σ,

[b_σ] = [b] ◦ σ - аналогичная композиция для отображения [b] : I → {[b1], . . . , [bm]}

([b_i] ∈

∈ Rni×¹); пары матриц ([A_i],[b_i]), i = 1,m, определяют режимы функционирования системы

(1); u ∈ R¹ - управляющий скалярный вход; Ω ⊆ I × I - множество, определяющее допу-

стимые переключения между режимами, т.е. пара индексов (i, j) принадлежит множеству Ω,

если и только если возможно переключение с j-го на i-й режим функционирования; S(Ω) -

множество допустимых переключающих сигналов σ, т.е. если t - точка разрыва функции

σ ∈ S(Ω) и

lim σ(t) = j,

lim σ(t) = i,

t→t-0

t→t+0

то выполняется включение (i, j) ∈ Ω. Содержательный смысл входящего в задание системы

(1) множества Z(Ω) описывается ниже.

Под i-м режимом функционирования системы (1) понимается динамическая система

x(i) = [A_i]x(i) + [b_i]u.

При этом предполагается, что, в общем случае, режимы функционирования имеют различные

динамические порядки, определяемые векторами состояния

x(i) = (xj1,... ,xjn

)∈Rni, j₁ <...<jni,

{j₁, . . . , jni } ⊆ {1, . . . , n},

1555

8^∗

1556

ФУРСОВ и др.

где n = max{jn1 , . . . , jnm }. Таким образом, Rni ⊆ Rⁿ для каждого i = 1, m. Обозначим

упорядоченный набор индексов {j₁, . . . , jni } через Γ_i, а множество {1, . . . , n} через Γ. Далее

будем обозначать через x(i) вектор из Rⁿ, все компоненты которого с индексами из множества

Γ\Γ_i равны нулю. Заметим, что если для различных режимов (i-го и j-го) совпадают наборы

переменных состояния, то в этом случае Γ_i = Γ_j.

В силу кусочной непрерывности функции σ(t) переходы между режимами осуществля-

ются скачкообразно, а движение переключаемой системы в каждый момент времени опре-

деляется активным режимом. Так как различные режимы могут отличаться динамическими

порядками и/или набором переменных состояний, то необходимо обеспечить преемственность

[5, с. 18] между каждой парой соседних режимов. Для этого задаётся множество Z(Ω), состо-

ящее из матриц Z_ij ∈ Rni×nj , (i, j) ∈ Ω, называемых матрицами преемственности. Каждая

матрица Z_ij определяет линейное преобразование конечного состояния предыдущего j-го

режима x(j)(t_ij ) в начальное состояние текущего i-го режима x(i)(t_ij) (t_ij - момент пере-

ключения между j-м и i-м режимами), т.е.

x(i)(t_ij) = Z_ijx(j)(t_ij).

Более точно,

x(i)(t_ij) = lim

x(i)(t), x(j)(t_ij) = lim x(j)(t).

t→t_ij +0

t→t_ij -0

Отметим, что систему (1) также можно интерпретировать как интервальное семейство

переключаемых линейных систем

x(σ) = A_σx(σ) + b_σu

(2)

с режимами (A_i, b_i)

x(i) = A_ix(i) + b_iu,

(3)

где A_i ∈ [A_i], b_i ∈ [b_i]. Далее каждую такую систему (2) будем называть элементом интер-

вального семейства (1).

Решением системы (1) при фиксированных режимах (A_i, b_i) (A_i ∈ [A_i], b_i ∈ [b_i], i =

= 1, m), заданном управлении u, переключающем сигнале σ ∈ S(Ω) и начальном условии

x(σ(0))(0) ∈ Rnσ(0) называется кусочно-дифференцируемая [6, с. 477] вектор-функция x(t) ∈

∈ Rⁿ, терпящая потерю дифференцируемости и непрерывности разве что в моменты пере-

ключения режимов и совпадающая на каждом промежутке активности i-го режима (i ∈ I)

с вектор-функцией

x(i)(t) ∈ Rn. При этом вектор-функция x(i)(t) порождается решением

линейной системы (3) на соответствующем промежутке активности i-го режима [tij , tli] с

начальными условиями

x(i)(t_ij) = Z_ijx(j)(t_ij),

где x(j)(t_ij) - конечное значение j-го режима на предыдущем промежутке времени.

