ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 12, с. 1610-1622

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

УДК 517.956.6

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ

ПАРАБОЛО-ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

ПО НАХОЖДЕНИЮ СОМНОЖИТЕЛЯ ПРАВОЙ ЧАСТИ,

ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ

Для заданного в прямоугольном параллелепипеде неоднородного уравнения смешанного

параболо-гиперболического типа, неоднородность которого представляет собой произведе-

ние функций, зависящих только от пространственных и только от временной переменных,

исследуется обратная задача по нахождению сомножителя неоднородности, зависящего

от пространственных переменных. Установлен критерий единственности решения. Реше-

ние построено в виде суммы ряда по ортогональной системе функций. При обосновании

сходимости ряда возникает проблема малых знаменателей, зависящих от двух натураль-

ных аргументов. Получены оценки, гарантирующие отделённость от нуля знаменателей с

указанием асимптотики, позволившие обосновать сходимость построенного ряда в классе

регулярных решений. Установлена устойчивость найденного решения относительно возму-

щений граничных функций.

DOI: 10.31857/S0374064121120049

1. Постановка задачи. Рассмотрим неоднородное уравнение смешанного параболо-ги-

перболического типа

Lu ≡ F(x,y,t),

(1)

здесь

{

u_t - u_xx - u_yy + bu, t > 0,

f (x, y)g₁(t), t > 0,

Lu ≡

F (x, y, t) ≡

u_tt - u_xx - u_yy

+ bu, t < 0,

f (x, y)g₂(t), t < 0,

в области Q = {(x, y, t) : (x, y) ∈ D, t ∈ (-α, β)}, где D = {(x, y) : 0 < x < p,

0 < y < q}, а

α, β, p, q - заданные положительные действительные числа, b - заданное действительное

число, и, обозначив Q_- = Q

^⋂ {t < 0}, Q₊ = Q^⋂ {t > 0}, поставим следующую задачу.

Задача. Найти функции u(x, y, t) и f(x, y), удовлетворяющие условиям

u(x, y, t) ∈ C(Q)

^⋂C1t(Q)^⋂ C1x,y(Q)^⋂ C2x,y(Q₊)^⋂ C²(Q_-);

(2)

f (x, y) ∈ C(D)

^⋂L₂(D);

(3)

Lu(x, y, t) ≡ F (x, y, t), (x, y, t) ∈ Q₊

^⋃Q_-;

(4)

u(x, y, t)|x=0 = u(x, y, t)|x=p = 0,

-α ≤ t ≤ β;

(5)

u(x, y, t)|y=0 = u(x, y, t)|y=q = 0,

-α ≤ t ≤ β;

(6)

u(x, y, t)|t=-α = ψ(x, y), (x, y) ∈ D,

(7)

u(x, y, t)|t=β = ϕ(x, y), (x, y) ∈ D,

(8)

где g₁(t), g₂(t), ϕ(x, y) и ψ(x, y) - заданные достаточно гладкие функции.

Отметим, что в работах [1, 2] методами функционального анализа доказана однозначная

разрешимость аналога задачи Трикоми в пространстве L₂ для двумерного уравнения парабо-

ло-гиперболического типа в смешанной области, параболическая часть которой представляет

собой прямоугольник, а гиперболическая часть - характеристический треугольник с основани-

ем на линии вырождения. В такой же области в [3] методами спектрального анализа изучены

1610

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

1611

задачи для параболо-гиперболических уравнений и соответствующие одномерные спектраль-

ные задачи.

В прямоугольной области начально-граничные задачи для однородного и неоднородного

уравнений смешанного параболо-гиперболического типа впервые изучались в работах [4; 5,

с. 56-94; 6], а в статьях [7-9] исследовались нелокальные задачи для однородного параболо-

гиперболического уравнения.

Отметим также работы [10, 11], в которых для следующих трёх классов одномерных неод-

нородных параболо-гиперболических уравнений: уравнений с вырождающейся гиперболиче-

ской частью, уравнений с вырождающейся параболической частью и уравнений со степенным

вырождением, изучена начально-граничная задача в прямоугольной области D = {(x, t) :

0<x<l, -α < t < β} с ненулевыми условиями на границе при x = 0, x = l и t = -α.

Обратные задачи возникают во многих областях науки: электродинамике, акустике, кван-

товой теории рассеяния, геофизике (обратные задачи электроразведки, сейсмологии, теории

потенциала), астрономии и других областях естествознания. Это связано с тем, что значе-

ния параметров модели могут быть получены из наблюдаемых данных, а свойства среды на

практике часто бывают неизвестны.

Различные обратные задачи для отдельных типов дифференциальных уравнений в част-

ных производных исследованы достаточно полно и приведены в монографиях [12-20].

В работах [20-23] для одномерных неоднородных параболо-гиперболических уравнений в

прямоугольной области с неоднородностью, зависящей только от пространственной перемен-

ной, изучены обратные задачи по нахождению решения и неоднородности.

В работах [24, 25] в прямоугольной области для двух классов одномерных неоднородных

параболо-гиперболических вырождающихся уравнений - уравнений с вырождающейся гипер-

болической частью и уравнений с вырождающейся параболической частью - с неоднородно-

стью, представимой в виде произведения функций, зависящих только от пространственной и

только от временной переменных, рассмотрены обратные задачи по нахождению решения и

одной из функций неоднородности.

