ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 12, с. 1599-1603
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
УДК 517.926
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
© 2021 г. А. И. Перов, И. Д. Коструб
Посвящается светлой памяти
Марка Александровича Красносельского
С помощью теории коммутативных банаховых алгебр устанавливается оценка решений ли-
нейного однородного матричного дифференциального уравнения, коэффициенты которого
попарно перестановочны между собой. Из полученной оценки выводится признак асимп-
тотической устойчивости по Ляпунову.
DOI: 10.31857/S0374064121120025
Рассмотрим матричное дифференциальное уравнение n-го порядка
A0X(n) + A1X(n-1) + ... + An-1 X˙ + AnX = 0,
(1)
где A0, A1, . . . , An - постоянные m × m-матрицы, причём матрица A0 является невырож-
денной (det A0 = 0), и X(k) = dkX/dtk при 0 ≤ k ≤ n. Близкие уравнения встречаются,
например, в теории колебаний [1, c. 358-378]. Нас интересуют условия, при выполнении кото-
рых рассматриваемое уравнение асимптотически устойчиво по Ляпунову [2, с. 198].
Через S(A) обозначим спектр матрицы A, т.е. совокупность всех её собственных значений,
при этом кратность собственных значений (если таковые имеются) никак не учитывается. По-
этому S(A) - непустое конечное множество, лежащее в комплексной плоскости C. Рассмотрим
скалярное алгебраическое уравнений n-й степени
a0λn + a1λn-1 + ... + an-1λ + an = 0,
(2)
где ak ∈ S(Ak) при 0 ≤ k ≤ n. Так как по предположению A0 является невырожденной,
то всегда a0 = 0. При каждом фиксированном выборе указанным способом коэффициентов
a0, a1, ..., an уравнение (2) имеет n корней, считая каждый корень столько раз, какова
его кратность [3, с. 145]. Эти корни образуют непустое конечное множество в C, при этом
кратность корней никак не учитывается.
Если составить характеристическое уравнение для уравнения (1), то оно имеет степень
nm. Семейство уравнений (2) конечно; таких уравнений не более mn+1. Совокупность всех
корней, получающихся указанным выше способом, обозначим через R, это непустое конечное
множество в C. Положим
β = max{Reλ : λ ∈ R}.
(3)
Гипотеза. При сделанных выше предположениях для любого ε > 0 можно указать такую
постоянную C(ε), что для любого решения X(t) матричного дифференциального уравнения
(1) справедлива оценка
∥X(j)(t)∥ ≤ C(ε)et(β+ε) max
∥X(k)(0)∥ при
0 ≤ t < ∞ для
0 ≤ j ≤ n - 1,
(4)
0≤k≤n-1
где постоянная β определена соотношением (3).
Поэтому, если выполнено условие
β < 0,
(5)
1599
1600
ПЕРОВ, КОСТРУБ
то матричное дифференциальное уравнение (1) асимптотически устойчиво по Ляпунову, при-
чём в силу оценки (4) получаем
∥X(j)(t)∥ ≤ C(ε)et(β+ε) max
∥X(k)(0)∥ → 0 при t → ∞ для
0 ≤ j ≤ n - 1,
(6)
0≤k≤n-1
и правая часть стремится к нулю по экспоненциальному закону (ε > 0 выбираем так, чтобы
β + ε < 0).
Вторая часть высказанной гипотезы, содержащая спектральный признак экспоненциаль-
ной устойчивости, и дала название статье. Остановимся на нём более подробно. Прежде все-
го отметим, что условие (5) выполнено тогда и только тогда, когда каждое алгебраическое
уравнение семейства (2) гурвицево (т.е. все его корни лежат в открытой левой полуплоскости
Reλ < 0 комплексной плоскости C).
Если все коэффициенты a0, a1, . . . , an в уравнении (2) вещественные, то для провер-
ки гурвицевости этого уравнения можно воспользоваться критерием Рауса-Гурвица [4]. Если
среди коэффициентов a0, a1, . . . , an имеются комплексные, то для проверки гурвицевости
нужно использовать критерий [5, с. 533-534, теорема 23].