При замыкании системы (1) регулятором в форме статической обратной связи u = u(x)

(x ∈ Rⁿ) его действие на каждый режим определяется следующими системами:

x(i) = [A_i]x(i) + [b_i]u(x(i)), i = 1,m.

Пучком траекторий системы (1) назовём множество X её решений x(t) для всех воз-

можных элементов интервального семейства при заданном управлении u, переключающем

сигнале σ ∈ S(Ω) и начальном условии x(σ(0))(0) ∈ Rnσ(0) .

Сечением пучка траекторий X системы (1) в момент времени t = t^∗ называется множество

X_t∗ значений решений x ∈ X при t = t^∗ при заданном управлении u, переключающем

сигнале σ ∈ S(Ω) и начальном условии x(σ(0))(0) ∈ Rnσ(0) , т.е. X_t∗ = {x(t^∗) : x(·) ∈ X}.

Норму сечения пучка траекторий ∥X_t∗ ∥ определим следующим образом:

∥X_t∗ ∥ = sup ∥x(t^∗)∥.

x(·)∈X

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ

1557

Будем говорить, что система (1), замкнутая регулятором в форме статической обратной

связи u = u(x) (u(0) = 0), S(Ω)-устойчива, если для любого переключающего сигнала σ ∈

∈ S(Ω) и произвольного начального условия x(σ(0))(0) ∈ Rnσ(0) для соответствующего пучка

траекторий X выполняется соотношение

∥X_t∥ → 0

при t → ∞.

Постановка задачи стабилизации. Для переключаемой интервальной линейной систе-

мы вида (1) требуется построить регулятор в форме статической обратной связи по состоянию

u = u(x) (x ∈ Rⁿ, u(0) = 0), обеспечивающий S(Ω)-устойчивость замкнутой системы.

В настоящей работе стабилизирующий регулятор, решающий сформулированную задачу,

будем искать в виде линейной стационарной обратной связи

u(x) = -k^тx,

(4)

где k ∈ Rⁿ - постоянный вектор параметров обратной связи. В связи с этим далее под замк-

нутой переключаемой системой понимаем систему с реализованным управлением вида (4).

2. Приведение к единому динамическому порядку. В соответствии с методом рас-

ширения динамического порядка [3, с. 205], аналогично работе [4], поставим в соответствие

системе (1) переключаемую интервальную линейную n-мерную систему

A_σ]x + [bσ]u, σ ∈ S(Ω),

Z(Ω) =

Z_ij ∈ R^n×n : (i,j) ∈ Ω}, x ∈ Rⁿ,

(5)

для которой режимы функционирования задаются уравнениями

A_i]x + [bi]u, i = 1,m,

где

A_σ] =

A] ◦ σ - композиция отображения

A] : I → {

A₁],... ,

A_m]}

(

A_i] ∈ R^n×n) и

переключающего сигнала σ, [bσ] = [^b]◦σ - аналогичная композиция для отображения [^b] : I →

→ {[b1], . . . , [bm]}

([bi] ∈ Rⁿ);

A_i] = T_i[A_i]Tтi

T_iAˆ_i

Tтi,

[b_i] = T_i[b_i].

(6)

Здесь

A_i - некоторые фиксированные устойчивые матрицы порядка n - n_i, T_i ∈ Rn×ni -

матрица, содержащая n - n_i нулевых строк и n_i строк с одной единицей, при этом единицы

расположены только в позициях (j_k, k), k = 1, n_i, j_k ∈ Γni ,

T_i ∈ Rn×(n-ni) - матрица, содер-

жащая n_i нулевых строк и n - n_i строк с одной единицей, при этом единицы расположены

только в позициях (j_k, k), k = 1, n_i, j_k ∈ Γ\Γ_i.

