ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 2021, том 57, № 12, с. 1623-1634
УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
УДК 517.956.4
О ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
ДЛЯ МОДЕЛЬНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
В ОБЛАСТИ С КРИВОЛИНЕЙНЫМИ
БОКОВЫМИ ГРАНИЦАМИ
© 2021 г. К. Д. Федоров
Рассмотрена первая начально-краевая задача для параболической по Петровскому одно-
родной системы второго порядка с постоянными коэффициентами в ограниченной области
Ω на плоскости с криволинейными боковыми границами, негладкими при t = 0. Доказано
существование решения этой задачи в классе C2,1x,t(Ω) с помощью метода граничных инте-
гральных уравнений.
DOI: 10.31857/S0374064121120050
Введение. Предметом исследования настоящей работы является первая начально-краевая
задача с нулевым начальным условием для однородной модельной параболической системы
с одной пространственной переменной в ограниченной области Ω на плоскости с криволи-
нейными боковыми границами (см. ниже условие (1)), допускающими в начальный момент
времени t = 0 наличие “клювов”. Решение этой задачи из класса C2,1x,t(Ω) строится методом
граничных интегральных уравнений и может быть представлено в виде суммы специальных
параболических потенциалов.
Если боковые границы области достаточно гладкие, а именно, из класса H1+α/2[0, T ], где
0 < α < 1, то для любых правых частей ψk, k = 1,2, граничного условия первого рода
из класса H1+α/2[0, T ], согласно [1], существует единственное решение такой задачи в классе
0
H2+α,1+α/2(Ω).
x,t
0
Если боковые границы области - негладкие кривые, принадлежащие классу H(1+α)/2[0, T ],
то для любых ψk, k = 1, 2, имеющих непрерывную дробную производную порядка 1/2, рав-
ную нулю при t = 0, согласно [2-5], существует единственное регулярное решение первой
начально-краевой задачи в классе C1,0(Ω). Если, кроме того, ψk ∈ H(1+α)/2[0, T ], где
0 <
x,t
0
0
< α < 1, k = 1,2, то это решение принадлежит классу H1+α,(1+α)/2(Ω).
0 x,t
В настоящей статье доказывается, что (несмотря на негладкость при t = 0 боковых гра-
ниц области) существует решение поставленной задачи из класса C2,1(Ω), если граничные
x,t
0
функции принадлежат пространству C1[0, T ].
0
Структура работы следующая. В п. 1 вводятся основные функциональные пространства,
ставится первая начально-краевая задача и формулируется основная теорема. В п. 2 исследу-
ется гладкость специального параболического потенциала. В п. 3 изучается вопрос об одно-
значной разрешимости системы интегральных уравнений Вольтерры первого рода, к которой
редуцируется исходная задача. В п. 4 приводится доказательство теоремы о существовании
решения поставленной задачи в классе
C2,1x,t(Ω) (см. п. 1). В п. 5 показывается, что для любой
функции из
C2,1(Ω) её следы на боковых границах области Ω принадлежат классу C1[0, T ].
x,t
0
0
1. Предварительные сведения и формулировка основного результата. Фиксируем
T > 0 и m ∈ N. Введём нужные в дальнейшем нормированные пространства: C[0,T] - прост-
ранство непрерывных (вектор-)функций ψ : [0, T ] → Rm с нормой ∥ψ; [0, T ]∥0 := max |ψ(t)|
t∈[0,T ]
1623
1624
ФЕДОРОВ
и его подпространство C[0, T ] := {ψ ∈ C[0, T ] : ψ(0) = 0}, а также пространство C1[0, T ] :=
0
:= {ψ ∈ C[0, T ] : ψ′ ∈ C[0, T ]} с нормой ∥ψ; [0, T ]∥1 := ∥ψ; [0, T ]∥0 + ∥ψ′; [0, T ]∥0 и его подпро-
странство C1[0, T ] := {ψ ∈ C1[0, T ] : ψ(0) = ψ′(0) = 0}.
0
На плоскости R2 переменных x и t рассматриваем полосу
D := {(x, t) ∈ R2 : x ∈ R,
0 < t ≤ T}.
Пусть Ω - произвольная область в D. Через C2,1x,t(Ω) обозначим нормированное пространство
(вектор-)функций u, непрерывных и ограниченных в Ω вместе со своими первыми по x, t
и второй по x производными, с нормой
∑
∂ku
∂u
∥u; Ω∥2,1 :=
sup
x,t)
sup
x,t)
+
.
