ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 12, с. 1604-1609

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.958:531.32

ЗАДАЧА ПРОТЕКАНИЯ

ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА-ФОЙГТА

Изучается задача протекания для трёхмерных уравнений Навье-Стокса-Фойгта с неодно-

родным краевым условием Дирихле. Доказана теорема о существовании и единственности

сильного решения в предположении, что нормы функций, описывающих внешние силы,

начальное поле скоростей и потоки на границе, достаточно малы.

DOI: 10.31857/S0374064121120037

Введение. Задачи о протекании вязкой жидкости через заданную пространственную об-

ласть долгое время привлекают внимание математиков. Согласно подсчётам авторов статьи [1]

задаче протекания для уравнений Навье-Стокса посвящено более ста работ, выполненных учё-

ными из одиннадцати стран. При этом количество статей по данной тематике постоянно уве-

личивается. Несмотря на большое число работ, в основном исследован случай стационарных

(т.е. не зависящих от времени) течений, а в качестве уравнений движения чаще всего исполь-

зуются классические уравнения Навье-Стокса. Однако поведение многих встречающихся на

практике жидкостей не может быть адекватно описано в рамках модели Навье-Стокса. Такие

жидкости называют неньютоновскими [2]. В их число входят, например, жидкости диффе-

ренциального типа, у которых тензор напряжений Коши зависит от градиента скорости и его

производных по времени [3].

В настоящей работе изучается разрешимость (в классе сильных решений) нестационарной

задачи протекания для уравнений Навье-Стокса-Фойгта [4], которые можно рассматривать

как одну из базовых моделей движения неньютоновских жидкостей дифференциального типа:

[

]

∑

∂u

∂(Δu)

- νPΔu - αP

= Pf в Ω × (0,T),

(1)

∂t

u_i ∂x_i

∂t

i=1

∇ · u = 0 в Ω × (0,T),

(2)

u = ϕ на ∂Ω × (0,T),

(3)

u|t=0 = u₀ в Ω,

(4)

где Ω - ограниченная трёхмерная область с C²-гладкой границей ∂Ω; (0, T ) - заданный про-

межуток времени; u - скорость течения жидкости; f, ϕ, u₀ - заданные вектор-функции,

которые описывают соответственно поле внешних сил, скорость течения на границе ∂Ω и рас-

пределение скоростей в начальный момент времени t = 0; P - проектор Лерэ; α и ν - поло-

жительные материальные константы. Cимволы ∇ и Δ обозначают соответственно градиент

и лапласиан по пространственным переменным x₁, x₂, x₃.

Исследование модели (1), (2) и некоторых её модификаций восходит к работам А.П. Оскол-

кова [5, 6], в которых рассматривались задачи о движении жидкости внутри ограниченной

трёхмерной (или двумерной) области с гладкой границей. Данная статья является продолже-

нием работы [4], в которой установлены существование и единственность сильного решения

начально-краевой задачи (1)-(4) в предположении, что ϕ ≡ 0, т.е. при стандартном гранич-

ном условии прилипания на непроницаемой твёрдой поверхности.

Другой подход к моделированию течения вязкой жидкости через заданную область основан

на использовании краевых условий для давления [7] или напора [8, 9] на тех участках границы,

где происходит протекание жидкости.

1604

ЗАДАЧА ПРОТЕКАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА-ФОЙГТА

1605

1. Понятие сильных решений. Введём необходимые функциональные пространства

и операторы. Будем использовать пространство Лебега L²(Ω), пространства Соболева H^m(Ω)

и пространства следов Hm-1/2(∂Ω), m = 1, 2 (см. [10, гл. III]). Для соответствующих классов

вектор-функций v : Ω → R³ используем те же самые обозначения, выделяя при этом первую

= H¹(Ω)³ и т.п.

Через γ∂Ω обозначим линейный непрерывный оператор следа, действующий из H^m(Ω)

в Hm-1/2(∂Ω). Отметим, что γ∂Ωv = v|∂Ω для любой вектор-функции v ∈ H^m(Ω)

^⋂C(Ω).

Введём также подпространства соленоидальных вектор-функций:

= {v ∈ H^m(Ω): ∇ · v = 0 в Ω}, m = 1, 2,

и подпространства следов, удовлетворяющих условию нулевого суммарного потока на границе

области течения:

{

∫

}

= ω ∈ Hm-1/2(∂Ω) : ω · ndS = 0 ,

m = 1,2,

∂Ω

где n - единичный вектор внешней нормали к поверхности ∂Ω.