Замечание. Здесь и далее мы используем следующее определение для арифметических

операций над интервальными матрицами [7, с. 75; 8, с. 46]:

[A] ∗ [B] = □{A ∗ B : A ∈ [A], B ∈ [B]},

где ∗ ∈ {+, -, ·}, а через □{·} обозначается интервальная оболочка соответствующего мно-

жества матриц или векторов.

Множество матриц преемственности

Z(Ω) для системы (5) формируется на основе соот-

ветствующего множества Z(Ω) системы (1) следующим образом:

Z_ij = T_iZ_ijTтj ∈ R^n×n

для всех (i, j) ∈ Ω. Множество

Z(Ω) обеспечивает для системы (5) преемственность между

каждой парой соседних режимов аналогично тому, как это определено выше для системы (1).

Заметим, что для любой матрицы Z_ij ∈ Z(Ω) и соответствующей ей матрицы

Z_ij

∈

Z(Ω)

выполняется также равенство

Z_ij = Tтi

Z_ijT_j.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1558

ФУРСОВ и др.

Переключаемую систему (5) будем называть динамическим расширением системы (1).

Рассмотрим теперь систему (5), замкнутую обратной связью u = -k^тx:

x=(

A_σ] - [bσ]k^т)x, σ ∈ S(Ω),

Z(Ω) =

Z_ij ∈ R^n×n : (i,j) ∈ Ω}, x ∈ Rⁿ.

(7)

Систему (7) понимаем как семейство переключаемых систем вида

A_σ -bσk^т)x, σ ∈ S(Ω),

где

A_i ∈

A_i],

bi ∈ [^bi].

Решением системы (7) при фиксированных режимах

A_i,bi)

A_i ∈

A_i],

∈ [bi], i =

= 1, m), переключающем сигнале σ ∈ S(Ω) и начальном условии x(0) = x₀ ∈ Rⁿ будем

называть кусочно-дифференцируемое решение x(t) линейной нестационарной системы

Aσ(t) -bσ(t)k^т)x, x(0) = x₀.

В силу соотношений (6) и леммы 1 работы [4] справедлива следующая

Лемма 1. Для любых фиксированных режимов (A_i, b_i) (A_i ∈ [A_i], b_i ∈ [b_i], i = 1, m),

заданного управления u = -k^тx, переключающего сигнала σ ∈ S(Ω) и произвольного вектора

x₀ ∈ Rⁿ решение x(t) системы (1) с начальным условием x(σ(0))(0) = Tтσ(0)x₀ совпадает с

решением соответствующей системы (7) для режимов

A_i = T_iA_iTтi

T_iAˆ_i

Tтi,

bi = Tibi

с начальным условием x(0) = Tσ(0)Tтσ(0)x₀.

Скажем, что система (5), замкнутая обратной связью (4), S(Ω)-устойчива, если для любых

σ ∈ S(Ω) и x(0) ∈ Rⁿ для соответствующего пучка траекторий X системы (7) выполняется

соотношение

∥X_t∥ → 0

при t → ∞.

При этом обратную связь (4) называем S(Ω)-стабилизирующей. Лемма 1 позволяет сформу-

лировать следующее утверждение о связи свойства устойчивости замкнутых систем (1) и (5).

Лемма 2. Пусть линейная стационарная обратная связь u = -k^тx (k ∈ Rⁿ) является

S(Ω)-стабилизирующей для системы (5). Тогда эта же обратная связь будет S(Ω)-ста-

билизирующей и для системы (1).

Таким образом, лемма 2 позволяет свести задачу стабилизации системы (1) к задаче ста-

билизации соответствующей расширенной системы (5).