∂xk(
∂t(
(x,t)∈Ω
(x,t)∈Ω
k=0
Введём пространство
C2,1x,t(Ω) := {u ∈ C2,1x,t(Ω) : ∥u;Ω∥(2) < ∞}, где
∥u; Ω∥(2) := ∥u; Ω∥2,1 +
sup
|Δtux(x, t)||Δt|-1/2,
(x,t),(x,t+Δt)∈Ω
|Δt|=0
и его подпространство
C2,1(Ω) := {u
C2,1x,t(Ω) : u(x,0) = ux(x,0) = uxx(x,0) = ut(x,0) = 0}.
x,t
0
Под значениями (вектор-)функций и их производных на границе области понимаем их
предельные значения “изнутри” области.
Под принадлежностью вектор-функции некоторому функциональному пространству пони-
мается принадлежность всех её компонент этому пространству.
Для любой числовой матрицы B (или числового вектора b) под |B| (соответственно |b|)
понимаем максимум из модулей её элементов (его компонент).
Рассмотрим область Ω следующего вида:
Ω := {(x, t) ∈ D : g1(t) < x < g2(t),
0<t<T}
– криволинейную трапецию c боковыми сторонами Σk := {(x, t) ∈ D : x = gk(t), 0 ≤ t ≤ T},
gk ∈ C[0,T]
⋂C1(0,T], |g′k(t)| ≤ ω(t1/2)t-1/2,
0 < t ≤ T, k = 1,2,
(1)
где ω - некоторый модуль непрерывности, и
g2(t) - g1(t) ≥ d > 0,
0≤t≤T.
(2)
Модулем непрерывности, следуя [6, c. 150-151], называем неубывающую непрерывную
функцию ω : [0, +∞) → [0, +∞), являющуюся полуаддитивной (т.е. ω(z1 + z2) ≤ ω(z1) +
+ ω(z2) для любых z1,z2 ∈ [0,+∞)) и равную нулю в нуле.
Отметим известные свойства модуля непрерывности (см., например, [6, c. 151-153]):
1) при любом n ∈ N верно неравенство ω(nz) ≤ nω(z), где z > 0;
2) функция ω(z)/z, z > 0, почти убывает, т.е. ω(z2)/z2 ≤ 2ω(z1)/z1, если z2 ≥ z1 > 0;
3) для любого числа c > 0 существует постоянная C > 0 такая, что
ω(|x|) exp{-cx2/t} ≤ Cω(t1/2) exp{-cx2/2t} для x ∈ R, t > 0.
Рассмотрим параболический по Петровскому (см. [7]) матричный оператор
∂u
∂2u
Lu =
-A
,
u = (u1,u2,...,um)т,
∂t
∂x2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
О ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
1625
где A = ∥aij ∥mi,j=1 - m × m-матрица, элементы которой являются вещественными числами и
для собственных чисел μk которой выполнено условие Re μr > 0, r = 1, m.
Фундаментальной матрицей решений системы Lu = 0 является функция Z(x - ξ, t - τ),
(x, t), (ξ, τ) ∈ D, t > τ (см., например, [8, c. 296-297]), где
∫
1
Z(x, t) =
eiσx exp{-σ2At}dσ, x ∈ R, t > 0.
2π
-∞
Справедливы следующие оценки:
∂l+k
(x, t)
Ck,lt-(1+2l+k)/2 exp{-cx2/t}, t > 0, x ∈ R, k,l ≥ 0,
(3)
≤
∂tl∂xkZ
где Ck,l и c - некоторые положительные постоянные.
Ставится задача: найти функцию u ∈ C(Ω), являющуюся регулярным решением первой
начально-краевой задачи
Lu = 0, (x,t) ∈ Ω,
(4)
u|t=0 = 0, g1(0) ≤ x ≤ g2(0),
(5)
u|Σk = ψk(t),
0 ≤ t ≤ T, k = 1,2.
(6)
Обозначим
∫∞
Yk(x,t) := Z(x + (-1)k+1r,t)dr, (x,t) ∈ D, k = 1,2.