Но в рассматриваемом признаке асимптотической устойчивости проверке на гурвицевость
подвергается не одно уравнение, а целое семейство. Если коэффициенты a0, a1, . . . , an веще-
ственные и αk ≤ ak ≤ βk для 0 ≤ k ≤ n, то для выяснения гурвицевости семейства многочле-
нов достаточно выяснить гурвицевость лишь четырёх специально построенных многочленов
этой совокупности [6]. Если среди коэффициентов a0, a1, . . . , an имеются комплексные,
вещественные и мнимые части которых удовлетворяют указанным выше оценкам, то для про-
верки гурвицевости семейства многочленов достаточно выяснить гурвицевость только восьми
специально построенных комплексных многочленов. Это следует из результатов В.Л. Харито-
нова [7]. Ранее на эту тему была опубликована статья С. Фаэдо [8].
В качестве первого примера рассмотрим матричное дифференциальное уравнение вида
a0X(n) + a1X(n-1) + ... + an-1 X˙ + anX = 0,
(7)
т.е. уравнение (1), в котором Ak = akE, где E - единичная m × m-матрица, a0, a1, . . . , an -
комплексные числа, причём a0 = 0. Соответствующее семейство алгебраических уравнений
(2) состоит из одного-единственного уравнения
a0λn + a1λn-1 + ... + an-1λ + an = 0.
(8)
Очевидно, что поведение решений уравнения (7) полностью определяется корнями уравне-
ния (8). Этот пример тесно связан с теоремой Гамильтона-Кэли.
В качестве примера применения указанного выше признака экспоненциальной устойчиво-
сти приведём матричное дифференциальное уравнение второго порядка, возникающее в тео-
рии колебаний,
A X + B X + CX = 0,
(9)
в котором матричные коэффициенты являются самосопряжёнными и положительно опреде-
лёнными: A∗ = A > 0, B∗ = B > 0, C∗ = C > 0. Самосопряжённость гарантирует веще-
ственность спектра, а положительная определённость - его положительность. Поэтому соот-
ветствующие квадратные уравнения
aλ2 + bλ + c = 0, a ∈ S(A), b ∈ S(B), c ∈ S(C),
с вещественными коэффициентами являются гурвицевыми, так как a > 0, b > 0, c > 0.
Поэтому уравнение (9) экспоненциально устойчиво. Приведём явное выражение для величины
β = max{β(a,b,c) : a ∈ S(A), b ∈ S(B), c ∈ S(C)},
где
{
√
(-b +
b2 - 4ac)/(2a), если b2 - 4ac > 0,
β(a, b, c) =
−b/(2a),
если b2 - 4ac ≤ 0.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
1601
Сформулированная гипотеза предполагает знание спектров матричных коэффициентов
A0, A1, ..., An, что само по себе предполагает серьезную вычислительную задачу. В этом
направлении может оказаться полезным пособие [9].
Полученный результат. Проведём доказательство предложенной гипотезы при допол-
нительном предположении о попарной перестановочности между собой матричных коэффи-
циентов, т.е. AjAk = AkAj при j = k и 0 ≤ j, k ≤ n. Пусть B - коммутативная банахова
алгебра [10, с. 255], состоящая из комплексных квадратных матриц m-го порядка, содержащая
матричные коэффициенты A0, A1, . . . , An. Для них определены алгебраические операции
сложения и умножения, а также умножения на комплексные числа с обычными свойствами.
Кроме того, эта совокупность рассматривается как (конечномерное) банахово пространство
[11, с. 68], норма в котором обладает свойствами ∥A∥ ≥ 0; ∥A∥ = 0 тогда и только тогда, ког-
да A = 0; ∥λA∥ = |λ|∥A∥ и ∥A + B∥ ≤ ∥A∥ + ∥B∥. Кроме того, ∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥ и ∥E∥ = 1.
Здесь A и B из B, λ ∈ C.
Обозначим через Bn банахову алгебру, элементами которой являются столбцы X с компо-
нентами X1, X2, . . . , Xn из B, т.е. Bn = B×. . .×B - прямая сумма (прямое произведение). В
Bn алгебраические операции сложения, умножения на комплексные числа (а также на элемен-
ты алгебры B) и умножения вводятся покомпонентно. Норма в Bn определяется следующим
образом: ∥X∥ = max ∥Xj ∥ (1 ≤ j ≤ n).
