ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 11, с. 1573-1586

ХРОНИКА

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ∗)

Ниже публикуются∗∗) аннотации докладов, заслушанных в осеннем семестре 2021 г. (пре-

дыдущее сообщение о работе семинара см. в журнале “Дифференц. уравнения”. 2021. Т. 57.

№ 6).

DOI: 110.31857/S0374064121110157

А. Н. Ветохин (Москва) “Об одном свойстве линейных систем с непрерывными огра-

ниченными коэффициентами, обобщённо приводимых к упорядоченно-диагональному виду”

(24 сентября 2021 г.).

Для заданного натурального n через M_n обозначим класс линейных дифференциальных

систем

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

(1)

с ограниченной непрерывной оператор-функцией A, которую мы отождествляем с самой сис-

темой (1) и поэтому пишем A ∈ M_n. По линейной системе A ∈ M_n зададим на пространстве

Rⁿ набор метрик

d^At(x₀,y₀) = max ∥x(τ,x₀) - x(τ,y₀)∥, x₀,y₀ ∈ Rⁿ, t ∈ R₊,

τ ∈[0,t]

где x( · , a) - решение системы A, удовлетворяющее условию x(0, a) = a, а ∥ · ∥ - норма в

Rⁿ (для определённости ∥x∥ = max

|x_k|). Пусть N_∥·∥(A, K, ε, t) - ε-ёмкость компактного

1≤k≤n

множества K ⊂ Rⁿ с метрикой d^At [1] (т.е. максимальное число точек, попарные d^At-рассто-

яния между которыми больше ε), тогда топологическая энтропия системы (1) определяется

формулой

h_top(A) = sup

lim

ln N_∥·∥(A, K, ε, t)

K⊂Rⁿ

ε→0

t→+∞ t

(её правая часть не зависит от выбора нормы ∥ · ∥, поэтому определение корректно).

В докладе [2] введён класс EI_n таких систем A ∈ M_n, что для всякой непрерывной

оператор-функции B с отрицательным характеристическим показателем

χ(B) ≡ lim

ln ∥B(t)∥ < 0

(2)

t→+∞ t

система A+B имеет те же показатели Ляпунова, что и система A (здесь ∥·∥ - какая-либо мат-

ричная норма). Известно [3], что класс правильных (по Ляпунову) систем содержится в EI_n.

В докладе [4] предложено естественное расширение класса правильных систем с сохранением

свойства инвариантности показателей Ляпунова относительно экспоненциально убывающих

возмущений их матриц коэффициентов, а именно - класс GROD_n систем из M_n, обобщённо

ляпуновски эквивалентных системам с упорядоченной диагональю. Напомним, что системы

∗) Семинар основан В.В. Степановым в 1930 г., впоследствии им руководили В.В. Немыцкий, Б.П. Демидо-

вич, В.А. Кондратьев, В.М. Миллионщиков. В настоящее время руководители семинара - Н.Х. Розов, И.Н. Сер-

геев, И.В. Асташова, А.В. Боровских, учёный секретарь семинара - В.В. Быков, e-mail: vvbykov@gmail.com.

∗∗) Составитель хроники И.Н. Сергеев.

1573

1574

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

A и B (матрицы коэффициентов которых не обязательно ограничены на полуоси) называ-

ются обобщённо ляпуновски эквивалентными, если некоторое дифференцируемое линейное

преобразование координат c матрицей L(t), t ∈ R₊, удовлетворяющее условию

χ(∥L∥ + ∥L-1∥) ≤ 0,

переводит систему A в систему B. В работе [5] для каждого n ∈ N установлено, что класс

GROD_n содержится в классе EI_n, но не совпадает с ним для каждого n ≥ 2 (при n = 1 оба

эти класса совпадают с M₁).

Обозначим через EITE_n класс таких систем A ∈ M_n, что для всякой непрерывной опера-

тор-функции B с отрицательным характеристическим показателем (2) система A + B имеет

ту же топологическую энтропию, что и система A.

Теорема 1. Для любого n ∈ N имеет место включение GROD_n ⊂ EITE_n.

Возникает естественный вопрос: верно ли обратное включение EITE_n ⊂ GROD_n? Для

ответа на него рассмотрим систему

x = diag[a₁(t),a₂(t),0,...,0]x,

(3)

;

n-2

⎧

⎪1, t ∈ [0, 6],

⎨

1, t ∈ ((3k)!, (3k + 1)! - 1],

1, t ∈ ((3k)!, (3k + 1)!],

a₁(t) =

a₂(t) =

⎪0, t ∈ [(3k + 1)!, (3k + 2)!],

⎪1, t ∈ ((3k + 1)!, (3k + 2)! - 1],

^⎩1, t ∈ [(3k + 2)! + 1, (3k + 3)!],

^⎩0, t ∈ [(3k + 2)!, (3k + 3)!],

где k ∈ N, причём функция a₁(t) аффинно линейна по t на отрезках [(3k + 1)! - 1, (3k + 1)!]

и [(3k + 2)!, (3k + 2)! + 1], а функция a₂(t) - на отрезках [(3k + 2)! - 1, (3k + 2)!].

Теорема 2. Для любого n ≥ 2 система (3) принадлежит классу EITE_n, но не принад-

лежит классу GROD_n.

Литература. 1. Колмогоров А.Н. Асимптотические характеристики вполне ограничен-

ных метрических пространств // Докл. АН СССР. 1956. Т. 179. № 3. С. 585-589. 2. Миллион-

щиков В.М. Экспоненциально-инвариантные системы // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29.

№ 11. C. 2014. 3. Гробман Д.М. Характеристические показателей систем, близких к линейным

// Мат. сб. 1952. Т. 30. № 1. C. 121-166. 4. Миллионщиков В.М. Об одном классе линейных сис-

тем // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 6. C. 1090-1091. 5. Ветохин А.Н. О несовпадении

двух множеств линейных систем // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49. № 6. С. 784-788.

И. Н. Сергеев (Москва) “Исследование по первому приближению радиальных показате-

лей колеблемости, вращаемости и блуждаемости” (1 октября 2021 г.).

Для области G евклидова пространства Rⁿ (n > 1) рассмотрим дифференциальную

(вообще говоря, нелинейную) систему вида

x = f(t,x), x ∈ G, f(t,0) = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞), f,f^′x ∈ C(R₊ × G).

(1)

С системой (1) свяжем линейную однородную систему её первого приближения

x = A(t)x, A(t) ≡ f^′(t,0), t ∈ R₊, x ∈ Rⁿ,

(2)

причём на нелинейную добавку: h(t, x) ≡ f(t, x)-A(t)x = o(x) при x → 0, обычное требование

её равномерной малости по t ∈ R₊ мы здесь не накладываем.

Через x_f ( · , x₀) будем обозначать непродолжаемое решение системы (1) с начальным усло-

вием x_f (0, x₀) = x₀, а через S_∗(f) и S_A - множество всех ненулевых решений системы (1) и,

соответственно, всех решений системы (2).