(7)
0
Основным результатом настоящей работы является
Теорема 1. Пусть выполнены условия (1), (2). Тогда для любых ψ1, ψ2 ∈ C1[0, T ] реше-
0
нием задачи (4)-(6) является сумма потенциалов
t
∫
∑
u(x, t) =
Yk(x - gk(τ),t - τ)ϕk(τ)dτ, (x,t) ∈ Ω,
(8)
k=1 0
где вектор-функция (ϕ1, ϕ2)т, принадлежащая пространству C[0, T ],- единственное в C[0, T ]
0
решение системы интегральных уравнений Вольтерры первого рода
∫
Yk(gl(t) - gk(τ),t - τ)ϕk(τ)dτ = ψl(t), t ∈ [0,T], l = 1,2.
(9)
k=1 0
При этом u
C2,1
x,t
(Ω) и справедлива оценка
0
∥u; Ω∥(2) ≤ C(∥ψ1∥1 + ∥ψ2∥1).
(10)
Здесь и далее через C, c обозначаем положительные постоянные, зависящие от T, A,
Σk, m, и конкретный вид которых для нас не важен.
Замечания.
1. При m = 1 имеем случай одного уравнения и регулярное решение задачи (4)-(6) явля-
ется единственным в классе C(Ω) (см., например, [9]).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1626
ФЕДОРОВ
2. Если gk ∈ H1/2+ω1 ([0, T ]), k = 1, 2, т.е. если
|Δtgk(t)| ≤ |Δt|1/2ω1(|Δt|1/2), t, t + Δt ∈ [0, T ],
(11)
где функция ω1 удовлетворяет условию Дини
∫x
ω1(t)
ω1(x) =
dt < ∞, x > 0,
(12)
t
0
то из [10] вытекает, что регулярное решение первой начально-краевой задачи существует в
классе C1,0(Ω). В частном случае ω1(z) = zα, 0 < α < 1, единственность регулярного реше-
x,t
0
ния в классе C1,0(Ω) следует из [4, 5].
x,t
0
3. Если в условии (1) предположить, что модуль непрерывности ω = ω1 удовлетворяет
условию Дини (12), то gk удовлетворяют условию Дини-Гёльдера (11).
4. Потенциалы вида (7) были ранее введены в [11, 12] для получения гладкого решения
второй начально-краевой задачи в полуограниченной области с боковой границей из класса
H(1+α)/2([0,T]), где 0 < α < 1.
Кроме того, в работе доказывается следующее
Утверждение. Если u
C2,1
x,t
(Ω), то ψk ∈ C1[0, T ], где ψk(t) = u(gk(t), t), k = 1, 2.
0
0
2. Специальный параболический потенциал. Пусть Σ := {(x,t) ∈ D : x = g(t)},
g ∈ C[0,T]
⋂C1(0,T], |g′(t)| ≤ ω(t1/2)t-1/2,
0<t≤T,
(13)
где ω - некоторый модуль непрерывности.
Заметим, что из условия (13) следует неравенство
|g(t + Δt) - g(t)| ≤ 2|Δt|1/2ω(|Δt|1/2),
0 ≤ t, t + Δt ≤ T.
Рассмотрим множества
D+ := {(x,t) ∈ D : x > g(t)}, D- := {(x,t) ∈ D : x < g(t)}
и, следуя [11], определим для (вектор-)плотности ϕ ∈ C[0, T ] специальные параболические
потенциалы S+ϕ и S-ϕ формулами
∫t
S+ϕ(x,t) := Y1(x - g(τ),t - τ)ϕ(τ)dτ, (x,t) ∈ D+,
0
∫t
S-ϕ(x,t) := Y2(x - g(τ),t - τ)ϕ(τ)dτ, (x,t) ∈ D-,
0
где функции Yk(x, t), k = 1, 2, определены формулой (7).
Заметим, что для любых ϕ ∈ C[0, T ] и функции g, удовлетворяющей условию (13), имеют
место соотношения
S±ϕ ∈ C2,1x,t(D±), L(S±ϕ) = 0 в D±.
Здесь и далее выбор знаков “ + ” или “- ” соответственный.
Лемма 1. Пусть ϕ ∈ C[0, T ] и функция g удовлетворяет условию (13). Тогда справед-
ливы оценки
∂kS±ϕ
(x, t)
C∥ϕ∥0t1-k/2, k = 0, 1, (x, t) ∈ D±,
(14)
≤
∂xk
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
О ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
1627
∂2S±ϕ
(x, t)
C∥ϕ∥0, (x, t) ∈ D±,
(15)
≤
∂x2
∂S±ϕ
t
(x, t)
C∥ϕ∥0|Δt|1/2, (x, t), (x, t + Δt) ∈ D±.
