ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1568-1572
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 517.977.1
ОДНОРОДНЫЕ СУБРИМАНОВЫ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
НА ГРУППЕ ДВИЖЕНИЙ ПЛОСКОСТИ
© 2021 г. Ю. Л. Сачков
Описаны однородные субримановы геодезические для стандартной субримановой струк-
туры на группе собственных движений плоскости SE(2). Показано, что эта структура
не является геодезически орбитальной, несмотря на инвариантность времени разреза при
сдвиге начальной точки вдоль геодезических.
DOI: 10.31857/S0374064121110145
В римановой геометрии известны понятия однородных геодезических и геодезически ор-
битальных пространств [1-5]. В субримановой геометрии по этой тематике ряд результатов
получен в работах В.Н. Берестовского и И.А. Зубаревой [6-12]: доказана геодезическая ор-
битальность осесимметричных левоинвариантных субримановых метрик на группах SU(2),
SO(3), SL(2), SO0(2,1) и всех локально изоморфных и локально изометричных накрытий
последней группы с упомянутыми субримановыми метриками. Все эти метрики реализуемы
как инвариантные метрики на соответствующих слабо симметрических по А. Сельбергу прост-
ранствах.
1. Однородные и эквиоптимальные субримановы геодезические на группах Ли.
Пусть на гладком многообразии M задана субриманова структура [13, с. 22; 14, с. 76]. Обо-
значим через Isom (M) группу изометрий субриманова многообразия M.
Субриманова геодезическая γ ⊂ M называется однородной, если она является однородным
пространством некоторой однопараметрической подгруппы группы Isom (M). Субриманово
многообразие называется геодезически орбитальным, если все его геодезические однородны.
Временем разреза для геодезической g(t), t ≥ 0, соответствующим начальному моменту
t = 0, называется величина tcut(g(·)) = sup{T > 0 : g(t) оптимальна при t ∈ [0,T]}. Геодези-
ческая g(t), t ∈ [0, T ], где T = tcut(g(·)) < +∞, называется непродолжаемой кратчайшей.
Пусть на группе Ли G задана левоинвариантная субриманова структура с ортонормиро-
ванным репером (X1, . . . , Xk), Xi ∈ Vec(G). Будем говорить, что геодезическая {g(t)} ⊂ G
соответствует управлению u(t) = (u1(t),... ,uk(t)), ui ∈ L∞, если выполняется равенство
∑
ġ(t) =
ui(t)Xi(g(t)).
i=1
Согласно принципу максимума Понтрягина [15, с. 25; 16, с. 176] любая нормальная геоде-
зическая {g(t)} ⊂ G является проекцией нормальной экстремали {λ(t)} ⊂ T∗G:
λ(t) =H(λ(t)), λ(t) ∈ T∗g(t)G,
(1)
где
H ∈ Vec(T∗G) - гамильтоново векторное поле с гамильтонианом
∑
1
H =
h2i ∈ C∞(T∗G), hi(λ) = 〈λ,Xi(π(λ))〉,
2
i=1
и π : T∗G → G - каноническая проекция.
Кокасательное расслоение T∗G группы Ли G левыми сдвигами Lg : g0 → gg0, g, g0 ∈ G,
тривиализуется:
Φ : g∗ × G → T∗G, (p,g) → L∗g-1p,
〈L∗g-1 p, Lg∗ξ〉 = 〈p, ξ〉, p ∈ g∗, ξ ∈ g, g ∈ G,
1568
ОДНОРОДНЫЕ СУБРИМАНОВЫ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
1569
где g = TIdG - алгебра Ли группы Ли G, а g∗ - сопряжённое к g пространство. В этой
тривиализации гамильтонова система (1) становится треугольной (см. [16, с. 251]):
(
)∗
∂H
p = ad
p, p ∈ g∗,
(2)
∂p
∂H
ġ=Lg∗
,
g ∈ G.
∂p
Обозначим вертикальную компоненту гамильтонова поля в правой части уравнения (2) через
Hv ∈ Vec(g∗).
∑k
Переходя к натурально параметризованным геодезическим (
u2i(t) ≡ 1), будем счи-
i=1
тать, что p ∈ C := g∗
⋂ {H = 1/2}. Тогда время разреза tcut на нормальных геодезических
g(t) = π ◦ etH (p, Id) становится функцией C → (0, +∞].