В настоящей работе, используя идеи работ [20, 26], для уравнения (1) смешанного парабо-

ло-гиперболического типа в прямоугольном параллелепипеде впервые исследована обратная

задача по нахождению сомножителя правой части, зависящего от пространственных пере-

менных. Получен критерий единственности решения задачи (2)-(8). Её решение построено в

явном виде - как сумм двумерных рядов по ортогональной системе функций. Для этих рядов

возникает проблема малых знаменателей, зависящих от двух натуральных аргументов, кото-

рая существенно затрудняет обоснование их сходимости. В связи с этим для доказательства

равномерной сходимости построенных рядов найдены оценки, гарантирующие отделённость

от нуля малых знаменателей, которые позволили доказать существование регулярного реше-

ния, т.е. решения, удовлетворяющего условиям (2), (3). Установлена устойчивость решения

рассматриваемой задачи относительно возмущения граничных функций.

2. Единственность решения задачи. Пусть u(x,y,t) - решение задачи (2)-(8). Введём

функции

∫∫

u_mn(t) =

u(x, y, t)v_mn(x, y) dx dy, m, n ∈ N,

(9)

где

mπx

nπy

v_mn(x,y) =

sin

(10)

√pq^sin

– полная ортонормированная система собственных функций оператора Лапласа в прямоуголь-

нике D с нулевыми граничными условиями Дирихле. Отметим также, что система функций

(10) образует базис в пространстве L₂(D).

Аналогично [4, 10] получим относительно функции (9) дифференциальные уравнения

u^′mn(t) + λ2mnu_mn(t) = g₁(t)f_mn, t > 0,

(11)

u^′′mn(t) + λ2mnu_mn(t) = g₂(t)f_mn, t < 0,

(12)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1612

СИДОРОВ С.Н.

здесь

^[(m⁾

⁽n)2]

λ2mn = b + π²

(13)

∫∫

f_mn =

f (x, y)v_mn(x, y) dx dy.

(14)

Далее в равенстве (13) считаем, что b = μ² ≥ 0 (μ ≥ 0), так как если b < 0, то, начиная с

некоторых номеров n и m, правая часть в (13) принимает только положительные значения,

т.е., как будет следовать из дальнейшего, знак коэффициента b не влияет на справедливость

полученных результатов.

Общие решения уравнений (11) и (12) соответственно следующие [4, с. 75]:

∫t

u_mn(t) = a_mne-λmn^t + f_mn g₁(s)e-λmn(t-s) ds, t > 0,

(15)

∫

f_mn

u_mn(t) = c_mn cos(λ_mnt) + d_mn sin(λ_mnt) -

g₂(s)sin(λ_mn(t - s))ds, t < 0,

(16)

λ_mn

здесь a_mn, c_mn и d_mn - произвольные постоянные.

Функции (15) и (16) в силу требования (2) удовлетворяют условиям склеивания

u_mn(0 + 0) = u_mn(0 - 0), u^′mn(0 + 0) = u^′mn(0 - 0), m,n ∈ N,

только тогда, когда c_mn = a_mn, d_mn = -λ_mna_mn + f_mng₁(0)/λ_mn. Вследствие этих равенств

функции (15) и (16) принимают вид

{

a_mne-λmn^t + f_mnI(t),

t ≥ 0,

u_mn(t) =

(17)

a_mnδ_mn(t) + f_mnω_mn(t),

t ≤ 0,

здесь

∫^t

I(t) = g₁(s)e-λmn(t-s) ds, δ_mn(t) = cos(λ_mnt) - λ_mn sin(λ_mnt),

(18)

∫

g₁(0)

ω_mn(t) =

sin(λ_mnt) -

g₂(s)sin(λ_mn(t - s))ds.

(19)

λ_mn

Чтобы найти постоянные a_mn и f_mn, воспользуемся сначала граничными условиями (7), (8)

и определением (9):

∫∫

u_mn(-α) =

u(x, y, -α)v_mn(x, y) dx dy =

ψ(x, y)v_mn(x, y) dx dy =: ψ_mn,

(20)

∫∫

u_mn(β) =

u(x, y, β)v_mn(x, y) dx dy =

ϕ(x, y)v_mn(x, y) dx dy =: ϕ_mn.

(21)

Удовлетворяя функции (17) условиям (20) и (21), получаем относительно неизвестных a_mn и

f_mn линейную алгебраическую систему

{

a_mnδ_mn(-α) + f_mnω_mn(-α) = ψ_mn,

(22)

a_mne-λmn^β + f_mnI(β) = ϕ_mn.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

1613

Обозначим через Δ_mn(α) определитель системы (22), выделяя в обозначении только его за-

висимость от параметра α, хотя он зависит также и от β, b, p и q. Если этот определитель

отличен от нуля, т.е.

Δ_mn(α) = δ_mn(-α)I(β) - ω_mn(-α)e-λmn^β = 0,

(23)

то система (22) имеет единственное решение

a_mn =

(-ϕ_mnω_mn(-α) + ψ_mnI(β)), f_mn =

(ϕ_mnδ_mn(-α) - ψ_mne-λmn^β). (24)

Δ_mn(α)

Если Δ_mn(α) = 0 при всех m, n ∈ N, то коэффициенты α_mn и f_mn при любых m, n ∈

∈ N определяются единственным образом, и поэтому, подставляя их выражения (24) в (17),

находим, что функции u_mn(t) однозначно задаются формулой

⎧

⎪

[ϕ_mn(δ_mn(-α)I(t) - ω_mn(-α)e-λmn^t) +

⎪

⎪Δmn(α)

⎨

+ ψ_mn(I(β)e-λm n^t - I(t)e-λm n^β)],

t ≥ 0,

u_mn(t) =

(25)

⎪

[ϕ_mn(δ_mn(-α)ω_mn(t) - δ_mn(t)ω_mn(-α)) +

⎪

⎩^Δ

mn(α)

+ ψ_mn(I(β)δ_mn(t) - ω_mn(t)e-λm n^β)],

t ≤ 0.