Отметим, что в общем случае замкнутая система (7) не является интервальной, что суще-

ственно усложняет проверку её устойчивости. Поэтому наряду с системой (7) будем рассмат-

ривать интервальную систему

x = [Λσ(k)]x, σ ∈ S(Ω),

Z(Ω) =

Z_ij ∈ R^n×n : (i,j) ∈ Ω}, x ∈ Rⁿ,

(8)

с режимами

[Λi(k)] = □

A_i -bik^т

A_i ∈

A_i],

bi ∈ [^bi]}, i = 1, m.

Систему (8) назовём интервальной оболочкой системы (7), а её решения и S(Ω)-устойчивость

определяем так же, как и для системы (7). Если рассматривать системы (7) и (8) как семей-

ства переключаемых систем, то очевидно, что семейство систем (7) является подмножеством

интервального семейства (8). Учитывая этот факт, сформулируем следующее утверждение.

Лемма 3. Пусть для некоторого k ∈ Rⁿ система (8) является S(Ω)-устойчивой. Тогда

при этом k система (7) будет также S(Ω)-устойчивой.

Лемма 3 позволяет свести задачу стабилизации системы (1) к задаче поиска вектора k ∈

∈ Rⁿ, для которого система (8) является S(Ω)-устойчивой.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ

1559

3. Решение задачи стабилизации. Рассмотрим для произвольной интервальной мат-

∏

рицы [A] = ([a_kj , a_kj])k,j=1,n параллелотоп P (A) =k,j=1,n[a_kj, a_kj] в пространстве Rn2 .

Каждому вектору q = (q₁, . . . , q_n2 )^т ∈ P (A) поставим в соответствие матрицу

⎛

⎞

q₁

q_n

⎜

qn+1

... q2n⎟

A(q) =

⎝

⎠.

qn(n-1)+1 ... q_n2

Тогда

[A] = {A(q) : q ∈ P (A)}. Пусть G(A) = {q(ν)A : ν = 1, 2n2 } - множество всех вер-

шин параллелотопа P (A), откуда следует, что P (A) = Conv {q(ν)A : ν = 1, 2n2 }, а значит, и

[A] = Conv {A(q(ν)A) : ν = 1, 2n2 }. Матрицы A(q(ν)A) называют вершинными матрицами для

интервальной матрицы [A].

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

1) при некотором векторе k ∈ Rⁿ существует единая функция Ляпунова V (x) = x^тHx

(H ≻ 0) для семейства систем

x = Q(i)lx, i = 1,m, l = 1,2n2,

(9)

где Q(i)l - вершинные матрицы i-го режима соответствующей системы (8);

2) для матриц преемственности из множества

Z(Ω) системы (8) выполняются нера-

венства

Z_ij∥²² ≤ θ для всех (i,j) ∈ Ω,

(10)

где θ = λ_min(H)/λ_max(H) (λ_min(H) и λ_max(H) - минимальное и максимальное собственные

значения матрицы H соответственно).

Тогда система (8) является S(Ω)-устойчивой.

Доказательство. Покажем сначала, что если выполнено условие (10), то в моменты смены

режимов, когда могут происходить скачкообразные изменения вектора состояния системы (8),

определяемые матрицами преемственности

Z_ij, значение функции V (x) не возрастает, т.е.

Z_ijx) ≤ V (x)

(11)

для всех x ∈ Rⁿ и (i, j) ∈ Ω.

Действительно, как известно, для любого вектора x ∈ Rⁿ верны оценки

λ_min(H)∥x∥²² ≤ V (x) ≤ λ_max(H)∥x∥²².

Поэтому имеем

Z_ijx) ≤ λ_max(H)

Z_ijx∥²² ≤ λ_max(H)

Z_ij∥²²∥x∥²².

Тогда

V (x) - V

Z_ijx) ≥ λ_min(H)∥x∥²² - λ_max(H)

Z_ij∥²²∥x∥²² =

(

)

λ_min(H)

= (λ_min(H) - λ_max(H)

Z_ij∥²²)∥x∥²² ≥ λ_min(H) - λ_max(H)

∥x∥²² =

λ_max(H)

= (λ_min(H) - λ_min(H))∥x∥²² = 0.