(16)
Δ
≤
∂x
Если ϕ ∈ C[0, T ], то
0
∂2S±ϕ
(x, t)
Cωϕ(t), (x,t) ∈ D±,
(17)
≤
∂x2
где ωϕ - модуль непрерывности функции ϕ на [0, T ].
Доказательство. Неравенство (14) непосредственно следует из определения (7) и оцен-
ки (3).
Для доказательства оценок (15)-(17) предварительно заметим, что
∫
t
∂S±ϕ
(x, t) = ∓ Z(x - g(τ), t - τ)ϕ(τ) dτ, (x, t) ∈ D±.
∂x
0
Без ограничения общности рассматриваем S+ϕ при (x, t) ∈ D+.
Докажем оценку (15). Имеем
∫
t
∂2S+ϕ
∂Z
(x, t) = -
(x - g(t), t - τ)ϕ(τ) dτ -
∂x2
∂x
0
∫t
(
)
∂Z
∂Z
-
(x - g(τ), t - τ) -
(x - g(t), t - τ) ϕ(τ) dτ ≡ I1(x, t) + I2(x, t).
∂x
∂x
0
Из представления (см. [13])
∂Z
x
(x, t) = -
A-1Z(x,t), x ∈ R, t > 0,
(18)
∂x
2t
следует оценка
∫
t
{
}
x - g(t)
(x - g(t))2
|I1(x, t)| ≤ C∥ϕ∥0
exp
-c
dτ ≤ C∥ϕ∥0, (x, t) ∈ D+.
(t - τ)3/2
t-τ
0
В силу условия (13) получаем, что
t
t
∫
∫
|g(t) - g(τ)|
ω(τ1/2)
|I2(x, t)| ≤ C∥ϕ∥0
dτ ≤ C∥ϕ∥0
dτ ≤ C∥ϕ∥0, (x, t) ∈ D+.
(t - τ)3/2
(t - τ)1/2τ1/2
0
0
Если, кроме того, ϕ(0) = 0, то, используя неравенство
|ϕ(τ)| = |ϕ(τ) - ϕ(0)| ≤ ωϕ(τ) ≤ ωϕ(t),
приходим к оценке (17).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1628
ФЕДОРОВ
Докажем оценку (16). При Δt ≥ t она следует из оценки (14) для k = 1. В случае Δt < t
положим
∫
∫
t
∂S+ϕ
Δt
(x, t) = -
Z(x - g(τ), t + Δt - τ)ϕ(τ) dτ +
Z(x - g(τ), t - τ)ϕ(τ) dτ -
∂x
t-Δt
t-Δt
∫
- ΔtZ(x - g(τ),t - τ)ϕ(τ)dτ ≡ J1(x,t,Δt) + J2(x,t,Δt) + J3(x,t,Δt).
0
Интегралы J1 и J2 оцениваются аналогично. Оценим, например, J2 :
t
∫
1
|J2(x, t, Δt)| ≤ C∥ϕ∥0
dτ ≤ C∥ϕ∥0|Δt|1/2, (x, t) ∈ D+.
(t - τ)1/2
t-Δt
Остаётся оценить интеграл J3, имеем
∫
1
|J3(x, t, Δt)| ≤ C∥ϕ∥0|Δt|
dτ ≤ C∥ϕ∥0|Δt|1/2, (x, t) ∈ D+.
(t - τ)3/2
0
Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть ϕ ∈ C[0, T ] и функция g удовлетворяет условию (13). Тогда для любого
0
t0 ∈ [0,T] имеют место соотношения
0
∫
t
∂2S+ϕ
1
∂2Y1
lim
(x, t) =
A-1ϕ(t0) +
(g(t0) - g(τ), t0 - τ)ϕ(τ) dτ,
(19)
(x,t)→(g(t0),t0)
∂x2
2
∂x2
(x,t)∈D+
0
t0
∫
∂2S-ϕ
1
∂2Y2
lim
(x, t) = -
A-1ϕ(t0) +
(g(t0) - g(τ), t0 - τ)ϕ(τ) dτ.