Ниже в определении 1 вводятся [1] три основных разновидности функционала K, по ко-

торым затем в определении 2 строятся соответствующие им показатели κ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1575

Определение 1. Функционалы K(t,u) определены на парах t ∈ R₊ и u: [0,t] → Rⁿ,

принимают значение +∞ всякий раз, когда функция u определена не на всём отрезке [0, t],

отвечают показателям

κ = ν,θ,ρ при K = N,Θ,P соответственно

(3)

и описывают следующие свойства решений:

1) колеблемость (κ = ν), если K(t, u) = N(t, u) - умноженное на π число нулей на про-

межутке (0, t] функции P₁u, где P₁ - ортогональный проектор на фиксированную прямую,

причём если хотя бы один из этих нулей кратен (т.е. является нулём ещё и производной

(P₁u)^·), то считаем N(t, u) = +∞;

2) вращаемость (ориентированная, κ = θ), если K(t, u) = Θ(t, u) ≡ |ϕ(t, P₂u)| - модуль

ориентированного угла ϕ(t,P₂u) (непрерывного по t, с начальным условием ϕ(0,P₂u) = 0)

между вектором P₂u(t) и начальным вектором P₂u(0), где P₂ - ортогональный проектор на

фиксированную плоскость, причём если P₂u(τ) = 0 хотя бы при одном τ ∈ [0, t], то считаем

Θ(t, u) = +∞;

3) блуждаемость (κ = ρ), если

∫t

K(t, u) = P(t, u) ≡

|(u(τ)/|u(τ)|)^· | dτ, u(τ) = 0, τ ∈ [0, t].

Известны и другие функционалы, отвечающие за неориентированную или частотную вра-

щаемость [1], поворачиваемость k-го ранга [2], а также плоскую вращаемость [3].

Определение 2. Для каждого функционала из числа описанных в определении 1 зададим:

а) слабый и сильный нижние линейные показатели (3) решения x ∈ S_∗(f), определённого

на всей полуоси R₊, по формулам

κ^◦(x) ≡ lim

inf

t-1K(t,Lx),

κ^•(x) ≡ inf

lim t-1K(t, Lx);

(4)

t→+∞

L∈Aut Rⁿ

L∈Aut Rⁿ t→+∞

б) слабый и сильный нижние радиальные показатели (3) задачи Коши системы (1) с на-

чальным значением x₀ ∈ G по формулам [4]

κ^◦r(f,x₀) ≡ lim

inf

t-1 Ǩ_r(f,x₀,t,L),

κ^•r(f,x₀) ≡ inf

lim t-1 Ǩ_r(f, x₀, t, L),

(5)

t→+∞

L∈Aut Rⁿ

L∈Aut Rⁿ t→+∞

где для момента t ∈ R₊ и невырожденного преобразования L ∈ Aut Rⁿ обозначено

Ǩ_r(f,x₀,t,L) = lim

K(t, Lx_f ( · , μx₀)),

K_r(f,x₀,t,L) = lim

K(Lx_f (t, · , μx₀));

μ→+0

в) слабый и сильный верхние линейные

κ^◦(x),

κ^•(x) и радиальные κ◦r(x0,f),

κ^•r(x₀,f)

показатели по тем же формулам (4) и (5) соответственно, но с заменой в них нижних пределов

при t → +∞ верхними, а функционаловǨr функционаламиKr;

г) точные или абсолютные разновидности тех же показателей, которые возникают при

совпадении соответствующих значений нижнего и верхнего показателей или соответственно

слабого и сильного показателей: в первом случае будем опускать в их обозначении галочку и

крышечку, а во втором - пустой и полный кружочек.

Введение радиальных, сферических [5] и шаровых [6] показателей обусловлено тем, что ре-

шения нелинейной системы (1) могут оказаться определёнными не на всей временной полуоси.

Некоторые свойства всех этих показателей описаны в работе [7]. Ниже изучается возможная

связь между радиальными показателями нелинейной системы (1) и системы её первого при-

ближения (2) (для последней они равны линейным показателям).

С одной стороны, радиальные показатели блуждаемости полностью совпадают с соответ-

ствующими линейными показателями системы первого приближения, причём в двумерном

случае аналогичное совпадение наблюдается и для показателей вращаемости, что утверждают

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1576

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Теорема 1. Для любой системы (1) и любого ненулевого решения x ∈ S_A системы её

первого приближения (2) для функционалов блуждаемости выполнены равенства

P_r(f,x(0),t,L) =Pr(f,x(0),t,L) = P(Lx,t), t ∈ R₊, L ∈ AutRⁿ,

а для всех показателей блуждаемости - равенства

ρ∗r(f, x(0)) = ρ^∗(x),

∗ = ◦,•.

˜⁼ ˇ^, ˆ^,

Теорема 2. При n = 2 для любой системы (1) и любого ненулевого решения x ∈ S_A

системы её первого приближения (2) для функционалов вращаемости выполнены равенства

Θ_r(f,x(0),t,L) =Θr(f,x(0),t,L) = Θ(Lx,t), t ∈ R₊, L ∈ AutRⁿ,

а для всех показателей вращаемости - равенства

θ∗

(f, x(0)) =θ∗(x),

∗ = ◦,•.

˜⁼ ˇ^, ˆ^,

С другой стороны, уже в трёхмерном автономном случае радиальные показатели вращае-

мости, равно как и колеблемости, вообще говоря, не совпадают с соответствующими линейны-

ми показателями системы первого приближения, а для показателей колеблемости аналогичное

несовпадение наблюдается даже и в двумерном случае, как показывают

Теорема 3. При n = 3 и G = R³ существует такая автономная система (1), что для

любого ненулевого решения x ∈ S_A системы её первого приближения (2) решение x_f ( · , x(0))

также определено на всей полуоси R₊, причём значения всех показателей вращаемости и

колеблемости точны, абсолютны и для некоторого двумерного подпространства S ⊂ S_A

удовлетворяют соотношениям

{

1, если x ∈ S \ {0};

0 = θ_r(f,x(0)) = ν_r(f,x(0)) ≤ θ(x) = ν(x) =

0, если x ∈ S.

Теорема 4. При n = 2 и G = R² существует такая система (1), что для любого

ненулевого решения x ∈ S_A системы её первого приближения (2) решение x_f(·,x(0)) также

определено на всей полуоси R₊, причём значения всех показателей колеблемости точны,

абсолютны и удовлетворяют соотношениям

0 = ν_r(f,x(0)) < ν(x) = 1.

Литература. 1. Сергеев И.Н. Ляпуновские характеристики колеблемости, вращаемости и

блуждаемости решений дифференциальных систем // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2016.

Вып. 31. С. 177-219. 2. Сергеев И.Н. Характеристики поворачиваемости решений диффе-

ренциальных систем // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 10. С. 1353-1361. 3. Серге-

ев И.Н. Показатели плоской вращаемости линейной дифференциальной системы // Тр. сем.