Докажем, что решение задачи (2)-(8) единственно, если и только если Δ_mn(α) = 0 при

всех n, m ∈ N. Пусть ϕ(x, y) = ψ(x, y) ≡ 0 и выполнены соотношения (23) при всех m, n ∈ N.

Тогда все ϕ_mn = ψ_mn ≡ 0 и из равенств (24) следует, что a_mn = f_mn ≡ 0. Значит, в силу

формул (17), (9), (14) при всех m, n ∈ N и любом t ∈ [-α, β] имеем

∫∫

u(x, y, t)v_mn(x, y) dx dy = 0,

f (x, y)v_mn(x, y) dx dy = 0.

Отсюда в силу полноты системы функций (10) в L₂(D) следует, что u(x, y, t) = 0 почти всюду

в D при любом t ∈ [-α,β] и f(x,y) = 0 почти всюду в D. Вследствие включений (2) и (3)

заключаем, что u(x, y, t) ≡ 0 в Q и f(x, y) ≡ 0 на D.

Пусть при некотором m = m₀ или n = n₀ выражение Δm0n(α) = 0 или Δmn₀ (α) = 0.

Допустим, что Δmn0 (α) = 0. Тогда однородная задача (2)-(8) (где ϕ(x, y) = ψ(x, y) ≡ 0)

имеет ненулевое решение

umn0 (x,y,t) = umn0 (t)vmn0 (x,y),

{

mn0

Cn0 e^-λ

^t + fmn0I(t),

t ≥ 0,

umn0 (t) =

Cn0 δmn0 (t) + fmn0ωmn0 (t),

t ≤ 0,

e-λmn0^β

fmn0 (x,y) = fmn0vmn0 (x,y), fmn0 = -Cn0

I(β)

здесь Cn0 - произвольная постоянная.

Поэтому возникает вопрос о существовании нулей выражения Δ_mn(α). Для этого пред-

ставим его в виде

∫

√

Δ_mn(α) =

1 + λ2mn sin(λ_mnα + γ_mn) g₁(s)e-λm n(β-s) ds - ω_mn(-α)e-λm n^β,

(26)

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1614

СИДОРОВ С.Н.

√

где γ_mn = arcsin(1/

1 + λ2mn). Применяя к интегралу в (26) первую теорему о среднем при

условии, что функция g₁(s) отделена от нуля на [0, β], имеем

g₁(ξ_mn)^√

Δ_mn(α) =

1 + λ2mn sin(λ_mnα + γ_mn)(1 - e-λm n^β) - e-λm n^βω_mn(-α) =

λ2mn

[

]

g₁(ξ_mn)√

1 + λ2mn sin(λ_mnα + γ_mn)(1 - e-λm n^β) - e-λm n^β λm nω√n(-α)

λ2mn

g₁(ξ_mn)

1+λ2mn

где ξ_mn ∈ [0, β]. Множитель вне квадратных скобок при всех m и n отделён от нуля. В

выражении в квадратных скобках первое слагаемое относительно α имеет счётное множество

нулей. Так как ω_mn(-α) при больших m или n имеет порядок λ-1mn, то второе слагаемое в

квадратных скобках является бесконечно малой более высокого порядка, чем первое. Следо-

вательно, выражение Δ_mn(α) имеет счётное множество нулей относительно α при больших

m или n.

Таким образом, установлен следующий критерий единственности решения задачи (2)-(8).

Теорема 1. Если решение задачи (2)-(8) существует, то оно единственно тогда и только

тогда, когда при всех m и n выполнены условия (23).

3. Существование решения задачи. Если выполнены условия (23) и решение задачи

(2)-(8) существует, то его можно представить в виде сумм рядов по системе функций (10):

∑

u(x, y, t) =

u_mn(t)v_mn(x,y), f(x,y) =

f_mnv_mn(x,y),

(27)

m,n=1

здесь коэффициенты u_mn(t) и f_mn определяются по формулам (17) и (24). Так как Δ_mn(α)

является знаменателем коэффициентов рядов (27) и, как показано выше, уравнение Δ_mn(α) =

= 0 имеет счётное множество нулей при больших m или n, то возникает проблема малых

знаменателей более сложной природы, чем в одномерном случае [3; 4, с. 61-66]. В связи с

этим для обоснования сходимости рядов (27) необходимо установить оценку, гарантирующую

отделённость от нуля величины Δ_mn(α).

Пусть n ≥ m. Представим Δ_mn(α) в виде

Δ_mn(α) = Δ(1)mn(α) - Δ(2)mn(α),

(28)

где

g₁(ξ_mn)

Δ(1)mn(α) = δ_mn(α)

Δ(2)mn(α) = e-λmn^β(ω_mn(-α) + Δ(1)mn(α)),

(29)

λ2mn

√

)₂

√

⁽qm

⁽μq)2

δ_mn(α) =

1 + λ2mn sin(πnαλmn + γ_mn),

α=

λ_mn =

(30)

πn

Лемма 1. Пусть n ≥ m, функция g₁(t) непрерывна на [0, β],

|g₁(t)| ≥ g₁ = const > 0,

отношение q/p рационально и q/p ≤ 1. Если α - положительное рациональное число, т.е.