Пусть g(t), t ∈ R, - натурально параметризованная геодезическая в субримановом мно-
гообразии M. Геодезическая g(t) называется эквиоптимальной, если она удовлетворяет сле-
дующему свойству: если g(t), t ∈ [0, T ], - непродолжаемая кратчайшая, то для любого τ ∈ R
геодезическая g(t+τ), t ∈ [0, T ], - также является непродолжаемой кратчайшей. Субриманово
многообразие M называется эквиоптимальным, если любая его натурально параметризован-
ная геодезическая эквиоптимальна.
Лемма. Пусть {g(t)} ⊂ G - субриманова геодезическая с управлением u(t). Тогда для
любого g1 ∈ G кривая g(t) = g1g(t + τ) является субримановой геодезической с управлением
u(t) = u(t + τ).
Доказательство. Кривая g(t + τ) - геодезическая по определению геодезической, а её
левый сдвиг g(t) = Lg1 (g(t + τ)) является геодезической в силу левоинвариантности субрима-
новой структуры. Вычислим управление u(t), соответствующее геодезической g(t):
∑
d
g(t) =
Lg1(g(t + τ)) = Lg1∗ ġ(t + τ) = Lg1∗
ui(t + τ)Xi(g(t + τ)) =
dt
i=1
∑
∑
= ui(t + τ)Lg1∗Xi(g(t + τ)) = ui(t + τ)Xi(g(t)),
i=1
i=1
поэтому u(t) = u(t + τ). Лемма доказана.
Предложение 1. Нормальная геодезическая g(t) = π ◦etH (p, Id), t ∈ R, эквиоптимальна
тогда и только тогда, когда время разреза инвариантно относительно выбора начального
момента, т.е.
tcut ◦ eτHv (p) = tcut(p), p ∈ C, τ ∈ R.
(3)
Доказательство. Геодезическая g(t) = g(t + τ), t ∈ [0, T ], является непродолжаемой
кратчайшей тогда и только тогда, когда непродолжаемой кратчайшей является геодезическая
g(t) = g-11g(t) = g-11g(t + τ), g1 = g(τ), t ∈ [0, T ]. Если геодезическая g(t) соответствует
управлению u(t), то геодезическая g(t) - управлению u(t) = u(t + τ) (см. лемму). Наконец,
равенство (3) означает, что для любого T > 0 управления u(t), t ∈ [0, T ], и u(t+τ), t ∈ [0, T ],
одновременно оптимальны или неоптимальны.
Следствие. Стандартные левоинвариантные субримановы структуры на следующих
группах Ли эквиоптимальны:
1) группа Гейзенберга;
2) группы SO(3), SU(2), SL(2) с осесимметричной субримановой метрикой;
3) группы SE(2) и SH(2);
4) группы Энгеля и Картана.
Доказательство. Все геодезические для указанных групп Ли нормальны. Свойство (3)
инвариантности времени разреза для групп Ли 1)-4) доказано соответственно в статьях: 1) [17];
2) [7, 9, 18]; 3) [19, 20]; 4) [21].
9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 11
2021
1570
САЧКОВ
Предложение 2. Если субриманова геодезическая однородна, то она эквиоптимальна.
Доказательство. Пусть геодезическая γ = {g(t) : t ∈ R} однородна, и пусть {ϕs : s ∈
∈ R} - та однопараметрическая подгруппа в Isom (G), для которой γ является однородным
пространством. Далее, пусть g(t), t ∈ [0, T, ] - непродолжаемая кратчайшая. Возьмём любое
τ ∈ R и найдём такое s ∈ R, что ϕs(g(0)) = g(τ). Тогда g(t+τ), t ∈ [0,T], - непродолжаемая
кратчайшая, так как g(t + τ) = ϕs(g(t)), t ∈ R.
В следующем пункте работы на примере стандартной субримановой структуры на группе
SE(2) [20, 22, 23] покажем, что утверждение, обратное к предложению 2, неверно.
2. Субримановы геодезические на группе SE(2). Группа собственных движений ев-
клидовой плоскости SE(2) представляет собой полупрямое произведение группы параллель-
ных переносов R2 и группы вращений плоскости SO(2), т.е. SE(2) = R2 ⋊ SO(2). Эта группа
имеет линейное представление
⎧⎛
⎞
⎫
⎨
cos θ
- sin θ x
⎬
SE(2) =
⎝sinθcosθy⎠ : θ ∈ S1, x,y ∈ R
⎩
⎭
0
0
1
Наряду с матричным обозначением будем обозначать элементы этой группы как (x, y, θ).
Рассмотрим на группе SE(2) стандартную левоинвариантную субриманову структуру, по-
рождённую ортонормированным репером
∂
∂
∂
X1 = cos θ
+ sinθ
,
X2 =
∂x
∂y
∂θ
Субримановы геодезические и оптимальный синтез для этой структуры описаны в работах [20,
22, 23].