Введём банахову алгебру Bn×n, элементами которой являются всевозможные блочные мат-
рицы A = (Ajk), 1 ≤ j, k ≤ n, где Ajk из B. В этой совокупности и определены алгебраиче-
ские операции сложения, умножения на комплексные числа (а также на элементы алгебры B)
и умножения (по правилу строка на столбец). Между блочными матрицами в Bn×n и линей-
ными ограниченными операторами, действующими в банаховом пространстве Bn, существует
естественное взаимно однозначное соответствие, именно, блочной матрице A = (Ajk) поста-
вим в соответствие оператор A : Bn → Bn, Y = AX, действующий по правилу Yj = Aj1X1 +
+ ... + AjnXn для 1 ≤ j ≤ n. При этом норма матрицы A определяется как операторная:
∥A∥ = max ∥AX∥, где максимум берётся по ∥X∥ = 1, X ∈ Bn.
Рассмотрим в коммутативной банаховой алгебре B дифференциальное уравнение (1) с
постоянными коэффициентами Ai из B, i = 0, n, причём коэффициент A0 обратим (det A0 =
= 0). Если по методу Эйлера искать решение уравнения (1) в виде X = exp(tΛ), где Λ ∈ B,
то придём к алгебраическому матричному уравнению n-й степени
A0Λn + A1Λn-1 + ... + An-1Λ + An = 0,
(10)
которое естественно назвать характеристическим. Однако в развиваемой нами теории играет
важную роль не многочлен из (10), а многочлен
Ln(λ) ≡ A0λn + A1λn-1 + ... + An-1λ + An : C → B,
который мы, за неимением лучшего, назовём скалярным характеристическим многочленом
(пучком), имея в виду, что областью определения этого многочлена является поле скаляров C.
Те λ из C, для которых элемент Ln(λ) не имеет обратного (det Ln(λ) = 0), образуют спектр
S (замкнутое множество) скалярного характеристического многочлена, являющееся непустым
конечным множеством в C. Те λ из C, для которых элемент Ln(λ) обратим (det Ln(λ) =
= 0), образуют резольвентное множество R (открытое) скалярного характеристического
многочлена.
Пусть элемент C из B обратим (det C = 0). Вместо уравнения (1) рассмотрим эквива-
лентное (т.е. имеющее те же самые решения) дифференциальное уравнение n-го порядка
B0X(n) + B1X(n-1) + ... + Bn-1 X˙ + BnX = 0,
где Bk = CAk при 0 ≤ k ≤ n. Вместе с этим уравнением появляется характеристическое
уравнение
B0Λn + B1Λn-1 + ... + Bn-1Λ + Bn = 0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1602
ПЕРОВ, КОСТРУБ
и скалярный характеристический многочлен
Mn(λ) ≡ B0λn + B1λn-1 + ... + Bn-1λ + Bn : C → B.
Отметим, что несмотря на то, что внешне и дифференциальное уравнение, и скалярный ха-
рактеристический многочлен подверглись изменению, спектр скалярного характеристического
многочлена остался неизменным, поскольку det Mn(λ) = det C det Ln(λ) и det C = 0.
Запишем уравнение (1) в приведённом виде
X(n) + B1X(n-1) + ... + Bn-1 X˙ + BnX = 0,
(11)
где Bj = A-10Aj при 1 ≤ j ≤ n. Представим дифференциальное уравнение (9) в виде системы
n дифференциальных матричных уравнений первого порядка
⎛
⎞
0
E
0
0
E
⎟
X=AX,гдеA=⎜⎝0
⎠.
(12)
−Bn
-B1
Матрица A из Bn×n называется сопровождающей (скалярный характеристический много-
член Mn(λ)) матрицей Фробениуса. Здесь
Mn(λ) = Eλn + B1λn-1 + ... + Bn-1λ + Bn : C → B.
(13)
Обозначим через S(A) спектр линейного ограниченного оператора A : Bn → Bn. В рас-
сматриваемом случае спектр - непустое конечное множество в C. Обозначим через α спек-
тральную абсциссу оператора A, т.е.
α = max{Reλ : λ ∈ S(A)}.