α = r/s, r,s ∈ N, (r,s) = 1, и выполнено неравенство

(2μrpq)² + (2p)²πqrs < 3π²,

то существуют положительные постоянные C₀ и n₀ (n₀ ∈ N) такие, что при всех n > n₀

и любом фиксированном m справедлива оценка

|Δ_mn(α)| ≥ C₀n-2.

Доказательство. Согласно работе [26, лемма 1] при выполнении условий леммы суще-

ствует натуральное число n₁ такое, что при всех n > n₁ выполняется неравенство

|δ_mn(α)| > C₁ > 0,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

1615

где выражение δ_mn(α) определено в (30), а C_i здесь и далее - положительные постоянные.

Выражениеλmn (см. (30)) представим в видеλmn = 1 + θ_mn, при этом для θ_mn имеет место

оценка

^[(qm)2

⁽ μq)2]

^[(qm)2

⁽ μq)2]

<θ_mn <

πn

так как существует номер n₂ такой, что при n > n₂ верно неравенство

⁽qm)2

⁽μq)2

< 1.

πn

Из представления λ_mn = πnλmn/q следует, что

|Δ(1)mn(α)| = |δ_mn(α)|λ-2mn|g₁(ξ_mn)| > C₂n-2.

Очевидно, что выражение Δm2n(α) (см. (29)) является бесконечно малым при n → ∞, причём

существует n₃ такое, что при всех n > n₃ справедливо неравенство

|Δ(2)mn(α)| < C₂n-2/2.

Тогда из представления (28) на основании полученных оценок имеем

при n > n₀ = max{n₁, n₂, n₃}. Лемма доказана.

Замечание. Отметим, что если m ≥ n и выполнено неравенство

(2μr₁pq)² + (2p)²πpr₁s₁ < 3π²,

где

α = r₁/s₁, r₁,s₁ ∈ N, (r₁,s₁) = 1, то для рационального p/q такого, что p/q ≤ 1,

аналогично получаем при всех m > m₀ и любом фиксированном n оценку

|Δ_mn(α)| ≥ C₀m-2.

В этом случае в качестве числа α берётся отношение α/p.

Лемма 2. Пусть n ≥ m и функция g₁(t) непрерывна. Тогда при любых m, n ∈ N и

t ∈ [0,β] справедливы оценки

|I(t)| ≤ C₄n-2,

|I^′(t)| ≤ C₅, t ∈ [0, β].

(31)

Доказательство. Применяя к интегралу I(t) (см. (18)) теорему о среднем, получаем



∫t



1 - e-λm n^t



|I(t)| =^ g₁(s)e-λmn(t-s) ds

|g₁(ξ_mn)|

β ≤ C₄n-2, ξ_mn ∈ [0,t].

≤

λ2mn

Так же получим оценку и для производной: |I^′(t)| ≤ |g₁(t)| + λ2mn|I(t)| ≤ C₅. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть n ≥ m, функция g₁(t) непрерывна, а функция g₂(t) монотонно возрас-

тает и неотрицательна на [-α, 0]. Тогда при любых m, n ∈ N и t ∈ [-α, 0, ] справедливы

оценки

|ω_mn(t)| ≤ C₆n-1,

|ω^′mn(t)| ≤ C₇,

|ω^′′mn(t)| ≤ C₈n.

(32)

Доказательство. Применяя вторую теорему о среднем, имеем представления

∫0

∫

cos(λ_mn(t - ξ₁)) - cos(λ_mnt)

g₂(s)sin(λ_mn(t - s))ds = g₂(0) sin(λ_mn(t - s))ds = g₂(0)

λ_mn

ξ₁

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1616

СИДОРОВ С.Н.

∫

sin(λ_mn(t - ξ₂)) + sin(λ_mnt)

g₂(s)cos(λ_mn(t - s))ds = g₂(0) cos(λ_mn(t - s))ds = g₂(0)

λ_mn

ξ₂

для некоторых ξ₁ = ξ₁(t) и ξ₂ = ξ₂(t) из отрезка [t, 0]. Тогда из равенства (19) вытекают

оценки

 ∫



|g₁(0)|



|g₁(0)|

2|g₂(0)|



|ω_mn(t)| ≤

|sin(λ_mnt)| +

|g₂(0)|^

sin(λ_mn(t - s)) ds

≤C₆n-1,

≤

λ_mn

λ2mn

ξ₁

∫



|ω^′mn(t)| ≤ |g₁(0)|| cos(λ_mnt)| +^ g₂(s) cos(λ_mn(t - s)) ds

≤

 ∫



2|g₂(0)|



≤ |g₁(0)| + |g₂(0)|^ cos(λ_mn(t - s)) ds

|g₁(0)| +

≤C₇.

≤

λ_mn

ξ₂

Так как ω^′′mn(t) = -λ2mnω_mn(t) + g₂(t), то на основании оценки для |ω_mn(t)| при t ∈ [-α, 0]

получим третью оценку из (32). Лемма доказана.

Лемма 4. Если выполнены условия леммы 1, то при всех n > n₀, n ≥ m справедливы

оценки

|u_mn(t)| ≤ M₁(n|ϕ_mn| + |ψ_mn|),

|u^′mn(t)| ≤ M₂(n³|ϕ_mn| + n²|ψ_mn|),

0≤t≤β,

|u(i)mn(t)| ≤ Mi+3(ni+2|ϕ_mn| + ni+1|ψ_mn|),

-α ≤ t ≤ 0, i = 0,1,2,

|f_mn| ≤ M₆(n³|ϕ_mn| + n²|ψ_mn|),

здесь и далее M_i - положительные постоянные.