Пример. Отметим следующие геодезические для этой структуры:
1) “движение вперед”: etX1 (Id) = (x, y, θ)(t) = (t, 0, 0), t ∈ R;
2) “поворот на месте”: etX2 (Id) = (x, y, θ)(t) = (0, 0, t), t ∈ R.
Проекции всех остальных геодезических на плоскость (x, y) являются некомпактными
кусочно-гладкими кривыми с точками возврата (см. [22]).
Группа Isom (SE(2)) вычислена в работе [24], в которой показано, что
Isom (SE(2))= SE(2) ⋊ (Z2 × Z2).
(4)
Группа SE(2) действует на себе левыми сдвигами. В представлении (4) один сомножитель
Z2 означает отражение относительно какой-либо оси на плоскости (x,y), а другой сомножи-
тель Z2 - разворот. В частности, все однопараметрические подгруппы в Isom (SE(2)) будут
однопараметрическими подгруппами в группе SE(2).
Теорема. Однородными геодезическими в группе SE(2) являются только геодезические 1)
и 2), указанные в примере.
Группа SE(2) не является геодезически орбитальным пространством.
Доказательство. Вычислим однопараметрические подгруппы в Isom (SE(2)), т.е. в SE(2).
Алгебра Ли группы Ли SE(2) имеет вид
g = se(2) = span(E13,E23,E21 - E12),
где Eij - 3 × 3-матрица с единственным ненулевым элементом на строке i и столбце j,
равным 1. Однопараметрической подгруппой, соответствующей её элементу X = aE13 +bE23 +
+ c(E21 - E12), будет esX = (x(s), y(s), θ(s)), где координаты x, y, θ удовлетворяют зада-
че Коши
x = -cy + a, x(0) = 0,
y = cx + b, y(0) = 0,
θ = c, θ(0) = 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 11
2021
ОДНОРОДНЫЕ СУБРИМАНОВЫ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
1571
Поэтому θ(s) = cs и
x(s) = as, y(s) = bs при c = 0,
b
a
b
a
x(s) =
(cos(cs) - 1) +
sin(cs), y(s) =
sin(cs) +
(1 - cos(cs)) при c = 0.
c
c
c
c
Орбита однопараметрической подгруппы {esX } ⊂ SE(2), проходящая через точку (x0, y0, θ0)∈
∈ SE(2), представляется в виде:
(x0 + as, y0 + bs, θ0) при c = 0,
((
)
)
(
)
)
)
b
(a
b
a
(b
a
x0 +
cos cs +
-y0
sin cs -
, y0-
cos cs +
+x0
sin cs +
,θ0+cs при c = 0.
c
c
c
c
c
c
Эта орбита проекцией на плоскость (x, y) имеет следующую кривую:
1) прямую при c = 0, a2 + b2 = 0;
2) точку при c = 0, (x0 + b/c)2 + (a/c - y0)2 = 0;
3) окружность при c((x0 + b/c)2 + (a/c - y0)2) = 0.
Из описания проекций геодезических на плоскость (x, y) следует, что однопараметриче-
ские подгруппы в случае (3) не могут быть геодезическими. Значит, только геодезические из
приведённого выше примера однородны (случаи 1), 2)).
Таким образом, на группе SE(2), во-первых, все геодезические эквиоптимальны (след-
ствие), а во-вторых, однородны только геодезические типов 1), 2) примера. Поэтому группа
SE(2) эквиоптимальна, но не геодезически орбитальна. Теорема доказана.
Глубинная причина эквиоптимальности группы SE(2) остаётся скрытой. С другой сторо-
ны, группы, перечисленные в пп. 1) и 2) следствия геодезически орбитальны и эквиоптималь-
ны. Отметим также, что стандартная левоинвариантная субриманова структура на свободной
двуступенной группе Карно с тремя образующими (вектор роста (3, 6)) [25] эквиоптимальна,
потому геодезически орбитальна согласно доказанному следствию.
Автор выражает благодарность А.В. Подобряеву за полезные обсуждения этой работы, а
также рецензенту за ценную информацию о публикациях по теме статьи.
Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект
17-11-01387-П).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ambrose W., Singer I.M. On homogeneous Riemannian manifolds // Duke Math. J. 1958. V. 25. P. 647-
669.