= {η ∈ C^∞(Ω)

^⋂H1σ(Ω) : suppη ⊂ Ω}. Введём обозначения: V⁰(Ω) - замыка-

ние множества V(Ω) в пространстве L²(Ω), V¹(Ω) - замыкание множества V(Ω) в простран-

= H²(Ω)

^⋂V¹(Ω). Очевидно, что γ∂Ωv = 0, если v ∈ V^k(Ω), k = 1,2.

Напомним, что имеет место ортогональное разложение L²(Ω) = V⁰(Ω)

^⊕∇H¹(Ω), а ор-

тогональный проектор P из L²(Ω) в V⁰(Ω) называется проектором Лерэ (см. [10, гл. IV]).

Как обычно, C([0, T ]; X) - пространство непрерывных функций из отрезка [0, T ] в X

= {w : [0, T ] → X : w ∈ C([0, T ]; X), w^′ ∈ C([0, T ]; X)}, где X - банахово

пространство, а^′ обозначает производную по t.

Определение. Сильным решением начально-краевой задачи (1)-(4) будем называть век-

тор-функцию u: Ω × [0, T ] → R³ такую, что u ∈ C¹([0, T ]; H2σ(Ω)), u(0) = u₀, γ∂Ωu = ϕ и

[

]

∑

∂u

Pu^′ + P

u_i

- νPΔu - αPΔu^′ = Pf в Ω × (0,T).

∂x_i

i=1

2. Основной результат работы.

Теорема 1. Пусть выполнены следующие условия:

f ∈ C([0,T];L²(Ω)), ϕ ∈ C¹([0,T];H3/20(∂Ω)), u₀ ∈ H2σ(Ω), γ∂Ωu₀ = ϕ(0).

(5)

Тогда существует ε₀ > 0 такое, что если

∥f∥C([0,T];L2_(Ω)) + ∥ϕ∥

+ ∥u₀∥_H2(Ω) ≤ ε0,

(6)

C¹([0,T];H3/20(∂Ω))

то начально-краевая задача (1)-(4) имеет единственное сильное решение u в некоторой

открытой окрестности U нулевой вектор-функции в пространстве C¹([0,T];H2σ(Ω)).

3. Вспомогательные результаты. В этом пункте приводятся утверждения, необходи-

мые для доказательства теоремы 1. Далее для линейных пространств E и F через L(E, F )

обозначаем пространство линейных непрерывных операторов, действующих из E в F .

Теорема 2. Пусть E и F - изоморфные вещественные банаховы пространства, A: E →

→ F - изоморфизм, т.е. линейное непрерывное биективное отображение, B: E → F -

непрерывно дифференцируемое по Фреше отображение, для которого B(0) = 0 и норма про-

изводной Фреше DB(0) удовлетворяет оценке

∥DB(0)∥L(E,F) < ∥A-1∥-1L(E,F).

(7)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

2^∗

1606

БАРАНОВСКИЙ

Тогда существуют число ϵ > 0 и открытая окрестность U нулевого элемента в E

= {q ∈ F : ∥q∥_F < ϵ} уравнение

Aw + B(w) = g

(8)

имеет единственное решение w = w_g, принадлежащее множеству U.

= A-1 ◦B.

Применив оператор A-1 к обеим частям уравнения (8), получим

(I + T )(w) = A-1g,

(9)

где I : E → E - тождественный оператор. Очевидно, что уравнения (8) и (9) эквивалентны.

Заметим, что (I + T )(0) = 0. Кроме того, используя неравенство (7), получаем оценку

∥DT (0)∥L(E,E) = ∥A-1 ◦ DB(0)∥L(E,E) ≤ ∥A-1∥L(F,E)∥DB(0)∥L(E,F) < 1,

из которой следует, что оператор I + DT (0): E → E непрерывно обратим. Поэтому, согласно

теореме об обратной функции, существуют открытые окрестности U₁ и U₂ нулевого элемента

в пространстве E такие, что отображение I + T |U1 : U₁ → U₂ биективно.

Пусть ϵ - положительное число такое, что A-1g ∈ U₂ для любого элемента g из открытого

шара B_ϵ(0). Тогда в качестве U можно взять множество U₁. В самом деле, для любого g ∈

= [(I +

+ T)-1 ◦ A-1]g. Теорема 2 доказана.

Лемма 1. Существует линейный непрерывный оператор∗)

ℓ_Ω : C¹([0,T];H3/20(∂Ω)) → C¹([0,T];H2σ(Ω))

такой, что γ∂Ω[ℓ_Ωψ(t)] = ψ(t) для любой вектор-функции ψ ∈ C¹([0, T ]; H3/20(∂Ω)) и всех

t ∈ [0,T].