(20)
(x,t)→(g(t0 ),t0)
∂x2
2
∂x2
(x,t)∈D-
0
Доказательство. Достаточно доказать формулу (19), поскольку формула (20) получается
аналогично. Если t0 = 0, то (19) следует из оценки (17). Фиксируем произвольно t0 ∈ (0, T ]
и ε > 0. Пусть t ∈ [t0/2,T]. Для любого 0 < δ < t0/2 имеем
∫
t
(∫δ ∫ t
∂2Y1
)∂2Y1
(x - g(τ), t - τ)ϕ(τ) dτ =
+
(x - g(τ), t - τ)ϕ(τ) dτ ≡
∂x2
∂x2
0
0
δ
≡ I1(x,t;δ) + I2(x,t;δ).
Заметим, что
∂2Y1
∂Z
(x, t) = -
(x, t), (x, t) ∈ D+.
∂x2
∂x
Оценим интеграл I1, повторяя доказательство неравенств (15) и (17):
∫δ
∂Z
|I1(x, t; δ)| ≤
x - g(τ),t - τ)(ϕ(τ) - ϕ(0))
τ ≤ Cωϕ(δ), (x,t) ∈ D+.
d
∂x(
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
О ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
1629
Положим
∫δ
∂Z
I3(t;δ) =
(g(t) - g(τ), t - τ)ϕ(τ) dτ.
∂x
0
Из условия (13) и представления (18) следует, что
∫δ
ω(τ1/2)
|I3(t; δ)| ≤ C
|ϕ(τ)| dτ ≤ C∥ϕ∥0ω(δ1/2), t ∈ [t0/2, T ].
τ1/2(t - τ)1/2
0
Фиксируем такое δ = δ(ε, t0) ∈ (0, t0/2), чтобы выполнялось неравенство
ε
|I1(x, t; δ)| + |I3(t; δ)| <
,
(x, t) ∈ D+, t ∈ [t0/2, T ].
(21)
2
Для выбранного δ рассмотрим интеграл
t-δ
∂Z
I2(x,t;δ) = -
(x - g(τ), t - δ - τ)ϕ(τ) dτ,
∂x
0
где g(τ) = g(τ + δ),
ϕ(τ) = ϕ(τ + δ). Так как g ∈ C1[0, T - δ] и g(t0 - δ) = g(t0), то в силу
формулы “скачка” для производной потенциала простого слоя (см. [13]) будем иметь
∫
1
∂Z
lim
I2(x,t;δ) =
A-1ϕ(t0) -
(g(t0) - g(τ), t0 - δ - τ)ϕ(τ) dτ =
(x,t)→(g(t0),t0)
2
∂x
(x,t)∈D+
0
∫t0
1
∂Z
=
A-1ϕ(t0) -
(g(t0) - g(τ), t0 - τ)ϕ(τ) dτ,
2
∂x
δ
и поэтому существует δ1 = δ1(δ, ε, t0) ∈ (0, δ), при котором
∫
t0
1
∂2Y1
ε
2 -
A-1ϕ(t0) -
(g(t0) - g(τ), t0 - τ)ϕ(τ) dτ
,
I
<
2
∂x2
2
δ
если |x - g(t0)| < δ1, |t - t0| < δ1. Тогда из неравенства (21) заключаем, что
∫
t0
∂2
S+ϕ
1
∂2Y1
(x, t) -
A-1ϕ(t0) -
(g(t0) - g(τ), t0 - τ)ϕ(τ) dτ
ε,
<
∂x2
2
∂x2
0
если |x - g(t0)| < δ1, |t - t0| < δ1. Отсюда вытекает соотношение (19). Лемма доказана.
Из лемм 1, 2 следует
Теорема 2. Пусть для функции g выполнено условие (13). Тогда для любой ϕ ∈ C[0, T ]
0
потенциал S±ϕ принадлежит пространству
C2,1(D±) и имеют место оценки
x,t
0
∥S±ϕ; D±∥(2) ≤ C∥ϕ; [0, T ]∥0.
(22)
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1630
ФЕДОРОВ
3. Система граничных интегральных уравнений.