2. Kaplan A. On the geometry of groups of Heisenberg type // Bull. London Math. Soc. 1983. V. 15.
P. 35-42.
3. Kowalski O., Vanhecke L. Riemannian manifolds with homogeneous geodesics // Boll. Un. Mat. Ital.
1991. V. 5. P. 189-246.
4. Kowalski D., Szenthe J. On the existence of homogeneous geodesics in honogeneous Riemannian manifolds
// Geom. Dedicata. 2000. V. 81. № 1-3. P. 209-214.
5. Berestovskii V., Nikonorov Yu. Riemannian Manifolds and Homogeneous Geodesics. Cham, 2020.
6. Берестовский В.Н. (Локально) кратчайшие специальной субримановой метрики на группе Ли
SO0(2, 1) // Алгебра и анализ. 2015. Т. 27. № 1. С. 3-22.
7. Берестовский В.Н., Зубарева И.А. Геодезические и кратчайшие специальной субримановой метрики
на группе Ли SO(3) // Сиб. мат. журн. 2015. Т. 56. № 4. С. 762-774.
8. Берестовский В.Н., Грибанова И.А. Субриманово расстояние в группах Ли SU(2) и SO(3) // Мат.
тр. 2015. Т. 18. № 2. С. 3-21.
9. Берестовский В.Н., Зубарева И.А. Геодезические и кратчайшие специальной субримановой метрики
на группе Ли SL(2) // Сиб. мат. журн. 2016. Т. 57. № 3. С.527-542.
10. Берестовский В.Н., Зубарева И.А. Локально изометричные накрытия группы Ли SO0(2, 1) со спе-
циальной субримановой метрикой // Мат. сб. 2016. Т. 207. № 9. С. 35-56.
11. Берестовский В.Н., Зубарева И.А. Субриманово расстояние в группе Ли SO0(2, 1) // Алгебра и
анализ. 2016. Т 28. № 4. С. 62-79.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 11
2021
9∗
1572
САЧКОВ
12. Берестовский В.Н., Зубарева И.А. Субриманово расстояние в группе Ли SL(2) // Сиб. мат. журн.
2017. Т. 58. № 1. С. 22-35.
13. Montgomery R. A Tour of Subriemannnian Geometries, their Geodesics and Applications. Providence,
2002.
14. Agrachev A., Barilari D., Boscain U. A Comprehensive Introduction to sub-Riemannian Geometry from
Hamiltonian viewpoint. Cambridge, 2019.
15. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оп-
тимальных процессов. М., 1961.
16. Аграчев А.А., Сачков Ю.Л. Геометрическая теория управления. М., 2005.
17. Вершик А.М., Гершкович В.Я. Неголономные динамические системы. Геометрия распределений и
вариационные задачи // Итоги науки и техн. Совр. проблемы математики. Фунд. направления.
1987. Т. 16. С. 5-85.
18. Boscain U., Rossi F. Invariant Carnot-Caratheodory metrics on S3, SO(3), SL(2) and lens spaces
// SIAM J. Contr. Optim. 2008. V. 47. P. 1851-1878.
19. Butt Y.A., Bhatti A.I., Sachkov Yu.L. Cut locus and optimal synthesis in sub-Riemannian problem on
the Lie group SH(2) // J. of Dynam. and Contr. Systems. 2017. V. 23. P. 155-195.
20. Sachkov Yu.L. Cut locus and optimal synthesis in the sub-Riemannian problem on the group of motions
of a plane // ESAIM: COCV. 2011. V. 17. P. 293-321.
21. Ardentov A.A., Sachkov Yu.L. Cut time in sub-Riemannian problem on Engel group // ESAIM: COCV.
2015. V. 21. № 4. P. 958-988.
22. Moiseev I., Sachkov Yu.L. Maxwell strata in sub-Riemannian problem on the group of motions of a plane
// ESAIM: COCV. 2010. V. 16. P. 380-399.
23. Sachkov Yu.L. Conjugate and cut time in the sub-Riemannian problem on the group of motions of a
plane // ESAIM: COCV. 2010. V. 16. P. 1018-1039.
24. Ardentov A., Bor G., Le Donne E., Montgomery R., Sachkov Yu. Bicycle paths, elasticae and sub-
Riemannian geometry // Nonlinearity. 2021. V. 34. P. 4661-4683.
25. Myasnichenko O. Nilpotent (3, 6) sub-Riemannian problem // J. of Dynam. and Contr. Systems. 2002.
V. 8. № 4. P. 573-597.
Институт программных систем
Поступила в редакцию 27.05.2021 г.
им. А.К. Айламазяна РАН,
После доработки 12.08.2021 г.
г. Переславль-Залесский
Принята к публикации 05.10.2021 г.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 11
2021