Таким образом, неравенства (11) доказаны.

Далее, пусть переключаемая система

x = Λ_σ(k)x

(12)

является некоторым элементом интервального семейства (8). Рассмотрим производную

V |(i)(x) = x^т(Λ_i(k)^тH + HΛ_i(k))x

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1560

ФУРСОВ и др.

общей квадратичной функции Ляпунова V (x) = x^тHx в силу i-го режима

x = Λ_i(k)x, Λ_i(k) ∈ [Λi(k)]

(13)

системы (12).

Заметим, что Λ_i(k) =

^∑α_lQ(i)l, где α_l ≥ 0,

^∑α_l = 1, Q(i)l - вершинные матрицы для

интервальной матрицы [Λi(k)]. Тогда

∑

V |(i)(x) = x^т((

α_lQ(i)l)^тH + H(

α_lQ(i)l))x =

α_l(x^т((Q(i)l)^тH + HQ(i)l)x) ≤

α_lλ(i)l∥x∥²,

где λ(i)l - максимальное собственное значение матрицы (Q(i)l)^тH + HQ(i)l.

Пусть

-λ = maxλ(i)l,

i,l

где максимум берётся по всем вершинным матрицам всех интервальных матриц [Λi(k)]. Оче-

видно, что -λ < 0.

Тогда получаем следующую оценку:

∑

V |(i)(x) ≤

α_lλ(i)l∥x∥² ≤ -λ∥x∥²

α_l = -λ∥x∥² < 0 при x = 0.

(14)

Предположим, что при выполнении условий теоремы 1 соответствующая система (8) всё

же не является S(Ω)-устойчивой. Тогда в силу (14) для некоторого переключающего сигнала

σ ∈ S(Ω) и начального условия

x(0) ∈ Rⁿ найдётся такое μ > 0, что для любого t^∗ >

> 0 будет существовать хотя бы одно решение x(t) из соответствующего пучка X, которое

не попадает в область ω₀ = {x : V (x) < μ} при t ∈ [0, t^∗]. Пусть r - радиус некоторого

принадлежащего области ω₀ шара с центром в нуле. Зафиксируем произвольное t^∗ > 0.

Тогда в соответствии со сделанным предположением найдётся решение x(t) ∈ X, для которого

выполняется неравенство ∥x(t)∥ > r при всех t ∈ [0,t∗]. Пусть x(t) является решением

некоторой системы (12).

Обозначим через t₁, t₂, . . . , t_l все моменты переключения системы (12) на промежутке

[0, t^∗], обусловленные переключающим сигналом σ(t). Пусть

0=t₀ <t₁ <t₂ <...<t_l <tl+1 =t^∗.

Пусть на некотором промежутке [t_j, tj+1] активным является i-й режим (13). Тогда на

этом промежутке в силу оценки (14) и выбора константы r выполняется неравенство

V (x(t)) < -λr².

Теперь, учитывая неравенство (11), оценим значение V (x(t^∗)). Имеем

V(x(t^∗))=V(x(0))+(V(x(t₁))-V(x(0)))+(V(x(t₂))-V

Zσ(t1)σ(0) x(t1))) +

+ (V

Zσ(t1)σ(0) x(t1)) - V (x(t1))) + (V (x(t3)) - V

Zσ(t2)σ(t₁)x(t2))) +

+ (V

Zσ(t2)σ(t₁)x(t2)) - V (x(t2))) + ... + (V (x(t^∗)) - V

Zσ(tl)σ(tl-1)x(tl))) +

+ (V

Zσ(tl)σ(tl-1)x(tl)) - V (x(tl))) ≤ V (x(0)) + (V (x(t1)) - V (x(0))) +

+ (V (x(t₂)) - V

Zσ(t1)σ(0) x(t1))) + (V (x(t3)) - V

Zσ(t2)σ(t₁)x(t2))) + ...