Теорема 3. Пусть выполнены условия (1), (2). Тогда для любых ψ1, ψ2 ∈ C1[0, T ] система
0
интегральных уравнений Вольтерры первого рода
∫
Yk(gl(t) - gk(τ),t - τ)ϕk(τ)dτ = ψl(t), l = 1,2, t ∈ [0,T],
(23)
k=1 0
имеет единственное в C[0,T] решение (ϕ1,ϕ2)т ∈ C[0,T] и справедливы оценки
0
∥ϕl∥0 ≤ C(∥ψ1∥1 + ∥ψ2∥1), l = 1, 2.
(24)
Доказательство. Рассмотрим первое уравнение в системе (23):
∫t
∫
ϕ1(τ)dτ
Z(g1(t) - g1(τ) + r, t - τ) dr +
0
0
∫t
∫
+ ϕ2(τ)dτ Z(g1(t) - g2(τ) - r,t - τ)dr = ψ1(t), t ∈ [0,T].
0
0
Дифференцируя обе его части, получаем вследствие условий (1), (2) и равенства
∫
∫
1
1
Z(r, t - τ) dr =
Z(r, t - τ) dr =
E,
2
2
0
-∞
где E - единичная матрица, уравнение Вольтерры второго рода
∫
t
∑
ϕ1(t) + 2
K1j(t,τ)ϕj(τ)dτ = 2ψ′1(t),
0≤t≤T,
j=1 0
в котором
+∞
K1j(t,τ) =
(g′1(t)Zx(g1(t) - gj (τ) + (-1)j+1r, t - τ) + Zt(g1(t) - gj (τ) + (-1)j+1r, t - τ)) dr ≡
0
≡ I(1)j(t,τ) + I(2)j(t,τ), j = 1,2.
Для ядер K1j (t, τ), j = 1, 2, справедливы оценки
ω(τ1/2)
|K1j (t, τ)| ≤ C
,
0 ≤ τ < t ≤ T, j = 1,2.
(25)
τ1/2(t - τ)1/2
Действительно, имеем
ω(t1/2)
ω(τ1/2)
|I(1)j(t, τ)| = |g′1(t)Z(g1(t) - gj (τ), t - τ)| ≤ C
≤C
,
j = 1,2,
t1/2(t - τ)1/2
τ1/2(t - τ)1/2
ω(τ1/2)
|I(2)1(t, τ)| = |AZx(g1(t) - g1(τ), t - τ)| ≤ C|g1(t)-g1(τ)|
≤C
,
(t - τ)3/2
τ1/2(t - τ)1/2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
О ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
1631
|I(2)2(t, τ)| = |AZx(g1(t) - g2(τ), t - τ)| ≤
≤ C{|Zx(g1(t) - g2(t),t - τ)| + |Zx(g1(t) - g2(τ),t - τ) - Zx(g1(t) - g2(t),t - τ)|} ≤
{
{
}
}
2
1
d
|g2(t) - g2(τ)|
≤C
exp
-c
+
≤
t-τ
t-τ
(t - τ)3/2
{
}
ω(τ1/2)
ω(τ1/2)
≤C 1+
≤C
τ1/2(t - τ)1/2
τ1/2(t - τ)1/2
Для второго уравнения системы (23) аналогично получаем равенство
∫
t
∑
ϕ2(t) + 2
K2j(t,τ)ϕj(τ)dτ = 2ψ′2(t),
0≤t≤T,
j=1 0
в котором
+∞
K2j(t,τ) =
(g′2(t)Zx(g2(t) - gj (τ) + (-1)j+1r, t - τ) +
0
+ Zt(g2(t) - gj(τ) + (-1)j+1r,t - τ))dr, j = 1,2,
причём справедливы оценки
ω(τ1/2)
|K2j (t, τ)| ≤ C
,
0 ≤ τ < t ≤ T, j = 1,2.
(26)
τ1/2(t - τ)1/2
В результате в силу включений ψ1, ψ2 ∈ C1[0, T ] получаем эквивалентную (23) систему
0
интегральных уравнений Вольтерры второго рода
∫
t
∑
ϕl(t) + 2
Klj(t,τ)ϕj(τ)dτ = 2ψ′l(t),
0 ≤ t ≤ T, l = 1,2.
(27)
j=1 0
Умножая обе части уравнений из системы (27) на e-λt, где λ > 0 будет выбрано ниже,
получаем эквивалентную систему
t
∫
∑
ϕ∗l(t) +
K∗lj(t,τ)ϕ∗j(τ)dτ = ψ∗l(t),
0 ≤ t ≤ T, l = 1,2,
(28)
j=1 0
здесь
ϕ∗i(t) := ϕi(t)e-λt, ψ∗i(t) := 2ψ′i(t)e-λt, K∗ij(t, τ) := 2Kij (t, τ)e-λ(t-τ), i, j = 1, 2.