им. И.Г. Петровского. 2019. Вып. 32. С. 325-348. 4. Сергеев И.Н. Определение радиальных по-

казателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости дифференциальной системы // Диф-

ференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1560-1562. 5. Сергеев И.Н. Определение сфериче-

ских показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости дифференциальной системы

// Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 839-840. 6. Сергеев И.Н. Определение ша-

ровых показателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости дифференциальной системы

// Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 6. С. 859-861. 7. Сергеев И.Н. Определение пока-

зателей колеблемости, вращаемости и блуждаемости нелинейных дифференциальных систем

// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2021. № 3. С. 41-46.

И. Н. Сергеев (Москва) “Массивные и почти массивные свойства устойчивости и неустой-

чивости дифференциальных систем” (8 октября 2021 г.).

Для заданной окрестности нуля G ⊂ Rⁿ рассмотрим систему

x = f(t,x), x ∈ G, f(t,0) = 0, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞), f,f^′x ∈ C(R₊ × G).

(1)

Через S_∗ и S_δ будем обозначать множества всех непродолжаемых ненулевых решений x

системы (1) и, соответственно, тех из них, что удовлетворяют начальному условию |x(0)| < δ.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1577

Определение 1 [1, 2]. Будем говорить, что система (1) обладает перроновской или, соот-

ветственно, верхнепредельной:

1) устойчивостью, если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что любое решение

x ∈ S_δ удовлетворяет требованию

lim

|x(t)| ≤ ε или, соответственно,

lim |x(t)| ≤ ε,

(2)

t→+∞

молчаливо предполагающему, что решение x определено на всей полуоси R₊;

2) полной (или глобальной) неустойчивостью, если существует такое ε > 0, что для неко-

торого δ > 0 любое решение x ∈ S_δ (или x ∈ S_∗) не удовлетворяет требованию (2);

3) асимптотической (или глобальной) устойчивостью, если при ε = 0 для некоторого

δ > 0 любое решение x ∈ S_δ (или x ∈ S_∗) удовлетворяет требованию (2).

Для определения же соответствующих ляпуновских свойств [3, гл. II, § 1] системы (1)

нужно:

4) в пп. 1) и 2) заменить требование (2) требованием

sup |x(t)| ≤ ε,

(3)

t∈R⁺

а в п. 3) в дополнение к соответствующему верхнепредельному свойству потребовать наличие

у системы (1) ляпуновской устойчивости.

Определение 2 (см. [4]). Все перечисленные в определении 1 ляпуновские, перроновские и

верхнепредельные свойства системы (1) назовём массивными: при их описании сразу на все ре-

шения x ∈ S, где S = S_δ, S_∗ (допускается даже S = S_∗ \ S_δ [5]), накладывается определённое

условие - требование (2), (3) или его отрицание. Каждому массивному свойству из определе-

ния 1 поставим в соответствие его почти массивный аналог, а именно: почти устойчивость,

почти полную (почти глобальную) неустойчивость и почти асимптотическую (почти гло-

бальную) устойчивость, в описании которых соответствующее условие накладывается уже не

на все решения x ∈ S, а только на те, начальные значения которых не принадлежат неко-

торому множеству (назовём его множеством вырождения) нулевой меры Лебега и первой

категории Бэра (представимому в виде счётного объединения нигде не плотных множеств).

Оказывается, свойства ляпуновской устойчивости и ляпуновской почти устойчивости в

действительности неразличимы между собой, о чём и говорит

Теорема 1. Если система (1) ляпуновски почти устойчива, то и ляпуновски устойчива.

Если ляпуновскую асимптотическую (глобальную) устойчивость, означающую одновре-

менное выполнение двух условий: ляпуновской устойчивости и верхнепредельной асимпто-

тической (глобальной) устойчивости, ослабить до ляпуновской почти асимптотической (почти

глобальной) устойчивости, то первого условия, а именно ляпуновской устойчивости, это ослаб-

ление не коснётся, как показывает

Теорема 2. Если система (1) ляпуновски почти асимптотически или почти глобально

устойчива, то и ляпуновски устойчива.

Логическая иерархия, действующая между массивными свойствами, не только полностью

распространяется на их почти массивные аналоги, но и, более того, справедлива

Теорема 3. Если для каких-либо двух массивных свойств имеет место импликация,

то она имеет место и для их почти массивных аналогов, а если какие-либо два массивных

свойства несовместны, то несовместны и их почти массивные аналоги.

Указанный в теореме 1 пример массивного свойства, неразличимого со своим почти мас-

сивным аналогом, оказывается уникальным в том смысле, который подразумевают

Теорема 4. При n = 2 существует автономная линейная диагональная система (1), не

обладающая ни ляпуновской, ни перроновской, ни верхнепредельной полной неустойчивостью,

но почти глобально неустойчивая и ляпуновски, и перроновски, и верхнепредельно.

Теорема 5. При n = 2 существует автономная система (1), не устойчивая ни перронов-

ски, ни верхнепредельно, но почти глобально устойчивая и перроновски, и верхнепредельно.

Теорема 6. При n = 2 существует автономная система (1), не обладающая ляпуновской

асимптотической устойчивостью, но ляпуновски почти глобально устойчивая.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1578

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Заметим, что теорема 6 распространяет на ляпуновские свойства утверждение теоремы 5

в максимально возможной степени общности - ровно в той, в какой оно не противоречит тео-

реме 1. Множества вырождения почти массивных свойств в примерах систем из теорем 4-6

можно выбрать совпадающими с одной из координатных осей или полуосей. Примером, под-

тверждающим справедливость теоремы 4, служит гиперболическая нулевая особая точка ав-

тономной линейной системы (ляпуновски условно устойчивая [3, гл. IV, § 7]).

Литература. 1. Сергеев И.Н. Определение устойчивости по Перрону и её связь с устойчи-

востью по Ляпунову // Дифференц. уравнения. 2018. Т. 54. № 6. С. 855-856. 2. Сергеев И.Н.

Определение верхнепредельной устойчивости и её связь с устойчивостью по Ляпунову и устой-

чивостью по Перрону // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 11. С. 1556-1557. 3. Демидо-

вич Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967. 4. Сергеев И.Н. Некоторые

особенности перроновских и ляпуновских свойств устойчивости автономных систем // Диф-

ференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 6. С. 830-831. 5. Бондарев А.А. Существование вполне

неустойчивой по Ляпунову дифференциальной системы, обладающей перроновской и верхне-

предельной массивной частной устойчивостью // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 6.

С. 858-859.

В. В. Малыгина (Пермь) “О некоторых признаках устойчивости функционально-диффе-

ренциальных уравнений запаздывающего типа” (15 октября 2021 г.).

Рассмотрим линейное функционально-дифференциальное уравнение (с интегралом Рима-

на-Стилтьеса)

∫t

x(t) + x(τ) d_τ r(t, τ) = f(t), r(t, s) = 0, t ≥ s,

(1)

где функция r( · , τ): [s, +∞) → R измерима по Лебегу, а функция r(t, · ): [s, t] → R нестрого

возрастает и имеет ограниченную локально суммируемую вариацию ρ(t) = Var r(t, τ).