Доказательство. Для упрощения записи обозначим

|ϕ_mn|/Δ_mn(α) через k_mn(α), а

|ψ_mn|/Δ_mn(α) через l_mn(α). Оценим значение f_mn из равенства (24). Используя лемму 1,

получаем

|f_mn| ≤ k_mn(α)|δ_mn(-α)| + l_mn(α)e-λmn^β ≤ M₆(n³|ϕ_mn| + n²|ψ_mn|).

Оценим выражение u_mn(t) при t ∈ [0, β]. Из (25) в силу оценок (31) и (32) с учётом лемм 1

и 2 получаем

|u_mn(t)| ≤ k_mn(α)(|δ_mn(-α)||I(t)| + |ω_mn(-α)|e-λmn^t) + l_mn(α)(|I(β)|e-λmn^t + |I(t)|e-λmn^β) ≤

≤ C-10|ϕ_mn|n²(Cn-1 + C₁₄n-1) + C-10|ψ_mn|n²(C₁₅n-3 + C₁₆n-2) ≤ M₁(n|ϕ_mn| + |ψ_mn|).

Аналогично получим оценку для u^′mn(t), когда t ∈ [0, β]:

|u^′mn(t)| ≤ k_mn(α)(|δ_mn(-α)||I^′(t)| + |ω_mn(-α)|λ2mne-λmn^t) +

+ l_mn(α)(|I(β)|λ2mne-λm n^t + |I^′(t)|e-λm n^β) ≤

≤ C-10|ϕ_mn|n²(C₁₇n + C₁₈n) + C-10|ψ_mn|n²(C₁₉ + C₂₀) ≤ M₂(n³|ϕ_mn| + n²|ψ_mn|).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

1617

Теперь на основании формулы (25) с учётом оценок (31), (32) и лемм 1 и 2 оценим выра-

жение u_mn(t) при t ∈ [-α, 0]:

|u_mn(t)| ≤ k_mn(α)(|δ_mn(-α)||ω_mn(t)| + |δ_mn(t)||ω_mn(-α)|) +

+ l_mn(α)(|I(β)||δ_mn(t)| + |ω_mn(t)|e-λm n^β) ≤

≤ C-10|ϕ_mn|n²(C₂₁ + C₂₂) + C-10|ψ_mn|n²(n-1C₂₃ + n-1C₂₄) ≤ M₃(n²|ϕ_mn| + n|ψ_mn|).

Аналогично оценим выражение u^′mn(t) при t ∈ [-α, 0]:

|u^′mn(t)| ≤ k_mn(α)(|δ_mn(-α)||ω^′mn(t)| + |δ^′mn(t)||ω_mn(-α)|) +

+ l_mn(α)(|I(β)||δ^′mn(t)| + |ω^′mn(t)|e-λm n^β) ≤

≤ C-10|ϕ_mn|n²(C₂₅n + C₂₆n) + C-10|ψ_mn|n²(C₂₇ + C₂₈) ≤ M₄(n³|ϕ_mn| + n²|ψ_mn|).

Так как u^′′mn(t) = -λ2mnu_mn(t) + f_mng₂(t), то на основании оценок для |u_mn(t)| при t ∈ [-α, 0]

и f_mn получаем требуемую оценку. Лемма доказана.

В силу леммы 4 первый ряд (27) и его производные первого порядка в замкнутой области

Q и производные второго порядка соответственно в областях Q₊ и Q_- и второй ряд в (27)

мажорируются рядом

]

∑

∑∑

M₇

(n⁴|ϕ_mn| + n³|ψ_mn|) +

(m⁴|ϕ_mn| + m³|ψ_mn|) .

(33)

m=1 n>n0

n=1 m>m

n≥m

m>n

Поэтому нам достаточно исследовать на сходимость каждый из двух двойных рядов, входящий

в выражение (33).

Для упрощения в дальнейшем записи примем следующие обозначения: через v0mn(x, y) обо-

значим функцию, которая получится при замене в функции v_mn(x, y) (см. определение (10))

обоих синусов косинусами, через v1mn(x, y) - функцию, которая получится, если заменить в

функции v_mn(x, y) первый синус на косинус, а через v2mn(x, y) - функцию, которая получится,

если заменить в функции v_mn(x, y) второй синус на косинус.

Лемма 5. Пусть ϕ(x, y) ∈ C⁶(D) и

ϕ(0, y) = ϕ_xx(0, y) = ϕ_xxxx(0, y) = ϕ(p, y) = ϕ_xx(p, y) = ϕ_xxxx(p, y) = 0,

0≤y≤q,

ϕ(x, 0) = ϕ_yy(x, 0) = ϕ_yyyy (x, 0) = ϕ(x, q) = ϕ_yy(x, q) = ϕ_yyyy (x, q) = 0,

0 ≤ x ≤ p,

ψ(x, y) ∈ C⁵(D) и

ψ(0, y) = ψ_xx(0, y) = ψ(p, y) = ψ^′′xx(p, y) = 0,

0≤y≤q,

ψ(x, 0) = ψ_yy(x, 0) = ψ(x, q) = ψ_yy(x, q) = 0,

0 ≤ x ≤ p.