Введём обозначения
(
)
(
)
(
)
B∗11
B∗12
ϕ∗1
ψ∗1
Bλ =
,
ϕ∗ =
,
ψ∗ =
,
B∗21
B∗22
ϕ∗2
ψ∗
2
где
∫t
B∗ijϕ∗j(t) = K∗ij(t,τ)ϕ∗j(τ)dτ,
0 ≤ t ≤ T, i,j = 1,2,
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1632
ФЕДОРОВ
и запишем систему (28) в операторном виде
ϕ∗ + Bλϕ∗ = ψ∗.
(29)
Покажем, что оператор Bλ : C[0, T ] → C[0, T ] является сжимающим при достаточно боль-
шом λ > 0.
Пусть ε > 0 произвольно. Если 0 < t ≤ ε2, то в силу оценок (25), (26) имеем
∫
t
ω(τ1/2)
|Bλϕ∗(t)| ≤ C∥ϕ∗∥0
dτ ≤ Cω(ε)∥ϕ∗∥0.
τ1/2(t - τ)1/2
0
Если t > ε2, то
{∫ε2
∫
t
}
ω(τ1/2)
ω(τ1/2)
|Bλϕ∗(t)| ≤ C∥ϕ∗∥0
dτ +
e-λ(t-τ) dτ
≤
τ1/2(t - τ)1/2
τ1/2(t - τ)1/2
0
ε2
{
∫
t
}
{
}
ω(ε)
e-λ(t-τ)
ω(ε)
≤ C∥ϕ∗∥0 ω(ε) +
dτ
≤ C∥ϕ∗∥0 ω(ε) +
ε
(t - τ)1/2
ελ1/2
0
В итоге получаем оценку
{
}
ω(ε)
|Bλϕ∗(t)| ≤ C∥ϕ∗∥0 ω(ε) +
ελ1/2
Фиксируя сначала ε > 0 таким, чтобы Cω(ε) < 1/4, а затем выбирая λ = λ(ε) таким, чтобы
ω(ε)
1
C
<
,
ελ1/2
4
получаем, что ∥Bλ∥ < 1/2. Следовательно, уравнение (29) имеет единственное решение
(
)
ϕ∗1
ϕ∗ =
∈ C[0,T]
ϕ∗
2
и справедливы оценки
∥ϕ∗i∥0 ≤ C(∥ψ∗1∥1 + ∥ψ∗2∥1), i = 1, 2.
Наконец, из вида системы (28) и условий ψ1, ψ2 ∈ C1[0, T ] следует, что ϕ∗1, ϕ∗2 ∈ C[0, T ].
0
0
Возвращаясь к первоначальным функциям ϕ1, ϕ2, получаем утверждение теоремы 3.
4. Доказательство теоремы 1. Ищем решение u(x, t) задачи (4)-(6) в виде суммы по-
тенциалов (8) с плотностями ϕ1, ϕ2 ∈ C[0, T ], подлежащими определению. Тогда для любых
0
ϕ1,ϕ2 ∈ C[0,T] функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (4) и начальному условию (5). Под-
ставляя выражения (8) в граничные условия (6), для определения неизвестных плотностей ϕk,
k = 1,2, получаем систему интегральных уравнений Вольтерры первого рода (9). Из теоре-
мы 3 следует, что эта система имеет единственное решение (ϕ1, ϕ2)т ∈ C[0, T ] и справедлива
0
оценка
∥ϕl∥0 ≤ C(∥ψ1∥1 + ∥ψ2∥1), l = 1, 2.
(30)
Подставляя решение системы (9) в выражение (8), получаем, что определённая таким об-
разом функция u(x, t) является решением задачи (4)-(6). При этом в силу теоремы 2 и нера-
венств (30) справедливо включение u
C2,1(Ω) и верна оценка (10). Теорема 1 доказана.
x,t
0
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
О ПЕРВОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ
1633
5. Доказательство утверждения. Пусть u - произвольная функция из класс
C2,1(Ω) и
x,t
0
ψk(t) = u(gk(t),t), k = 1,2. Докажем, что ψ1 ∈ C1[0, T ] (для ψ2 доказательство аналогично).