τ ∈[s,t]

Частными случаями уравнения (1) являются обыкновенное дифференциальное уравнение,

уравнение с запаздывающим аргументом (как сосредоточенным, так и распределённым) и

интегро-дифференциальное уравнение. Уравнение (1) с заданным начальным условием одно-

значно разрешимо в классе локально абсолютно непрерывных функций, а его решение пред-

ставимо в виде [1, с. 84]

∫t

x(t) = C(t, s)x(s) + C(t, τ)f(τ) dτ, t ≥ s,

через функцию Коши C( · , · ). Она является центральным объектом при изучении линейных

функционально-дифференциальных уравнений, так как в терминах её свойств легко описы-

ваются все виды устойчивости для уравнения (1). Приведём ряд утверждений об асимптоти-

ческом поведении решений этого уравнения с использованием оценок функции Коши.

Обозначим Δ = {(t, s) ∈ R² : t ≥ s} и h(t) = inf{τ : r(t, τ) = 0}.

Теорема 1. Если выполнено неравенство

∫

lim

ρ(τ) dτ < 3/2,

(2)

t→+∞

h(t)

то для некоторых положительных K, γ функция Коши уравнения (1) удовлетворяет оцен-

ке

∫t

|C(t, s)| ≤ Ke^-γ

ρ(τ) dτ , (t, s) ∈ Δ.

∫+∞

Следствие 1. Если выполнены условия теоремы 1 и интеграл

ρ(τ) dτ расходится,

то уравнение (1) асимптотически устойчиво.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1579

Теорема 2. Если выполнено неравенство

∫

sup

ρ(τ) dτ ≤ 3/2,

(3)

t≥0

h(t)

то для некоторого K > 0 функция Коши уравнения (1) удовлетворяет оценке

|C(t, s)| ≤ K, (t, s) ∈ Δ.

Следствие 2. В условиях теоремы 2 уравнение (1) равномерно устойчиво.

Теоремы 1 и 2 обобщают и уточняют известный признак устойчивости (“3/2-теорему”)

А.Д. Мышкиса [2]. Постоянная 3/2 в теоремах 1 и 2 является точной [2, 3]: в оценке (2) нельзя,

без потери свойства асимптотической устойчивости, заменить строгое неравенство нестрогим,

а в оценке (3) увеличение 3/2 на сколь угодно малую величину или даже замена точной верхней

грани верхним пределом приводит к появлению у уравнения (1) неограниченных решений.

Литература. 1. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию

функционально-дифференциальных уравнений. М., 1991. 2. Мышкис А.Д. О решениях линей-

ных однородных дифференциальных уравнений первого порядка устойчивого типа с запазды-

вающим аргументом // Мат. сб. 1951. № 3. С. 641-658. 3. Малыгина В.В. Некоторые признаки

устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28.

№ 10. С. 1716-1723.

В. В. Быков, А. В. Равчеев (Москва) “Описание линейного эффекта Перрона при сколь

угодно быстро убывающих параметрических возмущениях системы с неограниченными коэф-

фициентами” (22 октября 2021 г.).

Для заданного n ∈ N обозначим через

M_n класс линейных дифференциальных систем

x = A(t)x, x ∈ Rⁿ, t ∈ R₊ ≡ [0,+∞),

(1)

с непрерывными коэффициентами. Обозначим через λ₁(A) ≤ . . . ≤ λ_n(A) показатели Ляпу-

нова системы (1), а через Λ(A) = (λ₁(A), . . . , λ_n(A)) - их спектр. Так как мы не предполагаем

коэффициенты рассматриваемых систем ограниченными на полуоси, их показатели Ляпунова

могут принимать, вообще говоря, несобственные значения, т.е. являются точками расширенной

числовой прямой R ≡ R

^⊔ {-∞, +∞}, которая наделяется стандартным порядком и поряд-

ковой топологией.

Обозначив через Φ множество всех непрерывных функций ϕ : R₊ → (0, +∞), для системы

A ∈Mn, метрического пространства M и подмножества Ψ ⊂ Φ рассмотрим класс QΨn[A](M)

непрерывных матриц-функций Q: R₊ × M → R^n×n, удовлетворяющих для любого ψ ∈ Ψ

условию

lim (ψ(t))-1 sup ∥Q(t, μ)∥ = 0

t→+∞

μ∈M

и таких, что показатели Ляпунова λ₁(A+Q, μ) ≤ . . . ≤ λ_n(A+Q, μ) системы A+Q (зависящие

от параметра μ ∈ M) не меньше соответствующих показателей Ляпунова системы A, т.е.

λ_k(A + Q,μ) ≥ λ_k(A), k = 1,n, μ ∈ M.

Отметим, что для любой системы A

M_n класс QΨn[A](M) не пуст, поскольку ему заведомо

принадлежит тождественно нулевая матрица Q.

Ставится задача для каждых n ∈ N, метрического пространства M и множества Ψ ⊂ Φ

дать полное дескриптивно-множественное описание класса

ΠQΨn(M) = {(Λ(A), Λ(A + Q, · )) : A

M_n, Q ∈ QΨn[A](M)},

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1580

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

т.е. описать все пары, составленные из спектров систем A и A + Q, где при каждом фик-

сированном A ∈Mn матрица-функция Q пробегает класс QΨn[A](M). Эту задачу можно

рассматривать как обобщение примера Перрона [1, § 1.4] на случай неограниченных систем.

Будем говорить [2, с. 224], что функция f : M → R принадлежит классу (^∗, G_δ), если

для любого r ∈ R прообраз f-1([r, +∞]) замкнутого луча [r, +∞] является G_δ -множеством

метрического пространства M. В частности, (^∗, G_δ) - подкласс второго класса Бэра [2, с. 248].

Решение поставленной задачи для счётного множества Ψ содержит следующая

Теорема. Для каждых метрического пространства M, числа n ≥ 2 и счётного множе-

ства Ψ ⊂ Φ пара (l,f), где l = (l₁,... ,l_n) ∈ (R)ⁿ и f = (f₁,... ,f_n): M → (R)ⁿ, принадле-

жит классу ΠQΨn(M) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

1) l₁ ≤ . . . ≤ l_n;

2) f₁(μ) ≤ . . . ≤ f_n(μ) для любого μ ∈ M;

3) f_i(μ) ≥ l_i для всех μ ∈ M и i = 1, n;

4) для каждого i = 1, n функция f_i(·): M → R принадлежит классу (^∗, G_δ).

Замечание. Эта теорема представляет собой аналог теоремы, установленной в работе [3]

для класса систем с ограниченными коэффициентами.