∫t1

...+(V(x(t^∗))-V

V |σ(0)x(τ)dτ +

Zσ(tl)σ(tl-1)x(tl))) = V (x(0)) +

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ

1561

∫t2

∫

t₃

∫

t∗

V|σ(t

1)x(τ)dτ+

2)x(τ)dτ+...+

l)x(τ)dτ≤

t₁

t₂

∫t1

∫

t₂

∫

t₃

≤ V (x(0)) +

(-λr²) dτ +

(-λr²) dτ + . . .

t₁

t₂

∫t^∗

...+

(-λr²) dτ = V (x(0)) - λr²t^∗.

Таким образом, пришли к неравенству

V (x(t^∗)) ≤ V (x(0)) - λr²t^∗.

Так как константа λr² не зависит от t^∗, то при достаточно больших t^∗ верно неравенство

V (x(t^∗)) < 0, а это противоречит положительной определённости функции V (x). Полученное

противоречие доказывает теорему.

Леммы 2, 3 и теорема 1 дают, фактически, конструктивный алгоритм для проверки то-

го, является ли данная обратная связь u = -k^тx (k ∈ Rⁿ) стабилизирующей для системы

(1). Указанный алгоритм позволяет разрабатывать различные численные процедуры поиска

вектора k стабилизирующей обратной связи для системы (1). Это могут быть либо обычные

сеточные методы поиска, либо методы интеллектуального поиска на множестве параметров

обратной связи.

Рассмотрим вопрос об аналитическом алгоритме поиска вектора k стабилизирующей об-

ратной связи. Запишем в явном виде интервальные матрицы [Λi(k)] (i = 1, m), являющиеся

интервальными оболочками матричных семейств

A_i -bik^т

A_i ∈

A_i],

bi ∈ [^bi]}, i = 1, m.

Вследствие правил выполнения интервальных операций (сложения, вычитания и умножения)

[7, с. 24; 8, с. 39] эти интервальные матрицы описываются следующим образом:

[Λi(k)] = ([λ(i)pr(k_r)])np,r=1,

где k_r - r-я компонента вектора k ∈ Rⁿ,

{

[a^p

r -bⁱkr,apr -b

k_r], если k_r ≥ 0,

λ_pr(k_r) =

(15)

[a^p

r -b^pikr,apr - bikr], если kr ≤ 0.

Здесь b^pi - p-я компонента вектораbi.

Рассмотрим случай, когда для всех векторов [b_i], определяющих режимы системы (1), вы-

полняются условия b_i = b_i, т.е. когда эти векторы являются “точечными”. В этом случае поиск

вектора k параметров стабилизирующей обратной связи можно свести к решению системы

линейных матричных неравенств. Действительно, если векторы [b_i] являются точечными, то

в силу (15) получаем

[Λi(k)] =

A_i] -bik^т = ([a(i)pr - b^pik_r,a(i)pr - b^pik_r])np,r=1

и вершинные матрицы Q(i)l для интервальной матрицы [Λi(k)] имеют вид

Q(i)l

A^li -bik^т,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1562

ФУРСОВ и др.

где

A(i)l - вершинные матрицы для

A_i]. Тогда условие существования общей квадратичной

функции Ляпунова для семейства систем (9) равносильно разрешимости системы матричных

неравенств

{

A(i)l -bik^т)^тH + H

A(i)l -bik^т) ≺ 0, i = 1,m, l = 1,2n2 ,

H ≻ 0,

которая является билинейной относительно неизвестной матрицы H и вектора k. Известно

[9, с. 44], что умножение первого неравенства на матрицу H-1 слева и справа переводит эту

пару неравенств в линейные матричные неравенства относительно новых матриц

Ĥ₌ H-1 и

k^т = k^тH-1 :

{

^Ĥ

A(i)l)^т

A(i)l Ĥ - (kbтi +bik^т) ≺ 0, i = 1,m,

(16)

Ĥ≻ 0,

l = 1,2n2.

Таким образом, если система линейных матричных неравенств (16) имеет решения

Ĥ,

то система (8), для которой

[Λσ(k)] =

A_σ] -bσk^т,

(17)

при k^т =kт Ĥ-1 удовлетворяет условию 1) теоремы 1.