Тогда справедливы представления

(

)₅

(

)₅

(

)₄

(

)₄

ϕmn =

ϕ(1,5)mn =

ϕ(5,1)mn и ψ_mn =

ψ(1,4)mn =

ψ(4,1)mn,

mπ nπ

nπ mπ

mπ nπ

nπ mπ

где

∫∫

ϕ(1,5)mn =

ϕxyyyyy vmn(x, y) dx dy, ϕm5ņ1) =

ϕxxxxxyvmn(x, y) dx dy,

√pq

∫∫

ψ(1,4)mn =

ψ_xyyyyv1mn(x,y)dxdy, ψ(4,1)mn =

ψ_xxxxyv2mn(x,y)dxdy,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1618

СИДОРОВ С.Н.

при этом следующие ряды сходятся:

∫∫

∑

⁽∂⁶ϕ(x,y))2

|ϕ(i,j)mn|² ≤

dx dy, i + j = 6,

(34)

∂xⁱ∂y^j

m,n=1

∫∫

∑

⁽∂⁵ψ(x,y))2

|ψ(i,j)mn|² ≤

dx dy, i + j = 5.

(35)

∂xⁱ∂y^j

m,n=1

Доказательство. Чтобы получить приведённые в формулировке леммы представления

для величин ϕ_mn и ψ_mn, достаточно проинтегрировать по частям шесть и пять раз соот-

ветственно в формулах (20) и (21) с учётом условий данной леммы. Сходимость указанных

рядов следует из неравенства Бесселя, которое имеет место для кратных рядов Фурье [27,

с. 333], т.е. неравенства (34) и (35) являются неравенствами Бесселя для производных шестого

и пятого порядков соответственно функций ϕ(x, y) и ψ(x, y). Лемма доказана.

На основании этой леммы ряды в (33) мажорируются сходящимися рядами

∑

∑∑

(1,4)

M₁₀

(|ϕ(1,5)mn| + |ψ

|) и M₁₁

(|ϕ(5,1)mn| + |ψ(4,1)mn|).

m=1 n>n0

n=1 m>m

n≥m

m>n

Пусть p = q и выполнены условия леммы 1. Тогда, согласно этой лемме, получаем:

Δ_mn(α) ≥ C₀n-2, если n ≥ m и n ≥ n₀, и Δ_mn(α) ≥ C₀m-2, если m ≥ n и m ≥ n₀.

Следовательно, равенство Δ_mn(α) = 0 возможно только при 1 ≤ m, n ≤ n₀. Обозначим через

M (конечное) множество тех пар (m, n), для которых Δ_mn(α) = 0. Тогда, если Δ_mn(α) = 0

для чисел

α, определённых в лемме 1, и (m,n) ∈ M, то для разрешимости задачи (2)-(8)

необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

ϕmnδmn(-α) - ψmne-λmnβ = 0, (m, n) ∈ M.

(36)

Поэтому решение задачи (2)-(8) определяется в виде сумм рядов

∑

u(x, y, t) =

u_mn(t)v_mn(x,y) +

u_mn(t)v_mn(x,y),

(37)

m,n=1

(m,n)∈M

∑

f (x, y) =

f_mnv_mn(x,y) +

f_mnv_mn(x,y),

(38)

m,n=1

(m,n)∈M

где функция u_mn(t) и число f_mn при (m, n) ∈ M задаются соответственно равенствами

(25) и (24), а при (m, n) ∈ M - равенствами

{

-λ2mnβ

C_mne-λmn^t + f_mnI(t),

t ≥ 0,

u_mn(t) =

и f_mn = -C_mn

C_mnδ_mn(t) + f_mnω_mn

(t), t ≤ 0,

I(β)

здесь C_mn - произвольные постоянные.

Таким образом, имеет место

Теорема 2. Пусть постоянные α, p, q, b и функция g₁(t) удовлетворяют условиям

леммы 1, функция g₂(t) - условиям леммы 4, функции ϕ(x, y) и ψ(x, y) - условиям леммы 5.

Пусть, кроме того, p = q. Тогда, если Δ_mn(α) = 0 при n = 1, n₀ и m = 1, m₀, существу-

ет единственное решение задачи (2)-(8) и оно определяется рядами (27); если Δ_mn(α) = 0

при некоторых n = n₁,n₂,... ,n_k ≤ n₀, то задача (2)-(8) разрешима только тогда, когда

выполнены условия (36) и решение в этом случае определяется рядами (37) и (38).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

1619

4. Устойчивость решения задачи. Рассмотрим следующие нормы:

(∫∫

)1/2

∥u(x, y, t)∥L2 (D) =

u²(x,y,t)dxdy

∥u(x, y, t)∥C(Q) = max |u(x, y, t)|,

(∫∫



)1/2



∑

_∂(i+j)f(x,y)



∑

_∂(i+j)f(x,y)



max



∥f(x, y)∥_W l

(D)



∥f(x, y)∥Cl(D)⁼



^,

∂xⁱ∂y^j

i,j=0

D i,j=0

где l ≥ 1. Устойчивость в терминах введённых выше норм полученного решения задачи (2)-(8)

при возмущениях граничных функций вытекает из следующего утверждения.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда для решения (27) задачи (2)-(8)

справедливы оценки

∥u(x, y, t)∥L2(D) ≤ M12(∥ϕ(x, y)∥W²² (D)+∥ψ(x,y)∥W¹²(D)),

(39)

(40)

∥f(x, y)∥L2(D) ≤ M13(∥ϕ(x, y)∥W³² (D)+∥ψ(x,y)∥W²²(D)),

(41)

∥u(x, y, t)∥C(Q) ≤ M₁₄(∥ϕ(x, y)∥C4 (D)+∥ψ(x,y)∥C3 (D)),

(42)

∥f(x, y)∥C(Q) ≤ M₁₅(∥ϕ(x, y)∥C5 (D)+∥ψ(x,y)∥C4(D)).