Приведённая теорема показывает, что все теоретически возможные пары спектров исход-

ной и параметрически возмущённой систем (при условии, что каждый показатель Ляпунова

возмущённой системы не меньше соответствующего показателя Ляпунова исходной системы)

можно получить в классе сколь угодно быстро убывающих возмущений. Эта свойство является

специфичным именно для систем с неограниченными коэффициентами, поскольку показатели

Ляпунова систем с ограниченными коэффициентами инвариантны относительно возмущений,

убывающих быстрее любой экспоненты [1, § 8.1].

Литература. 1. Изобов Н.А. Введение в теорию показателей Ляпунова. Минск, 2006. 2. Ха-

усдорф Ф. Теория множеств. М.; Л., 1937. 3. Барабанов Е.А., Быков В.В. Описание линейного

эффекта Перрона при параметрических возмущениях, экспоненциально убывающих к нулю

на бесконечности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25. № 4. С. 31-43.

Б. С. Калитин (Минск) “О проблеме Немыцкого” (29 октября 2021 г.).

Проблема Немыцкого [1] тесно связана с нахождением условий, при которых в динамиче-

ской системе (X, R, π) существуют точки покоя эллиптического типа. Решение этой проблемы

было получено Н.Н. Ладисом [2], обнаружившим, что в связном локально-компактном, но не

компактном метрическом пространстве X не существует точек покоя эллиптического типа.

В обобщённой формулировке, где вместо точки покоя изучается произвольное компактное

инвариантое подмножество M ⊂ X, а вместо эллиптического типа рассматривается слабо

эллиптический тип, проблема решена в [3] для локально компактной динамической системы

(откуда следует и результат [2]).

Пусть (X, R, π) - динамическая система на метрическом пространстве X с метрикой d

и фазовым отображением π : X × R → X, удовлетворяющим трём аксиомам динамической

системы [4, с. 14] с обозначениями: π(x, t) ≡ xt, Y T ≡ {yt : y ∈ Y, t ∈ R} при Y ⊂ X, T ⊂ R

и B(M,ε) ≡ {x ∈ X : d(M,x) < ε}, ε > 0, L⁺(x) (L^-(x)) - ω-предельное (α-предельное)

множество для точки x ∈ X, а

A⁺(M) ≡ {x ∈ X : lim

d(M, xt) = 0}, A+ω(M) ≡ {x ∈ X : lim d(M, xt) = 0}

t→+∞

– область притяжения и, соответственно, область слабого притяжения для M.

Определение 1 [4, с. 32]. Пусть M - замкнутое инвариантное подмножество метрического

пространства X. Тогда точка x ∈ X называется:

1) слабо эллиптической для M, если L⁺(x)

^⋂M = ∅ и L^-(x)^⋂M = ∅;

2) эллиптической для M, если ∅ = L⁺(x) ⊂ M и ∅ = L^-(x) ⊂ M.

Обозначив через E(M) (соответственно E_ω(M)) множество всех эллиптических (слабо

эллиптических) для M точек x ∈ X, по определению имеем M ⊂ E(M) ⊂ E_ω(M). Будем

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1581

говорить, что M - множество эллиптического (слабо эллиптического) типа, если некоторая

его окрестность целиком содержится в E(M) (соответственно в E_ω(M)).

Компактное подмножество M ⊂ X называется:

а) устойчивым, если для любого ε > 0 найдётся такое δ > 0, что B(M, δ)R⁺ ⊂ B(M, ε);

б) притягивающим, если для некоторого δ > 0 при любом ε > 0 найдётся такое τ > 0,

что B(M, δ)[τ, +∞) ⊂ B(M, ε);

в) асимптотически устойчивым, если оно и устойчивое, и притягивающее.

Определение 2 [5, 6]. Динамическая система (X,R,π) называется асимптотически ком-

пактной на подмножестве W ⊂ X, если для любой пары последовательностей t₁, t₂, . . . > 0

и x₁,x₂,... ∈ W, удовлетворяющей условиям: tn → +∞ при n → +∞ и xn[0, tn] ⊂ W,

последовательность (x_nt_n) относительно компактна.

Приведём обобщение теоремы о структуре окрестности притягивающего множества, сфор-

мулированной в [4, с. 138] для случая локально компактной динамической системы.

Теорема 1. Если M - связное компактное притягивающее подмножество метрического

пространства X, а динамическая система (X,R,π) асимптотически компактна в замы-

кании A⁺(M) его области притяжения, то множество E_ω(M) - наименьшее компактное

инвариантное асимптотически устойчивое множество, содержащее M, причём

A⁺(E_ω(M)) = A⁺(M).

Решение одного обобщения проблемы Немыцкого [1; 2; 4, с. 151] содержит

Теорема 2. Если M - связное компактное притягивающее подмножество некомпактно-

го метрического пространства X, а динамическая система (X,R,π) асимптотически ком-

пактна в замыкании A⁺(M) его области притяжения, то M не является множеством

слабо эллиптического типа.

Отметим, что в идейном плане решения проблемы Немыцкого в работах [2, 3] и в теореме 2

близки друг к другу по представлению результатов.

Литература. 1. Немыцкий В.В. Топологическая классификация особых точек многомер-

ных систем // Тез. кратких науч. сообщ. “Международный конгресс математиков”. Секция 6.

М., 1966. С. 40. 2. Ладис Н.Н. Отсутствие двусторонних точек притяжения // Дифференц.

уравнения. 1968. Т. 4. № 6. С. 1157. 3. Калитин Б.С. О структуре окрестности слабо при-

тягивающих компактных инвариантных множеств // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30.

№ 4. С. 565-574. 4. Калитин Б.С. Качественная теория устойчивости движения динамических

систем. Минск, 2002. 5. Ladyzhenskaya O. Attractors for Semigroups and Evolution Equations.

Cambridge; New York, 1991. 6. Arredondo J.H., Seibert P. On a characterization of asymptotic

stability // Aport. Mat. Ser. Comunicationes. 2001. V. 29. P. 11-16.

В. В. Амелькин (Минск), В. Ю. Тыщенко (Гродно) “Продолжимость решений неавто-

номных дифференциальных систем” (12 ноября 2021 г.).

Рассмотрим неавтономную систему в дифференциалах

dx = F (t, x)dt, x = (x₁, . . . , x_n)^т, t = (t₁, . . . , t_m)^т,

(1)

где ранг матрицы (точнее, матричной функции) F = (F_ij ) ∈ C²(Rm+n, R^n×m) почти всюду на

Rm+n равен r ∈ {1,... ,min(m,n)}.

Назовём локальным решением (Ω, x; t₀, x₀) системы (1) функцию x ∈ C³(Ω, Rⁿ), опреде-

лённую в некоторой односвязной области Ω ⊂ R^m и удовлетворяющую условиям x(t₀) = x₀

и dx(t) ≡ F (t, x(t))dt, t ∈ Ω. В дальнейшем будем предполагать, что система (1) вполне раз-

решима, т.е. для любой точки (t₀,x₀) ∈ R^m × Rⁿ существует локальное решение (Ω,x;t₀,x₀),

причём любое такое решение единственно в смысле [1, c. 21].