Доказательство. Пусть a - произвольная вектор-функция из пространства H3/20(∂Ω).

Согласно классическим результатам о разрешимости стационарных уравнений Стокса с неод-

нородными краевыми условиями (см., например, [11, гл. I]) существует единственная вектор-

функция y ∈ H2σ(Ω), которая удовлетворяет следующей краевой задаче:

PΔy = 0,

∇ · y = 0 в Ω,

y = a на

∂Ω,

(10)

и для которой выполнена оценка

∥y∥_H2

(11)

σ (Ω) ≤C(Ω)∥a∥H3/20(∂Ω)

c некоторой константой C(Ω).

= y. Из

оценки (11) вытекает включение R ∈ L(H3/20(∂Ω), H2σ(Ω)).

Оператор поднятия ℓ_Ω определим по формуле

= R[ψ(t)], где ψ - вектор-

функция из пространства C¹([0, T ]; H3/20(∂Ω)) и t ∈ [0, T ]. Очевидно, что оператор ℓ_Ω удо-

влетворяет условиям леммы. Лемма доказана.

Пусть

= {(z, φ, b) ∈ C([0, T ]; V⁰(Ω)) × C¹([0, T ]; H3/20(∂Ω)) × H2σ(Ω) : φ(0) = γ∂Ωb}.

∗) Этот оператор называется оператором поднятия.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ЗАДАЧА ПРОТЕКАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА-ФОЙГТА

1607

Лемма 2. Линейный оператор A: C¹([0, T ]; H2σ(Ω)) → F, заданный формулой

= (Pu^′ - νPΔu - αPΔu^′, γ∂Ωu, u(0)),

является изоморфизмом.

Доказательство. Нетрудно проверить, что справедлива оценка

∥Au∥_F ≤ C(Ω, α, ν)∥u∥_C1([0,T];H2

σ(Ω)),C(Ω,ν,α)=const,

для любой вектор-функции u∈C¹([0, T ]; H2σ(Ω)). Cледовательно,

A ∈ L(C¹([0,T];H2σ(Ω)),F).

Далее, покажем, что A - инъективный оператор. Пусть u₁ и u₂ - вектор-функции из

пространства C¹([0, T ]; H2σ(Ω)) и Au₁ = Au₂. Обозначим u = u₁ - u₂. Из равенства Au = 0,

в частности, следует, что

Pu^′ - νPΔu - αPΔu^′ = 0 в Ω × (0,T).

(12)

Умножим обе части (12) на u и проинтегрируем по области Ω:

∫

Pu^′ · udx - ν PΔu · udx - α PΔu^′ · u dx = 0, t ∈ (0,T).

(13)

Так как

u ∈ C¹([0,T];H2σ(Ω)) и γ∂Ωu = 0, то u ∈ C1([0,T];V 2(Ω)). Поэтому Pu′ = u′

и для любой вектор-функции w ∈ L²(Ω) выполняется равенство (Pw, u)_L2_(Ω) = (w, u)_L2_(Ω).

Таким образом, равенство (13) принимает вид

∫

u^′ · udx - ν Δu · u dx - α Δu^′ · udx = 0, t ∈ (0,T).

(14)

Интегрируя по частям второе и третье слагаемые из левой части (14), получаем

∫

u^′ · udx + ν

|∇u|² dx + α

∇u^′ : ∇udx = 0, t ∈ (0,T),

(15)

где через : обозначено скалярное произведение матриц. Замечая, что

∫

1 d

u^′ · udx =

|u|² dx,

∇u^′ : ∇udx =

|∇u|² dx, t ∈ (0, T ),

2 dt

из равенства (15) выводим следующее соотношение:

∫

(|u|² + α|∇u|²) dx + 2ν

|∇u|² dx = 0, t ∈ (0, T ).

(16)

Проинтегрируем обе части равенства (16) по t от 0 до s. С учётом того, что u(0) = 0, по-

лучаем

∫

(|u(s)|² + α|∇u(s)|²) dx + 2ν

|∇u(t)|² dxdt = 0, s ∈ (0, T ),

откуда следует равенство u = 0. Таким образом, u₁ = u₂.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1608

БАРАНОВСКИЙ

Для завершения доказательства леммы осталось показать, что A - сюръективный опера-

тор. Возьмём произвольную тройку (z, φ, b) ∈ F. Требуется установить разрешимость урав-

нения Au = (z, φ, b). Это уравнение эквивалентно следующей начально-краевой задаче:

Pu^′ - νPΔu - αPΔu^′ = z,

∇ · u = 0 в Ω × (0,T),

(17)

u = φ на ∂Ω × (0,T),

(18)

u(0) = b в Ω.