Далее, в работе [4] показано, что условие

Zтij

Z_ij ≽ 0, (i,j) ∈ Ω,

(18)

эквивалентно неравенству V (x) - V

Z_ijx) ≥ 0 при x ∈ Rⁿ. Следовательно, требование усло-

вия 2) теоремы 1 можно заменить условием (18). Умножив теперь неравенства (18) слева и

справа на матрицу H-1, получаем

Ĥ- ĤZтij Ĥ-1

Z_ij Ĥ ≽ 0.

(19)

В работе [4] также показано, что система матричных неравенств, составленная из неравенств

(16) и (19), эквивалентна системе линейных матричных неравенств

⎧

⎪

^Ĥ

A^li)^т

A^li Ĥ - (kbтi +bik^т) ≺ 0, i = 1,m,

⎨

Ĥ≻ 0, l = 1,2n2,

(

)

(20)

⎪

Z_ij Ĥ

⎩

≽ 0.

Zтij

Таким образом, в случае, когда векторы [b_i] системы (1) являются точечными, поиск ста-

билизирующей обратной связи для такой системы можно свести к решению системы линейных

матричных неравенств (20). Именно, справедлива

Теорема 2. Пусть для системы (1) вида

x(σ) = [A_σ]x(σ) + b_σu, σ ∈ S(Ω), Z(Ω) = {Z_ij ∈ Rni×nj : (i,j) ∈ Ω}

(21)

разрешима система линейных матричных неравенств (20) относительно матрицы

Ĥ и

вектораk

A(i)l - вершинные матрицы для

A_i]).

Тогда обратная связь u = -k^тx, где k^т =kт Ĥ-1, является S(Ω)-стабилизирующей для

системы (21).

В заключение отметим, что представленные в настоящей работе достаточные условия ста-

билизации переключаемых интервальных линейных систем с режимами различных динами-

ческих порядков (теоремы 1 и 2) носят конструктивный характер и допускают численную

реализацию процесса поиска стабилизирующего регулятора.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных иссле-

дований (проекты 20-57-0001, 20-07-00827, 19-07-00294) и Министерства образования и науки

Российской Федерации в рамках реализации программы Московского центра фундаменталь-

ной и прикладной математики по соглашению № 075-15-2019-1621.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМ СТАБИЛИЗАЦИИ

1563

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фурсов А.С., Миняев С.И., Мосолова Ю.М. Синтез цифрового стабилизатора по выходу для пере-

ключаемой интервальной линейной системы // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 11. С. 1545-

1559.

2. Фурсов А.С., Мосолова Ю.М., Миняев С.И. Цифровая сверхстабилизация переключаемой интер-

вальной линейной системы // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1516-1527.

3. Фурсов А.С. Одновременная стабилизация: теория построения универсального регулятора для се-

мейства динамических объектов. М., 2016.

4. Фурсов А.С., Капалин И.В. Некоторые подходы к стабилизации переключаемых линейных систем с

режимами различных динамических порядков // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55. № 12. С. 1693-

1700.

5. Барсегян В.Р. Управление составных динамических систем и систем с многоточечными промежу-

точными условиями. М., 2016.

6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1. М., 1981.

7. Шарый С.П. Конечномерный интервальный анализ. М., 2007.

8. Жолен Л., Кифер М., Дидри О., Вальтер Э. Прикладной интервальный анализ. М.; Ижевск, 2007.

9. Баландин Д.В., Коган М.М. Синтез законов управления на основе линейных матричных неравенств.

М., 2007.

Электротехнический университет, г. Ханчжоу, Китай,

Поступила в редакцию 08.05.2021 г.

Московский государственный университет

После доработки 08.05.2021 г.

им. М.В. Ломоносова,

Принята к публикации 05.10.2021 г.

Институт проблем передачи информации

им. А.А. Харкевича, г. Москва,

АО “Корпорация “Московский институт теплотехники”

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021