0
Рассмотрим последовательность функций
ϕn(t) = u(g1(t) + 1/n, t), n ∈ N.
Не ограничивая общности, считаем, что 1/n < d. Имеем: ϕn ∈ C[0, T ], последовательность
0
функций (ϕn(t))n∈N сходится к функции ψ1(t) на отрезке [0, T ] и
ϕ′n(t) = g′1(t)ux(g1(t) + 1/n, t) + ut(g1(t) + 1/n, t), t > 0, n ∈ N.
В силу включения u
C2,1(Ω) последовательность производных (ϕ′n(t))n∈N сходится к
x,t
0
функции g′1(t)ux(g1(t), t) + ut(g1(t), t) равномерно на любом отрезке [δ, T ], где δ ∈ (0, T ).
Поэтому при t ∈ (0, T ] существует непрерывная производная
ψ′1(t) = g′1(t)ux(g1(t),t) + ut(g1(t),t).
Докажем, что lim
ψ′1(t) = 0. В самом деле, пусть t > 0. Если g1(0) ≤ g1(t), то
t→+0
|ux(g1(t), t)| = |ux(g1(t), t) - ux(g1(t), 0)| ≤ ∥u∥(2)t1/2.
Если g1(0) > g1(t), то
|ux(g1(t), t)| ≤ |ux(g1(t), t) - ux(g1(0), t)| + |ux(g1(0), t) - ux(g1(0), 0)| ≤
≤ |uxx(g1(t) + Θ(g1(0) - g1(t)), t)||g1(0) - g1(t)| + ∥u∥(2)t1/2 ≤ C∥u∥(2)t1/2,
где Θ ∈ (0, 1). Таким образом,
|g′1(t)ux(g1(t), t)| ≤ C∥u∥(2)ω(t1/2) → 0 при t → +0.
Учитывая, что lim
ut(g1(t),t) = 0, имеем включение ψ1 ∈ C1[0,T]. Утверждение доказано.
t→+0
0
Отметим, что в формулировке утверждения можно опустить условие uxx(x, 0) = 0.
Автор выражает глубокую благодарность профессору Е.А. Бадерко за постановку задачи
и постоянное внимание к работе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Солонников В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных
уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова. 1965. Т. 83. С. 3-163.
2. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Первая краевая задача для параболических систем в плоских областях
с негладкими боковыми границами // Докл. РАН. 2014. Т. 458. № 4. С. 379-381.
3. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Потенциал простого слоя и первая краевая задача для параболической
системы на плоскости // Дифференц. уравнения. 2016. Т. 52. № 2. C. 198-208.
4. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. Единственность решений начально-краевых задач для параболиче-
ских систем в плоских ограниченных областях с негладкими боковыми границами // Докл. РАН.
2020. Т. 494. № 1. С. 5-8.
5. Бадерко Е.А., Черепова М.Ф. О единственности решений первой и второй начально-краевых задач
для параболических систем в ограниченных областях на плоскости // Дифференц. уравнения. 2021.
Т. 57. № 8. C. 1039-1048.
6. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М., 1977.
7. Петровский И.Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными в
области неаналитических функций // Бюлл. Моск. гос. ун-та. Секц. А. 1938. Т. 1. № 7. C. 1-72.
8. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М., 1968.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
1634
ФЕДОРОВ
9. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболиче-
ского типа // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. Вып. 3 (105). C. 3-146.
10. Baderko E.A., Cherepova M.F. Dirichlet problem for parabolic systems with Dini continuous coeffcients
11. Cемаан Х.М. О решении второй краевой задачи для параболических систем в областях на плоскости
с негладкой боковой границей // Деп. в ВИНИТИ РАН. 26.02.99. № 567-В99.
12. Cемаан Х.М. О решении второй краевой задачи для параболических систем на плоскости: дис
канд. физ.-мат. наук. М., 1999.
13. Тверитинов В.А. Гладкость потенциала простого слоя для параболической системы второго поряд-
ка // Деп. в ВИНИТИ АН СССР. 02.09.88. № 6850-В88.
Московский государственный университет
Поступила в редакцию 06.08.2021 г.
им М.В. Ломоносова,
После доработки 06.08.2021 г.
Московский центр фундаментальной
Принята к публикации 23.11.2021 г.
и прикладной математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ том 57
№ 12
2021