(14)
Отметим, что решение уравнения (11) имеет вид X(t) = exp(tA)X(0). В рассматриваемом
случае для любого ε > 0 можно указать такую постоянную C(ε) > 0, что справедлива оценка
∥etA∥ ≤ C(ε)et(α+ε) при
0 ≤ t < ∞,
(15)
где постоянная α определена соотношением (14) [12, с. 86].
Из (15) вытекает следующая оценка для решений дифференциального уравнения (12):
∥X(t)∥ ≤ ∥etA∥∥X(0)∥, т.е.
∥X(t)∥ ≤ C(ε)et(α+ε)∥X(0)∥ при
0 ≤ t < ∞.
(16)
Центральная часть доказательства. Покажем, что
α≤β,
(17)
где α определяется формулой (14), а β - формулой (3). Это неравенство немедленно вытекает
из включения
S(A) ⊆ Λ,
(18)
к доказательству которого мы и переходим.
Согласно [13, теорема 5] справедливо равенство
S(A) = S′ (R(A) = R′),
где S(A) и R(A) - это спектр и резольвентное множество оператора A, а S′ и R′ - это
спектр и резольвентное множество скалярного характеристического многочлена Mn(λ), опре-
деляемого формулой (13). Так как по доказанному S′ = S и R′ = R, где S и R - это спектр
и резольвентное множество скалярного характеристического многочлена Ln(λ), то
S(A) = S (R(A) = R).
(19)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
СПЕКТРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
1603
Перейдём к доказательству включения (18). Пусть λ ∈ S(A). Тогда, согласно (19), λ ∈ S.
Последнее означает, что
0 ∈ S(A0λn + A1λn-1 + ... + An-1λ + An).
(20)
Так как для коммутативных банаховых алгебр многозначное отображение A → S(A) обладает
свойствами: S(A+B) ⊆ S(A)+S(B) и S(Aμ) = S(A)μ для любых A и B из B и μ из C, то
S(A0λn + A1λn-1 + . . . + An-1λ + An) ⊆ S(A0)λn + S(A1)λn-1 + . . . + S(An-1)λ + S(An).
Поэтому из включения (20) вытекает, что
0 ∈ S(A0)λn + S(A1)λn-1 + ... + S(An-1)λ + S(An).
(21)
Любой элемент из написанной в правой части включения (21) суммы имеет вид
a0λn + a1λn-1 + ... + an-1λ + an,
где ak ∈ S(Ak) при 0 ≤ k ≤ n. Поэтому включение (21) означает, что коэффициенты ak
можно выбрать такими, чтобы 0 = a0λn + a1λn-1 + . . . + an-1λ + an. Видим, что число λ
является корнем уравнения (2), и поэтому λ ∈ R. Включение (18) установлено.
Из оценки (16) и неравенства (17) следует основная оценка (4).
Работа Перова А.И. выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундамен-
тальных исследований (проект 19-01-00732).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Стрелков С.П. Введение в теорию колебаний. М., 1964.
2. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 198s4.
3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., 1968.
4. Понтрягин А.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1965.
5. Гантамхер Ф.Р. Теория матриц. М., 1983.
6. Харитонов В.Л. Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства систем линей-
ных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14. № 11. С. 2086-2088.
7. Харитонов В.Л. Проблема Рауса-Гурвица для семейства полиномов и квазиполиномов // Мат.
физика. 1979. № 26. С. 69-79.
8. Faedo S. Un nuova problema di stabilita per le equazione algebriche a coefficienti reali // Ann. Scuola
Norm. Super. Piza, 1953. V. 7. № 1-2. С. 53-63.
9. Курбатов В.Г., Курбатова И.В. Вычислительные методы спектральной теории. Воронеж, 2019.
10. Рудин У. Функциональный анализ. М., 1975.
11. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. М., 1982.
12. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.
13. Перов А.И., Коструб И.Д. Дифференциальные уравнения в банаховых алгебрах // Докл. РАН.
2020. Т. 491. № 4. С. 83-87.
Воронежский государственный университет
Поступила в редакцию 16.06.2021 г.
После доработки 06.11.2021 г.
Принята к публикации 23.11.2021 г.
2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