(19)

Неизвестную вектор-функцию u представим в виде суммы u = v + ℓ_Ωφ, где v - новая

неизвестная вектор-функция. Тогда задача (17)-(19) сводится к следующей задаче:

v^′ - νPΔv - αPΔv^′ = z,

∇ · v = 0 в Ω × (0,T),

(20)

v = 0 на ∂Ω × (0,T),

(21)

v(0) =^b в Ω,

(22)

где

= b - [ℓ_Ωφ](0) ∈ V ²(Ω).

С помощью рассуждений, аналогичных тем, которые применяются для доказательства

теоремы 1 из [4], можно показать, что начально-краевая задача (20)-(22) имеет единственное

решение v в пространстве C¹([0, T ]; V²(Ω)). Следовательно, уравнение Au = (z, φ, b) одно-

значно разрешимо. Лемма доказана.

4. Доказательство теоремы 1. Начально-краевая задача (1)-(4) в “сильной” формули-

ровке (см. определение в п. 1) эквивалентна операторному уравнению

Au + B(u) = (Pf,ϕ,u₀)

c линейным оператором A: C¹([0, T ]; H2σ(Ω)) → F, который определён в лемме 2, и нелиней-

ным оператором B: C¹([0, T ]; H2σ(Ω)) → F, заданным формулой

]

)

( [₃∑

∂u

= P

u_i

, 0, 0

∂x_i

i=1

Заметим, что отображение B непрерывно дифференцируемо по Фреше и

]

[

]

)

( [₃∑

∑

∂u

∂h

[DB(u)]h = P

h_i

u_i

, 0, 0

∂x_i

i=1

для любых вектор-функций u, h ∈ C¹([0, T ]; H2σ(Ω)). В частности, DB(0) - нулевой оператор

и, следовательно, справедлива оценка

∥DB(0)∥L(C1([0,T];H2(Ω)),F) < ∥A-1∥-1L(C1([0,T];H2

σ(Ω)),F)

Кроме того, согласно лемме 2, оператор A - изоморфизм. Поэтому, применяя соответ-

ствующим образом теорему 2, заключаем, что при выполнении условий (5) и (6) задача (1)-

(4) имеет единственное сильное решение u в некоторой открытой окрестности U нулевой

вектор-функции в пространстве C¹([0, T ]; H2σ(Ω)). Теорема 1 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коробков М.В., Пилецкас К., Пухначев В.В., Руссо Р. Задача протекания для уравнений Навье-

Стокса // Успехи мат. наук. 2014. Т. 69. Вып. 6. С. 115-176.

2. Брутян М.А., Крапивский П.Л. Гидродинамика неньютоновских жидкостей // Итоги науки и тех-

ники. Сер. Комплексные и специальные разделы механики. 1991. Т. 4. С. 3-98.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ЗАДАЧА ПРОТЕКАНИЯ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА-ФОЙГТА

1609

3. Cioranescu D., Girault V., Rajagopal K.R. Mechanics and Mathematics of Fluids of the Differential Type.

Cham, 2016.

4. Baranovskii E.S. Strong solutions of the incompressible Navier-Stokes-Voigt model // Mathematics.

2020. V. 8. № 2. Art. ID 181.

5. Осколков А.П. О разрешимости в целом первой краевой задачи для одной квазилинейной системы

3-го порядка, встречающейся при изучении движения вязкой жидкости // Зап. науч. сем. ЛОМИ.

1972. Т. 27. С. 145-160.

6. Осколков А.П. О некоторых модельных нестационарных системах в теории неньютоновских жид-

костей // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 127. C. 32-57.

7. Baranovskii E.S., Domnich A.A., Artemov M.A. Optimal boundary control of non-isothermal viscous

fluid flow // Fluids. 2019. V. 4. № 3. Art. ID 133.

8. Барановский Е.С. Оптимальное граничное управление течением нелинейно-вязкой жидкости

// Мат. сб. 2020. Т. 211. № 4. С. 27-43.

9. Барановский Е.С., Домнич А.А. О модели протекания неравномерно нагретой вязкой жидкости

через ограниченную область // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56. № 3. С. 317-327.

10. Boyer F., Fabrie P. Mathematical Tools for the Study of the Incompressible Navier-Stokes Equations

and Related Models. New York, 2013.

11. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. М., 1981.

Воронежский государственный университет

Поступила в редакцию 19.09.2021 г.

После доработки 11.10.2021 г.

Принята к публикации 23.11.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021