Доказательство. Так как система функций (10) ортонормирована в L₂(D),

то в силу

первого равенства в (27) на основании леммы 5 получаем

∑

∥u(x, y, t)∥2L

u2mn(t) =

u2mn(t) +

u2mn(t) ≤

(D)

m,n=1

n≥m

m>n

∑

≤ 2M²³

(n⁴ϕ2mn + n²ψ2mn) + 2M²

(m⁴ϕ2mn + m²ψ2mn).

(43)

n≥m

m>n

На основании представлений

(

)₂

(

)₂

ϕmn =

ϕ(0,2)mn =

ϕ(2,0)mn, ψ_mn =

ψ(0,1)mn =

ψ(1,0)mn,

nπ

mπ

nπ

mπ

где

∫∫

ϕ(0,2)mn =

ϕyy(x, y)vmn(x, y) dx dy, ϕm2ņ0) =

ϕxx(x, y)vmn(x, y) dx dy,

∫∫

ψ(0,1)mn =

ϕy(x, y)v^mn(x, y) dx dy, ψm1ņ0) =

ϕx(x, y)v^mn(x, y) dx dy

из неравенства (43) вытекает, что

]

∑

^[( q)4

⁽q)2

∥u(x, y, t)∥2L

≤ 2M²³

|ϕ(0,2)mn|² +

|ψ(0,1)mn|2 +

2(D)

n≥m

]

∑

^[(p)4

⁽p)2

+ 2M²³

|ϕ(2,0)mn|² +

|ψ(1,0)mn|2

≤

n≥m

[

]

∑

≤M²¹²

(|ϕ(0,2)mn|² + |ϕ(2,0)mn|²) +

(|ψ(0,1)mn|² + |ψ(1,0)mn|²)

≤

m,n=1

≤ M²¹²(∥ϕ(x,y)∥2W2

+ ∥ψ(x, y)∥2W1

(D)

Отсюда следует справедливость оценки (39).

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

1620

СИДОРОВ С.Н.

Из второго равенства в (27) на основании леммы 5 имеем

∑

∥f(x, y)∥2L

f2mn =

f2mn +

f2mn ≤

(D)

m,n=1

n≥m

m>n

∑

≤ 2M²⁶

(n⁶ϕ2mn + n⁴ψ2mn) + 2M²

(m⁶ϕ2mn + m⁴ψ2mn).

(44)

n≥m

m>n

На основании представлений

(

)₃

(

)₃

(

)₂

(

)₂

ϕmn =

ϕ(0,3)mn =

ϕ(3,0)mn, ψ_mn =

ψ(0,2)mn =

ψ(2,0)mn,

nπ

mπ

nπ

mπ

где

∫∫

ϕ(0,3)mn =

ϕyyy (x, y)vmn(x, y) dx dy, ϕm3ņ0) =

ϕxxx(x, y)vmn(x, y) dx dy,

∫∫

ψ(0,2)mn =

ψ_yy(x,y)v_mn(x,y)dxdy, ψ(2,0)mn =

ψ_xx(x,y)v_mn(x,y)dxdy,

из неравенства (44) вытекает, что

]

∑

^[( q)6

⁽q)4

∥f(x, y)∥2L

≤ 2M²⁶

|ϕ(0,3)mn|² +

|ψ(0,2)mn|2 +

2(D)

n≥m

]

∑

^[(p)6

⁽p)4

+ 2M²⁶

|ϕ(3,0)mn|² +

|ψ(2,0)mn|2

≤

n≥m

[

]

∑

≤M²¹³

(|ϕ(0,3)mn|² + |ϕ(3,0)mn|²) +

(|ψ(0,2)mn|² + |ψ(2,0)mn|²)

≤

m,n=1

≤ M²¹³(∥ϕ(x,y)∥2W3

+ ∥ψ(x, y)∥2W2

(D)

Отсюда следует справедливость оценки (40).

Пусть (x, y, t) - произвольная точка параллелепипеда Q. Тогда в силу первого равенства

в (27) на основании леммы 5 получаем

∑

|u(x, y, t)| ≤

|u_mn(t)| ≤

|u_mn(t)| +

√

|u_mn(t)| ≤

√pq

m,n=1

n≥m

m>n

∑

≤M1

(n²|ϕ_mn| + n|ψ²

|) +M1

(m²ϕ_mn + mψ_mn),

(45)

n≥m

m>n

здесь и далее

- положительные постоянные, зависящие от p, q и α. Воспользуемся ра-

венствами

(

)₃

(

)₃

(

)₂

(

)₂

ϕmn = -

ϕ(3,1)mn = -

ϕ(1,3)mn, ψ_mn = -

ψ(2,1)mn = -

ψ(1,2)mn,

nπ mπ

mπ nπ

nπ mπ

mπ nπ

где

∫∫

ϕ(3,1)mn =

ϕxxxy(x, y)vmn(x, y) dx dy, ϕm1ņ3) =

ϕxyyy(x, y)vmn(x, y) dx dy,

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

1621

∫∫

ψ(2,1)mn =

ϕxxy(x, y)v^mn(x, y) dx dy, ψm1ņ2) =

ϕxyy(x, y)v^mn(x, y) dx dy.