График локального решения в пространстве R^m × Rⁿ назовём локальной интегральной по-

верхностью, а его проекцию на пространство Rⁿ - локальной орбитой orb (Ω₀, x; t₀, x₀). Будем

говорить, что решения (Ω₁, x¹; t¹⁰, x¹⁰) и (Ω₂, x²; t²⁰, x²⁰), а также их орбиты orb (Ω₁, x¹; t¹⁰, x¹⁰) и

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1582

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

orb (Ω₂, x²; t²⁰, x²⁰) являются продолжениями друг друга через область Ω₀ ⊂ Ω₁

^⋂Ω₂(= ∅), ес-

ли x¹(t) = x²(t), t ∈ Ω₀. При продолжении решений через некоторую область могут появлять-

ся многозначные функции (что невозможно в случае m = 1): например, функция arctg(x₂/x₁)

является бесконечнозначной на области R² \ (0, 0).

Назовём решения системы (1) эквивалентными в точке t₀, если они продолжают друг

друга через некоторую окрестность этой точки. Ростком g(t₀, x₀) системы (1) в точке t₀ ∈ Ω

назовём класс эквивалентности решений этой системы по отношению к введённому понятию

эквивалентности, а непродолжаемым решением (Θ, x; t₀, x₀), порождённым ростком g(t₀, x₀),

назовём множество всех ростков, которые можно получить в результате продолжений ростка

g(t₀, x₀) через всевозможные области. График в пространстве R^m × Rⁿ, соответствующий

непродолжаемому решению, - это непродолжаемая интегральная поверхность, а её проекция

на пространство Rⁿ - орбита orb (x₀). Понятие непродолжаемого решения можно также

вводить [1, c. 27; 2; 3] при помощи поглощения областей определения решений.

Для системы (1) имеет место представление

F (t, x) ≡ f(t, x)ν(t, x),

где на всём Rm+n ранг матрицы f ∈ C2(Rm+n,Rn×r) не превосходит r, а ранг матри-

цы ν ∈ C²(Rm+n, R^r×m) равен r. Заданной невырожденной всюду на Rm+n матрице μ ∈

∈ C²(Rm+n,R^r×r) и системе (1) поставим в соответствие неавтономную обыкновенную диф-

ференциальную систему (при r = 1) или вполне разрешимую неавтономную систему в диф-

ференциалах (при r > 1)

dx = f(ξ, x)μ(ξ, x)dξ, ξ = (ξ₁, . . . , ξ_r)^т

(2)

и рассмотрим задачу: найти условия существования такой матрицы μ, что у системы (2) все

решения определены на пространстве R^r.

Системе (2) поставим в соответствие вспомогательную автономную систему в дифферен-

циалах

(

)

(

)

I_r

dζ, ζ = (ζ₁, . . . , ζ_r)^т,

(3)

f (ξ, x)μ(ξ, x)

где I_r - единичная матрица порядка r. Система (3) получена из системы (2) с помощью

замены ξ = ζ + C, где C = (C₁, . . . , C_r)^т - вектор, состоящий из произвольных постоянных,

на основании чего приходим к выводу, что система (3) также является вполне разрешимой.

Невырожденную матрицу μ назовём допустимой, если автономная система уравнений в

дифференциалах (2) является вполне разрешимой. Будем говорить, что вполне разрешимая

неавтономная система уравнений в дифференциалах (1) приводима, если существует допу-

стимая матрица μ, приводящая систему (1) к автономной системе (3), все решения которой

определены на пространстве R^r.

Теорема 1. При r = 1 любая вполне разрешимая система (1) приводима.

Следствие. Любая обыкновенная дифференциальная система (1) приводима.

Вполне разрешимую автономную систему в дифференциалах

dy = G(y) dθ

с матрицей G ∈ C²(R^p, R^p×r) ранга r почти везде на R^p при p > r > 1 назовём выпрям-

ляемой, если существует 2-диффеоморфизм ψ : R^p → R^p, переводящий каждую орбиту этой

системы в одну из r-мерных плоскостей семейства y_k = C_k, k = 1, p - r.

Теорема 2. Вполне разрешимая система (1) приводима тогда и только тогда, когда

вспомогательная автономная вполне разрешимая система

⎛

⎞

⎛

⎞

⎛

⎞

τ₁

I_r

d^⎝x⎠= ⎝f (ξ, x)μ(ξ, x)⎠dτ,τ= ⎝

⎠

I_r

τ_r

выпрямляема.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1583

Литература. 1. Гайшун И.В. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные урав-

нения. М., 2004. 2. Мышкис А.Д. О продолжении решений уравнений Пфаффа // Дифференц.

уравнения. 1985. Т. 21. № 8. C. 1331-1337. 3. Сергеев И.Н. Продолжаемость решений диффе-

ренциальных уравнений до непродолжаемого // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 6.

C. 847-848.

И. В. Асташова, Д. А. Лашин, А. В. Филиновский (Москва) “О свойствах управля-

ющей функции в экстремальной задаче управления с точечным наблюдением для параболи-

ческого уравнения” (19 ноября 2021 г.).

Рассмотрим смешанную задачу для параболического уравнения

u_t = (a(x,t)u_x)_x + b(x,t)u_x + d(x,t)u, (x,t) ∈ Q_T ≡ (0,1) × (0,T),

(1)

u(0, t) = ϕ(t), u_x(1, t) = ψ(t), t ∈ (0, T ), u(x, 0) = ξ(x), x ∈ (0, 1),

(2)

где a, b, d - достаточно гладкие в замыкании Q_T функции, 0 < a₀ ≤ a(x, t) ≤ a₁ < +∞,

ϕ, ψ ∈ W¹²(0, T ), ξ ∈ L₂(0, 1). Для заданной точки x₀ ∈ (0, 1] и фиксированных ξ, ψ изучаем

задачу управления с точечным наблюдением (возникающую в модели управления климатом

в промышленных теплицах [1, 2]): управляя температурой ϕ(t), сделать температуру u(x₀, t)

близкой к заданной функции z(t) на всём интервале времени (0, T ).

Постановки экстремальных задач для параболических уравнений можно найти в [3, 4],

причём наиболее изучены задачи с финальным или распределённым наблюдением. В докладе,

в развитие работ [1, 2, 5-8], исследуется более общее уравнение с переменным коэффициентом

диффузии a, коэффициентом конвекции b и потенциалом d.

Обозначим через V1,02(Q_T ) [9, с. 15] банахово пространство функций u ∈ W1,02(Q_T ), для

которых норма

∥u∥_V 1,0

≡ sup

∥u( · , t)∥L2 (0,1) + ∥ux∥L₂(Q_T )

(Q_T )

0≤t≤T

конечна и отображение t → u( · , t) из [0, T ] в L₂(0, 1) непрерывно, а черезW12(Q_T ) - мно-

жество тех функций η ∈ W¹²(Q_T ), для которых η( · , T ) = η(0, · ) = 0.