Тогда, продолжая оценку (45), будем иметь

)

∑

⁽q³p

q²p

|u(x, y, t)| ≤M1

|ϕ(1,3)mn| +

|ψ(1,2)mn|

π⁴ mn

π³ mn

n≥m

)

∑

⁽p³q

p²q

+M1

|ϕ(3,1)mn| +

|ψ(2,1)mn|

π⁴ mn

π³ mn

m>n

Отсюда в силу неравенства Буняковского получаем

∑

|u(x, y, t)| ≤M2

(|ϕ(1,3)mn| + |ϕ(3,1)

|) +M3

(|ψ(1,2)mn| + |ψ(2,1)mn|) ≤

m,n=1

(

)₂)1/2[(

)1/2

)1/2]

∑

≤M2

|ϕ(1,3)mn|2

|ϕ(3,1)mn|2

m,n=1

(

)₂)1/2[(

)1/2

)1/2]

∑

+M3

|ψ(1,2)mn|2

|ψ(2,1)mn|2

≤

m,n=1

≤M4∥ϕ(x,y)∥_W4

(D)

+M5∥ψ(x,y)∥_W3

(D)

≤ M₁₄(∥ϕ(x,y)∥C4(D) ⁺∥ψ(x,y)∥C3(D)).

Оценка (41) доказана. Аналогично устанавливается оценка (42). Теорема доказана.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаменталь-

ных исследований (проект 19-31-60016).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Капустин Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся

гиперболической частью. I // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23. № 1. С. 72-78.

2. Капустин Н.Ю. Задача Трикоми для параболо-гиперболического уравнения с вырождающейся

гиперболической частью. II // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24. № 8. С. 1379-1386.

3. Капустин Н.Ю., Моисеев Е.И. О спектральной задаче из теории параболо-гиперболического урав-

нения теплопроводности // Докл. АН СССР. 1997. Т. 352. № 4. С. 451.

4. Сабитов К.Б. Задача Трикоми для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа в пря-

моугольной области // Мат. заметки. 2009. Т. 86. Вып. 2. С. 273-279.

5. Сабитов К.Б. Прямые и обратные задачи для уравнений смешанного параболо-гиперболического

типа. М., 2016.

6. Сабитов К.Б. Начально-граничная и обратные задачи для неоднородного уравнения смешанного

параболо-гиперболического уравнения // Мат. заметки. 2017. Т. 102. Вып. 3. С. 415-435.

7. Сидоров С.Н. Нелокальная задача для вырождающегося параболо-гиперболического уравнения

// Докл. РАН. 2012. Т. 14. № 3. С. 34-44.

8. Сабитов К.Б., Сидоров С.Н. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося параболо-гипер-

болического уравнения // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. № 3. С. 356-365.

9. Сидоров С.Н. Нелокальные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа со

степенным вырождением // Изв. вузов. Математика. 2015. № 12. С. 55-64.

10. Сабитов К.Б., Сидоров С.Н. Начально-граничная задача для неоднородных вырождающихся урав-

нений смешанного параболо-гиперболического типа // Итоги науки и техники. Сер. Совр. матема-

тика и ее приложения. 2017. Т. 137. С. 26-60.

11. Sabitov K.B., Sidorov S.N. Initial-boundary-value problem for inhomogeneous degenerate equations of

mixed parabolic-hyperbolic type // J. of Math. Sci. 2019. V. 236. № 6. P. 603-640.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021

3^∗

1622

СИДОРОВ С.Н.

12. Лаврентьев М.М., Резницкая К.Г., Яхно В.Г. Одномерные обратные задачи математической фи-

зики. Новосибирск, 1982.

13. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М., 1984.

14. Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М., 1994.

15. Prilepko A.I., Orlovsky D.G., Vasin I.A. Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics.

New York; Basel, 1999.

16. Bukhgeim A.L. Introduction to the Theory of Inverse Problems. Utrecht, 2000.

17. Ivanchov M. Inverse Problems for Equations of Parabolic Type. Lviv, 2003.

18. Isakov V. Inverse Problems for Partial Differential Equations. New York, 2006.

19. Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск, 2009.

20. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболическо-

го типа в прямоугольной области // Изв. вузов. Математика. 2010. Т. 56. № 4. С. 55-62.

21. Сабитов К.Б., Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения смешанного параболо-гиперболическо-

го типа // Мат. заметки. 2010. Т. 87. Вып. 6. С. 907-918.

22. Сабитов К.Б., Сидоров С.Н. Обратная задача для вырождающегося параболо-гиперболического

уравнения с нелокальным граничным условием // Изв. вузов. Математика. 2015. № 1. С. 46-59.

23. Сидоров С.Н. Нелокальная обратная задача по определению правых частей вырождающегося урав-

нения смешанного параболо-гиперболического типа // Науч. ведомости Белгородского гос. ун-та.

Математика. Физика. 2014. № 19 (190). Вып. 36. C. 45-57.

24. Сидоров С.Н. Обратные задачи для уравнения смешанного параболо-гиперболического типа с вы-

рождающейся параболической частью // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16. С. 144-157.

25. Сидоров С.Н. Обратные задачи для вырождающегося смешанного параболо-гиперболического урав-

нения по нахождению сомножителей правых частей, зависящих от времени // Уфимский мат. журн.

2019. Т. 11. № 1. С. 72-86.

26. Сабитов К.Б., Сидоров С.Н. Начально-граничная задача для трёхмерного уравнения параболо-

гиперболического типа // Дифференц. уравнения. 2021. Т. 57. № 8. С. 1071-1080.

27. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ. Т. 2. М., 1987.

Стерлитамакский филиал

Поступила в редакцию 15.06.2020 г.

Башкирского государственного университета

После доработки 21.09.2021 г.

Принята к публикации 23.11.2021 г.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57

№ 12

2021