Определение. Слабым решением задачи (1), (2) будем называть функцию u ∈ V1,02(Q_T ),

удовлетворяющую условию u(0, · ) = ϕ и при всех η ∈W12(Q_T ) - интегральному тождеству

∫

(au_xη_x - bu_xη - duη - uη_t) dx dt = ξ(x)η(x, 0) dx + a(1, t)ψ(t)η(1, t) dt.

Q_T

Теорема 1 [10, 11]. Задача (1), (2) имеет единственное слабое решение u ∈ V1,02(Q_T ),

причём для него справедливо неравенство

∥u∥_V 1,0

≤ C₁(∥ϕ∥_W1

+ ∥ψ∥_W 1

(Q_T )

(0,T )

+ ∥ξ∥L2(0,1))

с некоторой постоянной C₁, не зависящей от ϕ, ψ, ξ.

Теорема 2 (принцип максимума). Если u = u_j , j = 1, 2, - решения задачи (1), (2) при

ϕ = ϕ_j, ψ = ψ_j и ξ = ξ_j, причём ϕ₁ ≤ ϕ₂, ψ₁ ≤ ψ₂ и ξ₁ ≤ ξ₂, то u₁ ≤ u₂.

С использованием теоремы 2 получена оценка сверху нормы решения задачи (1).

Теорема 3. Если ϕ, ψ, ξ, a_t, b_x - d ≥ 0 ≥ b(1, · ) и b(x, t) ≥ 0 при (x, t) ∈ [0, x₀] × [0, T ], то

для решения задачи (1), (2) имеет место неравенство

∥u(x₀, · )∥L1(0,T ) ≤ ∥ϕ∥L₁(0,T ) + C2x0(∥ψ∥L₁ (0,T ) + ∥ξ∥L₁(0,1))

с некоторой постоянной C₂, не зависящей от ϕ, ψ, ξ.

Следствие. В условиях теоремы 3 при ψ = ξ = 0 для решения задачи (1), (2) выполня-

ется неравенство ∥u(x₀,·)∥L1(0,T) ≤ ∥ϕ∥L₁(0,T).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1584

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Обозначим через Φ ⊂ W¹²(0, T ) множество управляющих функций ϕ, которое будем далее

считать непустым, замкнутым, выпуклым и ограниченным, а через Z ⊂ L₂(0, T ) - множество

целевых функций z. Рассмотрим квадратичный функционал качества

∫T

J [z, ϕ] = (u_ϕ(x₀, t) - z(t))² dt, x₀ ∈ (0, 1), z ∈ Z, ϕ ∈ Φ,

где u_ϕ ∈ V1,02(Q_T ) - решение задачи (1), (2) с данной управляющей функцией ϕ. Фиксировав

функцию z, рассмотрим задачу минимизации функционала J: m[z, Φ] ≡ inf J[z, ϕ].

ϕ∈Φ

Теорема 4 [8, 10, 11]. Для любой z ∈ L₂(0, T ) существует единственная функция ϕ₀ ∈ Φ,

для которой m[z, Φ] = J[z, ϕ₀].

Из теоремы 3 следует оценка снизу нормы управляющей функции.

Теорема 5. В условиях теоремы 3 имеет место неравенство

√

∥ϕ∥L1(0,T ) ≥ max{0, ∥z∥L₁ (0,T ) -

TJ[z,ϕ] - C₂x₀(∥ψ∥L1(0,T) + ∥ξ∥L₁(0,1))},

где C₂ - постоянная из теоремы 3.

Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке Российского научного фон-

да (проект 20-11-20272).

Литература. 1. Astashova I.V., Filinovskiy A.V., Lashin D.A. On maintaining optimal tempe-

ratures in greenhouses // WSEAS Trans. on Circuits and Systems. 2016. V. 15. № 23. P. 198-204.

2. Astashova I., Filinovskiy A., Lashin D. On optimal temperature control in hothouses // Proc.

Int. Conf. on Numer. Anal. and Appl. Math. 2016. AIP Conf. Proc. 2017. P. 4-8. 3. Troltzsch F.

Optimal Control of Partial Differential Equations. Theory, Methods and Applications. Graduate

Studies in Mathematics. V. 112. Providence, 2010. 4. Lurie K.A. Applied Optimal Control Theory

of Distributed Systems. Berlin, 2013. 5. Асташова И.В., Филиновский А.В. Об управляемости в

параболической задаче с распределённым по времени функционалом // Дифференц. уравне-

ния. 2018. Т. 53. № 6. С. 851-853. 6. Astashova I.V., Filinovskiy A.V. On the dense controllability

for the parabolic problem with time-distributed functional // Tatra Mt. Math. Publ. 2018. V. 71.

P. 9-25. 7. Astashova I.V., Filinovskiy A.V. On properties of minimizers of a control problem with

time-distributed functional related to parabolic equations // Opuscula Math. 2019. V. 39. № 5.

P. 595-609. 8. Асташова И.В., Лашин Д.А., Филиновский А.В. Об управлении с точечным

наблюдением для параболической задачи с конвекцией // Тр. Моск. мат. о-ва. 2019. Т. 80.

№ 2. С. 258-274. 9. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и ква-

зилинейные уравнения параболического типа. М., 1967. 10. Astashova I.V., Filinovskiy A.V.

Controllability and exact controllability in a problem of heat transfer with convection and time

distributed functional // J. Math. Sci. 2020. V. 244. № 2. P. 148-157. 11. Асташова И.В., Ла-

шин Д.А., Филиновский А.В. О задаче управления с точечным наблюдением для параболиче-

ского уравнения при наличии конвекции и обедняющего потенциала // Дифференц. уравне-

ния. 2020. Т. 56. № 6. С. 828-829.

Т. А. Корчёмкина (Москва) “О качественном поведении решений уравнений третьего

порядка с положительным потенциалом и степенной нелинейностью общего вида” (26 нояб-

ря 2021 г.).

Рассматривается нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка

y^′′′ + p₀|y|k0 |y^′|k1|y^′′|k2 sgn (yy^′y^′′) = 0, p₀,k₀,k₁,k₂ > 0.

(1)

В случае 1 = k₀ > 0 = k₁ = k₂ асимптотическое поведение решений уравнения (1) изуча-

лось в работах [1, гл. 5-7] и [2]. Свойства решений уравнений высокого порядка, нелинейных

относительно производных, исследовались в работах [3, 4], а нелинейных относительно y - в

монографии [5, гл. 4]. В работе [6] рассматривался случай p₀ < 0.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

1585

Поведение решений уравнения (1) с положительными начальными данными вблизи правой

границы области определения решения описывает

Теорема. Если y(x) - максимально продолженное вправо решение уравнения (1), удовле-

творяющее в некоторой точке x₀ условиям y(x₀), y^′(x₀), y^′′(x₀) > 0, то:

1) если 0 < k₂ < 1, то y(x), y^′(x) → const, y^′′(x) → 0 при x → x^∗ - 0 для некоторого

x^∗ < +∞;

2) если 1 < k₂ < 2, то y(x) → +∞, y^′(x) → const, y^′′(x) → 0 при x → +∞;

3) если 2 < k₂ < 2 + k₀, то y(x) → +∞, y^′′(x) → 0 и y^′(x) → const или y^′(x) → +∞ при

x → +∞;

4) если k₂ > 2 + k₀, то y(x), y^′(x) → +∞, y^′′(x) → 0 при x → +∞.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований (проект 19-31-90168).

Литература. 1. Асташова И.В. Качественные свойства решений квазилинейных обыкно-

венных дифференциальных уравнений // Качественные свойства решений дифференциаль-

ных уравнений и смежные вопросы спектрального анализа / Под ред. И.В. Асташовой. М.,

2012. С. 22-288. 2. Astashova I.V. On asymptotic classification of solutions to nonlinear regular and

singular third- and fourth-order differential equations with power nonlinearity // Differential and

Difference Equations with Applications. Proceedings in Mathematics & Statistics. Springer, 2016.

V. 164. P. 191-204. 3. Евтухов В.М. Об одном классе монотонных решений нелинейного диф-

ференциального уравнения n-го порядка типа Эмдена-Фаулера // Сообщ. АН Грузии. 1992.

Т. 145. № 2. С. 269-273. 4. Евтухов В.М., Клопот А.М. Асимптотика некоторых классов решений

обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка с правильно меняющимися нели-

нейностями // Укр. мат. журн. 2013. Т. 65. № 3. С. 354-380. 5. Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А.

Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных урав-

нений. М., 1990. 6. Korchemkina T. On the behavior of solutions with positive initial data to third

order differential equations with general power-law // Intern. Workshop on the Qualitative Theory

of Differential Equations. QUALITDE-2019, December 7-9. Tbilisi, Georgia, 2019. P. 112-117.

О. Д. Прокопенко (Москва) “О некоторых свойствах решений дифференциальных урав-

нений типа Эмдена-Фаулера с неограниченным потенциалом” (26 ноября 2021 г.).

Рассматриваются решения y ∈ C²(0, +∞) дифференциального уравнения типа Эмдена-

Фаулера

y^′′ = x^k|y|ⁿ|y^′|^m sgn (yy^′), x > 0, k ∈ R, n,m > 0.

(1)

Для уравнения

y^′′ = p(x,y,y^′)|y|ⁿ|y^′|^m sgn (yy^′), n,m > 0,

(2)

где p = p(x, u, v) > 0 непрерывна по x и липшицева по u, v, в [1] изучен вопрос о локальной

единственности решения задачи Коши. Для уравнения (2) c ограниченной и отделённой от нуля

функцией p в [2] приведены результаты о качественном поведении решений в зависимости от

показателей нелинейности n, m и в [3] найдена асимптотика решений, неограниченных вблизи

границ их области определения.

С использованием результатов [1] и методов [4, 5] доказана

Теорема. Если n + m - 1 > 0, то при k + n + 1 < 0 все положительные возрастающие

решения уравнения (1) представимы в виде

y(x) = Cx^α(1 + o(1)) при x → +∞, α > 1,

а при k - m + 2 > 0 все отрицательные решения уравнения (1), стремящиеся к -∞ при

x → +0, представимы в виде

y(x) = -Cx^α(1 + o(1)) при x → +0, α < 0,

где обозначено

k-m+2

α=-

C = (|α|1-m|α - 1|)1/(m+n-1).

m+n-1

10 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021

1586

О СЕМИНАРЕ ПО КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

Замечание. Теорема дополняет результаты работы [6], в которой для уравнения (1) в

частном случае доказано существование положительных неограниченно возрастающих на бес-

конечности решений с заданной асимптотикой.

Литература. 1. Асташова И.В. Единственность решений уравнений второго порядка типа

Эмдена-Фаулера // Проблемы мат. анализа. 2021. Т. 109. С. 11-16. 2. Korchemkina T. On the

behavior of solutions to second-order differential equation with general power-law nonlinearity

// Mem. on Differ. Equat. and Math. Phys. 2018. V. 73. P. 101-111. 3. Корчемкина Т.А. Об асимп-

тотическом поведении неограниченных решений дифференциальных уравнений второго по-

рядка с нелинейностями общего вида // Тр. сем. им. И.Г. Петровского. 2019. Вып. 32. C. 239-

256. 4. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М., 1954.

5. Асташова И.В. Равномерные оценки положительных решений квазилинейных дифферен-

циальных уравнений // Изв. РАН. 2008. Т. 72. № 6. С. 103-124. 6. Евтухов В.М. Об асимпто-

тике монотонных решений нелинейных дифференциальных уравнений типа Эмдена-Фаулера

// Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28. № 6. C. 1076-1078.

И. В. Асташова (Москва) “Замечание о непрерывной зависимости решений уравнения

Риккати от правой части” (3 декабря 2021 г.).

Для числа T > 0, функции K ∈ C[0, T ] и произвольного начального значения u₀ ∈ R

рассмотрим задачу Коши для уравнения Риккати

u + u² + K(t) = 0, u(0) = u₀

(1)

и задачу Коши с тем же начальным условием для возмущённого уравнения

v + v² + K(t) + Q(t) = 0, v(0) = u₀, Q ∈ C[0,T].

(2)

Зададимся вопросом: верно ли, что если решение задачи (1) существует на отрезке [0, T ],

то на этом же отрезке существует и решение задачи (2) при малом возмущении Q? Вопрос

сформулирован недостаточно строго и, оказывается, допускает противоположные ответы при

разных трактовках.

С одной стороны, имеет место следующий результат, уточняющий для рассматриваемо-

го уравнения классическую теорему о непрерывной зависимости решения от правой части и

начальных условий (см., например, теорему 6 из [1, § 7]).

Теорема 1. Если решение u(·) задачи (1) определено на отрезке [0, T ], то для любой

функции Q ∈ C[0, T ], удовлетворяющей условию

( ∫T ( ∫ t

) ∫T ( ∫t

)

)-1

|Q(t)| < ε =

exp

-2

u(τ) dτ dt exp

u(τ) dτ dt

t ∈ [0,T],

решение задачи (2) также определено на всём отрезке [0,T].

С другой стороны, если в формулировке теоремы 1 значение ε > 0 заменить каким-

либо другим значением, единым для всех решений u, то получившееся утверждение будет

неверным.

Теорема 2. При T = π/2 и K(t) ≡ 1 для любого ε > 0 существует такое u₀, что

решение задачи (1) определено на отрезке [0,T], а решение задачи (2) при Q(t) ≡ ε/2 < ε

определено не на всём отрезке [0,T].

Отметим также, что утверждение теоремы 1 станет неверным, если в нём отрезок [0, T ]

заменить полуинтервалом [0, T ).

Исследование выполнено при частичной финансовой поддержке Российского научного фон-

да (проект 20-11-20272).

Литература. 1. Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.,

2007.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 11

2021